2018_1_MD_AP1_resolucoes

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<p>Matemática Discreta – AP1 – 2018/1</p><p>Resoluções</p><p>1. (2,5) Simbolizar os seguintes enunciados:</p><p>(a) (1,0) Eu não falo inglês fluentemente, mas entendo o que você diz perfeitamente</p><p>quando você fala pausadamente.</p><p>(b) (1,5) Se todos da comissão julgadora forem rigorosos, ninguém vai ganhar o prêmio.</p><p>Resolução da Questão 1:</p><p>(a) Legenda:</p><p>f : eu falo inglês fluentemente</p><p>e : eu entendo o que você diz perfeitamente</p><p>p : você fala pausadamente</p><p>Simbolização:</p><p>(¬f) ∧ (p→ e)</p><p>(b) Legenda:</p><p>c(x) : x é da comissão julgadora</p><p>r(x) : x é rigoroso</p><p>g(x) : x ganha o prêmio</p><p>Simbolização:</p><p>∀x[c(x)→ r(x)]→ ¬∃xg(x)</p><p>2. (2,5 pontos) Uma maneira correta de simbolizar o enunciado</p><p>Chover é o mesmo que a água cair do céu, a menos que o aspersor do jardim</p><p>esteja ligado.</p><p>é a seguinte:</p><p>(¬l)→ (c↔ a)</p><p>Baseado nisso, determine:</p><p>(a) (0,3) A legenda que foi usada na simbolização acima.</p><p>(b) (1,5) Uma simbolização correta para o seguinte enunciado:</p><p>A menos que não chova, a calçada estar seca é o mesmo que o hidrante estar</p><p>fechado ou um milagre acontecer.</p><p>1</p><p>(c) (0,7) Sabendo que a negação do enunciado do item (b) é F , que choveu e que</p><p>um milagre aconteceu, determine se a calçada está seca ou não.</p><p>Resolução da Questão 2:</p><p>(a) Legenda:</p><p>c : chove</p><p>a : a água cai do céu</p><p>l : o aspersor do jardim está ligado</p><p>(b) Legenda:</p><p>c : chove</p><p>s : a calçada está seca</p><p>h : o hidrante está fechado</p><p>m : um milagre acontece</p><p>Simbolização:</p><p>(¬¬c)→ [s↔ (h ∨m)]</p><p>que é equivalente a</p><p>c→ [s↔ (h ∨m)]</p><p>(c) Avaliação:</p><p>Temos c→ [s↔ (h ∨m)] : V .</p><p>Temos c : V .</p><p>Dáı, s↔ (h ∨m) : V .</p><p>Temos m : V .</p><p>Dáı, h ∨m : V .</p><p>Agora, como s↔ (h ∨m) : V e h ∨m : V , temos s : V .</p><p>Logo, a calçada está seca.</p><p>3. (3,0 pontos) Mostre que o seguinte argumento é válido, apresentando uma demons-</p><p>tração da sua validade:</p><p>O amor é cego e Romeu não sabe que o amor é cego; ou o amor é cego e</p><p>Julieta tira vantagem de que o amor é cego. Se Romeu não sabe que o amor</p><p>é cego, então o amor não é cego. Julieta tira vantagem de que o amor é cego</p><p>ou Romeu não sabe que o amor é cego. Deste modo, Julieta tira vantagem</p><p>de que o amor é cego.</p><p>Resolução da Questão 3:</p><p>Legenda:</p><p>a : o amor é cego</p><p>r : Romeu sabe que o amor é cego</p><p>j : Julieta tira vantagem de que o amor é cego</p><p>2</p><p>Simbolização:</p><p>(a ∧ ¬r) ∨ (a ∧ j)</p><p>(¬r)→ (¬a)</p><p>j ∨ (¬r)</p><p>j</p><p>Demonstração (Há muitas outras possibilidades corretas):</p><p>Suponhamos:</p><p>1. (a ∧ ¬r) ∨ (a ∧ j)</p><p>2. (¬r)→ (¬a)</p><p>3. j ∨ (¬r)</p><p>Dáı:</p><p>2 4. a→ r</p><p>3 5. r → j</p><p>4, 5 6. a→ j</p><p>1, 6 7. (j ∧ ¬r) ∨ (j ∧ j)</p><p>7 8. j ∨ j</p><p>8 9. j �</p><p>4. (2,0 pontos) Considere os seguintes enunciados:</p><p>ϕ : Existe triângulo obtusângulo que é equilátero.</p><p>ψ : Nenhum triângulo equilátero é obtusângulo.</p><p>θ : Todo triângulo equilátero não é obtusângulo.</p><p>(a) (1,0) Simbolize os enunciados ϕ, ψ e θ.</p><p>(b) (1,0) Dentre ϕ, ψ e θ existe exatamente um par de enunciados tais que um é a</p><p>negação do outro. Quais são eles?</p><p>Resolução da Questão 4:</p><p>(a) Legenda:</p><p>t(x) : x é triângulo</p><p>e(x) : x é equilátero</p><p>o(x) : x é obtusângulo</p><p>Simbolizações:</p><p>ϕ : ∃x[t(x) ∧ o(x) ∧ e(x)]</p><p>ψ : ¬∃x[t(x) ∧ e(x) ∧ o(x)]</p><p>θ : ∀x{[t(x) ∧ e(x)]→ ¬o(x)}</p><p>(b) Temos que a negação de θ é ϕ.</p><p>3</p><p>Negação:</p><p>¬θ</p><p>é equivalente a</p><p>¬∀x{[t(x) ∧ e(x)]→ ¬o(x)}</p><p>é equivalente a</p><p>∃x¬{[t(x) ∧ e(x)]→ ¬o(x)}</p><p>é equivalente a</p><p>∃x[t(x) ∧ e(x) ∧ ¬¬o(x)]</p><p>é equivalente a</p><p>∃x[t(x) ∧ e(x) ∧ o(x)]</p><p>ou seja,</p><p>ϕ</p><p>c© 2018 Márcia Cerioli e Petrucio Viana</p><p>Coordenação da Disciplina MD/CEDERJ-UAB</p><p>4</p>