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Noc¸o˜es de Equac¸o˜es Diferenciais
Claudia Juliana Fanelli Gonc¸alves
Departamento de Matema´tica
Universidade Estadual de Maringa´
2013
Suma´rio
1 Equac¸o˜es Diferenciais 4
2 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de Primeira Ordem 6
2.1 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Equac¸a˜o de Varia´veis Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Equac¸o˜es com Coeficientes Homogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Outras Substituic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Equac¸a˜o Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Equac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Equac¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9 Equac¸a˜o de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.10 Equac¸a˜o de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.11 Algumas Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11.1 Problemas de Decaimento e Crescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11.2 Problemas de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11.3 Queda dos corpos com resisteˆncia do ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11.4 Problemas de Diluic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11.5 Trajeto´rias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Equac¸o˜es Diferenciais Lineares de Ordem n, n > 1 22
3.1 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Independeˆncia Linear e o Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Soluc¸a˜o Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
3.5.1 Me´todo dos Coeficientes a Determinar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.2 Me´todo de Variac¸a˜o dos Paraˆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Equac¸a˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.7 Movimento Vibrato´rio de Sistemas Mecaˆnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.1 Movimento livre sem amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.2 Movimento livre com amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.3 Movimento forc¸ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Lineares 40
4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Cap´ıtulo 1
Equac¸o˜es Diferenciais
Uma equac¸a˜o diferencial e´ uma equac¸a˜o envolvendo derivadas de uma func¸a˜o desconhecida, chamada
de inco´gnita, de uma ou mais varia´veis.
Se a func¸a˜o inco´gnita depender apenas de uma varia´vel, a equac¸a˜o e´ dita ordina´ria (EDO) e caso
depende de mais de uma varia´vel ela e´ dita parcial (EDP).
A ordem de uma equac¸a˜o diferencial e´ a ordem da derivada de mais alta ordem da func¸a˜o inco´gnita
que ocorre na equac¸a˜o. Uma equac¸a˜o de ordem n pode ser apresentada como F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 em
que x e´ a varia´vel independente, y = y(x) e´ a func¸a˜o inco´gnita e y(n) =
dny
dxn
.
Uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial e´ uma func¸a˜o que satisfaz a equac¸a˜o F (x, y, y′, . . . , y(n)) =
0 em um intervalo I. A soluc¸a˜o mais geral poss´ıvel que admite uma equac¸a˜o diferencial e´ denominada
soluc¸a˜o geral, enquanto que uma soluc¸a˜o obtida da soluc¸a˜o geral e´ chamada de soluc¸a˜o particular. Uma
soluc¸a˜o singular e´ aquela que na˜o pode ser deduzida da soluc¸a˜o geral. Apenas alguns tipos de equac¸o˜es
diferenciais apresentam soluc¸o˜es singulares. Geometricamente, a soluc¸a˜o geral de uma equac¸a˜o diferencial
representa uma famı´lia de curvas (curvas integrais). Por exemplo, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o dy/dx = 4x e´
y = 2x2 + k, onde k e´ uma constante, que representa uma famı´lia de curvas: uma curva para cada valor
da constante k. Veja na Figura 1.1 as curvas integrais de y = 2x2 + k, para k = −2,−1, 0 e 1.
Figura 1.1: Curvas integrais para k = −2,−1, 0 e 1.
4
Exemplos:
1. y(x) = e−x e´ uma soluc¸a˜o particular de y′ + y = 0;
2. y(x) = Ce−x e´ a soluc¸a˜o geral de y′ + y = 0;
3. y(x) = sen(x) e´ uma soluc¸a˜o particular de y′′ + y = 0;
4. y(x) = Asen(x) +Bcos(x) e´ a soluc¸a˜o geral de y′′ + y = 0.
Os problemas do tipo
 y′ = f(x, y)y(x◦) = y◦ sa˜o chamados de problemas de valor inicial (PVI) ou
problemas de Cauchy.
Os exemplos a seguir ilustram alguns tipos e classificac¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais.
Tipo Equac¸a˜o Ordem Grau Varia´vel dependente Varia´vel independente
EDO
dy
dx
= 2x− 1 1a 1◦ y x
EDO x
dy
dx
− 2y = 0 1a 1◦ y x
EDO
(
d2y
dx2
)3
− 2y
(
dy
dx
)4
+ 4
dy
dx
= 2x 2a 3◦ y x
EDP
∂u
∂t
− 3∂
2u
∂x2
= a 2a 1◦ u t, x
EDP
∂2Z
∂x2
+
∂2Z
∂y2
= constante 2a 1◦ Z x, y
EDP
∂2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
+
∂2φ
∂z2
= 0 2a 1◦ φ x, y, z
EDP u
∂2u
∂r2
+ rst = 5 2a 1◦ u r, s, t
5
Cap´ıtulo 2
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de
Primeira Ordem
2.1 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es
Considere o problema de valor inicial  y′ = |y|1/2y(0) = 0 .
Tal PVI na˜o tem unicidade de soluc¸a˜o, pois y1(x) ≡ 0 e´ soluc¸a˜o e y2(x) =
 x
2
4 , x ≥ 0
−x24 , x < 0
tambe´m e´
soluc¸a˜o (verifique). Portanto, temos duas soluc¸o˜es.
Vemos ainda que o PVI
 y′ = 3y2/3y(0) = 0 tambe´m na˜o tem unicidade de soluc¸a˜o, pois y(x) ≡ 0 e´
soluc¸a˜o e observamos que, para qualquer c ∈ R+, a func¸a˜o yc : R→ R dada por
yc(x) =
 (x− c)3, x ≥ c0, x < c tambe´m e´ soluc¸a˜o, e portanto temos infinitas soluc¸o˜es.
Logo, dado o PVI  y′ = f(x, y)y(x◦) = y◦
onde f e´ uma func¸a˜o definida num aberto A do R2, surgem as seguintes questo˜es:
1. Sabemos que o PVI acima tem de fato uma soluc¸a˜o sem exib´ı-la explicitamente?
2. Como sabemos que existe somente uma soluc¸a˜o desse PVI? Talvez existam duas, treˆs ou mesmo
infinitas soluc¸o˜es.
3. Qual a utilidade de determinarmos se tal PVI tem uma u´nica soluc¸a˜o se na˜o somos capazes de
exib´ı-la?
Para esta u´ltima questa˜o, podemos dizer que o fato de sabermos se o PVI tem uma u´nica soluc¸a˜o e´
muito importante, pois a partir disto poderemos usar te´cnicas computacionais para obter aproximac¸o˜es
6
da soluc¸a˜o y(x).
O pro´ximo teorema nos da´ condic¸o˜es para a existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es para o PVI.
Teorema 2.1. (Existeˆncia e Unicidade Local) Sejam f e
∂f
∂y
cont´ınuas num aberto Ω ⊂ R2, a, b > 0 tal
que R = {(x, y) ∈ R2; |x − x◦| ≤ a e |y − y◦| ≤ b}. Sejam M = max(x,y)∈R|f(x, t)| e α = min{a, bM }.
Enta˜o o PVI y′ = f(x, y) com y(x◦) = y◦ tem uma e somente uma soluc¸a˜o y(x) no intervalo I =
[x◦ − α, x◦ + α].
Exemplos:
1. Mostre que a soluc¸a˜o y(x) do PVI y′ = y2 + cos(x2), y(0) = 0, existe no intervalo 0 ≤ x ≤ 1/2.
Usaremos o teorema anterior. Neste caso, f(x, y) = y2 + cos(x2) e ∂f∂y (x, y) = 2y, sa˜o cont´ınuas em
qualquer retaˆngulo R = {(x, y); |x| ≤ a, |y| ≤ b}, onde a,b ∈ R. Calculando
M = max(x,y)∈R|f(x, t)| = max|y|≤b;|x|≤a|y2 + cos(x2)| = b2 + 1,
vemos que y(x) existe para 0 ≤ x ≤ α, com α = min
{
a, b
b2+1
}
. Como apriori podemos tomar
qualquer valor de a, temos que o valor ma´ximo de α sera´ quando b
b2+1
for ma´ximo. Este ma´ximo
e´ 1/2. Portanto, o Teorema 2.1 garante que a soluc¸a˜o de y(x) existe e e´ u´nica para 0 ≤ x ≤ 1/2.
2. Mostre que y(x) = −1 e´ a u´nica soluc¸a˜o do PVI y′ = x(1 + y), y(0) = −1.
Observamos que y(x) = −1 e´ soluc¸a˜o do PVI. Como f(x, y) = x(1+y) e ∂f∂y (x, y) = x sa˜o cont´ınuas
em qualquer retaˆngulo, temos que o PVI dado tem uma u´nica soluc¸a˜o e, portanto, sera´ y(x) = −1.
Exemplo 2.2. Verifique se as func¸o˜es sa˜o soluc¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais:
(1) y = 2e−x + xe−x;
d2y
dx2
+ 2
dy
dx
+ y = 0
(2) y = 1;
d2y
dx2
+ 2
dy
dx
+ y = 0
(3) y = Asen(kx) + B cos(kx) (A,B, k cons-
tantes); y′′ = −k2y
(4) y = ln(x); xy′′ + y′ = 0, para x ∈ (0,+∞)
2.2 Equac¸a˜o de Varia´veis Separa´veis
Uma EDO com varia´veis separa´veis e´ da forma y′ = g(x) · h(y). Supondo g(x) 6= 0, para todo x no
intervalo I, temos:
(1◦) Se h(y) = 0, temos y′ = 0, cuja soluc¸a˜o e´ y = a, a ∈ R. Essa soluc¸a˜o e´ chamada de soluc¸a˜o
constante.
(2◦) Se h(y) 6= 0, dividimos a equac¸a˜o y′ = g(x) · h(y) por h(y) e obtemos 1
h(y)
· y′ = g(x), ou melhor,
1
h(y(x))
· y′(x) = g(x). Integrando, temos:∫
1
h(y(x))
· y′(x) dx =
∫
g(x) dx.
Exemplo 2.3. Resolva as EDOs e os PVIs:
7
(1)
dy
dx
=
y − 2
1 + x
(2) y′ = x3(y2 + 1)
(3)
 y′ = −xyy(4) = 3
(4) (x+ 1)y′ = y + 6
(5) y′ =
x2y2
1 + x
(6)
 dy = −6xy dxy(0) = 7
(7)
 y′ = x3(y2 − 4)y(0) = −1
(8)
 x′ = −x ln tx(1) = e
(9) cosy dx+ x seny dy = 0
(10) y′ = e2x−3y
2.3 Equac¸o˜es com Coeficientes Homogeˆneos
Definic¸a˜o 2.4. Dizemos que uma func¸a˜o cont´ınua f e´ homogeˆnea de grau n se f(λx, λy) = λnf(x, y),
para todo λ ∈ R e (λx, λy) ∈ Dom(f).
Exemplo 2.5. Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o homogeˆneas e indique qual o grau:
(1) f(x, y) =
2x+ y
y − x (2) f(x, y) = e
x/y (3) f(x, t) =
1√
x+ t
(4) g(x, y) = 2x3 − 6xy2
Se f e´ uma func¸a˜o homogeˆnea de grau 0, temos que, para x 6= 0, f(x, y) = f (x · 1, x · yx) = x0f (1, yx),
ou seja, f(x, y) = F (y/x). Por exemplo, f(x, y) =
x2 − 5xy
xy + y2
e´ homogeˆnea de grau 0. De fato:
f(λx, λy) = λ
2(x2−5xy)
λ2(xy+y2)
= f(x, y), λ 6= 0. Ale´m disso, para x 6= 0,
f(x, y) =
x2 − 5xy
xy + y2
=
x2−5xy
x2
xy+y2
x2
=
1− 5(y/x)
(y/x) + (y/x)2
= F (y/x).
Definic¸a˜o 2.6. A EDO y′ = f(x, y) e´ dita homogeˆnea (ou de coeficientes homogeˆneos) se a func¸a˜o f e´
homogeˆnea de grau zero. Assim, uma equac¸a˜o homogeˆnea pode ser escrita na forma y′ = F (y/x) com
x 6= 0.
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel v = y/x, transformamos a equac¸a˜o homogeˆnea em uma equac¸a˜o com
varia´veis separa´veis. De fato, como y = x · v, segue que y′ = dy
dx
= 1 · v + x · v′. Da´ı obtemos a equac¸a˜o
v + xv′ = F (v). Logo, xv′ = F (v)− v, ou ainda, v
′
F (v)− v =
1
x
.
Exemplo 2.7. Resolver as equac¸o˜es e o PVI:
(1) y′ =
x+ y
x− y
(2) 2xy dy − (y2 − x2) dx = 0
(3) y′ =
y2
yx+ x2
(4) x′ =
2t+ 3x
t
(5)
 (t−
√
ty) dy = y dt
y(2) = 2
2.4 Outras Substituic¸o˜es
Mudanc¸as de varia´veis, em geral, sa˜o usadas para transformar uma equac¸a˜o diferencial que na˜o
sabemos resolver (ou mais complexa) em uma outra conhecida. Faremos substituic¸o˜es do tipo x = F (u, v)
e y = G(u, v), para F e G adequadas.
8
Homogeneizac¸a˜o:
EDOs da forma y′ =
a1x+ b1y + c1
a2x+ b2y + c2
, ai, bi, ci ∈ R, i = 1, 2, sa˜o homogeˆneas se c1 = c2 = 0.
Supondo c1 6= 0 ou c2 6= 0, a equac¸a˜o na˜o e´ homogeˆnea. Antes de mais nada, vamos estudar a posic¸a˜o
relativa das retas r : a1x+ b1y + c1 = 0 e s : a2x+ b2y + c2 = 0. Dessa forma:
(i) Se
∣∣∣∣∣∣ a1 b1a2 b2
∣∣∣∣∣∣ = 0, ou seja, a1b2 = a2b1 ⇒ a2a1 = b2b1 = k, enta˜o r ‖ s e, ale´m disso, temos
r : a1x+ b1y + c1 = 0 e s : k(a1x+ b1y) + c2 = 0.
Assim, fazendo a mudanc¸a de varia´vel u = a1x+b1y, obtemos uma equac¸a˜o com varia´veis separa´veis.
De fato, como u′ = a1 + b1y′, segue
a1 + b1y
′ = b1
(
a1x+ b1y + c1
a2x+ b2y + c2
)
+ a1 ⇒ u′ = b1
(
u+ c1
ku+ c2
)
+ a1.
(ii) Se
∣∣∣∣∣∣ a1 b1a2 b2
∣∣∣∣∣∣ 6= 0, as retas r e s sa˜o concorrentes. Seja (x◦, y◦) o ponto de intersec¸a˜o de r e s. A
mudanc¸a de varia´veis adequada agora e´ aquela na qual a origem do novo sistema de coordenadas e´
o ponto (x◦, y◦), isto e´, u = x− x◦ e v = y − y◦, ou melhor,
 x = u+ x◦y = v + y◦ . Portanto,
a1x + b1y + c1 = a1(u + x◦) + b1(v + y◦) + c1 = a1u + b1v + a1x◦ + b1y◦ + c1 = a1u + b1v (pois
a1x◦ + b1y◦ + c1 = 0, uma vez que (x◦, y◦) ∈ r)
e analogamente, a2x+ b2y + c2 = a2u+ b2v. Portanto, segue a equac¸a˜o homogeˆnea nas varia´veis u
e v:
dv
du
=
a1u+ b1v
a2u+ b2v
.
Exemplo 2.8. Resolva as EDOs e o PVI:
(1) y′ =
x− 2y + 2
2x− 4y + 1
(2) (x+ y + 1)dx+ (y − x− 3)dy = 0
(3)
 y
′ =
x+ y + 2
x+ 1
y(1) = 3
(4) (2x− y − 4)dx = (x− 2y + 1)dy
(5) (2x− y + 1)dx+ (2x− y)dy = 0
(6) y′ =
6x− y − 5
4x− y − 3
Exemplo 2.9. Resolva as equac¸o˜es abaixo usando as substituic¸o˜es dadas:
(1) xy2 dy − (y3 + x5) dx = 0; y = ux;
(2) (y + x− 2 + 1/x) dx = (2− x− y) dy; u = x+ y;
(3) y′ = (x+ y + 3)2; u = x+ y + 3;
(4) y′ = − y
2ex
1 + yex
; y = ue−x.
9
2.5 Equac¸a˜o Exata
Definic¸a˜o 2.10. Dadas as func¸o˜es M e N cont´ınuas num aberto Ω ⊆ R2, a EDO
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (2.1)
e´ chamada exata se existir uma func¸a˜o diferencia´vel V : Ω→ R tal que
∂V
∂x
(x, y) = M(x, y) e
∂V
∂y
(x, y) = N(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω.
Ou ainda, se existe V tal que dV = M(x, y) dx+N(x, y) dy. Ora, se dV = 0, a soluc¸a˜o geral e´ V (x, y) = c
que e´ chamada de curva integral.
Exemplo 2.11. Verifique se cada equac¸a˜o abaixo e´ exata. Caso seja exata, determine sua soluc¸a˜o:
(1) cos(y)dx− x sen(y) dy = 0
(2) 2xy3 dx+ 3x2y2 dy = 0
(3) x dx+ y dy = 0
(4) 2xy3 dx+ x2y3 dy = 0
O pro´ximo teorema e´ utilizado para identificar quando uma EDO e´ exata.
Teorema 2.12. (Teste de Exatida˜o) Suponhamos que as func¸o˜es M e N sejam de classe C1 num
retaˆngulo R = {(x, y) ∈ R2/a < x < b e c < y < d}. Enta˜o a EDO M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 e´
exata se, e somente se,
∂M
∂y
(x, y) =
∂N
∂x
(x, y), ∀(x, y) ∈ R.
Exemplo 2.13. Verifique que a equac¸a˜o dada e´ exata e resolva-a:
(1)

y′ =
x+ 2y
y − 2x
y(1) = 1
(y < 2x)
(2)

y′ = − 2x+ sen(y)
x cos(y)
, −pi/2 < y < pi/2
y(1) = pi/6
(3) (y − x3)dx+ (y2 + x)dy = 0; (x > 0)
(4) (2x+ ey − lnx)dx+ (xey + sen(y))dy = 0; (x > 0)
(5) (3x2 + 6xy − y2 + 1
x2
)dx+ (3x2 − 2xy + 3y2 − 1
4+y2
)dy = 0; (x > 0 ou x < 0)
(6) (sen(xy) + xy cos(xy))dx+ x2cos(xy)dy = 0
(7) (y/x+ ln y)dx+ (x/y + lnx)dy = 0; (x > 0 e y > 0)
(8)
 (1 + ln(xy))dx+ (1 + x/y)dy = 0 ; (x > 0 e y > 0)y(√2) = √2/2
10
2.6 Fatores Integrantes
Queremos resolver a equac¸a˜o (2y + 3x + 1x)dx + x dy = 0, x > 0, que na˜o e´ de varia´veis separa´veis,
nem homogeˆnea e nem exata. Note que, ao multiplica´-la por x, obtemos a equac¸a˜o
(2xy + 3x2 + 1)dx+ x2dy = 0
que e´ exata pois
∂M
∂y
(x, y) = 2x =
∂N
∂x
(x, y). Neste caso, a func¸a˜o µ(x) = x e´ chamada de fator integrante
da equac¸a˜o dada.
Definic¸a˜o 2.14. Suponhamos que em um aberto Ω ⊆ R2, a equac¸a˜o M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (*) na˜o
seja exata. Dizemos que a func¸a˜o na˜o nula µ = µ(x, y) definida num aberto Ω1 ⊆ Ω e´ um fator integrante
(f.i.) da equac¸a˜o (*) se a equac¸a˜o µ(x, y) ·M(x, y) dx+ µ(x, y) ·N(x, y) dy = 0 for exata em Ω1.
Exemplo 2.15. Verifique se a func¸a˜o µ dada e´ fator integrante da equac¸a˜o indicada:
(1) µ(y) =
1
y2
; y(xy + 1)dx− x dy = 0 (2) µ(x, y) = 1
(3 + y)(2 + x2)
; y′ =
3x+ xy
2y + x2y
Considere a EDO na˜o exata M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (*) em um aberto Ω ⊆ R2. Supondo que
M , N e µ sejam de classe C1 em um retaˆngulo R ⊆ Ω, temos que µ e´ um f.i. de (*) se, e somente se,
∂
∂y
(µ(x, y)M(x, y)) =
∂
∂x
(µ(x, y)N(x, y)), ∀(x, y) ∈ R.
Queremos determinar um f.i. µ, sabendo que µ depende apenas de uma varia´vel.
(i) µ = µ(x)
Como
∂
∂y
(µ(x)M(x, y)) =
∂
∂x
(µ(x)N(x, y)),temos que µ(x)My = µ
′(x) ·N +µ(x) ·Nx, ou melhor,
µ(x)(My −Nx) = µ′(x) ·N , ou ainda, µ
′(x)
µ(x)
=
My −Nx
N
. Integrando em relac¸a˜o a x, obtemos
ln |µ(x)| =
∫
My −Nx
N
dx e, portanto, seque que um f.i. µ = µ(x) da equac¸a˜o (*) e´ dado por
µ(x) = e
∫ My−Nx
N
dx
(ii) µ = µ(y)
De modo ana´logo ao item (i), o f.i. para a equac¸a˜o (*) e´ dado por
µ(y) = e
∫ Nx−My
M
dy
Exemplo 2.16. Dadas as equac¸o˜es abaixo, encontre um f.i. para elas e resolva-as:
(1) ey(x2 + 1) dx− 2 dy = 0
(2) (
√
x− 3 + y) dx− x dy = 0
(3) 3(x+ y)2dx+ x(3y + 2x)dy = 0
(4) (x+ 2y) dx− x dy = 0
2.7 Equac¸a˜o Linear
Uma EDO de primeira ordem da forma
y′ + p(x)y = q(x), (2.2)
11
com p e q func¸o˜es cont´ınuas num intervalo aberto I, e´ chamada de equac¸a˜o linear de primeira ordem.
Se q(x) = 0 para todo x ∈ I, a equac¸a˜o e´ dita linear homogeˆnea, caso contra´rio, e´ dita linear na˜o
homogeˆnea.
Para resolver a equac¸a˜o (2.2), vamos reescreveˆ-la na forma [p(x)y − q(x)]dx + dy = 0. Tomando
M(x, y) = p(x)y − q(x) e N(x, y) = 1, segue que ∂M∂y = p(x) e ∂N∂x = 0.
(i) Se p ≡ 0 em I, temos a soluc¸a˜o geral de (2.2) dada por y(x) = ∫ q(x) dx.
(ii) Se p 6= 0 em I, a equac¸a˜o (2.2) na˜o e´ exata. Neste caso, procuraremos um f.i. para ela.
Como
My−Nx
N = p(x), enta˜o µ(x) = e
∫
p(x) dx. Assim, multiplicando a equac¸a˜o (2.2) por µ(x) temos
que
y′e
∫
p(x) dx + p(x)ye
∫
p(x) dx = q(x)e
∫
p(x) dx
ou melhor
d
dx
[
y(x)e
∫
p(x) dx
]
= q(x)e
∫
p(x) dx
Integrando, obtemos
ye
∫
p(x) dx =
∫
q(x)e
∫
p(x) dxdx
Dessa forma, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o linear (2.2) e´ dada por:
y(x) = e−
∫
p(x) dx ·
∫
q(x)e
∫
p(x) dxdx.
Exemplo 2.17. Resolva as EDOs e os PVIs:
(1)
 y′ + 2xy = xy(0) = 2
(2)
 tx′ + x = tx(4) = 1
(3)
 y′ + 2y = e−4ty(0) = 3/2
(4)
 xy′ +
y
2 = x lnx
y(1) = −1
(5)
 y′ = 2x2 − x2yy(0) = 1
(6)
 ty′ + 2y = 4t2y(1) = 2
(7) y′ + 3y = te−2t
(8) y′ + y = te−t + 1
(9) y′ + yt = 3cos2t, t > 0
(10) 2y′ + y = 3t
2.8 Equac¸a˜o de Bernoulli
A EDO de primeira ordem da forma
y′ + p(x)y = q(x)yα (2.3)
com α ∈ R, p e q func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo aberto I, e´ chamada de Equac¸a˜o de Bernoulli.
12
Para α = 0 ou α = 1 a equac¸a˜o e´ linear. Caso α > 0, a func¸a˜o y(x) = 0 e´ uma soluc¸a˜o constante,
para todo x ∈ I. Dividindo a equac¸a˜o (2.3) por yα, obtemos
y′
yα
+ p(x) · 1
yα−1
= q(x).
Fazendo u =
1
yα−1
, obtemos uma equac¸a˜o linear em u. De fato:
u′ =
−(α− 1) · yα−2 · y′
(yα−1)2
= (1− α) y
′
yα
que substituindo na equac¸a˜o anterior, segue a equac¸a˜o
u′
1− α + p(x)u = q(x)
ou ainda
u′ + p(x)(1− α)u = q(x)(1− α).
2.9 Equac¸a˜o de Riccati
Uma EDO de primeira ordem na forma
y′ + p(x)y + q(x)y2 = f(x) (2.4)
com p, q e f func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo aberto I e q(x) 6= 0, para todo x ∈ I, e´ chamada de
Equac¸a˜o de Riccati.
Supondo que y1 seja uma soluc¸a˜o na˜o identicamente nula da equac¸a˜o de Riccati (2.4), fazendo a
mudanc¸a de varia´vel y = y1 +
1
u
, obtemos uma equac¸a˜o linear em u.
Exemplo 2.18. Resolva as equac¸o˜es:
(1) y′ + y = xy2
(2) y′ + xy =
x
y
(3) (xy2)′ = (xy)3 · (x2 + 1)
(4) y′+2xy = 1+x2+y2, y1 = x
(5) y′−xy2 +(2x−1)y = x−1,
y1 = 1
(6) y′+ y2− (1 + 2ex)y = −e2x,
y1 = e
x
2.10 Equac¸a˜o de Clairaut
A equac¸a˜o de Clairaut tem a forma
y = xy′ + f(y′) (2.5)
Se em (2.5) fazemos y′ = p, obtemos
y = xp+ f(p) (2.6)
Derivando (2.6), temos y′ = p+ xp′ + f ′(p) · p′ e, como y′ = p, enta˜o
p = p+ xp′ + f ′(p) · p′ ⇒ xp′ + f ′(p) · p′ = 0⇒ (x+ f ′(p)) · p′ = 0⇒ p′ = 0 ou x+ f ′(p) = 0.
Se p′ = 0, enta˜o p = c, com c ∈ R e, de (2.6) obtemos a soluc¸a˜o geral:
y = xc+ f(c), em que c ∈ R.
A igualdade acima representa uma famı´lia de retas que e´ soluc¸a˜o de (2.5).
13
Se x+ f ′(p) = 0, enta˜o obtemos as seguintes soluc¸o˜es singulares da equac¸a˜o de Clairaut:
y(x) = xp(x) + f(p(x)).
Exemplo 2.19. Determinar a soluc¸a˜o geral e a soluc¸a˜o singular das seguintes equac¸o˜es de Clairaut:
(1) y = xy′ − ln y′
(2) y − xy′ = 3(y′)2
(3) x(y′)3 − y(y′)2 + 1 = 0
(4) y′ · (xy′ − y + 5) + 4 = 0
(5) y = xy′ +
√
4 + (y′)2
(6) y − xy′ = (y′)2
2.11 Algumas Aplicac¸o˜es
2.11.1 Problemas de Decaimento e Crescimento
Seja y(t) a quantidade de uma determinada substaˆncia (ou populac¸a˜o) sujeita a um processo de cres-
cimento ou decrescimento. Se admitirmos que dy/dt, taxa de variac¸a˜o da quantidade de substaˆncia, e´
proporcional a` quantidade de substaˆncia presente, enta˜o
dy
dt
= ky, k ∈ R.
onde k e´ a constante de proporcionalidade.
Observac¸a˜o 2.20. O tempo necessa´rio para reduzir uma substaˆncia a` metade da quantidade inicial e´
chamado meia-vida da substaˆncia.
2.11.2 Problemas de Temperatura
Lei de Resfriamento de Newton: “A velocidade de resfriamento de um corpo e´ proporcional a` diferenc¸a
entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente”.
Se T e´ a temperatura do corpo no instante t, enta˜o dTdt e´ a velocidade de resfriamento do corpo no
instante t. Portanto, segue a EDO
dT
dt
= k(T − Ta), k ∈ R, k < 0,
onde Ta e´ a temperatura constante do ambiente e k e´ uma constante positiva de proporcionalidade que
depende do material com que o corpo foi constru´ıdo.
2.11.3 Queda dos corpos com resisteˆncia do ar
Consideremos um corpo de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e pela
resisteˆncia do ar proporcional a` velocidade do corpo. Admitimos que tanto a gravidade como a massa
permanec¸am constantes e, por convenieˆncia, escolhemos o sentido “para baixo”como sentido positivo.
A Segunda Lei de Newton do movimento nos diz que
F = m · a (2.7)
onde F e´ a forc¸a resultante que atua sobre o corpo e a e´ a acelerac¸a˜o dada por a = dvdt ; v e´ a velocidade
do corpo, ambas consideradas no instante t.
14
Neste caso, existem duas forc¸as atuando sobre o corpo:
(1) a forc¸a devida a` gravidade, dada pelo peso do corpo, e que e´ igual a mg;
(2) a forc¸a devida a` resisteˆncia do ar, dada por −kv, onde k ≥ 0 e´ uma constante de proporcionalidade.
O sinal negativo se torna necessa´rio porque esta forc¸a se opo˜e a` velocidade, isto e´, atua no sentido “para
cima”, ou seja, no sentido negativo.
De (2.7) e de a = dvdt , temos mg − kv = mdvdt ou
dv
dt
+
k
m
v = g (2.8)
como equac¸a˜o do movimento do corpo.
Observac¸a˜o 2.21.
1. Se a resisteˆncia do ar e´ desprez´ıvel, ou na˜o existente, enta˜o k = 0 e (2.8) se simplifica para dvdt = g.
2. Quando k > 0, a velocidade limite vl e´ definida por
vl =
mg
k
(2.9)
3. As equac¸o˜es (2.8) e (2.9) sa˜o va´lidas somente se as condic¸o˜es dadas forem satisfeitas. Tais condic¸o˜es
na˜o sa˜o va´lidas, por exemplo, se a resisteˆncia do ar na˜o for proporcional a` velocidade, e sim ao quadrado
da velocidade, ou se considerar como positivo o sentido “para cima”.
2.11.4 Problemas de Diluic¸a˜o
Consideremos um tanque com uma quantidade inicial de V0 galo˜es de salmoura que conte´m a libras de
sal. Despeja-se no tanque uma outra soluc¸a˜o de salmoura com b libras de sal por gala˜o, a` raza˜o de e
gal/min, enquanto simultaneamente, a soluc¸a˜o resultante, bem misturada, se escoa do tanque a` raza˜o de
f gal/min.
O problema consiste em determinar a quantidade de sal presente no instante t.
Seja Q a quantidade de sal (em libras) presente no tanque num instante qualquer. A taxa de variac¸a˜o
de Q, dQ/dt, e´ igual a taxa a qual o sal entra no tanque, menos a taxa a` qual o sal se escoa do tanque.
Ora, o sal entra no tanque a` taxa de b · e lb/min. Para determinar a taxa de sa´ıda do sal, devemos
primeiro calcular o volume de salmoura presente no tanque no instante t, que e´ o volume inicial V0 mais
o volume adicionado e · t, menos o volume escoado, f · t. Assim, o volume de salmoura no instante t e´
V0 + e · t− f · t.
A concentrac¸a˜o de sal no tanque, em um instante qualquer, e´ dada por
Q
V0 + e · t− f · t , de onde
conclu´ımos que o sal sai do tanque a` taxa de f · Q
V0 + e · t− f · t lb/min. Assim,
dQ
dt
= b · e− f · Q
V0 + e · t− f · t
ou ainda
dQ
dt
+
f
V0 + e · t− f · tQ = b · e
15
2.11.5Trajeto´rias Ortogonais
Consideremos uma famı´lia de curvas a um paraˆmetro no plano xy definida por
F (x, y, c) = 0 (2.10)
onde c e´ o paraˆmetro. O problema consiste em determinar outra famı´lia de curvas, chamadas trajeto´rias
ortogonais da famı´lia (2.10), e dada analiticamente por G(x, y, k) = 0, tais que cada curva dessa famı´lia,
intercepta ortogonalmente cada curva da famı´lia original (2.10).
Primeiro derivamos implicitamente (2.10), em relac¸a˜o a x, em seguida eliminamos c entre esta equac¸a˜o
derivada e a equac¸a˜o (2.10). Obtemos uma equac¸a˜o entre x, y e y′, que resolvemos em relac¸a˜o a y′,
chegando a uma equac¸a˜o diferencial da forma
dy
dx
= f(x, y).
As trajeto´rias ortogonais de (2.10) sa˜o as soluc¸o˜es de
dy
dx
= − 1
f(x, y)
.
16
2.12 Exerc´ıcios
1. Verifique se a func¸a˜o dada e´ soluc¸a˜o da EDO indicada:
(a) y(x) = − 2
x2−1 , −1 < x < 1; y′ = xy2
(b) x(t) = et
3
; x′ = 3xt2
(c) y(t) = tg(t), −pi2 < t < pi2 ; y′ = 1 + y2
2. Mostre que y = 2x+kex e´ a primitiva da equac¸a˜o y′−y = 2(1−x) e determine a soluc¸a˜o particular
relativa a x = 0 e y = 3 (determinando o valor de k). Resp. y = 2x+ 3ex
3. Resolva o PVI y′ + y = 0; y(3) = 2, sabendo que a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e´ y = ke−x, onde k e´
uma constante arbitra´ria. Resp. y = 2e3−x
4. Resolva o PVI y′′ + 4y = 0; y(0) = 0; y′(0) = 1, sabendo que a soluc¸a˜o geral tem a forma
y = a sen(2x) + b cos(2x) (a, b constantes). Resp. y = 12sen(2x)
5. Resolva as EDOs e os PVIs:
1. y′(t) = e−2ysen2(t)
2. x′(t) = cos2x
3.

du
dw
=
u2 − u
wln(w)
u(e) = 5
4.
dv
dx
=
vx2ln(x)
ln(v)
5.
 ey
′
= x
y(1) = 4
6.

ln
(
yy′
x
)
= x
y(1) = 2
7.
 r
du
dr
= u2 + 1
u(1) = 1
8.
 sen2θdr + cos2rdθ = 0θ(pi4 ) = pi4
9. 4xdy − ydx = x2dy
10. y′ =
4y
x(y − 3)
11. xy′ − y + xy3(1 + lnx) = 0
12.
 y′ + ycotg(x) = 5ecos(x)y(pi2 ) = −4
13. y(xy + 1)dx+ x(1 + xy + x2y2)dy = 0;
u = xy
14. y′ − y = xy5
15. y′ = − 1
x2
− y
x
+ y2, sabendo que y1 =
1
x
16. y′ = 1 + x2 − 2xy + y2; y1 = x
17. y′ = (y − 4x)2; u = y − 4x
17
18. y′ +
y
3
=
1
3
(1− 2x)y4
19. (x4 + y4)dx− xy3dy = 0
20.
 (y2 + xy)dx− x2dy = 0y(1) = 1
21. y′ + 2xy + xy4 = 0
22. 2xdy − 2ydx =
√
x2 + 4y2 dx
23.
 y
′ =
x+ 2y
1− 2x
y(1) = 1
24.
 xy
′ = y + xey/x, x > 0
y(1) = 1
25. xyy′ = x2e−y/x + y2
26. (e2y − y cos(xy))dx + (2xe2y − x cos(xy) +
2y)dy = 0
27.
 x(lnx− ln y − 1)y
′ + y = 0
y(1) = e
28.
(
1 + lnx+ yx
)
dx = (1− lnx)dy
29.
 (cos(x) · sen(x)− xy
2)dx+ y(1− x2)dy = 0
y(0) = 2
30.
 (e
y + y)dx+ (2 + x+ xey)dy = 0
y(0) = 1
31. (xy2 + 2)dx+ 3x2y dy = 0
32. 2x+ 2y − 1 + y′(x+ y − 2) = 0
33. (2x− 4y)dx+ (x+ y − 3)dy = 0
34. (x− 2y − 1)dx+ (3x− 6y + 2)dy = 0
35. (x− y + 3)dx+ (3x+ y + 1)dy = 0
36. (cos y + y cos x)dx+ (sen x− x sen y)dy = 0
37. x dy − y dx = (1− x2)dx
38. xy′ = y + x3 + 3x2 − 2x
39. x dy − y dx−
√
x2 + y2dx = 0
40. (2x+ 3y)dx+ (y − x)dy = 0
41. xy′ − y + xy3(1 + lnx) = 0
42. y ln y dx+ (x− ln y)dy = 0
43. (x3 + y3)dx− 3xy2dy = 0
44. 2x(yex
2 − 1)dx+ ex2dy = 0
45. (x+ 2y)dx+ (2x+ 3y)dy = 0
46. (x+ y)dx+ (3x+ 3y − 4)dy = 0
6. Determine uma EDO do tipo M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, cujas soluc¸o˜es y = y(x) sejam dadas
implicitamente por:
(a) x2 + x ln y −√xy = c (b) x cos2(x+ y)− y3 ln(xy) = c
7. Determine o valor de a para o qual a equac¸a˜o
(6xy3 + cos(y)− xex2)dx+ (ax2y2 − x sen(y))dy = 0
seja exata e resolva-a.
18
8. Resolva o PVI
 (2x sen y + excos y)dx+ (x2cos y − exsen y)dy = 0y(0) = pi/4
9. Em cada um dos itens abaixo, escreva uma EDO que seja modelo matema´tico para a situac¸a˜o
descrita:
(a) A taxa de variac¸a˜o temporal de uma populac¸a˜o P e´ proporcional a` raiz quadrada de P .
(b) A taxa de variac¸a˜o temporal da velocidade v de uma lancha e´ proporcional ao quadrado de v.
(c) A acelerac¸a˜o dvdt de um certo carro e´ proporcional a` diferenc¸a entre 250 km/h e a velocidade do
carro.
(d) Em uma cidade com uma populac¸a˜o fixa de P pessoas, a taxa de variac¸a˜o do nu´mero N de pessoas
que escutaram um certo boato e´ proporcional ao nu´mero das que ainda na˜o escutaram este boato.
(e) Em uma cidade com uma populac¸a˜o fixa de P pessoas, a taxa de variac¸a˜o do nu´mero N de pessoas
que contra´ıram certa doenc¸a e´ proporcional ao produto do nu´mero de pessoas que tem a doenc¸a
pelo nu´mero de pessoas que na˜o tem.
10. Uma substaˆncia X se decompo˜e exponencialmente, e apenas a metade da quantidade inicial de
X permanece apo´s 2 anos. Quanto tempo deve ser necessa´rio para que 5 Kg de X decaia para 1 Kg?
(4,6 anos)
11. Encontre a meia-vida de uma substaˆncia radioativa se 25% dela desaparece em 10 anos. (24 anos)
12. Uma cultura de bacte´rias cresce numa taxa que e´ inversamente proporcional a` raiz quadrada do
nu´mero presente. Se existem 9 unidades presentes inicialmente e 16 presentes apo´s 2 dias, apo´s quantos
dias existira˜o 36 unidades? (10,2 dias)
13. Em uma certa soluc¸a˜o existem 2g de um produto qu´ımico. Depois de uma hora existem 3g deste
produto. Se a raza˜o de crescimento desse produto e´ proporcional a` raiz quadrada do tempo em que ele
esta´ presente na soluc¸a˜o, quantos gramas existira˜o apo´s 4 horas? (10 gramas)
14. Um ator de cinema que pesa 120 Kg precisa fazer um severo regime para emagrecer, em virtude
do seu papel num novo filme a ser rodado. O diretor exige que ele perca a terc¸a parte do seu peso no
ma´ximo em 7 meses, seguindo uma dieta racional que o emagrec¸a proporcionalmente ao peso de cada
dia. Nestas condic¸o˜es, sabendo-se que, iniciada a dieta, o artista emagrecera´ 20 Kg em 80 dias, quanto
tempo sera´ necessa´rio para comec¸ar a rodar o filme? (6 meses)
15. A temperatura ma´xima que pode ser lida em um certo termoˆmetro e´ 110◦F. Quando o termoˆmetro
acusa 36◦F, ele e´ colocado num forno. Apo´s 1 e 2 minutos ele marca, respectivamente, 60◦F e 82◦F. Qual
19
a temperatura do forno? (324◦)
16. De acordo com a lei de arrefecimento, a taxa de resfriamento de uma substaˆncia numa corrente
de ar e´ proporcional a diferenc¸a entre a temperatura da substaˆncia e a temperatura do ar. Sendo a
temperatura do ar 30◦C e resfriando a substaˆncia de 100◦ ate´ 70◦C em 15 minutos, determine o momento
em que a temperatura sera´ 40◦C. (52 min.)
17. Coloca-se uma barra de metal, a` temperatura de 100◦F em um quarto com temperatura constante
de 0◦F. Se apo´s 20 minutos a temperatura da barra e´ de 50◦F, determine:
(a) o tempo necessa´rio para a barra chegar a` temperatura de 25◦F; (39,6 min)
(b) a temperatura da barra apo´s 10 minutos. (70,5◦F)
18. Sabe-se que uma cultura de bacte´rias cresce a uma taxa proporcional a` quantidade presente.
Apo´s 1 hora, observam-se 1000 nu´cleos de bacte´rias na cultura, e apo´s 4 horas, 3000 nu´cleos. Determine:
(a) uma expressa˜o para o nu´mero de nu´cleos presentes na cultura no tempo arbitra´rio t; (y(t) = 694e0,366t)
(b) o nu´mero de nu´cleos inicialmente existentes na cultura. (694)
19. Deixa-se cair um corpo de 5 “slugs”de uma altura de 100 pe´s, com velocidade inicial zero. Supondo
que na˜o haja resisteˆncia do ar, determine:
(a) a expressa˜o da velocidade do corpo no instante t; (v(t) = 32t)
(b) a expressa˜o da posic¸a˜o do corpo no instante t; (x(t) = 16t2)
(c) o tempo necessa´rio para o corpo atingir o solo. (2,5 seg.)
20. Um tanque conte´m inicialmente 100 galo˜es de salmoura com 20 libras de sal. No instante t = 0,
comec¸a-se a entrar no tanque a´gua pura a` raza˜o de 5 gal/min, enquanto a mistura resultante se escoa do
tanque a` mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t. (Q(t) = 20e−t/20)
21. Determine as trajeto´rias ortogonais da famı´lia de curvas x2 + y2 = c2. (y(x) = kx)
22. Um corpo a` temperatura inicial de 50◦F e´ colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente e´
de 100◦F. Se apo´s 5 minutos a temperatura do corpo e´ de 60◦F, determine:
(a) o tempo necessa´rio para a temperatura do corpo atingir 75◦F; (15,4 min)
(b) a temperatura do corpo apo´s 20 minutos. (79,5◦F)23. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida num quarto mantido a` temperatura constante
de 30◦F. Se apo´s 10 minutos a temperatura do corpo e´ 0◦F, e apo´s 20 minutos e´ 15◦F, determine a
temperatura inicial desconhecida. (-30◦F)
20
24. Sabe-se que certa substaˆncia radioativa diminui a uma taxa proporcional a` quantidade presente.
Se, inicialmente, a quantidade de material e´ 50 miligramas, e se observa que apo´s duas horas perderam-se
10% da massa original, determine:
(a) a expressa˜o para a massa de substaˆncia restante em um tempo arbitra´rio t; (y(t) = 50e−0,053t)
(b) a massa restante apo´s 4 horas; (y = 40, 5 mg)
(c) o tempo necessa´rio para que a massa inicial fique reduzida a` metade. (13 horas)
25. Sabe-se que a populac¸a˜o de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero de
habitantes existentes. Se apo´s dois anos a populac¸a˜o e´ o dobro da inicial, e apo´s treˆs anos e´ de 20.000
habitantes, determine a populac¸a˜o inicial. (7062)
26. Deixa-se cair um corpo com 64 libras de peso de uma altura de 100 pe´s, com velocidade inicial de
10 pe´s/s. Supondo a resisteˆncia do ar proporcional a` velocidade do corpo, e sabendo-se que a velocidade
limite e´ de 128 pe´s/s, determine:
(a) uma expressa˜o para a velocidade do corpo no instante t; (v(t) = ce−t/4 + 128)
(b) uma expressa˜o para a posic¸a˜o do corpo no instante t. (x(t) = 472e−t/4 + 128t− 472)
27. Um tanque conte´m inicialmente 100 galo˜es de salmoura com 1 libra de sal. No instante t = 0,
adiciona-se outra soluc¸a˜o de salmoura com 1 libra de sal por gala˜o, a` raza˜o de 3 gal/min, enquanto a
mistura resultante se escoa do tanque a` mesma taxa. Determine:
(a) a quantidade de sal presente no tanque no instante t; (Q(t) = −99e−0,03t + 100)
(b) o instante em que a mistura restante no tanque contera´ 2 libras de sal. (t = 0, 338 min)
28. Determine as trajeto´rias ortogonais da famı´lia de curvas y = cx2. (12x
2 + y2 = k)
29. Determine as trajeto´rias ortogonais da famı´lia de curvas x2 + y2 = cx. (x2 + y2 = ky)
21
Cap´ıtulo 3
Equac¸o˜es Diferenciais Lineares de
Ordem n, n > 1
Vimos que a EDO linear de primeira ordem e´ da forma y′ + p(x)y = q(x), com p e q sa˜o func¸o˜es
cont´ınuas, e pode ser resolvida usando um fator integrante. Nesta sec¸a˜o, estudaremos EDOs lineares de
ordem maior que um.
Definic¸a˜o 3.1. Uma equac¸a˜o diferencial linear de ordem n e´ da forma
a◦(x)
dny
dxn
+ a1(x)
dn−1y
dxn−1
+ . . .+ an−1(x)
dy
dx
+ an(x)y = F (x) (3.1)
onde a◦(x), a1(x), . . ., an−1(x) e an(x) sa˜o frequentemente denotadas por a◦, a1, . . ., an, por simplicidade.
Se todos os coeficientes a◦(x), a1(x), . . ., an−1(x) e an(x) sa˜o constantes, isto e´, sa˜o nu´meros reais,
chamamos a equac¸a˜o (3.1) de equac¸a˜o diferencial linear com coeficientes constantes. Entretanto, se
nem todos os coeficientes sa˜o constantes, dizemos que (3.1) e´ uma equac¸a˜o diferencial com coeficientes
varia´veis. Se F (x) ≡ 0, enta˜o a equac¸a˜o (3.1) e´ chamada de homogeˆnea. A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
homogeˆnea
a◦(x)
dny
dxn
+ a1(x)
dn−1y
dxn−1
+ . . .+ an−1(x)
dy
dx
+ an(x)y = 0 (3.2)
sera´ chamada de soluc¸a˜o complementar, e sera´ denotada por yc. Uma soluc¸a˜o selecionada da equac¸a˜o
(3.1) sera´ chamada de soluc¸a˜o particular e a denotaremos por yp.
Observac¸a˜o 3.2. Na˜o confundir a palavra homogeˆnea empregada aqui com a homoˆnima usada no estudo
de equac¸o˜es diferenciais homogeˆneas de primeira ordem relacionada com func¸o˜es homogeˆneas de grau zero,
da sec¸a˜o 1.1.3.
Exemplo 3.3. As equac¸o˜es
y′′ − 5y′ + 4y = 3sen(4x) e 2y′′′ − 5y′ + 7y = ln(x2) + 3x3
sa˜o equac¸o˜es diferenciais lineares com coeficientes constantes de ordens 2 e 3, respectivamente.
Ja´ as equac¸o˜es
x2y′′ + 2y′ − xy = ex + 3 e d
4y
dx4
+ xy = 0
sa˜o equac¸o˜es diferenciais lineares com coeficientes varia´veis de ordens 2 e 4, respectivamente.
22
Teorema 3.4. (1o Teorema Fundamental) Se y = u(x) e´ uma soluc¸a˜o qualquer da equac¸a˜o (3.1) e
y = v(x) e´ uma soluc¸a˜o qualquer da equac¸a˜o (3.2), enta˜o y = u(x) + v(x) e´ uma soluc¸a˜o de (3.1).
Teorema 3.5. (2o Teorema Fundamental) A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3.1) pode ser obtida encontrando-
se uma soluc¸a˜o particular yp desta equac¸a˜o e somando-a a` soluc¸a˜o complementar yc, que e´ soluc¸a˜o geral
da equac¸a˜o (3.2).
Exemplo 3.6. Encontre a soluc¸a˜o geral de y′′ − 5y + 6y = 3x.
A equac¸a˜o homogeˆnea associada a` equac¸a˜o dada e´ y′′−5y+6y = 0. Veremos mais adiante como achar as
soluc¸o˜es dessas equac¸o˜es. Por enquanto, vamos verificar que yc = c1e
3x+c2e
2x e´ a soluc¸a˜o complementar,
ou seja, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea. Tambe´m pode se verificar que yp =
1
2x +
5
12 e´ uma soluc¸a˜o
particular da equac¸a˜o dada. Logo, do 2o Teorema Fundamental temos que a soluc¸a˜o geral que procuramos
e´ y = yc + yp = c1e
3x + c2e
2x + 12x+
5
12 .
Estudaremos como obter as soluc¸o˜es complementar e particular da equac¸a˜o (3.1) nas sec¸o˜es seguintes
para o caso mais importante em que as equac¸o˜es diferenciais tem coeficientes constantes. O caso de
coeficientes varia´veis somente pode ser resolvido de uma forma exata em algumas situac¸o˜es especiais.
Os problemas do tipo
a◦(x)
dny
dxn
+ a1(x)
dn−1y
dxn−1
+ . . .+ an−1(x)
dy
dx
+ an(x)y = F (x)
y(x◦) = y◦
y′(x◦) = y′◦
...
y(n−1)(x◦) = y
(n−1)
◦
(3.3)
sa˜o chamados de problema de valor inicial (PVI).
3.1 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es
Teorema 3.7. (Existeˆncia e Unicidade) Sejam a◦(x) 6= 0, a1(x), . . ., an(x) e F (x) func¸o˜es cont´ınuas
no intervalo a ≤ x ≤ b, e suponha que p◦, p1, . . ., pn−1 sa˜o constantes dadas. Enta˜o existe uma u´nica
soluc¸a˜o y(x) satisfazendo o PVI (3.3), com a ≤ x◦ ≤ b.
Como no Teorema de Existeˆncia e Unicidade para equac¸o˜es de primeira ordem, este teorema fornece
somente condic¸o˜es suficientes. Isto e´, se as condic¸o˜es afirmadas no teorema na˜o sa˜o satisfeitas, a soluc¸a˜o
u´nica podera´ ainda existir.
Exemplo 3.8. Dado o PVI

y′′ − 4y = 12x
y(0) = 4
y′(0) = 1
, a func¸a˜o y = 3e2x + e−2x − 3x e´ soluc¸a˜o para o PVI?
Se for soluc¸a˜o, esta soluc¸a˜o e´ u´nica?
Temos y′ = 6e2x − 2e−2x − 3 e y′′ = 12e2x + 4e−2x. Assim:
23
y′′ − 4y = 12e2x + 4e−2x − 4(3e2x + e−2x − 3x) = 12e2x + 4e−2x − 12e2x − 4e−2x + 12x = 12x.
Ou seja, y e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o. Ale´m disso, y(0) = 3e0 + e0−3 ·0 = 4 e y′(0) = 6e0−2e0−3 = 1. Logo,
y e´ soluc¸a˜o do PVI. Note que a equac¸a˜o e´ linear, os coeficientes e F (x) = 3x sa˜o cont´ınuas e a◦ = 1 6= 0
em qualquer intervalo contendo x = x◦ = 0. Portanto, do teorema anterior, y e´ a u´nica func¸a˜o que e´
soluc¸a˜o do PVI.
3.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas com Coeficientes Constantes
Nesta sec¸a˜o, estudaremos me´todos para obter a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o linear homogeˆnea com
coeficientes constantes
a◦y(n) + a1y(n−1) + . . .+ any = 0. (3.4)
Associaremos a` equac¸a˜o acima, a equac¸a˜o a◦λn + a1λ(n−1) + . . . + an = 0, chamada de Equac¸a˜o
Caracter´ıstica ou Equac¸a˜o Auxiliar. Veremos que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.4) e´ uma func¸a˜o exponencial
do tipo y = eλx. Dessa forma, a func¸a˜o y = eλx e´ soluc¸a˜o de (3.4) se, e somente se, λ for ra´ız da equac¸a˜o
caracter´ıstica a◦λn + a1λ(n−1) + . . .+ an = 0.
Estudaremos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.4) a partir dos tipos de ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica.
1o CASO: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem k ra´ızes reais distintas, 1 ≤ k ≤ n (λ1 6= λ2 6= . . . 6= λk)
Neste caso, a soluc¸a˜o correspondente a essas k ra´ızes e´ da forma
y(x) = c1e
λ1x + c2e
λ2x + . . .+ cke
λkx,
com ci ∈ R.
2o CASO: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem uma ra´ız real λ de multiplicidade k, 1 < k ≤ n
As func¸o˜es y1 = e
λx, y2 = xe
λx, . . ., yk = x
k−1eλx sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o (3.4) e a soluc¸a˜o corres-
pondente a essas k ra´ızes iguais e´ dada por
y(x) = c1e
λx + c2xe
λx + . . .+ ckx
k−1eλx,
com ci ∈ R.
3o CASO: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem pares distintos de ra´ızes complexas conjugadas (λ1 = α+βi
eλ2 = α− βi; α, β ∈ R e β 6= 0
Para cada par distinto, as func¸o˜es y1 = e
αxcos(βx) e y2 = e
αxsen(βx) sa˜o soluc¸o˜es de (3.4) e a soluc¸a˜o
correspondente a cada par desse e´ dada por
y(x) = eαx(c1cos(βx) + c2sen(βx)),
c1, c2 ∈ R.
4o CASO: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem pares de ra´ızes complexas conjugadas (λ1 = α + βi e
λ2 = α− βi) de multiplicidade k, 1 < k ≤ n2
24
As func¸o˜es y1 = e
αxcos(βx), y2 = xe
αxcos(βx), . . ., yk = x
k−1eαxcos(βx) e w1 = eαxsen(βx),
w2 = xe
αxsen(βx), . . ., wk = x
k−1eαxsen(βx) sa˜o soluc¸o˜es de (3.4) e a soluc¸a˜o correspondente a esses k
pares distintos de soluc¸o˜es e´ a combinac¸a˜o linear deles dada por
y(x) =
k∑
i=1
ciyi + aiwi,
com ci, ai ∈ R.
Exemplo 3.9. Resolva as EDOs e os PVIs:
(1)

y′′ − 4y′ − 5y = 0
y(0) = 1
y′(0) = 0
(2)

y′′ − 6y′ + 9y = 0
y(0) = −2
y′(0) = 1
(3)

y′′ + 4y′ + 5y = 0
y(0) = 0
y′(0) = 2
(4) y(4) − 2y(3) + y′′ = 0
(5) y′′′ + y = 0
(6) y(6) + 2y(5) + 5y(4) = 0
(7) y(4) + 16y = 0
(8) y(4) + 2y′′ + y = 0
(9) y′′ − 3y′ = 0
(10) y′′ + 3y′ − 4y = 0
(11) y′′ +m2y = 0
(12)

3y′′ + 2y′ − 8y = 0
y(0) = 5
y′(0) = −2
(13)

w′′ − 10w′ + 25w = 0
w(0) = 0
w′(1) = 1
(14)

y′′ − 2y′ + 10y = 0
y(pi/6) = 0
y′(pi/6) = epi/6
3.3 Independeˆncia Linear e o Wronskiano
Consideremos a equac¸a˜o diferencial y′′′− 6y′′+ 1y′− 6y = 0. De acordo com a sec¸a˜o anterior, como a
equac¸a˜o caracter´ıstica associada a essa equac¸a˜o possui as ra´ızes λ = 1, λ = 2 e λ = 3, que nos fornecem
ex, e2x e e3x como soluc¸o˜es, enta˜o a soluc¸a˜o geral dessa equac¸a˜o e´ a func¸a˜o y(x) = c1e
x + c2e
2x + c3e
3x.
Suponha, contudo, que de alguma forma tenhamos chegado a`s treˆs func¸o˜es
e2x + 2ex, 5e2x + 4ex, ex − e2x
as quais, como podemos verificar, sa˜o todas soluc¸o˜es. Podemos enta˜o dizer que
y(x) = A(e2x + 2ex) +B(5e2x + 4ex) + C(ex − e2x)
com A,B,C constantes, e´ a soluc¸a˜o geral?
Se observarmos, notaremos que a u´ltima func¸a˜o pode ser escrita como
y(x) = (2A+ 4B + C)ex + (A+ 5B − C)e2x ou y(x) = c1ex + c2e2x
que na˜o possui treˆs constantes arbitra´rias e, portanto, na˜o pode ser a soluc¸a˜o geral. Note que existem
treˆs constantes a, b, c nem todas nulas tais que
a(e2x + 2ex) + b(5e2x + 4ex) + c(ex − e2x) ≡ 0
por exemplo, a = 3, b = −1 e c = −2. Neste caso, apesar de termos treˆs soluc¸o˜es, elas sa˜o de alguma
forma dependentes. Isso nos leva a seguinte definic¸a˜o.
25
Definic¸a˜o 3.10. Um conjunto de func¸o˜es distintas y1(x), y2(x), . . ., yn(x), que denotaremos simplesmente
por y1, y2, . . ., yn, e´ dito linearmente dependente (LD) em um intervalo I se existe um conjunto α1, α2,
. . ., αn de constantes, nem todas nulas, tais que, no intervalo I, tenhamos
α1y1 + α2y2 + . . .+ αnyn ≡ 0.
Por outro lado, o conjunto e´ dito linearmente independente (LI) em I se α1y1 + α2y2 + . . . + αnyn ≡ 0
implicar que α1 = α2 = . . . = αn = 0.
Na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais lineares que fizemos ate´ aqui usamos o conceito de independeˆncia
linear sem, no entanto, definirmos tal conceito. Por exemplo, de acordo com a sec¸a˜o anterior, na resoluc¸a˜o
da equac¸a˜o y′′− 3y′+ 2y = 0, obtivemos ex e e2x como soluc¸o˜es e, enta˜o, a soluc¸a˜o geral e´ y(x) = c1ex +
c2e
2x. Esta´vamos assumindo implicitamente a independeˆncia linear destas func¸o˜es. Vamos monstrar que,
de fato, as func¸o˜es ex e e2x sa˜o LI. Para isso, vamos supor que existam α1, α2 ∈ R tais que
α1e
x + α2e
2x ≡ 0
Dividindo ambos os membros por ex, obtemos
α2e
x ≡ −α1
o que e´ imposs´ıvel, a menos que α1 = α2 = 0. Portanto, as func¸o˜es sa˜o linearmente independentes.
Na sequeˆncia, apresentamos uma condic¸a˜o para a independeˆncia linear de func¸o˜es.
Teorema 3.11. Sejam y1, y2, . . ., yn soluc¸o˜es da equac¸a˜o linear homogeˆnea (3.2), e diferencia´veis pelo
menos n− 1 vezes. O conjunto de func¸o˜es y1, y2, . . ., yn e´ linearmente independente num intervalo I se,
e somente se,
W (y1, y2, . . . , yn) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1 y2 . . . yn
y′1 y′2 . . . y′n
...
...
...
y
(n−1)
1 y
(n−1)
2 . . . y
(n−1)
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6= 0
em I.
Definic¸a˜o 3.12. O determinante W (y1, y2, . . . , yn) do teorema anterior e´ chamado de Wronskiano de
y1, y2, . . ., yn, e o denotaremos simplesmente por W .
Exemplo 3.13. Sejam y1 = e
x e y2 = e
2x. Como
W =
∣∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ e
x e2x
ex 2e2x
∣∣∣∣∣∣ = e3x
que na˜o e´ identicamente nulo, enta˜o as func¸o˜es y1 e y2 sa˜o LI em qualquer intervalo.
Teorema 3.14. Sejam y1, y2, . . ., yn soluc¸o˜es LI para a equac¸a˜o homogeˆnea (3.2). Enta˜o toda soluc¸a˜o
para (3.2) e´ da forma y = c1y1 + c2y2 + . . .+ cnyn, com ci ∈ R.
Observac¸a˜o 3.15.
(1) A soluc¸a˜o y = c1y1 + c2y2 + . . .+ cnyn do teorema anterior e´ chamada soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3.2);
(2) y1, y2, . . ., yn e´ chamado conjunto fundamental de soluc¸o˜es (sempre existe esse conjunto para algum
I).
26
Exemplo 3.16. Note que as func¸o˜es y1 = e
x e y2 = e
2x sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o y′′ − 3y′ + 2y = 0
(verifique). Do Exemplo 3.13, essas func¸o˜es sa˜o LI. Portanto, pelo teorema anterior, a soluc¸a˜o geral para
a equac¸a˜o y′′ − 3y′ + 2y = 0 e´ y = c1ex + c2e2x.
3.4 Me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem
Dada uma soluc¸a˜o na˜o constante y1(x) da equac¸a˜o
y′′ + a1(x)y′ + a2(x)y = 0 (3.5)
com a1(x) e a2(x) cont´ınuas para todo x ∈ I, podemos encontrar uma segunda soluc¸a˜o y2(x) = v(x)y1(x),
LI com y1(x), reduzindo a ordem da equac¸a˜o (3.5). Para isso, temos:
(i) Queremos que y1(x) e y2(x) sejam soluc¸o˜es LI de (3.5). Enta˜o, calculemos W (y1, y2).
W (y1, y2) =
∣∣∣∣∣∣ y1 vy1y′1 v′y1 + vy′1
∣∣∣∣∣∣ = (y1)2v′ + y1y′1v − y1y′1v = (y1)2v′ 6= 0, pois v na˜o pode ser
constante, uma vez que v′ 6= 0.
(ii) Para obtermos a func¸a˜o v, derivamos duas vezes a func¸a˜o y2 = vy1 em relac¸a˜o a x e substitu´ımos
em (3.5). Temos:
y′2 = v′y1 + vy′1 e y′′2 = v′′y1 + 2v′y′1 + vy′′1 .
Portanto,
y′′2 + a1(x)y
′
2 + a2(x)y2 = 0⇒ v′′y1 + 2v′y′1 + vy′′1 + a1(x)v′y1 + a1(x)vy′1 + a2(x)vy1 = 0
⇒ v(y′′1 + a1(x)y′1 + a2(x)y1︸ ︷︷ ︸
=0
) + v′′y1 + 2v′y′1 + a1(x)v
′y1 = 0⇒ v′′ +
(
2y′1
y1
+ a1(x)
)
v′ = 0,
para todo x ∈ I, com y1(x) 6= 0.
Fazendo u = v′ na equac¸a˜o v′′ +
(
2y′1
y1
+ a1(x)
)
v′ = 0, segue a EDO linear de primeira ordem em u:
u′ +
(
2y′1
y1
+ a1(x)
)
u = 0
cuja soluc¸a˜o e´
u(x) = e
− ∫ ( 2y′1
y1
+a1(x)
)
dx
.
Assim,
v′(x) = u(x) = eln |y1|
−2−∫ a1(x)dx = e−
∫
a1(x)dx
[y1(x)]2
.
Logo, v(x) =
∫
e−
∫
a1(x)dx
[y1(x)]2
dx e, portanto, a soluc¸a˜o procurada e´:
y2(x) = y1(x) ·
∫
e−
∫
a1(x)dx
[y1(x)]2
dx
e a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3.5) e´ a combinac¸a˜o linear de y1 e y2.
27
Exemplo 3.17. Dadas as EDOs abaixo, verifique se a func¸a˜o indicada e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o no intervalo
dado e obtenha sua soluc¸a˜o geral:
(1) 3xy′′ − y′ = 0, y1 = 1 em (0,+∞) (Resp.: y(x) = c1 + 34c2x4/3)
(2) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0, y1 = x2 em (0,+∞) (Resp.: y(x) = c1x2 + c2x2 lnx)
3.5 Soluc¸a˜o Particular
Dos Teoremas 3.4 e 3.5, para obter a soluc¸a˜o geral de
a◦(x)
dny
dxn
+ a1(x)
dn−1y
dxn−1
+ . . .+ an−1(x)
dy
dx
+ an(x)y = F (x) (3.6)
precisamos encontrar uma soluc¸a˜o particular desta equac¸a˜o e soma´-la com a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
homogeˆnea
a◦(x)
dny
dxn
+ a1(x)
dn−1y
dxn−1
+ . . .+ an−1(x)
dy
dx
+ an(x)y = 0. (3.7)
Nesta sec¸a˜o estudaremos como obter soluc¸o˜es particulares da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea (3.6). Existem mui-
tos me´todos para a obtenc¸a˜o de soluc¸o˜es particulares. Estudaremos dois deles: o Me´todo dos Coeficientes
a Determinar e o Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros.
3.5.1 Me´todo dos Coeficientes a Determinar
Esse me´todo se aplica a`s equac¸o˜es diferenciais (3.6) com coeficientes constantes, em que a func¸a˜o
F (x) pertence a uma classe de func¸o˜es relativamente pequena: func¸o˜es polinomiais, exponenciais, senos,
cossenos, ou combinac¸o˜es de somas e produtos destes. Estudaremos esse me´todo a partir dos seguintes
exemplos.
Exemplo 3.18. Determine a soluc¸a˜o de y′′ + 4y′ − 2y = 2x2 − 3x+ 6.
1opasso: Resolver a equac¸a˜o homogeˆnea y′′ + 4y′ − 2y = 0.
Para isso, associamos a equac¸a˜o caracter´ıstica λ2 + 4λ − 2 = 0, cujas ra´ızes sa˜o λ1 = −2 +
√
6 e
λ1 = −2−
√
6. Logo, a soluc¸a˜o complementar e´ yc = c1e
(−2+√6) + c2e(−2−
√
6).
2o passo: A func¸a˜o F (x) = 2x2−3x+6 e´ um polinoˆmio quadra´tico, logo supomos que a soluc¸a˜o particular
seja da forma yp = Ax
2+Bx+C, em que os coeficientes A, B e C precisam ser determinados. Substituindo
yp e as derivadas y
′
p = 2Ax+B e y
′′
p = 2A na EDO dada, obtemos:
y′′p + 4y′p − 2yp = 2x2 − 3x+ 6 ⇒ 2A+ 4(2Ax+B)− 2(Ax2 +Bx+ C) = 2x2 − 3x+ 6
⇒ 2A+ 8Ax+ 4B − 2Ax2 − 2Bx− 2C = 2x2 − 3x+ 6
⇒ −2Ax2 + (8A− 2B)x+ 2A+ 4B − 2C = 2x2 − 3x+ 6.
Comparando os polinoˆmios da u´ltima igualdade devemos ter

−2A = 2
8A− 2B = −3
2A+ 4B − 2C = 6
⇒

A = −1
−2B = −3 + 8
2A+ 4B − 2C = 6
⇒

A = −1
B = −5/2
−2C = 6 + 2 + 10
⇒

A = −1
B = −5/2
C = −9
28
Assim, yp = −x2 − 5
2
x− 9.
3o passo: A soluc¸a˜o geral para a EDO dada e´
y = yc + yp = c1e
(−2+√6) + c2e(−2−
√
6) − x2 − 5
2
x− 9.
Exemplo 3.19. Determine a soluc¸a˜o de y′′ − 3y′ − 4y = 3e2x.
1o passo: Resolver a equac¸a˜o homogeˆnea y′′ − 3y′ − 4y = 0.
A essa equac¸a˜o, associamos a equac¸a˜o caracter´ıstica λ2− 3λ− 4 = 0, cujas ra´ızes sa˜o λ = 4 e λ = −1.
Assim, a soluc¸a˜o complementar e´ yc = c1e
4x + c2e
−x.
2o passo: A func¸a˜o F (x) = 3e2x e´ exponencial. Como procuramos uma func¸a˜o yp tal que y
′′
p−3y′p−4yp =
3e2x e a derivada de uma func¸a˜o exponencial e´ um mu´ltiplo dela mesma, logo supomos que a soluc¸a˜o
particular seja da forma yp = Ae
2x. Para determinar A, vamos calcular y′p = 2Ae2x e y′′p = 4Ae2x e
substituir na EDO dada. Ou seja,
y′′ − 3y′ − 4y = 3e2x ⇒ 4Ae2x − 3(2Ae2x)− 4(Ae2x) = 3e2x
(4A− 6A− 4A)e2x = 3e2x ⇒ −6Ae2x = 3e2x ⇒ A = −1
2
.
Assim, yp = −1
2
e2x.
3o passo: A soluc¸a˜o geral para a EDO dada e´ y = yc + yp = c1e
4x + c2e
−x − 1
2
e2x.
Exemplo 3.20. Determine a soluc¸a˜o de y′′ − 3y′ − 4y = 2sen(x).
1o passo: No Exemplo 3.19 obtemos a soluc¸a˜o complementar yc = c1e
4x + c2e
−x.
2o passo: Nesse caso temos F (x) = 2sen(x). Enta˜o procuramos uma func¸a˜o yp que dependa da func¸a˜o
sen(x). Como a derivada dessa func¸a˜o e´ cos(x), enta˜o supomos que a soluc¸a˜o particular seja da forma yp =
Asen(x) +Bcos(x), em que A e B sa˜o constantes a serem determinadas. Assim, y′p = Acos(x)−Bsen(x)
e y′′p = −Asen(x)−Bcos(x), que substituindo na EDO dada e juntando os termos, segue:
(−A+ 3B − 4A)sen(x) + (−B − 3A− 4B)cos(x) = 2sen(x)
⇒
 −5A+ 3B = 2−3A− 5B = 0 ⇒
 A = − 517B = 317
Logo, a soluc¸a˜o particular e´ yp = − 517sen(x) + 317cos(x).
3o passo: A soluc¸a˜o geral para a EDO dada e´ y = yc + yp = c1e
4x + c2e
−x − 5
17
sen(x) +
3
17
cos(x).
Para resumir nossas concluso˜es ate´ agora: se o termo na˜o homogeˆneo F (x) na Equac¸a˜o (3.6) for
um polinoˆmio, suponha que yp seja um polinoˆmio de mesmo grau; se F (x) for uma func¸a˜o exponencial
eαx, suponha, enta˜o, que yp = Ae
αx; se F (x) for igual a sen(βx) ou cos(βx), suponha que yp seja uma
combinac¸a˜o linear de sen(βx) e cos(βx), isto e´ yp = Asen(βx) + B cos(βx). O mesmo princ´ıpio se
estende ao caso em que F (x) e´ um produto ou soma de quaisquer dois ou treˆs desses tipos de func¸o˜es,
como mostra os pro´ximos exemplos, respectivamente.
29
Exemplo 3.21. Determine a soluc¸a˜o de y′′ − 3y′ − 4y = −8excos(2x).
1o passo: Vimos no Exemplo 3.19 que a soluc¸a˜o complementar e´ yc = c1e
4x + c2e
−x.
2o passo: Nesse caso, a func¸a˜o yp e´ um produto de e
x com uma combinac¸a˜o linear de cos(2x) e sen(2x),
isto e´, yp = Ae
xcos(2x) +Bexsen(2x). Assim, y′p = (A+ 2B)excos(2x) + (−2A+B)exsen(2x) e
y′′p = (−3A+4B)excos(2x)+(−4A−3B)exsen(2x). Substituindo essas expresso˜es na EDO dada, obtemos: 10A+ 2B = 82A− 10B = 0 ⇒
 A = 1013B = 213
Logo, a soluc¸a˜o particular e´ yp =
10
13e
xcos(2x) + 213e
xsen(2x).
3o passo: A soluc¸a˜o geral para a EDO dada e´ y = yc+yp = c1e
4x+ c2e
−x+ 1013e
xcos(2x)+ 213e
xsen(2x).
Exemplo 3.22. Determine a soluc¸a˜o de y′′ − 3y′ − 4y = 3e2x + 2sen(x)− 8excos(2x).
Separando a expressa˜o a` direita do sinal de igualdade, obtemos treˆs equac¸o˜es:
y′′ − 3y′ − 4y = 3e2x,
y′′ − 3y′ − 4y = 2sen(x),
e
y′′ − 3y′ − 4y = −8excos(2x).
Foram encontradas soluc¸o˜es dessas treˆs equac¸o˜es nos Exemplos 3.19, 3.20 e 3.21, respectivamente.
Portanto, uma soluc¸a˜o particular da EDO dada e´ a soma das soluc¸o˜es particulares dessas equac¸o˜es, isto
e´,
yp = −12e2x − 517sen(x) + 317cos(x) + 1013excos(2x) + 213exsen(2x).
Portanto, a soluc¸a˜o geral e´
y = c1e
4x + c2e
−x − 1
2
e2x − 5
17
sen(x) +
3
17
cos(x) +
10
13
excos(2x) +
2
13
exsen(2x).
O procedimento ilustrado nesses exemplos nos permite resolver uma grande classe de problemas de um
modo razoavelmente fa´cil. No entanto, existe uma dificuldade que ocorre a`s vezes. O pro´ximo exemplo
mostra como isso acontece.
Exemplo 3.23. Determine a soluc¸a˜o de y′′ + 4y = 3cos(2x).
Procedendo como nos exemplos anteriores, obtemos a soluc¸a˜o complementar yc = c1cos(2x)+c2sen(2x).
Em seguida, procuramos uma func¸a˜o yp que seja soluc¸a˜o particular da EDO dada. Como no Exemplo
3.20, supomos yp = Acos(2x) +Bsen(2x), que substituindo na EDO dada, obtemos:
(4A− 4A)cos(2x) + (4B − 4B)sen(2x) = 3cos(2x) ⇒ 0cos(2x) + 0sen(2x) = 3cos(2x).
De acordo com a u´ltima igualdade, na˜o existe escolha de A e de B que satisfac¸a a equac¸a˜o. Portanto,
na˜o existe soluc¸a˜o particular da EDO dada que tenha a forma suposta. Isso ocorre pois ao resolvermos a
equac¸a˜o homogeˆnea y′′ + 4y = 0, obtemos que as func¸o˜es y1 = cos(2x) e y2 = sen(2x) sa˜o soluc¸o˜es desta
equac¸a˜o. Assim, a forma suposta da soluc¸a˜o particular era, de fato, soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea; em
30
consequeˆncia, na˜o pode ser soluc¸a˜o da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea.
Para encontrar uma soluc¸a˜o particular da EDO dada, temos, portanto, que considerar uma forma um
pouco diferente. As func¸o˜es mais simples, diferentes de cos(2x) e sen(2x), que, ao serem diferenciadas,
conteˆm termos envolvendo cos(2x) e sen(2x) sa˜o x cos(2x) e x sen(2x). Enta˜o, vamos supor que
yp = Ax cos(2x) +Bxsen(2x). Calculando, y
′
p e y
′′
p e substituindo na EDO dada, segue:
−4Asen(2x) + 4Bcos(2x) = 3cos(2x) ⇒ A = 0 e B = 3/4.
Logo, uma soluc¸a˜o particular e´ yp =
3
4x sen(2x).
Portanto, a soluc¸a˜o geral da EDO dada e´ y = yc + yp = c1cos(2x) + c2sen(2x) +
3
4x sen(2x).
Tabela 3.1: A soluc¸a˜o particular yp de ay
′′ + by′ + cy = Fi(x)
Fi(x) yp
Pn(x) = a◦xn + a1xn−1 + . . .+ an xs(A◦xn +A1xn−1 + . . .+An)
Pn(x)e
αx xs(A◦xn +A1xn−1 + . . .+An)eαx
Pn(x)e
αx
 sen(βx)cos(βx) xs(A◦xn +A1xn−1 + . . .+An)eαxcos(βx)+
(B◦xn +B1xn−1 + . . .+Bn)eαxsen(βx)
Observac¸a˜o: s denota o menor inteiro na˜o-negativo (s=0,1 ou 2) que garanta que nenhuma parcela de yp
seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea correspondente. Equivalentemente, para os treˆs casos, s e´ o nu´mero
de vezes que 0 e´ uma raiz da equac¸a˜o caracter´ıstica, α e´ uma raiz da equac¸a˜o caracter´ıstica e α+ βi e´
uma raiz da equac¸a˜o caracter´ıstica, respectivamente.
Exemplo 3.24. Nos itens abaixo, encontre a soluc¸a˜o geral das EDOs dadas:
(1) y′′ − 2y′ − 3y = 3e2x (y = c1e3x + c2e−x − e2x)
(2) y′′ + 2y′ + 5y = 3sen(2x) (y = c1e−xcos(2x) + c2e−xsen(2x) + 3/17sen(2x)− 12/17cos(2x))
(3) y′′ − 2y′ − 3y = −3xe−x (y = c1e3x + c2e−x + 3/16xe−x + 3/8x2e−x)
(4) y′′ + 2y′ = 3 + 4sen(2x) (y = c1 + c2e−2x + 3/2x− 1/2sen(2x)− 1/2cos(2x))
(5) y′′ + 9y = x2e3x + 6 (y = c1cos(3x) + c2sen(3x) + 1/162(9x2 − 6x+ 1)e3x + 2/3)
(6) y′′ + 2y′ + y = 2e−x (y = c1e−x + c2xe−x + x2e−x)
(7) 2y′′ + 3y′ + y = x2 + 3sen(x) (y = c1e−x + c2xe−x/2 + x2 − 6x+ 14− 3/10sen(x)− 9/10cos(x))
(8) y′′ + y = 3sen(2x) + x cos(x) (y = c1cos(x) + c2sen(x)− 1/3xcos(2x)− 5/9sen(2x))
3.5.2 Me´todo de Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Esse me´todo tambe´m e´ usado para encontrar uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea (3.6).
E´ conhecido como Me´todo de Lagrange. Comparado ao me´todo dos coeficientesa determinar, a principal
vantagem da variac¸a˜o de paraˆmetros e´ que este u´ltimo e´ um me´todo geral. Vejamos um exemplo.
31
Exemplo 3.25. Encontre a soluc¸a˜o de y′′ + 4y = 3cossec(x).
Primeiro observe que F (x) = 3cossec(x) e essa func¸a˜o na˜o se enquadra no grupo de func¸o˜es do me´todo
dos coeficientes a determinar, uma vez que o termo na˜o-homogeˆneo F (x) envolve um quociente (em vez
de soma ou produto) de cos(x) ou sen(x). Precisamos, portanto, de uma abordagem diferente.
A equac¸a˜o homogeˆnea associada a` EDO dada e´ y′′ + 4y = 0 e sua soluc¸a˜o geral e´ yc = c1cos(2x) +
c2sen(2x).
A ideia ba´sica no me´todo de variac¸a˜o de paraˆmetros e´ substituir as constantes c1 e c2 da soluc¸a˜o
complementar yc por func¸o˜es A(x) e B(x), respectivamente, e depois determinar essas func¸o˜es de modo
que a expressa˜o resultante y = A(x)cos(2x) + B(x)sen(2x) seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea
dada. Para isso, devemos impor algumas condic¸o˜es. A primeira condic¸a˜o e´ imposta pelo fato da func¸a˜o
y = A(x)cos(2x) +B(x)sen(2x) ser soluc¸a˜o da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea.
Temos y′ = −2A(x)sen(2x) + 2Bcos(2x) +A′(x)cos(2x) +B′(x)sen(2x). Como estamos procurando
uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea, temos liberdade para escolher a segunda condic¸a˜o que deve ser
imposta. Para simplificar os ca´lculos, convenientemente exigimos que A′(x)cos(2x) +B′(x)sen(2x) = 0.
Disso segue a equac¸a˜o
y′ = −2A(x)sen(2x) + 2Bcos(2x).
Assim, y′′ = −4A(x)cos(2x) − 4B(x)sen(2x) − 2A′(x)sen(2x) + 2B′(x)cos(2x). Substituindo y e y′′
na EDO dada, obtemos:
−2A′(x)sen(2x) + 2B′(x)cos(2x) = 3cossec(x)
Enta˜o queremos escolher A(x) e B(x) de modo a satisfazer as equac¸o˜es A′(x)cos(2x) +B′(x)sen(2x) = 0−2A′(x)sen(2x) + 2B′(x)cos(2x) = 3cossec(x)
Resolvendo esse sistema, obtemos B′(x) = −A′(x) cos(2x)
sen(2x)
, que substituindo na segunda equac¸a˜o
do sistema, segue A′(x) = −3cossec(x)sen(2x)
2
= −3cos(x).
Agora, substituindo essa expressa˜o para A′(x) de volta na equac¸a˜o B′(x) = −A′(x) cos(2x)
sen(2x)
e
usando as fo´rmulas para o aˆngulo duplo, vemos que
B′(x) =
3cos(x)cos(2x)
sen(2x)
=
3(1− sen2(x))
2sen(x)
=
3
2
cossec(x)− 3sen(x).
Integrando A′(x) e B′(x), obtemos
A(x) = −3sen(x) + c1 e B(x) = 32 ln |cossec(x)− cotg(x)|+ 3cos(x) + c2.
Logo, a soluc¸a˜o procurada e´
y = −3sen(x)cos(2x) + 3
2
ln |cossec(x)− cotg(x)|sen(2x) + 3cos(x)sen(2x) + c1cos(2x) + c2sen(2x).
As parcelas na soluc¸a˜o geral envolvendo as constantes c1 e c2 correspondem a` soluc¸a˜o da equac¸a˜o ho-
mogeˆnea associada, enquanto a soma restante forma uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea.
Portanto, a equac¸a˜o encontrada e´ a soluc¸a˜o geral da EDO dada.
32
Esse me´todo e´ justificado pelo seguinte teorema.
Teorema 3.26. Se as func¸o˜es p, q e F sa˜o const´ınuas em um intervalo aberto I e se yc = c1y1(x)+c2y2(x)
for a soluc¸a˜o complementar da equac¸a˜o homogeˆnea associada a` equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = F (x)
enta˜o uma soluc¸a˜o particular para essa u´ltima equac¸a˜o e´
yp = −y1(x)
∫
y2(x)F (x)
W (y1, y2)(x)
dx+ y2(x)
∫
y1(x)F (x)
W (y1, y2)(x)
dx
e a soluc¸a˜o geral e´
y = c1y1(x) + c2y2(x) + yp,
onde W (y1, y2) e´ o Wronskiano de y1 e y2.
Exemplo 3.27. Sabendo que y1(x) = x
2 e y2(x) = x
−1 sa˜o soluc¸o˜es da EDO homogeˆnea associada a`
equac¸a˜o na˜o homogeˆnea x2y′′ − 2y′ = 3x2 − 1, x > 0, determine a soluc¸a˜o geral da EDO.
Primeiro vamos reescrever a EDO dada: y′′ − 2
x2
y = 3− 1
x2
. Nesse caso, F (x) = 3− 1
x2
. Temos que
W (y1, y2) =
∣∣∣∣∣∣ x
2 x−1
2x −x−2
∣∣∣∣∣∣ = −1− 2 = −3
Logo, pelo teorema anterior, a soluc¸a˜o particular da EDO e´ dada por
yp = −x2
∫
x−1(3− 1
x2
)
−3 dx+
1
x
∫
x2(3− 1
x2
)
−3 dx =
x2
3
∫
(3x−1 − x−3)dx− 1
3x
∫
(3x2 − 1)dx
=
x2
3
(
3 lnx+
x−2
2
)
− 1
3x
(
x3 − x) = x2 lnx+ 1
2
− x
2
3
Portanto, a soluc¸a˜o geral e´
y(x) = c1x
2 + c2x
−1 + x2 lnx+
1
2
− x
2
3
.
Exemplo 3.28. Determine a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es diferenciais dadas, pelo me´todo de variac¸a˜o dos
paraˆmetros:
(1) y′′ + y = tg(x), 0 < x < pi/2 (y = c1cos(x) + c2sen(x)− (cos x) ln(tg(x) + sec(x)))
(2) y′′+9y = 9sec2(3x), 0 < x < pi/6 (y = c1cos(3x)+c2sen(3x)− (sen 3x) ln(tg(3x)+sec(3x)−1)
(3) y′′ + 4y′ + 4y = x−2e−2x, x > 0 (y = c1e−2x + c2xe−2x − e−2x lnx)
Exemplo 3.29. Verifique se as func¸o˜es dadas y1 e y2 satisfazem a equac¸a˜o homogeˆnea associada, depois
encontre uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea dada.
(1) xy′′ − (1 + x)y′ + y = x2e2x, x > 0 ; y1(x) = 1 + x, y2(x) = ex (yp = 1/2(x− 1)e2x)
(2) x2y′′ − 3xy′ + 4y = x2 lnx, x > 0 ; y1(x) = x2, y2(x) = x2 lnx (yp = 1/6x2(lnx)3)
3.6 Equac¸a˜o de Euler
E´ uma EDO da forma
xny(n) + an−1xn−1y(n−1) + . . .+ a◦y = 0,
33
em que x 6= 0 e ai ∈ R, para todo i = 0, . . . , n− 1.
Estudaremos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial de Euler de ordem 2, ou seja, a equac¸a˜o
x2y′′ + αxy′ + βy = 0, (3.8)
com α, β ∈ R.
A equac¸a˜o (3.8) tem uma soluc¸a˜o da forma y(x) = c1y1(x) + c2y2(x), em que y1 e y2 sa˜o linearmente
independentes. Consideremos x > 0. Note que (xr)′ = rxr−1 e (xr)′′ = r(r − 1)xr−2. Logo, supondo que
temos uma soluc¸a˜o da forma y = xr, da equac¸a˜o (3.8), obtemos:
x2(r(r − 1)xr−2) + αx(rxr−1) + βxr = 0 ⇒ r(r − 1)xr + αrxr + βxr = 0
⇒ [r(r − 1) + αr + β]xr = 0 ⇒ [r2 + (α− 1)r + β]xr = 0⇒
r2 + (α− 1)r + β = 0 (3.9)
A equac¸a˜o (3.9) e´ chamada de equac¸a˜o indicial da equac¸a˜o (3.8). Dessa forma, se r e´ raiz da equac¸a˜o
indicial, enta˜o y = xr e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.8). Analisemos as ra´ızes r1 e r2 dessa equac¸a˜o.
1o CASO: Ra´ızes reais e distintas (r1 6= r2)
Temos duas soluc¸o˜es da forma y1 = x
r1 e y2 = x
r2 . Para sabermos se essas soluc¸o˜es sa˜o L.I., temos
W =
∣∣∣∣∣∣ x
r1 xr2
r1x
r1−1 r2xr2−1
∣∣∣∣∣∣ = (r2 − r1)xr1+r2−1 6= 0, ∀x > 0.
Logo, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Euler e´ a combinac¸a˜o linear de y1 e y2, isto e´, y(x) = c1x
r1 +c2x
r2 ,
com c1, c2 ∈ R.
2o CASO: Ra´ızes reais e iguais (r1 = r2)
Neste caso, temos apenas uma soluc¸a˜o da forma y1 = x
r e, de acordo com o me´todo de reduc¸a˜o de
ordem aplicado a` equac¸a˜o y′′ + αxy
′ + β
x2
y = 0, a outra soluc¸a˜o L.I. com y1 e´ dada por
y2(x) = y1(x) ·
∫
e−
∫
α
x
dx
[y1(x)]2
dx = xr ·
∫
e−α lnx
(xr)2
dx = xr ·
∫
x−α
x2r
dx = xr ·
∫
1
x2r · xαdx.
Como r e´ soluc¸a˜o real de multiplicidade 2 da equac¸a˜o (3.9), segue que r = 1−α2 . Assim,
y2(x) = x
r ·
∫
1
x1−α · xαdx = x
r ·
∫
1
x
dx = xr lnx.
Portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Euler (3.8) e´ dada por y(x) = c1x
r+c2x
r lnx, com c1, c2 ∈ R.
3o CASO: Ra´ızes complexas conjugadas (r1 = α+ βi e r2 = α− βi)
Neste caso, as func¸o˜es y1 = x
αcos(β lnx) e y2 = x
αsen(β lnx) sa˜o soluc¸o˜es L.I. da equac¸a˜o (3.8).
Portanto, a soluc¸a˜o geral e´ y(x) = xα (c1cos(β lnx) + c2sen(β lnx)), c1, c2 ∈ R.
34
Observac¸a˜o 3.30.
1. Os resultados acima tambe´m sa˜o va´lidos para x < 0.
2. As soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Euler da forma (x− x◦)2y′′ +α(x− x◦)y′ + βy = 0, sa˜o semelhantes a`s
obtidas acima, bastanto substituir (x− x◦) no lugar de x nas soluc¸o˜es.
Exemplo 3.31. Resolva as EDOs e os PVIs:
(1) x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0
(2) x2y′′ + 5xy′ + 8y = 0
(3) (x− 1)2y′′ + 8(x− 1)y′ + 12y = 0
(4) (2x+ 1)2y′′ − (4x+ 2)y′ − 12y = 0
(5)

x2y′′ + 2xy′ − 6y = 0
y(1) = 1
y′(1) = 0
(6)

x2y′′ − 5xy′ + 9y = 0
y(1) = −1
y′(1) = 0
3.7 Movimento Vibrato´rio de Sistemas Mecaˆnicos
Estudaremos o movimento de uma massa presa a uma mola fixa numa extremidade e livre para vibrar
na vertical (veja a figura a seguir).
Figura 3.1: Sistema massa-mola
Supondo que um corpo de massa m esta´ preso a` mola e que o sistema todo fica em equil´ıbrio com o
peso no ponto y = 0 localizado s unidades abaixo do comprimento natural l da mola, temos as seguintes
forc¸as agindo sobre o corpo:
1. Forc¸a da gravidade: F1 = mg;
2. Forc¸a de restaurac¸a˜o da mola: F2
Pela Lei de Hooke, se k e´ a constante da mola, para um estiramento y + s, temos F2 = −k(y + s);
3. Forc¸a daresisteˆncia do meio (amortecimento): F3 = −ady
dt
, a > 0 e´ a constante de amortecimento;
4. Resultante das forc¸as externas que agem sobre o corpo: F .
Aplicando a 2a Lei de Newton, temos a equac¸a˜o diferencial m
d2y
dt2
= F1 + F2 + F3 + F , ou melhor,
m
d2y
dt2
= mg − k(y + s)− ady
dt
+ F (t).
35
Assim, obtemos a equac¸a˜o do movimento do corpo:
my′′ + ay′ + ky = F (t)
onde a e´ a constante de amortecimento, k e´ a constante da mola e m e´ a massa do corpo.
3.7.1 Movimento livre sem amortecimento
Na˜o existe forc¸a externa (movimento livre) nem resisteˆncia do meio (sem amortecimento). Neste
caso, F (t) ≡ 0 e a = 0. Assim, temos a equac¸a˜o diferencial my′′ + ky = 0, cuja soluc¸a˜o geral e´
y(t) = c1cos(ω◦t) + c2sen(ω◦t), em que ω◦ =
√
k
m e´ a frequeˆncia angular. Temos que y(t) e´ chamado de
Movimento Harmoˆnico Simples. O deslocamento ma´ximo do corpo, chamado de amplitude (A) e´ dado
por A =
√
c21 + c
2
2. O per´ıodo T do movimento e´ dado por T =
2pi
ω◦ e a frequeˆncia natural e´ dada por
1
T =
ω◦
2pi .
Em geral, o movimento pode ser escrito na forma y(t) = Asen(ω◦t+φ), em que φ e´ o aˆngulo de fase.
3.7.2 Movimento livre com amortecimento
Na˜o existe forc¸a externa (F ≡ 0). Nesse caso, obtemos uma equac¸a˜o diferencial com coeficientes
constantes, isto e´, my′′ + ay′ + ky = 0.
1o Caso: Subamortecimento
Quando a equac¸a˜o caracter´ıstica tem ra´ızes complexas conjugadas r1 = −α + ω◦i e r2 = −α − ω◦i,
α > 0 e ω◦ > 0, o movimento e´ descrito por y(t) = e−αt(c1cos(ω◦t) + c2sen(ω◦t)), em que e−αt e´
chamado de fator de amortecimento.
2o Caso: Amortecimento cr´ıtico
Quando a equac¸a˜o caracter´ıstica tem ra´ızes reais negativas e iguais r1 = r2 = r, o movimento e´ dado
por y(t) = c1e
rt + c2te
rt. Como r < 0, lim
t→∞ y(t) = 0.
3o Caso: Super amortecimento
Quando as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica sa˜o reais negativas e distintas r1 e r2, temos o movimento
dado por y(t) = c1e
r1t + c2e
r2t. Ainda, lim
t→∞ y(t) = 0.
3.7.3 Movimento forc¸ado
Quando a frequeˆncia de uma forc¸a externa perio´dica aplicada a um sistema mecaˆnico e´ igual ou
ligeiramente inferior a` frequeˆncia natural do sistema, ressonaˆncias mecaˆnicas podem ocorrer, as quais
provocam oscilac¸o˜es de tremenda magnitude que podem levar o sistema a entrar em colapso.
36
3.8 Exerc´ıcios
1. Resolva as EDOs e os PVIs:
(a)

y′′ + y′ − 2y = 0
y(0) = 1
y′(0) = 1
(b)

y′′ + 4y′ + 3y = 0
y(0) = 2
y′(0) = −1
(c)

6y′′ − 5y′ + y = 0
y(0) = 4
y′(0) = 0
(d)

y′′ + 3y′ = 0
y(0) = −2
y′(0) = 3
(e)

y′′ + 5y′ + 3y = 0
y(0) = 1
y′(0) = 0
(f)

y′′ + 8y′ − 9y = 0
y(1) = 1
y′(1) = 0
(g)

4y′′ − y = 0
y(−2) = 1
y′(−2) = −1
2. Use o me´todo de reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o e a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
diferencial dada.
(a) t2y′′ − 4ty′ + 6y = 0, t > 0; y1 = t2 (y(t) = c1t2 + c2t3)
(b) t2y′′ + 2ty′ − 2y = 0, t > 0; y1 = t (y(t) = c1t+ c2t−2)
(c) t2y′′ + 3ty′ + y = 0, t > 0; y1 = t−1 (y(t) = c1t−1 + c2t−1 ln t)
(d) t2y′′ − t(t+ 2)y′ + (t+ 2)y = 0, t > 0; y1 = t (y(t) = c1t+ c2tet)
(e) xy′′ − y′ + 4x3y = 0, x > 0; y1 = sen(x2) (y(x) = c1sen(x2) + c2cos(x2))
(f) (x− 1)y′′ − xy′ + y = 0, x > 1; y1 = ex (y(x) = c1ex + c2x)
3. Encontre a soluc¸a˜o dos PVIs dados.
(a)

y′′ + y′ − 2y = 2t
y(0) = 0
y′(0) = 1
(y(t) = et − 1/2e−2t − t− 1/2)
(b)

y′′ + 4y = t2 + 3et
y(0) = 0
y′(0) = 2
(y(t) = 7/10sen(2t)− 19/40cos(2t) + 1/4t2 − 1/8 + 3/5et)
(c)

y′′ − 2y′ + y = tet + 4
y(0) = 1
y′(0) = 1
(y(t) = 4tet − 3et + 1/6t3et + 4)
37
(d)

y′′ − 2y′ − 3y = 3te2t
y(0) = 1
y′(0) = 0
(y(t) = e3t + 2/3e−t − 2/3e2t − te2t)
(e)

y′′ + 4y = 3sen(2t)
y(0) = 2
y′(0) = −1
(y(t) = 2cos(2t)− 1/8sen(2t)− 3/4tcos(2t))
(f)

y′′ + 2y′ + 5y = 4e−tcos(2t)
y(0) = 1
y′(0) = 0
(y(t) = e−tcos(2t) + 1/2e−tsen(2t) + te−tsen(2t))
4. Encontre a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es diferenciais dadas
(a) y′′ + 4y = 3cossec(2t), 0 < t < pi/2
(y(t) = c1cos(2t) + c2sen(2t) + 3/4(sen(2t)) ln sen(2t)− 3/2tcos(2t))
(b) 4y′′ + y = 2sec(t/2), −pi < t < pi
(y(t) = c1cos(t/2) + c2sen(t/2) + tsen(t/2) + 2[ln cos(t/2)]cos(t/2))
(c) y′′ − 2y′ + y = et/(1 + t2)
(y(t) = c1e
t + c2te
t − 1/2et ln(1 + t2) + tetarctg(t))
5. Verifique que as func¸o˜es dadas y1 e y2 satisfazem a equac¸a˜o homogeˆnea associada, depois encontre
uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea dada.
(a) ty′′ − (1 + t)y′ + y = t2e2t, t > 0; y1 = 1 + t, y2 = et (y(t) = 1/2(t− 1)2t)
(b) (1− t)y′′ + ty′ − y = 2(t− 1)2e−t, 0 < t < 1; y1 = et, y2 = t (y(t) = −1/2(2t− 1)e−t)
(c) x2y′′ − 3xy′ + 4y = x2 lnx, x > 0; y1 = x2, y2 = x2 lnx (y(t) = 1/6x2(lnx)3)
6. Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada.
(a) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0 (y(x) = c1x−1 + c2x−2)
(b) (x+ 1)2y′′ + 3(x+ 1)y′ + 0, 75y = 0 (y(x) = c1|x+ 1|−1/2 + c2|x+ 1|−3/2)
(c) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0 (y(x) = c1x2 + c2x2 ln |x|)
(d) x2y′′ + 3xy′ + 5y = 0 (y(x) = c1x−1cos(2 ln |x|) + c2x−1sen(2 ln |x|))
(e) x2y′′ − xy′ + y = 0 (y(x) = c1x+ c2x ln |x|)
(f) (x− 1)2y′′ + 8(x− 1)y′ + 12y = 0 (y(x) = c1(x− 1)−3 + c2(x− 1)−4)
(g) x2y′′ + 6xy′ − y = 0 (y(x) = c1|x|(−5+
√
29)/2 + c2|x|(−5−
√
29)/2)
(h) 2x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0 (y(x) = c1|x|3/2cos(1/2
√
3 ln |x|) + c2|x|3/2sen(1/2
√
3 ln |x|))
7. Experimentalmente sabe-se que 6 libras de peso estiram 6 polegadas de uma certa mola. Se o peso
e´ puxado para baixo de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio 4 polegadas e depois solto,
(a) obtenha um PVI que descreva o movimento do peso;
(b) encontre a posic¸a˜o do corpo como func¸a˜o do tempo;
(c) encontre a amplitude, o per´ıodo e a frequeˆncia natural do movimento.
38
8. Suponha que uma forc¸a de amortecimento dada em libras seja numericamente igual a 1,5 vezes a
velocidade instantaˆnea em pe´s/s, e atua sobre o corpo do Exerc´ıcio 7.
(a) Obtenha o PVI associado;
(b) Encontre a posic¸a˜o do corpo como func¸a˜o do tempo.
9. Suponha no Exerc´ıcio 7 que a forc¸a de amortecimento em libras seja numericamente igual a treˆs
vezes a velocidade instantaˆnea e obtenha a posic¸a˜o do corpo em func¸a˜o do tempo.
10. Considere agora a mesma equac¸a˜o do Exerc´ıcio 9, com as novas condic¸o˜es y(0) = 0 e y′(0) = 5.
11. Substitua no Exerc´ıcio 9 a forc¸a de amortecimento por F3 = −3, 75v.
12. No Exerc´ıcio 8, suponha que uma forc¸a externa perio´dica dada por F (t) = 24cos(8t) esteja agindo
e obtenha y(t).
13. Suponha que uma forc¸a externa dada por 3cos(8t) seja aplicada a` mola do Exerc´ıcio 7. Descreva o
movimento resultante, se y(0) = 0 e y′(0) = 0.
39
Cap´ıtulo 4
Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais
Lineares
Um sistema de n equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem e´ da forma
x′1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + · · ·+ a1n(t)xn + g1(t)
x′2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + · · ·+ a2n(t)xn + g2(t)
...
x′n = an1(t)x1 + an2(t)x2 + · · ·+ ann(t)xn + gn(t)
Se gi ≡ 0 em um intervalo I, para todo 1 ≤ i ≤ n, dizemos que o sistema acima e´ homogeˆneo.
O sistema acima pode ser escrito na forma matricial
X ′ = A(t)X +G(t) (4.1)
com A(t) =

a11(t) a12(t) · · · a1n(t)
a21(t) a22(t) · · · a2n(t)
...
...
...
an1(t) an2(t) · · · ann(t)
, X(t) =

x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
, G(t) =

g1(t)
g2(t)
...
gn(t)
 e X
′(t) =

x′1(t)
x′2(t)
...
x′n(t)
.
Teorema 4.1. (Existeˆncia e Unicidade) Seja X ′ = A(t)X + G(t) um sistema de n EDOs lineares de
primeira ordem definido em um intervalo I como (4.1), com as func¸o˜es aij e gi cont´ınuas em I. Enta˜o
dados t◦ ∈ I e X◦ ∈ Rn, existe uma u´nica soluc¸a˜o X = X(t) de (4.1), definida em I, tal que X(t◦) = X◦.
Teorema 4.2. Se X(t) =

x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
 e Xˆ(t) =

xˆ1(t)
xˆ2(t)
...
xˆn(t)
 sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo
X ′ = A(t)X, enta˜o qualquer combinac¸a˜o linear c1X + c2Xˆ, com c1, c2 ∈ R, tambe´m e´ soluc¸a˜o desse
sistema homogeˆneo.
Teorema 4.3. (Teste para independeˆncialinear) Sejam X1(t), X2(t), . . ., Xk(t) soluc¸o˜es do sistema
homogeˆneoX ′ = A(t)X em I e seja t◦ ∈ I. Enta˜o X1(t), X2(t), . . ., Xk(t) sa˜o soluc¸o˜es linearmente inde-
40
pendentes (L.I.) se, e somente se, os vetores X1(t◦), X2(t◦), . . ., Xk(t◦) sa˜o linearmente independentes
em Rn.
Teorema 4.4. A dimensa˜o do espac¸o de soluc¸o˜es S de qualquer sistema homogeˆneo n×n, X ′ = A(t)X,
e´ n.
Dessa forma, se conhecermos n soluc¸o˜es L.I. X1(t), X2(t), . . ., Xk(t) do sistema homogeˆneo
X ′ = A(t)X, enta˜o toda soluc¸a˜o desse sistema sera´ dada por
X(t) = c1X
1(t) + c2X
2(t) + . . .+ cnX
n(t),
com ci ∈ R, para todo i = 1, . . . , n, que e´ a soluc¸a˜o geral de X ′ = A(t)X.
Resoluc¸a˜o de sistemas de EDOs lineares homogeˆneas de primeira ordem com
coeficientes constantes: Me´todo dos Autovalores e Autovetores
Dado o sistema homogeˆneo X ′ = AX, com X(t) =

x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
 e A = (aij), aij ∈ R, 1 ≤ i, j ≤
n, queremos determinar n soluc¸o˜es L.I. X1(t), X2(t), . . ., Xn(t). Analogamente ao estudo de EDO,
procuraremos soluc¸o˜es do sistema X ′ = AX que sejam da forma X(t) = eλtv, onde v =

v1
v2
...
vn
 6=

0
0
...
0
,
vi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n e λ ∈ R.
Observando que ddt(e
λtv) = λeλtv e A(eλtv) = eλtAv, ao substituir X(t) = eλtv em X ′ = AX,
obtemos λeλtv = eλtAv. Portanto, X(t) = eλtv e´ soluc¸a˜o do sistema se, e somente se, Av = λv. Dessa
forma, X(t) = eλtv e´ soluc¸a˜o de X ′ = AX se, e somente se, λ e v satisfazem a` equac¸a˜o Av = λv.
Definic¸a˜o 4.5. Os valores de λ para os quais a equac¸a˜o Av = λv tem soluc¸a˜o na˜o-nula sa˜o chamados
de autovalores (ou valores pro´prios) de A. E para cada autovalor λ, os vetores na˜o-nulos que satisfazem
a` equac¸a˜o Av = λv sa˜o chamados de autovetores (ou vetores pro´prios) de A correspondentes a` λ.
Note que a equac¸a˜o Av = λv e´ equivalente a` equac¸a˜o (A − λI)v = 0, onde I e´ a matriz
identidade n× n. Para que a equac¸a˜o (A− λI)v = 0 tenha soluc¸a˜o v 6= ~0, a matria A− λI na˜o pode
ser invert´ıvel. Assim, devemos ter det(A− λI) = 0.
Como det(A − λI) e´ o polinoˆmio caracter´ıstico de A, um polinoˆmio de grau n, ele tem n ra´ızes λ1,
λ2, . . ., λn. Dessa forma, temos treˆs casos para analisar.
1o Caso: Autovalores reais e distintos λ1, λ2, . . ., λn
Como autovetores correspondentes a autovalores distintos sa˜o L.I., temos que os autovetores v1, v2,
. . ., vn de A correspondentes, respectivamente, aos autovalores reais distintos λ1, λ2, . . ., λn sa˜o L.I.
41
Assim, as n func¸o˜es X1(t) = e
λ1tv1, X2(t) = e
λ2tv2, . . ., Xn(t) = e
λntvn sa˜o soluc¸o˜es L.I. de X
′ = AX.
Exemplo 4.6. Determine a soluc¸a˜o do PVI
 x′ = x+ 3yy′ = x− y ;
 x(0) = 1y(0) = 7 .
As equac¸o˜es simultaˆnesas acima podem ser escritas na seguinte forma
X ′ =
 1 3
1 −1
X
X(0) =
 1
7
 , onde X =
 x
y
 e a matriz dos coeficientes e´ dada por A =
 1 3
1 −1
.
O polinoˆmio caracter´ıstico e´ dado por p(λ) = det(A− λI) =
∣∣∣∣∣∣ 1− λ 31 −1− λ
∣∣∣∣∣∣ = λ2 − 4.
Logo, os autovalores de A sa˜o λ1 = 2 e λ2 = −2 (reais distintos).
• Para λ1 = 2, procuramos um vetor v1 =
 a
b
 6=
 0
0
, tal que (A − 2I)v1 = 0, ou seja, 1 3
1 −1
 a
b
 =
 0
0
.
Resolvendo o sistema
 −a+ 3b = 0a− 3b = 0 obtemos o autovetor v1 =
 3
1
 para λ1 = 2 e, por-
tanto, uma soluc¸a˜o do sistema dado e´ X1(t) = e
2t
 3
1
 .
• Para λ2 = −2, obtemos um autovetor v2 =
 1
−1
, e uma outra soluc¸a˜o X2(t) = e−2t
 1
−1
.
Como λ1 6= λ2, as soluc¸o˜es X1 e X2 sa˜o soluc¸o˜es L.I. Dessa forma, a soluc¸a˜o geral do sistema dado e´
dada por
X(t) = c1X1(t) + c2X2(t) = c1
 3e2t
e2t
+ c2
 e−2t
−e−2t

ou melhor,
 X(t)
Y (t)
 =
 3c1e2t + c2e−2t
c1e
2t − c2e−2t
, c1, c2 ∈ R.
Como temos a condic¸a˜o inicial X(0) =
 1
7
, segue que c1 = 2 e c2 = −5. Logo, a soluc¸a˜o do PVI dado e´ X(t)
Y (t)
 =
 6e2t − 5e−2t
2e2t + 5e−2t
.
2o Caso: Autovalores complexos λ = α+ βi, β 6= 0
Como λ e´ raiz do polinoˆmio caracter´ıstico de coeficientes reais, enta˜o seu conjugado λ = α − βi
tambe´m e´ autovalor de A. Ale´m disso, se z e´ um autovetor correspondente a` λ, enta˜o z e´ um autovetor
correspondente a` λ. Nesse caso, as func¸o˜es
X1(t) = e
αt (Fλcos(βt) +Hλsen(βt)) e X2(t) = e
αt (Hλcos(βt)− Fλsen(βt)),
em que Fλ =
zλ + zλ
2
e Hλ =
zλ − zλ
2
i, sa˜o soluc¸o˜es L.I. do sistema.
42
Exemplo 4.7. Resolva o sistema X ′ =
 1 −1
5 −3
X.
O polinoˆmio caracter´ıstico e´ p(λ) = det(A− λI) =
∣∣∣∣∣∣ 1− λ −15 −3− λ
∣∣∣∣∣∣ = λ2 + 2λ+ 2 = 0.
Logo, os autovalores sa˜o λ = −1 + i e λ = −1− i.
Para λ = −1 + i, temos que determinar zλ =
 z1
z2
 6=
 0
0
 tal que Azλ = (−1 + i)zλ, isto e´, 1 −1
5 −3
 z1
z2
 =
 −z1 + z1i
−z2 + z2i
 ⇒
 z1 − z2
5z1 − 3z2
 =
 −z1 + z1i
−z2 + z2i
 ⇒ z1 − z2 = −z1 + z1i5z1 − 3z2 = −z2 + z2i ⇒
 2z1 − z2 = z1i5z1 − 2z2 = z2i ⇒
 4z1 − 2z2 = 2z1i5z1 − 2z2 = z2i
Subtraindo a primeira equac¸a˜o da segunda, obtemos z1 = z2i− 2z1i. Fazendo z1 = 1, segue z2i = 1 + 2i,
ou ainda, z2 =
1+2i
i · −i−i = −i−2i
2
−i2 ⇒ z2 = 2− i.
Logo, um autovalor associado a` λ = −1+i e´ zλ =
 1
2− i
. Assim, um autovetor associado a` λ = −1−i
e´ zλ =
 1
2 + i
. Dessa forma, as soluc¸o˜es L.I. do sistema dado sa˜o
X1(t) = e
−t (Fλcost+Hλsent) e X2(t) = e−t (Hλcost− Fλsent),
em que Fλ =
zλ + zλ
2
=
 1
2
 e Hλ = zλ − zλ
2
=
 0
1
.
Logo,
X1(t) = e
−t
 1
2
 cost+
 0
1
 sent
 = e−t
 cost
2cost+ sent
 e
X2(t) = e
−t
 0
1
 cost−
 1
2
 sent
 = e−t
 −sent
cost− 2sent
 .
Portanto, a soluc¸a˜o geral do sistema dado e´ da forma
X(t) = c1X1(t) + c2X2(t) = e
−t
 c1cost− c2sent
(2c1 + c2)cost+ (c1 − 2c2)sent
 .
3o Caso: Autovalores reais de multiplicidade k, 1 < k ≤ n
Se λ1 = λ2 = . . . = λk = λ e´ um autovalor de A, podemos ter duas situac¸o˜es:
(i) Existir k autovalores L.I. correspondentes a` λ;
(ii) Existir menos do de k autovalores L.I. para λ.
Em (i), como no primeiro caso, se v1, v2, . . ., vk forem os autovetores L.I. correspondentes a` λ, enta˜o
as func¸o˜es eλtv1, e
λtv2, . . ., e
λtvk sera˜o k soluc¸o˜es L.I. do sistema.
43
Exemplo 4.8. Determine a soluc¸a˜o do sistema X ′ =

3 2 4
2 0 2
4 2 3
X.
p(λ) = det(A− λI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3− λ 2 4
2 −λ 2
4 2 3− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇒ −(λ+ 1)
2(λ− 8) = 0.
Assim, os autovalores de A sa˜o λ1 = 8 e λ2 = λ3 = −1 = λ.
Para λ1 = 8, vamos determinar v1 =

a
b
c
 6=

0
0
0
 tal que Av1 = λ1v1, ou seja,

3 2 4
2 0 2
4 2 3


a
b
c
 =

8a
8b
8c
⇒

3a+ 2b+ 4c = 8a
2a+ 2c = 8b
4a+ 2b+ 3c = 8c
⇒ a = c = 2b.
Logo, um autovetor de A associado a` λ1 = 8 e´ v1 =

2
1
2
 e uma soluc¸a˜o do sistema e´ dada por
X1 = e
8t

2
1
2
 .
Para λ = −1, vamos encontrar v =

a
b
c
 6=

0
0
0
 tal que Av = λv, ou seja,

3a+ 2b+ 4c = −a
2a+ 2c = −b
4a+ 2b+ 3c = −c
⇒ b = −2a− 2c.
Se a = 1 e c = 0, temos b = −2 e, assim, v2 =

1
−2
0
. Se a = 0 e c = 1, temos b = −2 e, assim,
v3 =

0
−2
1
. Sendo v2 e v3 L.I., enta˜o teremos duas soluc¸o˜es L.I. associadas ao autovalor λ, que sa˜o
X2 = e
−t

1
−2
0
 e X3 = e−t

0
−2
1
.
Portanto, a soluc¸a˜o geral do sistema e´ X(t) = c1X1 + c2X2 + c3X3 =

2c1e
8t + c2e
−t
c1e
8t − 2c2e−t − 2c3e−t
2c1e
8t + c3e
−t
 .
44
Em (ii), havera´ menos que k soluc¸o˜es do sistema X ′ = AX, da forma eλt, associada a esse autovalor
λ. Portanto, para construir a soluc¸a˜o geral do sistema, e´ preciso encontrar outras soluc¸o˜es de forma
diferente. Se existem l autovetores L.I. v1, v2, . . ., vl (com l < k) asssociados a` λ, enta˜o e
λtv1, e
λtv2, . . .,
eλtvl sera˜o soluc¸o˜es L.I. Como encontrar mais k − l soluc¸o˜es L.I. a` partir das l soluc¸o˜es?
Suponha que λ seja um autovalor de A com multiplicidade 2 e a dimensa˜o

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