AlgLin - p3

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Terceira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 06 de novembro de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique seu racioc´ınio.
1. (2 pontos) Seja β = {u1,u2,u3} e β′ = {v1,v2,v3} bases de um espac¸o vetorial V .
Sabendo que, para v ∈ V ,
[v]β = (a, b, c)⇒ [v]β′ = (a+ b+ c, a− b+ c, a− b− c)
determine a matriz de mudanc¸a de base de β′ para β.
2. Seja
A =
1 1 10 2 1
0 2 3

a matriz do operador linear T : V −→ V numa base β = {u,v,w}.
(a) (1 ponto)Determine [T (u)]β e [T (u)− 3T (v) + 2T (w)]β.
(b) (1,5 pontos) O operador T e´ diagonaliza´vel? T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel?
3. Considere as transformac¸o˜es matriciais TA : R3 −→ R2 dadas por TA(x) = Ax.
(a) (1 ponto) Quais sa˜o todas as poss´ıveis dimenso˜es do nu´cleo de TA?
(b) (1,5 pontos) Para cada dimensa˜o poss´ıvel n, deˆ exemplo nume´rico de uma matriz
A com dimensa˜o do nu´cleo de TA igual a n.
4. Seja pi o plano dado por x− y + z = 0.
(a) (1 ponto) Encontre um operador linear T : R3 −→ R3 tal que
. T (v) = −v para todo v ∈ pi;
. dim(Nuc(T )) = 1;
. T e´ ortogonalmente diagonaliza´vel.
(b) (1 ponto) Determine a matriz A do operador T , encontrado no item (a), na base
canoˆnica.
(c) (1 ponto) Encontre matrizes P e D, sendo D diagonal, tal que P−1AP = D.
Boa Prova!!!