AlgLin - pf - sol

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Soluc¸a˜o da Prova Final de A´lgebra Linear
Vito´ria, 14 de novembro de 2012
1. (a)
0 1 2 1 0 01 1 1 0 1 0
0 3 5 0 0 1
 ∼
1 0 0 2 1 −10 1 0 −5 0 2
0 0 1 3 0 1
 . Logo, A−1 =
 2 1 −1−5 0 2
3 0 1

(b)
[v]β = [I]β:β′[v]β′ = A
−1[v]β′ = (−1,−1, 1)
2. A matriz aumentada do sistema Ax = v e´ 1 2 7 1 a1 2 3 3 b
−1 −2 1 −5 c
 ∼
1 2 7 1 a0 0 −4 2 b− a
0 0 0 0 c+ 2b− a
.
Logo o sistema e´ consistente quando c+ 2b− a = 0.
3. Seja pi o plano a ser obtido. Se P0 e´ um ponto de pi e npi e´ um vetor normal de pi,
enta˜o
P = (x, y, z) ∈ pi ⇐⇒ (P − P0) · npi = 0
Como
r ⊂ pi =⇒ v = (0, 2,−1) e´ paralelo a pi. e P0 = (1, 3, 1) ∈ pi
Ale´m disso,
pi ⊥ 3x− y = 2 =⇒ n = (3,−1, 0) e´ paralelo a pi.
Logo npi = n× v = (1, 3, 6). Portanto
pi : x+ 3y + 6z = 16
4. (a)
A =

1 2 3 5 4
−1 0 1 1 2
0 −1 −2 0 0
1 1 1 −1 −2
 ∼

1 0 −1 0 −1
0 1 2 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0

Logo
Im(T ) = CA = ger{(1,−1, 0, 1); (2, 0,−1, 1); (5, 1, 0,−1)}
e
Nuc(T ) = NA = ger{(1,−2, 1, 0, 0); (1, 0, 0,−1, 1)}
isto e´, T na˜o e´ injetora, pois dim(Nuc(T )) ≥ 1 e T na˜o e´ sobrejetora, pois
dim(Im(T )) = 3.
(b) Ortogonalizando a base encontrada no item anterior
u = (1,−1, 0, 1)
v = (2, 0,−1, 1)− proju(2, 0,−1, 1) = (1, 1,−1, 0)
w = (5, 1, 0,−1)− proju(5, 1, 0,−1)− projv(5, 1, 0,−1) = (2, 0, 2,−2)
5. (a)
λI − A =
λ− 3 0 −40 λ− 5 0
−4 0 λ+ 3
 =⇒ p(λ) = (λ− 5)2(λ+ 5)
para λ = 5
5I − A ∼
1 0 −20 0 0
0 0 0
 .
Logo uma base para o autoespac¸o associado a λ = 5 e´
{u = (0, 1, 0), v = (2, 0, 1)}.
Para λ = −5
−5I − A ∼
1 0 1/20 1 0
0 0 0

Portanto, um autovetor associado a λ = −5 e´
w = (−1, 0, 2).
(b) A base de autovetores {u, v,w} e´ ortogonal, mas na˜o e´ ortonormal. Normalizando
os vetores, obtemos a base ortonormal{
(0, 1, 0);
(
2√
5
, 0,
1√
5
)
;
(−1√
5
, 0,
2√
5
)}
donde
P =
0
2√
5
− 1√
5
1 0 0
0 1√
5
2√
5
 e D =
5 0 00 5 0
0 0 −5

sa˜o tais que
P−1 = P T ⇒ P TAP = D.
Veja que se consideramos P a matriz cujas colunas sa˜o u, v e w teremos ainda
que P TAP e´ diagonal, mas esta diagonal na˜o e´ formada por autovalores de A.
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