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Noc¸o˜es de Equac¸o˜es Diferenciais Claudia Juliana Fanelli Gonc¸alves Departamento de Matema´tica Universidade Estadual de Maringa´ 2013 Suma´rio 1 Equac¸o˜es Diferenciais 4 2 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de Primeira Ordem 6 2.1 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Equac¸a˜o de Varia´veis Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Equac¸o˜es com Coeficientes Homogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Outras Substituic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Equac¸a˜o Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.6 Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.7 Equac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.8 Equac¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.9 Equac¸a˜o de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.10 Equac¸a˜o de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.11 Algumas Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.11.1 Problemas de Decaimento e Crescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.11.2 Problemas de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.11.3 Queda dos corpos com resisteˆncia do ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.11.4 Problemas de Diluic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.11.5 Trajeto´rias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Equac¸o˜es Diferenciais Lineares de Ordem n, n > 1 22 3.1 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Independeˆncia Linear e o Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5 Soluc¸a˜o Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 3.5.1 Me´todo dos Coeficientes a Determinar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.5.2 Me´todo de Variac¸a˜o dos Paraˆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.6 Equac¸a˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.7 Movimento Vibrato´rio de Sistemas Mecaˆnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7.1 Movimento livre sem amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.7.2 Movimento livre com amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.7.3 Movimento forc¸ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Lineares 40 4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Cap´ıtulo 1 Equac¸o˜es Diferenciais Uma equac¸a˜o diferencial e´ uma equac¸a˜o envolvendo derivadas de uma func¸a˜o desconhecida, chamada de inco´gnita, de uma ou mais varia´veis. Se a func¸a˜o inco´gnita depender apenas de uma varia´vel, a equac¸a˜o e´ dita ordina´ria (EDO) e caso depende de mais de uma varia´vel ela e´ dita parcial (EDP). A ordem de uma equac¸a˜o diferencial e´ a ordem da derivada de mais alta ordem da func¸a˜o inco´gnita que ocorre na equac¸a˜o. Uma equac¸a˜o de ordem n pode ser apresentada como F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 em que x e´ a varia´vel independente, y = y(x) e´ a func¸a˜o inco´gnita e y(n) = dny dxn . Uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial e´ uma func¸a˜o que satisfaz a equac¸a˜o F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 em um intervalo I. A soluc¸a˜o mais geral poss´ıvel que admite uma equac¸a˜o diferencial e´ denominada soluc¸a˜o geral, enquanto que uma soluc¸a˜o obtida da soluc¸a˜o geral e´ chamada de soluc¸a˜o particular. Uma soluc¸a˜o singular e´ aquela que na˜o pode ser deduzida da soluc¸a˜o geral. Apenas alguns tipos de equac¸o˜es diferenciais apresentam soluc¸o˜es singulares. Geometricamente, a soluc¸a˜o geral de uma equac¸a˜o diferencial representa uma famı´lia de curvas (curvas integrais). Por exemplo, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o dy/dx = 4x e´ y = 2x2 + k, onde k e´ uma constante, que representa uma famı´lia de curvas: uma curva para cada valor da constante k. Veja na Figura 1.1 as curvas integrais de y = 2x2 + k, para k = −2,−1, 0 e 1. Figura 1.1: Curvas integrais para k = −2,−1, 0 e 1. 4 Exemplos: 1. y(x) = e−x e´ uma soluc¸a˜o particular de y′ + y = 0; 2. y(x) = Ce−x e´ a soluc¸a˜o geral de y′ + y = 0; 3. y(x) = sen(x) e´ uma soluc¸a˜o particular de y′′ + y = 0; 4. y(x) = Asen(x) +Bcos(x) e´ a soluc¸a˜o geral de y′′ + y = 0. Os problemas do tipo y′ = f(x, y)y(x◦) = y◦ sa˜o chamados de problemas de valor inicial (PVI) ou problemas de Cauchy. Os exemplos a seguir ilustram alguns tipos e classificac¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais. Tipo Equac¸a˜o Ordem Grau Varia´vel dependente Varia´vel independente EDO dy dx = 2x− 1 1a 1◦ y x EDO x dy dx − 2y = 0 1a 1◦ y x EDO ( d2y dx2 )3 − 2y ( dy dx )4 + 4 dy dx = 2x 2a 3◦ y x EDP ∂u ∂t − 3∂ 2u ∂x2 = a 2a 1◦ u t, x EDP ∂2Z ∂x2 + ∂2Z ∂y2 = constante 2a 1◦ Z x, y EDP ∂2φ ∂x2 + ∂2φ ∂y2 + ∂2φ ∂z2 = 0 2a 1◦ φ x, y, z EDP u ∂2u ∂r2 + rst = 5 2a 1◦ u r, s, t 5 Cap´ıtulo 2 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de Primeira Ordem 2.1 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es Considere o problema de valor inicial y′ = |y|1/2y(0) = 0 . Tal PVI na˜o tem unicidade de soluc¸a˜o, pois y1(x) ≡ 0 e´ soluc¸a˜o e y2(x) = x 2 4 , x ≥ 0 −x24 , x < 0 tambe´m e´ soluc¸a˜o (verifique). Portanto, temos duas soluc¸o˜es. Vemos ainda que o PVI y′ = 3y2/3y(0) = 0 tambe´m na˜o tem unicidade de soluc¸a˜o, pois y(x) ≡ 0 e´ soluc¸a˜o e observamos que, para qualquer c ∈ R+, a func¸a˜o yc : R→ R dada por yc(x) = (x− c)3, x ≥ c0, x < c tambe´m e´ soluc¸a˜o, e portanto temos infinitas soluc¸o˜es. Logo, dado o PVI y′ = f(x, y)y(x◦) = y◦ onde f e´ uma func¸a˜o definida num aberto A do R2, surgem as seguintes questo˜es: 1. Sabemos que o PVI acima tem de fato uma soluc¸a˜o sem exib´ı-la explicitamente? 2. Como sabemos que existe somente uma soluc¸a˜o desse PVI? Talvez existam duas, treˆs ou mesmo infinitas soluc¸o˜es. 3. Qual a utilidade de determinarmos se tal PVI tem uma u´nica soluc¸a˜o se na˜o somos capazes de exib´ı-la? Para esta u´ltima questa˜o, podemos dizer que o fato de sabermos se o PVI tem uma u´nica soluc¸a˜o e´ muito importante, pois a partir disto poderemos usar te´cnicas computacionais para obter aproximac¸o˜es 6 da soluc¸a˜o y(x). O pro´ximo teorema nos da´ condic¸o˜es para a existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es para o PVI. Teorema 2.1. (Existeˆncia e Unicidade Local) Sejam f e ∂f ∂y cont´ınuas num aberto Ω ⊂ R2, a, b > 0 tal que R = {(x, y) ∈ R2; |x − x◦| ≤ a e |y − y◦| ≤ b}. Sejam M = max(x,y)∈R|f(x, t)| e α = min{a, bM }. Enta˜o o PVI y′ = f(x, y) com y(x◦) = y◦ tem uma e somente uma soluc¸a˜o y(x) no intervalo I = [x◦ − α, x◦ + α]. Exemplos: 1. Mostre que a soluc¸a˜o y(x) do PVI y′ = y2 + cos(x2), y(0) = 0, existe no intervalo 0 ≤ x ≤ 1/2. Usaremos o teorema anterior. Neste caso, f(x, y) = y2 + cos(x2) e ∂f∂y (x, y) = 2y, sa˜o cont´ınuas em qualquer retaˆngulo R = {(x, y); |x| ≤ a, |y| ≤ b}, onde a,b ∈ R. Calculando M = max(x,y)∈R|f(x, t)| = max|y|≤b;|x|≤a|y2 + cos(x2)| = b2 + 1, vemos que y(x) existe para 0 ≤ x ≤ α, com α = min { a, b b2+1 } . Como apriori podemos tomar qualquer valor de a, temos que o valor ma´ximo de α sera´ quando b b2+1 for ma´ximo. Este ma´ximo e´ 1/2. Portanto, o Teorema 2.1 garante que a soluc¸a˜o de y(x) existe e e´ u´nica para 0 ≤ x ≤ 1/2. 2. Mostre que y(x) = −1 e´ a u´nica soluc¸a˜o do PVI y′ = x(1 + y), y(0) = −1. Observamos que y(x) = −1 e´ soluc¸a˜o do PVI. Como f(x, y) = x(1+y) e ∂f∂y (x, y) = x sa˜o cont´ınuas em qualquer retaˆngulo, temos que o PVI dado tem uma u´nica soluc¸a˜o e, portanto, sera´ y(x) = −1. Exemplo 2.2. Verifique se as func¸o˜es sa˜o soluc¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais: (1) y = 2e−x + xe−x; d2y dx2 + 2 dy dx + y = 0 (2) y = 1; d2y dx2 + 2 dy dx + y = 0 (3) y = Asen(kx) + B cos(kx) (A,B, k cons- tantes); y′′ = −k2y (4) y = ln(x); xy′′ + y′ = 0, para x ∈ (0,+∞) 2.2 Equac¸a˜o de Varia´veis Separa´veis Uma EDO com varia´veis separa´veis e´ da forma y′ = g(x) · h(y). Supondo g(x) 6= 0, para todo x no intervalo I, temos: (1◦) Se h(y) = 0, temos y′ = 0, cuja soluc¸a˜o e´ y = a, a ∈ R. Essa soluc¸a˜o e´ chamada de soluc¸a˜o constante. (2◦) Se h(y) 6= 0, dividimos a equac¸a˜o y′ = g(x) · h(y) por h(y) e obtemos 1 h(y) · y′ = g(x), ou melhor, 1 h(y(x)) · y′(x) = g(x). Integrando, temos:∫ 1 h(y(x)) · y′(x) dx = ∫ g(x) dx. Exemplo 2.3. Resolva as EDOs e os PVIs: 7 (1) dy dx = y − 2 1 + x (2) y′ = x3(y2 + 1) (3) y′ = −xyy(4) = 3 (4) (x+ 1)y′ = y + 6 (5) y′ = x2y2 1 + x (6) dy = −6xy dxy(0) = 7 (7) y′ = x3(y2 − 4)y(0) = −1 (8) x′ = −x ln tx(1) = e (9) cosy dx+ x seny dy = 0 (10) y′ = e2x−3y 2.3 Equac¸o˜es com Coeficientes Homogeˆneos Definic¸a˜o 2.4. Dizemos que uma func¸a˜o cont´ınua f e´ homogeˆnea de grau n se f(λx, λy) = λnf(x, y), para todo λ ∈ R e (λx, λy) ∈ Dom(f). Exemplo 2.5. Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o homogeˆneas e indique qual o grau: (1) f(x, y) = 2x+ y y − x (2) f(x, y) = e x/y (3) f(x, t) = 1√ x+ t (4) g(x, y) = 2x3 − 6xy2 Se f e´ uma func¸a˜o homogeˆnea de grau 0, temos que, para x 6= 0, f(x, y) = f (x · 1, x · yx) = x0f (1, yx), ou seja, f(x, y) = F (y/x). Por exemplo, f(x, y) = x2 − 5xy xy + y2 e´ homogeˆnea de grau 0. De fato: f(λx, λy) = λ 2(x2−5xy) λ2(xy+y2) = f(x, y), λ 6= 0. Ale´m disso, para x 6= 0, f(x, y) = x2 − 5xy xy + y2 = x2−5xy x2 xy+y2 x2 = 1− 5(y/x) (y/x) + (y/x)2 = F (y/x). Definic¸a˜o 2.6. A EDO y′ = f(x, y) e´ dita homogeˆnea (ou de coeficientes homogeˆneos) se a func¸a˜o f e´ homogeˆnea de grau zero. Assim, uma equac¸a˜o homogeˆnea pode ser escrita na forma y′ = F (y/x) com x 6= 0. Fazendo a mudanc¸a de varia´vel v = y/x, transformamos a equac¸a˜o homogeˆnea em uma equac¸a˜o com varia´veis separa´veis. De fato, como y = x · v, segue que y′ = dy dx = 1 · v + x · v′. Da´ı obtemos a equac¸a˜o v + xv′ = F (v). Logo, xv′ = F (v)− v, ou ainda, v ′ F (v)− v = 1 x . Exemplo 2.7. Resolver as equac¸o˜es e o PVI: (1) y′ = x+ y x− y (2) 2xy dy − (y2 − x2) dx = 0 (3) y′ = y2 yx+ x2 (4) x′ = 2t+ 3x t (5) (t− √ ty) dy = y dt y(2) = 2 2.4 Outras Substituic¸o˜es Mudanc¸as de varia´veis, em geral, sa˜o usadas para transformar uma equac¸a˜o diferencial que na˜o sabemos resolver (ou mais complexa) em uma outra conhecida. Faremos substituic¸o˜es do tipo x = F (u, v) e y = G(u, v), para F e G adequadas. 8 Homogeneizac¸a˜o: EDOs da forma y′ = a1x+ b1y + c1 a2x+ b2y + c2 , ai, bi, ci ∈ R, i = 1, 2, sa˜o homogeˆneas se c1 = c2 = 0. Supondo c1 6= 0 ou c2 6= 0, a equac¸a˜o na˜o e´ homogeˆnea. Antes de mais nada, vamos estudar a posic¸a˜o relativa das retas r : a1x+ b1y + c1 = 0 e s : a2x+ b2y + c2 = 0. Dessa forma: (i) Se ∣∣∣∣∣∣ a1 b1a2 b2 ∣∣∣∣∣∣ = 0, ou seja, a1b2 = a2b1 ⇒ a2a1 = b2b1 = k, enta˜o r ‖ s e, ale´m disso, temos r : a1x+ b1y + c1 = 0 e s : k(a1x+ b1y) + c2 = 0. Assim, fazendo a mudanc¸a de varia´vel u = a1x+b1y, obtemos uma equac¸a˜o com varia´veis separa´veis. De fato, como u′ = a1 + b1y′, segue a1 + b1y ′ = b1 ( a1x+ b1y + c1 a2x+ b2y + c2 ) + a1 ⇒ u′ = b1 ( u+ c1 ku+ c2 ) + a1. (ii) Se ∣∣∣∣∣∣ a1 b1a2 b2 ∣∣∣∣∣∣ 6= 0, as retas r e s sa˜o concorrentes. Seja (x◦, y◦) o ponto de intersec¸a˜o de r e s. A mudanc¸a de varia´veis adequada agora e´ aquela na qual a origem do novo sistema de coordenadas e´ o ponto (x◦, y◦), isto e´, u = x− x◦ e v = y − y◦, ou melhor, x = u+ x◦y = v + y◦ . Portanto, a1x + b1y + c1 = a1(u + x◦) + b1(v + y◦) + c1 = a1u + b1v + a1x◦ + b1y◦ + c1 = a1u + b1v (pois a1x◦ + b1y◦ + c1 = 0, uma vez que (x◦, y◦) ∈ r) e analogamente, a2x+ b2y + c2 = a2u+ b2v. Portanto, segue a equac¸a˜o homogeˆnea nas varia´veis u e v: dv du = a1u+ b1v a2u+ b2v . Exemplo 2.8. Resolva as EDOs e o PVI: (1) y′ = x− 2y + 2 2x− 4y + 1 (2) (x+ y + 1)dx+ (y − x− 3)dy = 0 (3) y ′ = x+ y + 2 x+ 1 y(1) = 3 (4) (2x− y − 4)dx = (x− 2y + 1)dy (5) (2x− y + 1)dx+ (2x− y)dy = 0 (6) y′ = 6x− y − 5 4x− y − 3 Exemplo 2.9. Resolva as equac¸o˜es abaixo usando as substituic¸o˜es dadas: (1) xy2 dy − (y3 + x5) dx = 0; y = ux; (2) (y + x− 2 + 1/x) dx = (2− x− y) dy; u = x+ y; (3) y′ = (x+ y + 3)2; u = x+ y + 3; (4) y′ = − y 2ex 1 + yex ; y = ue−x. 9 2.5 Equac¸a˜o Exata Definic¸a˜o 2.10. Dadas as func¸o˜es M e N cont´ınuas num aberto Ω ⊆ R2, a EDO M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (2.1) e´ chamada exata se existir uma func¸a˜o diferencia´vel V : Ω→ R tal que ∂V ∂x (x, y) = M(x, y) e ∂V ∂y (x, y) = N(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω. Ou ainda, se existe V tal que dV = M(x, y) dx+N(x, y) dy. Ora, se dV = 0, a soluc¸a˜o geral e´ V (x, y) = c que e´ chamada de curva integral. Exemplo 2.11. Verifique se cada equac¸a˜o abaixo e´ exata. Caso seja exata, determine sua soluc¸a˜o: (1) cos(y)dx− x sen(y) dy = 0 (2) 2xy3 dx+ 3x2y2 dy = 0 (3) x dx+ y dy = 0 (4) 2xy3 dx+ x2y3 dy = 0 O pro´ximo teorema e´ utilizado para identificar quando uma EDO e´ exata. Teorema 2.12. (Teste de Exatida˜o) Suponhamos que as func¸o˜es M e N sejam de classe C1 num retaˆngulo R = {(x, y) ∈ R2/a < x < b e c < y < d}. Enta˜o a EDO M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 e´ exata se, e somente se, ∂M ∂y (x, y) = ∂N ∂x (x, y), ∀(x, y) ∈ R. Exemplo 2.13. Verifique que a equac¸a˜o dada e´ exata e resolva-a: (1) y′ = x+ 2y y − 2x y(1) = 1 (y < 2x) (2) y′ = − 2x+ sen(y) x cos(y) , −pi/2 < y < pi/2 y(1) = pi/6 (3) (y − x3)dx+ (y2 + x)dy = 0; (x > 0) (4) (2x+ ey − lnx)dx+ (xey + sen(y))dy = 0; (x > 0) (5) (3x2 + 6xy − y2 + 1 x2 )dx+ (3x2 − 2xy + 3y2 − 1 4+y2 )dy = 0; (x > 0 ou x < 0) (6) (sen(xy) + xy cos(xy))dx+ x2cos(xy)dy = 0 (7) (y/x+ ln y)dx+ (x/y + lnx)dy = 0; (x > 0 e y > 0) (8) (1 + ln(xy))dx+ (1 + x/y)dy = 0 ; (x > 0 e y > 0)y(√2) = √2/2 10 2.6 Fatores Integrantes Queremos resolver a equac¸a˜o (2y + 3x + 1x)dx + x dy = 0, x > 0, que na˜o e´ de varia´veis separa´veis, nem homogeˆnea e nem exata. Note que, ao multiplica´-la por x, obtemos a equac¸a˜o (2xy + 3x2 + 1)dx+ x2dy = 0 que e´ exata pois ∂M ∂y (x, y) = 2x = ∂N ∂x (x, y). Neste caso, a func¸a˜o µ(x) = x e´ chamada de fator integrante da equac¸a˜o dada. Definic¸a˜o 2.14. Suponhamos que em um aberto Ω ⊆ R2, a equac¸a˜o M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (*) na˜o seja exata. Dizemos que a func¸a˜o na˜o nula µ = µ(x, y) definida num aberto Ω1 ⊆ Ω e´ um fator integrante (f.i.) da equac¸a˜o (*) se a equac¸a˜o µ(x, y) ·M(x, y) dx+ µ(x, y) ·N(x, y) dy = 0 for exata em Ω1. Exemplo 2.15. Verifique se a func¸a˜o µ dada e´ fator integrante da equac¸a˜o indicada: (1) µ(y) = 1 y2 ; y(xy + 1)dx− x dy = 0 (2) µ(x, y) = 1 (3 + y)(2 + x2) ; y′ = 3x+ xy 2y + x2y Considere a EDO na˜o exata M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (*) em um aberto Ω ⊆ R2. Supondo que M , N e µ sejam de classe C1 em um retaˆngulo R ⊆ Ω, temos que µ e´ um f.i. de (*) se, e somente se, ∂ ∂y (µ(x, y)M(x, y)) = ∂ ∂x (µ(x, y)N(x, y)), ∀(x, y) ∈ R. Queremos determinar um f.i. µ, sabendo que µ depende apenas de uma varia´vel. (i) µ = µ(x) Como ∂ ∂y (µ(x)M(x, y)) = ∂ ∂x (µ(x)N(x, y)),temos que µ(x)My = µ ′(x) ·N +µ(x) ·Nx, ou melhor, µ(x)(My −Nx) = µ′(x) ·N , ou ainda, µ ′(x) µ(x) = My −Nx N . Integrando em relac¸a˜o a x, obtemos ln |µ(x)| = ∫ My −Nx N dx e, portanto, seque que um f.i. µ = µ(x) da equac¸a˜o (*) e´ dado por µ(x) = e ∫ My−Nx N dx (ii) µ = µ(y) De modo ana´logo ao item (i), o f.i. para a equac¸a˜o (*) e´ dado por µ(y) = e ∫ Nx−My M dy Exemplo 2.16. Dadas as equac¸o˜es abaixo, encontre um f.i. para elas e resolva-as: (1) ey(x2 + 1) dx− 2 dy = 0 (2) ( √ x− 3 + y) dx− x dy = 0 (3) 3(x+ y)2dx+ x(3y + 2x)dy = 0 (4) (x+ 2y) dx− x dy = 0 2.7 Equac¸a˜o Linear Uma EDO de primeira ordem da forma y′ + p(x)y = q(x), (2.2) 11 com p e q func¸o˜es cont´ınuas num intervalo aberto I, e´ chamada de equac¸a˜o linear de primeira ordem. Se q(x) = 0 para todo x ∈ I, a equac¸a˜o e´ dita linear homogeˆnea, caso contra´rio, e´ dita linear na˜o homogeˆnea. Para resolver a equac¸a˜o (2.2), vamos reescreveˆ-la na forma [p(x)y − q(x)]dx + dy = 0. Tomando M(x, y) = p(x)y − q(x) e N(x, y) = 1, segue que ∂M∂y = p(x) e ∂N∂x = 0. (i) Se p ≡ 0 em I, temos a soluc¸a˜o geral de (2.2) dada por y(x) = ∫ q(x) dx. (ii) Se p 6= 0 em I, a equac¸a˜o (2.2) na˜o e´ exata. Neste caso, procuraremos um f.i. para ela. Como My−Nx N = p(x), enta˜o µ(x) = e ∫ p(x) dx. Assim, multiplicando a equac¸a˜o (2.2) por µ(x) temos que y′e ∫ p(x) dx + p(x)ye ∫ p(x) dx = q(x)e ∫ p(x) dx ou melhor d dx [ y(x)e ∫ p(x) dx ] = q(x)e ∫ p(x) dx Integrando, obtemos ye ∫ p(x) dx = ∫ q(x)e ∫ p(x) dxdx Dessa forma, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o linear (2.2) e´ dada por: y(x) = e− ∫ p(x) dx · ∫ q(x)e ∫ p(x) dxdx. Exemplo 2.17. Resolva as EDOs e os PVIs: (1) y′ + 2xy = xy(0) = 2 (2) tx′ + x = tx(4) = 1 (3) y′ + 2y = e−4ty(0) = 3/2 (4) xy′ + y 2 = x lnx y(1) = −1 (5) y′ = 2x2 − x2yy(0) = 1 (6) ty′ + 2y = 4t2y(1) = 2 (7) y′ + 3y = te−2t (8) y′ + y = te−t + 1 (9) y′ + yt = 3cos2t, t > 0 (10) 2y′ + y = 3t 2.8 Equac¸a˜o de Bernoulli A EDO de primeira ordem da forma y′ + p(x)y = q(x)yα (2.3) com α ∈ R, p e q func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo aberto I, e´ chamada de Equac¸a˜o de Bernoulli. 12 Para α = 0 ou α = 1 a equac¸a˜o e´ linear. Caso α > 0, a func¸a˜o y(x) = 0 e´ uma soluc¸a˜o constante, para todo x ∈ I. Dividindo a equac¸a˜o (2.3) por yα, obtemos y′ yα + p(x) · 1 yα−1 = q(x). Fazendo u = 1 yα−1 , obtemos uma equac¸a˜o linear em u. De fato: u′ = −(α− 1) · yα−2 · y′ (yα−1)2 = (1− α) y ′ yα que substituindo na equac¸a˜o anterior, segue a equac¸a˜o u′ 1− α + p(x)u = q(x) ou ainda u′ + p(x)(1− α)u = q(x)(1− α). 2.9 Equac¸a˜o de Riccati Uma EDO de primeira ordem na forma y′ + p(x)y + q(x)y2 = f(x) (2.4) com p, q e f func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo aberto I e q(x) 6= 0, para todo x ∈ I, e´ chamada de Equac¸a˜o de Riccati. Supondo que y1 seja uma soluc¸a˜o na˜o identicamente nula da equac¸a˜o de Riccati (2.4), fazendo a mudanc¸a de varia´vel y = y1 + 1 u , obtemos uma equac¸a˜o linear em u. Exemplo 2.18. Resolva as equac¸o˜es: (1) y′ + y = xy2 (2) y′ + xy = x y (3) (xy2)′ = (xy)3 · (x2 + 1) (4) y′+2xy = 1+x2+y2, y1 = x (5) y′−xy2 +(2x−1)y = x−1, y1 = 1 (6) y′+ y2− (1 + 2ex)y = −e2x, y1 = e x 2.10 Equac¸a˜o de Clairaut A equac¸a˜o de Clairaut tem a forma y = xy′ + f(y′) (2.5) Se em (2.5) fazemos y′ = p, obtemos y = xp+ f(p) (2.6) Derivando (2.6), temos y′ = p+ xp′ + f ′(p) · p′ e, como y′ = p, enta˜o p = p+ xp′ + f ′(p) · p′ ⇒ xp′ + f ′(p) · p′ = 0⇒ (x+ f ′(p)) · p′ = 0⇒ p′ = 0 ou x+ f ′(p) = 0. Se p′ = 0, enta˜o p = c, com c ∈ R e, de (2.6) obtemos a soluc¸a˜o geral: y = xc+ f(c), em que c ∈ R. A igualdade acima representa uma famı´lia de retas que e´ soluc¸a˜o de (2.5). 13 Se x+ f ′(p) = 0, enta˜o obtemos as seguintes soluc¸o˜es singulares da equac¸a˜o de Clairaut: y(x) = xp(x) + f(p(x)). Exemplo 2.19. Determinar a soluc¸a˜o geral e a soluc¸a˜o singular das seguintes equac¸o˜es de Clairaut: (1) y = xy′ − ln y′ (2) y − xy′ = 3(y′)2 (3) x(y′)3 − y(y′)2 + 1 = 0 (4) y′ · (xy′ − y + 5) + 4 = 0 (5) y = xy′ + √ 4 + (y′)2 (6) y − xy′ = (y′)2 2.11 Algumas Aplicac¸o˜es 2.11.1 Problemas de Decaimento e Crescimento Seja y(t) a quantidade de uma determinada substaˆncia (ou populac¸a˜o) sujeita a um processo de cres- cimento ou decrescimento. Se admitirmos que dy/dt, taxa de variac¸a˜o da quantidade de substaˆncia, e´ proporcional a` quantidade de substaˆncia presente, enta˜o dy dt = ky, k ∈ R. onde k e´ a constante de proporcionalidade. Observac¸a˜o 2.20. O tempo necessa´rio para reduzir uma substaˆncia a` metade da quantidade inicial e´ chamado meia-vida da substaˆncia. 2.11.2 Problemas de Temperatura Lei de Resfriamento de Newton: “A velocidade de resfriamento de um corpo e´ proporcional a` diferenc¸a entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente”. Se T e´ a temperatura do corpo no instante t, enta˜o dTdt e´ a velocidade de resfriamento do corpo no instante t. Portanto, segue a EDO dT dt = k(T − Ta), k ∈ R, k < 0, onde Ta e´ a temperatura constante do ambiente e k e´ uma constante positiva de proporcionalidade que depende do material com que o corpo foi constru´ıdo. 2.11.3 Queda dos corpos com resisteˆncia do ar Consideremos um corpo de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e pela resisteˆncia do ar proporcional a` velocidade do corpo. Admitimos que tanto a gravidade como a massa permanec¸am constantes e, por convenieˆncia, escolhemos o sentido “para baixo”como sentido positivo. A Segunda Lei de Newton do movimento nos diz que F = m · a (2.7) onde F e´ a forc¸a resultante que atua sobre o corpo e a e´ a acelerac¸a˜o dada por a = dvdt ; v e´ a velocidade do corpo, ambas consideradas no instante t. 14 Neste caso, existem duas forc¸as atuando sobre o corpo: (1) a forc¸a devida a` gravidade, dada pelo peso do corpo, e que e´ igual a mg; (2) a forc¸a devida a` resisteˆncia do ar, dada por −kv, onde k ≥ 0 e´ uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se torna necessa´rio porque esta forc¸a se opo˜e a` velocidade, isto e´, atua no sentido “para cima”, ou seja, no sentido negativo. De (2.7) e de a = dvdt , temos mg − kv = mdvdt ou dv dt + k m v = g (2.8) como equac¸a˜o do movimento do corpo. Observac¸a˜o 2.21. 1. Se a resisteˆncia do ar e´ desprez´ıvel, ou na˜o existente, enta˜o k = 0 e (2.8) se simplifica para dvdt = g. 2. Quando k > 0, a velocidade limite vl e´ definida por vl = mg k (2.9) 3. As equac¸o˜es (2.8) e (2.9) sa˜o va´lidas somente se as condic¸o˜es dadas forem satisfeitas. Tais condic¸o˜es na˜o sa˜o va´lidas, por exemplo, se a resisteˆncia do ar na˜o for proporcional a` velocidade, e sim ao quadrado da velocidade, ou se considerar como positivo o sentido “para cima”. 2.11.4 Problemas de Diluic¸a˜o Consideremos um tanque com uma quantidade inicial de V0 galo˜es de salmoura que conte´m a libras de sal. Despeja-se no tanque uma outra soluc¸a˜o de salmoura com b libras de sal por gala˜o, a` raza˜o de e gal/min, enquanto simultaneamente, a soluc¸a˜o resultante, bem misturada, se escoa do tanque a` raza˜o de f gal/min. O problema consiste em determinar a quantidade de sal presente no instante t. Seja Q a quantidade de sal (em libras) presente no tanque num instante qualquer. A taxa de variac¸a˜o de Q, dQ/dt, e´ igual a taxa a qual o sal entra no tanque, menos a taxa a` qual o sal se escoa do tanque. Ora, o sal entra no tanque a` taxa de b · e lb/min. Para determinar a taxa de sa´ıda do sal, devemos primeiro calcular o volume de salmoura presente no tanque no instante t, que e´ o volume inicial V0 mais o volume adicionado e · t, menos o volume escoado, f · t. Assim, o volume de salmoura no instante t e´ V0 + e · t− f · t. A concentrac¸a˜o de sal no tanque, em um instante qualquer, e´ dada por Q V0 + e · t− f · t , de onde conclu´ımos que o sal sai do tanque a` taxa de f · Q V0 + e · t− f · t lb/min. Assim, dQ dt = b · e− f · Q V0 + e · t− f · t ou ainda dQ dt + f V0 + e · t− f · tQ = b · e 15 2.11.5Trajeto´rias Ortogonais Consideremos uma famı´lia de curvas a um paraˆmetro no plano xy definida por F (x, y, c) = 0 (2.10) onde c e´ o paraˆmetro. O problema consiste em determinar outra famı´lia de curvas, chamadas trajeto´rias ortogonais da famı´lia (2.10), e dada analiticamente por G(x, y, k) = 0, tais que cada curva dessa famı´lia, intercepta ortogonalmente cada curva da famı´lia original (2.10). Primeiro derivamos implicitamente (2.10), em relac¸a˜o a x, em seguida eliminamos c entre esta equac¸a˜o derivada e a equac¸a˜o (2.10). Obtemos uma equac¸a˜o entre x, y e y′, que resolvemos em relac¸a˜o a y′, chegando a uma equac¸a˜o diferencial da forma dy dx = f(x, y). As trajeto´rias ortogonais de (2.10) sa˜o as soluc¸o˜es de dy dx = − 1 f(x, y) . 16 2.12 Exerc´ıcios 1. Verifique se a func¸a˜o dada e´ soluc¸a˜o da EDO indicada: (a) y(x) = − 2 x2−1 , −1 < x < 1; y′ = xy2 (b) x(t) = et 3 ; x′ = 3xt2 (c) y(t) = tg(t), −pi2 < t < pi2 ; y′ = 1 + y2 2. Mostre que y = 2x+kex e´ a primitiva da equac¸a˜o y′−y = 2(1−x) e determine a soluc¸a˜o particular relativa a x = 0 e y = 3 (determinando o valor de k). Resp. y = 2x+ 3ex 3. Resolva o PVI y′ + y = 0; y(3) = 2, sabendo que a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e´ y = ke−x, onde k e´ uma constante arbitra´ria. Resp. y = 2e3−x 4. Resolva o PVI y′′ + 4y = 0; y(0) = 0; y′(0) = 1, sabendo que a soluc¸a˜o geral tem a forma y = a sen(2x) + b cos(2x) (a, b constantes). Resp. y = 12sen(2x) 5. Resolva as EDOs e os PVIs: 1. y′(t) = e−2ysen2(t) 2. x′(t) = cos2x 3. du dw = u2 − u wln(w) u(e) = 5 4. dv dx = vx2ln(x) ln(v) 5. ey ′ = x y(1) = 4 6. ln ( yy′ x ) = x y(1) = 2 7. r du dr = u2 + 1 u(1) = 1 8. sen2θdr + cos2rdθ = 0θ(pi4 ) = pi4 9. 4xdy − ydx = x2dy 10. y′ = 4y x(y − 3) 11. xy′ − y + xy3(1 + lnx) = 0 12. y′ + ycotg(x) = 5ecos(x)y(pi2 ) = −4 13. y(xy + 1)dx+ x(1 + xy + x2y2)dy = 0; u = xy 14. y′ − y = xy5 15. y′ = − 1 x2 − y x + y2, sabendo que y1 = 1 x 16. y′ = 1 + x2 − 2xy + y2; y1 = x 17. y′ = (y − 4x)2; u = y − 4x 17 18. y′ + y 3 = 1 3 (1− 2x)y4 19. (x4 + y4)dx− xy3dy = 0 20. (y2 + xy)dx− x2dy = 0y(1) = 1 21. y′ + 2xy + xy4 = 0 22. 2xdy − 2ydx = √ x2 + 4y2 dx 23. y ′ = x+ 2y 1− 2x y(1) = 1 24. xy ′ = y + xey/x, x > 0 y(1) = 1 25. xyy′ = x2e−y/x + y2 26. (e2y − y cos(xy))dx + (2xe2y − x cos(xy) + 2y)dy = 0 27. x(lnx− ln y − 1)y ′ + y = 0 y(1) = e 28. ( 1 + lnx+ yx ) dx = (1− lnx)dy 29. (cos(x) · sen(x)− xy 2)dx+ y(1− x2)dy = 0 y(0) = 2 30. (e y + y)dx+ (2 + x+ xey)dy = 0 y(0) = 1 31. (xy2 + 2)dx+ 3x2y dy = 0 32. 2x+ 2y − 1 + y′(x+ y − 2) = 0 33. (2x− 4y)dx+ (x+ y − 3)dy = 0 34. (x− 2y − 1)dx+ (3x− 6y + 2)dy = 0 35. (x− y + 3)dx+ (3x+ y + 1)dy = 0 36. (cos y + y cos x)dx+ (sen x− x sen y)dy = 0 37. x dy − y dx = (1− x2)dx 38. xy′ = y + x3 + 3x2 − 2x 39. x dy − y dx− √ x2 + y2dx = 0 40. (2x+ 3y)dx+ (y − x)dy = 0 41. xy′ − y + xy3(1 + lnx) = 0 42. y ln y dx+ (x− ln y)dy = 0 43. (x3 + y3)dx− 3xy2dy = 0 44. 2x(yex 2 − 1)dx+ ex2dy = 0 45. (x+ 2y)dx+ (2x+ 3y)dy = 0 46. (x+ y)dx+ (3x+ 3y − 4)dy = 0 6. Determine uma EDO do tipo M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, cujas soluc¸o˜es y = y(x) sejam dadas implicitamente por: (a) x2 + x ln y −√xy = c (b) x cos2(x+ y)− y3 ln(xy) = c 7. Determine o valor de a para o qual a equac¸a˜o (6xy3 + cos(y)− xex2)dx+ (ax2y2 − x sen(y))dy = 0 seja exata e resolva-a. 18 8. Resolva o PVI (2x sen y + excos y)dx+ (x2cos y − exsen y)dy = 0y(0) = pi/4 9. Em cada um dos itens abaixo, escreva uma EDO que seja modelo matema´tico para a situac¸a˜o descrita: (a) A taxa de variac¸a˜o temporal de uma populac¸a˜o P e´ proporcional a` raiz quadrada de P . (b) A taxa de variac¸a˜o temporal da velocidade v de uma lancha e´ proporcional ao quadrado de v. (c) A acelerac¸a˜o dvdt de um certo carro e´ proporcional a` diferenc¸a entre 250 km/h e a velocidade do carro. (d) Em uma cidade com uma populac¸a˜o fixa de P pessoas, a taxa de variac¸a˜o do nu´mero N de pessoas que escutaram um certo boato e´ proporcional ao nu´mero das que ainda na˜o escutaram este boato. (e) Em uma cidade com uma populac¸a˜o fixa de P pessoas, a taxa de variac¸a˜o do nu´mero N de pessoas que contra´ıram certa doenc¸a e´ proporcional ao produto do nu´mero de pessoas que tem a doenc¸a pelo nu´mero de pessoas que na˜o tem. 10. Uma substaˆncia X se decompo˜e exponencialmente, e apenas a metade da quantidade inicial de X permanece apo´s 2 anos. Quanto tempo deve ser necessa´rio para que 5 Kg de X decaia para 1 Kg? (4,6 anos) 11. Encontre a meia-vida de uma substaˆncia radioativa se 25% dela desaparece em 10 anos. (24 anos) 12. Uma cultura de bacte´rias cresce numa taxa que e´ inversamente proporcional a` raiz quadrada do nu´mero presente. Se existem 9 unidades presentes inicialmente e 16 presentes apo´s 2 dias, apo´s quantos dias existira˜o 36 unidades? (10,2 dias) 13. Em uma certa soluc¸a˜o existem 2g de um produto qu´ımico. Depois de uma hora existem 3g deste produto. Se a raza˜o de crescimento desse produto e´ proporcional a` raiz quadrada do tempo em que ele esta´ presente na soluc¸a˜o, quantos gramas existira˜o apo´s 4 horas? (10 gramas) 14. Um ator de cinema que pesa 120 Kg precisa fazer um severo regime para emagrecer, em virtude do seu papel num novo filme a ser rodado. O diretor exige que ele perca a terc¸a parte do seu peso no ma´ximo em 7 meses, seguindo uma dieta racional que o emagrec¸a proporcionalmente ao peso de cada dia. Nestas condic¸o˜es, sabendo-se que, iniciada a dieta, o artista emagrecera´ 20 Kg em 80 dias, quanto tempo sera´ necessa´rio para comec¸ar a rodar o filme? (6 meses) 15. A temperatura ma´xima que pode ser lida em um certo termoˆmetro e´ 110◦F. Quando o termoˆmetro acusa 36◦F, ele e´ colocado num forno. Apo´s 1 e 2 minutos ele marca, respectivamente, 60◦F e 82◦F. Qual 19 a temperatura do forno? (324◦) 16. De acordo com a lei de arrefecimento, a taxa de resfriamento de uma substaˆncia numa corrente de ar e´ proporcional a diferenc¸a entre a temperatura da substaˆncia e a temperatura do ar. Sendo a temperatura do ar 30◦C e resfriando a substaˆncia de 100◦ ate´ 70◦C em 15 minutos, determine o momento em que a temperatura sera´ 40◦C. (52 min.) 17. Coloca-se uma barra de metal, a` temperatura de 100◦F em um quarto com temperatura constante de 0◦F. Se apo´s 20 minutos a temperatura da barra e´ de 50◦F, determine: (a) o tempo necessa´rio para a barra chegar a` temperatura de 25◦F; (39,6 min) (b) a temperatura da barra apo´s 10 minutos. (70,5◦F) 18. Sabe-se que uma cultura de bacte´rias cresce a uma taxa proporcional a` quantidade presente. Apo´s 1 hora, observam-se 1000 nu´cleos de bacte´rias na cultura, e apo´s 4 horas, 3000 nu´cleos. Determine: (a) uma expressa˜o para o nu´mero de nu´cleos presentes na cultura no tempo arbitra´rio t; (y(t) = 694e0,366t) (b) o nu´mero de nu´cleos inicialmente existentes na cultura. (694) 19. Deixa-se cair um corpo de 5 “slugs”de uma altura de 100 pe´s, com velocidade inicial zero. Supondo que na˜o haja resisteˆncia do ar, determine: (a) a expressa˜o da velocidade do corpo no instante t; (v(t) = 32t) (b) a expressa˜o da posic¸a˜o do corpo no instante t; (x(t) = 16t2) (c) o tempo necessa´rio para o corpo atingir o solo. (2,5 seg.) 20. Um tanque conte´m inicialmente 100 galo˜es de salmoura com 20 libras de sal. No instante t = 0, comec¸a-se a entrar no tanque a´gua pura a` raza˜o de 5 gal/min, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque a` mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t. (Q(t) = 20e−t/20) 21. Determine as trajeto´rias ortogonais da famı´lia de curvas x2 + y2 = c2. (y(x) = kx) 22. Um corpo a` temperatura inicial de 50◦F e´ colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente e´ de 100◦F. Se apo´s 5 minutos a temperatura do corpo e´ de 60◦F, determine: (a) o tempo necessa´rio para a temperatura do corpo atingir 75◦F; (15,4 min) (b) a temperatura do corpo apo´s 20 minutos. (79,5◦F)23. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida num quarto mantido a` temperatura constante de 30◦F. Se apo´s 10 minutos a temperatura do corpo e´ 0◦F, e apo´s 20 minutos e´ 15◦F, determine a temperatura inicial desconhecida. (-30◦F) 20 24. Sabe-se que certa substaˆncia radioativa diminui a uma taxa proporcional a` quantidade presente. Se, inicialmente, a quantidade de material e´ 50 miligramas, e se observa que apo´s duas horas perderam-se 10% da massa original, determine: (a) a expressa˜o para a massa de substaˆncia restante em um tempo arbitra´rio t; (y(t) = 50e−0,053t) (b) a massa restante apo´s 4 horas; (y = 40, 5 mg) (c) o tempo necessa´rio para que a massa inicial fique reduzida a` metade. (13 horas) 25. Sabe-se que a populac¸a˜o de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero de habitantes existentes. Se apo´s dois anos a populac¸a˜o e´ o dobro da inicial, e apo´s treˆs anos e´ de 20.000 habitantes, determine a populac¸a˜o inicial. (7062) 26. Deixa-se cair um corpo com 64 libras de peso de uma altura de 100 pe´s, com velocidade inicial de 10 pe´s/s. Supondo a resisteˆncia do ar proporcional a` velocidade do corpo, e sabendo-se que a velocidade limite e´ de 128 pe´s/s, determine: (a) uma expressa˜o para a velocidade do corpo no instante t; (v(t) = ce−t/4 + 128) (b) uma expressa˜o para a posic¸a˜o do corpo no instante t. (x(t) = 472e−t/4 + 128t− 472) 27. Um tanque conte´m inicialmente 100 galo˜es de salmoura com 1 libra de sal. No instante t = 0, adiciona-se outra soluc¸a˜o de salmoura com 1 libra de sal por gala˜o, a` raza˜o de 3 gal/min, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque a` mesma taxa. Determine: (a) a quantidade de sal presente no tanque no instante t; (Q(t) = −99e−0,03t + 100) (b) o instante em que a mistura restante no tanque contera´ 2 libras de sal. (t = 0, 338 min) 28. Determine as trajeto´rias ortogonais da famı´lia de curvas y = cx2. (12x 2 + y2 = k) 29. Determine as trajeto´rias ortogonais da famı´lia de curvas x2 + y2 = cx. (x2 + y2 = ky) 21 Cap´ıtulo 3 Equac¸o˜es Diferenciais Lineares de Ordem n, n > 1 Vimos que a EDO linear de primeira ordem e´ da forma y′ + p(x)y = q(x), com p e q sa˜o func¸o˜es cont´ınuas, e pode ser resolvida usando um fator integrante. Nesta sec¸a˜o, estudaremos EDOs lineares de ordem maior que um. Definic¸a˜o 3.1. Uma equac¸a˜o diferencial linear de ordem n e´ da forma a◦(x) dny dxn + a1(x) dn−1y dxn−1 + . . .+ an−1(x) dy dx + an(x)y = F (x) (3.1) onde a◦(x), a1(x), . . ., an−1(x) e an(x) sa˜o frequentemente denotadas por a◦, a1, . . ., an, por simplicidade. Se todos os coeficientes a◦(x), a1(x), . . ., an−1(x) e an(x) sa˜o constantes, isto e´, sa˜o nu´meros reais, chamamos a equac¸a˜o (3.1) de equac¸a˜o diferencial linear com coeficientes constantes. Entretanto, se nem todos os coeficientes sa˜o constantes, dizemos que (3.1) e´ uma equac¸a˜o diferencial com coeficientes varia´veis. Se F (x) ≡ 0, enta˜o a equac¸a˜o (3.1) e´ chamada de homogeˆnea. A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homogeˆnea a◦(x) dny dxn + a1(x) dn−1y dxn−1 + . . .+ an−1(x) dy dx + an(x)y = 0 (3.2) sera´ chamada de soluc¸a˜o complementar, e sera´ denotada por yc. Uma soluc¸a˜o selecionada da equac¸a˜o (3.1) sera´ chamada de soluc¸a˜o particular e a denotaremos por yp. Observac¸a˜o 3.2. Na˜o confundir a palavra homogeˆnea empregada aqui com a homoˆnima usada no estudo de equac¸o˜es diferenciais homogeˆneas de primeira ordem relacionada com func¸o˜es homogeˆneas de grau zero, da sec¸a˜o 1.1.3. Exemplo 3.3. As equac¸o˜es y′′ − 5y′ + 4y = 3sen(4x) e 2y′′′ − 5y′ + 7y = ln(x2) + 3x3 sa˜o equac¸o˜es diferenciais lineares com coeficientes constantes de ordens 2 e 3, respectivamente. Ja´ as equac¸o˜es x2y′′ + 2y′ − xy = ex + 3 e d 4y dx4 + xy = 0 sa˜o equac¸o˜es diferenciais lineares com coeficientes varia´veis de ordens 2 e 4, respectivamente. 22 Teorema 3.4. (1o Teorema Fundamental) Se y = u(x) e´ uma soluc¸a˜o qualquer da equac¸a˜o (3.1) e y = v(x) e´ uma soluc¸a˜o qualquer da equac¸a˜o (3.2), enta˜o y = u(x) + v(x) e´ uma soluc¸a˜o de (3.1). Teorema 3.5. (2o Teorema Fundamental) A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3.1) pode ser obtida encontrando- se uma soluc¸a˜o particular yp desta equac¸a˜o e somando-a a` soluc¸a˜o complementar yc, que e´ soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3.2). Exemplo 3.6. Encontre a soluc¸a˜o geral de y′′ − 5y + 6y = 3x. A equac¸a˜o homogeˆnea associada a` equac¸a˜o dada e´ y′′−5y+6y = 0. Veremos mais adiante como achar as soluc¸o˜es dessas equac¸o˜es. Por enquanto, vamos verificar que yc = c1e 3x+c2e 2x e´ a soluc¸a˜o complementar, ou seja, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea. Tambe´m pode se verificar que yp = 1 2x + 5 12 e´ uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o dada. Logo, do 2o Teorema Fundamental temos que a soluc¸a˜o geral que procuramos e´ y = yc + yp = c1e 3x + c2e 2x + 12x+ 5 12 . Estudaremos como obter as soluc¸o˜es complementar e particular da equac¸a˜o (3.1) nas sec¸o˜es seguintes para o caso mais importante em que as equac¸o˜es diferenciais tem coeficientes constantes. O caso de coeficientes varia´veis somente pode ser resolvido de uma forma exata em algumas situac¸o˜es especiais. Os problemas do tipo a◦(x) dny dxn + a1(x) dn−1y dxn−1 + . . .+ an−1(x) dy dx + an(x)y = F (x) y(x◦) = y◦ y′(x◦) = y′◦ ... y(n−1)(x◦) = y (n−1) ◦ (3.3) sa˜o chamados de problema de valor inicial (PVI). 3.1 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es Teorema 3.7. (Existeˆncia e Unicidade) Sejam a◦(x) 6= 0, a1(x), . . ., an(x) e F (x) func¸o˜es cont´ınuas no intervalo a ≤ x ≤ b, e suponha que p◦, p1, . . ., pn−1 sa˜o constantes dadas. Enta˜o existe uma u´nica soluc¸a˜o y(x) satisfazendo o PVI (3.3), com a ≤ x◦ ≤ b. Como no Teorema de Existeˆncia e Unicidade para equac¸o˜es de primeira ordem, este teorema fornece somente condic¸o˜es suficientes. Isto e´, se as condic¸o˜es afirmadas no teorema na˜o sa˜o satisfeitas, a soluc¸a˜o u´nica podera´ ainda existir. Exemplo 3.8. Dado o PVI y′′ − 4y = 12x y(0) = 4 y′(0) = 1 , a func¸a˜o y = 3e2x + e−2x − 3x e´ soluc¸a˜o para o PVI? Se for soluc¸a˜o, esta soluc¸a˜o e´ u´nica? Temos y′ = 6e2x − 2e−2x − 3 e y′′ = 12e2x + 4e−2x. Assim: 23 y′′ − 4y = 12e2x + 4e−2x − 4(3e2x + e−2x − 3x) = 12e2x + 4e−2x − 12e2x − 4e−2x + 12x = 12x. Ou seja, y e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o. Ale´m disso, y(0) = 3e0 + e0−3 ·0 = 4 e y′(0) = 6e0−2e0−3 = 1. Logo, y e´ soluc¸a˜o do PVI. Note que a equac¸a˜o e´ linear, os coeficientes e F (x) = 3x sa˜o cont´ınuas e a◦ = 1 6= 0 em qualquer intervalo contendo x = x◦ = 0. Portanto, do teorema anterior, y e´ a u´nica func¸a˜o que e´ soluc¸a˜o do PVI. 3.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas com Coeficientes Constantes Nesta sec¸a˜o, estudaremos me´todos para obter a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o linear homogeˆnea com coeficientes constantes a◦y(n) + a1y(n−1) + . . .+ any = 0. (3.4) Associaremos a` equac¸a˜o acima, a equac¸a˜o a◦λn + a1λ(n−1) + . . . + an = 0, chamada de Equac¸a˜o Caracter´ıstica ou Equac¸a˜o Auxiliar. Veremos que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.4) e´ uma func¸a˜o exponencial do tipo y = eλx. Dessa forma, a func¸a˜o y = eλx e´ soluc¸a˜o de (3.4) se, e somente se, λ for ra´ız da equac¸a˜o caracter´ıstica a◦λn + a1λ(n−1) + . . .+ an = 0. Estudaremos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.4) a partir dos tipos de ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica. 1o CASO: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem k ra´ızes reais distintas, 1 ≤ k ≤ n (λ1 6= λ2 6= . . . 6= λk) Neste caso, a soluc¸a˜o correspondente a essas k ra´ızes e´ da forma y(x) = c1e λ1x + c2e λ2x + . . .+ cke λkx, com ci ∈ R. 2o CASO: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem uma ra´ız real λ de multiplicidade k, 1 < k ≤ n As func¸o˜es y1 = e λx, y2 = xe λx, . . ., yk = x k−1eλx sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o (3.4) e a soluc¸a˜o corres- pondente a essas k ra´ızes iguais e´ dada por y(x) = c1e λx + c2xe λx + . . .+ ckx k−1eλx, com ci ∈ R. 3o CASO: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem pares distintos de ra´ızes complexas conjugadas (λ1 = α+βi eλ2 = α− βi; α, β ∈ R e β 6= 0 Para cada par distinto, as func¸o˜es y1 = e αxcos(βx) e y2 = e αxsen(βx) sa˜o soluc¸o˜es de (3.4) e a soluc¸a˜o correspondente a cada par desse e´ dada por y(x) = eαx(c1cos(βx) + c2sen(βx)), c1, c2 ∈ R. 4o CASO: A equac¸a˜o caracter´ıstica tem pares de ra´ızes complexas conjugadas (λ1 = α + βi e λ2 = α− βi) de multiplicidade k, 1 < k ≤ n2 24 As func¸o˜es y1 = e αxcos(βx), y2 = xe αxcos(βx), . . ., yk = x k−1eαxcos(βx) e w1 = eαxsen(βx), w2 = xe αxsen(βx), . . ., wk = x k−1eαxsen(βx) sa˜o soluc¸o˜es de (3.4) e a soluc¸a˜o correspondente a esses k pares distintos de soluc¸o˜es e´ a combinac¸a˜o linear deles dada por y(x) = k∑ i=1 ciyi + aiwi, com ci, ai ∈ R. Exemplo 3.9. Resolva as EDOs e os PVIs: (1) y′′ − 4y′ − 5y = 0 y(0) = 1 y′(0) = 0 (2) y′′ − 6y′ + 9y = 0 y(0) = −2 y′(0) = 1 (3) y′′ + 4y′ + 5y = 0 y(0) = 0 y′(0) = 2 (4) y(4) − 2y(3) + y′′ = 0 (5) y′′′ + y = 0 (6) y(6) + 2y(5) + 5y(4) = 0 (7) y(4) + 16y = 0 (8) y(4) + 2y′′ + y = 0 (9) y′′ − 3y′ = 0 (10) y′′ + 3y′ − 4y = 0 (11) y′′ +m2y = 0 (12) 3y′′ + 2y′ − 8y = 0 y(0) = 5 y′(0) = −2 (13) w′′ − 10w′ + 25w = 0 w(0) = 0 w′(1) = 1 (14) y′′ − 2y′ + 10y = 0 y(pi/6) = 0 y′(pi/6) = epi/6 3.3 Independeˆncia Linear e o Wronskiano Consideremos a equac¸a˜o diferencial y′′′− 6y′′+ 1y′− 6y = 0. De acordo com a sec¸a˜o anterior, como a equac¸a˜o caracter´ıstica associada a essa equac¸a˜o possui as ra´ızes λ = 1, λ = 2 e λ = 3, que nos fornecem ex, e2x e e3x como soluc¸o˜es, enta˜o a soluc¸a˜o geral dessa equac¸a˜o e´ a func¸a˜o y(x) = c1e x + c2e 2x + c3e 3x. Suponha, contudo, que de alguma forma tenhamos chegado a`s treˆs func¸o˜es e2x + 2ex, 5e2x + 4ex, ex − e2x as quais, como podemos verificar, sa˜o todas soluc¸o˜es. Podemos enta˜o dizer que y(x) = A(e2x + 2ex) +B(5e2x + 4ex) + C(ex − e2x) com A,B,C constantes, e´ a soluc¸a˜o geral? Se observarmos, notaremos que a u´ltima func¸a˜o pode ser escrita como y(x) = (2A+ 4B + C)ex + (A+ 5B − C)e2x ou y(x) = c1ex + c2e2x que na˜o possui treˆs constantes arbitra´rias e, portanto, na˜o pode ser a soluc¸a˜o geral. Note que existem treˆs constantes a, b, c nem todas nulas tais que a(e2x + 2ex) + b(5e2x + 4ex) + c(ex − e2x) ≡ 0 por exemplo, a = 3, b = −1 e c = −2. Neste caso, apesar de termos treˆs soluc¸o˜es, elas sa˜o de alguma forma dependentes. Isso nos leva a seguinte definic¸a˜o. 25 Definic¸a˜o 3.10. Um conjunto de func¸o˜es distintas y1(x), y2(x), . . ., yn(x), que denotaremos simplesmente por y1, y2, . . ., yn, e´ dito linearmente dependente (LD) em um intervalo I se existe um conjunto α1, α2, . . ., αn de constantes, nem todas nulas, tais que, no intervalo I, tenhamos α1y1 + α2y2 + . . .+ αnyn ≡ 0. Por outro lado, o conjunto e´ dito linearmente independente (LI) em I se α1y1 + α2y2 + . . . + αnyn ≡ 0 implicar que α1 = α2 = . . . = αn = 0. Na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais lineares que fizemos ate´ aqui usamos o conceito de independeˆncia linear sem, no entanto, definirmos tal conceito. Por exemplo, de acordo com a sec¸a˜o anterior, na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o y′′− 3y′+ 2y = 0, obtivemos ex e e2x como soluc¸o˜es e, enta˜o, a soluc¸a˜o geral e´ y(x) = c1ex + c2e 2x. Esta´vamos assumindo implicitamente a independeˆncia linear destas func¸o˜es. Vamos monstrar que, de fato, as func¸o˜es ex e e2x sa˜o LI. Para isso, vamos supor que existam α1, α2 ∈ R tais que α1e x + α2e 2x ≡ 0 Dividindo ambos os membros por ex, obtemos α2e x ≡ −α1 o que e´ imposs´ıvel, a menos que α1 = α2 = 0. Portanto, as func¸o˜es sa˜o linearmente independentes. Na sequeˆncia, apresentamos uma condic¸a˜o para a independeˆncia linear de func¸o˜es. Teorema 3.11. Sejam y1, y2, . . ., yn soluc¸o˜es da equac¸a˜o linear homogeˆnea (3.2), e diferencia´veis pelo menos n− 1 vezes. O conjunto de func¸o˜es y1, y2, . . ., yn e´ linearmente independente num intervalo I se, e somente se, W (y1, y2, . . . , yn) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ y1 y2 . . . yn y′1 y′2 . . . y′n ... ... ... y (n−1) 1 y (n−1) 2 . . . y (n−1) n ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 em I. Definic¸a˜o 3.12. O determinante W (y1, y2, . . . , yn) do teorema anterior e´ chamado de Wronskiano de y1, y2, . . ., yn, e o denotaremos simplesmente por W . Exemplo 3.13. Sejam y1 = e x e y2 = e 2x. Como W = ∣∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2 ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ e x e2x ex 2e2x ∣∣∣∣∣∣ = e3x que na˜o e´ identicamente nulo, enta˜o as func¸o˜es y1 e y2 sa˜o LI em qualquer intervalo. Teorema 3.14. Sejam y1, y2, . . ., yn soluc¸o˜es LI para a equac¸a˜o homogeˆnea (3.2). Enta˜o toda soluc¸a˜o para (3.2) e´ da forma y = c1y1 + c2y2 + . . .+ cnyn, com ci ∈ R. Observac¸a˜o 3.15. (1) A soluc¸a˜o y = c1y1 + c2y2 + . . .+ cnyn do teorema anterior e´ chamada soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3.2); (2) y1, y2, . . ., yn e´ chamado conjunto fundamental de soluc¸o˜es (sempre existe esse conjunto para algum I). 26 Exemplo 3.16. Note que as func¸o˜es y1 = e x e y2 = e 2x sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o y′′ − 3y′ + 2y = 0 (verifique). Do Exemplo 3.13, essas func¸o˜es sa˜o LI. Portanto, pelo teorema anterior, a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o y′′ − 3y′ + 2y = 0 e´ y = c1ex + c2e2x. 3.4 Me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem Dada uma soluc¸a˜o na˜o constante y1(x) da equac¸a˜o y′′ + a1(x)y′ + a2(x)y = 0 (3.5) com a1(x) e a2(x) cont´ınuas para todo x ∈ I, podemos encontrar uma segunda soluc¸a˜o y2(x) = v(x)y1(x), LI com y1(x), reduzindo a ordem da equac¸a˜o (3.5). Para isso, temos: (i) Queremos que y1(x) e y2(x) sejam soluc¸o˜es LI de (3.5). Enta˜o, calculemos W (y1, y2). W (y1, y2) = ∣∣∣∣∣∣ y1 vy1y′1 v′y1 + vy′1 ∣∣∣∣∣∣ = (y1)2v′ + y1y′1v − y1y′1v = (y1)2v′ 6= 0, pois v na˜o pode ser constante, uma vez que v′ 6= 0. (ii) Para obtermos a func¸a˜o v, derivamos duas vezes a func¸a˜o y2 = vy1 em relac¸a˜o a x e substitu´ımos em (3.5). Temos: y′2 = v′y1 + vy′1 e y′′2 = v′′y1 + 2v′y′1 + vy′′1 . Portanto, y′′2 + a1(x)y ′ 2 + a2(x)y2 = 0⇒ v′′y1 + 2v′y′1 + vy′′1 + a1(x)v′y1 + a1(x)vy′1 + a2(x)vy1 = 0 ⇒ v(y′′1 + a1(x)y′1 + a2(x)y1︸ ︷︷ ︸ =0 ) + v′′y1 + 2v′y′1 + a1(x)v ′y1 = 0⇒ v′′ + ( 2y′1 y1 + a1(x) ) v′ = 0, para todo x ∈ I, com y1(x) 6= 0. Fazendo u = v′ na equac¸a˜o v′′ + ( 2y′1 y1 + a1(x) ) v′ = 0, segue a EDO linear de primeira ordem em u: u′ + ( 2y′1 y1 + a1(x) ) u = 0 cuja soluc¸a˜o e´ u(x) = e − ∫ ( 2y′1 y1 +a1(x) ) dx . Assim, v′(x) = u(x) = eln |y1| −2−∫ a1(x)dx = e− ∫ a1(x)dx [y1(x)]2 . Logo, v(x) = ∫ e− ∫ a1(x)dx [y1(x)]2 dx e, portanto, a soluc¸a˜o procurada e´: y2(x) = y1(x) · ∫ e− ∫ a1(x)dx [y1(x)]2 dx e a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3.5) e´ a combinac¸a˜o linear de y1 e y2. 27 Exemplo 3.17. Dadas as EDOs abaixo, verifique se a func¸a˜o indicada e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o no intervalo dado e obtenha sua soluc¸a˜o geral: (1) 3xy′′ − y′ = 0, y1 = 1 em (0,+∞) (Resp.: y(x) = c1 + 34c2x4/3) (2) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0, y1 = x2 em (0,+∞) (Resp.: y(x) = c1x2 + c2x2 lnx) 3.5 Soluc¸a˜o Particular Dos Teoremas 3.4 e 3.5, para obter a soluc¸a˜o geral de a◦(x) dny dxn + a1(x) dn−1y dxn−1 + . . .+ an−1(x) dy dx + an(x)y = F (x) (3.6) precisamos encontrar uma soluc¸a˜o particular desta equac¸a˜o e soma´-la com a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homogeˆnea a◦(x) dny dxn + a1(x) dn−1y dxn−1 + . . .+ an−1(x) dy dx + an(x)y = 0. (3.7) Nesta sec¸a˜o estudaremos como obter soluc¸o˜es particulares da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea (3.6). Existem mui- tos me´todos para a obtenc¸a˜o de soluc¸o˜es particulares. Estudaremos dois deles: o Me´todo dos Coeficientes a Determinar e o Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros. 3.5.1 Me´todo dos Coeficientes a Determinar Esse me´todo se aplica a`s equac¸o˜es diferenciais (3.6) com coeficientes constantes, em que a func¸a˜o F (x) pertence a uma classe de func¸o˜es relativamente pequena: func¸o˜es polinomiais, exponenciais, senos, cossenos, ou combinac¸o˜es de somas e produtos destes. Estudaremos esse me´todo a partir dos seguintes exemplos. Exemplo 3.18. Determine a soluc¸a˜o de y′′ + 4y′ − 2y = 2x2 − 3x+ 6. 1opasso: Resolver a equac¸a˜o homogeˆnea y′′ + 4y′ − 2y = 0. Para isso, associamos a equac¸a˜o caracter´ıstica λ2 + 4λ − 2 = 0, cujas ra´ızes sa˜o λ1 = −2 + √ 6 e λ1 = −2− √ 6. Logo, a soluc¸a˜o complementar e´ yc = c1e (−2+√6) + c2e(−2− √ 6). 2o passo: A func¸a˜o F (x) = 2x2−3x+6 e´ um polinoˆmio quadra´tico, logo supomos que a soluc¸a˜o particular seja da forma yp = Ax 2+Bx+C, em que os coeficientes A, B e C precisam ser determinados. Substituindo yp e as derivadas y ′ p = 2Ax+B e y ′′ p = 2A na EDO dada, obtemos: y′′p + 4y′p − 2yp = 2x2 − 3x+ 6 ⇒ 2A+ 4(2Ax+B)− 2(Ax2 +Bx+ C) = 2x2 − 3x+ 6 ⇒ 2A+ 8Ax+ 4B − 2Ax2 − 2Bx− 2C = 2x2 − 3x+ 6 ⇒ −2Ax2 + (8A− 2B)x+ 2A+ 4B − 2C = 2x2 − 3x+ 6. Comparando os polinoˆmios da u´ltima igualdade devemos ter −2A = 2 8A− 2B = −3 2A+ 4B − 2C = 6 ⇒ A = −1 −2B = −3 + 8 2A+ 4B − 2C = 6 ⇒ A = −1 B = −5/2 −2C = 6 + 2 + 10 ⇒ A = −1 B = −5/2 C = −9 28 Assim, yp = −x2 − 5 2 x− 9. 3o passo: A soluc¸a˜o geral para a EDO dada e´ y = yc + yp = c1e (−2+√6) + c2e(−2− √ 6) − x2 − 5 2 x− 9. Exemplo 3.19. Determine a soluc¸a˜o de y′′ − 3y′ − 4y = 3e2x. 1o passo: Resolver a equac¸a˜o homogeˆnea y′′ − 3y′ − 4y = 0. A essa equac¸a˜o, associamos a equac¸a˜o caracter´ıstica λ2− 3λ− 4 = 0, cujas ra´ızes sa˜o λ = 4 e λ = −1. Assim, a soluc¸a˜o complementar e´ yc = c1e 4x + c2e −x. 2o passo: A func¸a˜o F (x) = 3e2x e´ exponencial. Como procuramos uma func¸a˜o yp tal que y ′′ p−3y′p−4yp = 3e2x e a derivada de uma func¸a˜o exponencial e´ um mu´ltiplo dela mesma, logo supomos que a soluc¸a˜o particular seja da forma yp = Ae 2x. Para determinar A, vamos calcular y′p = 2Ae2x e y′′p = 4Ae2x e substituir na EDO dada. Ou seja, y′′ − 3y′ − 4y = 3e2x ⇒ 4Ae2x − 3(2Ae2x)− 4(Ae2x) = 3e2x (4A− 6A− 4A)e2x = 3e2x ⇒ −6Ae2x = 3e2x ⇒ A = −1 2 . Assim, yp = −1 2 e2x. 3o passo: A soluc¸a˜o geral para a EDO dada e´ y = yc + yp = c1e 4x + c2e −x − 1 2 e2x. Exemplo 3.20. Determine a soluc¸a˜o de y′′ − 3y′ − 4y = 2sen(x). 1o passo: No Exemplo 3.19 obtemos a soluc¸a˜o complementar yc = c1e 4x + c2e −x. 2o passo: Nesse caso temos F (x) = 2sen(x). Enta˜o procuramos uma func¸a˜o yp que dependa da func¸a˜o sen(x). Como a derivada dessa func¸a˜o e´ cos(x), enta˜o supomos que a soluc¸a˜o particular seja da forma yp = Asen(x) +Bcos(x), em que A e B sa˜o constantes a serem determinadas. Assim, y′p = Acos(x)−Bsen(x) e y′′p = −Asen(x)−Bcos(x), que substituindo na EDO dada e juntando os termos, segue: (−A+ 3B − 4A)sen(x) + (−B − 3A− 4B)cos(x) = 2sen(x) ⇒ −5A+ 3B = 2−3A− 5B = 0 ⇒ A = − 517B = 317 Logo, a soluc¸a˜o particular e´ yp = − 517sen(x) + 317cos(x). 3o passo: A soluc¸a˜o geral para a EDO dada e´ y = yc + yp = c1e 4x + c2e −x − 5 17 sen(x) + 3 17 cos(x). Para resumir nossas concluso˜es ate´ agora: se o termo na˜o homogeˆneo F (x) na Equac¸a˜o (3.6) for um polinoˆmio, suponha que yp seja um polinoˆmio de mesmo grau; se F (x) for uma func¸a˜o exponencial eαx, suponha, enta˜o, que yp = Ae αx; se F (x) for igual a sen(βx) ou cos(βx), suponha que yp seja uma combinac¸a˜o linear de sen(βx) e cos(βx), isto e´ yp = Asen(βx) + B cos(βx). O mesmo princ´ıpio se estende ao caso em que F (x) e´ um produto ou soma de quaisquer dois ou treˆs desses tipos de func¸o˜es, como mostra os pro´ximos exemplos, respectivamente. 29 Exemplo 3.21. Determine a soluc¸a˜o de y′′ − 3y′ − 4y = −8excos(2x). 1o passo: Vimos no Exemplo 3.19 que a soluc¸a˜o complementar e´ yc = c1e 4x + c2e −x. 2o passo: Nesse caso, a func¸a˜o yp e´ um produto de e x com uma combinac¸a˜o linear de cos(2x) e sen(2x), isto e´, yp = Ae xcos(2x) +Bexsen(2x). Assim, y′p = (A+ 2B)excos(2x) + (−2A+B)exsen(2x) e y′′p = (−3A+4B)excos(2x)+(−4A−3B)exsen(2x). Substituindo essas expresso˜es na EDO dada, obtemos: 10A+ 2B = 82A− 10B = 0 ⇒ A = 1013B = 213 Logo, a soluc¸a˜o particular e´ yp = 10 13e xcos(2x) + 213e xsen(2x). 3o passo: A soluc¸a˜o geral para a EDO dada e´ y = yc+yp = c1e 4x+ c2e −x+ 1013e xcos(2x)+ 213e xsen(2x). Exemplo 3.22. Determine a soluc¸a˜o de y′′ − 3y′ − 4y = 3e2x + 2sen(x)− 8excos(2x). Separando a expressa˜o a` direita do sinal de igualdade, obtemos treˆs equac¸o˜es: y′′ − 3y′ − 4y = 3e2x, y′′ − 3y′ − 4y = 2sen(x), e y′′ − 3y′ − 4y = −8excos(2x). Foram encontradas soluc¸o˜es dessas treˆs equac¸o˜es nos Exemplos 3.19, 3.20 e 3.21, respectivamente. Portanto, uma soluc¸a˜o particular da EDO dada e´ a soma das soluc¸o˜es particulares dessas equac¸o˜es, isto e´, yp = −12e2x − 517sen(x) + 317cos(x) + 1013excos(2x) + 213exsen(2x). Portanto, a soluc¸a˜o geral e´ y = c1e 4x + c2e −x − 1 2 e2x − 5 17 sen(x) + 3 17 cos(x) + 10 13 excos(2x) + 2 13 exsen(2x). O procedimento ilustrado nesses exemplos nos permite resolver uma grande classe de problemas de um modo razoavelmente fa´cil. No entanto, existe uma dificuldade que ocorre a`s vezes. O pro´ximo exemplo mostra como isso acontece. Exemplo 3.23. Determine a soluc¸a˜o de y′′ + 4y = 3cos(2x). Procedendo como nos exemplos anteriores, obtemos a soluc¸a˜o complementar yc = c1cos(2x)+c2sen(2x). Em seguida, procuramos uma func¸a˜o yp que seja soluc¸a˜o particular da EDO dada. Como no Exemplo 3.20, supomos yp = Acos(2x) +Bsen(2x), que substituindo na EDO dada, obtemos: (4A− 4A)cos(2x) + (4B − 4B)sen(2x) = 3cos(2x) ⇒ 0cos(2x) + 0sen(2x) = 3cos(2x). De acordo com a u´ltima igualdade, na˜o existe escolha de A e de B que satisfac¸a a equac¸a˜o. Portanto, na˜o existe soluc¸a˜o particular da EDO dada que tenha a forma suposta. Isso ocorre pois ao resolvermos a equac¸a˜o homogeˆnea y′′ + 4y = 0, obtemos que as func¸o˜es y1 = cos(2x) e y2 = sen(2x) sa˜o soluc¸o˜es desta equac¸a˜o. Assim, a forma suposta da soluc¸a˜o particular era, de fato, soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea; em 30 consequeˆncia, na˜o pode ser soluc¸a˜o da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea. Para encontrar uma soluc¸a˜o particular da EDO dada, temos, portanto, que considerar uma forma um pouco diferente. As func¸o˜es mais simples, diferentes de cos(2x) e sen(2x), que, ao serem diferenciadas, conteˆm termos envolvendo cos(2x) e sen(2x) sa˜o x cos(2x) e x sen(2x). Enta˜o, vamos supor que yp = Ax cos(2x) +Bxsen(2x). Calculando, y ′ p e y ′′ p e substituindo na EDO dada, segue: −4Asen(2x) + 4Bcos(2x) = 3cos(2x) ⇒ A = 0 e B = 3/4. Logo, uma soluc¸a˜o particular e´ yp = 3 4x sen(2x). Portanto, a soluc¸a˜o geral da EDO dada e´ y = yc + yp = c1cos(2x) + c2sen(2x) + 3 4x sen(2x). Tabela 3.1: A soluc¸a˜o particular yp de ay ′′ + by′ + cy = Fi(x) Fi(x) yp Pn(x) = a◦xn + a1xn−1 + . . .+ an xs(A◦xn +A1xn−1 + . . .+An) Pn(x)e αx xs(A◦xn +A1xn−1 + . . .+An)eαx Pn(x)e αx sen(βx)cos(βx) xs(A◦xn +A1xn−1 + . . .+An)eαxcos(βx)+ (B◦xn +B1xn−1 + . . .+Bn)eαxsen(βx) Observac¸a˜o: s denota o menor inteiro na˜o-negativo (s=0,1 ou 2) que garanta que nenhuma parcela de yp seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea correspondente. Equivalentemente, para os treˆs casos, s e´ o nu´mero de vezes que 0 e´ uma raiz da equac¸a˜o caracter´ıstica, α e´ uma raiz da equac¸a˜o caracter´ıstica e α+ βi e´ uma raiz da equac¸a˜o caracter´ıstica, respectivamente. Exemplo 3.24. Nos itens abaixo, encontre a soluc¸a˜o geral das EDOs dadas: (1) y′′ − 2y′ − 3y = 3e2x (y = c1e3x + c2e−x − e2x) (2) y′′ + 2y′ + 5y = 3sen(2x) (y = c1e−xcos(2x) + c2e−xsen(2x) + 3/17sen(2x)− 12/17cos(2x)) (3) y′′ − 2y′ − 3y = −3xe−x (y = c1e3x + c2e−x + 3/16xe−x + 3/8x2e−x) (4) y′′ + 2y′ = 3 + 4sen(2x) (y = c1 + c2e−2x + 3/2x− 1/2sen(2x)− 1/2cos(2x)) (5) y′′ + 9y = x2e3x + 6 (y = c1cos(3x) + c2sen(3x) + 1/162(9x2 − 6x+ 1)e3x + 2/3) (6) y′′ + 2y′ + y = 2e−x (y = c1e−x + c2xe−x + x2e−x) (7) 2y′′ + 3y′ + y = x2 + 3sen(x) (y = c1e−x + c2xe−x/2 + x2 − 6x+ 14− 3/10sen(x)− 9/10cos(x)) (8) y′′ + y = 3sen(2x) + x cos(x) (y = c1cos(x) + c2sen(x)− 1/3xcos(2x)− 5/9sen(2x)) 3.5.2 Me´todo de Variac¸a˜o dos Paraˆmetros Esse me´todo tambe´m e´ usado para encontrar uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea (3.6). E´ conhecido como Me´todo de Lagrange. Comparado ao me´todo dos coeficientesa determinar, a principal vantagem da variac¸a˜o de paraˆmetros e´ que este u´ltimo e´ um me´todo geral. Vejamos um exemplo. 31 Exemplo 3.25. Encontre a soluc¸a˜o de y′′ + 4y = 3cossec(x). Primeiro observe que F (x) = 3cossec(x) e essa func¸a˜o na˜o se enquadra no grupo de func¸o˜es do me´todo dos coeficientes a determinar, uma vez que o termo na˜o-homogeˆneo F (x) envolve um quociente (em vez de soma ou produto) de cos(x) ou sen(x). Precisamos, portanto, de uma abordagem diferente. A equac¸a˜o homogeˆnea associada a` EDO dada e´ y′′ + 4y = 0 e sua soluc¸a˜o geral e´ yc = c1cos(2x) + c2sen(2x). A ideia ba´sica no me´todo de variac¸a˜o de paraˆmetros e´ substituir as constantes c1 e c2 da soluc¸a˜o complementar yc por func¸o˜es A(x) e B(x), respectivamente, e depois determinar essas func¸o˜es de modo que a expressa˜o resultante y = A(x)cos(2x) + B(x)sen(2x) seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea dada. Para isso, devemos impor algumas condic¸o˜es. A primeira condic¸a˜o e´ imposta pelo fato da func¸a˜o y = A(x)cos(2x) +B(x)sen(2x) ser soluc¸a˜o da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea. Temos y′ = −2A(x)sen(2x) + 2Bcos(2x) +A′(x)cos(2x) +B′(x)sen(2x). Como estamos procurando uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea, temos liberdade para escolher a segunda condic¸a˜o que deve ser imposta. Para simplificar os ca´lculos, convenientemente exigimos que A′(x)cos(2x) +B′(x)sen(2x) = 0. Disso segue a equac¸a˜o y′ = −2A(x)sen(2x) + 2Bcos(2x). Assim, y′′ = −4A(x)cos(2x) − 4B(x)sen(2x) − 2A′(x)sen(2x) + 2B′(x)cos(2x). Substituindo y e y′′ na EDO dada, obtemos: −2A′(x)sen(2x) + 2B′(x)cos(2x) = 3cossec(x) Enta˜o queremos escolher A(x) e B(x) de modo a satisfazer as equac¸o˜es A′(x)cos(2x) +B′(x)sen(2x) = 0−2A′(x)sen(2x) + 2B′(x)cos(2x) = 3cossec(x) Resolvendo esse sistema, obtemos B′(x) = −A′(x) cos(2x) sen(2x) , que substituindo na segunda equac¸a˜o do sistema, segue A′(x) = −3cossec(x)sen(2x) 2 = −3cos(x). Agora, substituindo essa expressa˜o para A′(x) de volta na equac¸a˜o B′(x) = −A′(x) cos(2x) sen(2x) e usando as fo´rmulas para o aˆngulo duplo, vemos que B′(x) = 3cos(x)cos(2x) sen(2x) = 3(1− sen2(x)) 2sen(x) = 3 2 cossec(x)− 3sen(x). Integrando A′(x) e B′(x), obtemos A(x) = −3sen(x) + c1 e B(x) = 32 ln |cossec(x)− cotg(x)|+ 3cos(x) + c2. Logo, a soluc¸a˜o procurada e´ y = −3sen(x)cos(2x) + 3 2 ln |cossec(x)− cotg(x)|sen(2x) + 3cos(x)sen(2x) + c1cos(2x) + c2sen(2x). As parcelas na soluc¸a˜o geral envolvendo as constantes c1 e c2 correspondem a` soluc¸a˜o da equac¸a˜o ho- mogeˆnea associada, enquanto a soma restante forma uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea. Portanto, a equac¸a˜o encontrada e´ a soluc¸a˜o geral da EDO dada. 32 Esse me´todo e´ justificado pelo seguinte teorema. Teorema 3.26. Se as func¸o˜es p, q e F sa˜o const´ınuas em um intervalo aberto I e se yc = c1y1(x)+c2y2(x) for a soluc¸a˜o complementar da equac¸a˜o homogeˆnea associada a` equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea y′′ + p(x)y′ + q(x)y = F (x) enta˜o uma soluc¸a˜o particular para essa u´ltima equac¸a˜o e´ yp = −y1(x) ∫ y2(x)F (x) W (y1, y2)(x) dx+ y2(x) ∫ y1(x)F (x) W (y1, y2)(x) dx e a soluc¸a˜o geral e´ y = c1y1(x) + c2y2(x) + yp, onde W (y1, y2) e´ o Wronskiano de y1 e y2. Exemplo 3.27. Sabendo que y1(x) = x 2 e y2(x) = x −1 sa˜o soluc¸o˜es da EDO homogeˆnea associada a` equac¸a˜o na˜o homogeˆnea x2y′′ − 2y′ = 3x2 − 1, x > 0, determine a soluc¸a˜o geral da EDO. Primeiro vamos reescrever a EDO dada: y′′ − 2 x2 y = 3− 1 x2 . Nesse caso, F (x) = 3− 1 x2 . Temos que W (y1, y2) = ∣∣∣∣∣∣ x 2 x−1 2x −x−2 ∣∣∣∣∣∣ = −1− 2 = −3 Logo, pelo teorema anterior, a soluc¸a˜o particular da EDO e´ dada por yp = −x2 ∫ x−1(3− 1 x2 ) −3 dx+ 1 x ∫ x2(3− 1 x2 ) −3 dx = x2 3 ∫ (3x−1 − x−3)dx− 1 3x ∫ (3x2 − 1)dx = x2 3 ( 3 lnx+ x−2 2 ) − 1 3x ( x3 − x) = x2 lnx+ 1 2 − x 2 3 Portanto, a soluc¸a˜o geral e´ y(x) = c1x 2 + c2x −1 + x2 lnx+ 1 2 − x 2 3 . Exemplo 3.28. Determine a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es diferenciais dadas, pelo me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros: (1) y′′ + y = tg(x), 0 < x < pi/2 (y = c1cos(x) + c2sen(x)− (cos x) ln(tg(x) + sec(x))) (2) y′′+9y = 9sec2(3x), 0 < x < pi/6 (y = c1cos(3x)+c2sen(3x)− (sen 3x) ln(tg(3x)+sec(3x)−1) (3) y′′ + 4y′ + 4y = x−2e−2x, x > 0 (y = c1e−2x + c2xe−2x − e−2x lnx) Exemplo 3.29. Verifique se as func¸o˜es dadas y1 e y2 satisfazem a equac¸a˜o homogeˆnea associada, depois encontre uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o homogeˆnea dada. (1) xy′′ − (1 + x)y′ + y = x2e2x, x > 0 ; y1(x) = 1 + x, y2(x) = ex (yp = 1/2(x− 1)e2x) (2) x2y′′ − 3xy′ + 4y = x2 lnx, x > 0 ; y1(x) = x2, y2(x) = x2 lnx (yp = 1/6x2(lnx)3) 3.6 Equac¸a˜o de Euler E´ uma EDO da forma xny(n) + an−1xn−1y(n−1) + . . .+ a◦y = 0, 33 em que x 6= 0 e ai ∈ R, para todo i = 0, . . . , n− 1. Estudaremos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial de Euler de ordem 2, ou seja, a equac¸a˜o x2y′′ + αxy′ + βy = 0, (3.8) com α, β ∈ R. A equac¸a˜o (3.8) tem uma soluc¸a˜o da forma y(x) = c1y1(x) + c2y2(x), em que y1 e y2 sa˜o linearmente independentes. Consideremos x > 0. Note que (xr)′ = rxr−1 e (xr)′′ = r(r − 1)xr−2. Logo, supondo que temos uma soluc¸a˜o da forma y = xr, da equac¸a˜o (3.8), obtemos: x2(r(r − 1)xr−2) + αx(rxr−1) + βxr = 0 ⇒ r(r − 1)xr + αrxr + βxr = 0 ⇒ [r(r − 1) + αr + β]xr = 0 ⇒ [r2 + (α− 1)r + β]xr = 0⇒ r2 + (α− 1)r + β = 0 (3.9) A equac¸a˜o (3.9) e´ chamada de equac¸a˜o indicial da equac¸a˜o (3.8). Dessa forma, se r e´ raiz da equac¸a˜o indicial, enta˜o y = xr e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.8). Analisemos as ra´ızes r1 e r2 dessa equac¸a˜o. 1o CASO: Ra´ızes reais e distintas (r1 6= r2) Temos duas soluc¸o˜es da forma y1 = x r1 e y2 = x r2 . Para sabermos se essas soluc¸o˜es sa˜o L.I., temos W = ∣∣∣∣∣∣ x r1 xr2 r1x r1−1 r2xr2−1 ∣∣∣∣∣∣ = (r2 − r1)xr1+r2−1 6= 0, ∀x > 0. Logo, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Euler e´ a combinac¸a˜o linear de y1 e y2, isto e´, y(x) = c1x r1 +c2x r2 , com c1, c2 ∈ R. 2o CASO: Ra´ızes reais e iguais (r1 = r2) Neste caso, temos apenas uma soluc¸a˜o da forma y1 = x r e, de acordo com o me´todo de reduc¸a˜o de ordem aplicado a` equac¸a˜o y′′ + αxy ′ + β x2 y = 0, a outra soluc¸a˜o L.I. com y1 e´ dada por y2(x) = y1(x) · ∫ e− ∫ α x dx [y1(x)]2 dx = xr · ∫ e−α lnx (xr)2 dx = xr · ∫ x−α x2r dx = xr · ∫ 1 x2r · xαdx. Como r e´ soluc¸a˜o real de multiplicidade 2 da equac¸a˜o (3.9), segue que r = 1−α2 . Assim, y2(x) = x r · ∫ 1 x1−α · xαdx = x r · ∫ 1 x dx = xr lnx. Portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Euler (3.8) e´ dada por y(x) = c1x r+c2x r lnx, com c1, c2 ∈ R. 3o CASO: Ra´ızes complexas conjugadas (r1 = α+ βi e r2 = α− βi) Neste caso, as func¸o˜es y1 = x αcos(β lnx) e y2 = x αsen(β lnx) sa˜o soluc¸o˜es L.I. da equac¸a˜o (3.8). Portanto, a soluc¸a˜o geral e´ y(x) = xα (c1cos(β lnx) + c2sen(β lnx)), c1, c2 ∈ R. 34 Observac¸a˜o 3.30. 1. Os resultados acima tambe´m sa˜o va´lidos para x < 0. 2. As soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Euler da forma (x− x◦)2y′′ +α(x− x◦)y′ + βy = 0, sa˜o semelhantes a`s obtidas acima, bastanto substituir (x− x◦) no lugar de x nas soluc¸o˜es. Exemplo 3.31. Resolva as EDOs e os PVIs: (1) x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0 (2) x2y′′ + 5xy′ + 8y = 0 (3) (x− 1)2y′′ + 8(x− 1)y′ + 12y = 0 (4) (2x+ 1)2y′′ − (4x+ 2)y′ − 12y = 0 (5) x2y′′ + 2xy′ − 6y = 0 y(1) = 1 y′(1) = 0 (6) x2y′′ − 5xy′ + 9y = 0 y(1) = −1 y′(1) = 0 3.7 Movimento Vibrato´rio de Sistemas Mecaˆnicos Estudaremos o movimento de uma massa presa a uma mola fixa numa extremidade e livre para vibrar na vertical (veja a figura a seguir). Figura 3.1: Sistema massa-mola Supondo que um corpo de massa m esta´ preso a` mola e que o sistema todo fica em equil´ıbrio com o peso no ponto y = 0 localizado s unidades abaixo do comprimento natural l da mola, temos as seguintes forc¸as agindo sobre o corpo: 1. Forc¸a da gravidade: F1 = mg; 2. Forc¸a de restaurac¸a˜o da mola: F2 Pela Lei de Hooke, se k e´ a constante da mola, para um estiramento y + s, temos F2 = −k(y + s); 3. Forc¸a daresisteˆncia do meio (amortecimento): F3 = −ady dt , a > 0 e´ a constante de amortecimento; 4. Resultante das forc¸as externas que agem sobre o corpo: F . Aplicando a 2a Lei de Newton, temos a equac¸a˜o diferencial m d2y dt2 = F1 + F2 + F3 + F , ou melhor, m d2y dt2 = mg − k(y + s)− ady dt + F (t). 35 Assim, obtemos a equac¸a˜o do movimento do corpo: my′′ + ay′ + ky = F (t) onde a e´ a constante de amortecimento, k e´ a constante da mola e m e´ a massa do corpo. 3.7.1 Movimento livre sem amortecimento Na˜o existe forc¸a externa (movimento livre) nem resisteˆncia do meio (sem amortecimento). Neste caso, F (t) ≡ 0 e a = 0. Assim, temos a equac¸a˜o diferencial my′′ + ky = 0, cuja soluc¸a˜o geral e´ y(t) = c1cos(ω◦t) + c2sen(ω◦t), em que ω◦ = √ k m e´ a frequeˆncia angular. Temos que y(t) e´ chamado de Movimento Harmoˆnico Simples. O deslocamento ma´ximo do corpo, chamado de amplitude (A) e´ dado por A = √ c21 + c 2 2. O per´ıodo T do movimento e´ dado por T = 2pi ω◦ e a frequeˆncia natural e´ dada por 1 T = ω◦ 2pi . Em geral, o movimento pode ser escrito na forma y(t) = Asen(ω◦t+φ), em que φ e´ o aˆngulo de fase. 3.7.2 Movimento livre com amortecimento Na˜o existe forc¸a externa (F ≡ 0). Nesse caso, obtemos uma equac¸a˜o diferencial com coeficientes constantes, isto e´, my′′ + ay′ + ky = 0. 1o Caso: Subamortecimento Quando a equac¸a˜o caracter´ıstica tem ra´ızes complexas conjugadas r1 = −α + ω◦i e r2 = −α − ω◦i, α > 0 e ω◦ > 0, o movimento e´ descrito por y(t) = e−αt(c1cos(ω◦t) + c2sen(ω◦t)), em que e−αt e´ chamado de fator de amortecimento. 2o Caso: Amortecimento cr´ıtico Quando a equac¸a˜o caracter´ıstica tem ra´ızes reais negativas e iguais r1 = r2 = r, o movimento e´ dado por y(t) = c1e rt + c2te rt. Como r < 0, lim t→∞ y(t) = 0. 3o Caso: Super amortecimento Quando as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica sa˜o reais negativas e distintas r1 e r2, temos o movimento dado por y(t) = c1e r1t + c2e r2t. Ainda, lim t→∞ y(t) = 0. 3.7.3 Movimento forc¸ado Quando a frequeˆncia de uma forc¸a externa perio´dica aplicada a um sistema mecaˆnico e´ igual ou ligeiramente inferior a` frequeˆncia natural do sistema, ressonaˆncias mecaˆnicas podem ocorrer, as quais provocam oscilac¸o˜es de tremenda magnitude que podem levar o sistema a entrar em colapso. 36 3.8 Exerc´ıcios 1. Resolva as EDOs e os PVIs: (a) y′′ + y′ − 2y = 0 y(0) = 1 y′(0) = 1 (b) y′′ + 4y′ + 3y = 0 y(0) = 2 y′(0) = −1 (c) 6y′′ − 5y′ + y = 0 y(0) = 4 y′(0) = 0 (d) y′′ + 3y′ = 0 y(0) = −2 y′(0) = 3 (e) y′′ + 5y′ + 3y = 0 y(0) = 1 y′(0) = 0 (f) y′′ + 8y′ − 9y = 0 y(1) = 1 y′(1) = 0 (g) 4y′′ − y = 0 y(−2) = 1 y′(−2) = −1 2. Use o me´todo de reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o e a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada. (a) t2y′′ − 4ty′ + 6y = 0, t > 0; y1 = t2 (y(t) = c1t2 + c2t3) (b) t2y′′ + 2ty′ − 2y = 0, t > 0; y1 = t (y(t) = c1t+ c2t−2) (c) t2y′′ + 3ty′ + y = 0, t > 0; y1 = t−1 (y(t) = c1t−1 + c2t−1 ln t) (d) t2y′′ − t(t+ 2)y′ + (t+ 2)y = 0, t > 0; y1 = t (y(t) = c1t+ c2tet) (e) xy′′ − y′ + 4x3y = 0, x > 0; y1 = sen(x2) (y(x) = c1sen(x2) + c2cos(x2)) (f) (x− 1)y′′ − xy′ + y = 0, x > 1; y1 = ex (y(x) = c1ex + c2x) 3. Encontre a soluc¸a˜o dos PVIs dados. (a) y′′ + y′ − 2y = 2t y(0) = 0 y′(0) = 1 (y(t) = et − 1/2e−2t − t− 1/2) (b) y′′ + 4y = t2 + 3et y(0) = 0 y′(0) = 2 (y(t) = 7/10sen(2t)− 19/40cos(2t) + 1/4t2 − 1/8 + 3/5et) (c) y′′ − 2y′ + y = tet + 4 y(0) = 1 y′(0) = 1 (y(t) = 4tet − 3et + 1/6t3et + 4) 37 (d) y′′ − 2y′ − 3y = 3te2t y(0) = 1 y′(0) = 0 (y(t) = e3t + 2/3e−t − 2/3e2t − te2t) (e) y′′ + 4y = 3sen(2t) y(0) = 2 y′(0) = −1 (y(t) = 2cos(2t)− 1/8sen(2t)− 3/4tcos(2t)) (f) y′′ + 2y′ + 5y = 4e−tcos(2t) y(0) = 1 y′(0) = 0 (y(t) = e−tcos(2t) + 1/2e−tsen(2t) + te−tsen(2t)) 4. Encontre a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es diferenciais dadas (a) y′′ + 4y = 3cossec(2t), 0 < t < pi/2 (y(t) = c1cos(2t) + c2sen(2t) + 3/4(sen(2t)) ln sen(2t)− 3/2tcos(2t)) (b) 4y′′ + y = 2sec(t/2), −pi < t < pi (y(t) = c1cos(t/2) + c2sen(t/2) + tsen(t/2) + 2[ln cos(t/2)]cos(t/2)) (c) y′′ − 2y′ + y = et/(1 + t2) (y(t) = c1e t + c2te t − 1/2et ln(1 + t2) + tetarctg(t)) 5. Verifique que as func¸o˜es dadas y1 e y2 satisfazem a equac¸a˜o homogeˆnea associada, depois encontre uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea dada. (a) ty′′ − (1 + t)y′ + y = t2e2t, t > 0; y1 = 1 + t, y2 = et (y(t) = 1/2(t− 1)2t) (b) (1− t)y′′ + ty′ − y = 2(t− 1)2e−t, 0 < t < 1; y1 = et, y2 = t (y(t) = −1/2(2t− 1)e−t) (c) x2y′′ − 3xy′ + 4y = x2 lnx, x > 0; y1 = x2, y2 = x2 lnx (y(t) = 1/6x2(lnx)3) 6. Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada. (a) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0 (y(x) = c1x−1 + c2x−2) (b) (x+ 1)2y′′ + 3(x+ 1)y′ + 0, 75y = 0 (y(x) = c1|x+ 1|−1/2 + c2|x+ 1|−3/2) (c) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0 (y(x) = c1x2 + c2x2 ln |x|) (d) x2y′′ + 3xy′ + 5y = 0 (y(x) = c1x−1cos(2 ln |x|) + c2x−1sen(2 ln |x|)) (e) x2y′′ − xy′ + y = 0 (y(x) = c1x+ c2x ln |x|) (f) (x− 1)2y′′ + 8(x− 1)y′ + 12y = 0 (y(x) = c1(x− 1)−3 + c2(x− 1)−4) (g) x2y′′ + 6xy′ − y = 0 (y(x) = c1|x|(−5+ √ 29)/2 + c2|x|(−5− √ 29)/2) (h) 2x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0 (y(x) = c1|x|3/2cos(1/2 √ 3 ln |x|) + c2|x|3/2sen(1/2 √ 3 ln |x|)) 7. Experimentalmente sabe-se que 6 libras de peso estiram 6 polegadas de uma certa mola. Se o peso e´ puxado para baixo de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio 4 polegadas e depois solto, (a) obtenha um PVI que descreva o movimento do peso; (b) encontre a posic¸a˜o do corpo como func¸a˜o do tempo; (c) encontre a amplitude, o per´ıodo e a frequeˆncia natural do movimento. 38 8. Suponha que uma forc¸a de amortecimento dada em libras seja numericamente igual a 1,5 vezes a velocidade instantaˆnea em pe´s/s, e atua sobre o corpo do Exerc´ıcio 7. (a) Obtenha o PVI associado; (b) Encontre a posic¸a˜o do corpo como func¸a˜o do tempo. 9. Suponha no Exerc´ıcio 7 que a forc¸a de amortecimento em libras seja numericamente igual a treˆs vezes a velocidade instantaˆnea e obtenha a posic¸a˜o do corpo em func¸a˜o do tempo. 10. Considere agora a mesma equac¸a˜o do Exerc´ıcio 9, com as novas condic¸o˜es y(0) = 0 e y′(0) = 5. 11. Substitua no Exerc´ıcio 9 a forc¸a de amortecimento por F3 = −3, 75v. 12. No Exerc´ıcio 8, suponha que uma forc¸a externa perio´dica dada por F (t) = 24cos(8t) esteja agindo e obtenha y(t). 13. Suponha que uma forc¸a externa dada por 3cos(8t) seja aplicada a` mola do Exerc´ıcio 7. Descreva o movimento resultante, se y(0) = 0 e y′(0) = 0. 39 Cap´ıtulo 4 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Lineares Um sistema de n equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem e´ da forma x′1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + · · ·+ a1n(t)xn + g1(t) x′2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + · · ·+ a2n(t)xn + g2(t) ... x′n = an1(t)x1 + an2(t)x2 + · · ·+ ann(t)xn + gn(t) Se gi ≡ 0 em um intervalo I, para todo 1 ≤ i ≤ n, dizemos que o sistema acima e´ homogeˆneo. O sistema acima pode ser escrito na forma matricial X ′ = A(t)X +G(t) (4.1) com A(t) = a11(t) a12(t) · · · a1n(t) a21(t) a22(t) · · · a2n(t) ... ... ... an1(t) an2(t) · · · ann(t) , X(t) = x1(t) x2(t) ... xn(t) , G(t) = g1(t) g2(t) ... gn(t) e X ′(t) = x′1(t) x′2(t) ... x′n(t) . Teorema 4.1. (Existeˆncia e Unicidade) Seja X ′ = A(t)X + G(t) um sistema de n EDOs lineares de primeira ordem definido em um intervalo I como (4.1), com as func¸o˜es aij e gi cont´ınuas em I. Enta˜o dados t◦ ∈ I e X◦ ∈ Rn, existe uma u´nica soluc¸a˜o X = X(t) de (4.1), definida em I, tal que X(t◦) = X◦. Teorema 4.2. Se X(t) = x1(t) x2(t) ... xn(t) e Xˆ(t) = xˆ1(t) xˆ2(t) ... xˆn(t) sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo X ′ = A(t)X, enta˜o qualquer combinac¸a˜o linear c1X + c2Xˆ, com c1, c2 ∈ R, tambe´m e´ soluc¸a˜o desse sistema homogeˆneo. Teorema 4.3. (Teste para independeˆncialinear) Sejam X1(t), X2(t), . . ., Xk(t) soluc¸o˜es do sistema homogeˆneoX ′ = A(t)X em I e seja t◦ ∈ I. Enta˜o X1(t), X2(t), . . ., Xk(t) sa˜o soluc¸o˜es linearmente inde- 40 pendentes (L.I.) se, e somente se, os vetores X1(t◦), X2(t◦), . . ., Xk(t◦) sa˜o linearmente independentes em Rn. Teorema 4.4. A dimensa˜o do espac¸o de soluc¸o˜es S de qualquer sistema homogeˆneo n×n, X ′ = A(t)X, e´ n. Dessa forma, se conhecermos n soluc¸o˜es L.I. X1(t), X2(t), . . ., Xk(t) do sistema homogeˆneo X ′ = A(t)X, enta˜o toda soluc¸a˜o desse sistema sera´ dada por X(t) = c1X 1(t) + c2X 2(t) + . . .+ cnX n(t), com ci ∈ R, para todo i = 1, . . . , n, que e´ a soluc¸a˜o geral de X ′ = A(t)X. Resoluc¸a˜o de sistemas de EDOs lineares homogeˆneas de primeira ordem com coeficientes constantes: Me´todo dos Autovalores e Autovetores Dado o sistema homogeˆneo X ′ = AX, com X(t) = x1(t) x2(t) ... xn(t) e A = (aij), aij ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n, queremos determinar n soluc¸o˜es L.I. X1(t), X2(t), . . ., Xn(t). Analogamente ao estudo de EDO, procuraremos soluc¸o˜es do sistema X ′ = AX que sejam da forma X(t) = eλtv, onde v = v1 v2 ... vn 6= 0 0 ... 0 , vi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n e λ ∈ R. Observando que ddt(e λtv) = λeλtv e A(eλtv) = eλtAv, ao substituir X(t) = eλtv em X ′ = AX, obtemos λeλtv = eλtAv. Portanto, X(t) = eλtv e´ soluc¸a˜o do sistema se, e somente se, Av = λv. Dessa forma, X(t) = eλtv e´ soluc¸a˜o de X ′ = AX se, e somente se, λ e v satisfazem a` equac¸a˜o Av = λv. Definic¸a˜o 4.5. Os valores de λ para os quais a equac¸a˜o Av = λv tem soluc¸a˜o na˜o-nula sa˜o chamados de autovalores (ou valores pro´prios) de A. E para cada autovalor λ, os vetores na˜o-nulos que satisfazem a` equac¸a˜o Av = λv sa˜o chamados de autovetores (ou vetores pro´prios) de A correspondentes a` λ. Note que a equac¸a˜o Av = λv e´ equivalente a` equac¸a˜o (A − λI)v = 0, onde I e´ a matriz identidade n× n. Para que a equac¸a˜o (A− λI)v = 0 tenha soluc¸a˜o v 6= ~0, a matria A− λI na˜o pode ser invert´ıvel. Assim, devemos ter det(A− λI) = 0. Como det(A − λI) e´ o polinoˆmio caracter´ıstico de A, um polinoˆmio de grau n, ele tem n ra´ızes λ1, λ2, . . ., λn. Dessa forma, temos treˆs casos para analisar. 1o Caso: Autovalores reais e distintos λ1, λ2, . . ., λn Como autovetores correspondentes a autovalores distintos sa˜o L.I., temos que os autovetores v1, v2, . . ., vn de A correspondentes, respectivamente, aos autovalores reais distintos λ1, λ2, . . ., λn sa˜o L.I. 41 Assim, as n func¸o˜es X1(t) = e λ1tv1, X2(t) = e λ2tv2, . . ., Xn(t) = e λntvn sa˜o soluc¸o˜es L.I. de X ′ = AX. Exemplo 4.6. Determine a soluc¸a˜o do PVI x′ = x+ 3yy′ = x− y ; x(0) = 1y(0) = 7 . As equac¸o˜es simultaˆnesas acima podem ser escritas na seguinte forma X ′ = 1 3 1 −1 X X(0) = 1 7 , onde X = x y e a matriz dos coeficientes e´ dada por A = 1 3 1 −1 . O polinoˆmio caracter´ıstico e´ dado por p(λ) = det(A− λI) = ∣∣∣∣∣∣ 1− λ 31 −1− λ ∣∣∣∣∣∣ = λ2 − 4. Logo, os autovalores de A sa˜o λ1 = 2 e λ2 = −2 (reais distintos). • Para λ1 = 2, procuramos um vetor v1 = a b 6= 0 0 , tal que (A − 2I)v1 = 0, ou seja, 1 3 1 −1 a b = 0 0 . Resolvendo o sistema −a+ 3b = 0a− 3b = 0 obtemos o autovetor v1 = 3 1 para λ1 = 2 e, por- tanto, uma soluc¸a˜o do sistema dado e´ X1(t) = e 2t 3 1 . • Para λ2 = −2, obtemos um autovetor v2 = 1 −1 , e uma outra soluc¸a˜o X2(t) = e−2t 1 −1 . Como λ1 6= λ2, as soluc¸o˜es X1 e X2 sa˜o soluc¸o˜es L.I. Dessa forma, a soluc¸a˜o geral do sistema dado e´ dada por X(t) = c1X1(t) + c2X2(t) = c1 3e2t e2t + c2 e−2t −e−2t ou melhor, X(t) Y (t) = 3c1e2t + c2e−2t c1e 2t − c2e−2t , c1, c2 ∈ R. Como temos a condic¸a˜o inicial X(0) = 1 7 , segue que c1 = 2 e c2 = −5. Logo, a soluc¸a˜o do PVI dado e´ X(t) Y (t) = 6e2t − 5e−2t 2e2t + 5e−2t . 2o Caso: Autovalores complexos λ = α+ βi, β 6= 0 Como λ e´ raiz do polinoˆmio caracter´ıstico de coeficientes reais, enta˜o seu conjugado λ = α − βi tambe´m e´ autovalor de A. Ale´m disso, se z e´ um autovetor correspondente a` λ, enta˜o z e´ um autovetor correspondente a` λ. Nesse caso, as func¸o˜es X1(t) = e αt (Fλcos(βt) +Hλsen(βt)) e X2(t) = e αt (Hλcos(βt)− Fλsen(βt)), em que Fλ = zλ + zλ 2 e Hλ = zλ − zλ 2 i, sa˜o soluc¸o˜es L.I. do sistema. 42 Exemplo 4.7. Resolva o sistema X ′ = 1 −1 5 −3 X. O polinoˆmio caracter´ıstico e´ p(λ) = det(A− λI) = ∣∣∣∣∣∣ 1− λ −15 −3− λ ∣∣∣∣∣∣ = λ2 + 2λ+ 2 = 0. Logo, os autovalores sa˜o λ = −1 + i e λ = −1− i. Para λ = −1 + i, temos que determinar zλ = z1 z2 6= 0 0 tal que Azλ = (−1 + i)zλ, isto e´, 1 −1 5 −3 z1 z2 = −z1 + z1i −z2 + z2i ⇒ z1 − z2 5z1 − 3z2 = −z1 + z1i −z2 + z2i ⇒ z1 − z2 = −z1 + z1i5z1 − 3z2 = −z2 + z2i ⇒ 2z1 − z2 = z1i5z1 − 2z2 = z2i ⇒ 4z1 − 2z2 = 2z1i5z1 − 2z2 = z2i Subtraindo a primeira equac¸a˜o da segunda, obtemos z1 = z2i− 2z1i. Fazendo z1 = 1, segue z2i = 1 + 2i, ou ainda, z2 = 1+2i i · −i−i = −i−2i 2 −i2 ⇒ z2 = 2− i. Logo, um autovalor associado a` λ = −1+i e´ zλ = 1 2− i . Assim, um autovetor associado a` λ = −1−i e´ zλ = 1 2 + i . Dessa forma, as soluc¸o˜es L.I. do sistema dado sa˜o X1(t) = e −t (Fλcost+Hλsent) e X2(t) = e−t (Hλcost− Fλsent), em que Fλ = zλ + zλ 2 = 1 2 e Hλ = zλ − zλ 2 = 0 1 . Logo, X1(t) = e −t 1 2 cost+ 0 1 sent = e−t cost 2cost+ sent e X2(t) = e −t 0 1 cost− 1 2 sent = e−t −sent cost− 2sent . Portanto, a soluc¸a˜o geral do sistema dado e´ da forma X(t) = c1X1(t) + c2X2(t) = e −t c1cost− c2sent (2c1 + c2)cost+ (c1 − 2c2)sent . 3o Caso: Autovalores reais de multiplicidade k, 1 < k ≤ n Se λ1 = λ2 = . . . = λk = λ e´ um autovalor de A, podemos ter duas situac¸o˜es: (i) Existir k autovalores L.I. correspondentes a` λ; (ii) Existir menos do de k autovalores L.I. para λ. Em (i), como no primeiro caso, se v1, v2, . . ., vk forem os autovetores L.I. correspondentes a` λ, enta˜o as func¸o˜es eλtv1, e λtv2, . . ., e λtvk sera˜o k soluc¸o˜es L.I. do sistema. 43 Exemplo 4.8. Determine a soluc¸a˜o do sistema X ′ = 3 2 4 2 0 2 4 2 3 X. p(λ) = det(A− λI) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3− λ 2 4 2 −λ 2 4 2 3− λ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇒ −(λ+ 1) 2(λ− 8) = 0. Assim, os autovalores de A sa˜o λ1 = 8 e λ2 = λ3 = −1 = λ. Para λ1 = 8, vamos determinar v1 = a b c 6= 0 0 0 tal que Av1 = λ1v1, ou seja, 3 2 4 2 0 2 4 2 3 a b c = 8a 8b 8c ⇒ 3a+ 2b+ 4c = 8a 2a+ 2c = 8b 4a+ 2b+ 3c = 8c ⇒ a = c = 2b. Logo, um autovetor de A associado a` λ1 = 8 e´ v1 = 2 1 2 e uma soluc¸a˜o do sistema e´ dada por X1 = e 8t 2 1 2 . Para λ = −1, vamos encontrar v = a b c 6= 0 0 0 tal que Av = λv, ou seja, 3a+ 2b+ 4c = −a 2a+ 2c = −b 4a+ 2b+ 3c = −c ⇒ b = −2a− 2c. Se a = 1 e c = 0, temos b = −2 e, assim, v2 = 1 −2 0 . Se a = 0 e c = 1, temos b = −2 e, assim, v3 = 0 −2 1 . Sendo v2 e v3 L.I., enta˜o teremos duas soluc¸o˜es L.I. associadas ao autovalor λ, que sa˜o X2 = e −t 1 −2 0 e X3 = e−t 0 −2 1 . Portanto, a soluc¸a˜o geral do sistema e´ X(t) = c1X1 + c2X2 + c3X3 = 2c1e 8t + c2e −t c1e 8t − 2c2e−t − 2c3e−t 2c1e 8t + c3e −t . 44 Em (ii), havera´ menos que k soluc¸o˜es do sistema X ′ = AX, da forma eλt, associada a esse autovalor λ. Portanto, para construir a soluc¸a˜o geral do sistema, e´ preciso encontrar outras soluc¸o˜es de forma diferente. Se existem l autovetores L.I. v1, v2, . . ., vl (com l < k) asssociados a` λ, enta˜o e λtv1, e λtv2, . . ., eλtvl sera˜o soluc¸o˜es L.I. Como encontrar mais k − l soluc¸o˜es L.I. a` partir das l soluc¸o˜es? Suponha que λ seja um autovalor de A com multiplicidade 2 e a dimensa˜o
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