Lista de Exercícios-Operações com vetores

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEXA- DEPARTAMENTO DE EXATAS
PROFESSORA: IRLENE ALMEIDA
Primeira Lista de Exercícios
Geometria Analítica e Álgebra Vetorial
1º Parte: Vetores e coordenadas Cartesianas
Dado um paralelogramo ABCD, sejam M e N pontos médios dos lados AB e DC respectivamente. Determine os vetores. Se possível, apresente suas respostas com origem em A.
		c)	 e) 
		d)	 f)
Dados os vetores e , desenhe representantes destes vetores com a mesma origem. A seguir, represente graficamente os seguintes vetores:
a)	b) 	c) 	d)
Verdadeiro ou falso? Se então . Justifique.
Obtenha as medianas de um triângulo como combinação linear de dois de seus catetos.
Dados os pontos A,B,C e X tais que . Verifique que .
Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD. Justifique. Qual deles é base de vetores no espaço?
{(0,1,0);(1,0,1)} f){(0,1,1);(1,0,0)}
{(0,1,1);(0,3,1)} g){(1,-3,14);(,)}
{(-4,1,2);(1,0,1);(0,0,0)} h) {(0,0,0)}
{(1,0,0);(200,2,1;(300,1,2)} i){(0,1,0}
{(1,2,1), (1,-1,-7);(4,5,-4)}
Determine os valores de m para que os conjuntos abaixo sejam LD.
{(m,1,m); (1,m,1)}
{(m,1,m+1); (1,2,m);(1,1,1)}
 
Sejam , , e .
a) Mostre que não é combinação linear de e .
b) Escreva como combinação linear de , e 
R. 
10. Calcule o perímetro do triângulo de vértices A=(1,2,3); 
B= (-1,0,1) e C=(1,4,3). 
11. Determine o número real m para que o vetor seja unitário. 
12. Determine a extremidade do segmento que representa o vetor , sabendo que sua origem é 
13. Dados os pontos e , determine as coordenadas de P tal que 
a) b) c) 
14. Determine o ponto do eixo das abscissas que equidista dos pontos e 
15. Verifique se os pontos abaixo são colineares
a)
b)
 
16. Verifique se os pontos abaixo são coplanares
17. Determine a, b para que sejam colineares. 
18. Determine o valor de m para que sejam coplanares. 
19. Mostre que os pontos 
a) são vértices de um paralelogramo.
b) são vértices de um trapézio.
2ª Parte: Produtos escalar, vetorial e misto
1. Dados os vetores , , calcule
a) d) o ângulo entre e 
b) e) a projeção ortogonal de sobre 
c) 
2. Dados os pontos A=(-1,0,2), B=(-4,1,1) e C=(0,1,3), determine sabendo que .
3. Determine x de modo que se tenha ortogonal a nos casos.
a) 
b) 
 c) 
4. Determine m para que o ângulo entre e seja de radianos. 
5. Calcule sabendo que , , e o ângulo entre é radianos. 
6. Sejam e vetores tais que , e o ângulo entre e é 45°. Calcule o ângulo entre + e
 - . 
De termine e sabendo que + , e (-1,0,0) são colineares e é ortogonal a (1,1,2).
8. Prove que os pontos A=(5,1,5), B=(4,3,2) e C=(-3,2,1) são vértices de um triângulo retângulo.
9. Sejam A=(2,1,3); B=(m,3,5); C=(0,4,1) vértices de um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A.
a) calcule o valor de m. 
b) Determine o pé da altura relativa ao vértice A. 
10. Dados os vetores , e , calcule:
a) b) c) 
d) e) 
f) a área do paralelogramo gerado por 
g) a área do triângulo gerado por 
11. Calcule a área do triângulo de vértices A=(-1,0,2), B=(-4,1,1) e C=(0,1,3). 
12. Mostre que o quadrilátero de vértices A=(1,-2,3), B=(4,3,-1) e C=(5,7,-3) e D=(2,2,1) é um paralelogramo e calcule sua área. 
13. Calcule e sabendo que ; é unitário, e o ângulo entre é 30º. 
14. a) Determine dois vetores unitários, simultaneamente ortogonais aos vetores e 
b) Determine dois vetores de norma 5, simultaneamente ortogonais aos vetores e 
15. Determine m para que seja ortogonal aos vetores e 
16. Se , e o ângulo entre é 60º, calcule . A seguir, determine as coordenadas de sabendo que este vetor é paralelo ao vetor 
17. Calcule a área do paralelogramo que tem um de seus vértices no ponto A=(3,2,1) e um diagonal de extremidades B=(1,1,-1) e C=(0,1,2). 
18. Dado um triângulo ABC, mostre que a altura relativa ao vértice C é dada por .
19. Calcule x sabendo que os pontos A=(x,1,1), B=(1,-1,0) e C=(2,-1,1) são vértices de um triângulo de área . 
20. Calcule dados
a) ; 
b) ; , onde AB, DC e AC são representantes dos vetores e respectivamente. 
21 Determine o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores ; 
22. Calcule o volume do tetraedro ABCD, dados
a) ; 
b) ; ; 
23. a) Verifique que os vetores ; não são coplanares.
b) Determine o valor de m para que os vetores ; sejam LI. 
24. a) Verifique que são coplanares os seguintes pontos ) ; 
b) Determine os valores de m para que os pontos ; não sejam coplanares. 
25. Determine o valor de m sabendo que 
a) os vetores ; geram um paralelepípedo de volume 10. 
 b) os pontos ; são vértices de um tetraedro de volume 
26. Calcule o volume do tetraedro gerado por , , sabendo que ; , , o ângulo entre , é ortogonal a , 
27. Dado um tetraedro ABCD, mostre que a altura relativa à base ABC é dada por .
Bons estudos!