P2_CALCULO_I_ (3)

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Ca´lculo I
MAT03358 - turma 1
Segunda Prova
24 de outubro de 2008
Nome do Aluno:
Apresente todos os ca´lculos e justificativas
1. Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo:
a. f(x) = ex/(1 + x2)
b. g(x) = x sen(x) cos(x)
c. h(x) =
√
x
√
x
d. r(x) = xln(x)
2. Calcule lim
x→∞
x3e−x.
3. Fac¸a uma figura para mostrar que ha´ duas retas tangentes a` para´bola y = x2 que passam
pelo ponto (0,−4). Determine as coordenadas dos pontos onde essas retas tangentes
intersectam a para´bola.
4. A curva de equac¸a˜o y2(y2 − 4) = x2(x2 − 5) e´ chamada curva do diabo. Encontre a reta
tangente a` curva do diabo no ponto (0,−2).
5. Se f(x) = 1
2−x , encontre f
(n)(x).
6. Sabendo que
f(x) =
1
x(x− 3)2 f
′(x) =
−3x + 3
x2(x− 3)3 f
′′(x) =
12x2 − 12x + 6
x3(x− 3)4
esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x).
func¸a˜o derivada da func¸a˜o
y = c (c ∈ R) y′ = 0
y = xn y′ = nxn − 1
y = ax y′ = ax ln a
y = log
a
x y′ = 1/(x ln a)
y = sen x y′ = cosx
y = cosx y′ = − sen x
y = tg x y′ = sec2 x
y = secx y′ = secx. tg x
y = cotg x y′ = − cossec2 x
y = cossec x y′ = − cossec x. cotg x
y = arcsen x y′ = 1√
1−x2
y = arccosx y′ = − 1√
1−x2
y = arctg x y′ = 1
1+x2
y = arccotg x y′ = − 1
1+x2
2