P2_CALCULO_I_ (9)

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Segunda prova de Ca´lculo I
Vito´ria, 28 de maio de 2010
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Justifique todas as respostas!
1. (3 pontos) Calcule:
(a)
d
dx
(lnx)x
(b)
d
dx
√
x2 + cos(3x)
(c) lim
x→∞
3x
x3
2. (3,5 pontos) Considere a func¸a˜o
f(x) = x2/3 (5 + x).
(a) Determine os pontos cr´ıticos de f(x), se existirem;
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x), indicando, caso existam, seus pontos
de ma´ximo e de mı´nimo locais;
(c) Determine os intervalos em que f(x) tem concavidade para cima e em que f(x) tem concavidade
para baixo e determine os pontos de inflexa˜o de f(x), se existirem;
(d) Determine as ass´ıntotas verticais e horizontais, se existirem;
(e) Utilize as informac¸o˜es obtidas nos itens anteriores parar esboc¸ar o gra´fico de f(x).
3. (2 pontos) Determine o maior valor poss´ıvel para a a´rea lateral de um cilindro circular reto inscrito em
uma esfera de raio 1 cm.
4. (1,5 pontos) Se dois resistores com resisteˆncias R1 e R2 esta˜o conectados em paralelo, enta˜o a resisteˆncia
total R, medida em ohms (Ω), e´ dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
.
Se R1 e R2 esta˜o crescendo a taxas de 0,3 Ω/s e 0,2 Ω/s, respectivamente, qua˜o ra´pido estara´ variando R
quando R1 = 80Ω e R2 = 60Ω?
Boa prova!