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Universidade Federal do Esp´ırito Santo Primeira Prova de A´lgebra Linear Vito´ria, 15 de maio de 2012 Nome Leg´ıvel: Assinatura: Justifique seu racioc´ınio. 1. Seja A = 1 −1 01 1 1 −1 −5 −3 (a) Determine a soluc¸a˜o do sitema linear homogeneo Ax = 0. (b) Determine a intersec¸a˜o do subespac¸o encontrado no item (a) com o plano pi determinado pela equac¸a˜o −2x+ 3y − z − 1 = 0. (c) Encontre a equac¸a˜o do plano que conte´m o subespac¸o encontrado no item (a) e e´ perpendicular ao plano pi dado no item (b). 2. Seja C = {v1;v2;v3;v4} um conjunto de vetores em R5, onde v1 = (−1, 2, 3, 1,−1);v2 = (2, 2, 1, 1, 1);v3 = (2, 1,−1,−1, 1);v4 = (1,−1,−1, 1, 1). Determine bases para o espac¸o gerado por C e para seu complemento ortogonal. 3. Seja B = {v1 = (2,−1, 3, 2, 5); v2 = (−1, 2, 3,−1, 1); v3 = (1, 1, 0, 0, 1)} base de W . (a) Determine uma base ortogonal de W . (b) Se v = v1−v2 +v3, enta˜o determine a projec¸a˜o ortogonal de v no espac¸o gerado por B. 4. Verdadeiro ou falso? Justifique. (a) Seja u um vetor na˜o nulo. Se u× v = u×w, enta˜o v = w. (b) Seja V um espac¸o com produto interno e W um subespac¸o de V . Para qualquer u ∈ V , os vetores projW u e projW⊥ u sa˜o ortogonais. (c) Se {v1,v2,v3} e´ um conjunto linearmente dependente de vetores na˜o-nulos, enta˜o cada vetor no conjunto pode ser obtido como combinac¸a˜o linear dos outros dois. (d) Se b e´ um vetor tal que o sitema Ax = b na˜o tem soluc¸a˜o, enta˜o b na˜o pertence ao espac¸o-coluna de A. Boa Prova!!! 1 Prof.: Etereldes 16/05/2012 Sugesta˜o de Prova II - A´lgebra Linear 1. (a) A forma escalonada da matriz aumentada do sistema e´: 1 0 1/2 00 1 1/2 0 0 0 0 0 . Logo, o sistema Ax = 0 e´ equivalente a x+ z 2 = 0 y + z 2 = 0 , cuja soluc¸a˜o e´ S = {(−z 2 ,−z 2 , z); z ∈ R} = ger{(−1,−1, 2)}. (b) Se (x, y, z) ∈ pi ∩S enta˜o 2x+ 3y − z = 1 x+ z 2 = 0 y + z 2 = 0 , cuja soluc¸a˜o u´nica e´ ( 1 3 , 1 3 ,−2 3 ). (c) Seja P o plano pedido. Enta˜o ηP (−1,−1, 2) × (−2, 3,−1) = (−5,−5,−5) e´ normal a P . Como ( 1 3 , 1 3 ,−2 3 ) ∈ P , enta˜o P = {(x, y, z) ∈ R3;< (x, y, z) − ( 1 3 , 1 3 ,−2 3 ), (−5,−5,−5) >= 0} cuja equac¸a˜o e´ x+ y + z = 0. 2. Seja A a matriz cujas linha sa˜o v1, v2, v2 e v4. A matriz A e´ equivalente por linhas a: R = 5 0 0 6 4 0 5 0 −8 −2 0 0 5 9 1 0 0 0 0 0 . Uma base para W = ger{C} e´ {(5, 0, 0, 6, 4), (0, 5, 0,−8,−2), (0, 0, 5, 9, 1)}. Como W⊥ e´ igual ao nu´cleo de A, basta encontrar uma base para o espac¸o soluc¸a˜o de Rx = 0. Logo, uma base para W⊥ e´ {(−6, 8,−9, 5, 0), (−4, 2,−1, 0, 5)}. 3. (a) Seja u1 = (1, 1, 0, 0, 1) e u′2 = v2 − Pu1v2 = ( −5 3 , 4 3 , 3,−1, 1 3 ) . Logo, u2 = (−5, 4, 9,−3, 1) e u1 sa˜o ortogonais. Seja u′3 = v3 − Pu1v3 − Pu2v3 = ( 5 11 , −37 11 , 25 11 , 32 11 ) 2 . Logo, u3 = (5, 37, 24, 25, 32) e´ ortogonal a u1 e a u2. Veja que B ′ = {u1, u2, u3} na˜o e´ uma base ortonormal de W . (b) [v]B = v1− v2 + v3 = (4,−2, 0, 3, 5). Como B′ e´ ortogonal [v]′B = α1u1 +α2u2 + α3u3 onde αi = < v, ui > ‖ui‖2 . Logo, [v]B′ = ( 7 3 , −42 132 , 181 3619 ). 4. (a) Falso. Sejam u,w ∈ R3 tais que v = w− u seja na˜o nulo. Enta˜o u× v = u×w. (b) Verdadeiro. Pois projWu ∈ W e projW⊥u ∈ W⊥. (c) Falso. Pois {u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), u3 = (0, 2)} e´ LD, e na˜o existe a, b ∈ R tais que u1 = au2 + bu3. (d) Verdadeiro. Se Ax = b enta˜o b e´ combinac¸a˜o linear das colunas de A. p2 P2 solução
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