P2_ALGEBRA_ (1)

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES 
 
Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/2 
 
Aluno:____________________________________________________________________ 
Data: 25/10/2011 
 
 
Questão 1 (3,0 pontos) 
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pelo ponto ( )211 ,, − e que contém a 
interseção dos planos 01 =−+ zx e 022 =+− zyx . 
b) Para cada ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja 
paralelo ao eixo x. 
c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma 
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz 
canônica. 
 
 
Questão 2 (2,0 pontos) 
Seja r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= . Determine 
 
a) uma base de { }321 v,v,v do espaço euclidiano 3ℜ , sendo rv ∈1 e 2v e 3v ortogonais a r. 
b) a matriz canônica do operador linear de 3ℜ que é a projeção ortogonal sobre a reta r, 
usando a base obtida no item (a). 
 
 
Questão3 (3,0 pontos) 
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 4ℜ gerado por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }553100525501512132101 −−−−−−−= ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,S . 
 
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W. 
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma 
combinação linear dos vetores da base. 
c) Determine uma base ortogonal do complemento ortogonal de W. 
 
 
Questão 4 (2,0 pontos) 
Sejam o espaço euclidiano 3ℜ e ( ) ( ) ( ){ }140243001 ,,,,,,,,B −= uma base de 3ℜ . 
 
a) Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal. 
b) Determine o vetor de coordenadas, em relação à base ortogonal obtida no item (a), do 
vetor de 3ℜ cujo vetor de coordenadas, em relação a B, é ( )12121 ,,− .