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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
01/07/2010
Prova 3 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. (2,5 pontos) Dada a base B = {(1, 1, 1); (1, 0, 1); (1,−1,−1)} para o R3.
(a) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 4) na base B.
(b) Ortogonalize B.
(c) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 4) na base ortogonal encontrada no
item (b).
2. (2,5 pontos) Dada a matriz
A =
 2 −1 −1−1 2 −1
−1 −1 2

(a) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que diago-
naliza A.
(c) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
3. (2,5 pontos) Encontre a projec¸a˜o ortogonal de u = (1, 0, 0, 2) no espac¸o-soluc¸a˜o do sistema
linear homogeˆneo {
x1 + 2x2 − x3 = 0
2x2 + x3 + x4 = 0
.
4. (2,5 pontos) Seja T : R3 −→ R3 a transformac¸a˜o linear tal que T (v) = 3v para todo vetor
do plano x+ y − z = 0 e, ale´m disso, T (1,−1, 1) = 0.
(a) Encontre uma base {u1, u2} para o plano x+y− z = 0. Mostre que se u3 = (1,−1, 1),
B = {u1, u2, u3} e´ uma base do R3.
(b) Determine os autovetores de T .
(c) Determine a matriz canoˆnica de T .
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!

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