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<p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: Mru</p><p>frente: FísiCa i</p><p>005.512 – 131456/18</p><p>AULAS 01 E 02</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Para todo o estudo da cinemática, serão válidas as definições</p><p>a seguir:</p><p>v</p><p>ds</p><p>dt</p><p>�</p><p>�</p><p>= (Velocidade instantânea)</p><p>v</p><p>s</p><p>t</p><p>m</p><p>�</p><p>�</p><p>= ∆</p><p>∆</p><p>(Velocidade média)</p><p>a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>�</p><p>�</p><p>= (Aceleração instantânea)</p><p>a</p><p>v</p><p>t</p><p>m</p><p>�</p><p>� ��</p><p>= ∆</p><p>∆</p><p>(Aceleração média)</p><p>Onde</p><p>dG</p><p>dt</p><p>denota a derivada da grandeza G em relação ao</p><p>tempo.</p><p>Para movimento em 1D, unidimensionais (retilíneos), temos:</p><p>a</p><p>v</p><p>x0 x</p><p>Podem ser tratados</p><p>como escalares</p><p>onde: Posição: x = x(t)</p><p>Velocidade: v = v(t)</p><p>Aceleração: a = a(t)</p><p>Movimento uniforme (MRU)</p><p>a</p><p>v</p><p>(t)</p><p>(t)</p><p>=</p><p>→{ 0</p><p>constante</p><p>v</p><p>dx</p><p>dt</p><p>dx v dt</p><p>t</p><p>x</p><p>x</p><p>= → = =∫∫ . (t )</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>x – x</p><p>0</p><p>= v · t</p><p>x = x</p><p>0</p><p>+ v · t Supor t</p><p>0</p><p>= 0</p><p>ou</p><p>x = x</p><p>0</p><p>+ v · (t – t</p><p>0</p><p>) Se t</p><p>0</p><p>≠ 0</p><p>Exercícios</p><p>01. Um carro se move com velocidade constante em uma estrada.</p><p>Em um determinado instante, ele passa diante de um marco</p><p>contendo um número de dois algarismos. Passada 1 h 30 min,</p><p>o carro encontra outro marco contendo também um número</p><p>de dois algarismos; os algarismos são os mesmos do primeiro</p><p>marco, mas escritos na ordem inversa. Passado o mesmo</p><p>tempo, t = 1 h 30 min, o carro encontra um terceiro marco</p><p>com um número de três algarismos; o primeiro e o terceiro são</p><p>os mesmos do primeiro marco e escritos na mesma ordem com</p><p>um zero entre eles. Pede-se:</p><p>A) os algarismos do marco.</p><p>B) a distância entre os dois primeiros marcos.</p><p>C) a velocidade do carro.</p><p>02. (UFPR-Adaptada) Três móveis, A, B e C, partem, simultaneamente,</p><p>em M.U., dos pontos a, b e c, com velocidades de mesmo sentido</p><p>dadas por:</p><p>V m s</p><p>V m s</p><p>V m s</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>15</p><p>4 5</p><p>7 5</p><p>/</p><p>, /</p><p>, /</p><p>Determine o instante em que o móvel estará entre os móveis B e C</p><p>e a igual distância de ambos.</p><p>20 m 20 m</p><p>a b c</p><p>03. De uma cidade A parte, para uma cidade B, um trem com</p><p>velocidade constante V</p><p>A</p><p>= 36 km/h. Ao mesmo tempo, de B,</p><p>partem, simultaneamente, para A, um trem (V</p><p>B</p><p>= 44 km/h) e</p><p>uma supermosca (V = 100 km/h). A mosca, encontrando o trem</p><p>que vem de A, volta imediatamente para B, mas encontrando</p><p>o trem que vem de B, volta imediatamente para A, e assim</p><p>sucessivamente. Determine o espaço percorrido pela mosca até</p><p>o instante em que os dois trens se encontram.</p><p>A distância entre as duas cidades é 40 km.</p><p>04. Da cidade A para a cidade B, com um intervalo de 10 min,</p><p>saíram dois trens com velocidades de 30 km/h. Com que</p><p>velocidade movia-se um trem em direção à cidade A, uma vez</p><p>que encontrou os trens citados a um intervalo de 4 minutos,</p><p>um depois do outro?</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.512 – 131456/18</p><p>05. Em um momento inicial, duas velas eram iguais e tinham altura</p><p>h = 20 cm. Com que velocidade movem-se as sombras das velas</p><p>nas paredes se as mesmas queimam em M.U. durante o tempo</p><p>3 s, vela 1, e 2 s, vela 2?</p><p>1</p><p>d d d</p><p>2</p><p>06. Um homem encontra-se na margem B</p><p>A C</p><p>de um lago no ponto A. Ele deve chegar</p><p>no período mais curto ao ponto B, que se</p><p>encontra no lago. A distância do ponto B</p><p>à margem é BC = 40 m e a distância</p><p>AC = 30 m.</p><p>A velocidade do homem na água é 1 m/s e</p><p>na margem é 2 m/s. Como deve mover-se</p><p>o homem?</p><p>07. Um ônibus move-se em uma estrada com velocidade de</p><p>16 m/s. Um homem encontra-se a uma distância de 50 m da</p><p>estrada e 400 m do ônibus. Deseja-se que o homem chegue,</p><p>simultaneamente, antes do ônibus em algum ponto da estrada,</p><p>correndo com uma velocidade de 4 m/s. Seja α</p><p>1</p><p>o menor ângulo</p><p>possível entre a direção ao ônibus e a direção pela qual deverá</p><p>correr o homem e α</p><p>2</p><p>o maior ângulo possível entre as direções</p><p>citadas. Determine α</p><p>1</p><p>– α</p><p>2</p><p>.</p><p>ônibus</p><p>50 m</p><p>400 m</p><p>homem</p><p>08. Dois objetos movem-se com velocidades constantes V</p><p>1</p><p>= V</p><p>2</p><p>= 1 m/s</p><p>em estradas que se cruzam em um ângulo de 60º. Depois do</p><p>encontro dos móveis, na intersecção das estradas, que tempo é</p><p>necessário esperar para que a distância entre eles seja 12 m?</p><p>1</p><p>2 60º</p><p>09. No problema anterior, considere</p><p>60º</p><p>11</p><p>que os móveis não se encontram no</p><p>cruzamento e, ademais, o segundo</p><p>objeto passou pelo cruzamento 4 s</p><p>depois do primeiro. Qual foi a</p><p>distância mínima entre os objetos?</p><p>10. Um móvel percorre a metade do caminho com velocidade</p><p>de 50 km/h. A outra metade, ele gasta metade do tempo</p><p>com velocidade de 25 km/h e a outra metade do tempo com</p><p>velocidade de 75 km/h. Determine a velocidade média do móvel.</p><p>11. De dois pontos, A e B, saíram, simultaneamente, dois pedestres,</p><p>um ao encontro do outro. Quando se encontraram, verificou-se</p><p>que o primeiro (que saiu de A) percorreu A km a mais que o segundo.</p><p>Continuando a caminhar, o primeiro chega a B após m horas e o</p><p>segundo chega a A após n horas, contadas a partir do instante</p><p>do encontro. Ache as velocidades dos pedestres, sabendo que</p><p>ambos realizaram movimentos retilíneo e uniforme.</p><p>12. Uma composição ferroviária de comprimento L percorre um</p><p>trecho de ferrovia, com velocidade constante V. Na cauda do</p><p>trem situa-se um observador. Em certo instante, o maquinista</p><p>dá um breve toque de buzina. O som propaga-se no ar com</p><p>velocidade C. O observador mede I entre o instante em que ele</p><p>vê o vapor sair do apito e o instante em que ele ouve o apito.</p><p>Exprima a velocidade V do trem.</p><p>13. Dois móveis A e B partem, simultaneamente, do ponto P e</p><p>percorrem a semirreta horizontal Px com velocidades 1 m/s e 4 m/s,</p><p>ambas dirigidas no mesmo sentido. Um observador encontra-se</p><p>em O, na vertical por P, à altura 4 m. Após quanto tempo os raios</p><p>visuais OA e OB formarão ângulo máximo?</p><p>14. Ao passar pelo ponto O, um Norte</p><p>Oeste</p><p>ν</p><p>O</p><p>u</p><p>pδ</p><p>helicóptero segue na direção norte</p><p>com velocidade νν constante.</p><p>Nesse momento, um avião passa</p><p>pelo ponto P, a uma distância δ de O,</p><p>e voa para o oeste, em direção a O,</p><p>com velocidade u também constante,</p><p>conforme mostra a figura ao lado. Considerando t o instante em</p><p>que a distância d entre o helicóptero e o avião for mínima,</p><p>assinale a alternativa correta.</p><p>A) A distância percorrida pelo helicóptero no instante em que o</p><p>avião alcança o ponto O é δu/ν.</p><p>B) A distância do helicóptero ao ponto O, no instante t, é igual</p><p>a δν ν/ 2 2+ u .</p><p>C) A distância do avião ao ponto O, no instante t, é igual a</p><p>δν2/(ν2 + u2).</p><p>D) O instante t é igual a δν/(ν2 + u2).</p><p>E) A distância d é igual a δ νu u/ 2 2+ .</p><p>15. Um automóvel percorre um trecho retilíneo de uma rodovia.</p><p>A figura mostra a velocidade do carro em função da distância</p><p>percorrida, em km, indicada no odômetro. Sabendo que</p><p>a velocidade escalar média no percurso é de 36 km/h,</p><p>assinale, respectivamente, o tempo total dispendido e a distância</p><p>entre os pontos inicial e final do percurso.</p><p>–60</p><p>–30</p><p>30</p><p>60</p><p>0</p><p>1 2 3 4 5 6</p><p>v[km/h]</p><p>d [km]</p><p>A) 9 min e 2 km</p><p>B) 10 min e 2 km</p><p>C) 15 min e 2 km</p><p>D) 15 min e 3 km</p><p>E) 20 min e 2 km</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.512 – 131456/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* * * * *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* * * * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * * C B</p><p>Resoluções</p><p>01.</p><p>A0B</p><p>v = cte</p><p>MRU</p><p>1,5 h 3 h</p><p>100A + B10B + A10A + B</p><p>t</p><p>0</p><p>= 0</p><p>AB BA</p><p>Como a velocidade é constante, as distâncias percorridas de t</p><p>0</p><p>= 0</p><p>a t = 1,5 h. e de t = 1,5 h a t = 3h são iguais. Assim, temos:</p><p>(10B + A) – (10A + B) = (100A + B) – (10B + A)</p><p>⇒ 9B – 9A = 99A – 9B ⇒ 108 18</p><p>1</p><p>A B= , como A e B são algarismos,</p><p>temos: 1 ≤ A ≤ 9 e 1 ≤ B ≤ 9. Assim, a única possibilidade é que</p><p>A e B= =1 6 , para que 1( ) seja satisfeito.</p><p>Assim, temos que os marcos são:</p><p>6116 106</p><p>1,5 h+ 1,5 h</p><p>������</p><p>A) Algarismos: 1 e 6.</p><p>B) Distância entre os dois primeiros marcos: D = 61 – 16 = 45 km</p><p>C) v</p><p>s</p><p>t</p><p>km</p><p>h</p><p>km</p><p>h</p><p>= = =</p><p>∆</p><p>∆</p><p>45</p><p>1 5</p><p>30</p><p>,</p><p>02.</p><p>A 20 m 20 m</p><p>a b</p><p>B</p><p>c</p><p>C</p><p>V</p><p>A</p><p>= 15 m/s V</p><p>B</p><p>= 4,5 m/s V</p><p>C</p><p>= 7,5 m/s</p><p>Equações horárias dos móveis: (Suponha a origem em a e o sentido</p><p>positivo para a direita).</p><p>A: S</p><p>A</p><p>= 15 t</p><p>B: S</p><p>B</p><p>= 20 + 4,5 t</p><p>C: S</p><p>C</p><p>= 40 + 7,5 t</p><p>Queremos que A esteja entre B e C, à mesma distância de ambos.</p><p>do piso. Suponha que a bola fi que em contato com</p><p>o piso durante 96 m/s e determine a aceleração média da bola,</p><p>em módulo e sentido, durante o contato com o piso.</p><p>02. Uma mulher cai 43 m do topo de um edifício sobre a caixa metálica</p><p>de um ventilador, que ela afunda 45 cm.</p><p>A mulher sobrevive sem ferimentos graves. Qual a aceleração,</p><p>suposta uniforme, que ela sofreu durante a colisão?</p><p>Apresente sua resposta em termos de g.</p><p>03. Se um objeto percorre metade de seu percurso total no último</p><p>segundo de sua queda a partir do repouso, determine:</p><p>A) o tempo; e</p><p>B) a altura de queda. Explique a solução fi sicamente inaceitável</p><p>da equação quadrática do tempo.</p><p>04. Uma bola de aço de rolamento é largada do teto de um edifício</p><p>com velocidade inicial nula. Um observador em pé diante de</p><p>uma janela com 120 cm de altura nota que a bola gasta 0,125 s</p><p>para ir do topo da janela ao parapeito. A bola continua a cair,</p><p>chocando-se elasticamente com uma calçada horizontal e</p><p>reaparece no parapeito da janela 2,0 s após passar por ela ao</p><p>descer. Qual a altura do edifício? (Após uma colisão elástica, a</p><p>velocidade escalar da bola em dado ponto é a mesma ao subir</p><p>e ao descer.)</p><p>05. Um cachorro avista um pote de fl ores passar subindo e, a seguir,</p><p>descendo por uma janela com 1,1 m de altura.</p><p>O tempo total durante o qual o pote é visto é de 0,74 s. Determine</p><p>a altura alcançada pelo pote acima do topo da janela.</p><p>06. (ITA/1976) Uma partícula é lançada no vácuo verticalmente</p><p>para cima, com uma velocidade inicial de 10 m/s. Dois décimos</p><p>de segundos depois, lança-se do mesmo ponto uma segunda</p><p>partícula com a mesma velocidade inicial. A aceleração da</p><p>gravidade é de 10 m/s2. A colisão entre as duas partículas ocorrerá:</p><p>A) um décimo de segundo após o lançamento da segunda</p><p>partícula.</p><p>B) 1,1 s após o lançamento da segunda partícula.</p><p>C) a uma altura de 4,95 m acima do ponto de lançamento.</p><p>D) a uma altura de 4,85 m acima do ponto de lançamento.</p><p>E) a uma altura de 4,70 m acima do ponto de lançamento.</p><p>07. (ITA/1980) Um corpo cai em queda livre de uma altura tal que,</p><p>durante o último segundo de queda, ele percorre</p><p>1</p><p>4</p><p>da altura</p><p>total. Calcule o tempo de queda supondo nula a velocidade inicial</p><p>do corpo.</p><p>A) t s=</p><p>−</p><p>1</p><p>2 3</p><p>B) t s=</p><p>−</p><p>2</p><p>2 3</p><p>C) t s=</p><p>−</p><p>3</p><p>2 3</p><p>D) t s=</p><p>−</p><p>4</p><p>2 3</p><p>E) t s=</p><p>+</p><p>2</p><p>2 3</p><p>08. Uma partícula é abandonada, a partir do repouso, de um ponto</p><p>situado a 270 m acima do solo. Divida essa altura em três partes</p><p>tais que sejam percorridas em intervalos de tempo iguais.</p><p>09. Deixou-se cair uma pedra livremente em um poço de 320 m de</p><p>profundidade. Supondo-se que a velocidade do som seja 320 m/s</p><p>e que g = 10 m/s2, depois de quanto tempo se ouvirá o choque</p><p>da pedra contra o fundo?</p><p>10. Uma pessoa, do alto de um penhasco, a uma certa altura em</p><p>relação ao solo, lança uma bola verticalmente para cima, com</p><p>velocidade inicial e depois lança outra bola, verticalmente para</p><p>baixo, com a mesma velocidade inicial. Alguma delas chegará ao</p><p>solo com maior velocidade que a outra? Despreze a resistência</p><p>do ar.</p><p>11. Um ponto material é abandonado no campo gravitacional da Terra,</p><p>próximo à superfície da mesma. O espaço por ele percorrido até</p><p>o instante t é igual ao espaço que ele percorre no intervalo de (t)</p><p>a (t + 1).</p><p>Determine t.</p><p>12. (ITA) Em uma experiência verifi cou-se que a velocidade inicial</p><p>necessária para que um corpo de massa m atingisse uma altura</p><p>H, quando lançado verticalmente para cima, era igual a V</p><p>0</p><p>.</p><p>Se o mesmo corpo for lançado com uma velocidade inicial igual</p><p>a 2V</p><p>0</p><p>, a sua velocidade, ao atingir a altura H, será:</p><p>A) V</p><p>0</p><p>B)</p><p>V0</p><p>2</p><p>C)</p><p>V0</p><p>3</p><p>D) V0 3⋅</p><p>E)</p><p>V0</p><p>3</p><p>13. Um elevador de 2,7 m de altura começa a elevar-se com uma</p><p>aceleração constante igual a 1,2 m/s2. Aos 2 s depois do início da</p><p>subida do elevador, um parafuso cai do teto do elevador. Ache:</p><p>A) o tempo de queda do parafuso.</p><p>B) o deslocamento e o espaço percorrido pelo parafuso em relação</p><p>a um referencial inercial.</p><p>14. Que inclinação deve ter um telhado para que a água permaneça</p><p>nele o menor espaço de tempo possível?</p><p>15. Um pequeno bloco desliza sem atrito por um plano inclinado a</p><p>partir do repouso. Seja s</p><p>n</p><p>a distância percorrida de t = n – 1 para</p><p>t = n. Então</p><p>s</p><p>s</p><p>n</p><p>n + 1</p><p>é:</p><p>A)</p><p>2 1</p><p>2</p><p>n</p><p>n</p><p>−</p><p>B)</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>n</p><p>n</p><p>+</p><p>−</p><p>C)</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>n</p><p>n</p><p>−</p><p>+</p><p>D)</p><p>2</p><p>2 1</p><p>n</p><p>n +</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>030.481 - 152767/21</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– – – – –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>C B – – –</p><p>11 12 13 14 15</p><p>– D – – C</p><p>* 01. Teremos:</p><p>I. Descida</p><p>V V gh V gh1</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1 1 12 2= + ⇒ =</p><p>V1,0 = 0</p><p>h1</p><p>V1</p><p>h2</p><p>V2</p><p>II. Subida</p><p>V V gh V gh2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 22 2� � � �</p><p>V1,0 = 0</p><p>h1</p><p>V1</p><p>h2</p><p>V2</p><p>III. Logo, teremos que:</p><p>V V a T a</p><p>V V</p><p>T</p><p>a g</p><p>h h</p><p>T</p><p>T s h h m</p><p>2 1</p><p>2 1 1 2</p><p>3</p><p>1 2</p><p>2</p><p>96 10 2 2 1 9</p><p>= − + ⋅ ⇒ =</p><p>+</p><p>⇒ =</p><p>+</p><p>= ⋅ = =−</p><p>( )</p><p>, , ; , ,gg m s</p><p>a a m s</p><p>=</p><p>⇒ = ⋅</p><p>+</p><p>⋅</p><p>⇒ ≅−</p><p>9 8</p><p>2 9 8</p><p>2 2 1 9</p><p>96 10</p><p>131 97</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>,</p><p>,</p><p>( , , )</p><p>,</p><p>(Sentido par</p><p>/</p><p>/</p><p>aa cima)</p><p>02. Teremos:</p><p>I. Durante a queda: V V g S V g S</p><p>V</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>12 2</p><p>0</p><p>� � � � � � � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>II. Durante o amortecimento:</p><p>V V a S V a SF</p><p>VF</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>22 2� � � � � � � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>Logo: g S a S a g</p><p>m</p><p>a g⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅</p><p>⋅</p><p>⇒ ≅−∆ ∆1 1 2</p><p>43</p><p>45 10</p><p>95 56,</p><p>03. Teremos:</p><p>h</p><p>2</p><p>h</p><p>2</p><p>V gh1 =</p><p>V gh2 2=</p><p></p><p></p><p></p><p>T = 1s</p><p>I. Para uma queda livre temos V</p><p>0</p><p>= 0</p><p>⇒ V V g h V gh V gh e V ghF F</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1 22 2 2� � � � � � � �</p><p>II. Para ir de V</p><p>1</p><p>para V</p><p>2</p><p>, ele demora 1s, então:</p><p>V V g t gh h g</p><p>h</p><p>2 1</p><p>2</p><p>2 1 1 2 1</p><p>2 1 30 20 2</p><p>= + ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒</p><p>⇒ = + ⇒ = +</p><p>( ) g ( )</p><p>h g( ) ( )m</p><p>III. Para achar o tempo, faremos:</p><p>S S V T</p><p>a T</p><p>T</p><p>h</p><p>g</p><p>T s� � � �</p><p>�</p><p>� � � � � � � � �0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 1 2 2( ) T ( )</p><p>S S V T</p><p>a T</p><p>T</p><p>h</p><p>g</p><p>T s� � � �</p><p>�</p><p>� � � � � � � � �0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 1 2 2( ) T ( )</p><p>04. Teremos:</p><p>A</p><p>B</p><p>h</p><p>1</p><p>h</p><p>2</p><p>1,2 mC</p><p>D</p><p>I. Queda de A para B:</p><p>V V g T V TB A AB B AB� � � � � 10 1( )</p><p>II. Queda de B para C:</p><p>S V T g T V</p><p>V</p><p>BC B BC BC B</p><p>B</p><p>= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒</p><p>⇒ =</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2 0 125</p><p>1</p><p>2</p><p>10 0 125</p><p>8 975</p><p>2 2, , ( , )</p><p>, mm s/ ( )2</p><p>III. (2) em (1): T</p><p>V</p><p>T s h g T h mAB</p><p>B</p><p>AB AB= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ≅</p><p>10</p><p>0 8975</p><p>1</p><p>2</p><p>4 031</p><p>2</p><p>1, ,</p><p>T</p><p>V</p><p>T s h g T h mAB</p><p>B</p><p>AB AB= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ≅</p><p>10</p><p>0 8975</p><p>1</p><p>2</p><p>4 031</p><p>2</p><p>1, ,</p><p>IV. Encontrando V</p><p>C</p><p>: V V g T V m sC B BC C� � � � � 10 225, / , como</p><p>a bola demora 2s para ir de C para D e de D para C, o tempo</p><p>de queda de C para D será de 1s, pois o tempo de queda é</p><p>o mesmo de subida, logo:</p><p>h V T g T h h mC CD CD2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>10 225 1 5 1 15 225= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ =, ,</p><p>h V T g T h h mC CD CD2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>10 225 1 5 1 15 225= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ =, ,</p><p>Assim, a altura total será: H = 4,03 + 1,2 + 15,225 ⇒</p><p>H m= 20 455,</p><p>05. Teremos:</p><p>B h</p><p>V1,1 m</p><p>A</p><p>I. Como 0,74 s representa o tempo de subida e descida, eles</p><p>devem ser iguais:</p><p>T s S V T</p><p>g</p><p>T V V m sAB AB AB AB� � � � � � � � � � � � �0 37</p><p>2</p><p>11 0 37 5 0 37 4 8232, , , , , /</p><p>T s S V T</p><p>g</p><p>T V V m sAB AB AB AB� � � � � � � � � � � � �0 37</p><p>2</p><p>11 0 37 5 0 37 4 8232, , , , , / .</p><p>II. A altura total será:</p><p>V gh h</p><p>V</p><p>g</p><p>h m� � � � �2</p><p>2</p><p>1163</p><p>2</p><p>,</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>030.481 - 152767/21</p><p>III. Logo, a altura alcançada acima da janela será:</p><p>d h d m� � � �11 0 063, ,</p><p>06. Defi nindo T como o tempo a partir do lançamento da segunda</p><p>bola, teremos:</p><p>1</p><p>2</p><p>V</p><p>1</p><p>, T + 0,2</p><p>V</p><p>2</p><p>, T</p><p>I. Escrevendo as equações horárias:</p><p>S V</p><p>S</p><p>1 0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0 2 5 0 2</p><p>10 5</p><p>= ⋅ + − +</p><p>= ⋅ −</p><p>(T , ) (T , )</p><p>(T) (T)</p><p>II. Queremos</p><p>S S T T</p><p>T T T T T</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>10 5 10 0 2 5 0 2</p><p>10 2 5 2 0 2 10 5</p><p>� � � � � �</p><p>� � � � � � �</p><p>: (T , ) (T , )</p><p>, �� � � �</p><p>� � �</p><p>2 1 8 0 9</p><p>4 951 2</p><p>T T s</p><p>S S m</p><p>, ,</p><p>,</p><p>Resposta: C</p><p>07. Teremos:</p><p>B</p><p>A</p><p>3</p><p>4</p><p>h</p><p>h</p><p>4</p><p>V g</p><p>h</p><p>1 2</p><p>3</p><p>4</p><p>=</p><p>V gh2 2=</p><p>Como de A para B demora 1 s, teremos:</p><p>V V g T gh g</p><p>h</p><p>g t</p><p>T</p><p>h g g</p><p>h</p><p>g</p><p>2 1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2 3</p><p>2</p><p>2</p><p>2 3</p><p>� � � � � � � �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>�( )</p><p>Assim, o tempo total de queda</p><p>será: T</p><p>h</p><p>g</p><p>T s� � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 3</p><p>2</p><p>2 32( )</p><p>T</p><p>h</p><p>g</p><p>T s� � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 3</p><p>2</p><p>2 32( )</p><p>Resposta: B</p><p>08. Dividindo a queda em três partes, teremos:</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>h</p><p>1</p><p>,T</p><p>1</p><p>h</p><p>2</p><p>,T</p><p>2</p><p>h</p><p>3</p><p>,T</p><p>3</p><p>T</p><p>h</p><p>g</p><p>T sTotal Total= ⇒ =</p><p>2</p><p>3 6 , como queremos tempos iguais ⇒</p><p>T</p><p>1</p><p>= T</p><p>2</p><p>= T</p><p>3</p><p>= 6 s. Escrevendo as equações horárias:</p><p>h</p><p>gT</p><p>h m1</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>30= ⇒ =</p><p>h h</p><p>g</p><p>h h m1 2</p><p>1 2</p><p>2</p><p>1 22</p><p>120+ =</p><p>+</p><p>⇒ + =</p><p>(T T )</p><p>h</p><p>1</p><p>+ h</p><p>2</p><p>+ h</p><p>3</p><p>= 270 m</p><p>h</p><p>2</p><p>= 90 m e h</p><p>3</p><p>= 150 m; Logo: h</p><p>1</p><p>= 30 m, h</p><p>2</p><p>= 90 m, h</p><p>3</p><p>= 150 m</p><p>09. O tempo total será o tempo de queda da pedra mais o de subida</p><p>do som:</p><p>T T T</p><p>h</p><p>g</p><p>h</p><p>V</p><p>T T sTotal Total Total= + = + ⇒ =</p><p>⋅</p><p>+ ⇒ =1 2</p><p>2 2 320</p><p>10</p><p>320</p><p>320</p><p>9</p><p>10. Não, pois a primeira bola, ao passar pelo topo do penhasco,</p><p>terá a mesma velocidade a qual foi lançada, que é a mesma da</p><p>segunda bola. Como as duas possuem a mesma velocidade no</p><p>mesmo ponto e a mesma aceleração, chegarão ao chão com</p><p>velocidades iguais.</p><p>VV</p><p>V</p><p>11. Teremos:</p><p>h</p><p>1</p><p>T</p><p>h</p><p>1</p><p>1s</p><p>1V 2gh=</p><p>2V 2g(2h)=</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>Escrevendo a equação horária da velocidade para o trecho BC:</p><p>V V g T gh gh g</p><p>h</p><p>h</p><p>g</p><p>BC</p><p>T sBC</p><p>2 1</p><p>1</p><p>2</p><p>4 2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2 2</p><p>= + ⋅ ⇒ = +</p><p>⇒ − = ⇒ =</p><p>−</p><p>=</p><p>( ) g</p><p>( )</p><p>No trecho AB, teremos:</p><p>T</p><p>h</p><p>g</p><p>T</p><p>h</p><p>T T= ⇒ =</p><p>−</p><p>⇒ =</p><p>−</p><p>⇒ = +</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>( ) ( )</p><p>( ) s</p><p>12. Teremos:</p><p>I. Pelo primeiro lançamento:</p><p>h</p><p>V</p><p>g</p><p>gh V= ⇒ =0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>II. Para o segundo lançamento:</p><p>V gh V V V VF</p><p>V</p><p>F F</p><p>2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>02 2 3 3</p><p>0</p><p>2</p><p>= − ⇒ = ⇒ =( V ) �</p><p>Resposta: D</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>030.481 - 152767/21</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>13. Aos 2 s depois do início da subida do elevador, teremos.</p><p>+</p><p>(elevador)</p><p>2,7 m</p><p>2,4 m/s = V</p><p>2</p><p>Nível de</p><p>Referência</p><p>V</p><p>1</p><p>= 2,4, a</p><p>1</p><p>= 1,2 m/s2 (↑)</p><p>a</p><p>2</p><p>= – 10 m/s2 (↓)</p><p>2 (parafuso)</p><p>V = a ⋅ T ⇒ 2,4 m/s</p><p>1</p><p>S</p><p>I. Escrevendo as equações horárias do espaço, teremos:</p><p>S T T e S T T1</p><p>2</p><p>2</p><p>22 4</p><p>1 2</p><p>2</p><p>2 4 2 7</p><p>10</p><p>2</p><p>= ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅,</p><p>,</p><p>, ,</p><p>II. Queremos que S</p><p>1</p><p>= S</p><p>2</p><p>⇒ 2,7 – 5T2 + 2,4 T = 2,7 T + 0,6 T2</p><p>⇒ T T s2 2 7</p><p>5 6</p><p>0 7= ⇒ ≡</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>III. Encontrando o ponto de encontro:</p><p>S</p><p>1</p><p>= S</p><p>2</p><p>= 2,4 ⋅ 0,7 + 0,6 ⋅ 0,72 = 1.974 m; Veja então que o</p><p>parafuso colidiu com o piso abaixo da posição inicial dele,</p><p>logo seu movimento foi:</p><p>V</p><p>2</p><p>h</p><p>2,7 m 1,974 m</p><p>Teremos que: h</p><p>V</p><p>g</p><p>h m= ⇒ =2</p><p>2</p><p>2</p><p>0 288,</p><p>Assim, seu deslocamento será: ∆S = 2,7 – 1,974 ⇒</p><p>∆S = 0,726 m; e o espaço percorrido será: S = ∆S + 2h ⇒</p><p>S = 1,302 m.</p><p>14. A casa terá a largura constante, então:</p><p>θ θ</p><p>dd</p><p>2</p><p>�����</p><p>S</p><p>g sen(θ)</p><p>A água terá aceleração g sen (θ) e percorrerá S</p><p>d</p><p>=</p><p>2cos ( )θ</p><p>Assim:</p><p>S</p><p>aT</p><p>T</p><p>d</p><p>gsen</p><p>T</p><p>d</p><p>g sen</p><p>T</p><p>d</p><p>g s</p><p>= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>1 2 1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>cos( ) ( ) ( ) cos( )θ θ θ θ een( )</p><p>,</p><p>2θ</p><p>S</p><p>aT</p><p>T</p><p>d</p><p>gsen</p><p>T</p><p>d</p><p>g sen</p><p>T</p><p>d</p><p>g s</p><p>= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>1 2 1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>cos( ) ( ) ( ) cos( )θ θ θ θ een( )</p><p>,</p><p>2θ</p><p>para T</p><p>mín</p><p>, devemos ter</p><p>sen sen sen( ) ( ) ( )m x2 2 1 2 1 2 90 45θ θ θ θ θá ⇒ ≤ ⇒ = ⇒ = ° ⇒ = °</p><p>15. Seja a a aceleração do bloco, teremos: d</p><p>a T</p><p>=</p><p>⋅ 2</p><p>2</p><p>Para 1 s de movimento: d</p><p>a</p><p>1 2</p><p>=</p><p>Para 2 s de movimento: d</p><p>a</p><p>d2 4</p><p>2</p><p>4= ⋅ =</p><p>Para n s de movimento: d n dn = 2 , teremos que: S</p><p>1</p><p>= d</p><p>1</p><p>S</p><p>2</p><p>= d</p><p>2</p><p>– d</p><p>1</p><p>S</p><p>3</p><p>= d</p><p>3</p><p>– d</p><p>2</p><p>; ... ; S</p><p>n</p><p>= d</p><p>n</p><p>– d</p><p>n – 1</p><p>= S</p><p>n</p><p>= (n2 – (n – 1)2)d</p><p>1</p><p>⇒</p><p>S</p><p>n</p><p>= (2n – 1)d</p><p>1</p><p>, logo: S</p><p>n + 1</p><p>= (2n + 1)d</p><p>1</p><p>⇒</p><p>S</p><p>S</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>n11</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>=</p><p>−</p><p>+</p><p>Resposta: C</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIGITADORA: SAMUEL – REVISORA: CAMILLA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: lançamenTo horizonTal e oblíquo</p><p>frente: FísiCa i</p><p>009.435 – 135365/19</p><p>AULAS 16 A 19</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Lançamento Horizontal e Oblíquo</p><p>No estudo desses movimentos será necessário um tratamento</p><p>vetorial das grandezas:</p><p>I. Posição (r</p><p>�</p><p>)</p><p>II. Velocidade (v</p><p>�</p><p>)</p><p>III. Aceleração (a</p><p>�</p><p>)</p><p>Neste curso, daremos ênfase ao estudo de coordenadas</p><p>retangulares, mas é recomendado aos alunos que estudem os outros</p><p>sistemas de coordenadas, pois pode ajudar na solução de alguns</p><p>problemas:</p><p>Assim:</p><p>I. Posição (r</p><p>�</p><p>) : r</p><p>�</p><p>= r</p><p>�</p><p>(t), onde:</p><p>r</p><p>�</p><p>(t) = x(t) · î + y(t) · ĵ (2D)</p><p>II. Velocidade (v</p><p>�</p><p>) : v</p><p>�</p><p>= v</p><p>�</p><p>(t)</p><p>v</p><p>dr</p><p>dt</p><p>v</p><p>dx</p><p>dt</p><p>i</p><p>dy</p><p>dt</p><p>j</p><p>v vx y</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>= → = +</p><p>↓ ↓</p><p>ˆ ˆ ( D)2</p><p>III. Aceleração (a</p><p>�</p><p>) : a</p><p>�</p><p>= a</p><p>�</p><p>(t)</p><p>a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>i</p><p>dv</p><p>dt</p><p>j</p><p>a a</p><p>x y</p><p>x y</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>= ∴ = +</p><p>↓ ↓</p><p>ˆ ˆ ( D)2</p><p>Suponha uma partícula sendo lançada obliquamente de um</p><p>ponto (x</p><p>0</p><p>, y</p><p>0</p><p>) com uma velocidade inicial v</p><p>0</p><p>que forma um ângulo θ</p><p>com a horizontal:</p><p>g</p><p>y</p><p>y</p><p>0</p><p>v</p><p>0</p><p>x</p><p>0</p><p>x</p><p>θ</p><p>Assim, teremos:</p><p>I.</p><p>=</p><p>= +</p><p>= −</p><p>� x</p><p>x y</p><p>y</p><p>a 0</p><p>ˆ ˆ.a a i a j</p><p>a g</p><p>= −</p><p>�</p><p>ˆ.a g j</p><p>II. = θ= +</p><p>↓ ↓</p><p>= θ</p><p>�</p><p>x</p><p>y</p><p>0 0x y</p><p>0 0x y</p><p>.ˆ ˆ. v v cosv v i v j</p><p>.v v senv (t) v (t)</p><p>v</p><p>v sen g</p><p>x</p><p>y</p><p>(t) v . cos (MU)</p><p>(t) v . . t (MUV)</p><p>=</p><p>= −</p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>θ</p><p>θ</p><p>v</p><p>�</p><p>= (v</p><p>0</p><p>· cosθ) î + (v</p><p>0</p><p>· senθ – g · t) · ĵ</p><p>III. r x i y j</p><p>x y</p><p>�</p><p>= +</p><p>↓ ↓</p><p>ˆ . ˆ</p><p>(t) (t)</p><p>x(t) = x</p><p>0</p><p>+ v</p><p>0</p><p>· cosθ · t (MU)</p><p>y(t) = y</p><p>0</p><p>+ v</p><p>0</p><p>· senθ · t − ⋅1</p><p>2</p><p>2g t (MUV)</p><p>Logo:</p><p>r x v t i y v sen t g j</p><p>� � �= +( ) + + −</p><p></p><p></p><p>0 0 0 0</p><p>21</p><p>2</p><p>. cos . . . . t .θ θ</p><p>Conhecendo x(t) e y(t) é possível eliminar o parâmetro t e</p><p>relacionar x e y, obtendo y = y(x), essa expressão é conhecida como</p><p>equação da trajetória.</p><p>Adotando um sistema de coordenadas, onde o lançamento</p><p>ocorre da origem:</p><p>x</p><p>0</p><p>= 0 e y</p><p>0</p><p>= 0, temos:</p><p>x = v</p><p>0</p><p>· cosθ · t → t</p><p>x</p><p>v</p><p>=</p><p>0 . cosθ</p><p>y = v</p><p>0</p><p>· senθ · t – 1</p><p>2</p><p>g · t2</p><p>y v</p><p>x</p><p>v</p><p>g</p><p>x</p><p>v</p><p>= −</p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0 0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>. sen .</p><p>. cos</p><p>.</p><p>. cos</p><p>θ</p><p>θ θ</p><p>y x</p><p>g</p><p>x= −. tg . v . cos</p><p>.θ</p><p>θ2 0</p><p>2 2</p><p>2</p><p>A trajetória é uma parábola.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>009.435 – 135365/19</p><p>Exercícios</p><p>01. Uma bola do alto de uma escada com uma velocidade horizontal</p><p>de módulo igual a 2,0 m/s. Os degraus têm 20 cm de altura e</p><p>20 cm de largura. Qual será o primeiro degrau atingido pela</p><p>bola?</p><p>02. Um corpo é lançado de um ponto da superfície de um plano</p><p>inclinado, normalmente com uma velocidade V</p><p>0</p><p>.</p><p>O ângulo que o plano forma com a horizontal tem seno igual a</p><p>0,8. Quando o corpo volta a se encontrar com o plano inclinado,</p><p>ele o faz em um ponto situado x 100 m do ponto de lançamento.</p><p>Qual a velocidade inicial?</p><p>03. Galileu, em sua obra Diálogo sobre duas novas ciências, afirmou</p><p>que “para elevações (ângulos de lançamento) que difiram</p><p>igualmente de 45º, por um pequeno valor para mais ou para</p><p>menos, os alcances são iguais”. Prove esta afirmativa.</p><p>04. (ITA/1975) Um projétil de massa m é</p><p>60 °</p><p>30 °</p><p>lançado com uma velocidade inicial V</p><p>0</p><p>que forma um ângulo de 60º com a</p><p>horizontal. Em sua volta à Terra, ele incide</p><p>sobre um plano inclinado de 30º com a</p><p>horizontal. O ponto de lançamento do</p><p>projétil e o início do plano inclinado</p><p>coincidem conforme a figura. O choque</p><p>do projétil com o plano é inelástico.</p><p>Após o instante de impacto, o projétil desliza, sem atrito,</p><p>em direção à origem O.</p><p>Qual a velocidade com que ele chega à origem?</p><p>A)</p><p>1</p><p>3</p><p>0V</p><p>B)</p><p>2</p><p>3</p><p>0V</p><p>C)</p><p>2</p><p>3</p><p>0V</p><p>D)</p><p>3</p><p>2</p><p>0V</p><p>E)</p><p>3 2</p><p>2</p><p>0V</p><p>05. De uma torre lança-se, simultaneamente, várias pedras,</p><p>em diversas direções, porém todas com a mesma intensidade de</p><p>velocidade inicial V</p><p>0</p><p>. Em qualquer instante t, antes de atingir o</p><p>solo, todas as pedras estão dispostas sobre a superfície de uma</p><p>esfera, cujo centro ela executa um movimento de queda livre,</p><p>a partir do repouso e iniciado no instante de lançamento das</p><p>pedras o raio da referida esfera é</p><p>A) V</p><p>0</p><p>t</p><p>B)</p><p>9</p><p>2</p><p>2t</p><p>C) V t gt0</p><p>21</p><p>2</p><p>−</p><p>D) V t gt0</p><p>21</p><p>2</p><p>+</p><p>E) indeterminado.</p><p>06. Um projétil é lançado de modo que vá de A para B, que estão</p><p>respectivamente nas bases de dois planos inclinados de ângulos</p><p>α e β, onde tg α = 2 e tg β = 4. Ele ultrapassa ligeiramente</p><p>o obstáculo de altura H D=</p><p>16</p><p>6</p><p>, onde D é a distância entre</p><p>A e B. Sendo θ o ângulo de tiro com a horizontal, determine tg θ.</p><p>HH</p><p>A B</p><p>D</p><p>βα</p><p>07. Na figura a seguir, o canhão aponta em P’ e a bala passa por</p><p>P, 2,0 s após</p><p>o tiro. Qual a distância vertical PP’?</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>P</p><p>P’</p><p>O</p><p>A) 20 m</p><p>B) 15 m</p><p>C) 10 m</p><p>D) 5,0 m</p><p>E) 2,0 m</p><p>08. Uma bola de futebol é chutada com uma velocidade inicial de</p><p>20 m/s e com ângulo de projeção de 45º. O goleiro, colocado</p><p>sobre a linha do gol, a 60 m de distância e na direção do chute,</p><p>parte ao encontro da bola no instante em que ela é lançada.</p><p>Qual deve ser o valor de sua velocidade se ele pretende alcançar</p><p>a bola antes que ela chegue ao solo?</p><p>09. Um rifle atira em um alvo situado a 50 m de distância.</p><p>Se a bala abandona o cano da arma com uma velocidade de</p><p>500 m/s, determine a altura ao ponto, acima do alvo, para o qual</p><p>o rifle deve ser apontado a fim de que a bala atinja o alvo.</p><p>10. Um corpo pequeno desliza com velocidade de 10 m/s por um</p><p>plano horizontal, aproximando-se de um poço. O poço é formado</p><p>por duas paredes verticais situadas a uma distância de 5 cm.</p><p>A velocidade V</p><p>→</p><p>do corpo é perpendicular à parede e a</p><p>profundidade do poço é 20 m. Quantas vezes chocará o corpo</p><p>com a parede antes de cair no fundo?</p><p>11. Dois corpos foram lançados simultaneamente de um mesmo</p><p>ponto: um verticalmente para cima e outro formando um ângulo</p><p>de 30º com a horizontal.</p><p>A velocidade de cada um é 25 m/s. Determine a distância entre</p><p>os corpos no tempo t = 25.</p><p>12. Quando lançado em um ângulo θ</p><p>1</p><p>= 15º com a horizontal,</p><p>um projétil cai a uma distância D</p><p>1</p><p>antes do alvo, enquanto lançado</p><p>em um ângulo θ</p><p>2</p><p>= 45º, ele cai a uma distância D</p><p>2</p><p>depois do alvo.</p><p>Se</p><p>D</p><p>D</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>= , ache o valor de secθ · cossecθ, onde θ é o ângulo em</p><p>que deve ser lançado o projétil para que ele atinja o alvo.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>009.435 – 135365/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>13. Uma bola foi lançada de um ponto P, sobre um carrinho que</p><p>se desloca com velocidade constante V</p><p>0</p><p>, com uma velocidade</p><p>V</p><p>1</p><p>= 10 V</p><p>0</p><p>, relativamente ao carrinho.</p><p>Que aceleração devemos dar ao carrinho a partir de P, para que</p><p>a bola caia sobre ele?</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>V</p><p>1</p><p>45°</p><p>PP</p><p>14. Um corpo é lançado ao longo do plano inclinado AC com</p><p>velocidade VA = 4 10 m/s. Sabendo-se que no ponto C o corpo</p><p>abandona a guia e que a altura BC = 3 m, pede-se que os valores</p><p>de CD e DE, para que o corpo percorra o trecho EF sem sofrer</p><p>impacto sobre este plano.</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>A</p><p>V</p><p>A</p><p>B</p><p>30°</p><p>C D</p><p>E F</p><p>15. Em uma quadra de volei de 18 m de comprimento, com rede de</p><p>2,24 m de altura, uma atleta solitária faz um saque com a bola bem</p><p>em cima da linha de fundo, a 3,0 m de altura, em um ângulo θ</p><p>de 15° com a horizontal, conforme a figura, com trajetória em</p><p>um plano perpendicular à rede. Desprezando o atrito, pode-se</p><p>dizer que, com 12 m/s de velocidade inicial, a bola</p><p>θ</p><p>A) bate na rede.</p><p>B) passa tangenciando a rede.</p><p>C) passa a rede e cai antes da linha de fundo.</p><p>D) passa a rede e cai na linha de fundo.</p><p>E) passa a rede e cai fora da quadra.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>4 * * B A</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* A * * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * * * C</p><p>* 02: 15 m/s</p><p>03: 6 ângulos pedido é 90 – α, basta abrir as contas agora.</p><p>06: tgθ = 18</p><p>08: 5 2 m/s</p><p>09: 572 = altura</p><p>10:</p><p>20</p><p>0 05</p><p>400</p><p>,</p><p>=</p><p>11: d ≅ 625 m</p><p>12: sen θ · cossec θ = 3</p><p>13: a = 10 m/s2</p><p>14: CD m= 5 3</p><p>2</p><p>DE m= 5</p><p>4</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIG.: NAILTON – REV.: LÍCIA</p><p>=</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: Parábola de Segurança</p><p>frente: FíSiCa i</p><p>009.436 – 135366/19</p><p>AULAS 20 A 22</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Parábola de Segurança</p><p>A parábola de segurança é a expressão que delimita a região</p><p>do espaço (dentro do plano de movimento) que um projétil pode</p><p>atingir ao variarmos seu ângulo de lançamento e mantendo o valor</p><p>da velocidade inicial.</p><p>Para determinar essa região, vamos resolver um problema</p><p>simples*:</p><p>* Esse problema é conhecido como problema fundamental da balística</p><p>exterior.</p><p>A. Fonseca, 1977.</p><p>→ Qual deve ser o ângulo de lançamento de um projétil, que é lançado</p><p>com velocidade v</p><p>0</p><p>, para que ele atinja um alvo de coordenadas (x, y)?</p><p>O projétil é lançado do ponto (0, 0).</p><p>v</p><p>0</p><p>x</p><p>Alvo (x,y)</p><p>y</p><p>traj.α = ?</p><p>Para que o alvo seja atingido, é necessário que as coordenadas</p><p>do alvo (x, y) pertençam à trajetória do projétil:</p><p>y x</p><p>g x</p><p>v</p><p>= −. tg</p><p>.</p><p>. cos</p><p>( )α</p><p>α</p><p>2</p><p>0</p><p>2 22</p><p>1</p><p>Assim, nossa variável é a. Para resolver essa equação em a,</p><p>trocamos</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>cos α</p><p>α= +tg :</p><p>y x</p><p>g x</p><p>v</p><p>tg= − +( ). tg</p><p>.</p><p>α α</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>g</p><p>v</p><p>tg x tg y</p><p>g x</p><p>v</p><p>. x . .</p><p>.</p><p>( )</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>22 2</p><p>0 2α α− + + =</p><p>Que é uma equação quadrática em tga:</p><p>A · tg2a + B · tga + C = 0.</p><p>Onde:</p><p>A</p><p>g</p><p>v</p><p>B x</p><p>C y</p><p>g</p><p>v</p><p>=</p><p>= −</p><p>= +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>. x</p><p>. x</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>A solução da equação depende do valor de D(D = B2 – 4 · AC):</p><p>Se</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>> ∴ ∃ ( )</p><p>= ∴ ∃ ( )</p><p>< ∴ ∃</p><p>0 2</p><p>0 1</p><p>0</p><p>1 2α α</p><p>α</p><p>α</p><p>e soluções</p><p>solução</p><p>(não há solução real)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>Assim, para o alvo ser atingível pelo projétil, é preciso D ≥ 0, onde:</p><p>∆</p><p>∆</p><p>= −( ) −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= − +</p><p>x</p><p>g x</p><p>v</p><p>y</p><p>g x</p><p>v</p><p>x</p><p>gx</p><p>v</p><p>y</p><p>g x</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>2 2</p><p>2</p><p>.</p><p>. .</p><p>. . 22</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2 4</p><p>0</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2 2</p><p>0</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>v</p><p>x</p><p>g x y</p><p>v</p><p>g x</p><p>v</p><p>x</p><p>gy</p><p>v</p><p>g x</p><p>v</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= − −</p><p>= − −</p><p></p><p></p><p>∆</p><p>∆</p><p>. .</p><p>.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Para D ≥ 0</p><p>I. 2</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>2 2</p><p>0</p><p>4</p><p>gy</p><p>v</p><p>g x</p><p>v</p><p>− ≥</p><p>y</p><p>v</p><p>g</p><p>g</p><p>v</p><p>≤ − ( )0</p><p>2 2 2</p><p>0</p><p>22 2</p><p>3</p><p>. x</p><p>Região que pode ser atingida por</p><p>um projétil.</p><p>Veja figura:</p><p>y vértice da P.S.</p><p>(0,0)</p><p>Ponto de lançamento</p><p>traj.</p><p>3 traj.</p><p>2</p><p>P.S.</p><p>C</p><p>A</p><p>x</p><p>v</p><p>0</p><p>v</p><p>0</p><p>v</p><p>0</p><p>v</p><p>0</p><p>α</p><p>1</p><p>α</p><p>1</p><p>α</p><p>2</p><p>α</p><p>2</p><p>B</p><p>1</p><p>B</p><p>2</p><p>Veja que qq trajetória tangencia a PS.</p><p>Note que:</p><p>I. Os pontos abaixo da PS podem ser atingidos com dois ângulos de</p><p>lançamento distintos;</p><p>II. Os pontos na PS só podem ser atingidos com um único ângulo de</p><p>lançamento;</p><p>III. os pontos acima da PS jamais podem ser atingidos, a menos que</p><p>se aumente a velocidade de lançamento.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>009.436 – 135366/19</p><p>Exercícios</p><p>01. Um esguicho de bombeiro, na rua, dista 20 m de um edifício em</p><p>chamas. A velocidade da água, ao sair do esguicho, é de 20 m/s.</p><p>Qual é a altura máxima que a água pode atingir no edifício?</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>02. É necessário lançar, da Terra,</p><p>H</p><p>H</p><p>α</p><p>uma bola por cima de uma parede</p><p>vertical de altura H, que se encontra</p><p>a uma distância H. Calcule a menor</p><p>velocidade inicial para isso ser</p><p>possível, bem como o ângulo de</p><p>inclinação, em relação à horizontal,</p><p>da velocidade.</p><p>03. Pode-se lançar do fundo de um poço cilíndrico, de 15 m de</p><p>profundidade, projéteis com velocidade de 20 m/s. Tais projéteis</p><p>são lançados em todas as direções possíveis a partir do centro do</p><p>poço. No entanto, nenhum projétil consegue cair na superfície</p><p>da Terra.</p><p>Determine, então, o diâmetro mínimo do poço.</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>04. Um canhão é ajustado para lançar projéteis com velocidade</p><p>inicial V</p><p>0</p><p>, diretamente para cima, na rampa de uma colina,</p><p>cujo ângulo de elevação é a, como mostra a figura abaixo.</p><p>A que ângulo, no plano horizontal, deveria o canhão estar</p><p>apontando para obter o alcance máximo possível R sobre a</p><p>rampa da colina?</p><p>V</p><p>O</p><p>R</p><p>0</p><p>α</p><p>05. Um canhão antiaéreo atira um projétil com velocidade de</p><p>8,0 × 102 m/s. Um avião inimigo voa a uma altitude de</p><p>1,6 × 104 m. Qual deve ser o ângulo de tiro inicial, supondo-se que</p><p>o canhão abre fogo assim que há uma possibilidade de alcançar</p><p>o avião? Despreze a resistência do ar.</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>06. Voltemos, com este problema, ao século XVII. Um navio corsário</p><p>aproxima-se de um porto, que é protegido por um forte, situado</p><p>a uma altura h acima do mar. Os canhões do forte e do navio são</p><p>idênticos. Se atirassem verticalmente, o projétil subiria até uma</p><p>altura k, com k > h. O forte pode iniciar o combate assim que o</p><p>navio se encontre a uma distância horizontal d</p><p>1</p><p>. O navio pode</p><p>iniciar o combate assim que o forte se encontre a uma distância</p><p>horizontal d</p><p>2</p><p>.</p><p>Mostre que</p><p>d</p><p>d</p><p>k h</p><p>k h</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+</p><p>−</p><p>.</p><p>07. Sob qual ângulo com a horizontal é necessário lançar uma pedra</p><p>de um penhasco, de altura 20 m, com velocidade inicial de 14</p><p>m/s,</p><p>a fim de que a mesma caia a uma maior distância do penhasco?</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>08. Com que velocidade mínima deve ser lançado um corpo de cima</p><p>de uma torre, de altura H, para que ele caia a uma distância H</p><p>do pé da torre?</p><p>09. Duas partículas se movem em um campo de gravidade</p><p>homogênea com aceleração igual a g = 10 m/s2. No momento</p><p>inicial, elas se encontram em um mesmo ponto e suas</p><p>velocidades dirigidas horizontalmente e em sentidos opostos</p><p>(V</p><p>1</p><p>= 2 m/s e V</p><p>2</p><p>= 8 m/s). Ache a distância entre as partículas</p><p>no instante em que os vetores velocidades das mesmas sejam</p><p>simultaneamente perpendiculares.</p><p>10. Explique, matematicamente, por que um projétil atirado de um</p><p>canhão A, no topo de um penhasco de altura H acima da terra,</p><p>pode alcançar um canhão B, localizado na superfície, enquanto</p><p>um projétil atirado de um canhão B, com a mesma velocidade na</p><p>boca do canhão, não é capaz de atingir o canhão A.</p><p>11. Um canhão situado em x = 0 e y = 0 tem um alcance máximo A.</p><p>Sejam q</p><p>1</p><p>e q</p><p>2</p><p>os ângulos de elevação do canhão, a fim</p><p>de que o mesmo consiga atingir o ponto x</p><p>A</p><p>y</p><p>A</p><p>1 1</p><p>2 4</p><p>= =, .</p><p>Determine o valor de tg q</p><p>1</p><p>+ tg q</p><p>2</p><p>.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIG.: NAILTON – REV.: SARAH</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Física I – Aulas 20 a 22</p><p>Gabarito</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11</p><p>– – – – – – – – – – –</p><p>1. Considere a seguinte situação:</p><p>1) Adotando o esguicho como centro de um sistema</p><p>cartesiano (eixos x e y), podemos aplicar a equação da</p><p>P.S, haja vista essa ser responsável por definir máximos</p><p>e mínimos em um lançamento oblíquo.</p><p>Coordenadas do jato no edifício: (20, H)</p><p>2) P.S:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p>2</p><p>20</p><p>02</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>, para : V 20 m/s</p><p>x 20 m</p><p>V g</p><p>y = x</p><p>2g 2 V</p><p>20 10</p><p>y = 20 y =15 m</p><p>2 10 2 20</p><p>Portanto, o esguicho atinge a altura máxima de 15 m.</p><p>2.</p><p>1) Para minimizar a velocidade, a coordenada a ser</p><p>atingida deve pertencer à parábola de segurança (P.S):</p><p>Equação da P.S:</p><p></p><p></p><p></p><p>2 2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>V g x</p><p>y =</p><p>2g 2 V</p><p> Para y = H e x = H (ponto (H, H)):</p><p> </p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>   </p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>  </p><p>22</p><p>24 20</p><p>0 02</p><p>0</p><p>2 22</p><p>0 0</p><p>0</p><p>H</p><p>2 g H gH</p><p>g H < 0 não satisfaz,</p><p>temos: g H 1+ 2</p><p>V g</p><p>H = V V = 0</p><p>2g 2 V</p><p>V = 2 gH Como V</p><p>V</p><p>2) Para que tal fato ocorra deve-se ter:</p><p>  </p><p> </p><p> </p><p></p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p></p><p></p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>1+ 2g HV</p><p>tg = tg</p><p>g x g H</p><p>tg 1+ 2 = tg 1+ 2</p><p>3) Para chegar nessa conclusão:</p><p>Da equação (2) do resumo teórico:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>    </p><p>2</p><p>22</p><p>2 2</p><p>00</p><p>g x</p><p>y +</p><p>2V</p><p>g x</p><p>tg x tg = 0</p><p>2V</p><p>A parábola de segurança decorre do caso em que  = 0.</p><p>Logo: a ⋅ tg</p><p>2</p><p>α + b ⋅ tgα + c = 0</p><p>  :</p><p>  </p><p>    </p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>b b</p><p>tg , como = 0: t g</p><p>2a 2a</p><p>g x</p><p>Da equação 2 a e b = x</p><p>2V</p><p>V</p><p>Daí: tg</p><p>g x</p><p>3.</p><p>1) Esquematicamente:</p><p>Na situação limite, o projétil tangencia a borda do poço</p><p>(x, 15). Logo, esse ponto irá pertencer a P.S:</p><p>Equação da P.S:</p><p></p><p></p><p>2 2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>V g x</p><p>y</p><p>2g 2V</p><p>=</p><p>Para y = 15 m e V0 = 20 m/s, temos:</p><p> </p><p>  </p><p></p><p> </p><p>2 2</p><p>2</p><p>20 10 x</p><p>15 x = 20 m</p><p>2 10 2 20</p><p>=</p><p>2) Cuidado! O valor de x corresponde ao valor do raio do</p><p>poço. Assim:</p><p> mínD 2x D = 40 m=</p><p>4.</p><p>1) Denote R como alcance máximo:</p><p>Para encontrar o alcance máximo basta fazer o ponto P</p><p>pertencer a P.S:</p><p>Equação da P.S:</p><p></p><p></p><p>2 2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>V g x</p><p>y =</p><p>2g 2V</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>2) Aplicando o ponto P na P.S:</p><p>   </p><p> </p><p></p><p>     </p><p>               </p><p> </p><p>    </p><p>  </p><p> </p><p></p><p>   </p><p>        </p><p></p><p> </p><p></p><p>2</p><p>20</p><p>2</p><p>0</p><p>2 4</p><p>2 2 0 0</p><p>2</p><p>4 4 2</p><p>2 20 0 0</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>V V V</p><p>gg g</p><p>2V 2V</p><p>sen</p><p>g g</p><p>V g</p><p>Rsen = Rcos</p><p>2g 2 V</p><p>V V</p><p>R cos 2R sen = 0</p><p>g g</p><p>4 sen 4 cos 2</p><p>1</p><p>Logo, R :</p><p>2cos</p><p>Note que:</p><p>   </p><p> </p><p>   </p><p>    </p><p> </p><p>   </p><p>     </p><p>  </p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>0 0</p><p>1 sen 1 sen</p><p>1 sen2V V 1</p><p>g 1 sen 1 sen g sen</p><p>cos =1 sen =</p><p>R = R =</p><p>2 1+</p><p>3) Para encontrar , como visto no problema 2:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>    </p><p>     </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 2 2</p><p>0 0 0</p><p>2</p><p>0</p><p>V V V 1 g</p><p>= = 1+ sen</p><p>g x g R cos g cos V</p><p>1+sen</p><p>cos</p><p>tg =</p><p>tg =</p><p>Vamos lembrar de algumas relações trigonométricas</p><p>com arco metade:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>    </p><p> </p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p>   </p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2 tg 1 tg</p><p>2 2</p><p>1+ tg1+ tg</p><p>2</p><p>1 tg 1 tg</p><p>2 2</p><p>1 tg 1 tg</p><p>2 2</p><p>sen = e cos =</p><p>Assim: tg tg</p><p></p><p></p><p> </p><p>    </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p> </p><p></p><p> </p><p>1 tg</p><p>2</p><p>Note que:</p><p>2 1 tg</p><p>2</p><p>2</p><p>tg 45 +</p><p>tg tg 45 +</p><p>45 +</p><p>2</p><p>5.</p><p>1) Faça a posição do avião pertencer a P.S:</p><p>Equação da P.S:  </p><p>2</p><p>20</p><p>2</p><p>0</p><p>gV</p><p>y x</p><p>2g 2V</p><p>=</p><p>Para V0 = 800 m/s e y = 1,6 ∙ 10</p><p>4</p><p> </p><p>   </p><p>   </p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p>2</p><p>4 2</p><p>2</p><p>3200</p><p>10</p><p>2</p><p>800 10</p><p>1,6 10 x x 800</p><p>2 8002</p><p>x 3200 m</p><p>=</p><p>Como visto no problema 2 ( para a P.S):</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>  </p><p></p><p>  </p><p> </p><p>22</p><p>10</p><p>2</p><p>3200</p><p>800V</p><p>tg tg</p><p>g x 10 800</p><p>=</p><p>6.</p><p>1) Esquematicamente:</p><p>2) Para descobrir V0 (altura máxima k)</p><p>Torricelli:</p><p>     0 0</p><p>2</p><p>g k = 2gk0 = V 2 V</p><p>3) Para a P.S (1): Forte  Navio:</p><p>y = –h e 0</p><p>2</p><p>V 2g k . Aplicando na P.S:</p><p> </p><p> </p><p>     </p><p>2 2</p><p>1 1</p><p>2g k g</p><p>k+h</p><p>2g 2 2g k</p><p>h = d d 4k</p><p> Para a P.S (2): Navio  Forte</p><p>y = +h e 0</p><p>2</p><p>V 2g k. Aplicando na P.S:</p><p> </p><p> </p><p>      </p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2g k g</p><p>k h</p><p>2g 2 2g k</p><p>h = d d 4k</p><p>Logo:   </p><p></p><p></p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>d k h</p><p>k hd</p><p>7.</p><p>1)</p><p>Aplicando o ponto (x, –20) na P.S, com V0 = 14 m/s, temos:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>14 10 x</p><p>= 1168,16</p><p>2 10 2 14</p><p>20 = x</p><p>2) Como visto no problema 2:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>22</p><p>0 14V 3</p><p>3g x 10 1168,16</p><p>tg = tg</p><p>30º</p><p>8.</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Aplicando o ponto (H, –H) na P.S para minimizar a</p><p>velocidade, temos:</p><p>   </p><p>   </p><p> </p><p></p><p></p><p>   </p><p></p><p>  </p><p>    </p><p>   </p><p>2</p><p>22 4 20</p><p>+2</p><p>0</p><p>224 2</p><p>+</p><p>V g</p><p>H g H0 02g 2V</p><p>g H 2 0 0</p><p>g H 2 10</p><p>H = V 2 V g H = 0</p><p>V 2 V g H + = g H</p><p>V</p><p>Note que a outra solução  0</p><p>2</p><p>V 0 não tem sentido físico.</p><p>9.</p><p>1) Esquematicamente:</p><p>2) Vamos escrever os vetores velocidade adotando o</p><p>ponto inicial como origem:</p><p>       1 2V 2, 10 t e V 8, 10 t</p><p>Sentido adotado:</p><p>Para que 1 2V V basta que o produto escalar seja nulo:</p><p>(–2, –10 t) ⋅ (+8, –10 t) = 0  –16 + 100 t</p><p>2</p><p>= 0  t = 0,4 s</p><p>3) Note que ambas as partículas caem por ação exclusiva</p><p>da gravidade, portanto estão sempre à mesma altura.</p><p>Assim:</p><p>D = Vrelativa ⋅ t = (8 – (–2)) ⋅ (0,4)  D = 4 m</p><p>10. Como visto no problema 6:</p><p> </p><p></p><p>1</p><p>1 2</p><p>2</p><p>k + h</p><p>d > d , h > 0.</p><p>k h</p><p>d</p><p>se</p><p>d</p><p>Assim, existe um intervalo de distâncias em que o canhão</p><p>do alto do penhasco (d1) consegue atingir o canhão da</p><p>superfície, sendo que a volta não é verdadeira.</p><p>Tal intervalo está compreendido entre d1 e d2.</p><p>11.</p><p>1) Sabemos que o alcance máximo é dado por:</p><p> </p><p>2</p><p>20</p><p>máx 0</p><p>V</p><p>A V Ag</p><p>g</p><p>2) Usando a equação (2) do resumo teórico:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>   </p><p>2</p><p>22</p><p>2 2</p><p>00</p><p>g x</p><p>2V</p><p>g x</p><p>tg x tg y + = 0</p><p>2V</p><p>Sendo α o ângulo de lançamento para o ponto</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>A A</p><p>,</p><p>2 4</p><p>,</p><p>teremos duas soluções: tg1 e tg2. Pelas relações de</p><p>Girard, sabemos que:</p><p> </p><p>:</p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p>   </p><p></p><p> </p><p></p><p>   </p><p></p><p>2</p><p>0</p><p>1 2 2</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>1 2 1 2</p><p>x 2V</p><p>g xg x</p><p>2V</p><p>A</p><p>2</p><p>2 Ag</p><p>= 4</p><p>A</p><p>g</p><p>2</p><p>tg tg</p><p>2</p><p>Com V Ag e x =</p><p>tg tg tg tg</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIG.: Zilmar – REV.: ALLANA</p><p>2 m/s 8 m/s</p><p>10 m/s</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: leis de NewToN i</p><p>frente: FísiCa i</p><p>009.446 – 135373/19</p><p>AULAS 23 A 25</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Isaac Newton publicou estas leis em 1687, no seu livro intitulado</p><p>Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Estas três leis descrevem o</p><p>comportamento dos corpos em movimento ou em repouso. A primeira</p><p>lei é conhecida como princípio da Inércia, a segunda lei é conhecida</p><p>como princípio fundamental da dinâmica e a terceira lei como princípio</p><p>da ação e reação. Seus enunciados “originais” traduzidos para nosso</p><p>idioma ficam assim:</p><p>• Lei I: Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de</p><p>movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado</p><p>a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele.</p><p>• Lei II: A mudança de movimento é proporcional à força motora</p><p>imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela</p><p>força é aplicada.</p><p>• Lei III: A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual</p><p>intensidade: as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são</p><p>sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos.</p><p>A segunda lei é a que tem formulação matemática que irá</p><p>nos interessar. Para um corpo de massa m constante sobre a ação</p><p>de diversas forças Fk</p><p>��</p><p>que fica submetido a uma aceleração a</p><p>�</p><p>, ela se</p><p>expressa da seguinte forma:</p><p>ma Fk</p><p>� ��</p><p>= ∑</p><p>Dessa forma, para ser possível determinar a aceleração de</p><p>corpos através dessa equação se faz importante conhecer as forças</p><p>que podem atuar nos corpos. As mais comuns certamente serão:</p><p>• Peso</p><p>• Normal</p><p>• Tração ou Tensão</p><p>• Atrito</p><p>Para cada uma dessas forças, devemos conhecer :</p><p>• Origem</p><p>• Valor ou intensidade</p><p>• Como atua</p><p>• Reação</p><p>Lembrando que não iremos aprender sobre todas essas forças</p><p>nesta aula. A força de atrito, em virtude de suas particularidades, terá</p><p>uma atenção especial e será discutida em uma aula mais a frente.</p><p>Exercícios</p><p>01. (IME/65) Qual o peso (aparente) de um corpo de massa 1,0 kg,</p><p>medido no interior de um elevador que sobe com aceleração de</p><p>intensidade igual a um quinto da intensidade da aceleração da</p><p>gravidade local? (g = 10 m/s2)</p><p>02. (ITA/82) O plano inclinado da figura a seguir tem massa M e sobre</p><p>ele se apoia um objeto de massa m. O ângulo de inclinação é</p><p>α e não há atrito entre o plano inclinado e objeto e nem entre</p><p>o plano inclinado e o apoio horizontal. Aplica-se uma força F</p><p>horizontal ao plano inclinado e constata-se que o sistema todo</p><p>move-se horizontalmente sem que o objeto deslize em relação</p><p>ao plano inclinado. Podemos afirmar que, sendo g a aceleração</p><p>da gravidade local:</p><p>α</p><p>m</p><p>M</p><p>F</p><p>A) F = mg.</p><p>B) F = (m + M)g.</p><p>C) F tem que ser infinitamente grande.</p><p>D) F = (M + m) g tg α.</p><p>E) F = Mg sen α.</p><p>03. Sobre a plataforma de um elevador de massa m = 5 kg, encontra-se</p><p>um rapaz de massa m = 20 kg. Uma corda que está amarrada</p><p>no elevador passa por uma roldana e vem às mãos do rapaz.</p><p>A corda e a roldana são ideais.</p><p>O rapaz puxa a corda e sobe junto com o elevador com aceleração</p><p>constante a = 2 m/s2.</p><p>Calcule, em newton, a força exercida pelo rapaz sobre a</p><p>plataforma.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>009.446 – 135373/19</p><p>04. No esquema da figura, tem-se o sistema locomovendo-se</p><p>horizontalmente, sob a ação de F</p><p>�</p><p>. A polia tem peso desprezível, o</p><p>fio que passa pela mesma é ideal e a resistência do ar é desprezível.</p><p>Sendo m</p><p>A</p><p>= 10,0 kg, m</p><p>B</p><p>= 6,00 kg e m</p><p>C</p><p>= 144 kg e g = 10 m/s2,</p><p>determine a intensidade de F</p><p>�</p><p>que fazem com que não haja</p><p>movimento dos dois corpos A e B em relação à C.</p><p>A</p><p>B</p><p>α</p><p>05. Sendo desprezíveis os atritos entre o bloco (m = 1,0 kg) e a cunha</p><p>(M = 2,0 kg) por um lado, e entre a cunha e o plano inclinado por</p><p>outro lado, qual é a aceleração do bloco? (g = 10,0 m/s2)</p><p>45°</p><p>06. (UFC/63) Sobre um plano horizontal sem atrito repousam dois corpos</p><p>A e B (M</p><p>A</p><p>= 3 kg e M</p><p>B</p><p>= 5 kg). Que aceleração se deve imprimir à</p><p>roldana para que a aceleração do corpo A seja 2 m/s2?</p><p>Despreze a massa da roldana.</p><p>B</p><p>A</p><p>07. (ITA/88) Uma pessoa de massa m</p><p>1</p><p>encontra-se no interior de um</p><p>elevador de massa m</p><p>2</p><p>. Quando na ascensão, o sistema encontra-se</p><p>submetido a uma força de intensidade F resultante, e o assoalho</p><p>do elevador atua sobre a pessoa com uma força de contato dada</p><p>por:</p><p>A)</p><p>m F</p><p>m m</p><p>m g1</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>+ B)</p><p>m m</p><p>m</p><p>F F1 2</p><p>2</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>C)</p><p>m F</p><p>m m</p><p>m g1</p><p>1 2</p><p>1+</p><p>+ D)</p><p>m F</p><p>m m</p><p>2</p><p>1 2+</p><p>E) F</p><p>08. (ITA/84) Os dois blocos da figura estão dependurados, ligados</p><p>por uma corrente de 1,0 kg. Inicialmente, eles estão mantidos em</p><p>repouso através de uma força aplicada ao bloco superior. Num</p><p>dado instante, esta força passa a ter um valor de 72 N. Podemos</p><p>afirmar que após 0,50 s:</p><p>2,0 kg</p><p>3,0 kg</p><p>1,0 kg</p><p>F = 72 N</p><p>A) Os blocos se moveram para cima numa distância de 0,25 m e</p><p>a tensão no elo superior da corrente é de 36 N.</p><p>B) Os blocos se moveram para cima numa distância de 0,25 m e</p><p>a tensão no elo superior da corrente é de 30 N.</p><p>C) Os blocos se moveram para baixo numa distância de 0,50 m e</p><p>a tensão no elo superior da corrente é de 36 N.</p><p>D) Os blocos se moveram para cima numa distância de 0,50 m e</p><p>a tensão no elo superior da corrente é de 36 N.</p><p>E) n.r.a.</p><p>09. (ITA/80) No sistema dinâmico representado abaixo, são desprezíveis</p><p>todos os atritos e o peso do fio que liga os blocos A e B. Calcular</p><p>a tensão do fio, sendo m a massa de cada bloco e g a intensidade</p><p>da aceleração da gravidade.</p><p>A</p><p>B</p><p>α</p><p>A) T</p><p>mg</p><p>sen= +( )</p><p>2</p><p>1 α B) T mg</p><p>sen</p><p>sen</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>2α</p><p>α</p><p>C) T = mg D) T = mg sen α</p><p>E) T = mg tg α</p><p>10. No sistema representado na figura, a polia tem massa desprezível</p><p>e está acelerada para cima. Sendo m</p><p>1</p><p>= 0,1 kg e m</p><p>2</p><p>= 0,2 kg,</p><p>observa-se que a massa m</p><p>2</p><p>permanece parada no laboratório.</p><p>Qual o valor da aceleração da polia? (g = 10,0 m/s2)</p><p>m</p><p>1</p><p>a</p><p>m</p><p>2</p><p>11. Uma corda longa e leve passa por uma polia sem atrito e de massa</p><p>desprezível, e suporta em suas extremidades massas de 30 kg e</p><p>40 kg.</p><p>A polia move-se para cima de modo que a massa de 40 kg</p><p>permanece parada em relação à Terra.</p><p>40 g</p><p>30 g</p><p>U</p><p>Qual a aceleração da outra massa e a tensão na corda?</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>009.446 – 135373/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>12. Calcular a aceleração do sistema e as tensões nas extremidades</p><p>da corda, sendo dados:</p><p>F = 250 N; m</p><p>1</p><p>= 5 kg</p><p>m</p><p>3</p><p>= 7 kg; m</p><p>2</p><p>= 0,5 kg</p><p>F</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>3</p><p>13. A figura mostra um certo carro de massa M em movimento</p><p>sobre um plano horizontal, sob a ação de uma força constante F</p><p>�</p><p>.</p><p>Determine o valor de F, para que os carros de massas m</p><p>1</p><p>e m</p><p>2</p><p>permaneçam parados em relação ao carro de massa M, durante</p><p>o movimento. O atrito é desprezível. O fio e a roldana são ideais.</p><p>F</p><p>M</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>14. O sistema mostrado na figura está em equilíbrio e em repouso.</p><p>A corda é sem massa e inextensível e a mola é sem massa.</p><p>A aceleração das massas 2 m e m logo após a corda ser cortada</p><p>será</p><p>2 m</p><p>m</p><p>A) g</p><p>2</p><p>para cima, g para baixo.</p><p>B) g para cima, g</p><p>2</p><p>para baixo.</p><p>C) g para cima, 2g para baixo.</p><p>D) 2g para cima, g para baixo.</p><p>15. Uma corda de massa negligenciável passando por cima de uma</p><p>roldana de massa m suporta um bloco de massa M como mostrado</p><p>na figura. A força na polia exercida pela braçadeira é dada por</p><p>m</p><p>M</p><p>A) 2 Mg B) 2 mg</p><p>C) ( )M m m g+ +2 2 D) ( )M m M g+ +2 2</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* D * * *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* C A A *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * * A D</p><p>Resoluções</p><p>01.</p><p>m</p><p>m = 1 kg</p><p>a =</p><p>g</p><p>5</p><p>No referencial de quem está dentro do elevador ocorre uma</p><p>aceleração −( )�a oriunda da mudança de referencial:</p><p>� � �</p><p>g g aap = + −( )</p><p>g</p><p>g</p><p>ap</p><p>a−</p><p>Logo:</p><p>g g</p><p>g</p><p>gap = + = ⋅</p><p>5</p><p>6</p><p>5</p><p>, para g = 10 m/s2 ∴ g</p><p>ap</p><p>= 12 m/s2</p><p>Logo:</p><p>P</p><p>aparente</p><p>= 12 N</p><p>02.</p><p>I. Como o objeto não desliza em relação ao plano, os dois corpos</p><p>têm a mesma aceleração;</p><p>II. Escrevendo as forças pertinentes:</p><p>α</p><p>α</p><p>m</p><p>N</p><p>mg</p><p>N</p><p>M</p><p>F</p><p>a</p><p>Como ambos se movem com uma única aceleração,</p><p>comportam-se como um único corpo. Logo:</p><p>m M a F a</p><p>m M</p><p>F</p><p>+( ) ⋅ = ⇒ =</p><p>+( )</p><p>;</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>009.446 – 135373/19</p><p>III. No corpo de massa m:</p><p>y N mg</p><p>x N m a</p><p>tg</p><p>g</p><p>a</p><p>F M m g tg</p><p>( ) =</p><p>( ) = ⋅</p><p>= ⇒</p><p>⇒ = +( ) ⋅ ⋅</p><p>: cos</p><p>: sen</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>1</p><p>Resposta: D</p><p>03. Note que a força exercida pelo rapaz é interna ao sistema</p><p>elevador + rapaz, portanto não pode alterar o momento linear do</p><p>sistema. Desse modo, a figura não permite solução.</p><p>04.</p><p>I. Diagrama de forças:</p><p>F</p><p>C</p><p>A</p><p>T T</p><p>T</p><p>T</p><p>B</p><p>a</p><p>Como não há movimento relativo entre A e B e o corpo C,</p><p>todos têm a mesma aceleração. Assim, comportam-se como</p><p>único corpo:</p><p>F m m m a a</p><p>F F</p><p>A B C= + +( ) ⋅ ⇒ =</p><p>+ +</p><p>=</p><p>10 6 144 160</p><p>II. No corpo A:</p><p>T = m</p><p>A</p><p>· a = 10a</p><p>No corpo B:</p><p>B a</p><p>T</p><p>α</p><p>m</p><p>B</p><p>·g</p><p>(x): T cos α = m</p><p>B</p><p>· a</p><p>(y): T sen α = m</p><p>B</p><p>· g</p><p>⇒ a = g cotg α</p><p>No eixo (x) novamente:</p><p>T · cos α = m</p><p>B</p><p>· a ⇒ (10)a · cos α = 6 · a ⇒ cos .α =</p><p>3</p><p>5</p><p>Assim,</p><p>cotg ,α = ⇒ = ⋅ </p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>10</p><p>3</p><p>4</p><p>7 5a m/s2</p><p>Por fim:</p><p>F = 160 a ∴ F = 1200 N</p><p>05.</p><p>I. Diagrama de forças:</p><p>A</p><p>a</p><p>A</p><p>N</p><p>A,B</p><p>N</p><p>A,B</p><p>a</p><p>B</p><p>N</p><p>45º</p><p>B</p><p>m</p><p>A</p><p>g</p><p>m</p><p>A</p><p>= 1 kg</p><p>m</p><p>B</p><p>= 2 kg</p><p>m</p><p>B</p><p>g</p><p>Note que no bloco A só atuam forças verticais, portanto seu</p><p>movimento é vertical.</p><p>II. No bloco A:</p><p>m</p><p>A</p><p>· a</p><p>A</p><p>= m</p><p>A</p><p>g – N</p><p>A,B</p><p>⇒ a</p><p>A</p><p>= 10 – N</p><p>A,B</p><p>No bloco B:</p><p>(m</p><p>B</p><p>g + N</p><p>A,B</p><p>) · sen 45° = a</p><p>B</p><p>· m</p><p>B</p><p>Vínculo geométrico:</p><p>Como há contato entre A e B, ambos têm a mesma aceleração</p><p>vertical, caso contrário o bloco a “voaria”. Assim:</p><p>a</p><p>A</p><p>45º</p><p>a</p><p>B</p><p>sen</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>sen</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>A45</p><p>45</p><p>° = ⇒ =</p><p>°</p><p>Por fim:</p><p>a</p><p>m a</p><p>sen</p><p>m g a</p><p>a</p><p>sen</p><p>a</p><p>A</p><p>B B</p><p>B A</p><p>A</p><p>A</p><p>= −</p><p>°</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⇒ = − ⋅</p><p>°</p><p>− ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p>⇒10</p><p>45</p><p>10 2</p><p>45</p><p>2 10</p><p>2</p><p>== 6 m/s2</p><p>06.</p><p>I. Diagrama de forças:</p><p>B</p><p>T</p><p>T</p><p>T</p><p>T</p><p>A</p><p>a</p><p>B</p><p>a</p><p>A</p><p>a</p><p>P</p><p>+</p><p>SENTIDO</p><p>ADOTADO</p><p>Vínculo geométrico:</p><p>O tamanho da corda é constante, a aceleração ao longo da corda</p><p>deve ser nula:</p><p>a</p><p>A</p><p>+ a</p><p>B</p><p>+ 2(–a</p><p>P</p><p>) = 0</p><p>No corpo A:</p><p>• m</p><p>A</p><p>· a</p><p>A</p><p>= T ⇒ m</p><p>A</p><p>· a</p><p>A</p><p>= m</p><p>B</p><p>· a</p><p>B</p><p>No corpo B:</p><p>•	 m</p><p>B</p><p>· a</p><p>B</p><p>= T ⇒ 3 · 2 = 5 · a</p><p>B</p><p>⇒ a</p><p>B</p><p>= 1,2 m/s2</p><p>Substituindo no vínculo:</p><p>(2) + (1,2) + 2(–a</p><p>P</p><p>) = 0 ⇒ a</p><p>P</p><p>= +1,6 m/s2</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>009.446 – 135373/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>07. Ambos os corpos (elevador + pessoa) sobem com a mesma</p><p>aceleração, ou seja, atuam como um único corpo. Assim:</p><p>F</p><p>m</p><p>1</p><p>N</p><p>m</p><p>1</p><p>g</p><p>a</p><p>m</p><p>L</p><p>(i): (m</p><p>1</p><p>+ m</p><p>L</p><p>) · a = F (sistema)</p><p>(ii): N – m</p><p>1</p><p>g = m</p><p>1</p><p>· a (pessoa)</p><p>N</p><p>m F</p><p>m m</p><p>m g=</p><p>+</p><p>+1</p><p>1 2</p><p>1</p><p>Resposta: C</p><p>08.</p><p>I. Diagrama de forças:</p><p>F = 72 N</p><p>30 N</p><p>3 kg</p><p>T</p><p>1</p><p>a</p><p>10 N</p><p>T</p><p>1</p><p>T</p><p>2</p><p>20 N</p><p>2 kg</p><p>T</p><p>2</p><p>Como a corrente está tensionada, os 3 corpos movem-se com</p><p>a mesma aceleração, ou seja, atuam como um único corpo.</p><p>Assim:</p><p>F – (3 + 2 + 1) · g = (3 + 2 + 1) · a ⇒</p><p>⇒ 72 – 60 = 6 · a ⇒ a = m/s2</p><p>II. No bloco de 3 kg:</p><p>72 30 3 361</p><p>2</p><p>1− − = ⋅ ⇒ =T a T N</p><p>�</p><p>III. Distância que o sistema subiu:</p><p>y v t a t= + ⋅ ⋅0</p><p>21</p><p>2</p><p>; para v</p><p>0</p><p>= 0, a = 2 e t = 0,5</p><p>y m= ⋅ ⋅ ( ) =</p><p>1</p><p>2</p><p>2 0 5 0 25</p><p>2</p><p>, ,</p><p>Resposta: A</p><p>09.</p><p>I. Diagrama de forças:</p><p>A</p><p>α</p><p>T</p><p>a</p><p>a</p><p>mg</p><p>m</p><p>B</p><p>g cos α m</p><p>B g sen α</p><p>T N</p><p>Vínculo geométrico:</p><p>Ambos os blocos têm a mesma aceleração, pois o fio não estica.</p><p>Corpo A: mg – T = m · a ⛔</p><p>Corpo B: T – mg sen α = m · a</p><p>2T – mg – mg sen α = 0</p><p>⇒ = +( )T</p><p>mg</p><p>sen</p><p>2</p><p>1 α</p><p>Resposta: A</p><p>10.</p><p>I. Diagrama de forças:</p><p>a</p><p>T</p><p>T</p><p>a</p><p>1</p><p>a</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>1</p><p>g</p><p>m</p><p>2</p><p>g</p><p>m</p><p>2</p><p>Como m</p><p>2</p><p>está em repouso:</p><p>T = m</p><p>2</p><p>· g = 0,2 · 10 = 2 N</p><p>No bloco 1:</p><p>T – m</p><p>1</p><p>g = m</p><p>1</p><p>· a</p><p>1</p><p>⇒		2 – 0,1 · 10 = 0,1 · a</p><p>1</p><p>⇒		a</p><p>1</p><p>= 10 m/s</p><p>Vínculo geométrico (fio inextensível):</p><p>2 51</p><p>10</p><p>2</p><p>0</p><p>2⋅ = + ⇒ =a a a a� � m/s</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>009.446 – 135373/19</p><p>11.</p><p>I. Diagrama de forças:</p><p>40 kg</p><p>400 N</p><p>300 N</p><p>30 kg</p><p>T</p><p>a</p><p>T</p><p>U</p><p>i. Como o bloco de 40 kg está em repouso:</p><p>T = 400 N</p><p>ii. Para o corpo de 30 kg:</p><p>T – 300 = 30 · a ⇒	100 = 30 · a ⇒	 a = 10</p><p>3</p><p>m/s2</p><p>12.</p><p>I. Diagrama de forças:</p><p>m</p><p>1</p><p>T</p><p>1</p><p>T</p><p>2</p><p>T</p><p>2</p><p>T</p><p>1</p><p>m</p><p>1</p><p>g</p><p>m</p><p>2</p><p>g</p><p>m</p><p>3</p><p>g</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>3</p><p>a F</p><p>i. Como a corda está tensionada, os 3 corpos comportam-se</p><p>como um único corpo, pois os 3 possuem a mesma aceleração.</p><p>F – (m</p><p>1</p><p>+ m</p><p>2</p><p>+ m</p><p>3</p><p>) · g = (m</p><p>1</p><p>+ m</p><p>2</p><p>+ m</p><p>3</p><p>) · a ⇒</p><p>⇒		250 – (5 + 0,5 + 7) · 10 = (5 + 0,5 + 7) · a ⇒</p><p>⇒		a = 10 m/s2</p><p>ii. No bloco m</p><p>1</p><p>:</p><p>F – m</p><p>1</p><p>g · T</p><p>1</p><p>= m</p><p>1</p><p>· a ⇒</p><p>⇒		250 – 5 · 10 – T</p><p>1</p><p>= 5 · 10 ⇒</p><p>⇒		T</p><p>1</p><p>= 150 N</p><p>iii. No bloco m</p><p>3</p><p>:</p><p>T</p><p>2</p><p>– m</p><p>3</p><p>g = m</p><p>3</p><p>· a ⇒</p><p>⇒		T</p><p>2</p><p>– 7 · 10 = 7 · 10 ⇒</p><p>⇒		T</p><p>2</p><p>= 140 N</p><p>13.</p><p>I. Como os carros não terão movimento relativo ao carro de massa</p><p>M, o sistema (m</p><p>1</p><p>+ m</p><p>2</p><p>+ M) comporta-se como um único corpo.</p><p>II. Diagrama de forças:</p><p>T</p><p>M</p><p>T</p><p>F</p><p>a</p><p>m</p><p>2</p><p>g</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>i. (m</p><p>1</p><p>+ m</p><p>2</p><p>+ M) · a = F</p><p>a</p><p>F</p><p>m m M</p><p>=</p><p>+ +1 2</p><p>Logo: F = a · (m</p><p>1</p><p>+ m</p><p>2</p><p>+ M)</p><p>ii. Como m</p><p>2</p><p>e M não têm movimento relativo, m</p><p>2</p><p>não tem</p><p>aceleração vertical. Assim:</p><p>T = m</p><p>2</p><p>· g</p><p>iii. No bloco m</p><p>1</p><p>:</p><p>m</p><p>1</p><p>· a = T ⇒ a · m</p><p>1</p><p>= m</p><p>2</p><p>· g ∴ a</p><p>m</p><p>m</p><p>g= ⋅2</p><p>1</p><p>Por fim:</p><p>F</p><p>m</p><p>m</p><p>m m M g= ⋅ + +( )2</p><p>1</p><p>1 2</p><p>14.</p><p>I. Diagrama de forças:</p><p>2m</p><p>2mg</p><p>mg</p><p>Kx</p><p>T</p><p>T</p><p>m</p><p>i. No início, o sistema está em equilíbrio:</p><p>Corpo m: T = mg</p><p>Corpo 2m: kx = 2mg + T ∴ kx = 3 mg</p><p>ii. Ao cortar a corda a tração (T) zera, contudo a força elástica</p><p>não, pois não houve tempo suficiente da mola alterar seu</p><p>comprimento. Assim,</p><p>O bloco m cai em queda livre (a = g)</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>009.446 – 135373/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Bloco 2m:</p><p>2m</p><p>2mg</p><p>a Kx</p><p>2 2</p><p>3 2</p><p>2</p><p>2</p><p>m a kx mg</p><p>a</p><p>mg mg</p><p>m</p><p>a</p><p>g</p><p>⋅ = − ⇒</p><p>= − ∴</p><p>= ⋅ ↑( )</p><p>Resposta: A</p><p>15.</p><p>I. Diagrama de forças:</p><p>M</p><p>Mg</p><p>mg</p><p>T</p><p>T</p><p>N</p><p>T</p><p>i. No bloco M em equilíbrio:</p><p>T = Mg</p><p>ii. Na roldana em equilíbrio:</p><p>T + mg</p><p>T</p><p>N</p><p>N2 = (T + mg)2 + T2</p><p>Para T = Mg, temos:</p><p>N M m M g= +( ) + ⋅2 2</p><p>Resposta: D</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIG.: GEORGENES – 24/01/19 – REV.: LÍCIA / ALLANA</p><p>Anotações</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: leis de NewToN</p><p>frente: FísiCa i</p><p>AULAS 26 E 27</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Leis de Newton</p><p>A Primeira Lei é conhecida como Princípio da Inércia;</p><p>a Segunda Lei, como Princípio da Ação Total ou Princípio Fundamental</p><p>da Dinâmica; e a Terceira Lei, como Princípio da Ação e Reação.</p><p>Conhecer essas Leis e seus enunciados é fundamental para uma boa</p><p>compreensão da Dinâmica.</p><p>Vamos agora discutir um pouco a 2ª Lei: dada uma partícula de</p><p>massa m e velocidade v</p><p>�</p><p>, em relação a um referencial inercial, definimos</p><p>o momento linear p</p><p>�</p><p>como:</p><p>p mv</p><p>� �</p><p>=</p><p>Agora, imagine essa partícula sob a ação de várias forças:</p><p>F</p><p>�</p><p>1</p><p>F</p><p>�</p><p>2</p><p>F</p><p>�</p><p>3</p><p>R</p><p>�</p><p>�</p><p>Fn</p><p>É possível trocar todas as forças que atuam por uma única</p><p>força que terá o mesmo efeito de todas. Essa força será chamada de</p><p>Força Resultante R</p><p>�( ) ou Ação Total, onde:</p><p>R Fi</p><p>i</p><p>N� �</p><p>=</p><p>=</p><p>∑</p><p>1</p><p>A Segunda Lei de Newton nos permite escrever:</p><p>F</p><p>dp</p><p>dti</p><p>N �</p><p>�</p><p>1</p><p>1=</p><p>∑ = , onde p mv</p><p>� �</p><p>= ,</p><p>onde ainda: R</p><p>dp</p><p>dt</p><p>�</p><p>�</p><p>= , para chegarmos na expressão conhecida nos livros</p><p>de ensino médio, faremos:</p><p>dp</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>mv</p><p>dm</p><p>dt</p><p>v m</p><p>dv</p><p>dt</p><p>v m a</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>= ( ) = + ⋅ = ⋅ + ⋅· µ</p><p>taxa de</p><p>variação de</p><p>massa (m)</p><p>aceleração</p><p>a</p><p>�( )</p><p>Logo: R v m a</p><p>� � �</p><p>= ⋅ + ⋅µ ,</p><p>se m = cte⇒ = =</p><p>dm</p><p>dt</p><p>µ 0, logo,</p><p>a Segunda Lei fica na forma</p><p>R m a</p><p>� �</p><p>= ⋅</p><p>Em trajetos retos, costuma-se decompor essa expressão em:</p><p>F m a</p><p>F m a</p><p>F m a</p><p>F m a</p><p>x x</p><p>y y</p><p>z z</p><p>� �</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>= ⋅</p><p>= ⋅</p><p>= ⋅</p><p>= ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Com essas equações, conhecendo-se as forças que agem sobre</p><p>uma partícula de massa m, é possível obter sua aceleração.</p><p>Exercícios</p><p>01. Um avião reboca um planador A, que, por sua vez, reboca um</p><p>planador B, idêntico ao primeiro. Quando o comboio está a</p><p>uma velocidade constante em trajetória retilínea horizontal,</p><p>a tração no cabo que interliga o avião ao planador A é T.</p><p>Em um dado instante, o avião adquire um movimento acelerado,</p><p>com aceleração a, mantendo a trajetória retilínea. Sendo m a</p><p>massa de cada planador, determine a força de tração no cabo que</p><p>interliga o avião ao planador A no instante em que o movimento</p><p>passa de uniforme para acelerado.</p><p>A)</p><p>T</p><p>2</p><p>+ ma</p><p>B) T + ma</p><p>C) 2T + ma</p><p>D) 2t + 2ma</p><p>E) T + 2ma</p><p>2F B O N L I N E . C</p><p>O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>02. O sistema mostrado na figura está em equilíbrio e em repouso.</p><p>A corda é sem massa e inextensível e a mola é sem massa. A</p><p>aceleração das massas 2 m e m logo após a corda ser cortada será</p><p>A)</p><p>g</p><p>2</p><p>para cima, g para baixo.</p><p>B) g para cima, g</p><p>2</p><p>para baixo.</p><p>C) g para cima, 2g para baixo.</p><p>D) 2g para cima, g para baixo.</p><p>• Questões de números 03 a 05.</p><p>Três forças de direções constantes são aplicadas a um</p><p>ponto material de massa m = 2,0 kg, formando os ângulos da figura I,</p><p>todos iguais entre si.</p><p>Essas forças variam linearmente com o tempo na forma</p><p>indicada no figura II.</p><p>Os sentidos indicados na figura I são considerados os sentidos</p><p>positivos das forças.</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>2</p><p>F</p><p>3</p><p>120°</p><p>120°</p><p>120°</p><p>Figura I</p><p>F</p><p>1 F</p><p>2</p><p>F</p><p>3</p><p>F(N)</p><p>2,0</p><p>4,0 t(s)</p><p>–2,0</p><p>Figura II</p><p>03. No instante t = 4,0 s, a intensidade da resultante das forças vale:</p><p>A) 6,0 N B) 4,0 N</p><p>C) 2,0 N D) 0 N</p><p>E) 3,0 N</p><p>04. A intensidade da aceleração do ponto material para t = 0, vale:</p><p>A) 0 m/s2</p><p>B) 3 2m/s</p><p>C)</p><p>2</p><p>2</p><p>2m/s</p><p>D) 2,0 m/s2</p><p>E) 3,0 m/s2</p><p>05. Verifique qual a opção correta.</p><p>A) A resultante das forças é um vetor constante.</p><p>B) A aceleração do ponto material nunca se anula.</p><p>C) A resultante das forças tem direção constante.</p><p>D) Para t = 4,0 s, a velocidade do ponto material é nula.</p><p>E) Nenhuma das afirmações anteriores é correta.</p><p>06. Determinar a massa necessária ao bloco A para que o bloco B,</p><p>partindo do repouso, suba 0,75 m ao longo do plano inclinado</p><p>liso, em um tempo t = 2,0 s.</p><p>Desprezar as massas das polias e dos tirantes e as resistências</p><p>passivas ao movimento. A massa do bloco B vale 5,0 kg e a</p><p>aceleração da gravidade deve ser considerada igual a 10 m/s2.</p><p>A</p><p>B</p><p>60º</p><p>07. Três corpos A, B e C, com massas respectivamente iguais</p><p>a 4,0 kg, 6,0 kg e 8,0 kg, acham-se apoiados sobre uma</p><p>superfície horizontal, sem atrito. Estes corpos acham-se</p><p>ligados por intermédio de molas de massas desprezíveis e</p><p>são abandonados a partir da posição indicada na figura,</p><p>quando as tensões nas molas AB e BC forem respectivamente</p><p>1,00 · 10 N e 1,50 · 10 N. Pode-se afirmar que as acelerações</p><p>a</p><p>AB</p><p>(do sistema constituído pelos corpos A e B) e a (do sistema</p><p>constituído pelos corpos A, B e C) serão dadas por:</p><p>60°</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>A) a</p><p>AB</p><p>= 1,75 m/s2, a = 0,97 m/s2</p><p>B) a</p><p>AB</p><p>= 1,5 m/s2, a = 0</p><p>C) a</p><p>AB</p><p>= 1,0 m/s2, a = 0,81 m/s2</p><p>D) a</p><p>AB</p><p>= 1,75 m/s2, a = 0,81 m/s2</p><p>E) a</p><p>AB</p><p>= 1,0 m/s2, a = 0,97 m/s2</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>000.000 – 000000/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>08. Na figura, os pesos da polia, do fio e da mola são desprezíveis</p><p>e g = 10 m/s2. Sendo as massas de A e B m</p><p>A</p><p>= 40 kg e</p><p>m</p><p>B</p><p>= 24 kg, a deformação da mola 50 cm e a intensidade de F</p><p>�</p><p>= 720 N, determinar:</p><p>A B</p><p>F</p><p>Balança</p><p>A) a constante elástica da mola.</p><p>B) o módulo das acelerações de A, de B e do eixo da polia.</p><p>C) a indicação da balança sobre a qual repousam, inicialmente,</p><p>os dois blocos.</p><p>09. Em uma cunha, que forma um ângulo α com o plano horizontal,</p><p>colocaram o corpo A. Que aceleração é preciso transmitir à cunha,</p><p>na direção horizontal, para que o corpo caia livremente na vertical?</p><p>A</p><p>α</p><p>10. A corda vista na figura é homogênea e</p><p>inextensível, perfeitamente lisa e flexível,</p><p>tem 120 cm de compr imento e,</p><p>inicialmente, está com 5 cm pendentes.</p><p>Desprezando qualquer atrito, calcule, em</p><p>cm, o comprimento de parte pendente no</p><p>momento em que a aceleração da corda</p><p>for igual a 2 m/s2. Considere g = 10 m/s2.</p><p>11. Um corpo de massa m está suspenso a uma corda flexível de</p><p>diâmetro D. A extremidade superior dessa corda prende-se a uma</p><p>polia de garganta estreita e profunda, de modo que cada volta da</p><p>corda se sobreponha perfeitamente à anterior. A polia gira com</p><p>velocidade angular constante ω. Desprezando o peso da corda,</p><p>calcule a intensidade da força tensora na mesma.</p><p>12. Um carro de passeio tem, no teto, um pêndulo suspenso com</p><p>massa m. Determine o ângulo α que o fio forma com a vertical</p><p>e a força tensora T no fio, em cada um dos seguintes casos:</p><p>A) Em linha horizontal, o carro com aceleração a</p><p>�</p><p>.</p><p>B) Em linha inclinada θ, o carro desce livremente.</p><p>C) Em linha inclinada θ, o carro é animado de aceleração</p><p>a</p><p>�</p><p>: para cima, a > 0; para baixo, a < 0.</p><p>13. Sobre um plano horizontal, sem atrito, repousam dois corpos A e B</p><p>(M</p><p>A</p><p>= 3 kg e M</p><p>B</p><p>= 5 kg). Que aceleração se deve imprimir à roldana</p><p>para que a aceleração do corpo A seja 2 m/s2?</p><p>Despreze a massa da roldana.</p><p>B</p><p>A</p><p>14. Um menino de massa 3M ocorre em direção à parte superior</p><p>de uma tábua imóvel de massa M, que se encontra num plano</p><p>inclinado de 30º. Não existe atrito entre a tábua e o plano.</p><p>Determine o espaço percorrido pelo menino no intervalo de tempo</p><p>em que sua velocidade passou de 4 m/s para 2 m/s.</p><p>30º</p><p>Tábua</p><p>15. Um bloco homogêneo de massa m apoia-se sobre um sólido</p><p>prismático de massa M = 9,5 m. Não há atrito em nenhum contato.</p><p>Sabendo-se que, no instante inicial, o plano inclinado e o bloco</p><p>estão em equilíbrio, determine a aceleração do prisma. (g = 10</p><p>m/s2)</p><p>m</p><p>45°</p><p>M</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– – D B E</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* B * * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * * * *</p><p>*06. 13,72 kg</p><p>08. A) 1440 N B) a</p><p>A</p><p>= 0, a</p><p>B</p><p>= 5 m/s2, a</p><p>p</p><p>= 2,5 m/s2 C) 40 N</p><p>09.</p><p>g</p><p>tgα</p><p>10. 24 cm</p><p>11. T m g</p><p>D</p><p>= +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ω</p><p>π</p><p>2</p><p>2</p><p>12. A) arctg</p><p>a</p><p>g</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>B) θ C) θ</p><p>θ</p><p>θ</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>arc tg</p><p>gsen a</p><p>gcos</p><p>13. 1,6 m/s2</p><p>14. 0,9 m</p><p>15. 0,5 m/s2</p><p>– Demonstração.</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: leis de NewToN</p><p>frente: FísiCa i</p><p>AULAS 28 E 29</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Exercícios</p><p>01. (ITA/76) No sistema esquematizado, são desprezíveis o atrito, o</p><p>momento de inércia da roldana e a massa do fio que liga as massas</p><p>m</p><p>1</p><p>e m</p><p>2</p><p>. Sabe-se que m</p><p>1</p><p>> m</p><p>2</p><p>e que a aceleração da gravidade</p><p>local é g.</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>A tensão T do fio e a aceleração a</p><p>�</p><p>da massa m</p><p>1</p><p>são,</p><p>respectivamente, dadas por:</p><p>A) T =</p><p>2 1 2</p><p>1 2</p><p>m m g</p><p>m m</p><p>⋅ ⋅</p><p>+</p><p>a =</p><p>( )m m g</p><p>m m</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>− ⋅</p><p>+</p><p>B) T =</p><p>m m g</p><p>m m</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>⋅ ⋅</p><p>+</p><p>a =</p><p>( )m m g</p><p>m m</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>− ⋅</p><p>+</p><p>C) T = (m</p><p>1</p><p>– m</p><p>2</p><p>)g</p><p>a =</p><p>( )m m g</p><p>m m</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>− ⋅</p><p>+</p><p>D) T = (m</p><p>1</p><p>– m</p><p>2</p><p>)g</p><p>a =</p><p>( )m m g</p><p>m</p><p>1 2</p><p>1</p><p>− ⋅</p><p>E) T = (m</p><p>1</p><p>+ m</p><p>2</p><p>)g</p><p>a =</p><p>( )m m g</p><p>m</p><p>1 2</p><p>1</p><p>+ ⋅</p><p>02. O sistema da figura abaixo funciona num local onde g = 17 m/s2</p><p>(aceleração da gravidade). Temos que:</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>3</p><p>m</p><p>1</p><p>= 3 kg</p><p>m</p><p>2</p><p>= 1 kg</p><p>m</p><p>3</p><p>= 2 kg</p><p>Determine em relação à roldana fixa a:</p><p>A) aceleração de m</p><p>1</p><p>(sobe ou desce).</p><p>B) aceleração de m</p><p>2</p><p>(sobe ou desce).</p><p>C) aceleração de m</p><p>3</p><p>(sobe ou desce).</p><p>03. Uma corda é colocada em duas roldanas fixas e em seus extremos</p><p>colocam-se pratos com pesos P = 30 N em cada um. Na corda</p><p>existe um dinamômetro D. Que peso P</p><p>1</p><p>deve adicionar-se a um dos</p><p>pratos, para que a leitura do dinamômetro não varie, logo após</p><p>ter-se tirado do outro prato um peso P</p><p>2</p><p>= 10 N?</p><p>Observação: Desprezando as massas dos pratos, das roldanas,</p><p>da corda e do dinamômetro.</p><p>D</p><p>04. Sejam a</p><p>1</p><p>e a</p><p>2</p><p>as acelerações das massas m</p><p>1</p><p>e m</p><p>2</p><p>, respectivamente.</p><p>Se g = 10 m/s2, determine o valor de a</p><p>1</p><p>e a</p><p>2</p><p>. Considere as roldanas</p><p>e os fios como sendo ideais.</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>05. O sistema da figura serve para estudar as leis do movimento</p><p>uniformemente variado. Ele consta de duas massas iguais</p><p>M, unidas por um fio ideal que passa por uma polia fixa.</p><p>No instante inicial, o peso da esquerda toca o solo e o da direita</p><p>está a uma altura H = 6 m deste. Sobre o peso da direita se coloca</p><p>uma massa M e o sistema começa a mover-se. Quando o peso da</p><p>direita se encontra a uma altura h = 3 m do solo, a massa adicional</p><p>da direita engancha em um suporte fixo, ficando nele. Determine</p><p>o tempo necessário para o peso da direita chegar ao solo.</p><p>M</p><p>M</p><p>h</p><p>H</p><p>M</p><p>06. No sistema ao lado, a bola 1 tem massa</p><p>L</p><p>2</p><p>1</p><p>igual à massa da barra 2. O comprimento da</p><p>barra é 3 m. As massas das polias e dos fios,</p><p>assim como os atritos, são desprezíveis.</p><p>Inicialmente, a bola se estabelece a um</p><p>mesmo nível com o extremo inferior da barra.</p><p>Determine o tempo necessário para que a</p><p>bola fique no mesmo nível de extremo</p><p>superior da barra. (g = 10 m/s2)</p><p>07. No sistema, a massa do corpo 1 é quatro vezes a massa do corpo</p><p>2. A altura h = 20 cm. A massa das polias e dos fios, assim como</p><p>o atrito, são desprezíveis. Em certo momento, o corpo 2 se solta</p><p>e o sistema se põe em movimento. Determine a altura máxima</p><p>que subirá o corpo 2.</p><p>1</p><p>h</p><p>2</p><p>08. Um avião reboca um planador A, que, por sua vez, reboca um</p><p>planador B, idêntico ao primeiro. Quando o comboio está a uma</p><p>velocidade constante em trajetória retilínea horizontal, a tração no</p><p>cabo que interliga o avião ao planador A é T. Num dado instante</p><p>o avião adquire um movimento acelerado, com aceleração a,</p><p>mantendo a trajetória retilínea. Sendo m a massa de cada planador,</p><p>determinar a força de tração no cabo que interliga o avião ao</p><p>planador A no instante em que o movimento passa de uniforme</p><p>para acelerado.</p><p>A) T/2 + ma</p><p>B) T + ma</p><p>C) 2T + ma</p><p>D) 2T + 2ma</p><p>E) T + 2ma</p><p>09. Determinar a massa necessária ao bloco A para que o bloco B,</p><p>partindo do repouso, suba 0,75 m ao longo do plano inclinado</p><p>liso, em um tempo t = 2,0 s. Desprezar as massas das polias e dos</p><p>tirantes e as resistências passivas ao movimento. A massa do bloco</p><p>B vale 5,0 kg e a aceleração da gravidade deve ser considerada</p><p>igual a 10 m/s2.</p><p>10. O sistema mostrado na figura está em equilíbrio e em repouso.</p><p>A corda é sem massa e inextensível e a mola é sem massa. A</p><p>aceleração das massas 2m e m logo após a corda ser cortada será:</p><p>A) g/2 para cima e g para baixo</p><p>B) g para cima e g/2 para baixo</p><p>C) g para cima e 2g para baixo</p><p>D) 2g para cima e g para baixo</p><p>E) g para cima e g para baixo</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>11. O sistema da figura abaixo funciona em um local onde g = 17 m/s2</p><p>(aceleração da gravidade). Temos que:</p><p>m</p><p>1</p><p>= 3 kg</p><p>m</p><p>2</p><p>= 1 kg</p><p>m</p><p>3</p><p>= 2 kg</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>3</p><p>Determine, em relação à roldana fixa, a:</p><p>A) aceleração de m</p><p>1</p><p>(sobe ou desce).</p><p>B) aceleração de m</p><p>2</p><p>(sobe ou desce).</p><p>C) aceleração de m</p><p>3</p><p>(sobe ou desce).</p><p>12. Um sistema consiste de duas roldanas com eixos fixos e uma</p><p>roldana móvel. Através das roldanas, coloca-se uma corda nos</p><p>extremos da qual foram penduradas as massas m</p><p>1</p><p>= 1 kg e</p><p>m</p><p>3</p><p>= 3 kg, e no eixo da roldana móvel 1 pendurou-se uma massa</p><p>m</p><p>2</p><p>= 2 kg. Determine o módulo e o sentido da aceleração da</p><p>massa m</p><p>2</p><p>.</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>3</p><p>m</p><p>2</p><p>13. Determine a tensão de cordas nas quais estão pendurados os</p><p>pesos, cujas massas são m</p><p>1</p><p>, m</p><p>2</p><p>, m</p><p>3</p><p>, m</p><p>4</p><p>, m</p><p>5</p><p>, m</p><p>6</p><p>, m</p><p>7</p><p>e m</p><p>8</p><p>.</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>3</p><p>m</p><p>4</p><p>m</p><p>5</p><p>m</p><p>6</p><p>m</p><p>7</p><p>m</p><p>8</p><p>14. Determine o valor</p><p>g</p><p>a4</p><p>, sendo a</p><p>4</p><p>a aceleração da massa m</p><p>4</p><p>e g a</p><p>aceleração da gravidade, os fios e as roldanas são ideais.</p><p>m</p><p>1</p><p>= 6 kg</p><p>m</p><p>3</p><p>= 3 kg</p><p>m</p><p>2</p><p>= 3 kgm</p><p>1</p><p>= 1 kg</p><p>15. No sistema ao lado, não há atritos e m</p><p>1</p><p>= 2m</p><p>0</p><p>, m</p><p>2</p><p>= m</p><p>0</p><p>. Os fios</p><p>e as polias são ideais. Determine a aceleração do corpo de massa</p><p>m</p><p>1</p><p>m</p><p>2</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>A * * * *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* * – * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * * * *</p><p>02. a</p><p>1</p><p>= 1 m/s2 (desce), a</p><p>2</p><p>= 7 m/s2 (sobe), a</p><p>3</p><p>= 5 m/s2 (desce)</p><p>03. 30 N</p><p>04. a</p><p>1</p><p>= a</p><p>2</p><p>= g</p><p>05.</p><p>6</p><p>2</p><p>3</p><p>H h</p><p>g</p><p>h</p><p>g H h</p><p>−( )</p><p>+</p><p>−( )</p><p>06. 1, 4 s</p><p>07. 60 cm</p><p>09. �t</p><p>H L M m</p><p>M m g</p><p>�</p><p>�� � �� �</p><p>�� �</p><p>2</p><p>cos�</p><p>10. A) a = 5 m/s2 B) T = 30 N</p><p>11. 15 s</p><p>12. 16 m/s</p><p>13. 6 s</p><p>14. Aproximadamente 3 s.</p><p>15. 13h36min</p><p>– Demonstração</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: Força de aTriTo</p><p>frente: FísiCa i</p><p>AULAS 30 A 32</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução</p><p>A força de atrito receberá uma atenção especial, pois ela possui</p><p>algumas particularidades. Primeiramente, ela pode ser de diversas</p><p>“naturezas”: de desligamento (nosso interesse), de rolamento, de</p><p>pivotamento, de cordas.</p><p>Nossa discussão aqui irá se deter ao atrito de desligamento,</p><p>que poderá ser de 2 tipos: estático (fat</p><p>E</p><p>) e dinâmico ou cinético (fat</p><p>C</p><p>).</p><p>Na literatura mais especializada, fala-se em algumas “leis</p><p>gerais” do atrito, que não são exatas, mas podem ser aplicadas dentro</p><p>de alguns limites, fazendo com que essas “leis” estejam mais para</p><p>“orientações”, cuja finalidade é simplificar e coordenar o estudo sobre</p><p>o problema do atrito de deslizamento.</p><p>Essa “leis gerais” são:</p><p>1. O atrito é proporcional à resultante das ações normais entre</p><p>as superfícies de contato.</p><p>2. O atrito independe da área das superfícies em contato.</p><p>3. O atrito é independente das velocidades relativas dos</p><p>corpos.</p><p>4. O atrito estático é geralmente maior que o atrito cinético.</p><p>É importante perceber que a força de atrito e a força normal</p><p>são, na verdade, duas componentes de uma mesma força: a força</p><p>exercida pela superfície no bloco.</p><p>Veja a figura.</p><p>F</p><p>sup</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>θ</p><p>Note que: � � �</p><p>F F F</p><p>onde</p><p>F Atrito fat</p><p>F Normal N</p><p>sup / /</p><p>/ /</p><p>= +</p><p>→ ( )</p><p>→ ( )</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>Ainda podemos escrever que:</p><p>tg</p><p>F</p><p>F</p><p>ou tg</p><p>fat</p><p>N</p><p>θ θ= =/ /</p><p>1</p><p>Perceba que, assim, a relação de proporcionalidade entre o</p><p>atrito e a normal é a tangente de um ângulo conhecido como ângulo</p><p>de atrito, e está de acordo com a 1ª lei do atrito.</p><p>No caso do atrito cinético (quando há movimento relativo entre</p><p>as superfícies em contato), esse ângulo pode ser considerado constante</p><p>e sua tangente será chamada de coeficiente de atrito cinético (µ</p><p>c</p><p>), logo:</p><p>tg</p><p>fat</p><p>N</p><p>fat N</p><p>C C</p><p>C</p><p>C C</p><p>θ µ µ</p><p>µ</p><p>= → =</p><p>= ⋅</p><p>No caso do atrito estático (quando não há movimento relativo</p><p>entre as superfícies em contato), esse ângulo é variável, podendo ir de</p><p>zero até um valor máximo (θ</p><p>máx</p><p>), nesse caso, a tangente de θ</p><p>máx</p><p>será</p><p>chamada de coeficiente de atrito estático (µ</p><p>E</p><p>),</p><p>logo: tg m</p><p>fat</p><p>N</p><p>fat N</p><p>E</p><p>E</p><p>E E E</p><p>θ µ θ θ</p><p>µ µ</p><p>m x m x, as tg tgá á= ≤</p><p>≤ → ≤ ⋅</p><p>Essa última expressão mostra que o valor do atrito estático só</p><p>é conhecido quando ele atinge seu valor máximo (atrito de destaque),</p><p>onde fat NE Em xá</p><p>= ⋅µ , assumindo esse valor quando o corpo está na</p><p>iminência de deslizar, nos demais casos, o valor do atrito estático se</p><p>ajusta à solicitação externa de movimento, valor esse justamente</p><p>necessário para manter o equilíbrio (em relação à superfície).</p><p>Exercícios</p><p>01. Na figura abaixo, os dois blocos A e B têm massas iguais. O menor</p><p>valor dos coeficientes de atrito estático entre o plano inclinado de α</p><p>e o bloco B, para que o sistema não escorregue, é:</p><p>A</p><p>B</p><p>α</p><p>A) 1− sen α</p><p>αcos</p><p>B)</p><p>1− cos α</p><p>αsen</p><p>C) tg α</p><p>D) cotg α</p><p>E) cossec α</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>02. Dois corpos de massas iguais a 4 kg são colocados sobre um</p><p>plano inclinado cujo ângulo de inclinação é 60º. O coeficiente de</p><p>atrito do corpo superior é µ</p><p>1</p><p>= 0,1 e do corpo inferior e µ</p><p>2</p><p>= 1.</p><p>Determine o valor da força de interação entre os corpos, quando</p><p>ambos deslizam juntos pelo plano inclinado.</p><p>03. Um móvel se desloca com movimento retilíneo e uniforme sobre</p><p>uma superfície horizontal, sob a ação de uma força de intensidade</p><p>30 N, paralela ao plano. Quando a intensidade da força é</p><p>duplicada, o móvel adquire aceleração de intensidade igual a</p><p>2,0 m · s–2.</p><p>Sendo g = 10 m · s–2 e supondo que o coeficiente de atrito cinético</p><p>entre o corpo e a superfície seja constante, o seu valor é:</p><p>A) 0,25</p><p>B) 0,20</p><p>C) 0,28</p><p>D) 0,15</p><p>E) 0,32</p><p>04. Considere um automóvel com tração dianteira movendo-se</p><p>aceleradamente para a frente. As rodas dianteiras e traseiras</p><p>sofrem forças de atrito respectivamente para:</p><p>A) frente e frente.</p><p>B) frente e trás.</p><p>C) trás e frente.</p><p>D) trás e trás.</p><p>E) frente e não sofrem atrito.</p><p>05. Um bloco de massa m escorrega em uma calha cujos bordos</p><p>formam ângulos de 90º. Se o coeficiente de atrito cinético entre</p><p>o bloco e o material que constitui a calha é µ</p><p>C</p><p>, determine a</p><p>aceleração do bloco.</p><p>06. Um bloco de 1,0 kg está sobre outro de 4,0kg, que</p><p>repousa sobre uma mesa lisa. Os coeficientes de atrito</p><p>estático e cinemático entre os blocos valem 0,60 e 0,40.</p><p>A força F aplicada ao bloco de 4,0 kg é de 25N</p><p>��</p><p>e a aceleração da</p><p>gravidade no local é aproximadamente igual a 10 m/s2. A força</p><p>de atrito que atua sobre o bloco de 4,0 kg tem a intensidade de:</p><p>1,0 kg</p><p>F = 25 N</p><p>4,0 kg</p><p>A) 5,0 N</p><p>B) 4,0 N</p><p>C) 3,0 N</p><p>D) 2,0 N</p><p>E) 1,0 N</p><p>07. A figura a seguir representa uma mesa horizontal, de coeficiente de atrito</p><p>cinético µ</p><p>1</p><p>, sobre a qual se apoia o bloco de massa M</p><p>2</p><p>. Sobre ele está</p><p>apoiado o objeto de massa m, sendo µ o coeficiente de atrito cinético</p><p>entre eles. M</p><p>2</p><p>e m estão ligados por cabos horizontais esticados, de</p><p>massas desprezíveis, que passam por uma roldana de massa desprezível.</p><p>Desprezando-se a resistência do ar e o atrito nas roldanas, podemos</p><p>afirmar que m se deslocará com velocidade constante em relação a um</p><p>observador fixo na mesa de M</p><p>1</p><p>se for tal que:</p><p>m</p><p>M</p><p>2</p><p>M</p><p>1</p><p>A) M</p><p>1</p><p>= µm B) M</p><p>1</p><p>= µ</p><p>1</p><p>(M</p><p>2</p><p>+ m) + 2µm</p><p>C) M</p><p>1</p><p>= µ</p><p>1</p><p>M</p><p>2</p><p>+ µm D) M</p><p>1</p><p>= 2µm + 2µ1(M</p><p>2</p><p>+ m)</p><p>E) M</p><p>1</p><p>= µ</p><p>1</p><p>(M</p><p>2</p><p>+ m)</p><p>08. Uma fina corrente metálica se encontra parcialmente dependurada</p><p>de uma mesa, como mostra a figura. Se o coeficiente de atrito</p><p>estático entre a corrente e a mesa for µ, qual é a fração mínima</p><p>do comprimento da corrente que deve ser mantida sobre a mesa</p><p>para que a corrente não escorregue?</p><p>A)</p><p>1</p><p>1µ +( )</p><p>B)</p><p>µ</p><p>µ +( )1</p><p>C)</p><p>µ</p><p>µ1−( ) D)</p><p>1</p><p>1−( )µ</p><p>E)</p><p>1</p><p>1</p><p>−( )</p><p>+( )</p><p>µ</p><p>µ</p><p>09. Um indivíduo de massa m = 50 kg está sobre uma balança de</p><p>mola, a qual está fixa em um carrinho B, que desce por uma</p><p>rampa sem atrito, como mostra a figura. São dados g = 10 m/s–2 e</p><p>sen θ = 0,20. Determine a marcação da balança dividida por dez,</p><p>supondo seu mostrador calibrado em Newtons.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>10. Um bloco de massa m é lançado de baixo para cima, ao longo de</p><p>um plano inclinado.</p><p>O coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco é</p><p>µ</p><p>C</p><p>= 0,5 e o ângulo de inclinação do plano, θ = 45º, é suficiente</p><p>para permitir o deslizamento do bloco de volta ao ponto de</p><p>lançamento. Sendo t</p><p>S</p><p>o tempo de subida e t</p><p>d</p><p>o tempo de descida</p><p>do bloco, tem-se a seguinte relação:</p><p>v</p><p>µ</p><p>C</p><p>m</p><p>θ</p><p>A)</p><p>t</p><p>t</p><p>d</p><p>s</p><p>= 1 B)</p><p>t</p><p>t</p><p>d</p><p>s</p><p>= 3</p><p>C)</p><p>t</p><p>t</p><p>d</p><p>s</p><p>= 3 D)</p><p>t</p><p>t</p><p>d</p><p>s</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>E)</p><p>t</p><p>t</p><p>d</p><p>s</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>11. Um bloco de peso P repousa sobre uma superfície horizontal.</p><p>O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é µ.</p><p>Empurra-se o bloco com uma força F, que forma um ângulo θ</p><p>com a horizontal. Estabeleça uma expressão para o ângulo θ</p><p>além do qual não é possível mover o bloco, por maior que seja</p><p>o valor de F.</p><p>y</p><p>F</p><p>x</p><p>θ</p><p>12. De um ponto O, através de canais situados num plano vertical,</p><p>que formam diferentes ângulos com a vertical, simultaneamente</p><p>começam a deslizar grãos de areia.</p><p>O lugar geométrico dos pontos, nos quais se encontram os grãos</p><p>de areia, é uma circunferência com centro que varia de posição</p><p>com o tempo T.</p><p>Se o coeficiente de atrito entre um grão e o canal é µ, o raio da</p><p>circunferência no tempo T é:</p><p>A) R =</p><p>gt2</p><p>4</p><p>∝</p><p>B) R = gt2 · µ2</p><p>C) R = gt2</p><p>2</p><p>4</p><p>1 + µ</p><p>D) R = gt2 1 2+ µ</p><p>E) R =</p><p>gt2</p><p>2</p><p>4</p><p>1 +( )µ</p><p>13. Duas cargas com massas M</p><p>1</p><p>e M</p><p>2</p><p>estão ligadas através de uma</p><p>corda que passa por uma roldana. Os planos, nos quais se</p><p>encontram as cargas, formam, com o plano horizontal, ângulos</p><p>α e β. A carga da direita encontra-se em um nível inferior à carga</p><p>da esquerda, em uma grandeza igual a H metros. Decorrido 1 s,</p><p>depois de iniciado o movimento, ambas as cargas encontram-se</p><p>à mesma altura. Os coeficientes de atrito são iguais a µ (entre as</p><p>cargas e os planos).</p><p>α β</p><p>H m</p><p>2</p><p>m</p><p>1</p><p>Determine o valor da relação</p><p>M</p><p>M</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>14. Um pequeno corpo A começa a deslizar a partir do vértice de</p><p>uma cunha de base L. O coeficiente de atrito entre o corpo e a</p><p>superfície da cunha é µ =</p><p>1</p><p>3</p><p>. Determine o valor de α para que</p><p>o tempo de deslizamento seja o mínimo.</p><p>A</p><p>L</p><p>α</p><p>15. Em um plano inclinado, que forma um ângulo α com a horizontal,</p><p>arrasta-se através de um fio, à velocidade constante para cima,</p><p>um corpo de massa m.</p><p>T</p><p>α</p><p>α</p><p>O coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é µ = 1. Determine</p><p>o valor de β que deve formar o fio com o plano inclinado, a fim</p><p>de que a tensão no mesmo seja mínima.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>Resolução</p><p>01 02 03 04 05</p><p>A * B B *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>A B * * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* C * * *</p><p>02. 8,8 N</p><p>05. a g sen� �� �� � �2 cos</p><p>08. f =</p><p>+</p><p>1</p><p>1 µ</p><p>09. Resolução com o professor.</p><p>10.</p><p>t</p><p>t</p><p>d</p><p>s</p><p>= 3</p><p>11. θ = 90 – arc tg(µ)</p><p>13.</p><p>m</p><p>m</p><p>H g sen sen sen</p><p>g sen sen sen</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>+ + +</p><p>+ − −</p><p>( )( cos )</p><p>( )( cos )</p><p>α β β µ β</p><p>α β α µ α HH</p><p>14. α</p><p>π</p><p>=</p><p>3</p><p>15. β = 45º</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: leis de NewToN (TrajeTórias CirCulares)</p><p>frente: FísiCa i</p><p>AULAS 33 A 36</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução</p><p>Na verdade, iremos estudar um caso particular dessa situação,</p><p>que envolve trajetórias planas e circulares, pois o estudo do movimento</p><p>curvo geral está fora do objetivo deste curso.</p><p>Vamos retomar a 2ª Lei de Newton para partículas de massa</p><p>constante:</p><p>F m a</p><p>todas</p><p>� �</p><p>= ⋅</p><p>( )</p><p>∑</p><p>Em trajetórias retas, era imediata a decomposição dessa</p><p>equação nos eixos coordenados:</p><p>∑ ⋅ = ⋅</p><p>∑ ⋅ = ⋅ ( )Fx m a</p><p>Fy m a</p><p>caso Dx</p><p>y</p><p>2</p><p>Agora imagine esse mesmo estudo ao longo da trajetória</p><p>circular:</p><p>v</p><p>t</p><p>c</p><p>traj.0</p><p>Partícula</p><p>(m)</p><p>A cada instante do movimento, é possível definir 2 eixos: central</p><p>(c) e tangencial (t), onde o eixo central obviamente sempre passa pelo</p><p>centro e o eixo tangencial é sempre tangente à trajetória. Isso posto,</p><p>fica imediato que a velocidade da partícula sempre estará na direção</p><p>do eixo tangente.</p><p>É possível decompor as forças que atuam nessa partícula de</p><p>massa m nos eixos (t) e (c), tornando a 2ª Lei em:</p><p>F m a</p><p>F m a</p><p>F m aTodas</p><p>g</p><p>t</p><p>centro</p><p>C</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>= ⋅</p><p>= ⋅</p><p>= ⋅</p><p>tan .</p><p>onde</p><p>� �</p><p>a e at C são as componentes tangente e central (ou centrípeta)</p><p>da aceleração. Assim, podemos escrever:</p><p>a R onde</p><p>d</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>e</p><p>a a</p><p>v</p><p>R ou</p><p>R</p><p>t</p><p>C cp</p><p>= ⋅ = =</p><p>= =</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>α α ω θ</p><p>ω</p><p>,</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>Da mesma força que a aceleração foi decomposta nos</p><p>eixos (t) e (c), isso também pode ser feito com a força resultante R</p><p>�</p><p>, originando</p><p>R</p><p>�</p><p>(força resultante tangencial) e R</p><p>�</p><p>força resultante central ou</p><p>centrípeta), assim, podemos escrever:</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>R F m a</p><p>R F m a</p><p>t</p><p>tang</p><p>t</p><p>C</p><p>centro</p><p>C</p><p>= = ⋅</p><p>= = ⋅</p><p>( )</p><p>( )</p><p>∑</p><p>∑</p><p>Obs1: É muito comum se referir à força resultante central ou centrípeta</p><p>apenas por força centrípeta (F</p><p>CP</p><p>).</p><p>Obs2: Não confundir força centrípeta com força centrífuga, são</p><p>conceitos bem diferentes.</p><p>A força centrípeta (F</p><p>cp</p><p>) é uma componente da força resultante,</p><p>já a força centrífuga (F</p><p>cp</p><p>) é uma força inercial, observada apenas por</p><p>referenciais acelerados (nesse caso, referenciais sob rotação).</p><p>Exercícios</p><p>01. No esquema, representamos uma partícula de massa 1,0 kg em</p><p>trajetória circular de centro C e raio R = 2 m. Em um instante t</p><p>0</p><p>a partícula passa pelo ponto A e está submetida à ação exclusiva</p><p>das forças</p><p>� � �</p><p>F e F1 2 3, F .</p><p>São dados: F</p><p>1</p><p>= 20 N; F</p><p>2</p><p>= 15 N; F</p><p>3</p><p>= 17 N; cos θ = sen α = 4</p><p>3</p><p>.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>θ</p><p>α</p><p>A</p><p>C</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>2</p><p>F</p><p>3</p><p>A velocidade da partícula, no ponto, vale:</p><p>A) 8 m/s</p><p>B) 4 m/s</p><p>C) 16 m/s</p><p>D) zero</p><p>02. Em uma pista inclinada de θ em relação à horizontal, um carro</p><p>de massa 900 kg descreve uma curva horizontal de raio 40 3</p><p>(mostrada em corte na figura), com velocidade constante de</p><p>72 km/h. Sabendo-se que o veículo não tem nenhuma tendência</p><p>de derrapar, responda às questões.</p><p>θ</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>A) Qual o valor de θ?</p><p>B) O que acontece com o carro se suas rodas passarem sobre uma</p><p>mancha de óleo na pista?</p><p>03. A esfera de massa M da figura, presa ao ponto P por um fio de</p><p>massa desprezível e comprimento L, executa movimento circular</p><p>uniforme em torno do eixo E.</p><p>O período da revolução da esfera será (onde g é a aceleração da</p><p>gravidade):</p><p>P</p><p>L</p><p>α</p><p>ME</p><p>A) T = 2πL ·</p><p>sen</p><p>Mg</p><p>a</p><p>B) T = 2π</p><p>tg</p><p>Mg</p><p>a</p><p>C) T = 2π</p><p>L</p><p>g</p><p>�cos�</p><p>D) T = 2π · L ·</p><p>cos a</p><p>MG</p><p>E) T = 2π</p><p>L</p><p>g</p><p>04. Um dos números mais famosos apresentados nos grandes circos é</p><p>o do globo da morte: um motociclista realiza arriscadas evoluções</p><p>no interior de um enorme globo de ferro.</p><p>r r</p><p>θ</p><p>X</p><p>V</p><p>x</p><p>B</p><p>A</p><p>Conhecendo-se a massa do conjunto motocicleta-piloto</p><p>(m = 200 kg) e raio do globo (r = 10 m), determinar.</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>A) Qual o valor da normal no ponto A, aplicada pela pista à</p><p>motocicleta, quando sua velocidade é de 20 m/s.</p><p>B) Qual o valor da normal no ponto B, aplicada à pista pela</p><p>motocicleta, quando sua velocidade é de 20 m/s?</p><p>C) Qual o valor da normal no ponto B, quando a velocidade da</p><p>motocicleta cai para 15 m/s?</p><p>D) Qual o valor da velocidade da motocicleta quando a normal</p><p>em B é nula?</p><p>E) Qual o valor da normal no ponto x?</p><p>05. Um pêndulo está oscilando com abertura 2θ entre os pontos A e</p><p>B.</p><p>θ θ</p><p>A B</p><p>A esfera pendular tem massa 1kg.</p><p>Sendo cosθ = 0,8, sen θ = 0,6, g = 10m/s2.</p><p>Determine:</p><p>A) A aceleração centrípeta nos pontos A e B.</p><p>B) A aceleração escalar tangencial nos pontos A e B.</p><p>C) A tensão no fio nos pontos A e B.</p><p>06. Um garoto dispõe de um elástico em cuja extremidade ele prende</p><p>uma pedra de massa 10 g.</p><p>O comprimento natural do elástico (não deformado) é</p><p>R</p><p>0</p><p>= 1,00 m. O garoto faz a pedra girar em um plano horizontal</p><p>sem atrito, com velocidade angular ω = 2,0 rad/s, de modo que</p><p>o raio da circunferência passa a ser R (constante).</p><p>R</p><p>C</p><p>Sendo a constante elástica do elástico k = 2,0 · 10–1 N/m, a</p><p>diferença entre R e R</p><p>0</p><p>é:</p><p>A) 2,5 cm</p><p>B) 2,0 cm</p><p>C) 2,0 m</p><p>D) 0,20 m</p><p>E) 0,25 m</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>07 O cilindro de raio R = 0,2 m, da figura, gira em torno do eixo</p><p>vertical, com velocidade angular constante ω = 6,0 rad/s.</p><p>Nestas condições, um pequeno bloco, de massa m = 0,050 kg</p><p>e peso P = 0,49 N, permanece em contato com o ponto A da</p><p>parede interna do cilindro. Calcule as componentes horizontal e</p><p>vertical da força exercida pelo cilindro sobre o bloco.</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>0</p><p>ω</p><p>A</p><p>R</p><p>Comp. Horizontal (N) Comp. Vertical (N)</p><p>A) 3,6 · 10–1 3,6 · 10–1</p><p>B) 3,6 · 10–1 5,0 · 10–1</p><p>C) 5,0 · 10–1 3,6 · 10–1</p><p>D) 0 5,0 · 10–1</p><p>E) 3,6 · 10–1 0</p><p>08. Numa mesa de vidro, é colocado um corpo de massa m. Na outra</p><p>extremidade da corda, está preso um bloco de massa M, que se</p><p>mantém em repouso quando o corpo gira com velocidade angular</p><p>ω. Determine ω em função de m, L, M e g. Desprezam-se os atritos.</p><p>09. Um aro metálico circular e duas esferas são acopladas conforme</p><p>ilustra a figura a seguir. As esferas dispõem de um furo diametral</p><p>que permite circular pelo aro. O aro começa a girar, a partir do</p><p>repouso, em torno do diâmetro vertical EE’, que passa entre as</p><p>esferas, até atingir uma velocidade angular constante ω. Sendo</p><p>R o raio do aro, m a massa de cada esfera desprezando-se os</p><p>atritos, pode-se afirmar que:</p><p>E</p><p>R</p><p>ω</p><p>O</p><p>mm</p><p>E’</p><p>A) as esferas permanecem na parte inferior do aro porque estão</p><p>à posição de mínima energia potencial.</p><p>B) as esferas permanecem à distância r de EE’ tais que, se 2θ for</p><p>ângulo central cujo vértice é o centro O do aro e cujos lados</p><p>passam pelos centros das esferas, na posição de equilíbrio</p><p>estável, então tan θ ω=</p><p>2r</p><p>g</p><p>, estando as esferas abaixo do</p><p>diâmetro horizontal do aro.</p><p>C) as esferas permanecem à distância de r de EE’ tais que, se</p><p>2θ for o ângulo central cujo vértice é o centro O do aro e</p><p>cujos lados passam pelos centros das esferas, na posição de</p><p>equilíbrio estável, então tan θ ω=</p><p>2r</p><p>g</p><p>, estando as esferas acima</p><p>do diâmetro horizontal.</p><p>D) as alternativas (B) e (C) anteriores estão corretas.</p><p>E) a posição de maior estabilidade ocorre quando as esferas estão</p><p>nos extremos de um mesmo diâmetro.</p><p>10. Um bloco de 40 N é preso a uma barra vertical por meio de duas</p><p>cordas. Quando o sistema gira em torno da barra, as cordas se</p><p>distendem, conforme a figura.</p><p>A) Quantas rotações por minuto deve o sistema realizar para que</p><p>a tensão na corda superior seja 75 N?</p><p>B) Neste caso, qual a tração na corda inferior?</p><p>11. A curva de uma pista de corrida é compensada (ângulo a =</p><p>45º com a horizontal) de modo que a derrapagem lateral seja</p><p>impossível para um certa velocidade V</p><p>0</p><p>. Um carro entre na curva</p><p>com velocidade V = 2V</p><p>0</p><p>. Qual é coeficiente de atrito mínimo que</p><p>evitará a derrapagem?</p><p>12. Um furgão tem largura 2a e seu centro de gravidade dista</p><p>h do solo. A velocidade máxima com que pode fazer uma</p><p>curva de raio R situada num plano horizontal, sem perigo de</p><p>tombar, é:</p><p>R</p><p>H</p><p>2a</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>A) V = Rg</p><p>a</p><p>h</p><p>⋅ B) V = Rg</p><p>h</p><p>a</p><p>⋅</p><p>C) V = Rgh D) V = Rag</p><p>E) V = Rah</p><p>13. Uma barra de peso desprezível,</p><p>dobrada como mostra a</p><p>figura, gira com velocidade</p><p>angular ω relativamente ao</p><p>eixo OO’. No extremo da</p><p>barra, fixou-se um peso de</p><p>massa m. Determine a força</p><p>com que a barra atua sobre a</p><p>massa m.</p><p>14. Uma corrente metálica de comprimento L, cujos extremos estão</p><p>unidos, foi colocada em um disco de madeira. O disco gira com</p><p>uma velocidade angular ω. Determine a tensão da corrente, sendo</p><p>sua massa m.</p><p>15. Em uma barra leve, fixaram-se dois pesos de massas m e M.</p><p>A barra, através de uma articulação, está ligada ao eixo vertical</p><p>OO’. O eixo OO’ gira com velocidade angular ω. Determine o</p><p>ângulo formado pela barra e a vertical.</p><p>Resoluções</p><p>01 02 03 04 05</p><p>B * C * *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>E B * B *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* A * * *</p><p>02. A) θ = 30º B) Ele começa a derrapar na direção da velocidade.</p><p>04. A) N</p><p>A</p><p>= 10000 N B) N</p><p>B</p><p>= 6000 N C) N</p><p>B</p><p>= 2500 N D) v = 10 m/s</p><p>E) N</p><p>mV</p><p>R</p><p>mgx</p><p>x= +</p><p>2</p><p>cosθ</p><p>05. A) a</p><p>cp</p><p>= 0 B) Eixo horizontal C) T = 8 N</p><p>08. � �</p><p>Mg</p><p>mL</p><p>10. A) 19 rpm B) 25 N</p><p>11. � �</p><p>3</p><p>5</p><p>13. F m sen g</p><p>�</p><p>�= ( ) +ω µ2 2 2</p><p>14. T</p><p>m L</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>24</p><p>15. µ</p><p>ω</p><p>=</p><p>+( ) +</p><p>+( ) +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>arc</p><p>g M a b mb</p><p>M a b mb</p><p>cos</p><p>2 2 2</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: Trabalho e PoTênCia</p><p>frente: FísiCa i</p><p>000.000 – 000000/18</p><p>AULAS 37 A 39</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Em alguns problemas de dinâmica, o uso das leis de Newton</p><p>pode fazer com que a sua solução seja extremamente longa e</p><p>dificultosa. O que iremos mostrar nesse tópico é um conjunto de</p><p>ferramentas que, se usadas adequadamente, poderão simplificar uma</p><p>série de problemas.</p><p>Trabalho</p><p>Para nosso estudo, iremos entender o trabalho de uma força �</p><p>F realizado sobre um corpo como sendo uma maneira de fornecer ou</p><p>retirar energia desse corpo.</p><p>Assim, supondo que uma força</p><p>�</p><p>F atue sobre um corpo durante</p><p>um percurso de A até B, como mostra a figura:</p><p>A</p><p> </p><p>Ponto</p><p>inical</p><p> </p><p> </p><p>B</p><p> </p><p>Ponto</p><p>Final</p><p> </p><p> </p><p>F</p><p>O trabalho realizado por</p><p>�</p><p>F no deslocamento do corpo de A</p><p>até B é definido por:</p><p>T F</p><p>A</p><p>B</p><p>F dr onde</p><p>F</p><p>dr</p><p>= ⋅∫</p><p>� �</p><p>�</p><p>�,</p><p>deve ser uma fun o da posi o</p><p>e o</p><p>çã çã</p><p>é elemento de deslocamento.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Produto escalar</p><p>Observação:</p><p>Essa integral é conhecida como “integral de linha” pois a</p><p>mesma é feita ao longo da trajetória (linha).</p><p>1) Supondo que</p><p>�</p><p>F seja constante, temos:</p><p>T F</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>B AF dr F dr F r r= ⋅ = ⋅ = ⋅ −∫ ∫</p><p>� � � � � � �</p><p>( )</p><p>logo: T F F r= ⋅</p><p>� �</p><p>∆ , que pode ser calculado:</p><p>T TF F x y zF r ou F x F y F z= ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅</p><p>� �</p><p>∆ ∆ ∆ ∆cosθ</p><p>Um exemplo de força constante é a força peso:</p><p>�</p><p>P mg j= − ^</p><p>A</p><p>B</p><p>(Início)</p><p>(Fim)</p><p>y</p><p>i</p><p>y</p><p>f</p><p>mg</p><p>T</p><p>T</p><p>T</p><p>T</p><p>P</p><p>P</p><p>P f i</p><p>P</p><p>P r</p><p>mg j x i y j</p><p>mg y mg y</p><p>ou</p><p>= ⋅</p><p>= − ⋅ ⋅ + ⋅</p><p>= − ⋅ = − −</p><p>=</p><p>� �</p><p>∆</p><p>∆ ∆</p><p>∆</p><p>( ) ( )</p><p>(y )</p><p>^ ^ ^</p><p>mmg mgi f⋅ − ⋅y y</p><p>2) Se</p><p>�</p><p>F não for constante, é preciso conhecer</p><p>� � �</p><p>F F r= ( ), ou no caso</p><p>unidimensional F = F(x).</p><p>F (x)</p><p>xx</p><p>i</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>logo T F</p><p>i</p><p>f</p><p>F x dx= ⋅∫ ( )</p><p>Um exemplo de força variável é a força elástica:</p><p>0</p><p>x</p><p>0 x</p><p>Fe�</p><p>M</p><p>ola</p><p>não</p><p>defo</p><p>rm</p><p>ad</p><p>a</p><p>x</p><p>�����</p><p>Deformação</p><p>Sabemos que Fel K x= − ⋅</p><p>Logo F x dx</p><p>k xdx k x dx</p><p>k</p><p>x</p><p>Fel</p><p>i</p><p>f</p><p>Fel</p><p>i</p><p>f</p><p>i</p><p>f</p><p>Fel</p><p>i</p><p>f</p><p>, ( )T</p><p>T</p><p>T</p><p>= ⋅</p><p>= − ⋅ = − ⋅</p><p>= − =</p><p>∫</p><p>∫</p><p>Assim, queremos:</p><p>S</p><p>A</p><p>– S</p><p>B</p><p>= S</p><p>C</p><p>– S</p><p>A</p><p>⇒ 15 t – (20 + 4,5 t) = (40 + 7,5 t) – (15 t)</p><p>15 t – 20 – 4,5 t = 40 + 7,5 t – 15 t</p><p>⇒ 10,5 t – 20 = 40 – 7,5 t</p><p>⇒ 18 t = 60 ⇒ t s=</p><p>10</p><p>3</p><p>d = S</p><p>A</p><p>– S</p><p>B</p><p>= 15 t – (20 + 4,5 t) = 10,5 t – 20</p><p>d = 10 5</p><p>10</p><p>3</p><p>20 15, ⋅ − = m</p><p>d m=15</p><p>Resposta: t s=</p><p>10</p><p>3</p><p>e d = 15 m.</p><p>03. Como os dois trens viajam um em direção ao outro, a velocidade</p><p>relativa entre eles é a soma de suas velocidades.</p><p>V</p><p>rel</p><p>= V</p><p>A</p><p>+ V</p><p>B</p><p>=</p><p>36 44 80km</p><p>h</p><p>km</p><p>h</p><p>km</p><p>h</p><p>+ =</p><p>Como a distância é de 40 km, o tempo gasto para que os trens</p><p>se encontrem é de t</p><p>km</p><p>h= =</p><p>40</p><p>80</p><p>0 5</p><p>km/h</p><p>, .</p><p>Assim, o tempo que a supermosca voará é de 0,5h. Logo, o espaço</p><p>percorrido pela supermassa é de</p><p>S</p><p>km</p><p>h</p><p>h km= =100 0 5 50, .</p><p>04. Como as velocidades dos dois trens são constantes iguais a 30</p><p>km</p><p>h</p><p>,</p><p>a distância entre eles é constante, que é correspondente à distância</p><p>percorrida pelo primeiro trem a sair nos 10 primeiros minutos.</p><p>Assim, essa distância é:</p><p>d</p><p>km</p><p>h</p><p>h</p><p>km= ⋅ =</p><p>30</p><p>10</p><p>1</p><p>60</p><p>5min</p><p>min</p><p>Logo, quando o trem que se move em direção à cidade A encontra</p><p>o primeiro trem, está a uma distância de 5 km do segundo trem.</p><p>Como eles se encontram em 4 minutos, então a velocidade relativa</p><p>entre eles é de</p><p>V</p><p>km</p><p>h</p><p>km</p><p>hrel = ⋅ =</p><p>5</p><p>4</p><p>60</p><p>1</p><p>75</p><p>min</p><p>min</p><p>Como eles estão na direção um do outro, a velocidade relativa é</p><p>a soma das duas velocidades. Portanto, temos:</p><p>V</p><p>rel</p><p>= V + 30</p><p>km</p><p>h</p><p>75</p><p>30km</p><p>h</p><p>V</p><p>km</p><p>h</p><p>= +</p><p>⇒ V</p><p>km</p><p>h</p><p>= 45 é a velocidade do trem que se move em direção</p><p>à cidade A.</p><p>Resposta: V</p><p>km</p><p>h</p><p>= 45</p><p>4 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.512 – 131456/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>05. Como a vela 1 queima em 3 s, e sua altura inicial é de h : 20 cm,</p><p>a velocidade de queima da vela 1 é de:</p><p>V</p><p>cm</p><p>s</p><p>1</p><p>20</p><p>3</p><p>20</p><p>3</p><p>= = cm/s</p><p>Analogamente, a velocidade de queima da vela 2 é</p><p>V</p><p>cm</p><p>s</p><p>2</p><p>20</p><p>2</p><p>10= = cm/s.</p><p>Dessa forma, as alturas das velas 1 e 2, em função do tempo, são:</p><p>h t v t</p><p>h t v t</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>20</p><p>20</p><p>( ) = − ⋅</p><p>( ) = − ⋅</p><p>⇒</p><p>h t t cm</p><p>h t t cm</p><p>1</p><p>2</p><p>20</p><p>20</p><p>3</p><p>20 10</p><p>( ) = − ⋅ ( )</p><p>( ) = − ( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Note que a vela 2 queima com velocidade maior, o que influenciará</p><p>na sua sombra, que desaparecerá da parede primeiro. Além disso,</p><p>a sombra da vela 1 desaparecerá aos 2 segundos, que é quando</p><p>a vela 2 queima completamente.</p><p>Veja, a seguir, três situações em que as sombras das velas 1 e 2</p><p>são, respectivamente S</p><p>1</p><p>e S</p><p>2</p><p>.</p><p>Situação inicial</p><p>(t</p><p>1</p><p>= 0s)</p><p>20 cm</p><p>L L Lvela 1 vela 2</p><p>20 cm S</p><p>2</p><p>S</p><p>1</p><p>Veja que ambas as sombras S</p><p>1</p><p>(0) e S</p><p>2</p><p>(0) medem 20 cm.</p><p>Situação intermediária</p><p>(tempo t</p><p>1</p><p>, que iremos descobrir).</p><p>L L L</p><p>h</p><p>2</p><p>(t</p><p>2</p><p>)</p><p>h</p><p>1</p><p>(t</p><p>1</p><p>)</p><p>vela 1 vela 2</p><p>O tempo t</p><p>1</p><p>é o tempo em que a sombra da vela 2 desaparece da</p><p>parede. Sabemos que:</p><p>h t t</p><p>h t t</p><p>1 1 1</p><p>2 2 1</p><p>20</p><p>20</p><p>3</p><p>20 10</p><p>( )</p><p>( )</p><p>= − ⋅</p><p>= − ⋅</p><p>Assim, por semelhança de triângulos, temos:</p><p>h t</p><p>L</p><p>h t</p><p>L</p><p>t t1 1 2 1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>20</p><p>20</p><p>3</p><p>2</p><p>20 10</p><p>1</p><p>( ) ( )= ⇒</p><p>−</p><p>= −</p><p>10</p><p>10</p><p>3</p><p>20 10 10</p><p>10</p><p>3</p><p>101 1 1− = − ⇒ −</p><p></p><p></p><p></p><p>=t t t</p><p>⇒ = ⇒ = =20</p><p>3</p><p>10</p><p>3</p><p>2</p><p>151 1t t s s,</p><p>Assim, a sombra da vela 2, que tinha comprimento inicial igual a</p><p>20 cm,</p><p>desaparece em 1,5 s. Logo, a sua velocidade é de:</p><p>V</p><p>cm</p><p>s</p><p>cm</p><p>s</p><p>cm</p><p>sS2</p><p>20</p><p>15</p><p>20</p><p>3</p><p>2</p><p>40</p><p>3</p><p>= = =</p><p>,</p><p>.</p><p>Situação final</p><p>t</p><p>2</p><p>= 2 s</p><p>S</p><p>1</p><p>(t</p><p>2</p><p>)</p><p>L L L</p><p>h</p><p>1</p><p>(t</p><p>2</p><p>)</p><p>O tempo t</p><p>2</p><p>é o tempo que a sombra da vela 1 desaparece, pois</p><p>a vela 2 queima completamente. Sabemos que t</p><p>2</p><p>= 2 s. Assim,</p><p>temos:</p><p>S</p><p>L</p><p>h</p><p>L</p><p>S h1 1</p><p>1 1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 2 2 20</p><p>20</p><p>3</p><p>2</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )= ⇒ = ⋅ = − ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ = − =S cm1 2 40</p><p>80</p><p>3</p><p>40</p><p>3</p><p>( ) .</p><p>Assim, em dois segundos, a sombra da vela 1 variou:</p><p>∆S cm cm cm1: 20</p><p>40</p><p>3</p><p>20</p><p>3</p><p>− = .</p><p>Logo, a velocidade da sombra da vela 1 foi de:</p><p>V</p><p>cm</p><p>s</p><p>cS1</p><p>20</p><p>3</p><p>2</p><p>10</p><p>3</p><p>= = m/s.</p><p>Respostas: V c V cS S1 2</p><p>10</p><p>3</p><p>40</p><p>3</p><p>= =m/s e m/s.</p><p>06.</p><p>Vamos supor que o homem se mova na margem até o ponto D,</p><p>a uma distância x de C, e depois nade até o ponto B. Assim as</p><p>distâncias percorridas na margem e ma água são</p><p>5F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.512 – 131456/18</p><p>d</p><p>AD</p><p>= 30 – x</p><p>d xDB = +2 240 .</p><p>Vamos calcular os tempos de percurso na margem e na água, em</p><p>função de x.</p><p>t</p><p>d</p><p>v</p><p>x</p><p>AD</p><p>AD</p><p>AD</p><p>= =</p><p>−30</p><p>2</p><p>t</p><p>d</p><p>v</p><p>x</p><p>DB</p><p>DB</p><p>DB</p><p>= =</p><p>+2 240</p><p>1</p><p>Assim, o tempo total é de t t t</p><p>x</p><p>xAD DB= + =</p><p>−</p><p>+ +</p><p>30</p><p>2</p><p>402 2.</p><p>Para encontrarmos o tempo mínimo, vamos derivar a função t</p><p>em relação a x, e depois igualar a zero.</p><p>dt</p><p>dx</p><p>x x=− + +( ) ⋅</p><p>−1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>40 22 2 1 2/</p><p>dt</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>=− +</p><p>+</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2 40</p><p>0</p><p>2 2</p><p>⇒</p><p>+</p><p>= ⇒</p><p>2</p><p>40</p><p>1</p><p>2 2</p><p>x</p><p>x ⇒ 4x2 = x2 + 402</p><p>⇒ 3x2 = 402</p><p>⇒ x 3 40=</p><p>⇒ x =</p><p>40</p><p>3</p><p>.</p><p>Assim, o homem deve mover-se 30</p><p>40</p><p>3</p><p>- na margem e depois</p><p>nadar até B.</p><p>07.</p><p>50 150 7 16 162</p><p>2</p><p>2+ −( ) =t t</p><p>50 150 7 2 150 7 16 256 162 2 2 2+ ⋅ − ⋅ + =. t t t</p><p>⇒ − + =3 60 7 2000 02t t</p><p>Soluções: t</p><p>máx</p><p>e t</p><p>mín</p><p>x2 = (4 t</p><p>mín</p><p>)2 + (4 t</p><p>máx</p><p>)2 – 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ t</p><p>mín</p><p>⋅ t</p><p>máx</p><p>⋅ cos θ</p><p>16 16 2 162 2 2 2( ) ( ) cos. min. . min. . min.t t t t t tm x m x m xá á á− = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ θ</p><p>16 4</p><p>2 2</p><p>t t t t t tm x m x m n m xá í á í á í. m n. . . . m n.+( ) − ⋅ ⋅( )= +( ) −</p><p>− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅2 2t t t tm x m xá í á í. m n. . m n. cos θ</p><p>Por Girard: t t tm x m x m ná í á í. m n. . .; t+ = ⋅ =20 7</p><p>2000</p><p>3</p><p>16 20 7 4</p><p>2000</p><p>3</p><p>20 7 2</p><p>2000</p><p>3</p><p>2</p><p>2000</p><p>3</p><p>2 2⋅ − ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ cos θ</p><p>16 ⋅ 400 = 8400 – 4000 – 4000 cos θ</p><p>cos θ θ=− ⇒ =</p><p>1</p><p>2</p><p>120o</p><p>08.</p><p>Veja que, como o ângulo entre os dois objetos é de 60º e, além</p><p>disso, suas velocidades são iguais, nota-se que o triângulo formado</p><p>pelos objetos 1 e 2 e pelo ponto de cruzamento 0 formam um</p><p>triângulo equilátero. Assim, a distância entre os objetos é sempre</p><p>igual à distância de um dos objetos ao ponto 0. Dessa forma,</p><p>basta calcular o tempo para que um objeto percorra a distânca</p><p>de d m= 12 .</p><p>v</p><p>d</p><p>t</p><p>t v d</p><p>m</p><p>s</p><p>m s= ⇒ = ⋅ = ⋅ =1 12 12 .</p><p>09.</p><p>6 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.512 – 131456/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Vamos considerar o sistema de eixos coordenados como na figura.</p><p>Além disso, vamos decompor a velocidade do objeto 1 nas direções</p><p>x e y,</p><p>V</p><p>1x</p><p>= v1</p><p>060 0 5</p><p>1</p><p>2</p><p>cos ,= m/s = m/s (x)</p><p>V</p><p>1y</p><p>= v sen1 60 1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>⋅ = ⋅º ˆ= m/s (–y)</p><p>Veja que a velocidade do objeto 2 é V</p><p>2</p><p>1 m/s x̂( )</p><p>Consideremos o tempo t = 0 no instante em que o objeto 1 se</p><p>encontra no cruzamento. Assim, a posição do objeto 2 nesse</p><p>instante é x</p><p>2</p><p>(0) = –4 m, pois ele demorará 4 segundos a uma</p><p>velocidade de 1 m/s para chegar ao cruzamento.</p><p>Desse modo, as equações horárias dos objetos são:</p><p>Objeto 1:</p><p>x: S</p><p>y: S1</p><p>1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>x x</p><p>y y</p><p>v t t</p><p>v t t</p><p>= =</p><p>= =−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Objeto 2:</p><p>x: S</p><p>y: S</p><p>2</p><p>2</p><p>x x</p><p>y</p><p>v t t</p><p>t</p><p>=− + =− +</p><p>= ⋅ =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4 4</p><p>0 0</p><p>2</p><p>Assim, as variações das distâncias nas duas direções são:</p><p>∆S</p><p>t t</p><p>x: t − − = −4</p><p>2 2</p><p>4</p><p>∆S t ty: 0</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>− −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= ⋅</p><p>A distância, em função de t, entre os objetos, é: ∆ ∆ ∆S S Sx y</p><p>2 2 2= +</p><p>⇒ −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= − + + =</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>t t</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>2 4</p><p>4 16</p><p>3</p><p>4</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>t2 – 4t+ 16 (D = –48).</p><p>Quando DS2 por mínimo, teremos DS mínimo. Assim,</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆S</p><p>S</p><p>a</p><p>S mm n m ní í.</p><p>2</p><p>4</p><p>12 12=</p><p>−</p><p>= ⇒ =</p><p>10.</p><p>Usaremos o comprimento do caminho de 24 ⋅ x. Assim, a primeira</p><p>metade do caminho, 12x, foi percorrida em um tempo t</p><p>x</p><p>h1</p><p>12</p><p>40</p><p>= .</p><p>Na outra metade do caminho, também de 12x, o móvel percorre</p><p>em dois intervalos de tempo iguais, mas com a segunda velocidade</p><p>igual a três vezes a primeira velocidade. Então, percorre, no último</p><p>trecho, uma distância igual a três vezes a distância no segundo</p><p>trecho. Assim, o trecho 2 tem comprimento igual a 3x e o último</p><p>trecho tem comprimento igual a 9x. Logo, os tempos t</p><p>2</p><p>e t</p><p>3</p><p>são:</p><p>t</p><p>x</p><p>h e t</p><p>x x</p><p>h2 3</p><p>3</p><p>25</p><p>9</p><p>75</p><p>3</p><p>25</p><p>= = = .</p><p>Logo, a velocidade média do móvel é:</p><p>v</p><p>s</p><p>t</p><p>x</p><p>t t t</p><p>x</p><p>x x x</p><p>= =</p><p>+ +</p><p>=</p><p>+ +</p><p>=</p><p>∆</p><p>∆</p><p>24 24</p><p>12</p><p>50</p><p>3</p><p>25</p><p>3</p><p>25</p><p>1 2 3</p><p>=</p><p>+ +</p><p>=</p><p>24</p><p>12</p><p>50</p><p>6</p><p>50</p><p>6</p><p>50</p><p>50x</p><p>x x x</p><p>km</p><p>h</p><p>11.</p><p>Seja t</p><p>E</p><p>o tempo para os dois se encontrarem,</p><p>∫</p><p>∫</p><p>2</p><p>2</p><p>−− −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= −</p><p>k</p><p>x x</p><p>k x k x</p><p>f i</p><p>Fel</p><p>i f</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>T</p><p>. .</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>000.000 – 000000/18</p><p>Potência</p><p>A potência é a grandeza que mede a “rapidez” com que</p><p>uma força realiza trabalho. Sendo assim, podemos definir a potência</p><p>instatânea (Pot) e a potência média (Pot</p><p>m</p><p>):</p><p>Pot</p><p>d</p><p>dt</p><p>F</p><p>dr</p><p>dt</p><p>j F v</p><p>e</p><p>Pot</p><p>t</p><p>Pot</p><p>F</p><p>F</p><p>m</p><p>F</p><p>m</p><p>se</p><p>F cte</p><p>= = ⋅ = ⋅</p><p>=  → =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>T</p><p>T</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>∆</p><p>∆rr</p><p>t</p><p>F vm∆</p><p>= ⋅</p><p>� �</p><p>Exercícios</p><p>01. A figura representa uma pista sem atrito cuja secção vertical forma a</p><p>partir do ponto mais baixo A uma semicircunferência de raio R. Um</p><p>objeto de massa M é abandonado a partir de uma altura H que é a</p><p>mínima que ainda lhe permite atingir o ponto B situado na vertical de A.</p><p>Sendo T</p><p>1</p><p>o trabalho da força peso e T</p><p>2</p><p>o trabalho da reação da</p><p>pista ao longo dessa trajetória CAB, podemos afirmar, a respeito</p><p>de H, T</p><p>1</p><p>e T</p><p>2</p><p>que:</p><p>A) H = 5</p><p>2</p><p>R ; T</p><p>1</p><p>e T</p><p>2</p><p>só podem ser calculados conhecendo-se a</p><p>forma detalhada da pista.</p><p>B) H =</p><p>5</p><p>2</p><p>R</p><p>; T</p><p>1</p><p>= mg</p><p>R</p><p>2</p><p>; T</p><p>2</p><p>só pode ser calculado conhecendo-se</p><p>a forma detalhada da pista.</p><p>C) H =</p><p>3</p><p>2</p><p>R</p><p>; T</p><p>1</p><p>= – Mg</p><p>R</p><p>2</p><p>; T</p><p>2</p><p>= 0.</p><p>D) H =</p><p>5</p><p>2</p><p>R</p><p>; T</p><p>1</p><p>= Mg</p><p>R</p><p>2</p><p>; T</p><p>2</p><p>= 0.</p><p>E) H =</p><p>3</p><p>2</p><p>R</p><p>; T</p><p>1</p><p>= Mg</p><p>R</p><p>2</p><p>; T</p><p>2</p><p>= – Mg</p><p>R</p><p>2</p><p>.</p><p>02. Um bloco de gelo de 2,0 g escorrega em uma tigela</p><p>hemisférica de raio 30 cm desde uma borda até a parte inferior.</p><p>Se a velocidade na parte inferior for 200 cm/s, o trabalho realizado</p><p>pelas forças de atrito, durante o trajeto, foi:</p><p>Obs.: Despreze a variação de massas do gelo.</p><p>A) zero.</p><p>B) 1,9 × 102 erg.</p><p>C) 5,9 × 104 erg</p><p>D) 1,9 × 104 erg.</p><p>E) outro valor.</p><p>03. Abandona-se com velocidade inicial nula uma partícula de massa</p><p>m</p><p>2</p><p>, no interior de uma casca hemisférica, na posição definida</p><p>pelo ângulo a (ver figura). Supondo que não haja atrito, a força</p><p>F</p><p>�</p><p>que a casca exerce sobre a partícula quando esta se encontra</p><p>no ponto mais baixo de sua trajetória, é dada por:</p><p>A) F = mg(2cos a – 1)</p><p>B) F = mg(3 – 2cos a)</p><p>C) F = mg(1 – 2cos a)</p><p>D) F = 2mg(1 – cos a)</p><p>E) F = mg</p><p>04. U m a u t o m ó v e l d e m a s s a 5 0 0 k g é a c e l e r a d o</p><p>uniformemente a partir do repouso até uma velocidade</p><p>V</p><p>0</p><p>= 40 m/s em t</p><p>0</p><p>= 10 s. A potência média desenvolvida por este</p><p>automóvel durante os 10 s será:</p><p>A) 160 kW</p><p>B) 80 kW</p><p>C) 40 kW</p><p>D) 20 kW</p><p>E) 3 kW</p><p>05. Um corpo de peso P = 20 N sobe um plano inclinado, puxado por</p><p>uma força F</p><p>�</p><p>paralela a esse plano. O corpo parte do repouso e após</p><p>dois segundos atinge uma altura de dois metros acima do ponto de</p><p>partida. A potência desenvolvida pela força F</p><p>�</p><p>é dada pelo gráfico</p><p>abaixo.</p><p>Determine o trabalho de F</p><p>�</p><p>nos dois primeiros segundos e a</p><p>velocidade do corpo no fim desse tempo. g = 10 m/s2</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>000.000 – 000000/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>06. Um indivíduo empurra uma caxa de peso 200 N ao longo de uma</p><p>rampa de 25 m, para cima, como força de intensidade F = 150 N.</p><p>Entre a caixa e o piso há uma força de atrito de intensidade 30</p><p>N. Determine o trabalho realizado por cada uma das forças que</p><p>atuam na caixa, e pela força resultante, no trajeto de A a B, de</p><p>25 m.</p><p>07. A esfera C e o bloco A movem-se para a esquerda com velocidade</p><p>V</p><p>0</p><p>quando o bloco é subitamente parado pela parede. Determine</p><p>a velocidade mínima V</p><p>0</p><p>para que a esfera C descreva uma volta</p><p>completa ao redor do pino B.</p><p>A) Se BC é uma barra fina de peso desprezível.</p><p>B) Se BC é uma corda.</p><p>08. Um colar com massa 4 kg é preso a uma mola e desliza sem atrito</p><p>ao longo da barra circular situada num plano horizontal. A mola</p><p>está sem deformação quando o colar está em C e a constante</p><p>da mola é K = 4 N/m. Se o calor é liberado do repouso em B,</p><p>determine a velocidade do colar quando ele passar no ponto C.</p><p>Obs.: L</p><p>0</p><p>= R = ( 5 + 1)m</p><p>09. A intensidade da resultante das forças que agem em uma partícula</p><p>varia em função de sua posição sobre o eixo Ox, conforme o</p><p>gráfico seguir:</p><p>Calcule o trabalho da força resultante para o deslocamentos:</p><p>A) De x</p><p>1</p><p>= 0 a x</p><p>2</p><p>= 8 m</p><p>B) De x</p><p>2</p><p>= 8 m a x</p><p>3</p><p>= 12 m</p><p>C) De x</p><p>1</p><p>= 0 a x</p><p>3</p><p>= 12 m</p><p>10. No esquema, representa-se uma mola na qual se apoia um sólido.</p><p>O sistema é estático. Dão-se k = 1000 N/m, m = 20 kg, g = 10 m/</p><p>s2. Uma pessoa suspende o sólido lentamente, até ele destacar-se</p><p>ligeiramente da mola. Qual é o trabalho da pessoa?</p><p>11. Uma partícula inicialmente em repouso no ponto A é levada ao</p><p>ponto B da calha semicircular de raio 2,0 m indicada na figura. Uma</p><p>das forças que agem sobre ela é F, conservativa, horizontal, dirigida</p><p>sempre para a direita e de intensidade 10 N. Seja 2 kg a massa da</p><p>partícula e g = 10 m/s2. Determine o trabalho de F ao longo do</p><p>deslocamento de A até B.</p><p>12. No piso, repousa uma pilha de livros de massa total a 20 kg e</p><p>altura 0,60 m. Cada livro tem altura igual a 0,20 m. Uma pessoa</p><p>enfileira os livros em uma prateleira a altura de 1,70 m. Determinar</p><p>o trabalho realizado por essa pessoa para mover os livros.</p><p>13. Em relação a um referencial inercial, uma circunferência com</p><p>diâmetro d é estacionária em um plano horizontal. Um corpúsculo</p><p>de massa m percorre essa circunferência sob a ação de uma</p><p>força motora F</p><p>�</p><p>dirigida sempre para o ponto A e de intensidade</p><p>proporcional à distância r do móvel ao ponto A. (F = Kr). Omitir</p><p>peso e atrito. O móvel passa por B com velocidade V</p><p>0</p><p>. Determine</p><p>a velocidade em P.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>000.000 – 000000/18</p><p>14. Na situação representada nas figuras 1 e 2, a mola tem massa</p><p>desprezível e fica no solo com seu eixo na vertical. Um corpo de</p><p>pequenas dimensões e massa igual a 2,0 kg é abandonado da</p><p>posição A e, depois de colidir com o aparador da mola na posição</p><p>B, aderindo a ele, desce e para instantaneamente na posição C.</p><p>adotando g = 10 m/s2 e desprezando o efeito do ar e qualquer</p><p>força dissipativa no ato da colisão, calcule:</p><p>A) o trabalho do peso do corpo no percurso AC</p><p>B) o trabalho a forca aplicada pela mola sobre o corpo no percurso</p><p>BC</p><p>C) a constante elástica da mola</p><p>15. As águas do rio São Francisco são represadas em muitas barragens,</p><p>para o aproveitamento do potencial hidrográfico e transformação</p><p>de energia potencial gravitacional em outras formas de energia. A</p><p>figura a seguir representa uma dessas barragens e sua tubulação,</p><p>que chamamos de tomada d’água, e o gerador elétrico. Admita</p><p>que, na parte superior do tubo, a água esta em repouso, caindo</p><p>a seguir até um desnível em 118 m, onde encontra o gerador de</p><p>energia elétrica. A vazão da água é de 500 m3/s. Considerando a</p><p>densidade da água igual a 1 g/cm3 e g = 10 m/s2 e admitindo o</p><p>sistema ideal, calcule a potência hídrica (em MW) na entrada do</p><p>gerador.</p><p>Resoluções</p><p>01 02 03 04 05</p><p>D D B E A</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* C A * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>20 J –300 J * * *</p><p>*05: A) v m n gL0 2í =</p><p>B)</p><p>m</p><p>L</p><p>v gL mg v gL0</p><p>2</p><p>04 0 5−( )− ≥ ⇒ ≥</p><p>06: +1000 J</p><p>09: A) +120 J</p><p>B) – 80 J</p><p>C) + 40 J</p><p>13: V</p><p>V</p><p>d</p><p>rP =</p><p>0</p><p>14: A) 5 J</p><p>B) –5 J</p><p>C) 4 ∙ 103 N/M</p><p>15: 590 MW</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: energia e SiSTemaS ConServaTivoS i</p><p>frente: FíSiCa i</p><p>AULAS 40 A 42</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Energia</p><p>Energia cinética (Ec)</p><p>A energia cinética está obviamente relacionada ao movimento</p><p>de um corpo podendo esse movimento ser de translação ou rotação.</p><p>Para partículas, só teremos energia cinética associada ao</p><p>movimento de translação.</p><p>Seja uma partícula de massa m que se move com</p><p>velocidade</p><p></p><p>v :</p><p>m</p><p></p><p>v</p><p>A energia cinética associada ao movimento dessa partícula será</p><p>dado por E m vc = ⋅</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>Para demostrarmos esse resultado, vamos deduzir algumas</p><p>relações conhecidas como teoremas Trabalho-Energia. Esses teoremas</p><p>apenas explicitam a definição de trabalho que foi dada no início desse</p><p>tópico: “Trabalho é uma forma de fornecer ou retirar energia de um</p><p>corpo...”, sendo assim, podemos associar o trabalho de uma força ou</p><p>de um conjunto</p><p>deles a variação de uma certa quantidade de energia.</p><p>Em outras palavras: T ↔ ∆E .</p><p>Partindo desse princípio, demonstraremos os teoremas</p><p>trabalho-energia.</p><p>1) T R Ec= ∆</p><p>Imagine uma partícula sob a ação de várias forças:</p><p>   </p><p>F F F Fn1 2 3, , ,..., ,</p><p>se deslocando de A até B:</p><p>A</p><p>(Início)</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>2</p><p>F</p><p>3</p><p>F</p><p>n</p><p>B</p><p>(Fim)</p><p>∑ = ⋅ = ⋅ = ⋅</p><p>=</p><p>∫∑ ∑∫ ∫</p><p>= =</p><p>=</p><p>T</p><p>T T</p><p>F i</p><p>A</p><p>B</p><p>i</p><p>N</p><p>i</p><p>i</p><p>N</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>R i</p><p>i</p><p>F dr F dr R dr</p><p>Logo F</p><p>     </p><p>1 1</p><p>1</p><p>NN</p><p>∑</p><p>Onde R m a m</p><p>dv</p><p>dt</p><p>Assim m</p><p>dv</p><p>dt</p><p>dr m</p><p>dv</p><p>dt</p><p>drR</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>:</p><p>:</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= ⋅ = ⋅</p><p>= ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫T</p><p>TRR</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>m dv</p><p>dr</p><p>dt</p><p>m v dv= ⋅ = ⋅∫ ∫</p><p></p><p></p><p> </p><p>Veja:</p><p>  </p><p>v v v⋅ = , diferenciando os dois lados:</p><p>d v v d v</p><p>dv v v dv d v</p><p>v dv d v</p><p>v dv d v</p><p>( )</p><p>  </p><p>    </p><p>  </p><p>  </p><p>⋅ =</p><p>⋅ + ⋅ =</p><p>⋅ =</p><p>⋅ =</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>Logo m d v</p><p>m</p><p>d v</p><p>m</p><p>v</p><p>m</p><p>v v</p><p>m</p><p>R</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>R</p><p>A</p><p>B</p><p>B A</p><p>R</p><p>: T</p><p>T</p><p>T</p><p>= =</p><p>= = −</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>∫ ∫</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2 2</p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>v m v</p><p>E final E inicial</p><p>E</p><p>B A</p><p>c c</p><p>R c</p><p>B A</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>−</p><p>↓ ↓</p><p>=</p><p>( ) ( )</p><p>Finalmente: T ∆</p><p>Para demonstrarmos os outros dois teoremas trabalho-energia</p><p>é necessário classificarmos as forças em dois grupos: forças</p><p>conservativas e forças não conservativas.</p><p>As forças ditas conservativas são aquelas que podem ser escritas</p><p>como oposto do gradiente de uma função escalar (da posição)</p><p>denotando essa função escalar por V V r= ( ),</p><p></p><p>a força conservativa</p><p>assocada a essa função será dada por</p><p>  </p><p>F DV r= − ( ), em 3D.</p><p>onde</p><p></p><p>V</p><p>x</p><p>i</p><p>y</p><p>j</p><p>z</p><p>k= ∂</p><p>∂</p><p>+ ∂</p><p>∂</p><p>+ ∂</p><p>∂</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>^ ^</p><p>^</p><p>em coordenadas cartesianas.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>O caso unidimensional (1D) temos:</p><p></p><p>F</p><p>dV x</p><p>dx</p><p>= −</p><p>( )</p><p>î</p><p>A partir dessa informação, vamos calcular o trabalho realizado por</p><p>uma força conservativa.</p><p>Observação: para simplificar, fazemos o caso 1D:</p><p>T</p><p>T</p><p>F</p><p>i</p><p>f</p><p>F</p><p>F x dx mas f x</p><p>dV x</p><p>dx</p><p>Logo F x dx dV x assim</p><p>= ⋅ = −</p><p>= −</p><p>= −</p><p>∫ ( ) , ( )</p><p>( )</p><p>( ) ( ), :</p><p>ddV x dV x V x</p><p>V x V x V x V x</p><p>i</p><p>f f</p><p>ii</p><p>f</p><p>F f i i f</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>= − = −</p><p>= − −[ ] = −</p><p>∫ ∫</p><p>T</p><p>Donde concluímos que V(x) representa uma energia, que é função</p><p>da posição e será conhecida como energia potencial, assim:</p><p>T</p><p>T</p><p>F cons P P P P</p><p>F cons P</p><p>E E E E</p><p>ou</p><p>E</p><p>i f f i⋅</p><p>⋅</p><p>= − = − −( )</p><p>= − ∆</p><p>Algumas propriedades relacionadas às forças conservativas são</p><p>consequências de sua definição.</p><p>1) O trabalho de uma força conservativa não depende dos pontos</p><p>intermediários (do trajeto), ou seja, depende apenas dos pontos</p><p>inicial e final.</p><p>2) O trabalho de uma força conservativa em um percurso fechado</p><p> </p><p>r ri f=( ) é sempre nulo.</p><p>As forças conservativas são:</p><p>1) Força gravitacional</p><p>2) Força elástica</p><p>3) Força elétrica (caso estático)</p><p>A tabela abaixo relaciona as forças conservativas com suas</p><p>respectivas energias potenciais.</p><p>Força conservativa: F r( )</p><p></p><p>Energia potencial: V r( )</p><p></p><p>Gravitacional: −mg ^j mgy</p><p>Elástica: −Kx î</p><p>Kx2</p><p>2</p><p>Elétrica:</p><p>KQ Q</p><p>r</p><p>r1 2</p><p>2</p><p>⋅ ^ K Q Q</p><p>r</p><p>⋅ ⋅1 2</p><p>Veja que esses resultados confirmam as expressões demonstradas</p><p>anteriormente para o trabalho da força peso e da força elástica:</p><p>T</p><p>T</p><p>P i f P</p><p>Fel</p><p>i f</p><p>P</p><p>mgy mgy onde E mgy</p><p>kx kx</p><p>onde E</p><p>kx</p><p>g</p><p>el</p><p>= − =</p><p>= − =</p><p>,</p><p>,</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>Agora, falta demonstrar o terceiro teorema trabalho-energia, que</p><p>diz respeito exatamente ao trabalho das forças não conservativas:</p><p>Como sabemos:</p><p>T T</p><p>T</p><p>T</p><p>R F</p><p>R C</p><p>F cons P</p><p>todas as for as</p><p>E</p><p>E</p><p>= ∑</p><p>=</p><p>= −−</p><p>( )ç</p><p>∆</p><p>∆</p><p>Como todas</p><p>E E</p><p>As</p><p>R F</p><p>R F Cons F N cons</p><p>C P</p><p>: ( )</p><p>Logo:</p><p>( )</p><p>T T</p><p>T T T</p><p>= ∑</p><p>= ∑ +∑</p><p>↓ ↓</p><p>∑ −</p><p>− −</p><p>∆ ∆</p><p>ssim E E</p><p>E E E E</p><p>F N cons C P</p><p>F N cons C C P P</p><p>F N co</p><p>f i f i</p><p>: ∑ = +∑</p><p>= −( ) + ∑ −( )</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>T</p><p>T</p><p>T</p><p>∆ ∆</p><p>nns C P C P</p><p>F N cons C P f C P</p><p>E E E E</p><p>ou ainda E E E E</p><p>f f i i</p><p>= + ∑( ) − + ∑( )</p><p>= + ∑( ) − + ∑−: T (( )</p><p>i</p><p>Neste momento é conveniente chamar de energia mecânica (E</p><p>M</p><p>)</p><p>a soma da energia cinética com as energias potenciais de uma</p><p>partícula, fazendo com que a expressão acima se torne:</p><p>T</p><p>T</p><p>F N cons M M</p><p>F N cons m</p><p>E E</p><p>E</p><p>f i−</p><p>−</p><p>= −</p><p>= ∆</p><p>Assim, relembramos os três teoremas trabalho × energia.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>)</p><p>)</p><p>T</p><p>T</p><p>T</p><p>R C</p><p>F cons P</p><p>F N cons M</p><p>E</p><p>E</p><p>E</p><p>=</p><p>= −</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>∆</p><p>∆</p><p>∆</p><p>Neste momento, estamos aptos a classificar os sistemas físicos</p><p>de acordo com o “comportamento” da sua energia mecânica:</p><p>Sistemas físicos</p><p>Conservativos Não conservativos</p><p>⇓ ⇓</p><p>se T</p><p>F-ÑCONS</p><p>= 0 se T</p><p>F-ÑCONS</p><p>≠ 0</p><p>⇓ ⇓</p><p>∆E</p><p>M</p><p>= 0 ou E</p><p>M</p><p>= cte E</p><p>M</p><p>≠ cte</p><p>∆E</p><p>M</p><p>> 0 ou ∆E</p><p>M</p><p>< 0</p><p>↓ ↓</p><p>Sist. Sist.</p><p>Motores Dissipativos</p><p>Esse diagrama mostra que para um sistema físico ser</p><p>conservativo (E</p><p>m</p><p>= cte) é preciso que as forças não conservativas não</p><p>realizem trabalho.</p><p>Isso será possível em 3 casos:</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p></p><p></p><p> </p><p>F</p><p>F</p><p>F v</p><p>Ñcons</p><p>Ñcons</p><p>Ñcons</p><p>=</p><p>∑ =</p><p>⊥</p><p>0</p><p>0</p><p>Quando qualquer uma dessas situações acontecer, o sistema</p><p>será dito conservativo e poderemos usar o fato da energia mecânica</p><p>permanecer constante.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>Exercícios</p><p>01. (ITA/87) A figura representa uma pista sem atrito cuja secção vertical</p><p>forma a partir do ponto mais baixo A uma semicircunferência de raio</p><p>R. Um objeto de massa M é abandonado a partir de uma altura H que</p><p>é a mínima que ainda lhe permite atingir o ponto B situado na vertical</p><p>de A.</p><p>Sendo T</p><p>1</p><p>o trabalho da força peso e T</p><p>2</p><p>o trabalho da reação da</p><p>pista ao longo dessa trajetória CAB, podemos afirmar, a respeito</p><p>de H, T</p><p>1</p><p>e T</p><p>2</p><p>que:</p><p>A) H = 5</p><p>2</p><p>R ; T</p><p>1</p><p>e T</p><p>2</p><p>só podem ser calculados conhecendo-se a</p><p>forma detalhada da pista.</p><p>B) H =</p><p>5</p><p>2</p><p>R</p><p>; T</p><p>1</p><p>= mg</p><p>R</p><p>2</p><p>; T</p><p>2</p><p>só pode ser calculado conhecendo-se</p><p>a forma detalhada da pista.</p><p>C) H =</p><p>3</p><p>2</p><p>R</p><p>; T</p><p>1</p><p>= – Mg</p><p>R</p><p>2</p><p>; T</p><p>2</p><p>= 0.</p><p>D) H =</p><p>5</p><p>2</p><p>R</p><p>; T</p><p>1</p><p>= Mg</p><p>R</p><p>2</p><p>; T</p><p>2</p><p>= 0.</p><p>E) H =</p><p>3</p><p>2</p><p>R</p><p>; T</p><p>1</p><p>= Mg</p><p>R</p><p>2</p><p>; T</p><p>2</p><p>= – Mg</p><p>R</p><p>2</p><p>.</p><p>02. (ITA/76) Abandona-se com velocidade inicial nula uma partícula</p><p>de massa m</p><p>2</p><p>, no interior de uma casca hemisférica, na posição</p><p>definida pelo ângulo a (ver figura). Supondo que não haja atrito,</p><p>a força F</p><p></p><p>que a casca exerce sobre a partícula quando esta se</p><p>encontra no ponto mais baixo de sua trajetória, é dada por:</p><p>A) F = mg(2cos a – 1)</p><p>B) F = mg(3 – 2cos a)</p><p>C) F = mg(1 – 2cos a)</p><p>D) F = 2mg(1 – cos a)</p><p>E) F = mg</p><p>03. (ITA/84) Uma mola de massa desprezível</p><p>tem constante elástica K e comprimento</p><p>L</p><p>0</p><p>quando não esticada. A mola é</p><p>suspensa verticalmente por uma das</p><p>extremidades e na outra extremidade é</p><p>preso um corpo de massa m. Inicialmente</p><p>o corpo é mantido em repouso numa</p><p>posição tal que a força exercida pela mola</p><p>seja nula. Em seguida a massa n é</p><p>abandonada com velocidade inicial nula.</p><p>Desprezando o atrito, o comprimento</p><p>máximo (L) da mola será dado por:</p><p>A) L = L</p><p>0</p><p>+</p><p>mg</p><p>K</p><p>B) L =</p><p>mg</p><p>K</p><p>C) L = L</p><p>0</p><p>+</p><p>2mg</p><p>K</p><p>D) L =</p><p>2mg</p><p>K</p><p>E) L =</p><p>1</p><p>2 0L</p><p>mg</p><p>K</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>04. (ITA/78) Na figura abaixo, a mola é ideal, a situação I é a de equilíbrio</p><p>estável do sistema massa-mola e a situação II é a da mola em</p><p>repouso. Abandona-se o bloco M como indica a situação II, pode-</p><p>se afirmar que a máxima velocidade que o bloco M atingirá será</p><p>dada por:</p><p>A) V</p><p>máx</p><p>= 2gd</p><p>B) v</p><p>máx</p><p>= g h d( )+</p><p>C) v</p><p>máx</p><p>= 2g h d( )+</p><p>D) v</p><p>máx</p><p>= 2gh</p><p>E) v</p><p>máx</p><p>= g h d( )2 +</p><p>05. (ITA/82) Sobre um plano inclinado de um ângulo a sobre o</p><p>horizonte, fixa-se um trilho ABCDE composto das porções:</p><p>AB = DE =  (na direção do declive do plano inclinado e da</p><p>semicircunferência</p><p>BDC de raio R, à qual AB e ED são tangentes.</p><p>A partir de A lança-se uma bolinha ao longo de AB, por dentro</p><p>do trilho. Desprezando todos os atritos e resistências, podemos</p><p>afirmar que a mínima velocidade inicial que permite que a bolinha</p><p>descreva toda a semicircunferência BCD é:</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>A) ( )3 2R g sen+  α .</p><p>B) Qualquer velocidade inicial é suficiente.</p><p>C) 2g sen α</p><p>D) 3 2gR g+ </p><p>E) Nenhuma. É possível que a bolinha faça esse percurso.</p><p>06. Um anel de peso 36 N está ligado a uma mola e desliza sem atrito</p><p>num fio circular situado num plano vertical. Calcular a constante</p><p>elástica da mola para que a velocidade do anel seja a mesma nos</p><p>pontos B e D. A mola não está deformada quando o anel estiver em</p><p>B. Admitir que o anel parte de C.</p><p>08. Em um fio ideal encontra-se uma esfera. O fio é colocado em uma</p><p>posição horizontal e depois solto. Seja a o ângulo formado entre</p><p>o fio e a vertical nos instantes em que a direção da aceleração do</p><p>sistema é horizontal. Determine o valor de sec2 a.</p><p>09. Encontrar a energia cinética de um aro de massa M e raio</p><p>R, sendo que o aro movimenta-se, retilineamente, com</p><p>velocidade V e gira com velocidade angular w em redor do</p><p>eixo que passa através do centro. Suponha que o aro rola sem</p><p>escorregamento.</p><p>10. (Fuvest-SP) Numa montanha-russa um carrinho com 300 kg de</p><p>massa é abandonado do repouso de um ponto A, que está 5,0</p><p>m de altura. Supondo que os atritos sejam desprezíveis e que</p><p>g = 10 m/s2, calcule:</p><p>A) o valor da velocidade do carrinho no ponto B.</p><p>B) a energia cinética do carrinho no ponto C, que está a 4,0 m</p><p>de altura.</p><p>11. (UFJF-MG) Um garoto brinca com uma mola helicoidal. Ele coloca</p><p>a mola em pé em uma mesa e apoia sobre ela um pequeno</p><p>disco plástico. Segurando a borda do disco, ele comprime a</p><p>mola, contraindo-a de 5mm. Após o garoto soltar os dedos, a</p><p>mola projeta o disco 100 mm para cima (contados do ponto do</p><p>lançamento, veja a figura).</p><p>Considerando-se a mola ideal e desprezando-se a resistência</p><p>do ar, quanto subiria o disco se o garoto contraísse a mola de</p><p>10 mm?</p><p>A) 400 mm</p><p>B) 200 mm</p><p>C) 100 mm</p><p>D) 80 mm</p><p>E) 90 mm</p><p>07. O colar de 2,5 kg desliza sem atrito ao longo da barra horizontal</p><p>(parte do ponto médio). Sabendo-se que a mola tem constante</p><p>K = 10 N/m e está sem deformação na posição ilustrada, determine</p><p>a velocidade V</p><p>0</p><p>necessária para ele alcançar o ponto C.</p><p>Dados: X</p><p>0</p><p>= y0 5 ; Y</p><p>0</p><p>= ( +6 2 )m</p><p>C</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>12. (Fatec-SP) A figura representa uma pista no plano vertical, por</p><p>onde uma partícula desliza sem atrito. Abandonada do repouso</p><p>no ponto A, a partícula passa por B, tendo nesse ponto aceleração</p><p>2 g (igual ao dobro da aceleração gravitacional). Sendo R o raio</p><p>da circunferência descrita, a altura de A em relação à base é:</p><p>A) 1R</p><p>B) 2R</p><p>C) 3R</p><p>D) 4R</p><p>E) 5R</p><p>13. (UFRJ) Um trilho em forma de arco circular, contido em um plano</p><p>vertical, está fixado em um ponto A de um plano horizontal. O</p><p>centro do arco está em um ponto O desse mesmo plano. O arco</p><p>é de 90º e tem raio R, como ilustra a figura.</p><p>Um pequeno objeto é lançado para cima, verticalmente, a partir</p><p>da base A do trilho e desliza apoiado internamente a ele, sem</p><p>atrito, até o ponto B, onde escapa horizontal, caindo no ponto</p><p>P do plano horizontal onde está fixado o trilho. A distância do</p><p>ponto P ao ponto A é igual a 3R.</p><p>Calcule o módulo da velocidade inicial v</p><p></p><p>0 com que o corpo foi</p><p>lançado, em função do raio R e do módulo da aceleração da</p><p>gravidade g.</p><p>14. (Olimpíada Brasileira de Física) Um bloco de massa m = 0,60 kg,</p><p>sobre um trilho de atrito desprezível, comprime uma mola de</p><p>constante elástica k = 2,0 · 103 N/m, conforme a figura abaixo.</p><p>Considere que a energia potencial gravitacional seja zero na</p><p>linha tracejada. O bloco, ao ser liberado, passa pelo ponto</p><p>P(h = 0,60 m), onde 75% de sua energia mecânica é cinética. Adote</p><p>g = 10,0 m/s2 e despreze o efeito do ar.</p><p>A compressão x da mola foi de:</p><p>A) 9,0 cm</p><p>B) 12,0 cm</p><p>C) 15,0 cm</p><p>D) 18,0 cm</p><p>E) 21,0 cm</p><p>15. Um pequeno bloco de gelo parte do repouso do ponto A da</p><p>superfície hemisférica representada na figura e desce sem sofrer</p><p>ação de atritos ou da resistência do ar:</p><p>Sendo R o raio do hemisfério, calcule a que altura h do solo o</p><p>bloco perde o contato com a superfície, passando a se mover sob</p><p>ação exclusiva da gravidade g</p><p></p><p>.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>D B C E A</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– * * * –</p><p>11 12 13 14 15</p><p>– – – – –</p><p>*07: V</p><p>0</p><p>= 4 m/s</p><p>*08: sec2 3</p><p>2</p><p>α =</p><p>*09: E</p><p>I MR M R</p><p>C = = =</p><p>( )ω ω ω2 2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>– Demonstração.</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: energia e SiSTemaS ConServaTivoS ii</p><p>frente: FíSiCa</p><p>AULAS 43 E 44</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Exercícios</p><p>01. O corpo da figura parte do repouso no ponto A e abandona a</p><p>esfera no ponto B. Desprezando-se os atritos. Calcule a altura H</p><p>em função do R.</p><p>02. Helena, cuja massa é 50 kg, pratica o esporte radical bungee</p><p>jumping. Em um treino, ela se solta da beirada de um</p><p>viaduto, com velocidade inicial nula, presa a uma faixa elástica</p><p>de comprimento natural L</p><p>0</p><p>= 15 m e constante elástica</p><p>k = 250 N/m. Quando a faixa está esticada 10 m além de seu</p><p>comprimento natural, o módulo de velocidade de Helena é</p><p>Note e adote:</p><p>Aceleração da gravidade: 10 m/s2.</p><p>A faixa é perfeitamente elástica; sua massa e efeitos dissipativos</p><p>devem ser ignorados.</p><p>A) 0 m/s B) 5 m/s</p><p>C) 10 m/s D) 15 m/s</p><p>E) 20 m/s</p><p>03. Uma haste rígida de comprimento L e massa desprezível é suspensa</p><p>por uma extremidade de tal forma que a mesma possa oscilar sem</p><p>atrito. Na outra extremidade da haste acha-se fixado um bloco</p><p>de massa 4,0kg. A haste é abandonada no repouso, quando a</p><p>mesma faz um ângulo q = 60ºcom a vertical.</p><p>Calcule a tensão T</p><p>�</p><p>sobre a haste, quando o bloco passa pela</p><p>posição baixa. g = 10 m/s.</p><p>A) 40 N B) 80</p><p>C) 160 N D) 190 N</p><p>E) 210 N</p><p>04. Uma bolinha é abandonado do ponto A do trilho liso AB e atinge</p><p>o solo no ponto C. Supondo que a velocidade da bolinha no ponto</p><p>B seja horizontal, a altura h vale:</p><p>A) 1,25 m</p><p>B) 1,75 m</p><p>C) 2,00 m</p><p>D) 2,25 m</p><p>E) 2,50 m</p><p>05. Um colar com massa 4 kg é preso a uma mola e desliza sem atrito</p><p>ao longo da barra circular situada num plano horizontal. A mola</p><p>está sem deformação quando o colar está em C e a constante</p><p>da mola é K = 4 N/m. Se o calor é liberado do repouso em B,</p><p>determine a velocidade do colar quando ele passar no ponto C.</p><p>Obs.: L</p><p>0</p><p>= R = ( 5 + 1)m</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>06. Uma partícula de massa m, está presa a um fio inextensível e</p><p>de massa desprezível, e descreve um círculo vertical de raio R.</p><p>Sabendo-se que sua velocidade no ponto mais alto do círculo</p><p>é tal que seu quadrado é igual ao produto de oito vezes o raio</p><p>pela aceleração da gravidade, (v2 = 8Rg). Calcule a razão entre a</p><p>tensão no fio e o peso da partícula no ponto mais baixo do círculo</p><p>vertical. Despreze o atrito com o ar.</p><p>07. A esfera de um pêndulo tem uma massa de 0,2 kg e é liberada</p><p>do repouso na posição mostrada. Sabe-se que o cabo se rompe</p><p>com uma tração de 5,0 N.</p><p>Determine o valor de h para o ponto onde ocorrerá a ruptura.</p><p>Dados: r = 0,75 m; g = 9,81 m/s2</p><p>08. Um colar de massa 4 kg pode deslizar sem atrito ao longo da</p><p>barra semicircular BCD. A mola tem constante elástica 10 N/m</p><p>e seu comprimento normal é de 0,5 m. O colar é liberado em B.</p><p>Quando o colar passar pelo ponto C, determine a velocidade do</p><p>mesmo.</p><p>R = 2 m</p><p>X0 = 1 m</p><p>g = 10 m/s2</p><p>09. Um pequeno corpo A desliza, sendo nula sua velocidade inicial,</p><p>desde a cúspide de uma rampa lisa de altura H, que tem trampolim</p><p>horizontal. Determine:</p><p>A) a altura h do trampolim, a fim de que S seja máxima.</p><p>B) a distância S máxima.</p><p>Dados:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10.</p><p>g</p><p>h</p><p>Um cilindro de raio rola, sem deslizar, em velocidade angular ω,</p><p>sobre uma superfície plana horizontal até atingir uma rampa.</p><p>Considerando também que o rolamento na rampa seja sem</p><p>deslizamento e chamando de g a aceleração da gravidade, a altura</p><p>máxima, h, que o eixo do cilindro alcança na rampa em relação</p><p>à superfície plana é:</p><p>A) R +</p><p>ω2 2R</p><p>g</p><p>B) R +</p><p>ω2 2</p><p>2</p><p>R</p><p>g</p><p>C) 2R +</p><p>ω2 2R</p><p>g</p><p>D) ω</p><p>2 2R</p><p>g</p><p>E) ω</p><p>2 2</p><p>2</p><p>R</p><p>g</p><p>11. Uma pequena esfera penetra com velocidade V</p><p>��</p><p>em um tubo oco,</p><p>recurvado e colocado em um plano vertical, como mostra a figura,</p><p>num local onde a aceleração da gravidade tem módulo igual a g.</p><p>Supondo que a esfera percorra a região interior do tubo sem atrito</p><p>e acabe saindo horizontalmente pela extremidade, pergunta-se:</p><p>que distância x, horizontal, ela percorrerá até tocar o solo?</p><p>12. Na figuram, tem-se um cilindro de massa 5,0 kg, dotado de um</p><p>furo, tal que, acoplado à barra vertical indicada, pode deslizar</p><p>sem atrito ao longo dela. Ligada ao cilindro, existe uma mola</p><p>de constante elástica igual a 5,0 · 102 N/m e comprimento</p><p>natural de 8,0 cm, cuja outra extremidade está fixada no ponto</p><p>O. Inicialmente, o sistema encontra-se em repouso (posição A)</p><p>quando o cilindro é largado, descendo pela barra e alongando a</p><p>mola. Calcule o módulo da velocidade do cilindro depois de ter</p><p>descido 16 cm (posição B). Adote nos cálculos g = 10 m/s2.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>13. Um bloco de massa m = 80 g é mantido encostado a uma</p><p>mola de eixo vertical, não-deformada, de constante elástica</p><p>K = 2,0 N/m e massa desprezível, conforme representa a figura.</p><p>No local, a influência do ar é desprezível, conforme representa</p><p>a figura. No local, a influência do ar é desprezível e adota-se</p><p>g</p><p>�</p><p>= 10 m/s2 . Em determinado instante, esse bloco é abandonado,</p><p>adquirindo movimento para baixo.</p><p>Considere as proposições:</p><p>I. O valor da velocidade atingida pelo bloco é 2 m/s;</p><p>II. A força exercida pelo bloco sobre a mola no instante em que sua</p><p>velocidade é máxima tem intensidade igual a 8,0 · 10–1 N;</p><p>III. A deformação máxima da mola é de 80 cm.</p><p>É (são) corretas(s):</p><p>A) apenas I</p><p>B) apenas II</p><p>C) apenas III</p><p>D) apenas I e II</p><p>E) I, II e III</p><p>14. A mola da figura abaixo possui uma constante elástica</p><p>K = 280 N/m e está inicialmente comprimida de 10 cm:</p><p>Uma bola com massa de 20 g encontra-se encostada na mola</p><p>instante em que esta é abandonada. Considerando g = 10 m/s2</p><p>e que todas as superfícies são perfeitamente lisas, determine:</p><p>A) o valor da velocidade da bola no ponto D.</p><p>B) o valor da força que o trilho exerce na bola no ponto D.</p><p>C) o valor da aceleração tangencial da bola quando ela passa pelo</p><p>ponto C.</p><p>15. Larga-se a bola na posição indicada na figura. O comprimento do</p><p>fio é 2L. De quanto se alonga a mola, no máximo?</p><p>Dados: L</p><p>0</p><p>= 16 cm; K = 50 N/m; m = 0,2 kg; g = 10 m/s2</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* A C A –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* – * * A</p><p>11 12 13 14 15</p><p>– – E – –</p><p>*01: H</p><p>R</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>05: A) v m n gL0 2í =</p><p>B)</p><p>m</p><p>L</p><p>v gL mg v gL0</p><p>2</p><p>04 0 5−( )− ≥ ⇒ ≥</p><p>06:</p><p>T</p><p>P</p><p>mg</p><p>mg</p><p>B = =</p><p>13</p><p>13</p><p>*08: V</p><p>c</p><p>@ 6,57 m/s</p><p>*09: A)</p><p>h g</p><p>t</p><p>S V t S V t S V</p><p>h</p><p>g</p><p>S g g H h h</p><p>S</p><p>B B B</p><p>=</p><p>= ⇒ = ⇒ = ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ ⋅ = − ⋅</p><p>⇒ =</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>4</p><p>2 2 2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>( )</p><p>hh H h</p><p>S h H h</p><p>f x</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>−</p><p>⇒ = −2 ��� ��</p><p>B) h</p><p>H</p><p>S</p><p>H H</p><p>S H= ⇒ = ⇒ =</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: energia e SiSTemaS não ConServaTivoS</p><p>frente: FíSiCa i</p><p>016.502 – 141826/19</p><p>AULAS 45 E 46</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Recordando a classificação de sistemas físicos quanto ao</p><p>comportamento da Energia Mecânica, temos:</p><p>Sistemas físicos</p><p>Conservativos</p><p>ou</p><p>Se T</p><p>F–Ñ CONS</p><p>= 0 Se T</p><p>F–Ñ CONS</p><p>≠ 0</p><p>Sistemas</p><p>Motores</p><p>Sistemas</p><p>Dissipativos</p><p>E</p><p>M</p><p>≠ cte</p><p>∆E</p><p>M</p><p>> 0 ou ∆E</p><p>M</p><p>< 0</p><p>↓</p><p>⇓</p><p>⇓ ⇓</p><p>⇓</p><p>Não conservativos</p><p>∆E</p><p>M</p><p>= 0 E</p><p>M</p><p>= cte</p><p>Dessa forma, vale salientar que, em um sistema não conservativo,</p><p>o trabalho da forças não conservativas será diferente de zero, e será</p><p>igual à variação da energia mecânica desse sistema:</p><p>T</p><p>Forças não conservativas</p><p>= ∆E</p><p>M</p><p>Exercícios</p><p>01. No esquema da figura, o bloco tem massa 3,0 kg e encontra-se</p><p>inicialmente em repouso em um ponto da rampa, situado à altura</p><p>de 1,0 m.</p><p>1,0 m</p><p>g</p><p>Uma vez abandonado, o bloco desce atingindo a mola de</p><p>constante elástica igual a 1,0 · 103 N/m, que sofre uma compressão</p><p>máxima de 20 cm. Adotando</p><p></p><p>g m s= 10 2/ , calcule a energia</p><p>mecânica dissipada no processo.</p><p>02. (ITA/86) Da posição mais baixa de um plano inclinado, lança-se um</p><p>bloco de massa 50 kg com uma velocidade de 4,0 m/s no sentido</p><p>ascendente. O bloco retorna a este ponto com uma velocidade</p><p>de 3,0 m/s. Calcule a distância d percorrida pelo bloco em sua</p><p>ascensão.</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>d</p><p>V</p><p>θ =</p><p>π</p><p>6</p><p>A) 0,75 m</p><p>B) 1,0 m</p><p>C) 1,75 m</p><p>D) 2, 0 m</p><p>E) N.d.a.</p><p>03. (ITA/83) Um pêndulo de comprimento  é abandonado na posição</p><p>indicada na figura e quando passa pelo ponto mais baixo de sua</p><p>trajetória tangencia a superfície de um líquido, perdendo, em cada</p><p>uma dessas passagens 30% da energia cinética que possui. Após</p><p>uma oscilação completa, qual será, aproximadamente, o ângulo</p><p>que o fio do pêndulo fará com a vertical?</p><p>A) 75°</p><p></p><p>m</p><p>π</p><p>—</p><p>2</p><p>B) 60°</p><p>C) 55°</p><p>D) 45°</p><p>E) 30°</p><p>04. (ITA/75) Um bloco de gelo de 2,0 g escorrega em uma tigela</p><p>hemisférica, de raio 30 cm, desde uma borda até a parte inferior.</p><p>Se a velocidade na parte inferior for 200 cm/s, o trabalho realizado</p><p>pelas forças de atrito, durante o trajeto, foi</p><p>Obs.: Despreze a variação de massas do gelo.</p><p>R</p><p>A) zero.</p><p>B) 1,9 × 102 erg.</p><p>C) 5,9 × 104 erg.</p><p>D) 1,9 × 104 erg.</p><p>E) outro valor.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.502 – 141826/19</p><p>05. Um dos extremos de uma corrente de massa m e comprimento </p><p>pende de uma mesa. Quando a parte pendente é</p><p>1</p><p>3</p><p>, a cadeia</p><p>começa a deslizar. Determine o trabalho da força de atrito que</p><p>atua sobre a corrente durante seu deslizamento total sobre</p><p>a mesa.</p><p>Dado: w</p><p>mg</p><p>fat = − </p><p>9</p><p>�</p><p>3</p><p>06. Um corpo preso a uma corda elástica é abandonado em queda</p><p>livre do topo de um edifício, conforme apresentado na figura a</p><p>seguir. Ao atingir o solo, penetra em uma distância x abaixo do</p><p>nível do solo até atingir o repouso. Diante do exposto, a força de</p><p>resistência média que o solo exerce sobre o corpo é</p><p>Dados:</p><p>• aceleração gravitacional: g;</p><p>• constante elástica da corda: k;</p><p>• massa do corpo: M;</p><p>• altura do edifício em relação ao solo: H;</p><p>• comprimento da corda: L;</p><p>• distância que o corpo penetra no solo até atingir o repouso: x.</p><p>Corpo</p><p>Corda elástica</p><p>Prédio</p><p>H</p><p>Observação:</p><p>• A corda elástica relaxada apresenta comprimento menor que</p><p>a altura do edifício.</p><p>A) Mg</p><p>MgH k HL Lx Hx</p><p>x</p><p>k</p><p>H x L</p><p>x</p><p>+</p><p>+ + −( )</p><p>−</p><p>+ +2 2 2</p><p>2</p><p>B) Mg</p><p>MgH k HL Lx Hx</p><p>x</p><p>k</p><p>H x L</p><p>x</p><p>+</p><p>+ − −( )</p><p>−</p><p>+ +</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>C) Mg</p><p>MgH k HL Lx Hx</p><p>x</p><p>k</p><p>H x L</p><p>x</p><p>+</p><p>− + +( )</p><p>+</p><p>+ +</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>D) Mg</p><p>MgH k HL Lx Hx</p><p>x</p><p>k</p><p>H x L</p><p>x</p><p>−</p><p>− − −( ) + + +2 2 2</p><p>2</p><p>E) Mg</p><p>MgH k HL Lx Hx</p><p>x</p><p>k</p><p>H x L</p><p>x</p><p>+</p><p>− + −( )</p><p>−</p><p>+ +2 2 2</p><p>2</p><p>07. Uma esfera movimenta-se em um plano horizontal, subindo,em</p><p>seguida, uma rampa, conforme a figura. Com qual velocidade a</p><p>esfera deve passar pelo ponto A para chegar a B com velocidade</p><p>de 4 m/s? Sabe-se que, no percurso AB, há uma perda de energia</p><p>de 20%.</p><p>Dados: h = 3,2 m; g = 10 m/s2.</p><p>A</p><p>B</p><p>h</p><p>08. (Ufla-MG) Um bloco de massa m = 5 kg encontra-se em uma</p><p>superfície curva a uma altura h</p><p>0</p><p>= 10 m do chão, como mostra</p><p>a figura. Na região plana da figura, de comprimento 10 m, existe</p><p>atrito. O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o chão é</p><p>µ = 0,1. O bloco é solto a partir do repouso. Adote g = 10 m/s2.</p><p>10 m</p><p>h0 = 10 m</p><p>A) Indique, em um diagrama, as forças sobre o bloco quando este</p><p>se encontra na parte curva e na parte plana da trajetória.</p><p>B) Calcule a altura máxima que o bloco irá atingir quando chegar</p><p>pela primeira vez à parte curva da direita.</p><p>C) Quantas vezes o bloco irá passar pelo plano antes de parar</p><p>definitivamente?</p><p>09. (Ufac) Um corpo de 12 kg de massa desliza sobre uma superfície</p><p>horizontal sem atrito, com velocidade de 10 m/s, e passa para uma</p><p>região onde o coeficiente de atrito cinético é de 0,50. Pergunta-se:</p><p>qual é o trabalho realizado pela força de atrito após ter o bloco</p><p>percorrido 5,0 m na região com atrito? E qual é a velocidade do</p><p>bloco ao final desses 5,0 m?</p><p>Dado: g = 10 m/s2.</p><p>A) −300 6 5J e m s/</p><p>B) −300 5 6J e m s/</p><p>C) −900 6 5J e m s/</p><p>D) 900 5 6J e m s/</p><p>E) −300 5 2J e m s/</p><p>10. (Fuvest-SP) Uma bola de 0,2 kg de massa é lançada verticalmente</p><p>para baixo, com velocidade inicial de 4 m/s. A bola bate no solo</p><p>e, na volta, atinge uma altura máxima que é idêntica à altura do</p><p>lançamento (g = 10 m/s2). Qual é a energia mecânica perdida</p><p>durante o movimento?</p><p>A) 0 J</p><p>B) 1.600 J</p><p>C) 1,6 J</p><p>D) 800 J</p><p>E) 50 J</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>016.502 – 141826/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>11. Próximo à borda de uma piscina, existe um escorregador, conforme</p><p>ilustra a figura a seguir.</p><p>2,40 m</p><p>0,350 m</p><p>A</p><p>P</p><p>30º</p><p>Uma criança de massa 40,0kg sai do repouso no ponto P do</p><p>escorregador e, depois de um certo tempo, atinge a superfície livre</p><p>da água, a qual está 35,0 cm abaixo do nível da borda. Sabe-se</p><p>que, em todo o trecho do escorregador, a criança perdeu 25%</p><p>da energia mecânica que possuía em P; por isso, ela atingirá a</p><p>superfície livre da água em um ponto situado a</p><p>Dados:</p><p>g = 10m/s2; sen 30° = cos 60° = 0,50; sen 60° = cos 30° = 0,87.</p><p>A) 19,0 cm de A.</p><p>B) 52,2 cm de A.</p><p>C) 60,6 cm de A.</p><p>D) 69,0 cm de A.</p><p>E) 102,2 cm de A.</p><p>12. No sistema indicado, a mola ideal está com seu comprimento</p><p>natural.</p><p>Apoio</p><p>Em uma primeira experiência, o apoio é baixado muito lentamente</p><p>até abandonar o bloco. Numa segunda experiência o apoio é</p><p>subitamente retirado. Qual a razão entre as distensões máximas</p><p>sofridas pela mola nas duas experiências?</p><p>13. Um carro está com velocidade constante de 108 km/h. A potência do</p><p>motor é de 75 kW. Nessas condições, a força oposta ao movimento</p><p>do carro tem intensidade, em newtons,</p><p>A) 1,5 × 102</p><p>B) 2,5 × 102</p><p>C) 8,0 × 102</p><p>D) 1,2 × 103</p><p>E) 2,5 × 103</p><p>14. Um objeto pontual de massa m desliza com velocidade inicial</p><p></p><p>v,</p><p>horizontal, do topo de uma esfera em repouso, de raio R.</p><p>Ao escorregar pela superfície, o objeto sofre uma força de atrito</p><p>de módulo constante dado por f</p><p>mg= 7</p><p>4π</p><p>.</p><p>m</p><p>R</p><p>60º</p><p>→</p><p>v</p><p>Para que o objeto se desprenda da superfície esférica após</p><p>percorrer um arco de 60° (veja figura), sua velocidade inicial deve</p><p>ter o módulo de</p><p>A) 2</p><p>3</p><p>gR B) 3</p><p>2</p><p>gR</p><p>C) 6</p><p>2</p><p>gR D) 3</p><p>2</p><p>gR</p><p>E) 3 gR</p><p>15. Em um local cujo módulo da aceleração gravitacional é desconhecido,</p><p>um pequeno corpo é abandonado, do repouso, a uma altura de</p><p>6,40 m em relação ao solo, plano e horizontal. Imediatamente</p><p>após o impacto com o solo, esse pequeno corpo ascende</p><p>verticalmente, com uma velocidade inicial de módulo igual a 75%</p><p>do módulo de sua velocidade no instante do impacto. A altura</p><p>máxima atingida nessa ascensão será</p><p>A) impossível de se saber, pelo fato de desconhecermos o módulo</p><p>da aceleração gravitacional local.</p><p>B) 6,40m.</p><p>C) 4,80m.</p><p>D) 3,60m.</p><p>E) 3,20m.</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05 06 07 08</p><p>– E – D – A * *</p><p>09 10 11 12 13 14 15</p><p>E C B * E A D</p><p>– Demonstração</p><p>*07: 10 m/s</p><p>08:</p><p>→</p><p>P</p><p>→</p><p>R</p><p>→</p><p>f</p><p>at.</p><p>→</p><p>f</p><p>at.</p><p>→</p><p>F</p><p>N</p><p>+=</p><p>→</p><p>P</p><p>→</p><p>F</p><p>N</p><p>ou→</p><p>P</p><p>→</p><p>F</p><p>N</p><p>→</p><p>P</p><p>→</p><p>R</p><p>→</p><p>f</p><p>at.</p><p>→</p><p>f</p><p>at.</p><p>→</p><p>F</p><p>N</p><p>+=</p><p>→</p><p>P</p><p>→</p><p>F</p><p>N</p><p>ou→</p><p>P</p><p>→</p><p>F</p><p>N</p><p>→</p><p>P</p><p>→</p><p>R</p><p>→</p><p>f</p><p>at.</p><p>→</p><p>f</p><p>at.</p><p>→</p><p>F</p><p>N</p><p>+=</p><p>→</p><p>P</p><p>→</p><p>F</p><p>N</p><p>ou→</p><p>P</p><p>→</p><p>F</p><p>N</p><p>,</p><p>ou</p><p>a)</p><p>b) 9 m</p><p>c) 10 vezes</p><p>12:</p><p>x</p><p>x</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>Supervisor(a)/Diretor(a): Marcelo Pena – Autor(a): Ken Aikawa</p><p>Digitador(a): Cirlene-30/08/2019 – Revisor(a): Sarah</p><p>FÍSICA I</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: Impulso e momenTo lInear</p><p>frente: FísICa I</p><p>016.504 – 141823/19</p><p>AULAS 47 A 50</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Impulso</p><p>No tópico anterior discutimos uma ferramenta extremamente</p><p>útil na solução de alguns problemas. Neste tópico, vamos mostrar</p><p>outra ferramenta igualmente interessante que será bastante útil na</p><p>solução de uma outra classe de problemas.</p><p>Quantidade de movimento ou momento linear �</p><p>p( )</p><p>Essa grandeza já foi definida anteriormente quando da</p><p>discussão das leis de Newton, mas vamos relembrar: seja uma partícula</p><p>de massa m e velocidade</p><p>�</p><p>v, seu momento linear será dado por:</p><p>� �</p><p>p mv=</p><p>Agora, imagine um sistema de N partículas de massas</p><p>m i Ni ( ),1≤ ≤ onde cada uma possui velocidade</p><p>�</p><p>v1, assim,</p><p>podemos definir o momento linear total desse sistema de partículas</p><p>através de:</p><p>� � � �</p><p>P P ou P m VT i</p><p>i</p><p>N</p><p>T i</p><p>i</p><p>N</p><p>= =</p><p>= =</p><p>∑ ∑</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Impulso de uma força IF</p><p>�( )</p><p>Imagine um corpo que fica sujeito à ação de uma força durante</p><p>um intervalo de tempo que vai de t</p><p>i</p><p>até t</p><p>f</p><p>, logo, a força atuou sobre o</p><p>corpo por um intervalo de tempo Dt, onde Dt = t</p><p>f</p><p>– t</p><p>i</p><p>.</p><p>A partir daí, definimos o impulso dessa força sobre o corpo,</p><p>nesse intervalo de tempo:</p><p>� �</p><p>I FdtF</p><p>t</p><p>t</p><p>i</p><p>f</p><p>= ∫ ,</p><p>onde a força deve ser conhecida como função do tempo:</p><p>� �</p><p>F F t= ( ).</p><p>Agora imagine um corpo em movimento sob a ação de diversas</p><p>forças, provavelmente essas forças terão resultante não nula, o que</p><p>irá acarretar uma mudança na velocidade do corpo.</p><p>Iremos agora estabelecer uma relação entre as forças que</p><p>atuam no corpo, o tempo de ação, as velocidades no início e ao fim</p><p>do movimento. Essa relação é conhecida como teoria do impulso</p><p>(para 1 partícula):</p><p>Supor:</p><p>Podemos calcular o impulso de cada força</p><p>�</p><p>Fi de t</p><p>i</p><p>a t</p><p>f</p><p>:</p><p>� �</p><p>I F dtF i f</p><p>t</p><p>t</p><p>i</p><p>i</p><p>f</p><p>= ∫</p><p>Se somarmos todos esses impulsos, teremos:</p><p>� � �</p><p>I Fdt F dtF</p><p>i</p><p>N</p><p>t</p><p>t</p><p>i</p><p>N</p><p>i</p><p>i</p><p>N</p><p>t</p><p>t</p><p>i</p><p>i</p><p>f</p><p>i</p><p>f</p><p>= = =</p><p>∑ ∫∑ ∑∫= =</p><p>1 1 1</p><p>Logo:</p><p>� � �</p><p>I Rdt IF</p><p>i</p><p>N</p><p>t</p><p>t</p><p>Ri</p><p>i</p><p>f</p><p>=</p><p>∑ ∫= =</p><p>1</p><p>Ou seja, o impulso da força resultante é igual à soma dos impulsos de</p><p>todas as forças que atuam no corpo. Mas vamos além, vamos obter</p><p>o impulso da força resultante.</p><p>� � �</p><p>�</p><p>I Rdt</p><p>dp</p><p>dt</p><p>dt dpR</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>i</p><p>f</p><p>i</p><p>f</p><p>i</p><p>f</p><p>= = = ∫∫∫</p><p>� � � � �</p><p>I P</p><p>t</p><p>t</p><p>I P PR</p><p>f</p><p>i</p><p>R f i= → = −</p><p>Finalmente:</p><p>� �</p><p>I pR = D (Teoria do impulso para 1 partícula)</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.504 – 141823/19</p><p>Observações:</p><p>Se uma força se mantém constante durante seu tempo</p><p>de atuação, seu impulso se torna:</p><p>T Fdt F dt F tF</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>i</p><p>f</p><p>i</p><p>f</p><p>= = = ⋅∫ ∫</p><p>� � �</p><p>D</p><p>Assim, supondo que todas as forças que atuem,</p><p>permaneçam constantes, podemos escrever:</p><p>� � �</p><p>I I F TR f</p><p>i f</p><p>N</p><p>i f</p><p>N</p><p>i i</p><p>= = ⋅</p><p>= =</p><p>∑ ∑ D</p><p>Agora, vamos reescrever o teorema do impulso numa forma</p><p>que será mais interessante.</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>I P</p><p>I P P</p><p>I m v m v or m cte</p><p>mv mv I</p><p>R</p><p>R f i</p><p>R f i</p><p>f i R</p><p>=</p><p>= −</p><p>= ⋅ − ⋅ =</p><p>= +</p><p>D</p><p>(sup )</p><p>mmv mv F tf i i</p><p>i</p><p>N� � �</p><p>= + ⋅</p><p>=</p><p>∑</p><p>1</p><p>D</p><p>Observações:</p><p>Essa equação é válida mesmo se</p><p>�</p><p>Fi não for constante no</p><p>intervalo de tempo Dt, basta supor que</p><p>� �</p><p>F t F dti i</p><p>,</p><p>,D = ⋅∫</p><p>onde</p><p>�</p><p>Fi</p><p>,</p><p>seria um valor médio de</p><p>�</p><p>Fi .</p><p>A equação anterior explicita a relação entre as grandezas já</p><p>mencionadas anteriormente. Sua utilidade será a obtenção do teorema</p><p>do impulso para um sistema de partículas.</p><p>Para a demonstração desse teorema, vamos precisar de</p><p>algumas ideias adicionais.</p><p>Imagine um “universo” composto de N + M partículas. Vamos</p><p>delimitar N partículas de nosso interesse. Essas N partículas (sem linha)</p><p>formam um sistema e as M outras partículas (com linha) não fazem</p><p>parte desse sistema.</p><p>(Veja figura.)</p><p>Nessa conjuntura, vale a pena lembrar que cada partícula do</p><p>sistema pode trocar forças (3ª Lei de Newton) com as (N – 1) outras</p><p>partículas do sistema e com as M partículas que não fazem parte do</p><p>sistema. Essa ideia nos leva a uma classificação das forças:</p><p>FORÇAS</p><p>Internas Externas</p><p>Quando ação e reação atuam</p><p>em partículas do sistema.� �</p><p>F e F sistemaij ji ∈</p><p>Quando a ação atua numa partícula</p><p>do sistema, mas a reação não.</p><p>Se</p><p>F sistema</p><p>F sistema</p><p>ij</p><p>ji</p><p>�</p><p>�</p><p>∈</p><p>∉</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Escrevemos agora o teorema do impulso para cada partícula</p><p>do sistema.</p><p>( )</p><p>( )</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>( )</p><p>1</p><p>2</p><p>1 1 1 1 1</p><p>2 2 2 2 2</p><p>m V m V F t</p><p>m V m V F t</p><p>N m V</p><p>f i</p><p>f i</p><p>N Nf</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>= +</p><p>= +</p><p>⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>D</p><p>D</p><p>== ⋅ + ∑m V F tN Ni N</p><p>� �</p><p>D</p><p>Mas:</p><p>Onde</p><p>�</p><p>Fij representa a força que a i-ésima partícula exerce sobre</p><p>a</p><p>j-ésima partícula.</p><p>Ao somarmos as N equações, temos:</p><p>mV mV F F tf iC</p><p>Ic</p><p>N</p><p>i iC ernas ex ernas</p><p>Ic</p><p>N� � � �( ) = ( ) + +( ) ⋅</p><p>= =</p><p>∑ ∑ ∑∑</p><p>1 1</p><p>int t D</p><p>Não é difícil perceber que:�</p><p>Fin ernast ,∑ = 0 pois para cada</p><p>�</p><p>F ij da soma, teremos também</p><p>�</p><p>F ji</p><p>e pela 3ª Lei de Newton:</p><p>� �</p><p>F Fij ji+ = 0.</p><p>Também sabemos que mV Ptotal</p><p>� �</p><p>=∑ , logo:</p><p>� � �</p><p>P P F ttotal total extf j</p><p>= + ⋅∑ . D</p><p>Esse é o teorema do impulso para um sistema de partículas.</p><p>A partir dessa expressão, podemos classificar os sistemas físicos como</p><p>isolados, parcialmente isolados e não isolados:</p><p>I. Isolado:</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>F t</p><p>F</p><p>F</p><p>F t</p><p>ext</p><p>ext</p><p>ext</p><p>ext</p><p>∑ ∑</p><p>∑</p><p>⋅ =</p><p>=</p><p>=</p><p>⋅ =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>D</p><p>D</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>011.621 – 137405/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Nesse caso, teremos a conservação do momento linear total</p><p>do sistema:</p><p>P cte</p><p>ou</p><p>mV mV</p><p>total</p><p>f i</p><p>=</p><p>= ∑∑</p><p>� �</p><p>II. Parcialmente isolado:</p><p>Se</p><p>�</p><p>F text ⋅ =∑ D 0 for verdadeiro numa direção, mas em outra não,</p><p>então dizemos que o sistema é isolado apenas na direção (eixo)</p><p>onde</p><p>�</p><p>F text ⋅ =∑ D 0.</p><p>III. Não isolado:</p><p>Se</p><p>�</p><p>F text ⋅ ≠∑ D 0.</p><p>Obs.: Rigorosamente o sistema parcialmente isolado é um caso de</p><p>não isolado.</p><p>As colisões mecânicas ou choques mecânicos são ótimos exemplos</p><p>de sistemas físicos isolados (em grande maioria). Dessa forma, na</p><p>solução de problemas envolvendo colisões, certamente deve-se usar</p><p>o que foi discutido aqui.</p><p>01. Um carrinho, de massa 2,0 kg, encontra-se inicialmente em</p><p>repouso sobre um plano horizontal sem atrito. A partir do instante</p><p>t</p><p>0</p><p>= 0, passa a agir sobre ele uma força</p><p>�</p><p>F de direção constante,</p><p>paralela ao plano, cujo valor algébrico é dado em função do</p><p>tempo, conforme o gráfico a seguir:</p><p>F(N)</p><p>t(s)</p><p>6,0</p><p>4,0</p><p>2,0</p><p>–2,0</p><p>0 2,0 4,0 6,0</p><p>–4,0</p><p>–6,0</p><p>Desprezando a influência do ar, determine as velocidades escalares</p><p>do carrinho nos instantes t</p><p>1</p><p>= 2,0 s, t</p><p>2</p><p>= 4,0 s e t</p><p>3</p><p>= 6,0 s.</p><p>02. Uma bola de bilhar de massa 0,15 kg, inicialmente em repouso,</p><p>recebeu uma tacada numa direção paralela ao plano da mesa, o</p><p>que lhe imprimiu uma velocidade de módulo 4,0 m/s. Sabendo</p><p>que a interação do taco com a bola durou 1,0 ⋅ 10–2 s, calcule:</p><p>A) a intensidade média da força comunicada pelo taco à bola.</p><p>B) a distância percorrida pela bola, enquanto em contato com o</p><p>taco.</p><p>03. (Unicamp-SP) As histórias de super-heróis estão sempre repletas</p><p>de feitos incríveis. Um desses feitos é o salvamento, no último</p><p>segundo, da mocinha que cai de uma grande altura. Considere</p><p>a situação em que a desafortunada garota caía, a partir do</p><p>repouso, de uma altura de 81 m e que nosso super-herói</p><p>a intercepte 1,0 m antes de ela chegar ao solo, demorando</p><p>5,0 ⋅ 10–2 s para detê-la, isto é, para anular sua velocidade vertical.</p><p>Considere que a massa da mocinha é de 50 kg e despreze</p><p>a influência do ar.</p><p>A) Calcule a força média aplicada pelo super-herói sobre a mocinha</p><p>para detê-la. Adote g = 10 m/s2.</p><p>B) Uma aceleração 8 vezes maior que a da gravidade (8 g) é letal</p><p>para um ser humano. Determine quantas vezes a aceleração à</p><p>qual a mocinha foi submetida é maior que a aceleração letal.</p><p>04. (UFPE) Uma menina de 40 kg é transportada na garupa de uma</p><p>bicicleta de 10 kg, a uma velocidade constante de móduo 2,0 m/s,</p><p>por seu irmão de 50 kg. Em dado instante, a menina salta para</p><p>trás com velocidade de módulo 2,5 m/s em relação ao solo. Após</p><p>o salto, o irmão continua na bicicleta, afastando-se da menina.</p><p>Qual o módulo da velocidade da bicicleta, em relação ao solo,</p><p>imediatamente após o salto? Admita que, durante o salto,</p><p>o sistema formado pelos irmãos e pela bicicleta seja isolado de</p><p>forças externas.</p><p>A) 3,0 m/s B) 3,5 m/s</p><p>C) 4,0 m/s D) 4,5 m/s</p><p>E) 5,0 m/s</p><p>05. Dois blocos A e B, de massas respectivamente iguais a 2,0 kg</p><p>e 4,0 kg, encontram-se em repouso sobre um plano horizontal</p><p>perfeitamente polido. Entre os blocos, há uma mola de massa</p><p>desprezível, comprimida, que está impedida de expandir-se devido</p><p>a um barbante que conecta os blocos.</p><p>Em determinado instante, queima-se o barbante e a mola se</p><p>expande, impulsionando os blocos. Sabendo que o bloco B</p><p>adquire velocidade de intensidade 3,0 m/s e que a influência do</p><p>ar é desprezível, determine:</p><p>A) a intensidade da velocidade adquirida pelo bloco A.</p><p>B) a energia potencial elástica armazenada na mola antes da</p><p>queima d barbante.</p><p>06. Na figura, o bloco A (massa 4M) e a esfera B (massa M) encontram-se</p><p>inicialmente em repouso, com A apoiado em um plano horizontal:</p><p>Largando-se a esfera B na posição indicada, ela desce, descrevendo</p><p>uma trajetória circular</p><p>1</p><p>4</p><p>de circunfer nciaê</p><p></p><p></p><p></p><p> de 1,0 m de raio</p><p>e centro em C. Desprezando todos os atritos, bem como</p><p>a influência do ar, e adotando | | m/ s ,</p><p>�</p><p>g = 10 2 determine os</p><p>módulos das velocidades de A e de B no instante em que a esfera</p><p>perde o contato com o bloco.</p><p>Exercícios</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.504 – 141823/19</p><p>07. (ITA/72) Uma granada explode enquanto descreve no espaço uma</p><p>trajetória parabólica. Com relação à quantidade de movimento</p><p>da granada e de seus fragmentos, desprezando a resistência do</p><p>ar, podemos afirmar que</p><p>A) a quantidade de movimento só é conservada (muito</p><p>aproximadamente) entre dois instantes imediatamente antes</p><p>e imediatamente depois da explosão.</p><p>B) a quantidade de movimento é a mesma antes e depois da</p><p>colisão sem as restrições do item.</p><p>C) a quantidade de movimento é conservada até que um dos</p><p>fragmentos atinja o solo.</p><p>D) a quantidade de movimento se conserva mesmo após terem</p><p>alguns fragmentos atingido o solo.</p><p>E) a quantidade de movimento só é constante antes da explosão.</p><p>08. (ITA/76) Um objeto, inicialmente em repouso, explode em duas</p><p>partes, A e B, com massas M e 3M</p><p>2</p><p>respectivamente. Em um</p><p>determinado instante t, após a explosão, a parte B está a 6,00 m</p><p>do local da explosão. Designando-se por x a distância entre A e</p><p>B, no instante t, e desprezando-se a influência de outros corpos,</p><p>pode-se afirmar que</p><p>A) x = 18,0 m</p><p>B) x = 8,00 m</p><p>C) x = 24,00 m</p><p>D) não é possível calcular x, pois t não foi dado.</p><p>E) n.d.a.</p><p>09. (ITA/85) Um atleta de massa 60,0 kg, carregando um corpo de 15,0 kg,</p><p>dá um salto de inclinação 60º em relação ao plano horizontal,</p><p>com velocidade inicial 10,0 m/s. Ao atingir a altura máxima, lança</p><p>horizontalmente para trás o corpo com velocidade 2,00 m/s em</p><p>relação ao centro de massa do sistema formado por ele próprio</p><p>mais o corpo. Adotando g = 10,0 m/s2, podemos afirmar que o</p><p>atleta ganhará um alcance horizontal à distância:</p><p>A) 0 87 3, .m</p><p>B) −0 25 3, .m</p><p>C) 0 25 3, .m</p><p>D) 1 25 3, .m</p><p>E) zero.</p><p>10. (ITA/81) Uma bola de 1,0 × 10–1 kg, tem velocidade</p><p>�</p><p>V, sendo</p><p>V = 11 m/s no instante em que é golpeada por um bastão</p><p>e obrigada a voltar com velocidade igual a −</p><p>�</p><p>V. Supondo que</p><p>o bastão esteve em contato com a bola durante 3 × 10–2 s, calcule</p><p>o valor médio da força exercida pelo bastão sobre a bola.</p><p>A) F = 73,3 N</p><p>B) F = 3,7 × 10 N</p><p>C) F = 36,6 N</p><p>D) F = 3,67 × 10 N</p><p>E) F = 7 × 10 N</p><p>11. (Vunesp) Um carrinho A, de massa m, e outro B, de massa 2m,</p><p>mantidos em repouso sobre uma superfície plana e horizontal,</p><p>estão comprimindo uma mola, de massa desprezível, como mostra</p><p>a figura.</p><p>Quando os carrinhos são liberados simultaneamente, a mola se</p><p>distende, impulsionando-os, e B adquire, depois que a mola estiver</p><p>totalmente distendida, uma velocidade de 1,0 m/s.</p><p>A) Nessas condições, determine a velocidade adquirida por A.</p><p>B) Denominando h</p><p>A</p><p>e h</p><p>B</p><p>as alturas máximas alcançadas,</p><p>respectivamente, pelos carrinhos A e B, ao subirem as rampas</p><p>mostradas na figura anterior, determine a razão</p><p>h</p><p>h</p><p>A</p><p>B</p><p>.</p><p>12. (Fuvest-SP) Dois carrinhos iguais, com 1 kg de massa cada um,</p><p>estão unidos por um barbante e se deslocam com velocidade de</p><p>3 m/s. Entre os carrinhos há uma mola comprimida, cuja massa</p><p>pode ser desprezada. Em um determinado instante o barbante</p><p>se rompe, a mola se desprende e um dos carrinhos para</p><p>imediatamente.</p><p>A) Qual é a quantidade de movimento</p><p>inicial do conjunto?</p><p>B) Qual é a velocidade do carrinho que continua em movimento?</p><p>13. A Lua descreve um círculo de raio r em torno da Terra em</p><p>28 dias terrestres. Sendo G a constante da gravitação universal</p><p>e m e M as massas da Lua e da Terra, respectivamente, a intensidade</p><p>da variação da quantidade de movimento linear da Lua em 14 dias é:</p><p>A)</p><p>GMm</p><p>r2</p><p>B)</p><p>2 2GMm</p><p>r</p><p>C)</p><p>4GMm</p><p>r</p><p>D) 4 2GMm</p><p>r</p><p>14. Uma esfera de aço, de massa 0,20 kg, é abandonada de uma</p><p>altura de 5,0 m, atinge o solo e volta, alcançando a altura máxima</p><p>de 1,8 m. Despreze a resistência do ar e suponha que o choque da</p><p>esfera com o solo ocorra durante um intervalo de tempo de 0,050</p><p>s. Levando em conta esse intervalo de tempo, determine:</p><p>A) a perda de energia mecânica e o módulo da variação da</p><p>quantidade de movimento da esfera.</p><p>B) a força média exercida pelo solo sobre a esfera.</p><p>Adote: g = 10 m/s2.</p><p>15. Um corpo de massa 2,0 kg está em movimento circular uniforme em</p><p>torno de um ponto fixo, preso à extremidade de um fio de 3,0 m de</p><p>comprimento, com velocidade angular de 1 rad/s. O módulo do</p><p>impulso, exercido pela força que traciona o fio, quando o corpo</p><p>descreve meia volta, em unidades do Sistema Internacional, vale</p><p>A) zero.</p><p>B) 6,0.</p><p>C) 9,0.</p><p>D) 12.</p><p>E) 18.</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>011.621 – 137405/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– – – – –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– A C C A</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * D * D</p><p>– Demonstração.</p><p>* 11.</p><p>A) 2,0 m/s</p><p>B) 4</p><p>12.</p><p>A) 6 kg ⋅ m/s</p><p>B) 6 m/s</p><p>14.</p><p>A) E</p><p>DISS</p><p>= 6,4 J e |DQ| = 3,2 kg m/s</p><p>B) F</p><p>m</p><p>= 66 N</p><p>Anotações</p><p>SU</p><p>PE</p><p>RV</p><p>IS</p><p>O</p><p>R(</p><p>A</p><p>)/D</p><p>IR</p><p>ET</p><p>O</p><p>R(</p><p>A</p><p>):</p><p>M</p><p>A</p><p>RC</p><p>EL</p><p>O</p><p>P</p><p>EN</p><p>A</p><p>–</p><p>A</p><p>U</p><p>TO</p><p>R(</p><p>A</p><p>):</p><p>TA</p><p>D</p><p>EU</p><p>C</p><p>A</p><p>RV</p><p>A</p><p>LH</p><p>O</p><p>D</p><p>IG</p><p>IT</p><p>A</p><p>D</p><p>O</p><p>R:</p><p>R</p><p>O</p><p>M</p><p>U</p><p>LO</p><p>–</p><p>R</p><p>EV</p><p>IS</p><p>O</p><p>RA</p><p>: S</p><p>A</p><p>RA</p><p>H</p><p>FÍSICA I</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: CenTro de Massa</p><p>frente: FísiCa i</p><p>016.505 – 141821/19</p><p>AULAS 51 A 53</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Quando a massa de um sistema não está restrita a um único</p><p>ponto do espaço, dizemos que ela é distribuída e o ponto onde toda</p><p>ela poderia ser concentrada é chamado de centro de massa.</p><p>Existem dois tipos de distribuição de massa: a discreta, onde</p><p>as massas são espalhadas em determinados pontos do espaço, e a</p><p>contínua, onde a massa se distribui ao longo de uma região ψ (que</p><p>pode ser uma linha, uma superfície ou um volume).</p><p>Para distribuições discretas, podemos afirmar que dada massa</p><p>m</p><p>i</p><p>ocupa uma posição</p><p>�</p><p>ri , assim, a posição do centro de massa</p><p>�</p><p>rCM</p><p>para um sistema com N partículas é definida como:</p><p>�</p><p>�</p><p>r</p><p>m r</p><p>mCM</p><p>i</p><p>N</p><p>i i</p><p>i</p><p>N</p><p>i</p><p>= =</p><p>=</p><p>∑</p><p>∑</p><p>1</p><p>1</p><p>Para distribuições contínuas, a posição do centro de massa</p><p>�</p><p>rCM</p><p>para um corpo de massa M, distribuído numa região ψ, é definida</p><p>como:</p><p>� �</p><p>r</p><p>M</p><p>rdmCM = ∫</p><p>1</p><p>Ψ</p><p>Obs.: Para distribuições homogêneas de massa, o centro de massa</p><p>coincide com o centro geométrico do corpo, dessa forma, o centro</p><p>de massa de uma placa retangular é no encontro de suas diagonais,</p><p>de uma barra linear no seu centro.</p><p>Exercícios</p><p>01. (E.R.) Quatro partículas, P</p><p>1</p><p>, P</p><p>2</p><p>, P</p><p>3</p><p>e P</p><p>4</p><p>, de massas respectivamente</p><p>iguais a 1,0 kg, 2,0 kg, 3,0 kg e 4,0 kg, encontram-se sobre um</p><p>mesmo plano, posicionadas em relação a um referencial Oxy,</p><p>conforme a figura a seguir:</p><p>y(m)</p><p>1,0 m</p><p>1,0 m</p><p>0</p><p>����� ��</p><p>��</p><p>�</p><p>x(m)</p><p>P</p><p>1</p><p>P</p><p>2</p><p>P</p><p>4</p><p>P</p><p>3</p><p>Determine as coordenadas</p><p>� �</p><p>x e y do centro de massa do sistema.</p><p>02. Um artista plástico elaborou uma escultura que consiste em um</p><p>disco metálico homogêneo, de espessura constante e raio R,</p><p>dotado de um furo circular de raio</p><p>R</p><p>=</p><p>2</p><p>, conforme representa a</p><p>figura. Levando-se em conta o referencial 0xy indicado, determine</p><p>as coordenadas do centro de massa da peça.</p><p>x0</p><p>y</p><p>R</p><p>R</p><p>2</p><p>03. (Uerj) A forma de uma raquete de tênis pode ser esquematizada</p><p>por um aro circular homogêneo de raio R e massa m</p><p>1</p><p>, preso a um</p><p>cabo cilíndrico homogêneo de comprimento L e massa m</p><p>2</p><p>. Quando</p><p>R</p><p>L</p><p>=</p><p>4</p><p>e m</p><p>1</p><p>= m</p><p>2</p><p>, a distância do centro de massa da raquete ao</p><p>centro do aro circular vale</p><p>A)</p><p>R</p><p>2</p><p>B) R</p><p>C) 3</p><p>2</p><p>R D) 2R</p><p>04. Na figura, para que a placa homogênea e de espessura desprezível</p><p>permaneça em equilíbrio indiferente ao ser suspensa pelo ponto A,</p><p>as distâncias x e y devem valer, respectivamente:</p><p>A)</p><p>8</p><p>3</p><p>14</p><p>3</p><p>cm e cm B)</p><p>14</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p>cm e cm</p><p>C) 6,0 cm e 3,0 cm D) 2,0 cm e 3,0 cm</p><p>E) 3,0 cm e 2,0 cm</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.505 – 141821/19</p><p>05. Duas barras homogêneas de mesmo comprimento L, mesma</p><p>secção transversal e densidades ρ</p><p>A</p><p>= 500 kg/m3 e ρ</p><p>B</p><p>= 1500 kg/</p><p>m3, estão unidas e apoiadas conforme a figura. Qual é a distância</p><p>x para que as reações nos apoios sejam iguais?</p><p>x</p><p>A B</p><p>A) 1,5 L</p><p>B) 1,2 L</p><p>C) 1,0 L</p><p>D) 0,75 L</p><p>E) 0,5 L</p><p>06. Uma esfera homogênea de massa m = 400 g e raio r = 6 cm</p><p>é colocada no interior de uma esfera oca de massa M = 200 g e</p><p>raio R = 12 cm. O sistema está inicialmente em repouso sobre uma</p><p>superfície horizontal, na posição indicada na figura a seguir. Quando</p><p>a esfera menor é solta, ela rola no interior da esfera oca até parar.</p><p>Determine, em cm, a altura final do centro de massa do sistema em</p><p>relação à superfície horizontal.</p><p>Rr</p><p>07. Uma rampa rolante pesa 120 N e se encontra inicialmente em</p><p>repouso, como mostra a figura. Um bloco que pesa 80 N, também</p><p>em repouso, é abandonado no ponto 1, deslizando a seguir</p><p>sobre a rampa. O centro de massa G da rampa tem coordenadas:</p><p>x</p><p>G</p><p>= 2b/3 e y</p><p>G</p><p>= c/3. São dados ainda: a = 15,0 m e sen α = 0,6.</p><p>Desprezando os possíeis atritos e as dimensões do bloco, pode-se</p><p>afirmar que a distância percorrida pela rampa no solo, até o</p><p>instante em que o bloco atinge o ponto 2, é</p><p>2</p><p>1</p><p>α</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>G</p><p>A) 16,0 m</p><p>B) 30,0 m</p><p>C) 4,8 m</p><p>D) 24,0 m</p><p>E) 9,6 m</p><p>08. Numa placa retangular de 100 cm × 200 cm, são cortados setores</p><p>circulares, todos de mesmo raio, resultando na peça mostrada na</p><p>figura a seguir. A placa tem espessura uniforme e é construída</p><p>de um material homogêneo. Determine, em centímetros, as</p><p>coordenadas x e y do centro de massa da peça.</p><p>x(cm)</p><p>y(cm)</p><p>100</p><p>50</p><p>0 50 100 150 200</p><p>09. Uma bola de 0,50 kg é abandonada a partir do repouso a uma</p><p>altura de 25 m acima do chão. No mesmo instante, uma segunda</p><p>bola, com massa de 0,25 kg, é lançada verticalmente para cima,</p><p>a partir do chão, com uma velocidade inicial de 15 m/s. As duas</p><p>bolas movem-se ao longo de linhas muito próximas, mas que não</p><p>se tocam.</p><p>25 m</p><p>0,5 kg</p><p>0,25 kg</p><p>V</p><p>0</p><p>Após 2,0 segundos, a velocidade do centro de massa do sistema</p><p>constituído pelas duas bolas é de</p><p>A) 11 m/s, para baixo.</p><p>B) 11 m/s, para cima.</p><p>C) 15 m/s, para baixo.</p><p>D) 15 m/s, para cima.</p><p>E) 20 m/s, para baixo.</p><p>10. A figura mostra uma estrutura vertical formada por três</p><p>barras iguais, homogêneas e de espessuras desprezíveis. Se o</p><p>comprimento de cada barra é 90 cm, determine a altura, em cm,</p><p>do centro de massa do sistema em relação ao solo.</p><p>90</p><p>c</p><p>m</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>016.621 – 141821/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>11. Um conjunto de três partículas, todas de igual massa m, está</p><p>situado na origem de um sistema de coordenadas xy. Em dado</p><p>instante, uma delas é atirada na direção x, com velocidade</p><p>constante, Vx = 9 m/s, outra é atirada na direção y, com velocidade</p><p>constante, Vy = 12 m/s, ficando a terceira em repouso na origem.</p><p>Determine o módulo da velocidade do centro de massa do</p><p>conjunto.</p><p>12. Um painel de densidade uniforme, com o formato mostrado na</p><p>figura abaixo, necessita ser instalado em uma parede vertical,</p><p>onde se encontra fixado um único pino de apoio. Para apoiá-lo</p><p>no pino, o instalador deverá fazer um furo na posição do centro</p><p>de massa do painel.</p><p>20 cm</p><p>20 cm</p><p>40 cm</p><p>80 cm</p><p>A partir da extremidade esquerda do painel, a que distância, em</p><p>centímetros, o furo deverá ser feito?</p><p>13. Um menino prende, na extremidade A de uma barra rígida AB,</p><p>um corpo de massa 4 kg e, na extremidade B, outro corpo, de</p><p>massa 6 kg. A barra AB tem peso desprezível e comprimento de</p><p>1,2 m. O ponto</p><p>da barra pelo qual nós a levantamos, mantendo</p><p>o seu equilíbrio horizontal, está distante da extremidade A:</p><p>A) 64 cm</p><p>B) 66 cm</p><p>C) 68 cm</p><p>D) 70 cm</p><p>E) 72 cm</p><p>14. Uma lâmina de material muito leve, de massa m, está em repouso</p><p>sobre uma superfície sem atrito. A extremidade esquerda da</p><p>lâmina está a 1 cm de uma parede. Uma formiga considerada</p><p>como um ponto, de massa</p><p>m</p><p>5</p><p>, está inicialmente em repouso</p><p>sobre essa extremidade, como mostra a figura:</p><p>1 cm</p><p>parede parede</p><p>d</p><p>lâmina</p><p>A seguir, a formiga caminha para frente, muito lentamente,</p><p>sobre a lâmina. A que distância d da parede estará a formiga no</p><p>momento em que a lâmina tocar a parede?</p><p>A) 2 cm</p><p>B) 3 cm</p><p>C) 4 cm</p><p>D) 5 cm</p><p>E) 6 cm</p><p>15. Cada um dos quadrados mostrados na figura a seguir tem lado b e</p><p>massa uniformemente distribuída.</p><p>Determine as coordenadas (x, y) do centro de massa do sistema</p><p>formado pelos quadrados.</p><p>0 b</p><p>b</p><p>y</p><p>x</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– – – B E</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* C * C *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * E E *</p><p>– Demonstração</p><p>* 06. Y</p><p>CM</p><p>= 8 cm</p><p>08. X</p><p>CM</p><p>= 100 cm e Y</p><p>CM</p><p>= 50 cm</p><p>10. Y</p><p>CM</p><p>= 60 cm</p><p>11. V</p><p>CM</p><p>= 5 m/s</p><p>12. 34</p><p>15. O centro de massa do sistema está localizado no ponto</p><p>(x = 1,5b; y = 1,5b).</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): TADEU</p><p>CARVALHO – DIGITADOR: ROMULO – REVISOR(A): SARAH</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: Colisões 1d</p><p>frente: FísiCa i</p><p>016.503 – 141827/19</p><p>AULAS 54 a 56</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Colisões 1D</p><p>As colisões podem ocorrer em 1D, 2D ou 3D, inicialmente,</p><p>vamos fazer um estudo das colisões unidimensionais.</p><p>Vejamos a seguinte situação: Duas partículas se movendo ao</p><p>longo de uma reta (eixo x) com velocidades V</p><p>1i</p><p>e V</p><p>2i</p><p>, como V</p><p>1i</p><p>> V</p><p>2i</p><p>,</p><p>em algum momento ocorrerá a colisão e as partículas passarão a ter</p><p>velocidades V</p><p>1f</p><p>e V</p><p>2f</p><p>:</p><p>m</p><p>1</p><p>V</p><p>1i m</p><p>2</p><p>V</p><p>2i</p><p>1i 2i(V V )>(AC)Antes do</p><p>choque</p><p>m</p><p>1</p><p>V</p><p>1f m</p><p>2</p><p>V</p><p>2f</p><p>(DC)Depois do</p><p>choque</p><p>af 1f(V V )≥</p><p>Nosso objetivo é determinar as velocidades das partículas após</p><p>a colisão: V</p><p>1f</p><p>e V</p><p>2f</p><p>?</p><p>Para obter esses valores, precisamos montar um sistema de</p><p>2 equações, a primeira equação será a conservação do momento</p><p>linear total:</p><p>EQ</p><p>1</p><p>: m v m v m v m v</p><p>f f i i1 1 2 2 1 1 2 2</p><p>+ ⋅ = ⋅ +</p><p>A segunda equação irá nos informar sobre o comportamento</p><p>da energia cinética total durante a colisão. Baseado nessa ideia, existem</p><p>4 tipos de colisões:</p><p>i) Choque perfeitamente elástico: A energia cinética total se</p><p>conserva: E ECi Cf∑ ∑=</p><p>ii) Choque parcialmente elástico: Há perda de energia cinética na</p><p>colisão: E ECi Cf∑ ∑></p><p>iii) Choque inelástico: Há perda de energia cinética na colisão e</p><p>essa perda é a maior possível: E ECi Cf∑ ∑></p><p>Obs.: A maior perda possível não significa que toda a energia</p><p>cinética será perdida.</p><p>iv) Choque superelástico: Há ganho de energia cinética durante</p><p>a colisão (Geralmente alguma forma de energia armazenada</p><p>é liberada): E ECi Cf∑ ∑<</p><p>Existe uma grandeza física que nos dá informação acerca do</p><p>comportamento da energia cinética durante a colisão, essa grandeza</p><p>é o coeficiente de restituição do choque (e):</p><p>Ele é definido fisicamente como a razão entre os módulos dos</p><p>impulsos das forças de interação na colisão durante o afastamento e</p><p>a aproximação:</p><p>e</p><p>F dt</p><p>F dt</p><p>af</p><p>ap</p><p>=</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>∫</p><p>∫</p><p>�</p><p>�</p><p>Após alguma manipulação, essa expressão se torna:</p><p>e</p><p>V</p><p>V</p><p>onde</p><p>Raf</p><p>Rap</p><p>=</p><p>�</p><p>� ,</p><p>�</p><p>VRaf é a velocidade relativa de afastamento e</p><p>�</p><p>VRap é a velocidade</p><p>relativa de aproximação entre as partículas que colidem.</p><p>Voltando ao estudo da colisão unidimensional, a segunda</p><p>equação será:</p><p>Eq</p><p>2</p><p>: e</p><p>V V</p><p>V V</p><p>f f</p><p>i i</p><p>= −</p><p>−</p><p>2 1</p><p>1 2</p><p>Assim, para obtermos V</p><p>1f</p><p>e V</p><p>2f</p><p>, precisamos conhecer m</p><p>1</p><p>, m</p><p>2</p><p>,</p><p>V</p><p>1i</p><p>, V</p><p>2i</p><p>e e:</p><p>m V m V m V m V</p><p>V V e V e V</p><p>f f i i</p><p>f f i i</p><p>1 1 2 2 1 1 2 2</p><p>2 1 1 2</p><p>+ ⋅ = +</p><p>− = ⋅ − ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>Resolvendo esse sistema para V</p><p>1f</p><p>e V</p><p>2f</p><p>, temos:</p><p>3</p><p>4</p><p>V</p><p>m m</p><p>V</p><p>m m</p><p>Vf i i1</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2</p><p>1= − ⋅</p><p>+</p><p>⋅ + + ⋅</p><p>+</p><p>⋅(m e m ) ( e) m</p><p>V</p><p>m m</p><p>V</p><p>m m</p><p>Vf i i2</p><p>1</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2 1</p><p>1 2</p><p>2</p><p>1= + ⋅</p><p>+</p><p>⋅ + − ⋅</p><p>+</p><p>⋅( e) m (m e m )</p><p>Com esses valores, é possível obter uma expressão que</p><p>relacione a perda de energia cinética com o coeficiente de restituição</p><p>do choque:</p><p>∆E E EC Cf Ci= −∑ ∑</p><p>∆E</p><p>m V m V m V m V</p><p>C</p><p>f f i i= +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>− +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2 2 2</p><p>Onde os valores de V</p><p>1</p><p>f e V</p><p>2</p><p>f são conhecidos nas equações (3) e (4).</p><p>Aplicando esses valores na equação anterior e após alguma álgebra,</p><p>chegamos em:</p><p>5∆E</p><p>m m</p><p>m mC i i= − ⋅ ⋅</p><p>+</p><p>⋅ −(e )</p><p>( )</p><p>(V V )2 1 2</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>21</p><p>2</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.503 – 141827/19</p><p>Como e ≥ 0 , temos as seguintes situações:</p><p>	e EC> → >1 0∆ (Ganho de E</p><p>C</p><p>): choque superelástico</p><p>	e EC= → =1 0∆ (Conservação da E</p><p>C</p><p>): choque elástico</p><p>	0 1 0< < → <e EC∆ (Perda de E</p><p>C</p><p>): choque parcialmente elástico</p><p>	e EC= → <0 0∆ (Maior perda possível de E</p><p>C</p><p>): choque inelástico</p><p>ou plástico</p><p>Note que se fizermos e = 0 na eq. (5), teremos o valor da maior</p><p>perda de energia possível em uma colisão 1D:</p><p>∆E</p><p>m m</p><p>m mC i iM XÁ</p><p>= − ⋅</p><p>+</p><p>⋅ −1 2</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>2</p><p>2( )</p><p>(V V )</p><p>Exercícios</p><p>01. (UFPB) A figura a seguir apresenta os gráficos da velocidade</p><p>versus tempo para a colisão unidimensional ocorrida entre dois</p><p>carrinhos A e B:</p><p>v (m/s)</p><p>t (s)</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>0 0,2 0,5</p><p>Carrinho A</p><p>Carrinho B</p><p>Supondo que não existam forças externas resultantes e que</p><p>a massa do carrinho A valha 0,2 kg, calcule:</p><p>A) o coeficiente de restituição da colisão;</p><p>B) a massa do carrinho B.</p><p>02. Duas bolas de boliche A e B, de massas iguais, percorrem uma</p><p>mesma canaleta retilínea onde realizam um choque perfeitamente</p><p>elástico. Se as velocidades escalares de A e B imediatamente antes</p><p>da colisão valem v</p><p>A</p><p>= 2,0 m/s e v</p><p>B</p><p>= -1,0 m/s, quais as velocidades</p><p>escalares v’</p><p>A</p><p>e v’</p><p>B</p><p>de A e B imediatamente depois da colisão?</p><p>03. (Mack-SP) Na figura, representamos uma mesa perfeitamente lisa</p><p>e duas esferas A e B que vão realizar uma colisão unidimensional</p><p>e perfeitamente elástica.</p><p>A esfera A tem massa m e, antes da colisão, se desloca com</p><p>velocidade constante de 60 m/s.</p><p>A esfera B tem massa 2m e, antes da colisão, está em repouso.</p><p>A</p><p>60 m/s</p><p>m 2m</p><p>B</p><p>Repouso</p><p>Não considere a rotação das esferas.</p><p>Sejam E</p><p>A</p><p>a energia cinética de A antes da colisão e E</p><p>B</p><p>a energia</p><p>cinética de B após a colisão. Indique a opção correta.</p><p>A) E EB A= 4</p><p>9</p><p>B) E EB A= 8</p><p>9</p><p>C) E</p><p>B</p><p>= E</p><p>A</p><p>D) E EB A= 9</p><p>8</p><p>E) E</p><p>B</p><p>= 2E</p><p>A</p><p>04. A figura seguinte representa dois carrinhos A e B de massas m e</p><p>3m, respectivamente, que percorrem um mesmo trilho retilíneo</p><p>com velocidades escalares v</p><p>A</p><p>= 15 m/s e v</p><p>B</p><p>= 5,0 m/s:</p><p>A B (+)</p><p>Se o choque mecânico que ocorre entre eles tem coeficiente de</p><p>restituição 0,2, quais as velocidades escalares após a interação?</p><p>Despreze os atritos.</p><p>05. No diagrama seguinte, estão representadas as variações das</p><p>velocidades escalares de duas partículas A e B, que realizam um</p><p>choque unidimensional sobre uma mesa horizontal e sem atrito:</p><p>Com base no gráfico:</p><p>v (m/s)</p><p>8,0</p><p>7,0</p><p>7 9</p><p>B</p><p>A</p><p>t(10–3 s)</p><p>6,0</p><p>5,0</p><p>4,0</p><p>3,0</p><p>2,0</p><p>1,0</p><p>–1,0</p><p>–2,0</p><p>A) classifique o choque como elástico, totalmente inelástico ou</p><p>parcialmente elástico;</p><p>B) calcule a massa de B, se a de A vale 7,0 kg;</p><p>C) determine a intensidade média da força trocada pelas partículas</p><p>por ocasião do choque.</p><p>06. (UFF-RJ) No brinquedo ilustrado na figura, o bloco de massa m</p><p>encontra-se em repouso sobre uma superfície horizontal e deve</p><p>ser impulsionado para tentar atingir a caçapa, situada a uma</p><p>distância x = 1,5 m do bloco. Para impulsioná-lo, utiliza-se um</p><p>pêndulo de mesma massa m. 0 pêndulo é abandonado de uma</p><p>altura h = 20 cm em relação à sua posição de equilíbrio e colide</p><p>elasticamente com o bloco no instante em que passa pela posição</p><p>vertical. Considerando-se a aceleração da gravidade com módulo</p><p>g = 10 m/s2, calcule:</p><p>m</p><p>x</p><p>m</p><p>h</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>016.503 – 141827/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>A) a intensidade da velocidade</p><p>da esfera do pêndulo imediatamente</p><p>antes da colisão;</p><p>B) a intensidade da velocidade do bloco imediatamente após a</p><p>colisão;</p><p>C) a distância percorrida pelo bloco sobre a superfície horizontal,</p><p>supondo que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e essa</p><p>superfície seja µ = 0,20. Verifique se o bloco atinge a caçapa.</p><p>07. A esfera A, de massa 2 kg e velocidade 10 m/s, colide com outra</p><p>B de 0,5 kg, que se encontra inicialmente em repouso. Em seguida,</p><p>B colide com a parede P. Os choques entre as esferas e entre a</p><p>esfera B e a parede P, são perfeitamente elásticos.</p><p>A B</p><p>P</p><p>4 m</p><p>10 m/s</p><p>Despreze os atritos e o tempo de contato nos choques. A distância</p><p>percorrida pela esfera A entre o primeiro e o segundo choque com</p><p>a esfera B é</p><p>A) 2 m</p><p>B)</p><p>24</p><p>11</p><p>m</p><p>C) 2,5 m</p><p>D)</p><p>29</p><p>11</p><p>m</p><p>E) 4 m</p><p>08. A figura a seguir mostra uma calha circular, de raio R,</p><p>completamente lisa, em posição horizontal. Dentro dela há duas</p><p>bolas, 1 e 2, idênticas e em repouso no ponto A. Ambas as bolas</p><p>são disparadas, simultaneamente, desse ponto: a bola 1, para a</p><p>direita, com velocidade v</p><p>1</p><p>= 6πm/s e a bola 2, para a esquerda, com</p><p>velocidade v</p><p>2</p><p>= 2πm/s. As colisões entre as bolas são perfeitamente</p><p>elásticas. Indique onde ocorrerá a quarta colisão entre as bolas,</p><p>após o disparo delas.</p><p>A</p><p>B</p><p>v</p><p>1</p><p>v</p><p>2</p><p>D</p><p>C</p><p>A) Entre os pontos A e B.</p><p>B) Exatamente no ponto A.</p><p>C) Entre os pontos C e D.</p><p>D) Exatamente no ponto C.</p><p>E) Exatamente no ponto D.</p><p>09. A esfera A de massa 1,0 kg com velocidade escalar de 12 m/s colide</p><p>frontalmente com a esfera B de massa 2,0 kg que se encontra em</p><p>repouso. Qual será a velocidade escalar da esfera B após a colisão</p><p>perfeitamente elástica ?</p><p>A B</p><p>A) 12 m/s. B) 8,0 m/s.</p><p>C) 6,0 m/s. D) 5,0 m/s.</p><p>E) 4,0 m/s.</p><p>10. O arranjo da figura a seguir é feito de n esferas suspensas,</p><p>com seus centros alinhados e que não estão, inicialmente, em</p><p>contato entre si. A primeira esfera tem massa fm (em que f é uma</p><p>constante), a segunda, f2 m, e assim por diante, até a n-ésima</p><p>esfera de massa fN m. A primeira massa é atingida por uma esfera</p><p>de massa m que se desloca a velocidade v</p><p>0</p><p>.</p><p>...</p><p>...m</p><p>v</p><p>0</p><p>fm f2m fnm</p><p>Considerando que todas as colisões são perfeitamente elásticas</p><p>e que não há atrito, após o choque, a última esfera sai com</p><p>velocidade igual a:</p><p>A) 2</p><p>1</p><p>0+</p><p></p><p></p><p></p><p>f</p><p>n</p><p>ν</p><p>B) 1</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>f</p><p>n</p><p>nν /</p><p>C) 2nf1/nV</p><p>0</p><p>D) fnv</p><p>0</p><p>11. Uma partícula A, com massa m = 0,2 kg, colide frontalmente com</p><p>uma partícula B, com massa maior que a de A, e que inicialmente</p><p>se encontra em repouso. A colisão é totalmente elástica e a energia</p><p>cinética final da partícula A cai para 64% de seu valor inicial.</p><p>Se a velocidade inicial da partícula A for v</p><p>0</p><p>= 20,0 m/s, calcule:</p><p>A) a velocidade final da partícula A.</p><p>B) a quantidade de movimento da partícula B após a colisão.</p><p>12. Na figura , sobre os pontos A e B de uma mesa perfeitamente</p><p>lisa, distanciados de 10 cm um do outro, repousam as esferas E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>de massas respectivamente iguais a m e 2 m. Uma terceira</p><p>esfera E</p><p>3</p><p>, de massa m/2, que se desloca com velocidade constante</p><p>de 60 m/s sobre a reta AB, choca-se frontalmente com E</p><p>1</p><p>, a qual,</p><p>em seguida, choca-se também frontalmente com E</p><p>2</p><p>. Os choques</p><p>são todos perfeitamente elásticos. A energia cinética de E</p><p>1</p><p>, logo</p><p>após o primeiro choque, é igual</p><p>A B</p><p>E</p><p>3</p><p>E</p><p>1</p><p>E</p><p>2</p><p>A) ao dobro da energia cinética de E</p><p>3</p><p>antes dos choques.</p><p>B) a 8/9 da energia cinética de E</p><p>3</p><p>antes dos choques.</p><p>C) à energia cinética de E</p><p>3</p><p>antes dos choques.</p><p>D) a 9/8 da energia cinética de E</p><p>3</p><p>antes dos choques.</p><p>E) a 4/9 da energia cinética de E</p><p>3</p><p>antes dos choques.</p><p>4 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>016.503 – 141827/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>13. A figura a seguir mostra um hemisfério ôco e liso, cujo plano</p><p>equatorial é mantido fixo na horizontal.</p><p>m</p><p>A B</p><p>R</p><p>+</p><p>1 m 2</p><p>Duas partículas de massas m</p><p>1</p><p>e m</p><p>2</p><p>são largadas no mesmo</p><p>instante, de dois pontos diametralmente opostos, A e B, situados</p><p>na borda do hemisfério. As partículas chocam-se e, após o choque,</p><p>m</p><p>1</p><p>sobe até uma altura h</p><p>1</p><p>e m</p><p>2</p><p>sobe até uma altura h</p><p>2</p><p>. Determine</p><p>o coeficiente de restituição do choque.</p><p>Sabe-se que h</p><p>1</p><p>= R/2 e h</p><p>2</p><p>= R/3, onde R é o raio do hemisfério.</p><p>14. Quando solto na posição angular de 45° (exemplo na figura),</p><p>um pêndulo simples de massa m e comprimento L colide com</p><p>um bloco de massa M. Após a colisão, o bloco desliza sobre uma</p><p>superfície rugosa, cujo coeficiente de atrito dinâmico é igual a 0,3.</p><p>Considere que após a colisão, ao retornar, o pêndulo alcança uma</p><p>posição angular máxima de 30°. Determine a distância percorrida</p><p>pelo bloco em função de m, M e L.</p><p>M</p><p>L</p><p>m</p><p>45°</p><p>15. Duas esferas A e B, de massas respectivamente iguais a 4 kg e</p><p>2 kg, percorrem a mesma trajetória retilínea, apoiadas em um plano</p><p>horizontal, com velocidades de 10 m/s e 8 m/s, respectivamente,</p><p>conforme a figura. Após a ocorrência de um choque frontal entre</p><p>elas, as esferas movem-se separadamente e a energia dissipada</p><p>na colisão vale 162 J. Os módulos das velocidades de A e de B,</p><p>após a colisão, em m/s, valem, respectivamente,</p><p>A</p><p>V</p><p>A</p><p>V</p><p>B</p><p>B</p><p>A) 8 e 6</p><p>B) 2 e 7</p><p>C) 1 e 8</p><p>D) 1 e 10</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– – – – –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– B B B A</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* B * * E</p><p>– Demosntração com o professor.</p><p>*11. V</p><p>A</p><p>’ = 16 m/s</p><p>Q</p><p>B</p><p>’ = 7,2 kg · m/s</p><p>13. e = + ≈2 3</p><p>2 3</p><p>0 64,</p><p>*14. d = − − + −( ) ⋅ −( )</p><p></p><p></p><p></p><p>10</p><p>3</p><p>4 2 3</p><p>2</p><p>2 2 2 3</p><p>2</p><p>2</p><p>m L</p><p>M</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIG.: Aníbal – 30/08/19 – REV.: Carla Araújo</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: Colisões 2d</p><p>frente: FísiCa i</p><p>016.506 – 141819/19</p><p>AULAS 57 E 58</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Para colisões em 2D, é útil orientar o movimento nas direções</p><p>normal e tangencial a colisão:</p><p>t</p><p>n</p><p>A</p><p>B</p><p>Supondo que as superfícies que colidem sejam lisas, as forças</p><p>trocadas na colisão terão a direção do eixo n̂ , não tendo nenhuma</p><p>componente na direção do eixo t̂ .</p><p>A análise do teorema do impulso de cada partícula nos leva a:</p><p>mV mV F t</p><p>t mV mV F</p><p>n mV mV F t</p><p>t i</p><p>t i t</p><p>t in nn</p><p>� � �</p><p>= + ⋅</p><p>( ) = =( )</p><p>( ) = ⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∆</p><p>∆</p><p>0</p><p>Note que a equação do eixo t mostra que a componente da</p><p>velocidade na direção tangente não se altera na colisão, a alteração</p><p>ocorre apenas na direção n, o que faz com que voltemos ao caso</p><p>unidimensional já estudado, onde devemos tero cuidado no cálculo</p><p>do coeficiente de restituição do choque, pois:</p><p>e</p><p>v v</p><p>v v</p><p>f</p><p>n</p><p>= −</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>??</p><p>?? ?</p><p>Direção normal</p><p>Para o cálculo de e, usamos apenas as componentes de</p><p>velocidade na direção normal.</p><p>Essa analise nos permite concluir que, se o choque for livre,</p><p>as componentes de velocidade na direção tangente se conservam</p><p>durante a colisão e as componentes na direção normal ao choque se</p><p>comportam como numa colisão unidimensional.</p><p>Em muitos problemas também é possível usar a conservação</p><p>do momento linear nas direções x e y, mas, geralmente, tem-se</p><p>dificuldades em se trabalhar com o coeficiente de restituição nesses</p><p>casos.</p><p>Exercícios</p><p>01. Na figura a seguir, vemos das bolas de boliche A e B iguais,</p><p>livres para se moverem em um plano horizontal liso. A bola A,</p><p>dotada inicialmente de velocidade de módulo v</p><p>0</p><p>, colide elástica</p><p>e obliquamente com a bola B, inicialmente em repouso.</p><p>Antes da colisão</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>A</p><p>Após a</p><p>colisão</p><p>v0</p><p>vB</p><p>vA</p><p>α</p><p>Após a colisão, A e B adquirem, respectivamente, velocidades</p><p>iguais a</p><p>�</p><p>vA e</p><p>�</p><p>vB , que formam entre si um ângulo α. Ignore o</p><p>movimento de rotação das bolas.</p><p>A) Calcule o ângulo α.</p><p>B) No caso em que</p><p>�</p><p>vA e</p><p>�</p><p>vB têm mesmo módulo v, calcule v.</p><p>02. (Unip-SP) Na figura, temos um plano horizontal sem atrito e um</p><p>bloco B, em repouso, com o formato de um prisma. Uma pequena</p><p>esfera A é abandonada do repouso, da posição indicada na figura,</p><p>e, após uma queda livre, colide elasticamente com o prisma.</p><p>Despreze o efeito do ar e adote g = 10 m · s–2.</p><p>Sabe-se que, imediatamente após a colisão, a esfera A tem</p><p>velocidade</p><p>horizontal. A massa do prisma B é o dobro da massa</p><p>da esfera A.</p><p>B</p><p>A</p><p>H = 1,2 mH = 1,2 m</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.506 – 141819/19</p><p>A velocidade adquirida pelo prisma B, após a colisão, tem módulo</p><p>igual a:</p><p>A) 2,0 m/s</p><p>B) 4,0 m/s</p><p>C) 8,0 m/s</p><p>D) 16 m/s</p><p>E) 1,0 m/s</p><p>03. Um automóvel (A) e um caminhão (B) colidem no ponto O</p><p>indicado, após o que prosseguem unidos, deslocando-se na</p><p>direção OP. A massa do caminhão é quatro vezes a do carro e sua</p><p>velocidade, imediatamente antes da batida, valia 30, km/h.</p><p>OA</p><p>B</p><p>P</p><p>45°</p><p>Ao narrar a colisão à Polícia Rodoviária, o motorista do carro</p><p>argumentou que, antes do choque, a velocidade de seu veículo</p><p>era inferior à máxima permitida (80,0 km/h).</p><p>A) Verifique, justificando, se a afirmação do motorista do carro é</p><p>falsa ou verdadeira.</p><p>B) Calcule a celocidade do conjunto carro-caminhão imediatamente</p><p>após a batida.</p><p>04. Considere um feixe homogêneo de pequenos projéteis deslocando-</p><p>se na mesma direção e na mesma velocidade constante até atingir</p><p>a superfície de uma esfera que está sempre em repouso.</p><p>α</p><p>A esfera pode ter um ou dois tipos de superfícies: uma superfície</p><p>totalmente refletora (colisão perfeitamente elástica entre a esfera</p><p>e o projétil) e/ou uma superfície totalmente absorvedora (colisão</p><p>perfeitamente inelástica entre a esfera e o projétil).</p><p>Em uma das superfícies (refletora ou absorvedora), o ângulo α da</p><p>figura pertence ao intervalo [0, β], enquanto na outra superfície</p><p>(absorvedora ou refletora) α pertence ao intervalo [β, π/2].</p><p>Para que a força aplicada pelos projéteis sobre a esfera seja</p><p>máxima, o(s) tipo(s) de superfíci(s) é(são):</p><p>A) refletora em [0, π/3] e absorvedora em [π/3, π/2].</p><p>B) refletora em [0, π/4] e absorvedora em [π/4, π/2].</p><p>C) absorvedora em [0, π/6] e refletora em [π/4, π/2].</p><p>D) absorvedora em [0, π/4] e refletora em [π/4, π/2].</p><p>E) absorvedora em [0, π/2].</p><p>05. A bola A, com 1,0 kg de massa à velocidade de 8,0 m/s, choca-se</p><p>com a bola B, inicialmente em repouso e com massa igual à da</p><p>bola A. Após a colisão, a bola A move-se perpendicularmente a</p><p>sua direção original de movimento, como mostra a figura, com</p><p>velocidade de 6,0 m/s.</p><p>Antes da colisão</p><p>A em repouso</p><p>B B (1)</p><p>(2)</p><p>(3)</p><p>Após a colisão</p><p>A</p><p>Para a bola B, após a colisão, a magnitude e a direção do vetor</p><p>quantidade de movimento dentre as indicadas por (1), (2) e (3)</p><p>são respectivamente:</p><p>A) 10 kg m/s e (1) B) 6,0 kg m/s e (2)</p><p>C) 2,0 kg m/s e (1) D) 6,0 kg m/s e (3)</p><p>E) 10 kg m/s e (2)</p><p>06. A figura mostra uma bola de massa m que cai com velocidade v</p><p>1</p><p>sobre a superfície de um suporte rígido, inclinada de um ângulo</p><p>θ em relação ao plano horizontal. Sendo e o coeficiente de</p><p>restituição para esse impacto, calcule o módulo da velocidade v</p><p>2</p><p>com que a bola é ricocheteada, em função de v</p><p>1</p><p>, θ e e. Calcule</p><p>também o ângulo α.</p><p>m</p><p>v1</p><p>v2</p><p>α</p><p>θ</p><p>07. Jogadores de sinuca e bilhar ssabem que, após uma colisão não</p><p>frontal de duas bolas A e B de mesma massa, estando a bola B</p><p>inicialmente parada, as duas bolas saem em direções que formam</p><p>um ângulo de 90º. COnsiedere a colisão de duas bolas de 200 g,</p><p>representada na figura A se dirige em direção a B com velocidade</p><p>V = 2,0 m/s formando um ângulo α com a direção y tal que</p><p>senα = 0,80. Após a colisão, B sai na direção y.</p><p>y</p><p>x</p><p>α</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>016.506 – 141819/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>A) Calcule as componentes x e y das velocidades de A e B logo</p><p>após a colisão.</p><p>B) Calcule a variação da energia (cinética de translação) na colisão.</p><p>Nota: Despreze a rotação e o rolamento das bolas.</p><p>08. Dois átomos idênticos de oxigênio sofrem uma colisão inelástica,</p><p>formando uma molécula de O</p><p>2</p><p>. Antes do choque, um dos</p><p>átomos tinha uma velocidade horizontal v</p><p>1</p><p>= 2 m/s e o outro,</p><p>uma velocidade vertical v</p><p>2</p><p>= 5 m/s. Ao ser formada, a molécula</p><p>de O</p><p>2</p><p>tem uma velocidade de v que forma uma ângulo θ com a</p><p>horizontal.</p><p>v1</p><p>v2</p><p>v</p><p>θ</p><p>O valor da tgθ</p><p>é</p><p>A) 0,4</p><p>B) 2,0</p><p>C) 2,5</p><p>D) 3,0</p><p>E) 5,0</p><p>09. Em uma partida de sinuca, resta apenas a bola oito a ser colocada</p><p>na caçapa. O jogador da vez percebe que, com a disposção em</p><p>que estão as bolas na mesa, para ganhar a partida ele deve</p><p>desviar a bola oito de 30 graus, e a bola branca de pelo menos</p><p>60 graus, para que a mesma não entre na caçapa oposta,</p><p>invalidadndo sua jogada. Então, ele impulsinoa a bola branca,</p><p>que colide elasticamente com a bola oito, com uma velocidade</p><p>de 5 m/s, conseguindo realizar a jogada com sucesso, como</p><p>previra, vencendo a partida. A situação está esquematizada na</p><p>figura a seguir. Considere as massas das bolas como sendo iguais</p><p>e despreze qualquer atrito.</p><p>30°</p><p>60°</p><p>Considerando o sistema constituáido pelas duas bolas, assinale</p><p>a(s) proposição(ões) corretas.</p><p>I. Devido à colisão entre a bola branca e a bola oito, a</p><p>quantidade de movimento do sistema de bolas não é</p><p>conservad;</p><p>II. A velocidade da bola branca, após a colisão, é de 2,5 m/s;</p><p>III. Desde que não existam forças externas atuando sobre o</p><p>sistema constituído pelas bolas, a quantidade de movimento</p><p>total é conservada no processo de colisão;</p><p>IV. Após a colisão, a quantidade de movimento total, na direção</p><p>perpendicular à direção de incidência da bola branca, é nula.</p><p>V. A energia cinética da bola branca, após a colisão, é três vezes</p><p>menor que a energia cinética da bola oito;</p><p>VI. Como a colisão é elástica, a energia cinética da bola branca,</p><p>antes da colisão, é maior do que a soma das energias cinéticas</p><p>das bolas branca e oito, após a colisão;</p><p>VII. A energia cinética da bola oito, após a colisão, é maior do</p><p>que a energia cinética da bola branca, antes da colisão.</p><p>10. A existência do neutrino e do anti-neutrino foi proposta em</p><p>1930 por Wolfgang Pauli, que aplicou as leis de conservação</p><p>de quantidade de movimento e energia ao processo de</p><p>desintegração β. O esquema a seguir ilustra esse processo</p><p>para um núcleo de trítio, H3 (um isótopo do hidrogênio), que se</p><p>transforma em um núcleo de hélio, He3, mais um elétron, e– e</p><p>um anti-neutrino, v. O núcleo de trítio encontra- se inicialmente</p><p>em repouso. Após a desintegração, o núcleo de hélio possui uma</p><p>quantidade de movimento com módulo de 12 × 10–24 kg m/s e</p><p>o elétron sai em uma trajetória fazendo um ângulo de 60º com</p><p>o eixo horizontal e uma quantidade de movimento de módulo</p><p>6,0 × 10–24 kg m/s.</p><p>A) O ângulo α que a trajetória do anti-neutrino faz com o eixo</p><p>horizontal é de 30º. Determine o módulo da quantidade de</p><p>movimento do anti-neutrino.</p><p>B) Qual é a velocidade do núcleo de hélio após a desintegração?</p><p>A massa do núcleo de hélio é 5,0 × 10–27 kg.</p><p>He3</p><p>H3</p><p>60°</p><p>θ–</p><p>α</p><p>_</p><p>ν</p><p>11. Em um acidente de trânsito, um veículo com massa de 600 kg</p><p>bateu na lateral de um outro veículo com massa de 1800 kg</p><p>parado em um cruzamento. A perícia verificou que o veículo mais</p><p>leve ficou parado após o choque, enquanto que o mais pesado</p><p>deslizou horizontalmente 10 m em linha reta antes de parar, e</p><p>determinou como sendo 0,5 o coeficiente de atrito entre o asfalto</p><p>e os pneus. Com essas informações e considerando a aceleração</p><p>da gravidade como sendo 10 m/s2, estimar:</p><p>A) o valor da velocidade do veículo mais pesado imediatamente</p><p>após a colisão;</p><p>B) o valor da velocidade do carro mais leve imediatamente antes</p><p>da colisão.</p><p>12. Sobre um plano liso e horizontal repousa um sistema constituído</p><p>de duas partículas, I e II, de massas M e m, respectivamente.</p><p>A partícula II é conectada a uma articulação O sobre o plano</p><p>por meio de uma haste que inicialmente é disposta na posição</p><p>indicada na figura.</p><p>O</p><p>90°</p><p>L</p><p>II</p><p>I</p><p>VB</p><p>θ</p><p>y</p><p>x</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.506 – 141819/19</p><p>Considere a haste rígida de comprimento L, inextensível e de</p><p>massa desprezível. A seguir, a partícula I desloca-se na direção</p><p>de II com velocidade uniforme</p><p>�</p><p>vB , que forma um ângulo θ com</p><p>a haste. Desperezando qualquer tipod e resistência ou atrito,</p><p>pode-se afirmar que, imediatamente após a colisão (elástica)) das</p><p>partículas,</p><p>v</p><p>A</p><p>a velocidade do</p><p>pedestre que saiu de A, v</p><p>B</p><p>a velocidade do pedestre que saiu de</p><p>B e 2x + A a distância total. Assim, temos:</p><p>v</p><p>x A</p><p>t</p><p>v</p><p>x</p><p>t</p><p>v</p><p>x A</p><p>x</p><p>V</p><p>v</p><p>x A</p><p>x</p><p>vA</p><p>E</p><p>B</p><p>E</p><p>A</p><p>B</p><p>A B=</p><p>+</p><p>= ⇒ =</p><p>+</p><p>⇒ =</p><p>+</p><p>⋅; ( )1</p><p>Além disso, temos:</p><p>v</p><p>x</p><p>m</p><p>v</p><p>x A</p><p>n</p><p>x A v nA B B= =</p><p>+</p><p>⇒ + = ⋅; ( )2</p><p>⇒ = ⋅x v mA ( )3</p><p>de (1), (2) e (3), temos: v</p><p>v n</p><p>v m</p><p>v v</p><p>n</p><p>m</p><p>vA</p><p>B</p><p>A</p><p>B A B=</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>⋅ ⇒ = ⋅2 2 4( )</p><p>de (2) e (3): v m A v n v</p><p>v m A</p><p>n</p><p>A B B</p><p>A⋅ + = ⋅ ⇒ =</p><p>⋅ +</p><p>( )5</p><p>(4) e (5): v</p><p>n</p><p>m</p><p>v m A</p><p>n</p><p>v n m v m AA</p><p>A</p><p>A A= ⋅</p><p>⋅ +</p><p>⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ +</p><p>⇒ −( )= ⇒ =</p><p>⋅ −</p><p>v nm m A v</p><p>A</p><p>m n m</p><p>A A</p><p>⇒</p><p>⋅ −</p><p>⋅ +</p><p>=</p><p>− ⋅ +</p><p>=</p><p>− ⋅</p><p>v</p><p>A</p><p>m n m</p><p>m A</p><p>n</p><p>A</p><p>m n n</p><p>A</p><p>n n m</p><p>B</p><p>v</p><p>A</p><p>n n m</p><p>B =</p><p>− ⋅</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.512 – 131456/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>12. No momento em que o observador vê o vapor, ele está a uma</p><p>distância L do apito. A partir desse instante, o som e o observador</p><p>vão ao encontro um do outro, demorando um tempo T, sendo que</p><p>o observador viaja à velocidade do trem, v, e o som, à velocidade C.</p><p>Assim, temos: υ υ+ = ⇒ = −C</p><p>L</p><p>T</p><p>L</p><p>T</p><p>C</p><p>Velocidade</p><p>relativa</p><p>�</p><p>13.</p><p>Queremos o instante em que θ é máximo</p><p>tg tg</p><p>tg tg</p><p>tg tg</p><p>tg</p><p>t t</p><p>t t</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>θ α γ α γ</p><p>α γ</p><p>θ</p><p>= −( ) = −</p><p>+ ⋅</p><p>=</p><p>−</p><p>+ ⋅</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>4 4</p><p>1</p><p>4</p><p>4 4</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>3</p><p>2 44</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>t</p><p>tg</p><p>t</p><p>t</p><p>θ</p><p>d tg</p><p>dt</p><p>t t t</p><p>t</p><p>t t</p><p>t t</p><p>t</p><p>0 3 4 3 2</p><p>4</p><p>0</p><p>12 3 6 0</p><p>3 12 4</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>( ) =</p><p>+( ) − ( )</p><p>+( )</p><p>=</p><p>+ − =</p><p>⇒ = ⇒ =</p><p>= 22s</p><p>14.</p><p>D t ut t ut2 2 2 2 2 2= ( ) + −( ) = + −( )υ δ υ δ</p><p>Para a distância ser mínima, D2 deve ser mínimo:</p><p>d D</p><p>dt</p><p>t t</p><p>t t</p><p>t t</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>0 2 2 0</p><p>2 2</p><p>( )</p><p>= ⇒ + −( ) ⋅ −( ) =</p><p>⇒ + −( ) ⋅ −( )</p><p>⇒ = − +</p><p>υ δ µ µ</p><p>υ δ µ µ</p><p>υ µ µδδ µδ</p><p>υ µ</p><p>⇒ =</p><p>+</p><p>t</p><p>t</p><p>2 2</p><p>Veja que, no instante t, a distância do avião ao ponto 0 é de:</p><p>S u t</p><p>u</p><p>u</p><p>u u</p><p>u</p><p>u</p><p>u</p><p>= − ⋅ = −</p><p>+</p><p>= + −</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>δ δ δ</p><p>υ</p><p>δ δυ δ</p><p>υ</p><p>δ</p><p>υ</p><p>2</p><p>3 2</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>15. A partir da reta a seguir, tomando a origem como ponto inicial do</p><p>percurso. Assim, de acordo com o gráfico, o automóvel percorre</p><p>2 km para a direita, depois mais 2 km para a esquerda, retornando</p><p>à origem. Após isso, percorre mais 1 km para a direita e,</p><p>finalmente, mais 1 km para a direita, o que faz que a distância</p><p>entre os pontos inicial e final seja de 2 km.</p><p>Além disso, como a distância percorrida foi de 6 km, e a velocidade</p><p>escalar média foi de 36 km/h, o tempo total dispendido foi de:</p><p>t</p><p>km</p><p>h= = =</p><p>6</p><p>36</p><p>1</p><p>6</p><p>10</p><p>km/h</p><p>min.</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIGITADOR: ROMULO – REVISORA: SARAH</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: Mruv</p><p>frente: FísiCa i</p><p>022.909 – 147739/20</p><p>AULAS 03 A 06</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Movimento Retilíneo Uniformemente Variado</p><p>(MRUV)</p><p>a (t) → constante</p><p>I. a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>dv a dt</p><p>t</p><p>v</p><p>v</p><p>= → = =∫∫ . (t )</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>v – v</p><p>0</p><p>= a · t</p><p>v = v</p><p>0</p><p>+ at Supor t</p><p>0</p><p>= 0</p><p>ou</p><p>v = v</p><p>0</p><p>+ a(t – t</p><p>0</p><p>) Se t</p><p>0</p><p>≠ 0</p><p>II. v</p><p>dx</p><p>dt</p><p>dx v= → = . dt</p><p>dx = (v</p><p>0</p><p>+ at) · dt</p><p>dx v dt a t dt</p><p>t</p><p>x</p><p>x t</p><p>= + =∫∫ ∫0</p><p>0 0</p><p>0</p><p>0</p><p>0. . (t )</p><p>x x v t</p><p>a t− = +0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>.</p><p>x x v t</p><p>at= + +0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>. Supor t</p><p>0</p><p>= 0</p><p>ou</p><p>x x v t t a t t= + −( ) + −( )0 0 0 0</p><p>21</p><p>2</p><p>. Se t</p><p>0</p><p>≠ 0</p><p>III. a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>a</p><p>dv</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dt</p><p>a</p><p>dv</p><p>dx</p><p>v= → = → =. .</p><p>v dv a dx</p><p>v v</p><p>a x x</p><p>x</p><p>x</p><p>v</p><p>v</p><p>. .= → − = −( )∫∫</p><p>00</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>v2 = v2</p><p>0</p><p>+ 2 · a · (x – x</p><p>0</p><p>)</p><p>Neste item, pode-se generalizar essa expressão para alguns</p><p>casos em que a ≠ cte; basta conhecer a aceleração como função da</p><p>posição: a = a(x), situação comum em problemas que envolvem molas.</p><p>Assim:</p><p>v dv a dx</p><p>x</p><p>x</p><p>v</p><p>v</p><p>. .= ∫∫</p><p>00</p><p>a ≠ cte e a = a(x)</p><p>v v</p><p>a</p><p>x</p><p>x2</p><p>0</p><p>2</p><p>2 2</p><p>0</p><p>− = ∫ (x) . dx</p><p>v v a</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>0</p><p>= + ∫. (x) . dx ou v2 = v2</p><p>0</p><p>+ 2 · Área</p><p>Observação:</p><p>Se a(x) é conhecido graficamente:</p><p>a</p><p>xxx</p><p>0</p><p>Área ≅ ∫ a</p><p>x</p><p>x</p><p>(x) . dx</p><p>0</p><p>Também é possível escrever as equações do movimento retilíneo</p><p>sob aceleração constante através de:</p><p>∆t</p><p>t</p><p>0 v</p><p>0</p><p>a v</p><p>t</p><p>x</p><p>0</p><p>x x</p><p>∆x</p><p>Grandezas</p><p>Dx (variação do espaço)</p><p>Dt (variação do tempo)</p><p>v (velocidade final do movimento)</p><p>v</p><p>0</p><p>(velocidade inicial do movimento)</p><p>a (aceleração)</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>022.209 – 147739/20</p><p>É possível relacionar essas cinco grandezas em cinco</p><p>equações distintas, onde em cada uma das equações uma das</p><p>grandezas não comparece:</p><p>(EQ) (∅)</p><p>(1) v = v</p><p>0</p><p>+ a Dt Dx</p><p>(2) Dx = v</p><p>0</p><p>· Dt + 1</p><p>2</p><p>a · Dt2 v</p><p>(3) Dx = v · Dt –</p><p>1</p><p>2</p><p>a · Dt2 v</p><p>0</p><p>(4) V2 = v2</p><p>0</p><p>+ 2 · a · Dx Dt</p><p>(5)</p><p>∆</p><p>∆</p><p>s</p><p>t</p><p>= 1</p><p>2</p><p>(v + v</p><p>0</p><p>) a</p><p>Exercícios</p><p>01. (ITA/1980) Um móvel A parte da origem O com velocidade nula</p><p>no instante t</p><p>0</p><p>= 0 e percorre o eixo O</p><p>x</p><p>com aceleração constante</p><p>a. Após um intervalo de tempo Dt contado a partir da saída de</p><p>A, um segundo móvel B parte de O com uma aceleração igual a</p><p>na, sendo n > 1. B alcançará A no instante:</p><p>A) t</p><p>n</p><p>n</p><p>t=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>∆ B) t</p><p>n</p><p>n</p><p>t=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>∆</p><p>C) t</p><p>n</p><p>n</p><p>t=</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>∆ D) t</p><p>n</p><p>n</p><p>t= −</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>∆</p><p>E) t</p><p>n</p><p>n</p><p>t=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>∆</p><p>02. (ITA/1983) Um móvel parte da origem do eixo x com velocidade</p><p>igual a 3 m/s. No instante t = 6 s, o móvel sofre uma aceleração</p><p>α = –4 m/s2. A equação horária a partir do instante t = 6 s será:</p><p>A) x = 3t – 2t2</p><p>B) x = 18 – 2t2</p><p>C) x = 18 + 3t – 2t2</p><p>D) x = –72 + 27t – 2t2</p><p>E) x = 27t – 2t2</p><p>03. Um carro percorre a linha O</p><p>x</p><p>com movimento uniformemente</p><p>acelerado. Nos instantes t</p><p>1</p><p>e t</p><p>2</p><p>, suas posições são x</p><p>1</p><p>e x</p><p>2</p><p>,</p><p>respectivamente. Mostre que a aceleração do carro é:</p><p>a</p><p>x t x t</p><p>t t t t</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>2 2 1 1 2</p><p>1 2 2 1</p><p>( )</p><p>( )</p><p>Suponha que em t = 0, x = 0.</p><p>04. (ITA) De uma estação parte um trem A com velocidade</p><p>V</p><p>A</p><p>= 80 km/h. Depois de um certo tempo, parte desta mesma</p><p>estação um outro trem B com velocidade V</p><p>B</p><p>= 100 km/h,</p><p>no mesmo sentido de A e sobre os mesmos trilhos. Depois de</p><p>certo tempo de percurso, o maquinista de B verifica que seu trem</p><p>se encontra a 3 km de A.</p><p>A partir desse instante ele aciona os freios, comunicando ao trem</p><p>B uma aceleração a = – 50 km/h2.</p><p>Nestas condições:</p><p>A) não houve encontro dos trens.</p><p>B) depois de 2 h, o maquinista do trem B nota que a distância</p><p>que o separa de A é de 64 km.</p><p>C) houve encontro dos trens depois de 12 min.</p><p>D) houve encontro dos trens depois de 36 min.</p><p>E) n.d.a.</p><p>05. (CLCL/1968) Você filma a partida de um carro Fórmula 1 em</p><p>competição. Ao revelar o filme, você observa que:</p><p>I. ao iniciar a filmagem, o carro já tinha uma velocidade inicial;</p><p>II. a aceleração do carro foi constante durante os 8 s que durou</p><p>a filmagem;</p><p>III. durante o quarto segundo da filmagem o carro percorreu 36 m,</p><p>e durante o sexto segundo ele percorreu 48 m;</p><p>IV. o carro se moveu em um único sentido.</p><p>Qual a velocidade do carro, em m/s, ao iniciar a filmagem?</p><p>06. Dois automóveis saíram ao encontro do outro, das cidades A</p><p>e B, com iguais velocidades em grandeza e com acelerações</p><p>iguais a 2 m/s2. A aceleração do automóvel que saiu de A estava</p><p>o tempo todo dirigida a A e a do automóvel que saiu em B,</p><p>dirigida a B. Com que atraso saiu um destes automóveis,</p><p>se um terceiro automóvel que se movia com velocidade constante</p><p>de 20 m/s presenciou ambos os encontros dos dois primeiros</p><p>automóveis?</p><p>07. Um automóvel, tendo uma velocidade inicial zero, desloca-se</p><p>por um caminho reto, primeiro com uma aceleração de 5 m/s2,</p><p>depois, com uma velocidade uniforme e, finalmente, reduzindo</p><p>sua velocidade com a mesma aceleração até parar. O tempo total</p><p>do movimento foi 25 s e a velocidade média do percurso foi de</p><p>20 m/s. Determine o tempo em que o automóvel se movimentou</p><p>com velocidade constante.</p><p>08. Um motorista tem tempo de reação próximo de 0,7 segundo</p><p>(intervalo de tempo entre a percepção do sinal para parar e</p><p>a reação de pisar os freios). A máxima desaceleração de um</p><p>automóvel, em certa pista, é 5 m/s2.</p><p>Determine o percurso total entre a percepção do sinal e a parada,</p><p>supondo que o veículo tenha velocidade inicial de 20 m/s.</p><p>09. Se a posição de um objeto é dada por x = 2t3, x dado em metros</p><p>e t em segundos:</p><p>A) determine a velocidade</p><p>A) a partícula II se movimenta na direção definida pelo vetor</p><p>�</p><p>vB .</p><p>B) o componente y do momento linear do sistema é conservado.</p><p>C) o componente x do momento linear do sistema é conservado.</p><p>D) a energia cinética do sistema é diferente do seu valor inicial.</p><p>E) n.d.a.</p><p>13. Dois pequenos discos, de massas iguais, são lançados sobre uma</p><p>superfície plana e horizontal, sem atrito, com velocidades de</p><p>módulos iguais. A figura ao lado registra a posição dos discos,</p><p>vistos de cima, em intervalos de tempo sucessivos e iguais, antes</p><p>de colidirem, próximo ao ponto P.</p><p>PP</p><p>Dentre as possibilidades representadas, aquela que pode</p><p>corresponder às posições dos discos, em instantes sucessivos,</p><p>após a colisão, é:</p><p>PP</p><p>PP</p><p>PP</p><p>PP</p><p>PP</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E)</p><p>14. Em recente investigação, verificou-se que uma pequena gota de</p><p>água possui propriedades elásticas, como se fosse uma partícula</p><p>sólida. Em uma experiência, abandona-se uma gota de uma altura</p><p>h0, com uma pequena velocidade horizontal. Sua trajetória é</p><p>apresentada na figura.</p><p>Na interação com o solo, a gota não se desmancha e o coeficiente</p><p>de restituição, definido como f, é dado pela razão entre as</p><p>componentes verticais das velocidades de saída e de chegada</p><p>da gota em uma colisão com o solo. Calcule a altura h atingida</p><p>pela gota após a sua terceira colisão com o solo, em termos de</p><p>h</p><p>0</p><p>e do coeficiente f. Considere que a componente horizontal da</p><p>velocidade permaneça constante e não interfira no resultado.</p><p>h0</p><p>x</p><p>y</p><p>hh</p><p>15. Perto de uma esquina, um pipoqueiro, P, e um “dogueiro”, D,</p><p>empurram distraidamente seus carrinhos, com a mesma</p><p>velocidade (em módulo), sendo que o carrinho do “dogueiro”</p><p>tem o triplo da massa do carrinho do pipoqueiro. Na esquina,</p><p>eles colidem (em O) e os carrinhos se engancham, em um</p><p>choque totalmente inelástico. Uma trajetória possível dos</p><p>dois carrinhos, após a colisão, é compatível com a indicada</p><p>por</p><p>A) A</p><p>B) B</p><p>C) C</p><p>D) D</p><p>E) E</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>B E</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* * C * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* C E * B</p><p>* 06.</p><p>v v sen e</p><p>sen</p><p>sen e</p><p>2 1</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>= +</p><p>=</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>θ θ</p><p>α θ</p><p>θ θ</p><p>cos</p><p>arccos</p><p>cos</p><p>07.</p><p>A) V</p><p>A</p><p>= 1,6 m/s e V</p><p>B</p><p>= 1,2 m/s</p><p>B) ∆E</p><p>C</p><p>= 0</p><p>09. II, III, IV, V</p><p>10.</p><p>A) Q</p><p>V</p><p>= 1 × 10–23 kgm/s</p><p>B) v = 2,4 × 103 m/s horizontal para a esquerda.</p><p>11.</p><p>A) v</p><p>0</p><p>= 10 m/s</p><p>B) v = 30 m/s</p><p>14. h’’’ = f6 · h</p><p>0</p><p>– Demonstração.</p><p>P</p><p>D</p><p>O</p><p>A D</p><p>E</p><p>B</p><p>C</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIG.: Zilmar – REV.: ______________</p><p>– – –</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: GraviTação universal</p><p>frente: FísiCa i</p><p>016.507 - 141815/19</p><p>AULAS 59 A 62</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Gravitação Universal (Parte 1)</p><p>Neste tópico, iremos estudar os movimentos de astros (planetas,</p><p>satélites, cometas). O tipo de movimento descrito, “órbita” aberta ou</p><p>fechada, depende da energia mecânica entre o astro que orbita e o</p><p>astro orbitado. Nesta obra vamos descobrir apenas o caso em que as</p><p>órbitas serão fechadas (órbitas elípticas/circulares). Também iremos</p><p>discutir o campo gravitacional produzido por um planeta esférico e</p><p>de densidade uniforme.</p><p>Para fazer esse estudo, vamos precisar de dois conceitos</p><p>fundamentais: a Lei da Gravitação Universal de Newton e as leis de</p><p>Kepler.</p><p>A Lei da Gravitação Universal de Newton</p><p>Segundo Newton, a força de interação (gravitacional) entre</p><p>duas massas é atrativa, e sua intensidade é proporcional ao produto</p><p>das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância</p><p>entre elas:</p><p>m</p><p>1</p><p>F</p><p>21</p><p>F</p><p>12</p><p>m</p><p>2</p><p>d</p><p>F F F</p><p>� �</p><p>12 21= = , onde F</p><p>m m</p><p>d</p><p>∼ 1 2</p><p>2</p><p>⋅</p><p>Para tornar essa proporcionalidade uma igualdade, inserimos</p><p>uma constante (G).</p><p>F G</p><p>m m</p><p>d</p><p>= ⋅ ⋅1 2</p><p>2</p><p>Onde G é conhecida como constante da gravitação de Newton</p><p>e vale:</p><p>G N= ⋅ ⋅−6 67 10 11, m /kg2 2</p><p>As Leis de Kepler</p><p>As três leis do movimento planetário foram enunciadas por</p><p>Johannes Kepler (1571-1630), matemático e astrônomo alemão. Kepler</p><p>era discípulo de um famoso astrônomo Tycho Brahe e após estudar</p><p>suas observações, Kepler percebeu que os movimentos dos planetas</p><p>obedeciam a três leis fundamentais, que foram publicadas em 1609</p><p>no livro Astronomia Nova.</p><p>As três leis de Kepler são:</p><p>i) Lei das Órbitas: os planetas descrevem órbitas elípticas,</p><p>com o Sol em um dos focos.</p><p>ii) Lei das Áreas: o raio vetor que liga um planeta ao Sol varre</p><p>áreas iguais em tempos iguais.</p><p>iii) Leis dos Períodos: os quadrados dos períodos de</p><p>revolução são proporcionais aos cubos das distâncias médias do Sol</p><p>aos planetas.</p><p>Estudo das órbitas (fechadas)</p><p>i) Órbita Circular: lembrando que o círculo é um caso particular</p><p>da elipse onde os focos coincidem:</p><p>m</p><p>V</p><p>M</p><p>r</p><p>F</p><p>G</p><p>r = R (constante)</p><p>F Fcp G=</p><p>mv</p><p>R</p><p>G M m</p><p>R</p><p>V</p><p>G M</p><p>R</p><p>2</p><p>2</p><p>= ⋅ ⋅ → = ⋅</p><p>(velocidade orbital)</p><p>Podemos calcular ainda o período orbital (T):</p><p>T</p><p>R</p><p>V</p><p>T</p><p>R</p><p>GM</p><p>R</p><p>R</p><p>GM</p><p>= ⇒ = ⋅ = ⋅2</p><p>2 2</p><p>3π π π</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.507 - 141815/19</p><p>A partir da expressão do período orbital (T), é imediata a</p><p>demonstração da 3ª Lei de Kepler para órbitas circulares:</p><p>T</p><p>R</p><p>GM</p><p>= ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ⇒2</p><p>3</p><p>2</p><p>π</p><p>T</p><p>R</p><p>GM</p><p>T</p><p>R GM</p><p>2 2</p><p>3 2</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>4= ⋅ ⇒ =π π</p><p>cte</p><p>Observação:</p><p>Note que a constante da 3ª Lei de Kepler depende da</p><p>massa do astro orbitado.</p><p>Vamos agora deduzir as expressões para as energias cinética,</p><p>potencial e mecânica:</p><p>1) E mv m</p><p>GM</p><p>R</p><p>G M m</p><p>RC = = = ⋅ ⋅1</p><p>2</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2) E</p><p>GMm</p><p>RP = −</p><p>3) E E E</p><p>GMm</p><p>R</p><p>GMm</p><p>RM C P= + = + −</p><p></p><p></p><p>2</p><p>E</p><p>G M m</p><p>RM = − ⋅ ⋅</p><p>2</p><p>Observação:</p><p>A energia mecânica ser negativa significa que o planeta</p><p>(m) está “ligado” ao Sol (M), o que explica a órbita fechada.</p><p>ii) Órbita elíptica: nesse caso, sabemos que o Sol ocupa um</p><p>dos focos da elipse, assim, concluímos que a distância do planeta ao</p><p>Sol é variável entre os limites R</p><p>1</p><p>e R</p><p>2</p><p>:</p><p>R r R≤ ≤</p><p>rmáxrmín</p><p>1 2</p><p>Alguns tópicos importantes sobre elipses:</p><p>F</p><p>2</p><p>c</p><p>a</p><p>b</p><p>c 0</p><p>D</p><p>A B</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>1</p><p>AB = 2a (eixo maior)</p><p>CD = 2b (eixo menor)</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>2</p><p>= 2c</p><p>e</p><p>c</p><p>a</p><p>b c a b e a b a</p><p>=</p><p>= + → = + → = −</p><p>( )</p><p>a (</p><p>excentricidade da elipse</p><p>2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ee )2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Logo:</p><p>c e a</p><p>b a e</p><p>= ⋅</p><p>= ⋅ −</p><p></p><p></p><p></p><p> 1 2</p><p>Note que:</p><p>R a c ou R a e</p><p>a c ou R a</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>1</p><p>1</p><p>= − = −</p><p>= + = +</p><p></p><p></p><p></p><p>( )</p><p>R ( e)</p><p>Para o estudo da órbita elíptica, devemos lembrar que o</p><p>momento angular L</p><p>�</p><p>permanece constante:</p><p>L r</p><p>� � �</p><p>= × (mv)</p><p>ou</p><p>L m r</p><p>� � �</p><p>= ×( v)</p><p>Observe a figura:</p><p>V</p><p>2</p><p>V</p><p>r</p><p>θ</p><p>m</p><p>Afélio</p><p>R</p><p>2</p><p>M</p><p>R</p><p>1</p><p>V</p><p>1</p><p>(1)</p><p>(2)</p><p>Periélio</p><p>2a</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>a R R</p><p>a</p><p>R R</p><p>= +</p><p>=</p><p>+ </p><p></p><p></p><p></p><p>Semieixo maior ou</p><p>raio m dio de rbitaé ó </p><p>Como L</p><p>�</p><p>é constante, L</p><p>�</p><p>também será, mas L m v r sen</p><p>�</p><p>= ⋅ ⋅ ⋅ θ,</p><p>logo, podemos escrever que a quantidade v r sen cte⋅ ⋅ =θ .</p><p>Isso nos permite concluir que existe uma relação de inversão</p><p>entre r e v (não são inversamente proporcionais por causa de q), ou</p><p>seja, o módulo da velocidade orbital não permanece constante, bem</p><p>diferente da órbita circular. Não é difícil perceber que a velocidade do</p><p>planeta vai variar dentro de um intervalo:</p><p>≤ ≤V V V2 y</p><p>vmáx (periélio)vmín (afélio)</p><p>Para calcularmos essas velocidades (V</p><p>1</p><p>e V</p><p>2</p><p>), não podemos fazer</p><p>como em órbitas circulares, vamos, nesse caso, usar a conservação da</p><p>energia mecânica e a conservação do momento angular.</p><p>Lembre-se:</p><p>L m v r sen= ⋅ ⋅ ⋅ θ</p><p>E</p><p>mv GMm</p><p>rM = −</p><p>2</p><p>2</p><p>Logo:</p><p>L</p><p>1</p><p>= L</p><p>2</p><p>V R V R1 1 2 2 1⋅ = ⋅ ( )</p><p>EM</p><p>1</p><p>= EM</p><p>2</p><p>mv GMm</p><p>R</p><p>mv GMm</p><p>R</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>22 2</p><p>− = −</p><p>v v GM</p><p>R R1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2− = −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>( )</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>016.507 - 141815/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Combinando as equações (1) e (2), temos um sistema de</p><p>equações que pode ser resolvido para se obter os valores de v</p><p>1</p><p>e v</p><p>2</p><p>.</p><p>Finalmente, resolvendo o sistema, temos:</p><p>v</p><p>G M</p><p>R</p><p>R</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2= ⋅ ⋅</p><p>+(R R )</p><p>v</p><p>G M</p><p>R</p><p>R</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1 2</p><p>2= ⋅ ⋅</p><p>+(R R )</p><p>Com esses valores, podemos calcular duas constantes desse</p><p>movimento: a energia mecânica e o momento angular.</p><p>Observação:</p><p>Como esses valores são constantes, podemos calculá-los</p><p>em qualquer ponto e esse valor será o procurado.</p><p>Energia mecânica (EM)</p><p>E E EM C P= + Ponto 1, temos:</p><p>E</p><p>mv G M m</p><p>RM = + − ⋅ ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>E</p><p>m GM</p><p>R</p><p>R G M m</p><p>RM = ⋅</p><p>+</p><p>− ⋅ ⋅</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2 1(R R )</p><p>E</p><p>G M m</p><p>R RM = − ⋅ ⋅</p><p>+1 2</p><p>ou</p><p>E</p><p>G M m</p><p>aM = − ⋅ ⋅</p><p>2</p><p>Movimento angular (L)</p><p>L m v r sen= ⋅ ⋅ ⋅ θ (ponto 1, temos)</p><p>L m v R= ⋅ ⋅1 1</p><p>L m</p><p>G M</p><p>R</p><p>R</p><p>R= ⋅ ⋅</p><p>+</p><p>⋅</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>R R</p><p>L G M m</p><p>R R= ⋅ ⋅ ⋅</p><p>+</p><p>2 1 2</p><p>1 2</p><p>2</p><p>R R</p><p>ou</p><p>Lembrando que:</p><p>R</p><p>1</p><p>= a(1 – e)</p><p>R</p><p>2</p><p>= a(1 + e)</p><p>L G M m</p><p>a</p><p>a</p><p>= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +2 2 1 1</p><p>2</p><p>( e)a( e)</p><p>L G M m a= ⋅ ⋅ ⋅ −2 21( e ) ou ainda:</p><p>Lembrando que: b a2 2 21= −( e ):</p><p>L G M m</p><p>a</p><p>a</p><p>= ⋅ ⋅ ⋅ −2</p><p>2 21( e )</p><p>L G M m</p><p>b</p><p>a</p><p>= ⋅ ⋅ ⋅2</p><p>2</p><p>Agora vamos deduzir a segunda Lei de Kepler, que nada mais</p><p>é que uma consequência da conservação do momento angular:</p><p>dA</p><p>h</p><p>V V. dt</p><p>d∝</p><p>r</p><p>θ</p><p>Percebemos que no intervalo de tempo dt, o planeta percorre</p><p>um espaço v dt⋅ e seu vetor posição r</p><p>�</p><p>varre no espaço uma área dA:</p><p>dA ⇒ Área de um triângulo</p><p>Base:</p><p>Altura:</p><p>b v dt</p><p>h r sen</p><p>= ⋅</p><p>= ⋅</p><p></p><p></p><p> θ</p><p>Logo:</p><p>dA b h= ⋅1</p><p>2</p><p>⇒ dA v dt r sen= ⋅ ⋅ ⋅1</p><p>2</p><p>θ</p><p>dA</p><p>dt</p><p>v r sen= ⋅ ⋅1</p><p>2</p><p>θ</p><p>velocidade</p><p>areolar</p><p>Como L m v r sen= ⋅ ⋅ ⋅ θ, temos</p><p>L</p><p>m</p><p>v r sen= ⋅ ⋅ θ , logo:</p><p>dA</p><p>dt</p><p>L</p><p>m</p><p>=</p><p>2</p><p>Agora, podemos deduzir a 3ª Lei de Kepler para órbitas</p><p>elípticas:</p><p>Suponha que a órbita elíptica tenha um eixo maior (2a) e um</p><p>eixo menor (2b), sua área total será π ⋅ ⋅a b, agora vamos partir da</p><p>2ª Lei de Kepler:</p><p>dA</p><p>dt</p><p>L</p><p>m</p><p>=</p><p>2</p><p>⇒ dA</p><p>L</p><p>m</p><p>dt=</p><p>2</p><p>Agora, vamos integrar dos dois lados sobre toda a elipse:</p><p>dA</p><p>L</p><p>m</p><p>dt=∫ ∫2</p><p>Área Total</p><p>da Elipse</p><p>Tempo Total de Movimento</p><p>(Período orbital)</p><p>A</p><p>L</p><p>m</p><p>T= ⋅</p><p>2</p><p>Sabemos que:</p><p>A a b</p><p>L G Mm</p><p>b</p><p>a</p><p>= ⋅ ⋅</p><p>= ⋅ ⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>π</p><p>2</p><p>2</p><p>πab</p><p>G Mm</p><p>b</p><p>a</p><p>m</p><p>T=</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>π2 2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅a b</p><p>G M m b</p><p>m a</p><p>T ⇒</p><p>T</p><p>a G M</p><p>2</p><p>3</p><p>24=</p><p>⋅</p><p>π</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.507 - 141815/19</p><p>Exercícios</p><p>01. (UFG-GO) Um satélite, lançado da superfície da Terra, é destinado</p><p>a permanecer em órbita terrestre a uma altura R. Supondo que a</p><p>energia mecânica do satélite seja conservada, que R seja o raio da</p><p>Terra e g a aceleração da gravidade em sua superfície, podemos</p><p>afirmar que o módulo da velocidade de lançamento é</p><p>A)</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2Rg</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>B) 2</p><p>1</p><p>2gR[ ]</p><p>C)</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>2gR</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>D) 3</p><p>1</p><p>2gR[ ]</p><p>E)</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2gR</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>02. Admita que o período de revolução da Lua em torno da Terra seja</p><p>de 27 dias e que o raio da sua órbita valha 60 R, sendo R o raio</p><p>da Terra. Considere um satélite geoestacionário, desses utilizados</p><p>em telecomunicações. Em relação ao referido satélite, responda:</p><p>A) Qual o período de revolução?</p><p>B) Qual o raio de órbita?</p><p>03. Determine as velocidades de um satélite em órbita elíptica</p><p>(eixos 2a e 2b) no periélio e no afélio.</p><p>04. Demonstre a 3ª lei de Kepler para órbitas circulares e elípticas.</p><p>05. Considere o raio médio da órbita de Plutão (planeta-anão) cem</p><p>vezes o raio médio da órbita de Mercúrio e 40 vezes o raio médio</p><p>da órbita da Terra. Sabendo que a duração aproximada do ano</p><p>de Mercúrio é de três meses terrestres e que a velocidade orbital</p><p>da Terra tem intensidade igual a 30 km/s, determine:</p><p>A) a duração do ano de Plutão expressa em anos terrestres.</p><p>B) a intensidade da velocidade orbital de Plutão.</p><p>06. (Vunesp-FMJ) O planeta Saturno apresenta um grande número</p><p>de satélites naturais. Dois deles são Encélado e Titan. Os raios de</p><p>suas órbitas podem ser medidos em função do raio de Saturno, R</p><p>S</p><p>.</p><p>Dessa forma, o raio da órbita de Titan vale 20 R</p><p>S</p><p>, enquanto o</p><p>de Encélado vale 4 R</p><p>S</p><p>. Sendo T(e) e T(t), respectivamente, os</p><p>intervalos de tempo que Encélado e Titan levam para dar uma</p><p>volta completa ao redor de Saturno, é correto afirmar que a</p><p>razão</p><p>T t</p><p>T e</p><p>( )</p><p>( )</p><p>é, aproximadamente, igual a</p><p>A) 11,2</p><p>B) 8,4</p><p>C) 5,0</p><p>D) 0,8</p><p>E) 0,2</p><p>07. Considerando que um satélite de massa m esteja em órbita circular</p><p>a uma distância d da superfície da Terra, julgue os itens a seguir</p><p>colocando (V) verdadeiro ou (F) falso.</p><p>A) ( ) Em módulo, a força centrípeta necessária para manter a</p><p>órbita do satélite é igual à força gravitacional.</p><p>B) ( ) Se um segundo satélite de massa igual a 2m for colocado</p><p>na mesma órbita do primeiro, então sua aceleração</p><p>centrípeta será duas vezes maior.</p><p>C) ( ) Se o raio da órbita do satélite for reduzido para 64%</p><p>do seu valor inicial, então a suavelocidade tangencial</p><p>aumentará em 25%.</p><p>D) ( ) O gráfico a seguir representa o comportamento da</p><p>velocidade tangencial v em função de d.</p><p>d(km)3d1d1</p><p>v1</p><p>3</p><p>__v1</p><p>v</p><p>08. Dois satélites artificiais A e B descrevem órbitas circulares no plano</p><p>equatorial da Terra. O satélite A está a uma distância R</p><p>A</p><p>do centro</p><p>da Terra e estacionário com relação a um observador fixo em um</p><p>ponto do equador da Terra.</p><p>A) Esse mesmo observador vê o satélite B passar por uma mesma</p><p>posição, numa vertical sobre ele, a cada dois dias, sempre à</p><p>mesma hora. Quais os dois possíveis valores da velocidade</p><p>angular de B, no referencial inercial em relação ao qual a Terra</p><p>gira em torno de seu eixo com um período de 24 h? Expresse</p><p>o resultado em rd/h.</p><p>B) Calcule, em função de R</p><p>A</p><p>, os valores dos raios das órbitas</p><p>correspondentes às velocidades angulares encontradas no item</p><p>anterior.</p><p>09. Um determinado sistema triplo de estrelas consiste em duas</p><p>estrelas, cada uma de massa m, que giram, na mesma órbita</p><p>circular, em torno de uma estrela central de massa 2m. As duas</p><p>estrelas menores ocupam posições diametralmente opostas,</p><p>conforme figura a seguir.</p><p>m</p><p>m</p><p>2m</p><p>r</p><p>Considerando que o raio da órbita é r, o período de revolução</p><p>das estrelas menores é</p><p>A)</p><p>8</p><p>3</p><p>2 3</p><p>1</p><p>2</p><p>π r</p><p>Gm( )</p><p>B)</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>π r</p><p>Gm( )</p><p>C)</p><p>16</p><p>3</p><p>2 3</p><p>3</p><p>2</p><p>π r</p><p>Gm( )</p><p>D)</p><p>3</p><p>8</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>π r</p><p>Gm( )</p><p>10. Considere a Terra um planeta de raio R estacionário no espaço.</p><p>A razão entre os períodos de dois satélites, de mesma massa, em</p><p>órbitas circulares de altura R e 3R, respectivamente, é</p><p>A)</p><p>1</p><p>2</p><p>B)</p><p>3</p><p>4</p><p>C)</p><p>2</p><p>4</p><p>D)</p><p>3</p><p>2</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>016.507 - 141815/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>11. A segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas) permite concluir que um</p><p>planeta possui</p><p>A) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol.</p><p>B) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol.</p><p>C) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol.</p><p>D) velocidade constante em toda sua trajetória.</p><p>E) velocidade areolar variável.</p><p>12. Um satélite, com massa m, gira em torno da Terra com velocidade</p><p>constante, em uma órbita circular de raio R, em relação ao centro</p><p>da Terra. Represente a massa da Terra por M e a constante</p><p>gravitacional por G. Utilizando os conceitos de forças centrípeta</p><p>e gravitacional, calcule, em função de m, M, R e G:</p><p>A) a velocidade do satélite.</p><p>B) a constante K que aparece na terceira Lei de Kepler, T2 = KR3,</p><p>onde T é o período do movimento.</p><p>13. A figura a seguir representa a órbita elíptica de um cometa em</p><p>torno do Sol.</p><p>JI</p><p>Com relação aos módulos das velocidades desse cometa nos</p><p>pontos I e J, v</p><p>I</p><p>e v</p><p>J</p><p>, e aos módulos das acelerações nesses mesmos</p><p>pontos, a</p><p>I</p><p>e a</p><p>J</p><p>, pode-se afirmar que</p><p>A) v</p><p>I</p><p>< v</p><p>J</p><p>e a</p><p>I</p><p>< a</p><p>J</p><p>B) v</p><p>I</p><p>< v</p><p>J</p><p>e a</p><p>I</p><p>> a</p><p>J</p><p>C) v</p><p>I</p><p>= v</p><p>J</p><p>e a</p><p>I</p><p>= a</p><p>J</p><p>D) v</p><p>I</p><p>> v</p><p>J</p><p>e a</p><p>I</p><p>< a</p><p>J</p><p>E) v</p><p>I</p><p>> v</p><p>J</p><p>e a</p><p>I</p><p>> a</p><p>J</p><p>14. Suponha que a massa da Lua seja reduzida à metade do seu valor</p><p>real, sem variar o seu volume. Suponha ainda, que ela continue</p><p>na mesma órbita em torno da Terra. Nessas condições, o período</p><p>de revolução da Lua, T(Lua), em torno da Terra, e a aceleração da</p><p>gravidade na lua, g(Lua), ficariam:</p><p>A) T(Lua) aumentado e g(Lua) aumentada.</p><p>B) T(Lua) diminuído e g(Lua) diminuída.</p><p>C) T(Lua) inalterado e g(Lua) aumentada.</p><p>D) T(Lua) inalterado e g(Lua) diminuída.</p><p>E) T(Lua) inalterado e g(Lua) inalterada.</p><p>15. Um dos fenômenos da dinâmica de galáxias, considerado como</p><p>evidência da existência de matéria escura, é que estrelas giram</p><p>em torno do centro de uma galáxia com a mesma velocidade</p><p>angular,</p><p>independentemente de sua distância ao centro. Sejam</p><p>M</p><p>1</p><p>e M</p><p>2</p><p>as porções de massa (uniformemente distribuída) da</p><p>galáxia no interior de esferas de raios R e 2R,respectivamente.</p><p>Nestas condições, a relação entre essas massas é dada por</p><p>A) M</p><p>2</p><p>= M</p><p>1</p><p>B) M</p><p>2</p><p>= 2M</p><p>1</p><p>C) M</p><p>2</p><p>= 4M</p><p>1</p><p>D) M</p><p>2</p><p>= 8M</p><p>1</p><p>E) M</p><p>2</p><p>= 16M</p><p>1</p><p>Resoluções</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– – – – –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– * * B C</p><p>11 12 13 14 15</p><p>B * E D D</p><p>– Demonstração</p><p>* 07: A) Verdadeira.</p><p>B) Falsa.</p><p>C) Verdadeira.</p><p>D) Falsa.</p><p>08: A) ω</p><p>π</p><p>ω</p><p>π</p><p>B B= =</p><p>8 24</p><p>rad/h ou rad/h</p><p>B) R R ou R RB A B A= =</p><p>4</p><p>9</p><p>43 3</p><p>12. A) V</p><p>GM</p><p>R</p><p>=</p><p>B) K</p><p>GM</p><p>=</p><p>4 2π</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): SAMPAIO – AUTOR(A): TADEU CARVALHO</p><p>naldo/REV.: Sarah</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: GraviTação universal (ParTe 2)</p><p>frente: FísiCa i</p><p>016.508 – 141814/19</p><p>AULAS 63 A 65</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Gravidade</p><p>Estamos interessados agora em determinar a expressão do</p><p>campo gravitacional gerado por um planeta esférico, maciço e de</p><p>densidade uniforme em 3 regiões: na superfície do planeta, a uma</p><p>certa altitude (h) e a uma profundidade (p) medidas da superfície do</p><p>planeta. Isso será feito sem levar em conta a rotação do planeta, depois</p><p>será calculado o efeito da rotação na gravidade.</p><p>Caso 1: Sem Rotação (w = 0)</p><p>R</p><p>(M)</p><p>B</p><p>A</p><p>C</p><p>h</p><p>P</p><p>I. Na superfície (Ponto A)</p><p>P F</p><p>m g</p><p>G M m</p><p>R</p><p>g</p><p>G M</p><p>R</p><p>SUP G</p><p>SUP</p><p>SUP</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>·</p><p>· ·</p><p>·</p><p>2</p><p>2</p><p>II. A uma altitude h (Ponto B)</p><p>P F</p><p>m g</p><p>G M m</p><p>g</p><p>G M</p><p>ou</p><p>g g</p><p>R</p><p>R h</p><p>h G</p><p>h</p><p>h</p><p>h SUP</p><p>=</p><p>⋅ =</p><p>⋅ ⋅</p><p>+</p><p>=</p><p>⋅</p><p>+</p><p>= ⋅</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>’</p><p>(R h)</p><p>(R h)</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>III. A uma profundidade p (Ponto C)</p><p>P F</p><p>m g</p><p>G M m</p><p>g</p><p>G M</p><p>onde M</p><p>M</p><p>R</p><p>g</p><p>G</p><p>P G</p><p>p</p><p>P</p><p>P</p><p>=</p><p>⋅ =</p><p>⋅ ⋅</p><p>−</p><p>=</p><p>⋅</p><p>−</p><p>=</p><p>⋅ −</p><p>=</p><p>"</p><p>’</p><p>(R p)</p><p>’</p><p>(R p)</p><p>, ’</p><p>(R p)</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>((R p)</p><p>(R p)</p><p>(R p)</p><p>−</p><p>⋅ ⋅</p><p>−</p><p>=</p><p>⋅ ⋅ −</p><p>= ⋅</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>M</p><p>R</p><p>g</p><p>G M</p><p>R</p><p>ou</p><p>g g</p><p>R p</p><p>R</p><p>P</p><p>p SUP</p><p>É possível construir um gráfico que relaciona a gravidade com</p><p>a distância r ao centro do planeta (g × r):</p><p>P</p><p>0</p><p>R</p><p>C</p><p>h</p><p>A B r</p><p>i ∼</p><p>i</p><p>i ∼</p><p>A r R g</p><p>G M</p><p>r</p><p>g</p><p>r</p><p>B r R h g</p><p>G M</p><p>r</p><p>C r R p g</p><p>G M</p><p>R</p><p>r g r</p><p>:</p><p>:</p><p>:</p><p>= ∴ =</p><p>⋅</p><p>= + ∴ =</p><p>⋅</p><p>= − ∴ =</p><p>⋅</p><p>⋅ →</p><p></p><p>2 2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>g – 1</p><p>r2</p><p>g – r</p><p>g</p><p>rR</p><p>G · M</p><p>R2</p><p>Caso 2: Com Rotação (w ≠ 0)</p><p>Nesse caso, vamos encontrar uma expressão para a gravidade</p><p>na superfície do planeta em função da latitude (L).</p><p>Para isso, vamos obter a gravidade “percebida” (g→</p><p>ef</p><p>) por</p><p>um observador na superfície, lembrando que esse observador está</p><p>acelerado (a→</p><p>cp</p><p>), logo, a gravidade efetiva será:</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.508 – 141814/19</p><p>g</p><p>→</p><p>W</p><p>a</p><p>R</p><p>g</p><p>SUP</p><p>sem rotação</p><p>aceleração centrípeta</p><p>(devido à rotação)</p><p>r</p><p>L</p><p>g</p><p>→</p><p>ef</p><p>= g</p><p>→</p><p>– a</p><p>→</p><p>Lembrando que a = w2 · r e r = R · cosL, logo:</p><p>a = w2 · R · cosL , assim, obtemos g</p><p>→</p><p>ef</p><p>:</p><p>g</p><p>L</p><p>–a</p><p>g</p><p>ef</p><p>ϕ</p><p>ϕ</p><p>g1</p><p>gef</p><p>g</p><p>g g gef</p><p>� � �</p><p>�= − ⊥</p><p>Onde g</p><p>→</p><p>ll</p><p>e g</p><p>→</p><p>são componentes paralelo e perpendicular à</p><p>superfície do planeta.</p><p>g a senL ou g R senL L</p><p>g g a L ou g g R</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �= =</p><p>= − = −⊥ ⊥</p><p>· · · · cos</p><p>· cos · · cos</p><p>ω</p><p>ω</p><p>2</p><p>2 22 L</p><p>No caso do planeta Terra:</p><p>ω2 0 03</p><p>9 8</p><p>· ,</p><p>,</p><p>R</p><p>g</p><p>≈</p><p>≈</p><p>m/s</p><p>m/s</p><p>2</p><p>2</p><p>Assim, podemos aproximar:</p><p>g g g R Lef ef� �⊥ − ⋅ ⋅, ou ainda, g cosω2 2</p><p>Assim, nos polos (L = 90º)</p><p>g</p><p>p</p><p>= g</p><p>E no Equador (L = 0º)</p><p>g</p><p>EQ</p><p>= g – w2 · R</p><p>Exercícios</p><p>01. Considere uma estrela A e dois planetas B e C alinhados em</p><p>determinado instante, conforme indica a figura. A massa de A</p><p>vale 200 M e as massas de B e C, M e 2M, respectivamente.</p><p>5x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>x</p><p>Sendo dada a distância x e a Constante da Gravitação (G), calcule,</p><p>no instante da figura, a intensidade da força resultante das ações</p><p>gravitacionais de A e C sobre B.</p><p>02. Se existisse um planeta de massa oito vezes maior que a da Terra</p><p>e raio três vezes maior, qual seria a relação entre a aceleração</p><p>da gravidade na superfície desse planeta g</p><p>p</p><p>e a aceleração da</p><p>gravidade na superfície da Terra g</p><p>T</p><p>?</p><p>03. Admita que a aceleração da gravidade nos polos da Terra tenha</p><p>intensidade 10 m/s² e que o raio terrestre valha 6,4 · 106 m. Chamemos</p><p>de w</p><p>0</p><p>a velocidade angular de rotação do planeta nas circunstâncias</p><p>atuais. Se a velocidade angular de rotação da Terra começasse a</p><p>crescer a partir de w</p><p>0</p><p>, estabelecer-se-ia um valor w para o qual os</p><p>corpos situados na linha do equador apresentariam peso nulo.</p><p>A) Qual o valor de w? Responda em função de w</p><p>0</p><p>.</p><p>B) Qual seria a duração do dia terrestre caso a velocidade angular</p><p>de rotação do planeta fosse igual a w?</p><p>04. (Olimpíada Brasileira de Física) Considere que a órbita da Terra em</p><p>torno do Sol seja circular e que esse movimento possua período T.</p><p>Sendo t o tempo médio que a luz do Sol leva para chegar à Terra</p><p>e c o módulo da velocidade da luz no vácuo, o valor estimado da</p><p>massa do Sol é:</p><p>A) G</p><p>T4 2</p><p>3</p><p>2π</p><p>(ct) B) 4 2 3</p><p>2</p><p>π</p><p>G T</p><p>(ct)</p><p>C) G</p><p>t4 2</p><p>3</p><p>2π</p><p>=</p><p>( )cT D) 4 2 3</p><p>2</p><p>π</p><p>G t</p><p>( )cT</p><p>E)</p><p>G</p><p>T4 2</p><p>2</p><p>3π</p><p>(ct)</p><p>05. (Olimpíada Íbero-americana de Física) Uma</p><p>estrela tripla é formada por três estrelas de</p><p>mesma massa M que gravitam em torno</p><p>do centro de massa C do sistema.</p><p>As estrelas estão localizadas nos vértices de</p><p>um triângulo equilátero inscrito em uma</p><p>circunferência que corresponde à trajetória</p><p>por elas descritas, conforme ilustra a figura.</p><p>Considerando-se como dados a massa M</p><p>de cada estrela, o raio R da circunferência</p><p>que elas descrevem e a constante de gravitação universal G,</p><p>determine o período T no movimento orbital de cada estrela.</p><p>E</p><p>3</p><p>Trajetória das</p><p>estrelas</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>C</p><p>E</p><p>1</p><p>E</p><p>2</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>016.508 – 141814/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>06. (Olimpíada Brasileira de Física) Em seu trabalho sobre gravitação</p><p>universal, Newton demonstrou que uma distribuição esférica</p><p>homogênea de massa surte o mesmo efeito que uma massa</p><p>concentrada no centro da distribuição. Se no centro da Terra</p><p>fosse recortado um espaço oco esférico, com metade do raio da</p><p>Terra, o módulo da aceleração da gravidade na superfície terrestre</p><p>diminuiria para (g é o módulo da aceleração da gravidade na</p><p>superfície terrestre sem a cavidade):</p><p>A)</p><p>3</p><p>8</p><p>g. B)</p><p>1</p><p>2</p><p>g.</p><p>C)</p><p>5</p><p>8</p><p>g. D)</p><p>3</p><p>4</p><p>g.</p><p>E)</p><p>7</p><p>8</p><p>g.</p><p>07. Uma casca esférica tem raio interno R</p><p>1</p><p>, raio externo R</p><p>2</p><p>e massa M</p><p>distribuída uniformemente. Uma massa puntiforme m está</p><p>localizada no interior dessa casca, a uma distância d de seu centro</p><p>(R</p><p>1</p><p>< d < R</p><p>2</p><p>).</p><p>M</p><p>md</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>O módulo da força gravitacional entre as massas é:</p><p>A) 0 B)</p><p>GMm</p><p>d2</p><p>C)</p><p>GMm</p><p>R d2</p><p>3 3−( ) D)</p><p>GMm</p><p>d R3</p><p>1</p><p>3−( )</p><p>E)</p><p>GMm</p><p>d R R</p><p>(d R )3</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>−</p><p>−( )</p><p>08. A partir da superfície da Terra, um foguete, sem propulsão, de</p><p>massa m, é lançado verticalmente, com velocidade v→</p><p>0</p><p>e atinge</p><p>uma altitude máxima igual ao raio R da Terra. Sendo M a massa</p><p>da Terra e G a constante de gravitação universal, o módulo de v→</p><p>0</p><p>é dado por</p><p>A)</p><p>GM</p><p>R</p><p>B)</p><p>GM</p><p>R2</p><p>C)</p><p>3</p><p>4</p><p>GM</p><p>R</p><p>D) 3</p><p>2</p><p>GM</p><p>R</p><p>09. Um astrônomo, ao estudar uma estrela dupla E</p><p>1</p><p>– E</p><p>2</p><p>, observou</p><p>que ambas executavam um movimento em torno de um mesmo</p><p>ponto P, como se estivessem ligadas por uma barra imaginária.</p><p>Ele mediu a distância D entre elas e o período T de rotação das</p><p>estrelas, obtendo T = 12 dias. Observou, ainda, que o raio R</p><p>1</p><p>, da</p><p>trajetória circular de E</p><p>1</p><p>, era três vezes menor do que o raio R</p><p>2</p><p>, da</p><p>trajetória circular de E</p><p>2</p><p>. Observando essas trajetórias, ele concluiu</p><p>que as massas das estrelas eram tais que M</p><p>1</p><p>= 3 M</p><p>2</p><p>. Além disso,</p><p>supôs que E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>estivessem sujeitas apenas à força gravitacional</p><p>entre elas. A partir das medidas e das considerações do astrônomo:</p><p>P</p><p>D</p><p>E</p><p>1</p><p>E</p><p>2</p><p>A) Indique as posições em que E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>estariam quinze dias após</p><p>uma observação em que as estrelas foram vistas, como está</p><p>representado no esquema da folha de respostas. Marque e</p><p>identifique claramente as novas posições de E</p><p>1</p><p>e E</p><p>2</p><p>no esquema</p><p>da folha de respostas.</p><p>B) Determine a razão R = V</p><p>2</p><p>/V</p><p>1</p><p>entre os módulos das velocidades</p><p>lineares das estrelas E</p><p>2</p><p>e E</p><p>1</p><p>.</p><p>C) Escreva a expressão da massa M</p><p>1</p><p>da estrela, em função de T,</p><p>D e da constante universal da gravitação G.</p><p>P</p><p>E</p><p>2</p><p>E</p><p>1</p><p>10. A estrela anã vermelha, Gliese 581, possui um planeta que, num</p><p>período de 13 dias terrestres, realiza, em torno da estrela, uma</p><p>órbita circular cujo raio é igual a 1/14 da distância média entre o</p><p>Sol e a Terra. Sabendo que a massa do planeta é aproximadamente</p><p>igual à da Terra, pode-se dizer que a razão entre as massas da</p><p>Gliese 581 e do nosso Sol é de aproximadamente</p><p>A) 0,05 B) 0,1</p><p>C) 0,6 D) 0,3</p><p>E) 4,0</p><p>11. Um satélite artificial de massa m descreve uma órbita equatorial</p><p>circular em torno da Terra a uma altitude igual ao seu raio (R).</p><p>Sendo T o período do movimento de revolução do satélite e G</p><p>a Constante de Gravitação Universal, a massa da Terra pode ser</p><p>calculada por</p><p>A) M</p><p>R</p><p>T G</p><p>=</p><p>32 2 3</p><p>2</p><p>π</p><p>B) M</p><p>R</p><p>T G</p><p>=</p><p>16 22</p><p>3</p><p>π</p><p>C) M</p><p>R</p><p>TG</p><p>=</p><p>8 3π</p><p>D) M</p><p>T</p><p>R G</p><p>=</p><p>4 2 3</p><p>2</p><p>π</p><p>E) M</p><p>R</p><p>T G</p><p>=</p><p>2 2 3</p><p>2</p><p>π</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>016.508 – 141814/19</p><p>12. Variações no campo gravitacional na superfície da Terra podem</p><p>advir de irregularidades na distribuição de sua massa. Considere</p><p>a Terra como uma esfera de raio R e de densidade r, uniforme,</p><p>com uma cavidade esférica de raio a, inteiramente contida no seu</p><p>interior. A distância entre os centros O, da Terra, e C, da cavidade,</p><p>é d, que pode variar de 0 (zero) até R – a, causando, assim, uma</p><p>variação do campo gravitacional em um ponto P, sobre a superfície</p><p>da Terra, alinhando com O e C.</p><p>R</p><p>O</p><p>d</p><p>a</p><p>C</p><p>P</p><p>Seja G</p><p>1</p><p>a intensidade do campo gravitacional em P, sem a existência</p><p>da cavidade na Terra, e G</p><p>2</p><p>, a intensidade do campo no mesmo</p><p>ponto, considerando a existência da cavidade. Então, o valor da</p><p>variação relativa (G</p><p>1</p><p>– G</p><p>2</p><p>)/G</p><p>1</p><p>, que se obtém ao deslocar a posição</p><p>da cavidade, é:</p><p>A) a3 / [(R – a)² R].</p><p>B) (a / R)³.</p><p>C) (a / R)².</p><p>D) a / R.</p><p>E) nulo.</p><p>13. Considere que Mt é a massa da Terra; Rt, seu raio; g, a aceleração</p><p>da gravidade; e G, a constante de gravitação universal. Da</p><p>superfície terrestre e verticalmente para cima, desejamos lançar</p><p>um corpo de massa m para que, desprezada a resistência do ar,</p><p>ele se eleve a uma altura acima da superfície igual ao raio da Terra.</p><p>A velocidade inicial V do corpo, nesse caso, deverá ser de:</p><p>A) V</p><p>G Mt</p><p>Rt</p><p>=</p><p>⋅</p><p>⋅2</p><p>B) V</p><p>g Rt</p><p>m</p><p>=</p><p>⋅</p><p>C) V</p><p>G Mt</p><p>Rt</p><p>=</p><p>⋅</p><p>D) V</p><p>g Rt</p><p>=</p><p>⋅</p><p>2</p><p>E) V</p><p>g G Mt</p><p>m Rt</p><p>=</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>14. Na Terra, onde a aceleração da gravidade vale 10 m/s², um</p><p>astronauta vestido com seu traje espacial pesa 2000 N. Sabendo-se</p><p>que o raio de Marte é a metade do raio da Terra e que a massa</p><p>de Marte é dez vezes menor que a da Terra, determinar:</p><p>A) a massa do conjunto astronauta-traje em Marte.</p><p>B) o peso do conjunto astronauta-traje em Marte.</p><p>15. O gráfico da figura a seguir representa a aceleração da gravidade</p><p>g da Terra em função da distância d ao seu centro.</p><p>18</p><p>16</p><p>14</p><p>12</p><p>10</p><p>8</p><p>6</p><p>4</p><p>2</p><p>01(d 02 81 61 41 21 01 8 6 4 2 0 6 m)</p><p>g(m/s²)</p><p>Considere uma situação hipotética em que o valor do raio R</p><p>T</p><p>da</p><p>Terra seja diminuído para R’, sendo R’ = 0,8 R</p><p>T</p><p>, e em que seja</p><p>mantida (uniformemente) sua massa total. Nessas condições, os</p><p>valores aproximados das acelerações da gravidade g</p><p>1</p><p>à distância</p><p>R’ e g</p><p>2</p><p>a uma distância igual a R</p><p>T</p><p>do centro da “Terra Hipotética”</p><p>são, respectivamente:</p><p>g1 (m/s2) g2(m/s²)</p><p>A) 10 10</p><p>B) 8 6,4</p><p>C) 6,4 4,1</p><p>D) 12,5 10</p><p>E) 15,6 10</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– – – – –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>– E A * D</p><p>11 12 13 14 15</p><p>A D C * E</p><p>– Demonstração.</p><p>*09.</p><p>A)</p><p>E</p><p>2</p><p>E</p><p>1</p><p>E</p><p>1</p><p>P</p><p>E</p><p>2</p><p>B) R = 3</p><p>C) M</p><p>D</p><p>GT</p><p>1</p><p>2 3</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>π</p><p>14.</p><p>A) m = 200 kg</p><p>B) P = 800 N</p><p>Supervisor/diretor: Dawison Sampaio – Autor: Tadeu Carvalho</p><p>Dig.: RodErick – Rev.: Sarah</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: esTáTiCa do PonTo MaTerial</p><p>frente: FísiCa i</p><p>018.127 - 143241/19</p><p>AULAS 66 e 67</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Estática do ponto material</p><p>Para uma partícula em repouso sujeito à ação de várias forças</p><p>(veja figura) permanecer em repouso, ou seja, estar em equilíbrio, é</p><p>necessário e suficiente que:</p><p>Fn</p><p>F</p><p>1</p><p>F</p><p>2</p><p>F</p><p>3F</p><p>4</p><p>→</p><p>=∑ F 0</p><p>Vamos agora estudar uma situação particular em que uma</p><p>partícula está em equilíbrio sob a ação de 3 forças: F F F</p><p>→ → →</p><p></p><p></p><p>1 2 3, , ,</p><p>F1</p><p>F2</p><p>F3</p><p>θ3</p><p>θ1</p><p>θ2</p><p>Devemos ter F F F</p><p>→ → →</p><p>+ + =1 2 3 0, então formamos um triângulo</p><p>F1</p><p>F3</p><p>θ2</p><p>θ3</p><p>θ1</p><p>α1</p><p>α2</p><p>α3</p><p>F2</p><p>Note que:</p><p>a</p><p>1</p><p>+ q</p><p>1</p><p>= 180º → sen a</p><p>1</p><p>= sen q</p><p>1</p><p>a</p><p>2</p><p>+ q</p><p>2</p><p>= 180º → sen a</p><p>2</p><p>= sen q</p><p>2</p><p>a</p><p>3</p><p>+ q</p><p>3</p><p>= 180º → sen a</p><p>3</p><p>= sen q</p><p>3</p><p>Pela lei dos senos, podemos escrever:</p><p>F</p><p>sen</p><p>F</p><p>sen</p><p>F</p><p>sen</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3α α α</p><p>= =</p><p>ou</p><p>F</p><p>sen</p><p>F</p><p>sen</p><p>F</p><p>sen</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3θ θ θ</p><p>= =</p><p>Exercícios</p><p>01. Uma esfera de aço (E) pesando 200 N encontra-se apoiada em</p><p>um plano horizontal e amarrada a uma parede vertical por meio</p><p>de um fio ideal:</p><p>E 30º</p><p>C</p><p>Um cilindro (C) de peso 100 N é ligado a um fio ideal, que passa</p><p>por uma polia também ideal e vai prender-se à esfera. Calcule:</p><p>A) a intensidade da força de reação normal do plano horizontal</p><p>sobre a esfera.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>018.127 - 143241/19</p><p>B) a intensidade da força de tração no fio que liga a esfera</p><p>à parede vertical.</p><p>C) a intensidade do peso que o cilindro deveria ter para que</p><p>a esfera ficasse na iminência de sair do plano.</p><p>02. Um semáforo pesando 100 N está pendurado por três cabos</p><p>conforme ilustra a figura. Os cabos 1 e 2 fazem um ângulo a e b</p><p>com a horizontal, respectivamente.</p><p>1 2</p><p>3</p><p>α β</p><p>A) Em qual situação as tensões nos fios 1 e 2 serão iguais?</p><p>B) Considerando o caso em que a = 30º e b = 60º, determine as</p><p>tensões nos cabos 1, 2 e 3.</p><p>Dados: sen 30º = 1/2 e sen 60º = 3/2</p><p>03. (Aman-RJ) Veja a figura a seguir. A tração máxima que a corda</p><p>superior pode suportar é de 400 2 N e a compressão máxima</p><p>que a escora pode aguentar é de 600 2 N. A corda vertical é</p><p>suficientemente resistente para tolerar qualquer peso envolvido</p><p>no problema.</p><p>45º</p><p>45º</p><p>P</p><p>→</p><p>O maior peso de um corpo em repouso que pode ser sustentado</p><p>pela estrutura da figura, considerando desprezível o peso da</p><p>escora, é:</p><p>A) 800 N</p><p>B) 1000 N</p><p>C) 200 N</p><p>D) 600 N</p><p>E) 400 N</p><p>04. O esquema mostra o sistema de freios dianteiros de uma bicicleta</p><p>no momento em que o ciclista imprime força máxima ao cabo</p><p>de aço vertical, mantendo o segundo cabo tenso e em equilíbrio</p><p>de acordo com o ângulo q de valor 145º.</p><p>Se o ângulo q for reajustado para 125º, as forças horizontais sobre</p><p>os parafusos P</p><p>1</p><p>e P</p><p>2</p><p>que prendem o segundo cabo de aço terão</p><p>seus valores aumentados em:</p><p>A) 25%</p><p>B) 50%</p><p>C) 75%</p><p>D) 100%</p><p>E) 125%</p><p>05. Três cilindros iguais, A, B e C, cada um com massa M e raio R,</p><p>são mantidos empilhados, com seus eixos horizontais, por meio</p><p>de muretas laterais verticais, como mostra a figura a seguir.</p><p>Desprezando qualquer efeito de atrito, determine, em função de</p><p>M e g:</p><p>A</p><p>B C</p><p>A) O módulo da força FAB que o cilindro A exerce sobre o cilindro B.</p><p>B) O módulo da força F1 que o piso (x) exerce sobre o cilindro B.</p><p>C) O módulo da força F2 que a mureta (y) exerce sobre o cilindro C.</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>018.127 - 143241/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>06. Duas esferas A e B de mesma massa e raio são colocadas no interior</p><p>de uma caixa como mostra a figura a seguir. A força exercida pelo</p><p>fundo da caixa sobre a esfera A tem intensidade de 30 N. O peso</p><p>de cada esfera é:</p><p>A</p><p>B</p><p>A) 25 N</p><p>B) 20 N</p><p>C) 15 N</p><p>D) 10 N</p><p>E) 5 N</p><p>07. Em um ensaio físico, desenvolvido com o objetivo de se estudar</p><p>a resistência à tração de um fio, montou-se o conjunto ilustrado</p><p>a seguir. Desprezando o atrito, bem como as inércias das polias,</p><p>do dinamômetro (D) e dos fios, considerados inextensíveis, a</p><p>indicação do dinamômetro, com o sistema em equilíbrio, é</p><p>Dados: g = 10 m/s2</p><p>sen a = 0,6</p><p>cos a = 0,8</p><p>A) 1,6 N</p><p>B) 1,8 N</p><p>C) 2,0 N</p><p>D) 16 N</p><p>E) 18 N</p><p>08. Um peso W está suspenso por cordas de massas desprezíveis,</p><p>como mostra a figura</p><p>a seguir.</p><p>T2 T3</p><p>T1</p><p>W</p><p>θ ϕ</p><p>Em módulo, as tensões T2 e T3 valem, respectivamente:</p><p>A) W cotg q, W cosec q</p><p>B) W/sen q, W sen j</p><p>C) W/(tg j cos q + sen q</p><p>D) W/(cos(q + j), W/sen(q + sen j)</p><p>E) W ⋅ sen q, W ⋅ sen j)</p><p>09. No arranjo mostrado na figura com duas polias, o fio inextensível</p><p>e sem peso sustenta a massa M e, também, simetricamente, as</p><p>duas massas m, em equilíbrio estático.</p><p>mm</p><p>M</p><p>Q</p><p>2 L</p><p>P</p><p>h</p><p>Desprezando o atrito de qualquer natureza, o valor h da distância</p><p>entre os pontos P e Q vale</p><p>A) ML/ 4 m M2 2</p><p>B) L</p><p>C) ML/ M2 – 4 2m</p><p>D) mL/ 4 2 2m M–</p><p>E) ML/ 2 2 2m M–</p><p>10. Uma das modalidades de ginástica é a das argolas. Nessa</p><p>modalidade, os músculos mais solicitados são os dos braços,</p><p>que suportam as cargas horizontais, e os da região dorsal, que</p><p>suportam os esforços verticais.</p><p>d</p><p>H</p><p>L</p><p>–</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>018.127 - 143241/19</p><p>Considerando um atleta cuja massa é de 60 kg e sendo os</p><p>comprimentos indicados na figura H = 3,0 m; L = 1,5 m e d = 0,5 m,</p><p>responda:</p><p>A) Qual a tensão em cada corda quando o atleta se encontra</p><p>pendurado no início do exercício com os braços na vertical?</p><p>B) Quando o atleta abra os braços na horizontal, qual</p><p>a componente horizontal da tensão em cada corda?</p><p>11. Observando as figuras a seguir, vemos que os corpos A e B que</p><p>equilibram a barra de peso desprezível, são também utilizados</p><p>para equilibrar a talha exponencial de polias e fios ideais. A relação</p><p>entre as distâncias x e y é:</p><p>B</p><p>A</p><p>BA</p><p>x y</p><p>A) x/y = 1/3</p><p>B) x/y = 1/4</p><p>C) x/y = 1/8</p><p>D) x/y = 1/12</p><p>E) x/y = 1/16</p><p>12. A figura a seguir mostra dois blocos de massas m = 2,5 kg e</p><p>M = 6,5 kg, ligados por um fio que passa sem atrito por uma</p><p>roldana. Despreze as massas do fio e da roldana e suponha que</p><p>a aceleração da gravidade vale g = 10 m/s2.</p><p>F</p><p>m</p><p>M</p><p>P</p><p>O bloco de massa M está apoiado sobre a plataforma P e a força</p><p>F aplicada sobre a roldana é suficiente apenas para manter o</p><p>bloco de massa m em equilíbrio estático na posição indicada.</p><p>Sendo F a intensidade dessa força e R, a intensidade da força que</p><p>a plataforma exerce sobre M, é correto afirmar que:</p><p>A) F = 50 N e R = 65 N.</p><p>B) F = 25 N e R = 65 N.</p><p>C) F = 25 N e R = 40 N.</p><p>D) F = 50 N e R = 40 N.</p><p>E) F = 90 N e R = 65 N.</p><p>13. Duas crianças de massas respectivamente iguais a 30 kg e 50 kg</p><p>resolvem equilibrar um corpo de massa 70 kg, suspenso num</p><p>sistema de fios ideais que passam por polias de inércia desprezível,</p><p>conforme o esquema a seguir.</p><p>50 kg30 kg</p><p>70 kg</p><p>FIGURA SEM ESCALA</p><p>β α</p><p>γ</p><p>Na posição de equilíbrio, temos:</p><p>A) cos g = –0,5 e sen a = 0,6 sen b</p><p>B) cos g = 0,5 e sen a = 1,67 sen b</p><p>C) cos g = 0,87 e sen a = 0,6 sen b</p><p>D) cos g = 0,5 e sen a = 0,6 sen b</p><p>E) cos g = 0,5 e sen a = sen b</p><p>14.</p><p>60º60º5,0 kg 5,0 kg</p><p>3,0 kg3,0 kg</p><p>D</p><p>Em um laboratório de ensaios mecânicos, foi necessário compor</p><p>um sistema conforme a ilustração anterior. As polias e os fios</p><p>são considerados ideais, o atrito entre as superfícies em contato</p><p>e a massa do dinamômetro D são desprezíveis e o módulo da</p><p>aceleração gravitacional local é 10 m/s2. Quando o sistema está</p><p>em equilíbrio, a indicação do dinamômetro é:</p><p>A) 24 N B) 35 N</p><p>C) 50 N D) 65 N</p><p>E) 76 N</p><p>15. Um bloco de peso P é suspenso por dois fios de massa desprezível,</p><p>presos a paredes em A e B, como mostra a figura adiante. Pode-se</p><p>afirmar que o módulo da força que tenciona o fio preso em B,</p><p>vale:</p><p>A</p><p>P</p><p>L</p><p>2 L</p><p>L</p><p>B</p><p>A) P/2 B) P/ 2</p><p>C) P D) 2 P</p><p>E) 2 P</p><p>5F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>018.127 - 143241/19</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>* * A D *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>C D C A *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>C D D B D</p><p>01.</p><p>A) 150 N</p><p>B) 50 3 N</p><p>C) 400 N</p><p>02.</p><p>A) Quando α = β</p><p>B) T N</p><p>T N</p><p>T N</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>50</p><p>50 3</p><p>100</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>05.</p><p>A) FBA = Mg</p><p>B) F Mg1 1</p><p>3</p><p>2</p><p>= +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>C) F</p><p>Mg</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>10.</p><p>A) T = 300 N</p><p>B) TH = 50 N</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: DAWISON – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIGITADOR: ROMULO – REVISORA: JARINA</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: esTáTiCa do Corpo exTenso</p><p>frente: FísiCa i</p><p>012.986 - 138644/19</p><p>AULAS 68 a 70</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Indutância</p><p>Diferente do ponto do material, um corpo extenso não está</p><p>necessariamente em equilíbrio se F</p><p>�</p><p>=∑ 0, ou seja, essa condição é</p><p>necessária, mas não é o suficiente pois mesmo que a resultante das</p><p>forças aplicadas sob um corpo seja nula, esse corpo pode adquirir</p><p>movimento de rotação acelerado. Então, é necessário que a soma dos</p><p>torques devido a essas forças também seja nula, assim, em resumo,</p><p>temos:</p><p>Equ libro</p><p>ponto marerial F Eq transl</p><p>corpo ex</p><p>basta</p><p>ter</p><p>í</p><p> → = ( )∑</p><p>�</p><p>0 . .</p><p>ttenso</p><p>Ftem de</p><p>ter →</p><p>=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>∑</p><p>∑</p><p>�</p><p>�</p><p>(Eq. transl.)</p><p>(Eq. rotaç o)τ 0 ã</p><p>O torque produzido por uma força muda a capacidade que</p><p>uma força tem de “fazer um corpo girar” em torno de um ponto. Na</p><p>verdade, o torque está associado à variação da velocidade angular de</p><p>um corpo, logo, o torque pode iniciar, terminar ou apenas alterar a</p><p>rotação de um corpo.</p><p>O torque ou momento de uma força é uma grandeza vetorial</p><p>definida por:</p><p>t→</p><p>F,0</p><p>= r→ × F</p><p>→</p><p>onde t</p><p>→</p><p>F,0</p><p>representa representa o torque de uma força F</p><p>→</p><p>em</p><p>relação a um ponto 0,r</p><p>→</p><p>é o vetor que localiza o ponto de aplicação</p><p>de F em relação a 0, veja figura a seguir:</p><p>a</p><p>linha de</p><p>ação de F</p><p>→</p><p>.</p><p>A</p><p>F</p><p>→</p><p>r</p><p>→</p><p>0</p><p>d</p><p>F</p><p>Como r F</p><p>r F sen</p><p>ou</p><p>F r sen</p><p>Note que r se</p><p>F</p><p>F</p><p>F</p><p>τ</p><p>τ α</p><p>τ α</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,0</p><p>0</p><p>0</p><p>= ×</p><p>= ⋅ ⋅</p><p>= ⋅ ⋅</p><p>⋅ nn df o</p><p>F dF F</p><p>α</p><p>τ</p><p>=</p><p>= ⋅</p><p>,log :</p><p>,0</p><p>ou seja, o módulo do torque de uma força é o produto do</p><p>módulo da força pela distância da linha de ação da força ao ponto</p><p>considerado.</p><p>A partir de agora, chamaremos essa distância d</p><p>F</p><p>de braço da</p><p>força, assim, o módulo do torque é o produto entre o módulo da</p><p>força pelo seu braço.</p><p>Observação:</p><p>Podemos também encontrar um “teorema das 3 forças” para</p><p>um corpo extenso.</p><p>Se um corpo extenso está em equilíbrio sob a ação de 3 forças,</p><p>essas forças devem ser concorrentes em um ponto ou paralelas entre si:</p><p>F</p><p>→</p><p>3</p><p>F</p><p>→</p><p>1F</p><p>→</p><p>2</p><p>Exercícios</p><p>01.</p><p>A M</p><p>B</p><p>Na figura anterior uma haste AB, homogênea e de secção reta</p><p>uniforme, medindo 2,4 m, é suspensa pelo seu ponto médio M,</p><p>por meio de um arame.</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>018.126 - 143224/19</p><p>Na extremidade B, há um recipiente de massa desprezível contendo</p><p>água, enquanto, na extremidade A, há um camudongo de massa</p><p>250 g. Nessa situação, a haste se mantém em repouso na posição</p><p>horizontal. Em determinado instante, o recipiente começa a vazar</p><p>água na razão de 75 g/s e, em consequência disso, o camudongo</p><p>passa a se mover no sentido de A para M, de modo a manter a</p><p>haste na sua posição inicial. Para isso, qual deve ser o módulo</p><p>v da velocidade do camudongo, em m/s?</p><p>02. Uma barra AB, prismática e homogênea, de peso 200 N e</p><p>comprimento 2,0 m, encontra-se em equilíbrio na horizontal. Ela está</p><p>conectada a uma parede por meio de uma corda leve BP e sustenta</p><p>um cubo homogêneo de peso 300 N, como representa a figura:</p><p>P</p><p>B</p><p>80 cm</p><p>A</p><p>Supondo que a barra se articule praticamente sem atrito em A,</p><p>determine as componentes horizontal e vertical da força recebida</p><p>por ela nessa articulação. A distância AP é igual a 2,2 m.</p><p>03. (UFPI) Um arame homogêneo de 23 cm de comprimento é</p><p>dobrado, como indica a figura, em que a = 5 cm.</p><p>x</p><p>a</p><p>Para que o arame apoiado se mantenha em equilíbrio, o</p><p>comprimento x deve ser, aproximadamente, de:</p><p>A) 6 cm. B) 9 cm.</p><p>C) 11 cm. D) 14 cm.</p><p>E) 15 cm.</p><p>04. (Faap-SP) Uma viga de peso desprezível é apoiada por suas extremidades</p><p>A e B, sendo que um homem de peso P anda sobre ela:</p><p>L</p><p>x</p><p>A B</p><p>A intensidade R</p><p>A</p><p>da reação do apoio A é dada pelo gráfico a</p><p>seguir, em que x é a distância de A ao homem:</p><p>R</p><p>A</p><p>(N)</p><p>560</p><p>140</p><p>0 2 8 x (m)</p><p>Calcule, então:</p><p>A) o peso P do homem;</p><p>B) o comprimento L da viga.</p><p>05. (IME-RJ) Uma escada de 4,0 m de comprimento está apoiada contra</p><p>uma parede vertical com a sua extremidade inferior a 2,4 m da parede,</p><p>como mostra a figura. A escada pesa 20 kgf e seu</p><p>centro de gravidade</p><p>está localizado no ponto médio. Sabendo que os coeficientes de</p><p>atrito estático entre a escada e o solo e entre a escada e a parede</p><p>são, respectivamente, a 0,50 e 0,20, calcule:</p><p>A) a altura máxima, em relação ao solo, a que um homem de</p><p>90 kgf de peso pode subir sem provocar o escorregamento da escada;</p><p>B) a distância máxima da parede a que se pode apoiar a parte</p><p>inferior da escada vazia sem provocar escorregamento.</p><p>C</p><p>3,2 m</p><p>4,0 m</p><p>2,4 m</p><p>A B</p><p>06. Uma barra homogênea de massa m = 2,0 kg é colocada, num</p><p>plano vertical, entre um piso horizontal e uma parede vertical,</p><p>ambos muito lisos (isto é, com atrito desprezível), conforme</p><p>ilustrado na figura anterior.</p><p>Para manter a barra em equilíbrio, um fio de massa desprezível</p><p>é preso horizontalmente entre a barra em equilíbrio, um fio de</p><p>massa desprezível é preso horizontalmente entre a barra e a parede</p><p>vertical, a uma distância L abaixo do ponto onde a barra se apoia</p><p>na parede.</p><p>h = 40 cm</p><p>L</p><p>d = 30 cm</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>018.126 - 143224/19</p><p>Módulo de estudo</p><p>Considerando g = 10 m/s² a aceleração local da gravidade e</p><p>sabendo que a tensão máxima que o fio pode suportar é de 30 N,</p><p>o menor valor de L para o qual a barra ainda fica em equilíbrio na</p><p>posição indicada na figura vale, aproximadamente:</p><p>A) 5,0 cm B) 10 cm</p><p>C) 15 cm D) 20 cm</p><p>E) 25 cm</p><p>07. A figura a seguir representa uma barra AB de massa desprezível,</p><p>apoiada sem atrito em C.</p><p>B s</p><p>F</p><p>2</p><p>f</p><p>A</p><p>C</p><p>F</p><p>1</p><p>Para que a barra não sofra rotação em torno de C, devemos ter:</p><p>A) F</p><p>1</p><p>= F</p><p>2</p><p>B) F</p><p>1</p><p>sen f · AC – F</p><p>2</p><p>cos f · CB = 0</p><p>C) F</p><p>1</p><p>cos f = F2 sen f</p><p>D) AC · sen f = CB · cos f</p><p>E) não se pode dizer nada a respeito.</p><p>08. Duas barras homogêneas de mesmo comprimento L, mesma</p><p>secção transversal e densidades pA = 500 kg/m³ e pB = 1500 kg/m³,</p><p>estão unidas e apoiadas conforme a figura. Qual é a distância x</p><p>para que as reações nos apoios sejam iguais?</p><p>x</p><p>A B</p><p>A) 1,5 L</p><p>B) 1,2 L</p><p>C) 1,0 L</p><p>D) 0,75 L</p><p>E) 0,5 L</p><p>09. Considere as três afirmativas a seguir sobre um aspecto da Física</p><p>do Cotidiano:</p><p>I. Quando João começou a subir pela escada de pedreiro apoiada</p><p>numa parede vertical, e já estava no terceiro degrau, Maria</p><p>grita para ele. “— Cuidado, João, você vai acabar caindo pois</p><p>a escada está muito inclinada e vai acabar deslizando”.</p><p>II. João responde: “— Se ela não deslizou até agora que estou</p><p>no terceiro degrau, também não deslizará quando eu estiver</p><p>no último.”</p><p>III. Quando João chega no meio da escada fica com medo e dá</p><p>total razão à Maria. Ele desce da escada e diz a Maria: “Como</p><p>você é mais leve do que eu, tem mais chance de chegar ao fim</p><p>da escada com a mesma inclinação, sem que ela deslize.</p><p>Ignorando o atrito na parede:</p><p>A) Maria está certa com relação a I mas João errado com relação a II.</p><p>B) João está certo com relação a II mas Maria errada com relação a I.</p><p>C) as três afirmativas estão fisicamente corretas.</p><p>D) somente a afirmativa I é fisicamente correta.</p><p>E) somente a afirmativa III é fisicamente correta.</p><p>10. O sistema mostrado na figura está em equilíbrio, a barra</p><p>homogênea, de seção uniforme pesa 500 N. O corpo A pesa 3000 N.</p><p>Considere desprezível o peso das roldanas e dos cabos.</p><p>2 m 4 m</p><p>B</p><p>A</p><p>Nestas condições, o peso do corpo B é:</p><p>A) 250 N</p><p>B) 500 N</p><p>C) 125 N</p><p>D) 1000 N</p><p>E) 150 N</p><p>11. Uma escada homogênea de peso 400 N, está apoiada em uma</p><p>parede, no ponto P, e sobre o piso, no ponto Q. Não há atrito</p><p>entre a escada e nenhum dos apoios, isto é, o piso e a parede são</p><p>idealmente lisos.</p><p>Q</p><p>P</p><p>3,0 m</p><p>corda</p><p>400 N</p><p>4,0 m</p><p>Para manter a escada em equilíbrio na posição indicada, intercala-se</p><p>entre o pé da escada e a parede, uma corda horizontal. Admitindo</p><p>os dados contidos na figura, a força de tração na corda vale:</p><p>A) 150 N</p><p>B) 200 N</p><p>C) 250 N</p><p>D) 300 N</p><p>E) 400 N</p><p>12. A figura mostra um móbile constituído por duas barras de massas</p><p>desprezíveis que sustentam os corpos A, B e C por fios ideais</p><p>A B</p><p>C</p><p>10 cm 30 cm</p><p>20 cm 30 cm</p><p>Sendo a massa do corpo A 45 g, a massa do corpo C, que mantém</p><p>o conjunto em equilíbrio na posição indicada, deve ser igual a:</p><p>A) 10 g</p><p>B) 20 g</p><p>C) 30 g</p><p>D) 40 g</p><p>E) 50 g</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>018.126 - 143224/19</p><p>13. Uma pessoa de massa 60 kg caminha sobre uma prancha</p><p>homogênea de madeira de comprimento 6,0 m e massa 200 kg,</p><p>simplesmente apoiada em seus extremos, como indica a figura.</p><p>Adote g = 10 m/s².</p><p>QS</p><p>Determine a reação normal nos apios S e Q:</p><p>A) quando a pessoa está no ponto médio da prancha</p><p>B) quando a pessoa está a 2,0 m de Q</p><p>C) quando a pessoa está exatamente sobre Q.</p><p>14. A figura mostra uma barra de 50 cm de comprimento e massa</p><p>desprezível, suspensa por uma corda OQ, sustentando um peso</p><p>de 3000 N no ponto indicado. Sabendo que a barra se apoia sem</p><p>atrito nas paredes do vão, a razão entre a tensão na corda e a</p><p>reação na parede no ponto S, no equilíbrio estático, é igual a</p><p>P</p><p>20 cm</p><p>10 cm 30 cm</p><p>O</p><p>S</p><p>Q</p><p>A) 1,5</p><p>B) 3,0</p><p>C) 2,0</p><p>D) 1,0</p><p>E) 5,0</p><p>15. Um homem de 60 kg sobe por uma escada de 20 kg, que está</p><p>com uma extremidade apoiada no chão e a outra em uma parede,</p><p>como mostra a figura ao lado. O coeficiente de atrito estático entre</p><p>a parede e a escada é nulo. Por ser também nulo o coeficiente</p><p>de atrito estático entre o chão e a escada, o homem prendeu o</p><p>“pé” da escada à parede com um cabo que suporta uma tensão</p><p>máxima de 800 N. Nessas condições, o degrau mais alto possível</p><p>de ser alcançado pelo homem está a uma altura de</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: Dawison – AUTOR: Tadeu Carvalho</p><p>DIG.: RodErick – REV.: Jarina</p><p>A) 0,5 m</p><p>B) 1,0 m</p><p>C) 1,5 m</p><p>D) 2,0 m</p><p>E) 2,5 m</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>– – C – –</p><p>06 07 08 09 10</p><p>B B E A A</p><p>11 12 13 14 15</p><p>A D * B E</p><p>– Demostração</p><p>*13.</p><p>a) R</p><p>s</p><p>= R</p><p>Q</p><p>= 1300 N</p><p>b) R</p><p>s</p><p>= 1200 N e R</p><p>Q</p><p>= 1400 N</p><p>c) R</p><p>s</p><p>= 1000 N e R</p><p>Q</p><p>= 1600 N</p><p>Sem nome</p><p>e a aceleração médias entre t = 1s e</p><p>t = 2s.</p><p>B) determine as velocidades e acelerações instantâneas em t = 1 s</p><p>e t = 2 s.</p><p>C) compare as grandezas médias e instantâneas e, em cada caso,</p><p>explique por que a maior é maior.</p><p>10. A posição de uma partícula ao longo do eixo x depende do tempo,</p><p>de acordo com a equação X = At2 – Bt3, sendo x em metros e t</p><p>em segundos.</p><p>A) Quais as unidades SI de A e B? Para o que se segue, sejam</p><p>3 e 1, respectivamente, os valores de A e B em unidades SI.</p><p>B) Em que instante a partícula alcança sua posição positiva máxima</p><p>em x?</p><p>C) Qual o percurso total realizado pela partícula nos primeiros</p><p>quatro segundos?</p><p>D) Qual o seu deslocamento nos primeiros quatro segundos?</p><p>E) Qual a velocidade da partícula ao final de cada um dos quatro</p><p>primeiros segundos?</p><p>F) Qual a aceleração da partícula no final de cada um dos</p><p>quatro primeiros segundos?</p><p>G) Qual a velocidade média no intervalo de tempo de t = 2 s a</p><p>t = 4s?</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>022.909 – 147739/20</p><p>Módulo de estudo</p><p>11. Em um jogo eletrônico, um ponto luminoso está programado</p><p>para cruzar a tela de acordo com a equação x = 9,00 t – 0,750t3,</p><p>sendo x a distância, em centímetros, medida a partir da borda</p><p>esquerda da tela e t o tempo em segundos. Quando o ponto</p><p>alcança uma das bordas, seja x = 0 ou x = 15 cm, ele recomeça</p><p>o movimento.</p><p>A) Em que instante, após a partida, o ponto estará instantanea-</p><p>mente em repouso?</p><p>B) Onde isso ocorrerá?</p><p>C) Qual sua aceleração nesse instante?</p><p>D) Em que sentido ele se moverá no instante seguinte, depois</p><p>de parar?</p><p>E) Quando ele sairá da tela?</p><p>12. Para decolar, um avião a jato necessita alcançar, ao final da pista,</p><p>a velocidade de 360 km/h. Supondo que a aceleração seja</p><p>constante e a pista tenha 1,8 km, qual a aceleração mínima</p><p>necessária a partir do repouso?</p><p>13. A cabeça de uma cascavel pode acelerar a 50 m/s2 ao atacar uma</p><p>vítima. Se um carro pudesse fazer o mesmo, em quanto tempo ele</p><p>alcançaria a velocidade escalar de 100 km/h a partir do repouso?</p><p>14. Solta-se uma bola de chumbo, em uma piscina, a partir de uma</p><p>prancha de mergulho que está a 2,6 m acima da água. A bola</p><p>penetra na água com certa velocidade, atingindo o fundo com</p><p>esta mesma velocidade 0,97 s depois de largada.</p><p>A) Qual a profundidade da piscina?</p><p>B) Suponha que toda a água da piscina seja esgotada e que a</p><p>bola seja lançada da mesma prancha, alcançando o fundo em</p><p>0,97 s. Qual a velocidade inicial da bola?</p><p>15. O gráfico dado mostra a variação da velocidade (v) com o</p><p>deslocamento (x).</p><p>0</p><p>v</p><p>xx0</p><p>v0</p><p>Qual, dos gráficos a seguir, representa corretamente a variação</p><p>da aceleração (a) com deslocamento (x):</p><p>A)</p><p>0 x</p><p>a B)</p><p>0 x</p><p>a</p><p>C)</p><p>0 x</p><p>a D)</p><p>0 x</p><p>a</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>A D – C *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>20 s 15 s 54 m * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * * * A</p><p>Resoluções</p><p>01. t = 0; t = Dt:</p><p>A</p><p>a</p><p>→</p><p>a</p><p>→</p><p>AB</p><p>n</p><p>a</p><p>→</p><p>Façamos as equações horárias dos movimentos de A e B:</p><p>A: S</p><p>A</p><p>=</p><p>a t⋅ 2</p><p>2</p><p>B: S</p><p>n a t t</p><p>B =</p><p>⋅ −( )∆ 2</p><p>2</p><p>Como queremos que B alcance A, faremos SA = SB</p><p>a t na t t</p><p>t n t t t n t t</p><p>t n t n t n t n</p><p>⋅ = − ⇒ = − ⇒ = −</p><p>⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ −( ) =</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>∆ ∆ ∆</p><p>∆ ⋅⋅</p><p>⇒ =</p><p>−</p><p>⋅</p><p>∆</p><p>∆</p><p>t</p><p>t</p><p>n</p><p>n</p><p>t</p><p>1</p><p>Resposta: A</p><p>02. a(6s) = –4 m/s2;</p><p>v(6s) = 3 m/s;</p><p>x(6s) = 18 m.</p><p>a(t) =</p><p>dv</p><p>dt</p><p>⇒ dv = a(t)dt ⇒ v = ∫ a(t) dt = ∫– 4 dt = –4t + C</p><p>1</p><p>⇒ v(t) = –4t + C</p><p>1</p><p>[v(6) = 3] ⇒ 3 = –4 ⋅ 6 + C</p><p>1</p><p>⇒ C</p><p>1</p><p>= +27</p><p>v(t) = –4t + 27 ⇒ v(t) =</p><p>dx</p><p>dt</p><p>⇒ dx = v(t) d t ⇒ x(t) = ∫ v(t) d t</p><p>⇒ x(t) = ∫(–4t + 27) d t ⇒ x(t) = –2t2 + 27t + C</p><p>2</p><p>x(6s) = 18 ⇒ 18 = –2 ⋅ (62) + 27 ⋅ (6) + C</p><p>2</p><p>⇒ C</p><p>2</p><p>= –72</p><p>⇒ x t t t( ) = − + −72 27 2 2</p><p>Resposta: D</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>022.209 – 147739/20</p><p>03.</p><p>0</p><p>0</p><p>x</p><p>x</p><p>1</p><p>, t</p><p>1</p><p>x</p><p>2</p><p>, t</p><p>2</p><p>x</p><p>at</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>x</p><p>at</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>⇒ =at</p><p>x</p><p>t</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>;</p><p>at</p><p>x</p><p>t</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2=</p><p>at at</p><p>x</p><p>t</p><p>x</p><p>t</p><p>a t t</p><p>x t x t</p><p>t t</p><p>a</p><p>x t x t</p><p>2 1</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2 1 1 2</p><p>2 1</p><p>2 1 1 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>− = −</p><p>−( ) =</p><p>−</p><p>⇒ =</p><p>−( )</p><p>tt t t t1 2 2 1−( )</p><p>04. Vamos pôr o referencial em A, no instante em que ele é visto pelo</p><p>maquinista do trem B. Assim, a partir desse instante, as equações</p><p>horárias dos trens A e B são:</p><p>S</p><p>A</p><p>= 80 t</p><p>S</p><p>B</p><p>= –3 + 100t –</p><p>50</p><p>2</p><p>2t</p><p>Veremos se, em algum instante, as posições de A e B serão iguais.</p><p>S</p><p>A</p><p>= S</p><p>B</p><p>⇒ 80t = –3 + 100t – 25t2</p><p>⇒ 25t2 – 20t + 3 = 0</p><p>⇒ D = (–20)2 – 4 ⋅ 25 ⋅ 3 = 100</p><p>⇒ t = ±20 10</p><p>50</p><p>t h</p><p>t h</p><p>1</p><p>2</p><p>30</p><p>50</p><p>0 6 36</p><p>10</p><p>50</p><p>0 2 12</p><p>= = =</p><p>= = =</p><p>, min</p><p>, min</p><p>Como no tempo t = 12 minutos os trens colidirão, a resposta é o</p><p>item C.</p><p>Resposta: C</p><p>05. Suponhamos que a velocidade inicial do carro seja V</p><p>o</p><p>e que a</p><p>aceleração dele seja a. Do item (III), e usando a fórmula abaixo,</p><p>temos:</p><p>S = S</p><p>o</p><p>+ v</p><p>o</p><p>t +</p><p>at</p><p>S V t</p><p>at</p><p>o</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>⇒ = +∆</p><p>Assim, temos:</p><p>S(4) = S</p><p>o</p><p>+ V</p><p>o</p><p>⋅ 4 +</p><p>a ⋅ 4</p><p>2</p><p>2</p><p>S(5) = S</p><p>o</p><p>+ V</p><p>o</p><p>⋅ 5 +</p><p>a ⋅5</p><p>2</p><p>2</p><p>S(6) = S</p><p>o</p><p>+ V</p><p>o</p><p>⋅ 6 + a ⋅6</p><p>2</p><p>2</p><p>S(7) = S</p><p>o</p><p>+ V</p><p>o</p><p>⋅ 7 +</p><p>a ⋅7</p><p>2</p><p>2</p><p>Assim, o espaço percorrido no quarto e no sexto segundo são,</p><p>respectivamente:</p><p>∆</p><p>∆</p><p>S S S V a</p><p>S S S V a</p><p>o</p><p>o</p><p>4</p><p>6</p><p>5 4</p><p>9</p><p>2</p><p>36 1</p><p>7 6</p><p>13</p><p>2</p><p>48 2</p><p>= − = + ⋅ =</p><p>= − = + ⋅ =</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>De (1) e (2), temos:</p><p>V a V</p><p>V V</p><p>V</p><p>o o</p><p>o o</p><p>o</p><p>= − = − ⋅ −</p><p>⇒ − − ⋅ + ⋅</p><p>⇒ = ⋅</p><p>36</p><p>9</p><p>2</p><p>36</p><p>9</p><p>2</p><p>2</p><p>13</p><p>48</p><p>36</p><p>9</p><p>13</p><p>48</p><p>9</p><p>13</p><p>4</p><p>13</p><p>36 13</p><p>( )</p><p>−− ⋅ = ⇒ = ⇒ =9 48</p><p>13</p><p>36</p><p>13</p><p>4 36 9V V</p><p>m</p><p>s</p><p>o o</p><p>06.</p><p>móvel B</p><p>móvel C</p><p>móvel A</p><p>x</p><p>a</p><p>t</p><p>α</p><p>x</p><p>1</p><p>d</p><p>t</p><p>1</p><p>t</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>V</p><p>a</p><p>o</p><p></p><p></p><p></p><p>2V</p><p>a</p><p>o</p><p></p><p></p><p>∆t</p><p>x V t</p><p>at</p><p>x d V t</p><p>at</p><p>x Vt d</p><p>a</p><p>v</p><p>A o</p><p>B o</p><p>C o</p><p>= −</p><p>= − +</p><p>= − +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>20</p><p>; m/s</p><p>m/s</p><p>2</p><p>1)</p><p>t t t Quando x</p><p>v t</p><p>at</p><p>d v t t</p><p>a t t</p><p>v t a</p><p>B A A</p><p>o o</p><p>o</p><p>= − ∆ ⇒ =</p><p>⋅ − = − − ∆ +</p><p>− ∆</p><p>⇔ −</p><p>X :B</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>( )</p><p>( )</p><p>tt d v t t a t t t t</p><p>at v a t t d</p><p>o</p><p>o</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>2 4 2 2 2</p><p>= ⋅ − − ∆ + − ⋅ ⋅ ∆ + ∆</p><p>⇔ − + ∆ ⋅ + +</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( vv t a t</p><p>t</p><p>v</p><p>a</p><p>t</p><p>o</p><p>o</p><p>∆ + ∆ =</p><p>+ = + ∆</p><p>2</p><p>1 2</p><p>0</p><p>2</p><p>) (*)</p><p>Por Girard, temos: t</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>022.909 – 147739/20</p><p>Módulo de estudo</p><p>2) De acordo com o gráfico:</p><p>tg</p><p>dx</p><p>dt</p><p>v</p><p>x x</p><p>t t</p><p>v t</p><p>at</p><p>v t</p><p>at</p><p>t</p><p>c</p><p>o o</p><p>α = − = =</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>− −</p><p></p><p></p><p></p><p>1 2</p><p>2 1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>−−</p><p>⇒ =</p><p>− − + − +</p><p>−</p><p>=</p><p>= − +</p><p>t</p><p>tg</p><p>v t t</p><p>a t t t t</p><p>t t</p><p>v</p><p>o</p><p>Girard</p><p>o</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2 1 2 1</p><p>2 1</p><p>2α</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>��� ��</p><p>aa v</p><p>a</p><p>t</p><p>a t</p><p>tg</p><p>a t</p><p>t</p><p>tg</p><p>a</p><p>v</p><p>a</p><p>s</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 2 20</p><p>2</p><p>20</p><p>+ ∆</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>∆</p><p>⇒ =</p><p>⋅ ∆</p><p>⇒ ∆ =</p><p>⋅</p><p>= =</p><p>⋅</p><p>=α</p><p>α</p><p>x</p><p>A</p><p>= x</p><p>B</p><p>=</p><p>Resposta: Dt = 20 s</p><p>07. Como a velocidade média foi v</p><p>m</p><p>= 20 m/s, e o tempo total foi de</p><p>t = 25 s, a distância percorrida pelo automóvel foi de:</p><p>∆ = ⋅ = ⋅ =S v t</p><p>m</p><p>s</p><p>s mm 20 25 500 .</p><p>Seja a o módulo da aceleração e da desaceleração do automóvel.</p><p>Como a aceleração e a desaceleração têm o mesmo módulo,</p><p>o automóvel percorre a mesma distância quando acelera e</p><p>quando desacelera, além de gastar o mesmo tempo acelerando</p><p>e desacelerando.</p><p>Seja t</p><p>1</p><p>o tempo que o automóvel passa acelerando.</p><p>Assim, a distância que ele percorre enquanto acelera é de</p><p>S</p><p>a t</p><p>t1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>A velocidade que ele adquire acelerando é de:</p><p>v</p><p>1</p><p>= a ⋅ t</p><p>1</p><p>= 5 ⋅ t</p><p>1</p><p>Como a distância total é de 500 m, temos:</p><p>500</p><p>5</p><p>2</p><p>5 25 2</p><p>5</p><p>2</p><p>1000 10 10 25 2</p><p>100</p><p>1</p><p>2</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 1</p><p>=</p><p>⋅</p><p>+ ⋅ ⋅ − +</p><p>⇒ = + −</p><p>⇒</p><p>t</p><p>t t</p><p>t</p><p>t t t</p><p>( )</p><p>( )</p><p>== + −</p><p>⇒ − + =</p><p>∆ = − − ⋅ ⋅ =</p><p>=</p><p>±</p><p>t t t</p><p>t t</p><p>t</p><p>1</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>25 2</p><p>25 100 0</p><p>25 4 1 100 225</p><p>25 15</p><p>( )</p><p>22</p><p>20</p><p>5</p><p>1</p><p>1</p><p>t s n</p><p>t s</p><p>’</p><p>’’</p><p>= ←</p><p>=</p><p>ão se aplica</p><p>Logo, o automóvel passa 5 s acelerando, 5 segundos desacelerando</p><p>e 25 – 10 = 15 segundos em velocidade constante.</p><p>Resposta: 15 s</p><p>08. Vamos dividir o percurso em duas partes: a primeira, a uma</p><p>velocidade constante, durante os 0,7 s; e a segunda, desacelerando</p><p>a 5 m/s2.</p><p>Primeira parte: DS</p><p>1</p><p>= v ⋅ t</p><p>1</p><p>= 20 m/s ⋅ 0,7 s = 14 m</p><p>Segunda parte: (Torricelli): v2 = v</p><p>o</p><p>2 + 2 ⋅ a ⋅ DS</p><p>⇒ 02 = 20 2 – 2 ⋅ 5 ⋅ DS</p><p>2</p><p>⇒ DS</p><p>2</p><p>= 40 m</p><p>Logo, o percurso total é de</p><p>DS = DS</p><p>1</p><p>+ DS</p><p>2</p><p>= 14 m + 40 m = 54 m</p><p>Resposta: 54 m</p><p>09. x = 2t3</p><p>A) Para calcular a velocidade média entre t = 1s e t = 2s, vamos</p><p>encontrar o espaço percorrido nesse intervalo de tempo e dividir</p><p>pelo intervalo de tempo:</p><p>Dx = x (2s) – x (1s) = 2 ⋅ 23 – 2 ⋅ 13 = 2 ⋅ 8 – 2 ⋅ 1 = 14 m</p><p>Assim, a velocidade média será v</p><p>m</p><p>s</p><p>m =</p><p>−</p><p>=</p><p>14</p><p>2 1</p><p>14</p><p>( )</p><p>m/s</p><p>A velocidade instantânea é dada pela derivada da posição em</p><p>relação ao tempo. Assim, temos:</p><p>x t t v t</p><p>dx</p><p>dt</p><p>t t( ) ( )= ⇒ = = ⋅ ⋅ =2 3 2 63 2 2</p><p>Para calcular a aceleração média entre t = 1s e t = 2s, vamos</p><p>encontrar a diferença de velocidade nesse intervalo de tempo,</p><p>e dividir pelo intervalo de tempo:</p><p>Dv = v(2s) – v (1s) = 6 ⋅ 22 – 6 ⋅ 12 = 24 – 6 = 18 m/s</p><p>Assim, a aceleração média será: a</p><p>m s</p><p>s</p><p>m =</p><p>−</p><p>=</p><p>18</p><p>2 1</p><p>18 2/</p><p>( )</p><p>m/s</p><p>B) A velocidade instantânea é dada pela derivada do espaço em</p><p>relação ao tempo.</p><p>v</p><p>dx</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>t t= = ⋅ =( )2 63 2</p><p>Assim, as velocidades instantâneas em t = 1 s e t = 2 s são:</p><p>v(1) = 6 ⋅ 12 = 6 m/s</p><p>v(2) = 6 ⋅ 22 = 24 m/s</p><p>A aceleração instantânea é dada pela derivada da velocidade</p><p>em relação ao tempo.</p><p>a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>t t= = ⋅ =( )6 122</p><p>Assim, as acelerações instantâneas em t = 1s e t = 2 s são:</p><p>a(1) = 12 ⋅ 1 = 12 m/s2</p><p>a(2) = 12 ⋅ 2 = 24 m/s2</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>022.209 – 147739/20</p><p>C)</p><p>Velocidades: m/s m/s</p><p>Acelera es:</p><p>v v</p><p>v</p><p>a</p><p>m</p><p>( ) ( )</p><p>,</p><p>(</p><p>1 2</p><p>2</p><p>6 24</p><p>2</p><p>15 14</p><p>1</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>= =</p><p>çõ</p><p>)) ( )</p><p>,</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>= =</p><p>a</p><p>am</p><p>2</p><p>2</p><p>12 24</p><p>2</p><p>18 182 2m/s m/s</p><p>10. X = At2 – Bt3</p><p>A) Como a unidade de X é o metro, a unidade de At2 e de B ⋅ t3</p><p>deve ser também o metro. Como a unidade de t é o segundo,</p><p>a unidade de A deve ser</p><p>metro</p><p>segundo( )2</p><p>e a unidade de B deve ser</p><p>metro</p><p>segundo( )</p><p>,</p><p>3 para que as unidades de tempo sejam canceladas.</p><p>Resposta: [A] = m/s2 e [B] = m/s3</p><p>B) X = A ⋅ t2 – B ⋅ t3</p><p>X alcança valor máximo quando a sua derivada em relação ao</p><p>tempo é igual a zero.</p><p>dx</p><p>dt</p><p>A t B t At Bt</p><p>At B t t s ou</p><p>A Bt t</p><p>= ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ − =</p><p>⇒ = ⋅ ⇒ =</p><p>= ⇒ =</p><p>0 2 3 0 2 3 0</p><p>2 3 0</p><p>2 3</p><p>2 2</p><p>2</p><p>22</p><p>3</p><p>3 1</p><p>2 3</p><p>3 1</p><p>2</p><p>A</p><p>B</p><p>Como A e B temos</p><p>t s</p><p>= =</p><p>=</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=</p><p>, :</p><p>C) Como A = 3 e B = 1, a equação fica:</p><p>X = 3t2 – t3</p><p>Como a partícula atinge a posição máxima em t = 2s, vamos</p><p>dividir o percurso em duas partes:</p><p>sentido positivo de x e sentido negativo de x.</p><p>sentido positivo: de 0s a 2 s</p><p>x</p><p>+</p><p>= 3 ⋅ 22 – 23 = 4 m</p><p>sentido negativo de x:</p><p>x</p><p>–</p><p>= | x(4s) – x(2s) | = | (3 ⋅ 42 – 43) – (3 ⋅ 22 – 23) |</p><p>x</p><p>–</p><p>= | –20 | = 20 m</p><p>Assim, o percurso de 0 a 4 s foi de 4 m + 20 m</p><p>P = 24 m</p><p>D) O deslocamento entre 4 segundos é dado por</p><p>S = x(4) – x(0) = 3 ⋅ 42 – 43 = – 16 m</p><p>E) x t t t v t</p><p>dx</p><p>dt</p><p>t t( ) ( )= − ⇒ = = −3 6 32 3 2</p><p>v(1) = 3 m/s; v(2) = 0 m/s; v(3) = –9 m/s; v(4) = – 24 m/s</p><p>F) a t</p><p>dv</p><p>dt</p><p>t( ) = = −6 6</p><p>a(1) = 0 m/s2; a(2) = –6 m/s2; a(3) = –12 m/s2;</p><p>a(4) = – 18 m/s2</p><p>G) v</p><p>s</p><p>t</p><p>x x</p><p>m =</p><p>∆</p><p>∆</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>⋅ − − ⋅ −</p><p>=</p><p>=</p><p>− −</p><p>= −</p><p>( ) ( ) ( ) ( )4 2</p><p>4 2</p><p>3 4 4 3 2 2</p><p>2</p><p>16 4</p><p>2</p><p>10</p><p>2 3 2 3</p><p>m/s</p><p>11. x = 9t – 0,75 t3</p><p>A) v t</p><p>dx</p><p>dt</p><p>t</p><p>v t t</p><p>v t t t</p><p>( ) ,</p><p>( ) ,</p><p>( ) , ,</p><p>= = − ⋅ ⋅</p><p>= −</p><p>= ⇒ − = ⇒</p><p>9 3 0 75</p><p>9 2 25</p><p>0 9 2 25 0 2 25</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 == ⇒ = ⇒ = ±9 4 22t t s</p><p>Como t > 0, então v = 0 no instante t = 2s.</p><p>B) x (2s) = 9 ⋅ 2 – 0,75 ⋅ 23 = 12 cm</p><p>C) a t</p><p>dv</p><p>dt</p><p>t t</p><p>a s</p><p>( ) , ,</p><p>( ) ,</p><p>= = − ⋅ = −</p><p>= − ⋅ = −</p><p>2 2 25 4 5</p><p>2 4 5 2 9 2cm/s</p><p>D) Como, no instante em que o ponto luminoso está em repouso,</p><p>sua aceleração é negativa, então o ponto luminoso vai se mover</p><p>para a esquerda.</p><p>E) Quando o ponto estiver em uma das bordas.</p><p>12. Por Torricelli, temos:</p><p>v v a s a a</p><p>a</p><p>o</p><p>2 2 2 2</p><p>2</p><p>2 360 0 2 1 8</p><p>360</p><p>3 6</p><p>360 360</p><p>3 6</p><p>36000</p><p>= + ⋅ ⋅ ∆ ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒ =</p><p>⇒ =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>kkm</p><p>h</p><p>ver a resposta que est</p><p>m</p><p>s</p><p>2</p><p>2</p><p>36000á</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>13. a</p><p>v</p><p>km</p><p>h</p><p>ato</p><p>=</p><p>= = = = =</p><p>+ ⇒</p><p>50</p><p>100</p><p>100</p><p>3 6</p><p>1000</p><p>36</p><p>500</p><p>18</p><p>250</p><p>9</p><p>250</p><p>2</p><p>0</p><p>m/s</p><p>m/s</p><p>v = v</p><p>,</p><p>99</p><p>50</p><p>5</p><p>9</p><p>5</p><p>9</p><p>= ⋅ ⇒ =t t s</p><p>sResposta :</p><p>7 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>022.909 – 147739/20</p><p>Módulo de estudo</p><p>14. Adotemos a aceleração da gravidade g = 10 m/s2. Como a bola</p><p>de chumbo está a 2,6 m de altura acima da água, e é solta do</p><p>repouso, sua velocidade ao tocar a água é de:</p><p>v v a s v vo</p><p>2 2 22 2 10 2 6 52 7 21= + ⋅ ⋅ ∆ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = =, ,m/s m/s</p><p>Além disso, a bola demora um tempo t para chegar à água igual</p><p>a:</p><p>v = vo + at ⇒ 7,21 = 0 + 10 ⋅ t ⇒ t = 0,721 s</p><p>Portanto, o tempo que a bola percorre dentro d'água é de:</p><p>t</p><p>água</p><p>= 0,97 – 0,721 = 0,249 s</p><p>A) Como a velocidade da bola na água é de v = 7,21 m/s, a</p><p>profundidade h da piscina é de:</p><p>h = 0,249 s ⋅ 7,21 m/s = 1,80 m</p><p>B) Como a profundidade da piscina é de h = 1,80 m, e a bola é</p><p>lançada a 2,6 m acima da piscina, o percurso total da bola é</p><p>de H = 2,6 + 1,8 = 4,4, m.</p><p>Usaremos a fórmula:</p><p>S S v t</p><p>at</p><p>v</p><p>v</p><p>o o</p><p>o</p><p>o</p><p>= = +</p><p>⇒ = ⋅ + ⋅</p><p>⇒ =</p><p>− ⋅</p><p>= −</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>4 4 0 97 10</p><p>0 97</p><p>2</p><p>4 4 5 0 97</p><p>0 97</p><p>0</p><p>, ,</p><p>,</p><p>, ,</p><p>,</p><p>,331</p><p>0 31</p><p>m/s</p><p>m/sLogo vo, | | ,=</p><p>15.</p><p>v x v</p><p>v</p><p>x</p><p>x v v</p><p>v x</p><p>x</p><p>v</p><p>x</p><p>x</p><p>a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>dv</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dt</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>( ) = − ⋅ ⇒ = −</p><p>⋅ ⋅</p><p>+ ⋅</p><p>= = ⋅ ⇒</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>22</p><p>aa</p><p>dv</p><p>dx</p><p>v a dx v dv</p><p>a x dx vdv</p><p>v</p><p>k</p><p>a x dx</p><p>v v xo o</p><p>= ⋅ ⇒ ⋅ =</p><p>⇒ = = +</p><p>= −</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>∫∫</p><p>∫</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 xx</p><p>v</p><p>x</p><p>x k</p><p>d</p><p>dx</p><p>a x dx a x</p><p>v</p><p>x</p><p>v</p><p>x</p><p>x</p><p>a</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>+</p><p>⋅</p><p>⋅ +</p><p>  = = − + ⋅ +∫</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0( ) ( )</p><p>(( )x</p><p>v</p><p>x</p><p>v</p><p>x</p><p>xo</p><p>o</p><p>A</p><p>o</p><p>o</p><p>B</p><p>= − + ⋅</p><p>2 2</p><p>2</p><p>� �</p><p>v x v</p><p>v</p><p>x</p><p>x v v</p><p>v x</p><p>x</p><p>v</p><p>x</p><p>x</p><p>a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>dv</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dt</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>( ) = − ⋅ ⇒ = −</p><p>⋅ ⋅</p><p>+ ⋅</p><p>= = ⋅ ⇒</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>22</p><p>aa</p><p>dv</p><p>dx</p><p>v a dx v dv</p><p>a x dx vdv</p><p>v</p><p>k</p><p>a x dx</p><p>v v xo o</p><p>= ⋅ ⇒ ⋅ =</p><p>⇒ = = +</p><p>= −</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>∫∫</p><p>∫</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 xx</p><p>v</p><p>x</p><p>x k</p><p>d</p><p>dx</p><p>a x dx a x</p><p>v</p><p>x</p><p>v</p><p>x</p><p>x</p><p>a</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>+</p><p>⋅</p><p>⋅ +</p><p>  = = − + ⋅ +∫</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0( ) ( )</p><p>(( )x</p><p>v</p><p>x</p><p>v</p><p>x</p><p>xo</p><p>o</p><p>A</p><p>o</p><p>o</p><p>B</p><p>= − + ⋅</p><p>2 2</p><p>2</p><p>� �</p><p>a(x) = – A + Bx, A > 0, B > 0</p><p>Logo, o gráfico de a com x é da forma:</p><p>Resposta: A</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIG.: VICENTINA – REV.: CARLA ARAÚJO</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: MCu e MCuv</p><p>frente: FísiCa i</p><p>005.511 – 131455/18</p><p>AULAS 07 A 09</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Movimentos Circulares</p><p>Para deduzir as equações desse movimento, iremos utilizar</p><p>sistemas de coordenadas polares, onde a posição de qualquer ponto</p><p>é dada por r e q.</p><p>ˆ . ˆθ = i r</p><p>θ</p><p>θ</p><p>r</p><p>r</p><p>P</p><p>traj.</p><p>^</p><p>^</p><p>Lembre-se que:</p><p>iθ= =</p><p>�</p><p>ˆ. .ˆ ˆr r r e r e i</p><p>operador vetorial</p><p>Logo: r r e ii</p><p>� �= . .θ</p><p>Assim, podemos calcular a velocidade da partícula:</p><p>v</p><p>dr</p><p>dt</p><p>v</p><p>d</p><p>dt</p><p>r</p><p>v</p><p>dr</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>e</p><p>v</p><p>dr</p><p>d</p><p>i</p><p>i i</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>= = ( )</p><p>= + ( )</p><p>=</p><p>, . e i</p><p>. e . i r . . i</p><p>θ</p><p>θ θ</p><p>tt</p><p>r</p><p>d</p><p>dt</p><p>i e</p><p>ou</p><p>v</p><p>dr</p><p>dt</p><p>r</p><p>r d</p><p>dt</p><p>v v</p><p>i i</p><p>r</p><p>. e . i . . . i</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>θ θθ</p><p>θ θ</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>��� ��</p><p>�</p><p>+</p><p>= +</p><p>↓ ↓��</p><p>θ</p><p>Foi demonstrado que a velocidade da partícula tem duas</p><p>componentes:</p><p>vr</p><p>�</p><p>(componente radial, na direção de r� ) e v</p><p>�</p><p>θ (componente rotacional,</p><p>na direção de θ� ).</p><p>traj.</p><p>0</p><p>r</p><p>v θ</p><p>v r</p><p>v</p><p>θ</p><p>P</p><p>Onde v</p><p>�</p><p>é sempre tangente à trajetória.</p><p>Supondo uma trajetória circular com centro em O, temos que</p><p>r cte</p><p>dr</p><p>dt</p><p>= → =��� 0.</p><p>Assim: v e v vr</p><p>� � �</p><p>= =0 θ (movimento circular)</p><p>Logo: v r</p><p>d</p><p>dt</p><p>ou v r</p><p>� � � �= =. . . .θ θ ω θ</p><p>onde:</p><p>d</p><p>dt</p><p>θ ω= (velocidade angular)</p><p>v</p><p>r</p><p>θ</p><p>0</p><p>r̂</p><p>θ̂</p><p>Para obter a aceleração desse movimento, basta calcular:</p><p>a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>a</p><p>d</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>i e i</p><p>a</p><p>d</p><p>dt</p><p>r i e i</p><p>d</p><p>dt</p><p>r i e</p><p>i</p><p>i</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>= ( ) = ( )</p><p>= +</p><p>ω θ ω</p><p>ω ω</p><p>θ</p><p>θ</p><p>. r . . r .</p><p>. . . . . ii</p><p>i</p><p>i</p><p>a</p><p>d</p><p>dt</p><p>r r</p><p>d</p><p>dt</p><p>e i</p><p>θ</p><p>θω θ ω</p><p>�</p><p>� � �</p><p>( )</p><p>= + ( ). . . . . i .</p><p>θω θ= θ + ω</p><p>�</p><p>id d ˆˆ .. . . . . . .a r r i e i i</p><p>dt dt</p><p>ω</p><p>a</p><p>d</p><p>dt</p><p>r r r</p><p>a at cp</p><p>� � �</p><p>� �� �� ��� ��� �</p><p>= −ω θ ω. . . .2</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.511 – 131455/18</p><p>A aceleração de um movimento circular pode ter duas</p><p>componentes:</p><p>at</p><p>�</p><p>(aceleração</p><p>tangencial), na direção θ� .</p><p>acp</p><p>�</p><p>(aceleração centrípeta), na direção r� .</p><p>θ^</p><p>r</p><p>a</p><p>t</p><p>a</p><p>cp</p><p>^</p><p>onde:</p><p>a</p><p>d</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>acel angular</p><p>a r r</p><p>t</p><p>cp</p><p>� �</p><p>� �</p><p>= = ( )</p><p>= −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ω θ ω α</p><p>ω</p><p>. r . , .</p><p>. .2</p><p>Finalmente: d r</p><p>a r</p><p>t</p><p>cp</p><p>��</p><p>��</p><p>=</p><p>=</p><p>α</p><p>ω</p><p>.</p><p>.2</p><p>a a a at cp</p><p>� � � �2 2 2</p><p>2 4= + → = +α ω . r</p><p>Movimento Circular Uniforme (MCU)</p><p>Nesse movimento, temos a = 0 ou</p><p>d</p><p>dt</p><p>ω = 0 ou ω = cte</p><p>(cte = constante), logo:</p><p>v r v r cte</p><p>� � �</p><p>= → = ( )ω θ ω. . .</p><p>a r at t</p><p>� �= → =α θ. . 0</p><p>a r a r ctecp cp</p><p>� � �</p><p>= − → = ( )ω ω2 2. r . .</p><p>Se a = 0, ω = cte:</p><p>d</p><p>dt</p><p>d dt</p><p>tθ ω θ ω</p><p>θ</p><p>θ</p><p>= → =∫ ∫</p><p>0 0</p><p>. (supor t</p><p>0</p><p>= 0)</p><p>q – q</p><p>0</p><p>= ω · t → q = q</p><p>0</p><p>+ ω · t Se t</p><p>0</p><p>= 0</p><p>ou</p><p>q = q</p><p>0</p><p>+ ω · (t – t</p><p>0</p><p>) Se t</p><p>0</p><p>≠ 0</p><p>Como esse movimento é repetitivo (periódico), podemos</p><p>calcular a frequência e o período:</p><p>T = Dt</p><p>1 volta</p><p>e t = θ θ</p><p>ω</p><p>− 0</p><p>1 volta = 2π rad</p><p>T e f= =2</p><p>2</p><p>π</p><p>ω</p><p>ω</p><p>π</p><p>Movimento Circular</p><p>Uniformemente Variado (MCUV)</p><p>Nesse momento, α ω= =d</p><p>dt</p><p>cte, logo:</p><p>d</p><p>dt</p><p>d dt</p><p>tω α ω α</p><p>ω</p><p>ω</p><p>= → =∫ ∫</p><p>0 0</p><p>. (supor t</p><p>0</p><p>= 0)</p><p>ω – ω</p><p>0</p><p>= a · t → ω = ω</p><p>0</p><p>+ a · t Se t</p><p>0</p><p>= 0</p><p>ou</p><p>ω = ω</p><p>0</p><p>+ a · (t – t</p><p>0</p><p>) Se t</p><p>0</p><p>≠ 0</p><p>ω θ θ ω= → =d</p><p>dt</p><p>d . dt</p><p>dq (ω</p><p>0</p><p>+ a · t) · dt (supor t</p><p>0</p><p>= 0)</p><p>d dt t dt</p><p>t t</p><p>θ ω α</p><p>θ</p><p>θ</p><p>0</p><p>0</p><p>0 0</p><p>∫ ∫ ∫= +. .</p><p>θ θ ω α− = +0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>. t</p><p>t</p><p>ou</p><p>θ θ ω α= + +0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>. t</p><p>. t</p><p>Se t</p><p>0</p><p>= 0</p><p>ou</p><p>θ θ ω</p><p>α</p><p>= + −( ) +</p><p>−( )</p><p>0 0 0</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>t t</p><p>t t</p><p>Se t</p><p>0</p><p>≠ 0</p><p>Analogamente ao MRUV, é possível obter cinco equações para</p><p>o MCUV que relaciona as seguintes grandezas:</p><p>ωo</p><p>t</p><p>t</p><p>0</p><p>∆θ</p><p>ω α</p><p>0</p><p>Dq → Deslocamento angular</p><p>Dt → Variação do tempo</p><p>a → Aceleração angular</p><p>ω → Velocidade angular final</p><p>ω</p><p>0</p><p>→ Velocidade angular inicial</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.511 – 131455/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>Equações ∅</p><p>ω = ω</p><p>0</p><p>+ a · Dt Dq</p><p>ω2 = ω2</p><p>0</p><p>+ 2a · Dq Dt</p><p>Dq = ω</p><p>0</p><p>Dt +</p><p>1</p><p>2</p><p>a · Dt2 ω</p><p>Dq = ω ·</p><p>Dt –</p><p>1</p><p>2</p><p>a · Dt2 ω</p><p>0</p><p>∆</p><p>∆</p><p>θ</p><p>t</p><p>= 1</p><p>2</p><p>(ω</p><p>+ ω</p><p>0</p><p>) a</p><p>Exercícios</p><p>01. (ITA) Um carro partindo do repouso percorre um arco de</p><p>círculo de raio R, com aceleração tangencial uniforme.</p><p>Depois de percorrer a distância S</p><p>1</p><p>na curva, o carro atinge a</p><p>velocidade V</p><p>1</p><p>. Nessas condições, a velocidade do carro no instante</p><p>em que percorreu a distância</p><p>S1</p><p>2</p><p>contada do ponto de partida é:</p><p>A)</p><p>V1</p><p>2</p><p>B)</p><p>2</p><p>3</p><p>1V</p><p>C)</p><p>V1</p><p>2</p><p>D) V1 2</p><p>E) V1</p><p>02. (IME) Um ponto P tem um movimento de trajetória circular com</p><p>sentido igual ao dos ponteiros do relógio. O arco descrito tem</p><p>para equação S = 3t2 + 1,85 t, sendo S em metros, para valores</p><p>de t em segundos. Sendo de 10 m o raio de trajetória, no instante</p><p>em que t = 2 s, a componente da velocidade segundo o eixo</p><p>coordenado x será:</p><p>y</p><p>P</p><p>R</p><p>θ</p><p>V</p><p>x</p><p>A) +1,385 m/s</p><p>B) nula</p><p>C) +1,57 m/s</p><p>D) +13,85 m/s</p><p>E) +15,7 m/s</p><p>03. (ITA/1972) No movimento circular uniforme de uma partícula,</p><p>considerando-se como vetores as grandezas físicas envolvidas,</p><p>podemos afirmar que:</p><p>A) força, aceleração, velocidade tangencial e velocidade angular</p><p>são constantes.</p><p>B) aceleração, velocidade tangencial e velocidade angular são</p><p>constantes.</p><p>C) velocidade tangencial e velocidade angular são constantes.</p><p>D) velocidade angular é constante.</p><p>E) nenhuma das grandezas é constante.</p><p>04. (ITA/1974) Uma partícula descreve um movimento circular de</p><p>raio R, partindo do repouso e com uma aceleração tangencial</p><p>a</p><p>T</p><p>= cte. A relação entre a aceleração centrípeta aC e a aceleração</p><p>tangencial</p><p>a</p><p>a</p><p>C</p><p>t</p><p>é:</p><p>A)</p><p>a t</p><p>R</p><p>T</p><p>2</p><p>B)</p><p>R</p><p>a tT</p><p>2</p><p>C)</p><p>y</p><p>R</p><p>2</p><p>D)</p><p>a t</p><p>R</p><p>T</p><p>E) a t</p><p>R</p><p>T</p><p>2</p><p>05. Dois ciclistas partem de um mesmo ponto de uma pista circular</p><p>de raio igual a 100 m, no mesmo instante e em sentidos</p><p>contrários. Suas velocidades escalares lineares valem 2 m/s e 3 m/s.</p><p>Após quanto tempo eles se encontrarão pela primeira vez?</p><p>06. Às 12 horas, o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos de um</p><p>relógio se sobrepõem. Depois de quanto tempo ocorre a próxima</p><p>sobreposição?</p><p>07. (ITA) Acima de um disco horizontal de centro O, que gira em</p><p>torno do seu eixo, no vácuo, dando 50,0 voltas por minuto, estão</p><p>suspensas duas pequenas esferas, M e N.</p><p>A primeira está a 2,00 m acima do disco e a segunda a</p><p>4,50 m acima do disco; ambas em uma mesma vertical. Elas são</p><p>abandonadas simultaneamente e, ao chocar-se com o disco,</p><p>deixam sobre ele pequenas marcas, M’ e N’, tais que o ângulo</p><p>M’ON’ é igual a 95,5º. Podemos concluir que a aceleração de</p><p>gravidade local vale:</p><p>A) 10,1 m/s2</p><p>B) 49,3 m/s2</p><p>C) 9,86 m/s2</p><p>D) 11,1 m/s2</p><p>E) 3,14 m/s2</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.511 – 131455/18</p><p>08. (ITA/1984) Na figura, vemos dois discos finos, separados de</p><p>1,10 m, presos a um eixo e postos a girar a 1800 rotações por</p><p>minuto. Qual é a velocidade de um projétil atirado paralelamente</p><p>ao eixo se os furos ficarem a 18º afastados?</p><p>A) 1.800 m/s B) 183 m/s</p><p>C) 180 m/s D) 660 m/s</p><p>E) 1.320 m/s</p><p>09. (IME) A velocidade angular de rotação da Terra, em rad/s, vale,</p><p>aproximadamente:</p><p>A) 7,3 . 10–5 B) 7,3 . 10–4</p><p>C) 0,26 D) 0,52</p><p>E) 15 . 10–5</p><p>10. (ITA/1968) Em um relógio, o ponteiro dos minutos se superpõe</p><p>ao ponteiro das horas exatamente às:</p><p>A) 6 h e 355</p><p>11</p><p>min B) 6 h e</p><p>358</p><p>11</p><p>min</p><p>C) 6 h e</p><p>360</p><p>11</p><p>min D) 6 h e</p><p>365</p><p>11</p><p>min</p><p>E) 6 h</p><p>11. (IME) Uma partícula, partindo do repouso, percorre uma</p><p>circunferência de raio igual a 12 cm. O módulo da aceleração</p><p>angular de seu movimento vale 1,0 rad/s2. Podemos concluir</p><p>que o módulo da aceleração linear total, no instante t = 1,0 s,</p><p>é de:</p><p>A) 4,0 5 cm/s2 B) 12 2 cm/s2</p><p>C) 2,0 12 cm/s2 D) 4,0 2 cm/s2</p><p>E) 12,0 cm/s2</p><p>12. (FEI) Um ponto material está em movimento em uma circunferência</p><p>de raio 2,00 m, obedecendo à equação horária dos espaços:</p><p>s = 2,00 – 5,00 t (em unidades do S.I.). No instante t = 10,0 s</p><p>sua velocidade linear e sua aceleração vetorial têm intensidades</p><p>dadas, respectivamente, por:</p><p>A) 0 e 0 B) 5,00 m/s e 12,5 m/s2</p><p>C) 12,0 m/s e 5,00 m/s2 D) 5,00 m/s e 2,00 m/s2</p><p>E) 2,00 m/s e 5,00 m/s2</p><p>13. (Faap) Uma partícula descreve uma circunferência de raio R com</p><p>equação horária, sob a forma angular, dada por ϕ = +1 0 6 02, ,t ,</p><p>com ϕ medido em radianos e t em segundos.</p><p>Sabendo que, para t = 1,0 s, a aceleração vetorial da partícula</p><p>tem intensidade igual a 10 m/s2, podemos concluir que R vale:</p><p>A) 5 m B) 5,0 m</p><p>C) 25 m D) 5,0 · 10–1 m</p><p>E) 2,5 m</p><p>14. Um disco horizontal, de raio R = 95 m, gira em torno de seu eixo</p><p>com velocidade angular ω = π rad/s.</p><p>V</p><p>O</p><p>R</p><p>P Q</p><p>ω</p><p>R</p><p>O</p><p>2</p><p>Um projétil é lançado de fora, no mesmo plano do disco e rasante</p><p>a ele, sem tocá-lo, com velocidade V</p><p>0</p><p>, passando sobre o ponto P.</p><p>O projétil sai do disco pelo ponto Q, no instante em que o ponto P</p><p>está passando por aí pela primeira vez. Qual é a velocidade de V</p><p>0</p><p>?</p><p>15. Na figura, temos duas polias coaxiais, A e B, de raios</p><p>R</p><p>A</p><p>= 20 cm e R</p><p>B</p><p>= 10 cm e uma outra R</p><p>C</p><p>= 50 cm.</p><p>O bloco X, que parte do repouso em t = 0, desce com aceleração</p><p>escalar constante e igual a 4 m/s2. Não há deslizamento entre as</p><p>polias. Calcule a velocidade angular da polia C em um instante</p><p>genérico t.</p><p>c</p><p>A</p><p>B</p><p>PAVIMENTO</p><p>R</p><p>B</p><p>R</p><p>A</p><p>R</p><p>c</p><p>Gabarito</p><p>01 02 03 04 05</p><p>C B D E *</p><p>06 07 08 09 10</p><p>* C D A C</p><p>11 12 13 14 15</p><p>B B A * 16T</p><p>* 01. I. Encontrando a aceleração tangencial do movimento:</p><p>V V a S V aS a</p><p>V</p><p>S</p><p>F</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2 0 2</p><p>2</p><p>= + ⇒ = + ⇒ =∆</p><p>II. Encontrando a velocidade quando ∆S</p><p>S</p><p>=</p><p>,</p><p>:</p><p>2</p><p>V V a S V</p><p>V</p><p>S</p><p>S</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>F F F F</p><p>, , , , ,2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>12 0 2</p><p>2 2 2 2</p><p>1 1 1= + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅</p><p>⋅</p><p>⋅ ⇒ = ⇒ =∆</p><p>V V a S V</p><p>V</p><p>S</p><p>S</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>F F F F</p><p>, , , , ,2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>12 0 2</p><p>2 2 2 2</p><p>1 1 1= + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅</p><p>⋅</p><p>⋅ ⇒ = ⇒ =∆</p><p>Resposta: C</p><p>02. Teremos que: S</p><p>(T)</p><p>= 1,85 · T + 3T2 ⇒ S</p><p>(2)</p><p>= 1,85 · 2 + 3(2)2 ⇒</p><p>S</p><p>(2)</p><p>= 15,7 m.</p><p>Veja que Q</p><p>(2)</p><p>=</p><p>π</p><p>2</p><p>, pois Q</p><p>(T)</p><p>=</p><p>S</p><p>R</p><p>(T) com R = 10 m.</p><p>Como Q</p><p>(2)</p><p>=</p><p>π</p><p>2</p><p>, a velocidade da partícula é perpendicular ao</p><p>eixo x, logo V</p><p>(x,2)</p><p>= 0.</p><p>Resposta: B</p><p>5 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.511 – 131455/18</p><p>Módulo de estudo</p><p>03. A) Incorreto,</p><p>pois a força, a aceleração e a aceleração</p><p>tangencial não são constantes, porque mudam de sentido.</p><p>B) Incorreto, pois a aceleração e a velocidade tangencial não</p><p>são constantes porque mudam de sentido.</p><p>C) Incorreto, pois a velocidade tangencial não é constante,</p><p>porque muda de sentido.</p><p>D) Correto, pois, como se trata de um M.C.U, ω = CTE.</p><p>E) Incorreto, pois, a velocidade angular é constante.</p><p>Resposta: D</p><p>04. Veja que, como a partícula parte do repouso, teremos:</p><p>V</p><p>T</p><p>= a</p><p>T</p><p>· T, temos que a</p><p>V</p><p>R</p><p>c</p><p>T=</p><p>2</p><p>, assim:</p><p>a</p><p>a T</p><p>R</p><p>a</p><p>a</p><p>a T</p><p>R</p><p>c</p><p>T c</p><p>T</p><p>T=</p><p>⋅</p><p>⇒ =</p><p>⋅2 2 2</p><p>Resposta: E</p><p>05.</p><p>ϕ2 ϕ1</p><p>R</p><p>2m/s 3m/s</p><p>Para um tempo qualquer, teremos a seguinte situação:</p><p>Veja que, quando os dois se encontrarem, teremos:</p><p>ϕ</p><p>1</p><p>+ ϕ</p><p>2</p><p>= 2π</p><p>Escrevendo a equação temporal dos ângulos:</p><p>ϕ ϕ1</p><p>1</p><p>2</p><p>2= ⋅ = ⋅</p><p>V</p><p>R</p><p>T e</p><p>V</p><p>R</p><p>T</p><p>Assim:</p><p>3</p><p>100</p><p>2</p><p>100</p><p>2 40⋅ + ⋅ = ⇒ =T T T segundosπ π</p><p>06. Os ponteiros se encontrarão novamente no intervalo</p><p>T = 1 h → T = 2h; Se a</p><p>(T)</p><p>é o ângulo percorrido pelo ponteiro</p><p>dos minutos e Q</p><p>(T)</p><p>pelo das horas, teremos que, no encontro:</p><p>α π ω ω π</p><p>π π</p><p>π(T) (T)= + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⇒ =Q T T</p><p>h</p><p>T</p><p>h</p><p>T</p><p>h</p><p>T TM H2 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>2</p><p>11</p><p>12</p><p>1</p><p>12</p><p>111</p><p>h</p><p>α π ω ω π</p><p>π π</p><p>π(T) (T)= + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⇒ =Q T T</p><p>h</p><p>T</p><p>h</p><p>T</p><p>h</p><p>T TM H2 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>2</p><p>11</p><p>12</p><p>1</p><p>12</p><p>111</p><p>h</p><p>07. Perceba que a diferença de tempo entre a queda de M e N é</p><p>o tempo necessário para formar o ângulo de 95,5º:</p><p>95,5°=θ95,5°=θ</p><p>M’</p><p>N’</p><p>T</p><p>h</p><p>g</p><p>T</p><p>h</p><p>g</p><p>Q T Q j</p><p>h</p><p>g</p><p>h</p><p>g</p><p>Queda Queda</p><p>N N M</p><p>Nµ</p><p>µ</p><p>ω π= = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>, ∆</p><p>T</p><p>h</p><p>g</p><p>T</p><p>h</p><p>g</p><p>Q T Q j</p><p>h</p><p>g</p><p>h</p><p>g</p><p>Queda Queda</p><p>N N M</p><p>Nµ</p><p>µ</p><p>ω π= = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>, ∆</p><p>Pelo enunciado</p><p>j Hz Hz</p><p>g</p><p>g m s= = ⇒ ° = ° ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ = ⇒ =</p><p>50</p><p>60</p><p>5</p><p>6</p><p>95 5 360</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>24 5 2 2 3 14 9 86 2, ( , ) g , , /</p><p>j Hz Hz</p><p>g</p><p>g m s= = ⇒ ° = ° ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ = ⇒ =</p><p>50</p><p>60</p><p>5</p><p>6</p><p>95 5 360</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>24 5 2 2 3 14 9 86 2, ( , ) g , , /</p><p>Resposta: C</p><p>08. O tempo que a bala demora para percorrer 1,10 m é o</p><p>mesmo para a formação do ângulo de 18º, logo: T</p><p>V</p><p>=</p><p>11, e</p><p>ϕ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = =</p><p>⇒ =</p><p>w t j T</p><p>V</p><p>j Hz</p><p>V m s</p><p>18 360 18 360 30</p><p>11</p><p>30</p><p>660</p><p>º º º º</p><p>,</p><p>/</p><p>Resposta: D</p><p>09. A Terra percorre um ângulo de 2π em 24h em torno do seu</p><p>eixo, logo:</p><p>w</p><p>T</p><p>Rod</p><p>h s</p><p>Rod</p><p>s</p><p>w Rod s= = =</p><p>⋅</p><p>⇒ ≅ ⋅ −∆</p><p>∆</p><p>ϕ π π2</p><p>24</p><p>2</p><p>24 3600</p><p>7 3 10 5, /</p><p>Resposta: A</p><p>10. Considerando que o ponteiro das horas começa em 6h e o</p><p>dos minutos em 0 min e seja a o ângulo percorrido pelo</p><p>ponteiro dos minutos e q pelo das horas, teremos:</p><p>α θ π π</p><p>π π</p><p>π= + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ = ⇒ =w T w T</p><p>h</p><p>T</p><p>h</p><p>T T h TM H</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>6</p><p>11</p><p>360</p><p>11</p><p>min,</p><p>α θ π π</p><p>π π</p><p>π= + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ = ⇒ =w T w T</p><p>h</p><p>T</p><p>h</p><p>T T h TM H</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>6</p><p>11</p><p>360</p><p>11</p><p>min, logo a hora será 6</p><p>360</p><p>11</p><p>h e min</p><p>Resposta: C</p><p>11. A aceleração linear total será dada por a a a</p><p>T C</p><p>= +2 2 , teremos:</p><p>I. a R a cm s V a T V cm sT T T T</p><p>T s</p><p>T s</p><p>= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =</p><p>=</p><p>α 12 122</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>/ /</p><p>(T) ( )</p><p>a R a cm s V a T V cm sT T T T</p><p>T s</p><p>T s</p><p>= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =</p><p>=</p><p>α 12 122</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>/ /</p><p>(T) ( )</p><p>II. a</p><p>V</p><p>R</p><p>a a cm sc</p><p>T</p><p>c c= ⇒ = ⇒ =(T)</p><p>2 2</p><p>212</p><p>12</p><p>12 /</p><p>Logo: a a cm= + ⇒ =12 12 12 22 2 2/ s</p><p>Resposta: B</p><p>12. Sabe-se que</p><p>d</p><p>d</p><p>V S T V m sS</p><p>T</p><p>T= ⇒ = − ⋅ ⇒ = −( ) (T), , ,2 00 5 00 5 00 /</p><p>Além disso a</p><p>V</p><p>R</p><p>S</p><p>a m sc c= = ⇒ =(T) , ,</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>12 5 / como se trata de</p><p>um M. C. U., pois V = CTE, a = a</p><p>c</p><p>= 12,5 m/s2</p><p>Resposta: B</p><p>13. Teremos: ϕ α= + ⇒ = ⇒ =6 2 1 2 22T w T rad s</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>dT T</p><p>( ) ( )/</p><p>I. De (1), temos: V</p><p>T</p><p>= 2RT e como a</p><p>V</p><p>R</p><p>a RTc c= ⇒ =</p><p>2</p><p>24</p><p>II. De (2), temos: a</p><p>T</p><p>= 2R</p><p>III. Escrevendo a equação da aceleração total:</p><p>a a a R R T R R mT C</p><p>T s</p><p>= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =</p><p>=</p><p>2 2 2 2 4</p><p>1</p><p>210 4 16 10 20 5</p><p>a a a R R T R R mT C</p><p>T s</p><p>= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =</p><p>=</p><p>2 2 2 2 4</p><p>1</p><p>210 4 16 10 20 5</p><p>Resposta: A</p><p>6F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Módulo de estudo</p><p>005.511 – 131455/18</p><p>14. Teremos:</p><p>R R</p><p>θ θ</p><p>w</p><p>d</p><p>P QV0Rsen(θ) Rsen(θ)</p><p>I. Veja que, como a distância entre a bala e o centro é de</p><p>R</p><p>2</p><p>,</p><p>teremos:</p><p>d R R= ⇒ = ⇒ = °cos( )</p><p>R</p><p>cos( )θ θ θ</p><p>2</p><p>60</p><p>II. Logo, enquanto a bala percorre uma distância de 2R sen (q),</p><p>o disco gira 2q = 120°, assim:</p><p>T</p><p>Rsen</p><p>V</p><p>w T</p><p>Rsen</p><p>V</p><p>V m s</p><p>= ∈ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =</p><p>=</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>3</p><p>142 5 3</p><p>0 0</p><p>0</p><p>( ) ( )</p><p>,</p><p>θ</p><p>θ θ π</p><p>θ</p><p>θ</p><p>π</p><p>/</p><p>15. Teremos:</p><p>C</p><p>P</p><p>B</p><p>A</p><p>4m/s2</p><p>I. Como A e B se encontram no mesmo eixo: a</p><p>A</p><p>= a</p><p>B</p><p>;</p><p>Como não há deslizamento em P:</p><p>V</p><p>A</p><p>= V</p><p>C</p><p>⇒ w</p><p>A</p><p>· R</p><p>A</p><p>= w</p><p>C</p><p>· R</p><p>C</p><p>⇒ w</p><p>C</p><p>=</p><p>R</p><p>R</p><p>A</p><p>C</p><p>· w</p><p>A</p><p>(1)</p><p>II. Achando w</p><p>A</p><p>:</p><p>αB</p><p>B</p><p>B</p><p>a</p><p>R</p><p>= , a</p><p>B</p><p>dever a mesma aceleração da corda: a</p><p>B</p><p>= 4 m/s2</p><p>a</p><p>B</p><p>= 40 rad/s2 ⇒ a</p><p>A</p><p>= 40 rad/s2 ⇒ W</p><p>A</p><p>= 40 · T(2)</p><p>III. (2) em (1): w T w Tc c= ⋅ ⋅ ⇒ =</p><p>2</p><p>5</p><p>40 16</p><p>Anotações</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIG.: REJANE – 28/09/18 – REV.: SARAH</p><p>FÍSICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Professor(a): Tadeu Carvalho</p><p>assunto: MoviMenTo relaTivo</p><p>frente: FísiCa i</p><p>005.516 – 131458/18</p><p>AULAS 10 A 13</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Movimento Relativo</p><p>É uma redundância chamar movimento relativo, pois todo</p><p>movimento é relativo a um dado referencial, porém, costuma-se usar</p><p>esse termo quando o referencial adotado não é o referencial ”padrão”,</p><p>que é a terra, o solo, o chão etc.</p><p>Sendo assim, no estudo do movimento relativo, sempre</p><p>devemos identificar três elementos: A, B e C, onde A e B são ”móveis”</p><p>e C é o referencial “fixo” padrão: Solo, Terra, Margem.</p><p>Veja o esquema:</p><p>A B</p><p>C</p><p>A,C</p><p>A,B</p><p>B,C</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>“Móveis”</p><p>Ref. “fixo”</p><p>Cada uma dessas setas indica um movimento, por exemplo:</p><p>A,C indica o movimento de A em relação a C. Assim, temos</p><p>três movimentos que precisam ser relacionados:</p><p>I. A em relação a C.</p><p>II. B em relação a C.</p><p>III. A em relação a B.</p><p>Entenda-se relacionar movimento, por relacionar as posições,</p><p>as velocidades e as acelerações. Assim, temos:</p><p>I. Posição (r</p><p></p><p>):</p><p>Não esqueça que o vetor posição de uma partícula, em relação</p><p>a um ponto (referencial), é definido por um vetor que tem origem na</p><p>origem do sistema de coordenadas e extremidade na partícula.</p><p>r</p><p>p,o</p><p>y</p><p>0 x</p><p>Partícula (P)</p><p>Logo, para as partículas A e B:</p><p>A</p><p>c</p><p>B</p><p>rB C,</p><p>rA C,</p><p>rA B,</p><p>x’</p><p>x</p><p>y</p><p>y’</p><p>A relação entre as posições:</p><p>r r r</p><p>ou</p><p>r r r</p><p>B C A B A C</p><p>A C B C</p><p>  </p><p>  </p><p>, , ,</p><p>A,B , , (I)</p><p>+ =</p><p>= −</p><p>Para obter as velocidades, basta derivar:</p><p>v</p><p>dr</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>r</p><p>d</p><p>dt</p><p>r</p><p>d</p><p>dt</p><p>rA B A C B</p><p></p><p></p><p>  </p><p>= → ( ) = ( ) − ( ), , ,C</p><p>v v v IIA B A C B C</p><p>  </p><p>, , ,= − ( )</p><p>Para obter as acelerações, basta derivar:</p><p>a</p><p>dv</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>v</p><p>d</p><p>dt</p><p>v</p><p>d</p><p>dt</p><p>v</p><p>a a a</p><p>A B A C B C</p><p>A A C B C</p><p></p><p></p><p>  </p><p>  </p><p>= → ( ) = ( ) − ( )</p><p>= −</p><p>, , ,</p><p>,B , , IIII( )</p><p>Exemplos de aplicação da equação II, pois a maioria dos</p><p>problemas trata da velocidade relativa:</p><p>1. Dois móveis: (carro e moto)</p><p>v v v</p><p>v v v</p><p>v</p><p>A B A C B</p><p>carro moto carro solo moto solo</p><p>ca</p><p>  </p><p>  </p><p></p><p>, , ,C</p><p>, , ,</p><p>= −</p><p>= −</p><p>rrro moto carro motov v, = −</p><p> </p><p>→ carro</p><p>→ moto</p><p>→ solo</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>Observação:</p><p>Quando o referencial é o solo, costuma-se omitir o</p><p>referencial assim:</p><p>v v</p><p>e</p><p>v v</p><p>carro solo carro</p><p>moto solo moto</p><p> </p><p> </p><p>,</p><p>,</p><p>→</p><p>→</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.516 – 131458/18</p><p>Veja:</p><p>υ</p><p>moto</p><p>υ</p><p>carro, moto</p><p>υ</p><p>carro</p><p>α</p><p>v v v vcarro solo carro moto carro moto</p><p>    </p><p>, . . v . cos</p><p>2 2 2</p><p>2= + − α</p><p>Se a = 0º</p><p>v</p><p>moto</p><p>v</p><p>carro</p><p>→ v</p><p>carro,moto</p><p>= v</p><p>carro</p><p>– v</p><p>moto</p><p>Se a = 180º</p><p>v</p><p>moto</p><p>v</p><p>carro</p><p>→ v</p><p>carro,moto</p><p>= v</p><p>carro</p><p>+ v</p><p>moto</p><p>Se a = 90º</p><p>v</p><p>moto</p><p>v v vcarro moto carro moto, = +</p><p> 2 2→</p><p>2. Barcos em rios:</p><p>→ Barco</p><p>→ Rio (água)</p><p>→ Margem (solo)</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>v v vA B A C B C</p><p>  </p><p>, , ,= −</p><p>v v vBarco, Águas B= –arco, Margem Águas,Margem</p><p>↓↓ ↓ ↓</p><p>v v vB B c,M</p><p>(motor) (correnteza)</p><p>v v vB M B C</p><p>  </p><p>, = +</p><p>Onde: vB</p><p></p><p>: velocidade fornecida pelo motor do barco e controlada</p><p>pelo condutor.</p><p>vC</p><p></p><p>: velocidade da correnteza.</p><p>Caso 1: Barco descendo o Rio</p><p>vB((((</p><p>((</p><p>v</p><p>C</p><p>v v vB M B C,</p><p>= +</p><p>Caso 2: Barco subindo o Rio</p><p>vB((((</p><p>((</p><p>v</p><p>C</p><p>v v vB M B C, = −</p><p>Caso 3: Travessia do Rio</p><p>ν</p><p>ν</p><p>BB</p><p>C</p><p>α a ≠ 0º e 180º</p><p>I. Travessia em tempo mínimo (a = 90º)</p><p>B</p><p>A</p><p>Partida</p><p>υ</p><p>B</p><p>υ</p><p>C</p><p>υ</p><p>B</p><p>υ</p><p>C</p><p>υ</p><p>C</p><p>θ υ</p><p>B,M</p><p>L</p><p>D</p><p>tgθ =</p><p>CC</p><p>RR</p><p>AB → Largura do Rio (L)</p><p>BC → Arraste da correnteza (A</p><p>RR</p><p>)</p><p>AC → Deslocamento do Barco em relação à Terra (D)</p><p>Relação: v v vB M B C, = +2 2</p><p>v</p><p>L</p><p>v</p><p>A</p><p>v</p><p>D</p><p>A</p><p>L</p><p>v</p><p>B C</p><p>RR</p><p>B M</p><p>RR</p><p>C</p><p>B</p><p>= = → =,</p><p>. v</p><p>∆t</p><p>L</p><p>v</p><p>A</p><p>v</p><p>D</p><p>vB</p><p>RR</p><p>C B M</p><p>= = =</p><p>,</p><p>II. Travessia com deslocamento mínimo: (a = 90 + ϕ)</p><p>ϕ = −sen</p><p>v</p><p>v</p><p>C</p><p>B</p><p>1</p><p>D</p><p>υ</p><p>υ</p><p>υ</p><p>B</p><p>BC rr</p><p>B</p><p>cD</p><p>A</p><p>ϕ</p><p>VC</p><p>M,</p><p>`</p><p>sen</p><p>v</p><p>v</p><p>C</p><p>B</p><p>ϕ =</p><p>BD → Contra-arraste (C</p><p>RR</p><p>)</p><p>v v v</p><p>v</p><p>L</p><p>v</p><p>C</p><p>v</p><p>D</p><p>t</p><p>L</p><p>v</p><p>L</p><p>v v</p><p>L</p><p>v</p><p>v</p><p>B M B C</p><p>B M C</p><p>RR</p><p>B</p><p>D</p><p>B M B C</p><p>B</p><p>C</p><p>Min</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>.</p><p>= −</p><p>= =</p><p>= =</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>’</p><p>∆</p><p>vvB</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>∆ ∆t t</p><p>L</p><p>v</p><p>v</p><p>D T</p><p>C</p><p>B</p><p>Min Min</p><p>=</p><p>− </p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>3 F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.516 – 131458/18</p><p>Exercícios</p><p>01. (ITA/1982) Um nadador que pode desenvolver uma velocidade</p><p>de 0,900 m/s na água parada, atravessa um rio de largura</p><p>D metros, cuja correnteza tem uma velocidade de 1,08 km/h.</p><p>Nadando em linha reta, ele quer alcançar um ponto da outra</p><p>margem situado</p><p>D 3</p><p>3</p><p>metros abaixo do ponto de partida.</p><p>Para isso, sua velocidade em relação ao rio deve formar com a</p><p>correnteza o ângulo:</p><p>A) arc sen 3</p><p>12</p><p>33 1( )+</p><p>B) arc sen</p><p>3</p><p>12</p><p>C) zero grau</p><p>D) arc sen 3</p><p>2</p><p>E) o problema não tem solução.</p><p>02. (ITA/1974) Uma pessoa sobe uma escada rolante, que está parada,</p><p>em 90 s. A mesma escada, agora em movimento, transporta</p><p>a pessoa em 60 s. Quanto tempo levaria a pessoa para subir</p><p>caminhando, se a escada estiver em movimento?</p><p>03. Do ancoradouro C ao T, com velocidade V</p><p>1</p><p>= 3 km/h, relativa à</p><p>água, move-se um barco. Do ancoradouro T ao C simultaneamente</p><p>com o barco de carga sai uma lancha, cuja velocidade relativa à</p><p>água é V</p><p>2</p><p>= 10 km/h. Durante o tempo do movimento do barco</p><p>entre os ancoradouros, a lancha percorre essa distância quatro</p><p>vezes e chega ao ancoradouro T junto com o barco. Determine a</p><p>velocidade da correnteza.</p><p>04. Um homem em uma lancha deve sair do ponto A ao ponto B, que se</p><p>encontra na margem oposta do rio. A distância BC é igual a 40 m.</p><p>A largura do rio é 30 m. Com que velocidade mínima, relativa</p><p>à água, deve mover-se a lancha para chegar ao ponto B?</p><p>A velocidade da correnteza é 5 m/s.</p><p>C</p><p>5 m/s</p><p>B</p><p>A</p><p>05. Do ponto A, situado na margem de um rio, é preciso chegar ao</p><p>ponto B, movendo-se pela reta AB. A largura do rio AC é 1 km,</p><p>a distância BC é igual a 2 km, a velocidade da lancha relativa à</p><p>água é 5 km/h e a velocidade da correnteza é 2 km/h. Determine</p><p>o tempo gasto para percorrer AB.</p><p>B</p><p>2 km/h</p><p>C</p><p>A</p><p>06. Em um rio, do ponto A ao ponto B, os quais encontram-se</p><p>em margens opostas pela reta AB move-se uma lancha.</p><p>O vento sopra com uma velocidade em direção perpendicular à</p><p>margem. A bandeira no mastro da lancha forma um ângulo de</p><p>60º com a direção do movimento da mesma. Determine o valor</p><p>da razão</p><p>V</p><p>V</p><p>L</p><p>V</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>, onde VL</p><p>→</p><p>é a velocidade da lancha em relação</p><p>à margem.</p><p>60º</p><p>60º</p><p>A</p><p>B</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>L</p><p>07. Duas retas que se interceptam, movem-se em direções opostas</p><p>com velocidades V</p><p>1</p><p>= V</p><p>2</p><p>= 1 m/s, perpendiculares às retas</p><p>correspondentes. O ângulo entre as retas é 60º. Determine a</p><p>velocidade V do ponto de intersecção dessas retas.</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>1V</p><p>1</p><p>V</p><p>2 r</p><p>2</p><p>r</p><p>2</p><p>60º</p><p>0’ 0</p><p>intersecção</p><p>após t</p><p>após ∆t</p><p>após ∆t</p><p>(reta 1)</p><p>(reta 2)</p><p>V</p><p>08. A velocidade da correnteza de um rio é V</p><p>0</p><p>= 0 junto à margem 1</p><p>e V = 2 m/s do outro lado do rio (margem 2). Uma canoa se dirige</p><p>do ponto A até o ponto B. A velocidade da canoa em relação à</p><p>água é V</p><p>B</p><p>= 2 m/s.</p><p>Determine o ângulo a que a velocidade da canoa faz com a</p><p>margem 1.</p><p>margem 2</p><p>margem 1</p><p>correnteza</p><p>Aα</p><p>B</p><p>V</p><p>B</p><p>Obs.: A velocidade da correnteza cresce proporcionalmente da</p><p>margem 1 até a margem 2.</p><p>09. Uma lancha, navegando rio abaixo, passa por uma balsa no</p><p>ponto A. Após 1 hora, a lancha dá a volta e encontra a balsa a</p><p>uma distância de 6 km do ponto A. Determine a velocidade da</p><p>correnteza.</p><p>4F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>005.516 – 131458/18</p><p>10. Dois nadadores têm que atravessar um rio do ponto A até o</p><p>ponto B. Para isso, um deles resolveu atravessar o rio seguindo</p><p>a reta AB, enquanto o outro decidiu manter-se todo o tempo</p><p>perpendicular à correnteza, desviando, portanto, do ponto B.</p><p>Que velocidade deve ter o segundo nadador em terra para chegar</p><p>ao ponto B ao mesmo tempo do primeiro nadador?</p><p>A</p><p>B</p><p>11. A partir de uma boia fixa, que se encontra no meio de um rio,</p><p>partiram os botes A e B. Os botes tomaram direções perpendiculares</p><p>entre si: o bote A descendo o rio e o B perpendicular à correnteza.</p><p>Quando estavam separados a uma mesma distância da boia, os</p><p>botes regressaram.</p><p>Se a relação entre os tempos consumidos por cada bote é</p><p>T</p><p>T</p><p>B</p><p>A</p><p>= 3, determine o valor de 2K2, onde K é o número que a</p><p>velocidade dos botes supera a velocidade da correnteza.</p><p>B</p><p>Aboia</p><p>12. Uma barra AB de comprimento 10 m move-se no plano do</p><p>desenho de tal modo que, em um dado intervalo de tempo,</p><p>a direção da velocidade do seu extremo A forma um ângulo</p><p>a = 45º e a do extremo B, um ângulo β (tg β = 4) com a barra.</p><p>A velocidade do extremo A é V.</p><p>O movimento da barra pode ser analisado como a soma do</p><p>movimento de translação ao longo de AB e do movimento de</p><p>rotação simultâneo em redor do eixo perpendicular ao plano</p><p>do desenho e que passa através de um certo ponto O da barra.</p><p>Determine a distância do ponto A até o ponto O.</p><p>V</p><p>BA</p><p>βα</p><p>13. Uma bobina, constituída de uma parte cilíndrica e de dois discos</p><p>iguais e contínuos, rola sua parte cilíndrica sem deslizamento em</p><p>uma barra áspera, colocada horizontalmente, com velocidade</p><p>constante V. O raio da parte cilíndrica é r, dos discos é R = 3r.</p><p>Sejam V</p><p>A</p><p>e V</p><p>B</p><p>, as velocidades instantâneas dos pontos A e B,</p><p>respectivamente. Determine o valor de</p><p>V V</p><p>V</p><p>A B+</p><p>.</p><p>A</p><p>B</p><p>BV</p><p>B</p><p>V</p><p>A</p><p>A</p><p>VISÃO</p><p>DE</p><p>LADO</p><p>R</p><p>r</p><p>14. Um cone roda sem deslizamento em um plano. O eixo do cone</p><p>gira com velocidade ω ao redor da vertical que passa através do</p><p>seu vértice. A altura do cone é h, o ângulo entre o eixo e a aresta é</p><p>igual a a = 30º. Seja Ω a velocidade angular de rotação do cone ao</p><p>redor de seu eixo. Assim sendo, determine o valor da razão</p><p>Ω</p><p>ω</p><p>.</p><p>30 °</p><p>x</p><p>y</p><p>ω</p><p>Ω</p><p>15. Uma bola, inicialmente em repouso,tem raio R = 10 cm e começa</p><p>a rodar sem deslizamento por um plano horizontal, de modo que</p><p>seu centro se move com aceleração a = 2,5 cm/s2. Depois de t = 2 s,</p><p>os pontos A, B e C têm acelerações a</p><p>A</p><p>, a</p><p>B</p><p>e a</p><p>C</p><p>, respectivamente.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>a</p><p>Determine o valor da expressão:</p><p>a a a</p><p>a</p><p>A B C</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>+ +</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIG.: REJANE – 02/10/18 – REV.: SARAH</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>Gabarito</p><p>1 2 3 4 5</p><p>A * * * *</p><p>6 7 8 9 10</p><p>* * * * *</p><p>11 12 13 14 15</p><p>* * * * *</p><p>1. Teremos:</p><p>i) Decompondo os movimentos, podemos escrever:</p><p>x y</p><p>Dx Dy</p><p>V = e V =</p><p>T T</p><p>; para o tempo total de travessia,</p><p>teremos:</p><p>  </p><p>x</p><p>x y</p><p>y</p><p>3</p><p>3 1</p><p>D 1 D V</p><p>V = e V =</p><p>T T 3 V</p><p>ii) Encontrando Vx e Vy; na imagem podemos ver que:</p><p>Vx = Vn · sen () e Vy = Vn · cos () + Vc; substituindo</p><p>em (1)</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>     </p><p>   </p><p> </p><p>     </p><p> </p><p></p><p></p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>   </p><p>   </p><p>    </p><p>    </p><p> </p><p>   </p><p> n</p><p>c n</p><p>CB</p><p>3 99</p><p>3 3</p><p>33 + 1 A</p><p>V sen 0, 9 sen</p><p>3 3</p><p>V V cos 0,3+ 0, 9 sen</p><p>3 sen 1= 3</p><p>3 sen 1 3 1 sen</p><p>6 sen 3sen 4 = 0</p><p>sen devemos pegar o valor positivo, pois</p><p>12</p><p>D</p><p>se 90º D logo sen</p><p>3 12</p><p>,</p><p>,</p><p>22 2</p><p>2</p><p>2.</p><p>i) Encontrando as velocidades da pessoa e da escada.</p><p>P E P E</p><p>1 2</p><p>D D D D</p><p>V = e V = V = e V =</p><p>T T 90 60</p><p>ii) Encontrando o novo tempo.</p><p></p><p>  3 3 3</p><p>+P E</p><p>D D</p><p>90 60</p><p>D D</p><p>T = e T = T = 36 s</p><p>V V</p><p>3.</p><p>i) Movimento do barco:</p><p>ii) Movimento da lancha:</p><p>iii) Como percorreu no mesmo tempo, podemos escrever:</p><p></p><p>  </p><p>   </p><p></p><p>  </p><p>  </p><p>     </p><p> </p><p></p><p></p><p>B L</p><p>+ +B C L C L C L C L C</p><p>B C L C L C C C C</p><p>2</p><p>C C C</p><p>D D D D D</p><p>T = T</p><p>V V V V V V V V V V</p><p>D</p><p>2D 2D 1 2 2</p><p>V V V V V V 3 V 10 + V 10 V</p><p>V 40V 20 = 0 V 0,51 km / h</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>4. Teremos:</p><p>Decompondo os movimentos, podemos escrever:</p><p>Vy = Vsen() e Vx = Vc – Vcos()</p><p>Para o termo total de travessia, teremos:</p><p>   </p><p>   </p><p>    </p><p>     </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>;</p><p>  </p><p>   </p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p>    </p><p>      </p><p> </p><p>  </p><p></p><p>c</p><p>c</p><p>mín</p><p>máx</p><p>4sen 3cos</p><p>= 3</p><p>= 1 V= 3 m/s</p><p>30 m 40 m</p><p>T = e T =</p><p>Vsen V Vcos</p><p>30 m 40 m</p><p>V 3 5</p><p>Vsen V Vcos</p><p>34 3</p><p>V sen cos 3; Tome tal que sen e</p><p>5 5 5</p><p>4</p><p>cos</p><p>5</p><p>3</p><p>V sen como queremos V ,</p><p>sen</p><p>devemos ter sen</p><p>5. Teremos:</p><p>i) Decompondo o movimento:</p><p>   y L</p><p>1km</p><p>Travessia</p><p>V V sen ①</p><p>    x L c</p><p>2 km</p><p>Travessia</p><p>V V cos V ②</p><p>ii) Veja que</p><p>       </p><p>        </p><p>   </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>     </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>L c L</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>10 se n + 2</p><p>12</p><p>4 4 4 125 21</p><p>2 125</p><p>2 = 2· 1 : V cos – V = 2V sen</p><p>5cos 2 = 10sen 5 1 sen</p><p>5sen + 40sen 21= 0</p><p>0 0</p><p>sen</p><p>Pegamos somente o valor positivo, pois 0 < α < 90º</p><p>  sen</p><p>7</p><p>=</p><p>25</p><p>③</p><p>iii) (3) em (1):</p><p> </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p>L</p><p>5</p><p>7</p><p>sen 75</p><p>25</p><p>1 1</p><p>T T T h</p><p>V</p><p>6. O movimento da bandeira surgirá devido ao momento</p><p>relativo com o ar; ela “sentirá” o vetor velocidade formado</p><p>pelo vento e o vetor velocidade devido ao movimento da</p><p>lancha. Assim, em uma análise de vetores, teremos:</p><p>Como α = 30º   = 120º</p><p>   </p><p> </p><p> </p><p></p><p> </p><p></p><p> </p><p>v L</p><p>L L</p><p>v v</p><p>V V</p><p>sen 120º sen 30º</p><p>sen 30ºV V 3</p><p>V sen 120º V 3</p><p>7. Podemos escrever a velocidade do ponto 0 como uma</p><p>composição de V1 e V2:</p><p>   </p><p> </p><p></p><p> </p><p>1 2</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>V = V cos 60º V cos 60º</p><p>V V =1m/s</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>8. Para encontrarmos o ângulo podemos separar o</p><p>movimento, como se primeiro ele andasse somente com a</p><p>velocidade do barco, e depois andasse somente devido à</p><p>correnteza.</p><p>Assim,</p><p> </p><p>   </p><p>, </p><p></p><p> </p><p>B</p><p>CC TT</p><p>x</p><p>V T</p><p>cos encontramos por</p><p>x V T, mas como V varia linearmente, usaremos o</p><p>Teorema do valor médio de maneira simples :</p><p>x</p><p>     </p><p>      </p><p>     </p><p> </p><p>   </p><p>   </p><p>   </p><p>  </p><p>  </p><p>C0 CF</p><p>C</p><p>2</p><p>B</p><p>+ 0 + 2</p><p>V</p><p>60º</p><p>V V</p><p>x T x T x T x T</p><p>2 2</p><p>x T 1</p><p>cos cos cos</p><p>V T 2 T 2</p><p>9. Podemos analisar a situação da seguinte maneira:</p><p>Temos que T1 = 1 h e consideremos que a balsa se move</p><p>somente pela ação da correnteza, logo:</p><p>TBALSA = T1 + T2</p><p> </p><p></p><p> </p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>  </p><p></p><p> </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p>L L</p><p>1</p><p>L</p><p>L</p><p>L</p><p>L</p><p>2 2</p><p>L L L</p><p>2 2</p><p>1h 1</p><p>+</p><p>1+ x</p><p>Vc = 3 km/h</p><p>6 D D 6</p><p>Vc Vc Vc V Vc</p><p>D</p><p>mas, como T</p><p>V Vc</p><p>6 V Vc 6</p><p>V Vc Vc</p><p>Vc V Vc</p><p>6V 6Vc = V Vc Vc V Vc + Vc 6Vc</p><p>2V Vc = 6V</p><p>10. Teremos:</p><p>Veja que = i</p><p>n</p><p>D</p><p>V</p><p>T e que x = VC · Ti ,</p><p>além disso,  C= = ii ii</p><p>T T n</p><p>x DV</p><p>V V V</p><p>T T</p><p>Queremos que</p><p>   </p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p>=TRAVESSIA ii</p><p>2 2 n T nn c</p><p>2 2</p><p>c cn</p><p>T</p><p>2 2</p><p>n cn</p><p>D D D D</p><p>+i</p><p>V V VV V</p><p>V V V</p><p>V V V</p><p>T T T</p><p>V</p><p>11. Teremos:</p><p>i) Ida de B e A:</p><p></p><p></p><p>2 2</p><p>=B B cR</p><p>=A B C</p><p>V V V V</p><p>V V V</p><p>ii) Volta de B e A:</p><p></p><p></p><p>2 2</p><p>=B B cR</p><p>=A B C</p><p>V V V V</p><p>V V V</p><p>Veja que</p><p></p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>iii) Como os dois percorrem D na ida e na volta, teremos:</p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p>       </p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p>B A</p><p>2 2</p><p>B C B CB C</p><p>A</p><p>A B 2 2B C B C</p><p>B CB</p><p>D D 2D</p><p>V V V V</p><p>V V</p><p>2D D D</p><p>T e T , daí :</p><p>V V V VV V</p><p>T</p><p>3 T 3T 3</p><p>T</p><p>(O enunciado encontra-se errado)</p><p>   </p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>B B</p><p>12 2 2 2</p><p>B C 2 2 B C2</p><p>B C</p><p>2 2</p><p>B c B c</p><p>2</p><p>3</p><p>8</p><p>3 9</p><p>8</p><p>2V 3 D V</p><p>3</p><p>V V V V</p><p>V V</p><p>8V 9V V V</p><p>k = 2k</p><p>4</p><p>12. Teremos:</p><p>i) Analisando a translação, teremos que, ao longo da</p><p>barra, todos os pontos possuem mesmo VX, pois se trata</p><p>de uma barra rígida, logo:</p><p>   </p><p> </p><p> </p><p></p><p> </p><p></p><p>   A</p><p>A B</p><p>B</p><p>cosV</p><p>V cos</p><p>V cos V cos (1)</p><p>ii) Analisando a rotação teremos que, como A e B</p><p>rotacionam em torno do mesmo ponto,</p><p>   </p><p>   </p><p>   </p><p> </p><p>0 0</p><p>,</p><p>   </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>A By y AA</p><p>A B</p><p>A B A B</p><p>gA</p><p>B g</p><p>V V VV</p><p>X X X X</p><p>1 TX</p><p>= 10 AX T</p><p>sensen</p><p>W W</p><p>mas X X X = 2 mA B</p><p>13. Analisaremos primeiro o cilindro e depois as rodas.</p><p>i)</p><p>Como o rolamento é sem desviamento, V2 = 0, assim 2 é</p><p>ponto instantâneo e W1 = W0 em relação ao ponto dois,</p><p>logo</p><p> </p><p> </p><p>1</p><p>1</p><p>V V</p><p>2</p><p>V 2V</p><p>ii) Rodas acopladas ao cilindro:</p><p>A rotação da roda acontece devido à rotação do ponto 1,</p><p>que tem em relação ao centro o W1:</p><p>'</p><p>' ' </p><p>    </p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>1</p><p>1 A B</p><p>A</p><p>A A B</p><p>V 2V</p><p>V 2V</p><p>3</p><p>W = W W W W</p><p>W V 6V, análog. V 6V</p><p>mas essas velocidades são em relação ao ponto O.</p><p>iii) Mudando para o referencial da terra:</p><p>'</p><p>'</p><p></p><p></p><p>      </p><p> </p><p>       </p><p>A,T A,O O,T A A A B</p><p>B,T= B,O O,T B B</p><p>V = V V V V = 7V V 7V V V</p><p>2</p><p>V V V V V = 5V V 5V V</p><p>14. Teremos:</p><p></p><p> sen(30º)</p><p>g</p><p></p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>O ponto P possui distância fixa A O1 e A O2, então a</p><p>distância percorrida por P devido a  deve ser a mesma</p><p>percorria A P devido a W, assim:</p><p> </p><p></p><p> </p><p></p><p>    </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> w</p><p>g 1</p><p>W r sen 30º</p><p>W</p><p>D D r T = W g T</p><p>2</p><p>15. Teremos:</p><p>i) Para um ponto P qualquer, teremos:</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p>O, TP, OP, T</p><p>R</p><p>T P</p><p>T</p><p>(Qualquer ponto terá uma aceleração tangencial e uma</p><p>centrípeta em relação A O’</p><p>ii) Analisando os pontos:</p><p>Como o movimento é sem desviamento, em C teremos:</p><p>,            T T 2</p><p>2,5 rad</p><p>mas R R = = 0, 25</p><p>R s</p><p>Assim:</p><p>WW =      </p><p>Ö</p><p>T W = 2 W = 0,5 rad/s</p><p>Sabe-se que CP = W</p><p>2 · R  CP = 2,5 m/s</p><p>2</p><p>iii) Pela soma de vetores, teremos:</p><p>  ; ;</p><p>;</p><p>   </p><p>  </p><p> </p><p></p><p>       </p><p>      </p><p>  </p><p></p><p></p><p>2 2</p><p>A B c</p><p>A B c</p><p>2 2 2</p><p>A B C</p><p>2</p><p>5</p><p>7</p><p>2</p><p>SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: TADEU CARVALHO</p><p>DIG.: Zilmar – REV.: KELLY MOURA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>PROFESSOR(A): TADEU CARVALHO</p><p>ASSUNTO: QUEDA LIVRE E LANÇAMENTO VERTICAL</p><p>FRENTE: FÍSICA I</p><p>030.481 - 152767/21</p><p>AULAS 14 E 15</p><p>EAD – ITA/IME</p><p>Resumo Teórico</p><p>Introdução</p><p>Neste tópico, não existem equações novas, dessa forma,</p><p>usaremos apenas as equações já demonstradas para o MRUV, pois</p><p>iremos desconsiderar a resistência do ar nos movimentos, fazendo com</p><p>que a aceleração desse movimento seja constante e igual à gravidade.</p><p>Assim, as 5 equações disponíveis serão:</p><p>(EQ) (∅)</p><p>(1) v = v</p><p>0</p><p>+ a ∆t ∆x</p><p>(2) ∆x = v</p><p>0</p><p>· ∆t + 1</p><p>2</p><p>a · ∆t2 v</p><p>(3) ∆x = v · ∆t –</p><p>1</p><p>2</p><p>a · ∆t2 v</p><p>0</p><p>(4) V2 = v2</p><p>0</p><p>+ 2 · a · ∆x ∆t</p><p>(5)</p><p>∆</p><p>∆</p><p>s</p><p>t</p><p>= 1</p><p>2</p><p>(v + v</p><p>0</p><p>) a</p><p>Entretanto, é conveniente, na solução de diversos problemas,</p><p>ter alguns resultados prontos de memória, tais como o tempo de</p><p>queda e a velocidade em solo (para a queda livre) e o tempo de</p><p>subida e altura máxima (para o lançamento vertical para cima).</p><p>Assim, vamos demonstrar esses resultados:</p><p>I. Queda livre</p><p>h</p><p>g</p><p>a = + g</p><p>∆S = + h</p><p>V</p><p>o</p><p>= 0</p><p>t</p><p>q</p><p>V</p><p>s</p><p>V</p><p>o</p><p>= 0</p><p>+</p><p>i) Tempo de queda:</p><p>Eq.(2): ∆ = ∆ + ⋅S V t a to</p><p>1</p><p>2</p><p>2∆</p><p>h g tq= ⋅1</p><p>2</p><p>2</p><p>t</p><p>h</p><p>g</p><p>q = 2</p><p>II) Velocidade no solo</p><p>Eq.(4): V2 = V2</p><p>o</p><p>+ 2 · a · ∆s</p><p>V</p><p>s</p><p>2 = 2 · g · h</p><p>V ghs = 2</p><p>II. Lançamento vertical (para cima)</p><p>h</p><p>máx.</p><p>g</p><p>a = – g</p><p>V = 0</p><p>∆S = h</p><p>máx.</p><p>V</p><p>o</p><p>= + V</p><p>o</p><p>t</p><p>s</p><p>V</p><p>o</p><p>V = 0</p><p>+</p><p>i) Tempo de subida (t</p><p>s</p><p>)</p><p>Eq. (1): V = Vo + a · ∆t</p><p>0 = Vo – g · t</p><p>s</p><p>t</p><p>V</p><p>g</p><p>s</p><p>o=</p><p>ii) Altura máxima: (h</p><p>máx.</p><p>)</p><p>Eq.(4): V2 = V2</p><p>o</p><p>+ 2 · a · ∆s</p><p>0 = V2</p><p>o</p><p>+ 2 · (–g) · h</p><p>máx.</p><p>h</p><p>V</p><p>g</p><p>máx</p><p>o=</p><p>2</p><p>2</p><p>OBS.: antes de iniciar um problema, é conveniente inicialmente orientar</p><p>o sentido da trajetória, neste caso, para cima ou para baixo. No primeiro</p><p>exemplo, a queda livre, a trajetória foi orientada para baixo, fazendo</p><p>com que a = + g e no segundo exemplo, o lançamento vertical, ela foi</p><p>orientada para cima, fazendo com que a = – g. Diga-se de passagem,</p><p>que a orientação mais comum é para cima, mas, sua escolha, não</p><p>deve afetar os resultados do problema.</p><p>h V T g T h h mC CD CD2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>10 225 1 5 1 15 225= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ =, ,</p><p>2F B O N L I N E . C O M . B R</p><p>//////////////////</p><p>MÓDULO DE ESTUDO</p><p>030.481 - 152767/21</p><p>Exercícios</p><p>01. Uma bola é largada da altura de 2,2 m e rebate, atingindo</p><p>1,9 m acima</p>