p1 álgebra linear 2012_1

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 03 de abril de 2012
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Justifique seu racioc´ınio.
1. Seja
A =
 a 1 −1 a 00 a + 1 1 1 1
−1 1 0 a + 1 b

a matriz ampliada de um sistema linear. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha: (a)
soluc¸a˜o u´nica; (b) infinitas soluc¸o˜es e (c) nenhuma soluc¸a˜o.
2. Calcule o determinante de
A =

x 2 0 3
1 2 3 3
1 0 1 1
1 1 1 3

e determine para quais valores de x esta matriz e´ invert´ıvel.
3. Seja A uma matriz 3× 3 tal que
AX1 = B1, AX2 = B2, AX3 = B3 (1)
onde B1 =
[
4 2 −2]T , B2 = [−1 2 0]T e B3 = [2 −1 1]T .
(a) Mostre que a matriz B com colunas B1, B2 e B3 e´ invert´ıvel.
(b) Mostre que A e´ invert´ıvel.
(c) Dados X1 =
[
1 2 −2]T , X2 = [3 1 1]T e X3 = [2 −1 3]T ; mostre que na˜o existe A
satisfazendo as igualdades em (1) acima.
4. (a) Seja I a matriz identidade 2× 2. Mostre que as matrizes X1 = I e X2 = 4I satisfazem X2 −
5X + 4I = 0, onde X e´ uma matriz 2× 2.
(b) Existem outras matrizes que satisfazem X2 − 5X + 4I = 0?
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Existem matrizes A e B, ambas na˜o-nulas, tais que (A−B)2 = A2 − 2AB + B2.
(b) Se a forma escalonada da matriz ampliada de um sistema possui linha nula, enta˜o o sistema tem
infinitas soluc¸o˜es.
(c) Se A e´ uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A) = −2, enta˜o det(adj(A)) = −8.
(d) Na˜o existem a 6= 0 e b 6= 0 tais que E =
1 0 00 1 0
0 a b
 e´ elementar.
Boa Prova!!!