AlgebraLinearvol1

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<p>See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/381224182</p><p>Algebra Linear vol 1</p><p>Book · June 2024</p><p>CITATIONS</p><p>0</p><p>READS</p><p>52</p><p>3 authors:</p><p>Cícero José da Silva</p><p>Universidade de Pernambuco</p><p>47 PUBLICATIONS   80 CITATIONS</p><p>SEE PROFILE</p><p>Willames Soares</p><p>126 PUBLICATIONS   306 CITATIONS</p><p>SEE PROFILE</p><p>Sergio Galdino</p><p>Universidade de Pernambuco</p><p>70 PUBLICATIONS   137 CITATIONS</p><p>SEE PROFILE</p><p>All content following this page was uploaded by Cícero José da Silva on 06 June 2024.</p><p>The user has requested enhancement of the downloaded file.</p><p>https://www.researchgate.net/publication/381224182_Algebra_Linear_vol_1?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_2&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/publication/381224182_Algebra_Linear_vol_1?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_3&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_1&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Cicero-Silva-12?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_4&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Cicero-Silva-12?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_5&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/institution/Universidade-de-Pernambuco?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_6&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Cicero-Silva-12?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_7&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Willames-Soares?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_4&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Willames-Soares?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_5&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Willames-Soares?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_7&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Sergio-Galdino-3?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_4&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Sergio-Galdino-3?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_5&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/institution/Universidade-de-Pernambuco?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_6&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Sergio-Galdino-3?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_7&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Cicero-Silva-12?enrichId=rgreq-d911d809bcbc279df74278b2553a028d-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzM4MTIyNDE4MjtBUzoxMTQzMTI4MTI0OTkxODA5MEAxNzE3Njk1NTE1NzY1&el=1_x_10&_esc=publicationCoverPdf</p><p>Cícero José da Silva</p><p>Willames de Albuquerque Soares</p><p>Sérgio Mário Lins Galdino</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>1ª ed.</p><p>Piracanjuba-GO</p><p>Editora Conhecimento Livre</p><p>Piracanjuba-GO</p><p>Copyright© 2023 por Editora Conhecimento Livre</p><p>1ª ed.</p><p>Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)</p><p>Silva, Cícero José da</p><p>S586P Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>/ Cícero José da Silva. Willames de Albuquerque Soares. Sérgio Mário Lins Galdino. – Piracanjuba-</p><p>GO</p><p>Editora Conhecimento Livre, 2023</p><p>138 f.: il</p><p>DOI: 10.37423/2023.edcl696</p><p>ISBN: 978-65-5367-271-0</p><p>Modo de acesso: World Wide Web</p><p>Incluir Bibliografia</p><p>1. algebra-linear 2. resolução-de-problemas 3. problemas-básicos 4. problemas-não-triviais I. Silva,</p><p>Cícero José da II. Soares, Willames de Albuquerque III. Galdino, Sérgio Mário Lins IV. Título</p><p>CDU: 510</p><p>https://doi.org/10.37423/2023.edcl696</p><p>O conteúdo dos artigos e sua correção ortográfica são de responsabilidade exclusiva dos seus</p><p>respectivos autores.</p><p>EDITORA CONHECIMENTO LIVRE</p><p>Corpo Editorial</p><p>MSc Edson Ribeiro de Britto de Almeida Junior</p><p>MSc Humberto Costa</p><p>MSc Thays Merçon</p><p>MSc Adalberto Zorzo</p><p>MSc Taiane Aparecida Ribeiro Nepomoceno</p><p>PHD Willian Douglas Guilherme</p><p>MSc Andrea Carla Agnes e Silva Pinto</p><p>MSc Walmir Fernandes Pereira</p><p>MSc Edisio Alves de Aguiar Junior</p><p>MSc Rodrigo Sanchotene Silva</p><p>MSc Wesley Pacheco Calixto</p><p>MSc Adriano Pereira da Silva</p><p>MSc Frederico Celestino Barbosa</p><p>MSc Guilherme Fernando Ribeiro</p><p>MSc. Plínio Ferreira Pires</p><p>MSc Fabricio Vieira Cavalcante</p><p>PHD Marcus Fernando da Silva Praxedes</p><p>MSc Simone Buchignani Maigret</p><p>Dr. Adilson Tadeu Basquerote</p><p>Dra. Thays Zigante Furlan</p><p>MSc Camila Concato</p><p>PHD Miguel Adriano Inácio</p><p>MSc Anelisa Mota Gregoleti</p><p>PHD Jesus Rodrigues Lemos</p><p>MSc Gabriela Cristina Borborema Bozzo</p><p>MSc Karine Moreira Gomes Sales</p><p>Dr. Saulo Cerqueira de Aguiar Soares</p><p>MSc Pedro Panhoca da Silva</p><p>MSc Helton Rangel Coutinho Junior</p><p>MSc Carlos Augusto Zilli</p><p>MSc Euvaldo de Sousa Costa Junior</p><p>Dra. Suely Lopes de Azevedo</p><p>MSc Francisco Odecio Sales</p><p>MSc Ezequiel Martins Ferreira</p><p>MSc Eliane Avelina de Azevedo Sampaio</p><p>Editora Conhecimento Livre</p><p>Piracanjuba-GO</p><p>2023</p><p>Problemas Resolvidos De Álgebra Linear Pensando Um Pouco Mais</p><p>1</p><p>AGRADECIMENTOS</p><p>− Ao Diretor e Vice-Diretor da Escola Politécnica de Pernambuco Prof. Dr. Alexandre Duarte</p><p>Gusmão e Prof. Dr. Sérgio Campello Oliveira, pela compreensão e pelo suporte para realização</p><p>deste.</p><p>− Ao Vice-Reitor da UPE e ex-Diretor da Escola Politécnica de Pernambuco Prof. Ms. José Roberto</p><p>de Souza Cavalcanti, pela percepção e incentivo para efetuação deste.</p><p>− Aos amigos UPE-Poli (Universidade de Pernambuco-Escola Politécnica de Pernambuco), pelo</p><p>incentivo, conhecimento e experiência transmitido, os quais foram indispensáveis para</p><p>construção, deste.</p><p>− A todos os colegas do Departamento Básico, pelo ânimo e amizade.</p><p>− Em especial, aos que contribuíram diretamente na concretização deste.</p><p>− Aos professores e amigos Ms. Cleto Bezerra de França, Ms. Cláudio Maciel (poeta risadinha),</p><p>Prof. Dr. Juan Carlos Oliveira de Medeiros e Prof. Dr. Emerson Alexandre de Oliveira Lima.</p><p>− não estaria sendo justo, se não destacasse o nosso amigo Prof. Ms. Roberto Lessa, ao longo de</p><p>mais de três décadas lecionando Álgebra Linear, conversando sobre: como abordáramos</p><p>determinados temas, ofertou diversas sugestões, correções e orientações no tocante a escrita.</p><p>− Ao amigo Prof. Dr. Marcos Luiz Crispino, por ter dado diversas sugestões ao longo dos anos.</p><p>− À UPE, pelo apoio.</p><p>Problemas Resolvidos De Álgebra Linear Pensando Um Pouco Mais</p><p>2</p><p>DEDICATÓRIA</p><p>de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>114</p><p>Dito de outra forma, que é a matriz do complexo dada pela matriz inversa de .</p><p>Afirmação : é injetora.</p><p>De fato, , com ,temos:</p><p>De sorte que: é injetora.</p><p>Remark 1 Poderíamos ter determinado o núcleo (kernel) do homomofismo a saber:</p><p>Portanto,</p><p>é injetora.</p><p>114. Sejam são números reais,então, prove que:</p><p>( Desigualdade de Cauchy-Schwarz )</p><p>Prova: Ponha , então, temos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>115</p><p>onde:</p><p>Portanto,</p><p>115. Sejam corpos. Uma função chama-se um homomorfismo quando se tem</p><p>quaisquer que sejam .</p><p>Dado um homomorfismo , prove que:</p><p>Prove também que, ou para todo , ou então, e é injetora.</p><p>Prova:</p><p>Com efeito, , então, .</p><p>Note que:</p><p>Assim, teremos dois casos a considerar.</p><p>1o Caso: neste caso:</p><p>Portanto,</p><p>2o Caso: é injetora.</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>116</p><p>Afirmação: é injetora:</p><p>Suponhamos ,então, existe , tal que:</p><p>Agora,</p><p>Por outro lado, temos:</p><p>Consequentemente comparando (1) e (2), segue-se o absurdo!</p><p>Visto que supomos e , portanto, .</p><p>Isto é, é injetora.</p><p>116. Seja um homomorfismo. Prove que, ou para todo</p><p>para todo .</p><p>Prova: ( problema anterior ).</p><p>Assim, teremos dois casos a analisar.</p><p>1o Caso:</p><p>2o Caso: ,neste caso, teremos:</p><p>é fácil ver que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>117</p><p>Logo,</p><p>Observe que:</p><p>Logo,</p><p>De sorte que:</p><p>Observação: Se é uma função contínua, dado ,existe uma sequência de</p><p>racionais da densidade de em ,,tal que:</p><p>Agora, passando o limite e pela continuidade de , temos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>118</p><p>117. Seja uma função convexa no intervalo pertemcem a</p><p>pertencem a , prove que:</p><p>Prova:</p><p>Vejamos, basta usando indução finita sobre .</p><p>Para , temos:</p><p>Suponha válido para ( hipótese de indução) :</p><p>Então, falta mostrar para .</p><p>De fato,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>119</p><p>Portanto,</p><p>118. Sejam números não-negativos, com</p><p>. Prove que:</p><p>onde o produtório e somatório são, descritos respectivamente por:</p><p>e</p><p>Prova:</p><p>À luz do problema (A), tomando-se , temos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>120</p><p>Daí, fazendo obtemos:</p><p>De sorte que:</p><p>119. Seja uma transformação linear, definida por:</p><p>Pede-se:</p><p>Ker e dim Ker . é injetora? Justifique.</p><p>dim Im e uma base para Im .</p><p>Solução:</p><p>Seja ,definida por:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>121</p><p>Afirmação: não é injetora. De fato, o núcleo de é descrito por:</p><p>Portanto,</p><p>Segue-se daí que: não e injetora. Além disso, é uma base para Ker e</p><p>dimKer .</p><p>Agora, pelo teorema do núcleo e da imagem, temos:</p><p>e Im . Assim, Im e, portanto, é sobrejetora.</p><p>Vamos determinar os geradores para Im .</p><p>Daí, vem: Im . Como dim Im segue-se que ,</p><p>é uma base para Im ..</p><p>120. Determine que é uma transformação linear dada por: uma rotação anti-horária</p><p>de rad seguida de uma expansão de fator . Destaque .</p><p>Solução:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>122</p><p>Assim,</p><p>Desta forma, na forma matricial, é dada por:</p><p>Ou ainda,</p><p>121. Seja uma transformação linear, tal que: . Mostre que:</p><p>é inversível e que .</p><p>Prova:</p><p>Seja uma transformação linear, tal que: ..</p><p>Com efeito,</p><p>. Portanto,</p><p>122. Seja uma T.L. definida por: .</p><p>Determine seus autovalores e autovetores correspondentes.</p><p>Solução:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>123</p><p>Com efeito, a matriz de na base canônica é dada por: , então a equação</p><p>característica é descrita por:</p><p>ou são os autovalores. determinemos os autovetores corres pondentes.</p><p>1o Caso:</p><p>Logo, o autovetor é: ,com ,ou ainda,</p><p>Procedendo de forma análoga, temos:</p><p>2o Caso:</p><p>.Logo, o autovetor é: ,com ,dito</p><p>de outro modo temos:</p><p>123. Seja uma transformação linear, definida por:</p><p>Pede-se:</p><p>Ker e dim Ker ..</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>124</p><p>dim Im uma base para Im .</p><p>Solução:</p><p>Seja uma transformação linear dada por:</p><p>De fato, o núcleo de é descrito por:</p><p>Com efeito,</p><p>Portanto,</p><p>Segue-se daí que: não e injetora. Além disso, dimKer ..</p><p>Agora, pelo teorema do núcleo e da imagem, temos:</p><p>Vamos determinar os geradores para Im (T) :</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>125</p><p>Daí, vem: Im . Como dim Im ,segue-</p><p>se que é uma base para Im .</p><p>124. Determine que é uma transformação linear dada por: uma contração de fator</p><p>seguida de uma rotação anti-horária de rad .</p><p>Destaque [A] .</p><p>Solução:</p><p>Assim,</p><p>Desta forma, na forma matricial, é dada por:</p><p>Ou ainda,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>126</p><p>125. Sejam transformações lineares, tais que:</p><p>.Mostre que: Ker</p><p>Prova:</p><p>Seja ,então, e</p><p>Portanto,</p><p>126. Seja uma transformação linear definida por:</p><p>Determine seus autovalores e autovetores correspondentes.</p><p>Solução:</p><p>Com efeito, a matriz de na base canônica é dada por: ,então a equação</p><p>característica é descrita por:</p><p>ou são os autovalores. determinemos os autovetores corres pondentes.</p><p>1o Caso: :</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>127</p><p>Logo, o autovetor é: ,com ,ou ainda,</p><p>Procedendo de forma análoga, temos:</p><p>2o Caso:</p><p>Logo, o autovetor é: ,com ,</p><p>dito de outro modo temos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>128</p><p>ALFABETO GREGO:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>129</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>[1] De Morais Filho, Daniel Cordeiro, Convite à Matemática, Coleção Professor de Matemática, RJ, SBM</p><p>2012:</p><p>[2] Boldrini/ Costa/ Figueiredo/Wetzler. Álgebra Linear. Editora Harbra.3a ed. 1986:</p><p>[3] Callioli, Carlos A., Hygino H. dimingues, Roberto C. F. Costa. 6a ed. Atual editora. 1990</p><p>[4] De Morais Filho, Daniel Cordeiro, Manual de Redação Matemática, Coleção Professor</p><p>de</p><p>Matemática, RJ, 2a Edição, SBM 2018:</p><p>[5] Jänich, Klaus, Álgebra Linear. LTC. 1998:</p><p>[6] Lang, Serge. Álgebra Linear. Coleção Clássicos da Matemática. Rio de Janeiro. Editora Ciência</p><p>Moderna, 2003.</p><p>[7] Lipschutz, Seymour, Schaum´s solved problems series: 3000 solved problems in Linear Algebra.</p><p>McGran-Hill company, 1989:</p><p>[8] Oliveira, Augusto J. Franco de. Lógica e Aritmética, Editora UNB. 2004:</p><p>[9] https://www.rbhm.org.br/index.php/RBHM/article/view/147 capturado em 15 de dezembro de</p><p>2022 às 13h05min</p><p>[10] Ho¤man, K., Kunze, R. Álgebra Linear.2a ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos. 1979:</p><p>[11] (https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial capturado em 15 de dezembro de 2022 às</p><p>15h10min.</p><p>[12]Friedlander, Ana. Elementos de Programação Não-linear, Editora da Unicamp, 2016:</p><p>[13] Coelho, Flávio Ulhoa; Lourenço, Maria Lilian, Álgebra Linear Editora da Universidade de São Paulo,</p><p>2001</p><p>[14] Martinez, J. Mario, S. A. Santos. Métodos Computacionais de Otimização.20oColóquio Brasileiro</p><p>de Matemática, Rio de Janeiro, IMPA, Sociedade Brasileira de Matemática, 2000</p><p>[15] Anton, Howard. Rorres. Álgebra Linear com Aplicações 8 ed., Porto Alegre: Bokman,2001:</p><p>[16] Lima, Elon Lages. Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária IMPA. 3ª ed. 1998.</p><p>View publication stats</p><p>https://www.researchgate.net/publication/381224182</p><p>Às Nossas Mães, Aos Nossos Pais, Filhos, Esposas,</p><p>Todos os familiares e ao grande Mestre Olavo</p><p>Otávio Nunes</p><p>(In Memoriam)</p><p>Problemas Resolvidos De Álgebra Linear Pensando Um Pouco Mais</p><p>3</p><p>PREFÁCIO</p><p>Diversas vezes, os estudantes de álgebra linear conseguem resolver as questões iniciais dos livros</p><p>didáticos, entretanto se deparam com alguns exercícios mais elaborados, que não conseguem</p><p>solucionar. Isto ocorre desde os temas iniciais, como em temas mais aprofundados.</p><p>Tendo em vista que poucos materiais estão disponíveis para os estudantes nesta situação, foi escrito</p><p>este livro com o propósito de apresentar resoluções de problemas não triviais de Álgebra Linear.</p><p>Inicialmente, apresentamos a resolução de problemas em diversos níveis de compreensão; tentando</p><p>colocar um Letramento Matemático de Mentalidade Crescente, Criativa e Flexível em temas básicos</p><p>como matrizes, sistemas lineares até abordarmos temas não triviais como espaço vetorial,</p><p>subespaços, soma direta de subespaços, base e dimensão, transformações lineares, isomorfismos,</p><p>transformações do plano no plano, composições de transformações lineares, matrizes de</p><p>transformações lineares, autovalores e autovetores, dentre outros.</p><p>Vale a pena salientar que buscamos dentro do possível, resolver os problemas com todos os passos,</p><p>detalhando os procedimentos de cálculo. Em alguns casos, inclusive, fazendo comentários</p><p>matemáticos sobre o que está sendo realizado.</p><p>Assim, o texto foi desenvolvido para que o aluno possa estudar sozinho (ou em grupo), de forma</p><p>autônoma e com segurança, conferindo não apenas os resultados, mas todo o desenvolvimento lógico</p><p>operacional.</p><p>Escrever um texto desta natureza demanda tempo e nos causa um certo cuidado adicional pela</p><p>equipe, pois se teme cometer os erros que ensinamos evitar. Por este motivo, sugestões, correções,</p><p>comentários, antecipadamente agradecemos, devem ser enviados para um dos endereços:</p><p>cjs@poli.br</p><p>was@poli.br</p><p>galdino@poli.br</p><p>jornandesdias@poli.br</p><p>Recife, 8 de março de 2023</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>10.37423/2023.edcl696</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>1</p><p>"Durante toda a sua vida, estudará o Universo; mas, desprezará sua mais clara mensagem: para criaturas tão</p><p>pequenas como nós, a vastidão só é suportável através do amor."</p><p>Carl Edward Sagan ( 1934 - 1996 )</p><p>"O tempo é a tardança daquilo que se espera".</p><p>Ricardo Eliécer Neftalí Reyes Basoalto ( 1904 - 1973), mais conhecido pelo seu pseudônimo e, mais</p><p>tarde, nome legal, Pablo Neruda.</p><p>APLICAÇÕES EM MATEMÁTICA</p><p>O Matemático Babilônio que vai ao ministério da corte pedir financiamento para sua pesquisa, O</p><p>ministro fica meio cético porque esse matemático está estudando números primos; ele acha muito</p><p>teórico, que não serve para nada. O matemático tenta se justificar, daqui a 4.000 anos quando</p><p>inventarem a internet, a criptografia, o cartão de crédito, os números primos vai ser importantíssimo.</p><p>Pode levar 4.000 anos para acontecer à aplicação: quem cria matemática por estética, não se preocupa</p><p>se na próxima semana, próximo mês, se encontre aplicações, é assim que a Ciência Avança.</p><p>PROBLEMAS RESOLVIDOS DE ÁLGEBRA LINEAR PENSANDO UM POUCO MAIS</p><p>1. Escalone o sistema, dado por:</p><p>Notações:</p><p>são as equações</p><p>( Lê-se: equação 1 menos a equação 2 substituindo na equação 2).</p><p>( Lê-se: duas vezes a equação 1 menos a equação 3 substituindo na equação 3).</p><p>Solução:</p><p>Considerando as operações obtemos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>2</p><p>Portanto, o sistema está na forma escalonada</p><p>Agora, se desejamos determinar a solução, basta substituir .</p><p>De sorte que: é o conjunto solução do sistema dado.</p><p>2. Que condição deve impor-se a para que o sistema nas incógnitas tenha</p><p>solução</p><p>Notações:</p><p>são as equações</p><p>( Lê-se: duas vezes a equação 1 menos a equação 2 substituindo na equação 2).</p><p>( Lê-se: equação 1 menos a equação 3 substituindo na equação 3).</p><p>Solução:</p><p>Considerando as operações ,obtemos:</p><p>Desta forma, fazendo ,segue-se que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>3</p><p>Portanto, o sistema tem solução se, e somente se,</p><p>3. Escalone o sistema e discuta-o em função do parâmetro .</p><p>As variáveis são</p><p>são as equações</p><p>( Lê-se: três vezes a equação 1 menos a equação 2 substituindo na equação 2).</p><p>Lê-se: quatro vezes a equação 1 menos a equação 3 substituindo na equação 3)</p><p>(Lê-se: a equação 1 menos a equação 3 substituindo na equação 3)</p><p>Solução:</p><p>Considerando as operações tem-se:</p><p>Agora, fazendo obtemos:</p><p>Assim,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>4</p><p>Vale ressaltar que teremos três casos a analisar.</p><p>1o Caso: O sistema é impossível.</p><p>2o Caso: .Como para cada y teremos um valor de</p><p>.Neste caso, o sistema é compatível e indeterminado.</p><p>3o Caso: . Neste caso, o sistema é compatível e</p><p>determinado: solução única.</p><p>4. Escalone o sistema e discuta-o em função do parâmetro :</p><p>Solução:</p><p>Com efeito, fazendo a operação ,obtemos:</p><p>assim teremos dois casos a considerear .</p><p>1o Caso: Neste caso, o sistema é impossível. ( incompátivel )</p><p>2o Caso: . Desta forma, o sistema é compatível e indeterminado.</p><p>5. Calcule de modo que: ,onde:</p><p>Solução:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>5</p><p>Com efeito, temos:</p><p>Daí, vem:</p><p>(Posteriormente, estes serão chamados de autovalores ou valores característicos que estarão</p><p>associados aos seus respectivos autovetores ou vetores característicos que são as soluções não-nulas</p><p>dos sistemas homogêneos).</p><p>Observação:</p><p>Notação:</p><p>Produtório de , variando de</p><p>é chamada matriz triangular</p><p>superior. Neste caso,</p><p>dito de outra forma, o determinante da matriz triangular superior é igual ao produto dos elementos</p><p>da diagonal principal.</p><p>5. Use o resultado do item anterior, para obter as soluções não-nulas do sistema homogêneo</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>6</p><p>Para obter as soluções não-nulas do sistema homogêneo</p><p>que corresponde aos autovetores associados aos autovalores obtidos no item anterior, teremos três</p><p>casos a considerar, a saber:</p><p>1o Caso:</p><p>Logo, é um autovetor associado ao autovalor</p><p>, isto é, o espaço solução é dada por:</p><p>isto é, gera Significa que qualquer solução não-nula é múltiplo escalar do vetor .</p><p>2o Caso:</p><p>Logo, com é um autovetor associado ao autovalor , ou</p><p>ainda, a solução é dada por:</p><p>ou seja, gera. .</p><p>3o Caso:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>7</p><p>Logo, com um autovetor, ou ainda, a solução é dada</p><p>por:</p><p>ou seja,</p><p>6. Para que valores de o conjunto .</p><p>(Linearmente independente) ? e . ( Linearmente dependente )? Refazendo a questão de uma</p><p>outra forma: Dada a equação:</p><p>Determine , para que o sistema homogêneo só admita a solução trivial ( solução nula), assim</p><p>Caso contrário, será (teremos infinitas soluções )</p><p>Solução:</p><p>Com efeito,</p><p>Daí, obtemos:</p><p>Assim,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>8</p><p>1o Caso: . Neste caso, o sistema só admite solução trivial ou</p><p>nula. Logo,</p><p>2o Caso: , voltamos para equação anterior .Neste caso, o</p><p>sistema admite infinitas soluções. Logo,</p><p>3o Caso: voltando a equação . Analogamente, o sistema</p><p>admite infinitas soluções. Logo,</p><p>7. Seja para todo Dada a equação:</p><p>Prove que:</p><p>Prova:</p><p>Dada a equação</p><p>Multiplicando por ,obtemos:</p><p>Agora, derivando em relação a ,vem:</p><p>Assim, substituindo em ,segue-se que:</p><p>Ou ainda,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>9</p><p>De sorte que: é linearmente independente.</p><p>Observação:</p><p>Seja tem</p><p>derivadas contínuas.</p><p>Wronskiano é dado pela determinante da matriz, a saber:</p><p>Onde são as derivadas de 1a ordem das funções .</p><p>Fato:</p><p>( linearmente independente ).</p><p>nada se pode concluir.</p><p>Generalizando</p><p>Seja . O Wronskiano, é dado por:</p><p>Fato:</p><p>é ( Linearmente independente )</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>10</p><p>Ressaltamos que se ,nada se pode concluir, a título</p><p>8. Considere para todo ,tem-se: no entanto,</p><p>Solução:</p><p>De fato, por definição, sendo tem-se:: Agora, dada a equação:</p><p>1o Caso:</p><p>e, procedendo de forma análoga,</p><p>temos:</p><p>2o Caso:</p><p>Decorre dos casos (1) e (2) que:</p><p>Como o sistema só admite a solução trivial ( solução nula ) segue-se que:</p><p>9. Prove que é Linearmente independente, para todo Prova: Basta</p><p>mostrar que o wonskiano é não nulo para todo Vejamos</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>11</p><p>Logo, .</p><p>10. Prove que: é linearmente independente.</p><p>Prova:</p><p>PROBLEMAS RESOLVIDOS DE ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Por definição de wonskiano, temos:</p><p>Portanto, .</p><p>Observação:</p><p>Matriz de Vandermond ou das Potências:</p><p>Um exemplo para ilustrar é: o determinante desta matriz é descrito por:</p><p>11. Mostre que: é linearmente indenepdnete ,desde que .</p><p>Prova:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>12</p><p>Por definição de wonskiano, temos:</p><p>De sorte que: .</p><p>Observação:</p><p>Cada elemento da matriz produto é descrito por:</p><p>(B) O produto de matrizes generaliza o produto interno ou escalar, com efeito, escolhamos</p><p>12. Prove que:</p><p>Prova:</p><p>De fato,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>13</p><p>De sorte que:</p><p>13. Sejam .Mostre que:</p><p>Se é simétrica, então, é simétrica.</p><p>Se é anti-simétrica, então, é anti-simétrica.</p><p>Com efeito, simétrica, então, temos: Agora, seja falta mostrar que:</p><p>.</p><p>De fato,</p><p>Logo, é simétrica.</p><p>Se é anti-simétrica, então, ,é anti-simétrica.</p><p>Prova:</p><p>Com efeito, é anti-simétrica, então, temos: ..Agora, seja</p><p>..queremos mostrar que: .</p><p>De fato,</p><p>Logo, é anti-simétrica.</p><p>14. Seja a matriz al que todas as entradas são 1: Mostre que se então, temos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>14</p><p>Prova:</p><p>Com efeito, .Basta mostrar que:</p><p>Defato,</p><p>Portanto,</p><p>15. Sejam .Se forem invertíveis, então, mostre que</p><p>Fatos que ajudam:</p><p>Prova:</p><p>Basta notar que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>15</p><p>Observação:</p><p>Dizemos que uma matriz é ortogonal, quando:</p><p>é uma matriz ortogonal, isto é,</p><p>16. Seja .Então, verifique se: é ortogonal.</p><p>Solução:</p><p>Queremos mostrar que é uma matriz ortogonal, isto é, . Com</p><p>efeito,</p><p>Segue-se daí que:</p><p>Portanto,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>16</p><p>Ou ainda, é ortogonal.</p><p>17. Seja , tal que: é ortogonal. Então, prove que:</p><p>, para qualquer conclua daí que: .</p><p>é ortogonal, isto é,</p><p>Solução:</p><p>Considere a base canônica de</p><p>. Assim, temos:</p><p>.</p><p>Desta forma, a matriz de coordenadas do vetor u na base canônica é dada por:</p><p>Daí, vem:</p><p>.</p><p>Logo,</p><p>.</p><p>Decorre do delineado acima que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>17</p><p>.</p><p>De sorte que:</p><p>18. Seja .Ache uma matriz invertível , tal que:</p><p>.</p><p>Solução:</p><p>Seja .Como segue-se daí que:</p><p>.</p><p>Agora, substituindo obtemos:</p><p>Daí, vem:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>18</p><p>Logo, a matriz de forma geral com e não-nulos é dada por:</p><p>Em particular, para obter uma matriz invertível , basta escolher valores para e , por exemplo,</p><p>, obtemos:</p><p>19. Seja ,tal que: .Então, calcule: .</p><p>Dado ,tal que: . Obter</p><p>Solução:</p><p>Seja ,tal que: . . Então, temos:</p><p>Como segue-se daí que:</p><p>De sorte que:</p><p>e também</p><p>Lembrando da definição:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>19</p><p>Dado ,tal que: Então, tem-se:</p><p>Portanto,</p><p>20. Seja ,então, prove que:</p><p>é simétrica;</p><p>é anti-simétrica;</p><p>Conclua daí que ,onde é o espaço das matrizes simétricas e o espaço</p><p>das matrizes anti-simétricas;</p><p>.</p><p>Prova:</p><p>Queremos mostrar que:</p><p>De fato,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>20</p><p>Logo, é simétrica.</p><p>Procedendo de forma análoga, temos:</p><p>De sorte que: é anti-simétrica.</p><p>Prova:</p><p>, tem-se:</p><p>Como ,segue-se daí que:</p><p>Prova:</p><p>Com efeito, seja então, temos: ..</p><p>Ora,</p><p>Portanto, .</p><p>Posteriormente voltaremos ao tema ( soma direta de subespaços ), quando isto ocorre:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>21</p><p>Diremos que a soma é direta, denotaremos por:</p><p>Toda matriz se decompõe como soma de simétrica e anti- simetrica</p><p>ou seja, , onde:</p><p>Portanto,</p><p>21. Seja .Então, verifique se:</p><p>Prova:</p><p>Basta multiplicar as matrizes e usar as identidades trigonométricas para se obter:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>22</p><p>Com efeito, fazendo ,no item anterior, obtemos:</p><p>Portanto,</p><p>De fato,</p><p>De sorte que:</p><p>Basta notar que: no item ,tomando-se , vem:</p><p>22. Seja ,então, prove que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>23</p><p>é par;</p><p>é ímpar;</p><p>Conclua daí que onde é o subespaço das funções pares e o</p><p>suespaço das funções ímpares;</p><p>A soma é direta, ou seja,</p><p>Prova:</p><p>Queremos mostrar que:</p><p>De fato,</p><p>Logo, é uma função par.</p><p>Procedendo de forma análoga, temos:</p><p>De sorte que: é uma função ímpar.</p><p>Prova:</p><p>,tem-se:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>24</p><p>Como ,segue-se daí que:</p><p>Prova:</p><p>Com efeito, seja ,então, temos: .</p><p>Ora,</p><p>Portanto,</p><p>Posteriormente voltaremos ao tema ( soma direta de subespaços ), quando:</p><p>Diremos que a soma é direta, denotaremos por:</p><p>23. Uma matriz é idempotente se</p><p>Mostre que: Se é idempontente, então, ou ou não é invertível.</p><p>Mostre que: Se ,então, são idempotentes..</p><p>Prova:</p><p>Com efeito, é idempontente, então por definição temos:</p><p>Agora, se admitirmos invertível, obtemos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>25</p><p>Caso contrário, é não invertível.</p><p>Logo, é idempotente.</p><p>Analogamente, temos:</p><p>Portanto, é idempotente.</p><p>24. Seja nilpotente de índice .Prove que não é invertível.</p><p>Prova:</p><p>Antes de passar a demonstrarmos, revisitemos o método de redução ao absurdo: Queremos mostrar</p><p>que:</p><p>O método consiste em negar a tese e manter a hipótese: chegando assim, a uma contradição.A</p><p>contradição ( ou absurdo!) foi gerada pelo fator de negar a tese. Logo, a tese é verdadeira. Em</p><p>linguagem simbólica, temos:</p><p>Contradição, logo, é verdadeiro. Agora, deixemos de prosopopéia e</p><p>passemos a prova:</p><p>Se nilpotente de índice ..Por definição, temos: ,, com . .</p><p>Assim,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>26</p><p>Absurdo! Visto que admitimos invertível.</p><p>Portanto, é não invertível.</p><p>25. Provar por indução finita sobre que: e . Daí, segue-se que:</p><p>,vamos mostrar!</p><p>Prova:</p><p>De fato,</p><p>Para ,tem-se:</p><p>.</p><p>Suponha válido para , , isto é, , então, queremos mostrar para</p><p>Vejamos</p><p>26. Se , tal que: é simétrica. Então, mostre que:</p><p>é simétrica.</p><p>Prova:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>27</p><p>Se ,tal que: é simétrica, então, por definição, tem-se:</p><p>.</p><p>Qeremos provar que:</p><p>Inicialmente, pela questão anterior temos: e</p><p>. Daí, segue-se que:</p><p>De fato,</p><p>Para , tem-se:</p><p>.</p><p>Suponha válido para , isto é, ,então, queremos mostrar para</p><p>.</p><p>Vejamos</p><p>Consequentemente, obtemos:</p><p>Dito de outro modo, é uma matriz simétrica.</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>28</p><p>27. Mostre que: .</p><p>Prova:</p><p>De fato,</p><p>De sorte que:</p><p>.</p><p>28. Mostre que:</p><p>.</p><p>Generalizado!</p><p>Prova:</p><p>( Prove usando indução finita sobre n)</p><p>E fácil ver que:</p><p>Para temos:</p><p>.</p><p>( Caso anterior)</p><p>Suponha válido para n, ou seja,</p><p>( Hipótese de indução )</p><p>Então, falta mostrar para .</p><p>Basta notar que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>29</p><p>Logo,</p><p>29. Mostre que se é qualquer vetor-coluna não-nulo de , então a matriz dada</p><p>por:</p><p>é ortogonal e também simétrica.</p><p>Definição: Dizemos que uma matriz é ortogonal, quando:</p><p>.</p><p>Queremos provar que:</p><p>uma matriz simétrica, isto é, .</p><p>é uma matriz ortogonal, isto é, .</p><p>Prova:</p><p>Com efeito,</p><p>.</p><p>e</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>30</p><p>.</p><p>Logo, é uma matriz simétrica.</p><p>A priori, como tem-se:</p><p>De sorte que: é uma matriz ortogonal</p><p>30. Sejam números reais positivos. Prove que:</p><p>Generalize.</p><p>Sejam ( corpo ordenado completo ); com ,para todo . Mostre</p><p>que:</p><p>Prova:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>31</p><p>Não faremos o caso particular ( Fica como exercício!)</p><p>Sejam ,com para todo ,então, façamos por simplicidade</p><p>Além disso, veja que resultados lindos e elegantes, usando a norma euclidiana e o produto interno</p><p>usual, temos:</p><p>Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos o belíssimo resultado:</p><p>e, portanto, elevando-se ao quadrado, ambos os membos da desigualdade, vem:</p><p>31.Esboce os gráfico de e</p><p>onde: . .</p><p>Observação: Algumas normas:</p><p>( norma euclidiana ),</p><p>( norma da soma ) e ( norma do máximo ou</p><p>supremo)</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>32</p><p>32: Calcule , de modo que: ,onde:</p><p>Use o resultado do item anterior, para obter as soluções não-nulas do sistema homogêneo</p><p>Solução:</p><p>Com efeito, temos:</p><p>Daí, vem:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>33</p><p>( Posteriormente, estes serão chamados de autovalores ou valores característicos que estarão</p><p>associados aos seus respectivos autovetores ou vetores característicos que são as soluções não-nulas</p><p>dos sistemas homogêneos).</p><p>Observação:</p><p>Notação:</p><p>Produtório de , variando de</p><p>tal que: é chamada matriz triangular superior.</p><p>Neste caso,</p><p>dito de outra forma, o determinante da matriz triangular superior é igual ao produto dos elementos</p><p>da diagonal principal.</p><p>Para obter as soluções não-nulas do sistema homogêneo</p><p>que corresponde aos autovetores associados aos autovalores obtidos no item anterior, teremos três</p><p>casos a considerar, a saber:</p><p>1o Caso:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>34</p><p>Logo, ,com é um autovetor associado ao autovalor ,</p><p>é dada por:</p><p>,</p><p>isto é, gera .Significa que qualquer solução não-nula é múltiplo escalar do vetor .</p><p>2o Caso:</p><p>Logo, ,com é um autovetor associado ao autovalor ,ou</p><p>ainda, a solução é dada por:</p><p>ou seja, (0; 1; 0) gera .</p><p>3o Caso:</p><p>Logo, ,com é um autovetor, ou ainda, a solução é</p><p>dada por:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>35</p><p>ou seja, gera .</p><p>33. Não existem matrizes ,tais que:</p><p>Prova:</p><p>Suponha válido, então, usando o traço da matriz identidade, vem: .</p><p>Por outro lado, tem-se:</p><p>Assim,</p><p>Absurdo! Visto que</p><p>Portanto, tais matrizes não existem satisfazendo</p><p>34. Seja uma matriz invertível ,prove que:</p><p>Prova:</p><p>Com efeito,</p><p>então,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>36</p><p>( É fácil ver por indução finita sobre ),segue-se que:</p><p>comuta com com .</p><p>Prova:</p><p>,então, derivando ambos os lados, temos:</p><p>Agora, derivando novamente e fazendo ,obtemos:</p><p>Logo,</p><p>.então, é fácil ver que:</p><p>satisfaz ao problema de valor inicial</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>37</p><p>(Verifique!). Então, pela unicidade da solução temos:</p><p>De sorte que:</p><p>Observação:</p><p>Se é nilpotente de indice temos: com . .</p><p>Todos estes fatos básicos serão de fundamental importância para a Forma</p><p>Canônica de Jordan.</p><p>35.</p><p>Seja álgebra das matrizes quadradas sobre um corpo ordenado completo K e seja P uma matriz</p><p>invertível em .Mostre que a transformação ,onde é um</p><p>isomorfismo de álgebra em si mesma.</p><p>Antes porém um esclarecimento: Podemos considerar o corpo ordenado completo ( Corpo</p><p>ordenado completo dos números reais ):</p><p>Prova:</p><p>Seja definida por ,vamos determinar o núcleo de a saber:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>38</p><p>Vejamos</p><p>Portanto,</p><p>é injetora.</p><p>Agora, mostrar que é sobrejetora. por definição, temos:</p><p>Cálculos Auxiliares:</p><p>Assim.</p><p>Dito de outro modo, ou seja, é sobrejetora.</p><p>Logo, é bijetora e finalmente, mostremos que:</p><p>tem-se:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>39</p><p>temos:</p><p>De sorte que: é um isomorfimos.</p><p>36. Prove que:</p><p>Demonstração:</p><p>Com efeito,</p><p>então, temos:</p><p>É fácil ver que:</p><p>e, portanto,</p><p>Ou ainda,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>40</p><p>1a Parte:</p><p>e suponha ,então, temos: e</p><p>2a Parte: O espaço vetorial é normado; assim, podemos usar a definir da noma euclidiana</p><p>e suponha ,então, teremos:</p><p>De sorte que:</p><p>37. Mostre que: é um subespaço:</p><p>Prova:</p><p>,( a segunda coordenada é o dobro da primeira ).</p><p>Assim,</p><p>Logo,</p><p>( A</p><p>segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira ).</p><p>Daí, vem:</p><p>De sorte que: é um subespaço vetorial</p><p>38. Prove que: não é um subespaço.</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>41</p><p>Prova:</p><p>Contra-exemplo:</p><p>Sejam Então, temos: .Daí, obtemos:</p><p>Portanto, não é um subespaço.</p><p>39. Prove que: é um subespaço.</p><p>Prova:</p><p>A priori, vamos reescrever as matrizes de desta forma, temos:</p><p>( os elementos de são matrizes diagonais de ordem 2 com entradas reais )</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>42</p><p>Visto que, ( todos os elementos são nulos )</p><p>,com .Assim, tem-se:</p><p>Por conseguinte, vem: .</p><p>,temnos:</p><p>Logo, é subespaço.</p><p>40. Mostre que: é um subespaço.</p><p>Prova:</p><p>Inicialmente, ( diz que descreve todas as matrizes simétricas de ordem</p><p>com entradas reais )</p><p>Visto que, ..( todos os elementos são nulos )</p><p>,tem-se por hipóteses: ,</p><p>Por conseguinte, vem:</p><p>, temnos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>43</p><p>Daí, obtemos: .</p><p>Portanto, é subespaço.</p><p>41. Prove que: é um subespaço.</p><p>Prova:</p><p>Vejamos, ( Nos diz que descreve todos os polinômios de grau no máximo</p><p>m 1 e termo independente nulo )</p><p>Visto que, ( polinômio identicamente nulo )</p><p>,tem-se por hipóteses: ,</p><p>Por conseguinte, vem: .</p><p>,temnos:</p><p>Daí, obtemos: .</p><p>Portanto, é subespaço.</p><p>42. Prove que: é um subespaço.</p><p>Prova:</p><p>Inicialmente, ( diz que descreve a soma da derivada de</p><p>primeira ordem com a função e nula )</p><p>Visto que, .</p><p>,tem-se por hipóteses:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>44</p><p>Por conseguinte, vem: .</p><p>,temnos:</p><p>Daí, obtemos: .</p><p>Portanto, é subespaço.</p><p>43. Seja (racionais)g, mostre que: não é um subespaço.</p><p>Prova:</p><p>1o Modo:</p><p>Pois, (racionais) ( As duas coordenadas são nulas obviamente números</p><p>racionais )</p><p>,onde: ,tem-se: .Assim,</p><p>Logo, .Visto que .</p><p>primeira coordenada não necessarimante continua racional ).</p><p>De sorte que: não é subespaço vetorial</p><p>2o Modo:</p><p>Usaremos um contra-exemplo: Escolha .Daí, obtemos:</p><p>Portanto, não é um subespaço.</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>45</p><p>44. Prove que: é um subespaço.</p><p>Prova:</p><p>A priori, vamos reescrever as matrizes de . desta forma, temos:</p><p>( os elementos de são matrizes triangulares superiores de ordem 2 )</p><p>Visto que, ( todos os elementos são nulos )</p><p>com .Assim, tem-se:</p><p>Por conseguinte, vem:</p><p>,temnos:</p><p>Logo, é subespaço.</p><p>45. Seja ,então, prove que: não é um subespaço.</p><p>Prova:</p><p>1o Modo:</p><p>Um vetor</p><p>( ,desde que: a segunda coordenada do vetor corresponda ao módulo a primeira coordenada.)</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>46</p><p>Pois, .</p><p>,onde: ,tem-se:</p><p>Visto que: ( Desigualdade triangular ).</p><p>Logo, não é subespaço vetorial</p><p>2o Modo:</p><p>Prova usando contra-exemplo:</p><p>Sejam, ,então, temo-se:</p><p>Pois, a segunda coordenada não é igual ao módulo a primeira coordenada.</p><p>Portanto, não é um subespaço.</p><p>46. Mostree que :</p><p>é um subespaço</p><p>Prova:</p><p>Alguns comentários e definições, antes de resolver:</p><p>Quem são os elementos do espaço vetorial</p><p>;onde: é contínua no aberto e, portanto, .. Neste</p><p>caso, são as funções que cumpre a condição da equação diferencial ordinária de 2a ordem com</p><p>coeficientes constantes.</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>47</p><p>Pois, .</p><p>, tem-se por hipóteses:</p><p>Agora,</p><p>Por conseguinte, vem: .</p><p>,temos:</p><p>Daí, obtemos: .</p><p>De sorte que: é subespaço.</p><p>47. Seja .Prove que: é um subespaço se, e somente se,</p><p>.</p><p>Prova:</p><p>1a Parte:</p><p>Suponhamos que é um subespaço, então, em particular, o vetor nulo</p><p>. Logo, .</p><p>2a Parte: é um subespaço.</p><p>De fato,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>48</p><p>Pois, .</p><p>,onde: ,tem-se:</p><p>.</p><p>Logo, .</p><p>.Daí,vem: .</p><p>De sorte que: é um subespaço vetorial</p><p>48. Seja .Prove que: é um subespaço.</p><p>Prova:</p><p>Pois, em particular,</p><p>( A exigência é que os elementos da diagonal sacundária sejam iguais )</p><p>,com ,tem-se:</p><p>,temos:</p><p>Logo, é um subespaço de .</p><p>49. Seja com fixa. Prove que: é um</p><p>subespaço.</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>49</p><p>Prova:</p><p>1o modo:</p><p>De fato, . .</p><p>,por hipóteses, temos: . . Daí, obtemos:</p><p>,temos:</p><p>2o modo:</p><p>De fato, ,por hipóteses, temos: Assim,</p><p>Logo, é um subespaço.</p><p>50. Seja Prove que: é um subespaço.</p><p>Prova:</p><p>Visto que:</p><p>pertencentes a ,temos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>50</p><p>tem-se:</p><p>De sorte que: é um subespaço.</p><p>51. Sejam</p><p>subconjuntos de .Prove que:</p><p>são subespaços . Daí, concluímos que:</p><p>a soma é direta, ou seja,</p><p>Prova:</p><p>Pois,</p><p>onde: Daí obtemos:</p><p>Logo, é um subespaço.</p><p>Procedendo de forma inteiramente análoga, temos:</p><p>.Por conseguinte, vem:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>51</p><p>Logo, é um subespaço.</p><p>Basta observar que: ,tem-se:</p><p>Agora, como segue-se que:</p><p>Além disso, seja ,então,</p><p>Ora,</p><p>Logo,</p><p>Dito de outro modo, é soma direta dos subespaços ,isto é,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>52</p><p>52. Sejam subespaços vetoriais de . . Prove que: também é um</p><p>subespaço de</p><p>Prova:</p><p>O vetor nulo Visto que, são subespaços.</p><p>por definição de intersecção, tem-se:</p><p>Como por hipóteses são subespaços, segue-se que:</p><p>Logo,</p><p>Por conseguinte, vem:</p><p>,por definição de intersecção, tem-se:</p><p>Agora,por hipóteses são subespaços. Daí,vem:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>53</p><p>Portanto, é subespaço.</p><p>53. Sejam subespaços vetoriais de .Dê um contra-exemplo para provar que:</p><p>não necessariamente é um subespaço de .</p><p>Prova:</p><p>Vamos mostrar apresentando quatro contra-exemplos, a saber:</p><p>54. Vejamos um contra-exemplo, escolhamos</p><p>Sejam ,então, tem-se:</p><p>Logo, não é um subespaço.</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>54</p><p>55. Sejam subespaços vetoriais, dados por:</p><p>Sejam com ,então temos:</p><p>Portanto, não é um subespaço.</p><p>56. Ilustrativamente, escolhamos os seguintes subespaços, definidos por:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>55</p><p>Sejam com ,então, temos:</p><p>Logo, não é um subespaço.</p><p>57. Seja funções definidas no intervalo escolha os subespaços</p><p>Consideremos com ,então, temos:</p><p>Daí, concluímos, não é um subespaço.</p><p>58. Sejam</p><p>Prove que:</p><p>são subespaços.</p><p>Daí, concluímos que: a soma é direta, ou seja,</p><p>Prova:</p><p>é um subespaço de</p><p>De fato,</p><p>Pois,</p><p>tem-se:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>56</p><p>tem-se:.</p><p>Logo, .é um subespaço.</p><p>Procedendo de forma análoga, obtemos:</p><p>é um subespaço de</p><p>tem-se:</p><p>tem-se:</p><p>De sorte que: é um subespaço.</p><p>Notações:</p><p>dizemos que é soma direta</p><p>:Espaço das matrizes de ordem com entradas reais.</p><p>:Subespaço das matrizes simétricas.</p><p>:Subespaço das matrizes anti-simétricas.</p><p>Note que: (matriz simétrica ) e ( matriz anti-simétrica ).</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>57</p><p>Observe que:</p><p>Logo,</p><p>Seja ,então, temos:</p><p>Ora,</p><p>Portanto,</p><p>Decorre de (1) e (2) que: a soma é direta</p><p>59. Dados</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>58</p><p>onde: funçõesg é o espaço de todas as funções definidas</p><p>no intervalo fechado .Prove que:</p><p>são subespaços.</p><p>Prova:</p><p>1a Parte:</p><p>Pois,</p><p>tem-se:</p><p>tem-se:</p><p>Portanto, é um subespaço.</p><p>2a Parte:</p><p>Procedendo de forma inteiramente análoga, temos:</p><p>tem-se:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>59</p><p>tem-se:</p><p>Portanto, é um subespaço.</p><p>tem-se:</p><p>Como segu-se que:</p><p>Seja então, temos:</p><p>Vejamos,</p><p>Portanto,</p><p>Agora, como</p><p>Daí, segue-se que: a soma é direta:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>60</p><p>60. Seja .Pede-se:</p><p>(A) Provar que: é um subespaço.</p><p>(B) Obter um conjunto gerador para .</p><p>(C) Uma base para e dim .</p><p>Prova:</p><p>Visto que: .</p><p>,tem-se:</p><p>Portanto, é um subespaço.</p><p>Assim,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>61</p><p>e, portanto,</p><p>(C) Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Logo, é L.I. Por conseguinte, vem: é uma base para e dim .</p><p>Observação:</p><p>é uma base para .</p><p>61. Seja um subespaço. Pede-se:</p><p>(A) Obter um conjunto gerador para .</p><p>(B) Uma base para e dim .</p><p>Solução:</p><p>Assim,</p><p>Portanto,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>62</p><p>Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Logo, é L.I. Consequentemenete, vem: é uma base para e dim</p><p>62. Seja um subespaço. Pede-se:</p><p>(A) Obter um conjunto gerador para .</p><p>(B) Uma base para e dim .</p><p>Solução:</p><p>Assim,</p><p>Portanto,</p><p>Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Logo, é L.I. Por conseguinte, vem: uma base para e dim .</p><p>63. Seja um subespaço. Pede-se:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>63</p><p>(A) Obter um conjunto gerador para .</p><p>(B) Uma base para e dim ..</p><p>Solução:</p><p>Assim,</p><p>Portanto,</p><p>Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Logo, é L.I. Consequentemenete, vem: é uma base para e dim</p><p>64. Seja um subespaço. Obter uma base para . Qual</p><p>a dim ?</p><p>Solução:</p><p>Basta notar que: ,tem-se: .Assim,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>64</p><p>Logo,</p><p>Agora, mostremos que é um conjunto L.I.</p><p>De fato, dada a equação</p><p>Produzir o seguinte resultado</p><p>Portanto, é um conjunto L.I.</p><p>Por conseguinte, obtemos: é uma base para e</p><p>dim</p><p>65. Se Qual a dim ?</p><p>Solução:</p><p>A dimensão generalizada para o subespaços das matrizes simétricas , é dada por:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>65</p><p>Note que:</p><p>66. Se .Qual a dim ?</p><p>Solução:</p><p>Basta observar que: O espaço de todas as matrizes quadradas é soma direta dos subespaços</p><p>das matrizes simétricas e anti-simétricas, ou seja,</p><p>Consequentemente, vem:</p><p>67. Sejam espaço vetorial euclidiano, sabendo-se que: e</p><p>Calcule:</p><p>Solução:</p><p>Com efeito,</p><p>Logo,</p><p>68. Seja ( espaço vetorial euclidiano ), prove que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>66</p><p>Prova:</p><p>De fato,</p><p>visto que:</p><p>69. Seja ( espaço vetorial euclidiano ), prove que:</p><p>(Identidade do paralelogramo ).</p><p>Prova:</p><p>Com efeito, tem-se:</p><p>de forma inteiramente anãloga, temos:</p><p>Agora, de (1) e (2) segue-se que:</p><p>70. Seja ( espaço vetorial euclidiano ), prove que:</p><p>Prova:</p><p>De fato,</p><p>Logo,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>67</p><p>71. Sejam espaço vetorial euclidiano ). Determine o cosseno do ângulo entre e ,sabendo-</p><p>se que:</p><p>Solução:</p><p>Por definição temos:</p><p>Além disso,</p><p>Assim,</p><p>e, como segu-se que:</p><p>Observação: Desigualdade de Cauchy-Schwarz</p><p>( No problema 114 faremos uma prova mais rigorosa desta desigualdade ) Com efeito, para</p><p>temos::</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>68</p><p>Agora, como segue-se que:</p><p>( Desigualdade de Cauchy-Schwarz )</p><p>72. Seja ,então, prove que:</p><p>Prova:</p><p>Seja ,então temos:</p><p>Além disso, escolha ,então, daí, obtemos:</p><p>ou ainda,</p><p>e, portanto,</p><p>com</p><p>73. Sejam ( espaço vetorial normado ). Mostre que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>69</p><p>Prova:</p><p>1a Parte:</p><p>e suponha ,então, temos: e</p><p>2a Parte:</p><p>O espaço vetorial é normado; assim, podemos usar a definir da noma euclidiana e</p><p>suponha , então, ,teremos:</p><p>De sorte que:</p><p>74. Sejam números reais positivos. Prove que:</p><p>Generalize.</p><p>Sejam ( corpo ordenado completo ); com ,para todo</p><p>Mostre que:</p><p>Prova:</p><p>Não faremos o caso particular ( Fica como exercício!)</p><p>Sejam ,com ,para todo então, façamos por simplicidade</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>70</p><p>Além disso, veja que resultados lindos e elegantes, usando a norma euclidiana e o produto interno</p><p>usual, temos:</p><p>Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos o belíssimo resultado:</p><p>e, portanto, elevando-se ao quadrado, ambos os membos da desigualdade, vem:</p><p>75. Sejam números reais positivos. Prove que:</p><p>Generalize.</p><p>Sejam ( corpo ordenado completo ); com para todo Mostre</p><p>que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>71</p><p>Prova:</p><p>À luz dadas desigualdades entre as médias geométricas e aritméticas, temos:</p><p>e de forma análoga, vem:</p><p>Agora, multiplicando membro a membro (1) e (2) e destacando que</p><p>obtemos:</p><p>76. Seja ,mostre que:</p><p>onde: ( norma da soma ) e ( norma euclidiana ).</p><p>Prova:</p><p>Com efeito,</p><p>Por outro lado, temos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>72</p><p>Agora, de (1) e (2) ; obtemos:</p><p>77. Dê um contra-exemplo para mostrar que as normas da soma e do máximo não satisfazem a</p><p>identidade do paralelogramo.</p><p>Solução:</p><p>A Identidade do pararelogramo, é dada por:</p><p>Sejam e ( norma da soma )</p><p>Sejam ,então, temos:</p><p>Assim,</p><p>Daí, segue-se que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>73</p><p>Portanto,</p><p>Sejam (norma do máximo ou supremo)</p><p>Consideremos, ,então, tem-se:</p><p>Assim, vem:</p><p>Logo,</p><p>De sorte que: Portanto,</p><p>78. Seja ,tal que: é ortogonal. Então, prove que:</p><p>,para qualquer ,conclua daí que: . .</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>74</p><p>( é ortogonal, quando: )</p><p>Prova:</p><p>Considere a base canônica</p><p>.Assim, temos:</p><p>Desta forma, a matriz de coordenadas do vetor na base canônica é dada por:</p><p>Daí, vem:</p><p>Logo,</p><p>Decorre do delineado acima que:</p><p>De sorte que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>75</p><p>79. .Obter uma base para e dim ..</p><p>Solução:</p><p>Assim,</p><p>Portanto,</p><p>Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Logo, é L.I. Consequentemenete, vem: é uma base para e dim</p><p>.</p><p>80. Seja um subespaço. Obter uma base para e</p><p>dim ..</p><p>Solução:</p><p>Assim,</p><p>Portanto,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>76</p><p>(B) Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Logo, L.I. Por conseguinte, vem: é uma base para e dim ..</p><p>81. Seja um subespaço. Obter uma base para e dim</p><p>.</p><p>Solução:</p><p>Observe que:</p><p>Assim,</p><p>e, portanto,</p><p>Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>77</p><p>Logo, é L.I. Por conseguinte, vem: é uma base para e dim ..</p><p>82. Considere um subespaço. Obter uma</p><p>base para e dim .</p><p>Solução:</p><p>Observe que:</p><p>Assim,</p><p>e, portanto,</p><p>(C) Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Logo, é L.I. Por conseguinte, vem: é uma base para e dim .</p><p>83. Determine os subespaços gerados por:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>78</p><p>Solução:</p><p>Queremos determinar o subespaço</p><p>Vejamos</p><p>Assim, fazendo ,obtemos:</p><p>Portanto, o subespaço será descrito por:</p><p>84. Determine os subespaços gerados por:</p><p>Solução:</p><p>Queremos determinar o subespaço</p><p>Agora, fazendo algumas operações e da igualdade de polinômios,obtemos:</p><p>De sorte que: o subespaço desejado é delineado por:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>79</p><p>85. Seja .Pede-se:</p><p>(A) Provar que: é um subespaço.</p><p>(B) Obter um conjunto gerador para .</p><p>(C) Uma base para e dim .</p><p>Prova:</p><p>Portanto, é um subespaço.</p><p>Assim,</p><p>e, portanto,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>80</p><p>(C) Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Logo, é L.I. Por conseguinte, vem: é uma base para e dim ..</p><p>86. Seja um subespaço. Pede-se:</p><p>(A) Obter um conjunto gerador para .</p><p>(B) Uma base para e dim ..</p><p>Solução:</p><p>Assim,</p><p>Portanto,</p><p>Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>81</p><p>Logo, é L.I. Consequentemenete, vem: é uma base para e dim</p><p>.</p><p>87. Seja um subespaço. Pede-se:</p><p>(A) Obter um conjunto gerador para .</p><p>(B) Uma base para e dim .</p><p>Solução:</p><p>Assim,</p><p>Portanto,</p><p>Afirmação: é linearmente independente L.I..</p><p>De fato, dada a equação:</p><p>Logo, é L.I. Por conseguinte, vem: é uma base para e dim ..</p><p>88. Seja uma matriz invertível ,,prove que:</p><p>Prova:</p><p>Com efeito,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>82</p><p>então,</p><p>Daí, não esquecendo que a série converge uniformemente e</p><p>( É fácil ver por indução finita sobre ), segue-se que:</p><p>comuta com B; com</p><p>.</p><p>Prova:</p><p>,então, derivando ambos os lados, temos:</p><p>Agora, derivando novamente e fazendo ,obtemos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>83</p><p>Logo,</p><p>,então, é fácil ver que:</p><p>satisfaz ao problema de valor inicial</p><p>(Verifique!). Então, pela unicidade da solução temos:</p><p>De sorte que:</p><p>89. Seja uma transformação linear dada por:</p><p>Pede-se:</p><p>e dim ;</p><p>Uma base para a Im é sobrejetora? Justifique.</p><p>Solução:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>84</p><p>Seja uma transformação linear dada por:</p><p>Afirmação: não é injetora. De fato, o núcleo de é descrito por:</p><p>Com efeito,</p><p>. Portanto,</p><p>Segue-se daí que: não e injetora. Além disso, dim .</p><p>Agora, pelo teorema do núcleo e da imagem, temos:</p><p>Assim, e, portanto,</p><p>é não é sobrejetora.</p><p>Vamos determinar os geradores para :</p><p>Daí, vem: Como</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>85</p><p>dim , , segue-se que uma base para ..</p><p>90. Considere uma transformação linear se dim dim ..</p><p>Prove que existe um vetor não nulo tal que ( vetor nulo de ).</p><p>Prova:</p><p>Suponha que ,então, dim .</p><p>Agora, pelo Teorema do núcleo e da imagem, temos:</p><p>Absurdo! Pois, supomos .</p><p>De sorte que: existe .</p><p>91. Seja uma transformação linear satisfazendo a seguinte propriedade: Se</p><p>é uma base de então,</p><p>é L.I. em . Prove que: é injetora.( por definição ).</p><p>L.I. =linearmente independente</p><p>Prova:</p><p>Queremos mostrar que: é injetora, isto é,</p><p>Com efeito, é uma base de ,então, existem</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>86</p><p>Além disso,</p><p>Daí, substituindo (1) em (2), obtemos:</p><p>Como são linearmente independentes, segue-se que:</p><p>Logo, é injetora.</p><p>92. Seja uma transformação linear, definida por:</p><p>Pede-se:</p><p>Ker e dim Ker</p><p>dim Im e uma base para Im .</p><p>Solução:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>87</p><p>Seja uma transformação linear dada por:</p><p>De fato, o núcleo de é descrito por:</p><p>Com efeito,</p><p>. Portanto,</p><p>Segue-se daí que: não e injetora. Além disso, dimKer</p><p>Agora, pelo teorema do núcleo e da imagem, temos:</p><p>Vamos determinar os geradores para :</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>88</p><p>Daí, vem: .Como dim</p><p>segue-se que é uma base para .</p><p>93. Determine que é uma transformação linear dada por: uma contração de fator</p><p>seguida de uma rotação anti-horária de rad :</p><p>Destaque .</p><p>Com efeito,</p><p>Assim,</p><p>Desta forma, na forma matricial, é dada por:</p><p>Ou ainda,</p><p>91. Sejam transformações lineares, tais que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>89</p><p>. Mostre que:</p><p>Prova:</p><p>Seja ,então, e</p><p>Portanto,</p><p>94. Seja uma transformação linear definida por:</p><p>Determine seus autovalores e autovetores correspondentes.</p><p>Solução:</p><p>Com efeito, a matriz de na base canônica é dada por:</p><p>,então a equação característica é descrita por:</p><p>ou são os autovalores. determinemos os autovetores corres pondentes.</p><p>1o Caso: :</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>90</p><p>Logo, o autovetor é: ,com ou ainda,</p><p>Procedendo de forma análoga, temos:</p><p>2o Caso:</p><p>Logo, o autovetor é: ,com , dito</p><p>de outro modo temos:</p><p>95. Seja uma transformação linear definida por:</p><p>Prove que não é injetora e obtenha dim Ker .</p><p>Interprete geometricamente Ker .</p><p>Mostre que .Conclua daí que é sobrejetora.</p><p>Prova:</p><p>Seja ,então, temos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>91</p><p>Agora, vamos determinar o núcleo de :</p><p>Assim, ,e portanto,</p><p>Desta forma, obtemos: não é injetora.</p><p>Interprete geometricamente Ker ..</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>92</p><p>Portanto, é sobrejetora.</p><p>96. Prove que: O espaço das transformações lineares de em ,tais que: dim e dim</p><p>é isomorfo ao espaço das matrizes de ordem com entradas reais, ou seja,</p><p>isomorfo a e, denotamos por:</p><p>A fixação das bases determina portanto uma transformação</p><p>Prova:</p><p>Afirmação 1: é linear</p><p>Portanto, é linear.</p><p>Afirmação 2: é injetora</p><p>De fato, Ker</p><p>Vejamos</p><p>Como ,segue-se que:</p><p>.Consequentemente, vem: .</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>93</p><p>Logo, Ker ,ou ainda, é injetora.</p><p>Afirmação 3: é sobrejetora</p><p>, tal que:</p><p>Consideremos , tal que:</p><p>Então, temos:</p><p>De sorte que: é sobrejetora.</p><p>Por conseguinte, obtemos:</p><p>é isomorfo a .</p><p>97. Sejam e dois espaços vetoriais sobre tais que: dim e dim .. Então, o</p><p>espaço tem dimensão</p><p>Prova:</p><p>Sejam e , as bases respectivamente de e ..</p><p>, temos então,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>94</p><p>98. Seja ,tal que: dim .Então, prove que:</p><p>Prova:</p><p>Basta notar que: .onde .</p><p>Assim, usando o teoremado Núcleo e da Imagem, obtemos:</p><p>Portanto,</p><p>99. Sejam transformações lineares, definidas</p><p>por:</p><p>Pede-se:</p><p>é sobretejora?</p><p>Prova:</p><p>onde:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>95</p><p>É o traço da matriz .</p><p>Núcleo de é</p><p>Com efeito,</p><p>então, tem-se:</p><p>De sorte que: é sobrejetora.</p><p>Decorre do Teorema do Núcleo e da Imagem que:</p><p>100. Seja espaço de todos os polinômios e sejam e</p><p>transformações lineares, definidas por:</p><p>Então, verifique se:</p><p>Prova:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>96</p><p>Com efeito,</p><p>Procedendo de forma análoga, temos:</p><p>Agora, de (1) e (2), obtemos:</p><p>De sorte que:</p><p>Consideremos, a priori,</p><p>Agora, continuando com o processo, vem:</p><p>Assim,</p><p>Além disso,temos:</p><p>Consequentemente, de (3) e(4) ; obtemos::</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>97</p><p>De sorte que:</p><p>Observação:</p><p>um espaço vetorial sobre de dimensão infinita, ou seja, dim . Vale ressaltar</p><p>que em dimensão finita, não vale.</p><p>Conjectura:</p><p>Este resultado continua válido em espaço de dimensão finita? resposta é não, o que seja delineado</p><p>no problema a seguir.</p><p>101. Não existem matrizes , tais que:</p><p>Prova:</p><p>Suponha válido, então, usando o traço da matriz identidade,</p><p>vem:</p><p>Por outro lado, tem-se:</p><p>Assim,</p><p>Absurdo! Visto que .</p><p>Portanto, tais matrizes não existem satisfazendo</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>98</p><p>102. Seja uma transformação linear, prove que::</p><p>Conclua daí que: é contínua em .</p><p>Prova:</p><p>Seja então, tem-se:</p><p>. desta forma, vem:</p><p>Assim,</p><p>por conseguinte, obtemos:</p><p>Onde de modo que:</p><p>Como é linear, temos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>99</p><p>para todo , segue-se daí que</p><p>( T é Lipschitziana ).</p><p>Agora, dado existe ., tal que:</p><p>Portanto, é contínua em .</p><p>103. Sejam</p><p>,prove que: é linear.</p><p>Observação:</p><p>é o espaço de todas as transformações lineares de em .</p><p>Prova:</p><p>Sejam e transformações lineares, então, queremos mostrar que:</p><p>é linear.</p><p>,tem-se:</p><p>,obtem-se:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>100</p><p>Logo, é linear.</p><p>104. Seja a transformação ,definida por:</p><p>Mostre que:</p><p>é linear é injetora por definição. é sobrejetora por definição.</p><p>é bijetora ( prove!)</p><p>Afirmação 1:</p><p>Prova:</p><p>Queremos provar que é injetora:</p><p>De fato, ,tem-se:</p><p>De sorte que: é injetora por definição.</p><p>Afirmação 2:</p><p>Queremos provar que é sobrejetora:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>101</p><p>Com efeito, ,daí, obtemos:</p><p>, ou seja, o contra-domínio é igual a imagem de .</p><p>Logo, é sobrejetora, consequentemente, é bijetora.</p><p>Obtenha a</p><p>105. Seja a transformação ,definida por:</p><p>onde: { polinômios}</p><p>Prove que : é linear</p><p>Observação:</p><p>Prova:</p><p>,temos:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>102</p><p>, tem-se:</p><p>Portanto, é linear.</p><p>106. ( Norma Euclidiana )</p><p>Seja ,então, prove que:</p><p>onde: para todo</p><p>Prova: Basta notar que:</p><p>tomando-se: ,vem:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>103</p><p>para todo .</p><p>Portanto,</p><p>para todo .</p><p>Observação: Algumas Normas em .</p><p>Norma Euclidiana:</p><p>Norma da Soma:</p><p>Norma do máximo ( ou supremo ):</p><p>( Em espaços de dimensão finita todas as normas são equivalentes ), em particular, em temos:</p><p>107. ( Projeção Estereográfica )</p><p>São necessárias duas cartas locais no mínimo para cobrir a esfera. Além disso, tem-se: um</p><p>difeomorfismo local Considere e sejam</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>104</p><p>, tal que:</p><p>A equação da reta que passa por na direção é dada por:</p><p>Agora, a intersecção da reta com é descrita por:</p><p>e, portanto,</p><p>Decorre de (I) e (II) que: ,onde:</p><p>Observação 1: A aplicação inversa de é chamada de Projeção Estereográfica.</p><p>equação da reta que passa por e na direção do vetor</p><p>,é dada por:</p><p>A intersecção da reta com o plano ,produz o seguinte resultado:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>105</p><p>Assim,</p><p>Logo,</p><p>Observação 2: Revisitando a Álgebra Linear: O é isomorfo a qualquer subespaço vetorial de</p><p>dimensão . Sugestão: Por simplicidade tome é trivial que é um</p><p>isomorfismo. Vale ressaltar que: podemos fazer a seguinte identificação .</p><p>108. (Projeção Estereográfica é biunívoca entre Escreva as esquações</p><p>paramétricas da reta que passa pelos pontos e no plano. Mostre que, além do</p><p>ponto , essa reta corta a circunferência no ponto , onde</p><p>. Em seguida, escreva as equações paramétricas da reta que passa por</p><p>e pelo ponto da circunferência . Mostre que está reta corta</p><p>o eixo das abcissas no ponto , onde .. A função</p><p>,definida por</p><p>estabelece uma correspondência biunívoca entre ,cuja inversa</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>106</p><p>tal que:</p><p>A função chama-se a projeção estereográfica de ,e sua inversa fornece uma</p><p>outra parametrização da circunferência ( exceto o "polo norte" N) por meio de funções racionais.</p><p>Prova:</p><p>Projeção Estereográfica e sua inversa em em ..</p><p>A equação da circunferência dada por</p><p>A equação da reta que passa por e ,é dada por:</p><p>,onde:</p><p>Sendo a direção de .</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>107</p><p>Logo, , onde:</p><p>Afirmação: ,onde:</p><p>Com efeito, ,então, temos: ..</p><p>Portanto,</p><p>Agora, levando (II) em (I) ; obtemos:</p><p>De sorte que: .</p><p>A equação da reta que passa por cujo vetor diretor é</p><p>é descrita por:</p><p>Agora, corta o eixo em .</p><p>Portanto,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>108</p><p>onde L :</p><p>Consequentemente, vem:</p><p>A Projeção Estereográfica é biunívoca entre ou seja, e é um</p><p>isomorfismo ,onde:</p><p>Daí, segue-se que:</p><p>onde:</p><p>109. Seja diferenciável, tal que: para todo ..Prove que: é</p><p>linear.</p><p>A priori, vamos mostrar que:</p><p>Prova:</p><p>De fato, para ,temos: ( hipótese ) Suponha válido para ou seja,</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>109</p><p>então, falta mostrar para .</p><p>Vejamos</p><p>para todo .</p><p>Além disso, .</p><p>Agora, pela diferenciabilidade de , temos:</p><p>Portanto,</p><p>Com ,donde, obtemos:</p><p>De sorte que: é linear.</p><p>110. Seja uma aplicação bilinear. Se é uniformemente contínua. Mostre que:</p><p>.</p><p>Prova:</p><p>Suponha que , então, existe , tal que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>110</p><p>Assim, tomando-se: ,onde:</p><p>, vem:</p><p>Agora,</p><p>Usando o fato de que é uma forma bilinear, obtemos:</p><p>Logo,</p><p>Dito de outro modo, tem-se:</p><p>111. ( Isomorfismo e espaço quociente)</p><p>Seja uma transformação linear. Mostre que:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>111</p><p>, onde indica o espaço quociente de por ..</p><p>Sugestão:</p><p>está bem definida</p><p>é injetora</p><p>é sobrejetora por construção.</p><p>112: ( Isomorfismo)</p><p>Prove que: é isomorfo a ,isto é, Vale destacar que:</p><p>uma função contínua} :</p><p>Prova:</p><p>Com efeito, ,então podemos tomar</p><p>É fácil ver que é linear ( Verifique! )</p><p>Provemos que é um isomorfismo, por simplicidade façamos o seguinte:</p><p>de modo análogo, a inversa de será dada por:</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>112</p><p>Além disso, observe o diagrama a seguir:</p><p>Afirmação 1: é injetora</p><p>Seja ,então, , daí seque-se que:</p><p>.Portanto,</p><p>Dito de outro modo, temos:</p><p>De sorte que: é injetora.</p><p>Afirmação 2: é sobrejetora</p><p>,tal que:</p><p>Portanto, é sobrejetora.</p><p>Por conseguinte, é um isomorfismo. Além disso, podemos escrever de outra forma:</p><p>113. ( Representação matricial de um número complexo)</p><p>Problemas Resolvidos de Álgebra Linear: Pensando Um Pouco Mais</p><p>113</p><p>A representação matricial de um número complexo é dada pela função</p><p>, onde:</p><p>Sejam dois números complexos, então, mostre que:</p><p>,tem-se:</p><p>é injetora.</p><p>Prova:</p><p>Vamos considerar e como triviais.</p><p>Nesta caso, basta observar que:</p><p>onde: é a matriz identidade do espaço de todas as matrizes de ordem 2 com entradas</p><p>em . Desta forma é imeditato que:</p><p>O descrito acima nos diz que é uma matriz invertível, sendo: .,além disso, nos dá:</p><p>Problemas Resolvidos</p>