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1 UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo CCE - Centro de Cieˆncias Exatas DMAT - Departamento de Matema´tica Prof.: Etereldes 01/07/2010 Prova 3 - A´lgebra Linear - F´ısica 1. (2,5 pontos) Dada a base B = {(1, 1, 1); (1, 0, 1); (1,−1,−1)} para o R3. (a) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 4) na base B. (b) Ortogonalize B. (c) Determine as coordenadas do vetor u = (2,−1, 4) na base ortogonal encontrada no item (b). 2. (2,5 pontos) Dada a matriz A = 2 −1 −1−1 2 −1 −1 −1 2 (a) Determine os autovalores e autovetores de A. (b) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que diago- naliza A. (c) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique? 3. (2,5 pontos) Encontre a projec¸a˜o ortogonal de u = (1, 0, 0, 2) no espac¸o-soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo { x1 + 2x2 − x3 = 0 2x2 + x3 + x4 = 0 . 4. (2,5 pontos) Seja T : R3 −→ R3 a transformac¸a˜o linear tal que T (v) = 3v para todo vetor do plano x+ y − z = 0 e, ale´m disso, T (1,−1, 1) = 0. (a) Encontre uma base {u1, u2} para o plano x+y− z = 0. Mostre que se u3 = (1,−1, 1), B = {u1, u2, u3} e´ uma base do R3. (b) Determine os autovetores de T . (c) Determine a matriz canoˆnica de T . OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas. Boa prova!
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