P2_CALCULO_I_ (6)

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Universidade Federal do Espir´ıto Santo
Segunda prova de Ca´lculo I - Engenharia Ele´trica
Professora Julia Wrobel
Vito´ria, 02 de junho de 2006
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
1. Uma pedra cai num lago de a´gua parada. Imediatamente, ondas circulares
conceˆntricas espalham-se e o raio da regia˜o afetada cresce a uma taxa de
16cm/s. Qual a taxa com que a regia˜o afetada esta´ crescendo quando seu
raio e´ de 4cm?
2. A func¸a˜o y = f(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o xy+3 = 2x. Mostre
que xdy
dx
= 2− y. Calcule dy
dx
∣
∣
x=2
.
3. Sabendo que d
dx
arctg(x) = 1
1+x2
, calcule d
dx
(arctg(x))x.
4. Considere a func¸a˜o f(x) = 2x
2
9−x2
.
a) Deˆ os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o
b) Estude a concavidade da func¸a˜o
c) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o
5. Durante a tosse ha´ um decrescimento no raio da traque´ia de uma pessoa.
Suponha que o raio da traque´ia em repouso seja Rcm e o raio da traque´ia
durante a tosse seja rcm, onde R e´ uma constante e r e´ uma varia´vel. A
velocidade do ar atrave´s da traque´ia pode ser considerada como uma func¸a˜o
de r e, se V (r) for esta velocidade em cm/s, enta˜o V (r) = Kr2(R − r),
com r ∈ [R/2, R], onde K e´ uma constante positiva. Determine o raio da
traque´ia durante a tosse, para que a velocidade do ar atrave´s da traque´ia
seja ma´xima.
6. Use o polinoˆmio de Taylor de ordem 2 para calcular um valor aproximado
de e0,03. Estime o erro dessa aproximac¸a˜o.
Questa˜o extra (0,5 ponto): Sejam f uma func¸a˜o deriva´vel ate´ quarta ordem
no intervalo aberto aberto I e p ∈ I. Suponha f (4) cont´ınua em p. Prove que se
f ′(p) = f ′′(p) = f ′′′(p) = 0 e f (4)(p) 6= 0 enta˜o f(x) teˆm um ma´ximo no ponto p
se f (4)(p) < 0 e f(x) teˆm um mı´nimo no ponto p se f (4)(p) > 0.
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