Números Complexos e Funções

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<p>MAT-46 - Funções de Variável Complexa - Lista 1</p><p>Revisão de números complexos</p><p>1. Sejam z, w ∈ C, k ∈ R e n ∈ N∗. Mostre que</p><p>(a) z · w = z · w.</p><p>(b) k · z = k · z.</p><p>(c) zn = (z)n.</p><p>(d) z + w = z + w.</p><p>(e) Suponha que ai ∈ R para todo i ∈ {0, 1, . . . , n}. Se z0 é raiz de p(z) =∑n</p><p>i=0 aiz</p><p>n−i então z0 é raiz de p.</p><p>(f) Todo polinômio complexo de coeficientes reais e grau ı́mpar admite ao menos</p><p>uma raiz real.</p><p>(g) Existe um polinômio complexo de grau ı́mpar sem ráızes reais.</p><p>2. Sejam z, w ∈ C, w ̸= 0. Mostre que</p><p>(a) arg(z · w) = arg(z) + arg(w).</p><p>(b) arg(z/w) = arg(z)− arg(w).</p><p>(c) Arg(zw) ̸= Arg(z) + Arg(w).</p><p>3. Sejam z = 2 + i e w = 3 + i.</p><p>(a) Determine zw.</p><p>(b) Conclua que π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3).</p><p>4. Sejam a, b, c ∈ C tais que |a| ≠ |b|. Determine os valores de z tais que az+bz+c = 0.</p><p>5. Sejam z, w ∈ C, k ∈ R e n ∈ N∗. Mostre que</p><p>(a) |ℜ(z)| ≤ |z| e |ℑ(z)| ≤ |z|.</p><p>(b) |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2).</p><p>(c) |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + ℜ(zw).</p><p>(d) |z + w|2 ≤ |z|2 + |w|2.</p><p>6. Escreva os seguintes números na forma polar considerando como argumento o valor</p><p>principal:</p><p>(a) 1 + i.</p><p>(b) −1− i.</p><p>(c) 1+i</p><p>1−i .</p><p>(d) 5</p><p>i −</p><p>2</p><p>i3</p><p>.</p><p>(e) 3i+ 1</p><p>2−i .</p><p>(f) (1 + i)3.</p><p>7. Esboce o conjunto solução das seguintes inequações. Determine se esses conjuntos</p><p>são abertos, fechados e/ou simplesmente conexos.</p><p>1</p><p>MAT-46 - Funções de Variável Complexa - Lista 1</p><p>Revisão de números complexos</p><p>(a) z + z = |z|2.</p><p>(b) z2 + iz + 1 = 0.</p><p>(c) ℜ(z2) ≤ −1.</p><p>(d) 2 < |z + 3 + i| < 4.</p><p>(e) ℑ(z) < ℜ(z).</p><p>(f) |z − 2| ≥ |z − 3|.</p><p>8. Determine todas as soluções da equação z2 = z.</p><p>9. Seja p um polinômio complexo de coeficientes reais. Sabendo que p(1 − i) = 1 + 2i</p><p>determine p(1 + i).</p><p>10. Seja n ∈ N∗. Determine todos os valores posśıveis para a expressão</p><p>1 + i+ i2 + . . .+ in.</p><p>Respostas:</p><p>1. Basta desenvolver. Para (f) use (e). Para (g) considere o polinômio na forma de</p><p>produto de suas ráızes.</p><p>2. Basta desenvolver. Para (c) considere argumentos que somem mais que π.</p><p>3. Para (b), use (a) e considere a forma polar.</p><p>4. z = ((a1+b1)c2−(a2+b2)c1)/(|b|2−|a|2), onde a = a1+ia2, b = b1+ib2 e c = c1+ic2</p><p>5. A parte mais complicada é o item (d). Você pode fazê-la usando (c) e (a), de forma</p><p>que o lado direito da desigualdade seja um quadrado.</p><p>6. Trivial.</p><p>7. Trivial.</p><p>8. 0, 1,−1/2 + i</p><p>√</p><p>3/2 e −1/2− i</p><p>√</p><p>3/2.</p><p>9. p(1 + i) = 1− 2i.</p><p>10. 0, 1, i e 1 + i.</p><p>2</p>