Geometria

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<p>FACULDADE ÚNICA DE IPATINGA GEOMETRIA: FUNDAMENTOS E MÉTODOS DE ENSINO E PRÁTICAS PEDAGÓGICAS Felipe Júnio de Souza Oliveira</p><p>Felipe Júnio de Souza Oliveira Doutorando em Educação. Mestre em Educação e Docência, na linha de Educação Matemática, pela Universidade Federal de Minas Gerais. Especialista em Matemática Financeira e Estatística e especialista em Metodologia do Ensino de Matemática e Física. Graduado em Matemática pela Universidade de Uberaba. É membro do Grupo de Pesquisa Estudos sobre Numeramento da Universidade Federal de Minas Gerais e do Grupo Interinstitucional de Pesquisa em Educação Matemática e Sociedade pela Unisinos. Atua como professor de Matemática na Educação Básica e professor universitário na Universidade do Estado de Minas Gerais. Atualmente, desenvolve trabalhos e pesquisas sobre letramento estatístico, numeramento, pedagógico de pesquisas de opinião, teoria histórico-cultural da atividade e Educação de Jovens e Adultos. FACULDADE GEOMETRIA: FUNDAMENTOS E MÉTODOS DE ENSINO E PRÁTICAS PEDAGÓGICAS edição Ipatinga - MG 2021</p><p>FACULDADE ÚNICA EDITORIAL Diretor Geral: Valdir Henrique Valerio Diretor Executivo: William José Ferreira Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira Revisão Gramatical e Ortográfica: Bruna Carolina de Almeida Salles Bárbara Carla Amorim O. Silva Bruna Luiza Mendes Leite Carla Jordânia G. de Souza Guilherme Prado Salles Rubens Henrique L. de Oliveira Design: Brayan Lazarino Santos Élen Cristina Teixeira Oliveira Maria Luiza Filgueiras Taisser Gustavo de Soares Duarte FACULDADE 2021, Faculdade Única. Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização escrita do Editor. NEaD - Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA Rua Salermo, 299 Anexo 03 - Bairro Bethânia - CEP: 35164-779 - Ipatinga/MG Tel (31) 2109 -2300 - 0800 724 2300 www.faculdadeunica.com.br</p><p>Menu de Ícones Com intuito de facilitar seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a São sugestões de links para vídeos, documentos científi- CO (artigos, monografias, dissertações e teses), sites ou Q BUSQUE POR MAIS links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e Biblioteca Pearson) relacionados com conteúdo abordado. Trata-se dos conceitos, definições afirmações FIQUE ATENTO importantes nas quais você deve ter um maior grau de atenção! FIXANDO O CONTEÚDO São exercícios de fixação do conteúdo abordado em cada unidade do livro. São para esclarecimento do significado de GLOSSÁRIO determinados termos/palavras mostradas ao longo do livro. Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões VAMOS PENSAR citadas em cada unidade, associando-o a suas ações, seja no ambiente profissional ou em seu cotidiano. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>SUMÁRIO UNIDADE GEOMETRIA PLANA: HISTÓRIA, CIÊNCIA DEDUTIVA E CONCEITOS BASILARES 8 01 1.1 INTRODUÇÃO 8 1.2 A GEOMETRIA PLANA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA 9 1.3 DO SENSO COMUM À CIÊNCIA DEDUTIVA 13 1.4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E POSTULARES 18 22 GEOMETRIA PLANA BÁSICA DA RETA E DO DESENHO GEOMÉTRICO 28 UNIDADE 2.1 INTRODUÇÃO 28 2.2 ESTUDO DAS RETAS 29 02 2.3 INSTRUMENTOS E TÉCNICAS DE DESENHO 34 2.4 CONSTRUÇÕES ELEMENTARES 36 FIXANDO CONTEÚDO 41 TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA BÁSICA ESTRUTURAL E ALGUMAS UNIDADE CONSTRUÇÕES ESPECIAIS 46 3.1 INTRODUÇÃO 46 03 3.2 ESTUDO DE ÂNGULOS E REGIÕES ANGULARES 46 3.3 os POLÍGONOS E ALGUMAS PARTICULARIDADES 50 3.2.1 Triângulos triláteros 53 3.2.2 Quadriláteros ou 56 3.4 AS CIRCUNFERÊNCIAS, os CÍRCULOS E SEUS ELEMENTOS 59 3.5 CONSTRUÇÕES ESPECIAIS 63 FIXANDO CONTEÚDO 71 UNIDADE TÓPICOS ESPECIAIS E APLICADOS À GEOMETRIA PLANA 76 4.1 INTRODUÇÃO 76 4.2 SEMELHANÇAS ENTRE REGIÕES PLANAS 76 04 4.3 REGULARIDADES POLIGONAIS, INSCRIÇÕES E CIRCUNSCRIÇÕES 79 4.4 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 82 4.5 A SIMETRIA E os SEUS FENÔMENOS 84 FIXANDO CONTEÚDO 87 UNIDADE GEOMETRIA ESCALAR, HOMOTETIA E OUTRAS CONSTRUÇÕES ESPECIAIS 92 05 5.1 INTRODUÇÃO 92 5.2 ESCALAS 92 5.3 A HOMOTETIA E AS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS 94 5.4 CONSTRUÇÕES ESPECIAIS COM TANGRAM E ORIGAMI 97 FIXANDO CONTEÚDO 102 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>UNIDADE AS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS NO MUNDO 108 6.1 INTRODUÇÃO 108 6.2 ENSINO-APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA PLANA 108 06 6.3 PROJETOS DE GEOMETRIA PLANA COM USO DE SOFTWARES 110 6.4 APLICAÇÕES ARQUITETÔNICAS A PARTIR DA GEOMETRIA PLANA 113 FIXANDO CONTEÚDO 117 UNIDADE VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 122 7.1 INTRODUÇÃO 122 07 7.1.1 Vetores no plano 122 7.2 NORMA DE UM VETOR NO PLANO 123 7.3 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES NO PLANO 124 7.1.2 Multiplicação de um vetor por um escalar 124 7.1.3 Adição de vetores 124 7.4 VETORES NO ESPAÇO R3 127 VETORES NO Rn 128 FIXANDO OCONTEÚDO 129 UNIDADE COMBINAÇÃO LINEAR 133 8.1 INTRODUÇÃO 133 08 8.2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS VETORES 133 8.3 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 134 8.4 PRODUTO VETORIAL 136 FIXANDO CONTEÚDO 138 UNIDADE SISTEMAS LINEARES 143 9.1 EQUAÇÕES LINEARES 143 09 9.2 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR 143 9.3 SISTEMA LINEAR 144 9.4 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 145 FIXANDO CONTEÚDO 150 UNIDADE ESPAÇO VETORIAL 154 10.1 DEFINIÇÃO 154 10.2 PROPRIEDADES DE UM ESPAÇO VETORIAL 155 10 10.3 SUBESPAÇOS VETORIAIS 156 10.4 COMBINAÇÃO LINEAR 157 10.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 157 BASE DE UM VETORIAL 159 FIXANDO CONTEÚDO 161 UNIDADE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 166 11.1 DEFINIÇÃO 166 11 11.2 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES 167 11.3 AUTOVALORES E AUTOVETORES 169 FIXANDO CONTEÚDO 170 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>UNIDADE GEOMETRIA ANALÍTICA 175 12.1 PLANO CARTESIANO E PONTOS 175 12 12.1.1 Ponto no plano cartesiano 175 12.2 NOÇÕES DA RETA NO PLANO 180 12.3 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 184 12.4 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 185 12.5 ESTUDO DAS CÔNICAS - ELIPSE 187 12.6 ESTUDO DAS CÔNICAS - HIPÉRBOLE 189 .1 ESTUDO DAS CÔNICAS - PARÁBOLA 193 12.7 PLANOS NO ESPAÇO E QUÁDRICAS NO R3 196 FIXANDO CONTEÚDO 200 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>GEOMETRIA PLANA: HISTÓRIA, UNIDADE CIÊNCIA DEDUTIVA E CONCEITOS BASILARES 01 1.1 INTRODUÇÃO "Linha curva: o caminho mais agradável entre dois pontos". Mário Quintana Quanta inspiração nesse lindo verso do poeta brasileiro Mário Quintana. De forma agradável, ele nos propõe uma reflexão sobre um dos princípios mais básicos da Geometria Euclidiana: uma única reta passa por dois pontos distintos, mas infinitas linhas curvas, coplanares ou não, também passam por esses mesmos pontos. Para além da poesia e da beleza estética, a Geometria é uma das áreas da Matemática responsável por sistematizar conhecimentos relacionados às formas, posições, relações e propriedades de (e entre os) objetos concretos ou abstratos no espaço. É uma palavra de origem grega, em que "geo" significaria terra e "metria", variante de "métron", seria medida, ou seja, medida da terra em tradução mais corrente. Essa informação já nos fornece pistas sobre as origens e formas de desenvolvimento desse campo. Apesar de existirem diferentes geometrias (formais e não formais) que surgiram de forma independente em várias culturas e épocas distintas, neste texto, focalizaremos a Geometria Plana e algumas construções geométricas decorrentes dela. Para tal, iniciaremos, na próxima seção, um estudo sobre a Geometria Plana na perspectiva de que ela é uma construção humana e cultural. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Q BUSQUE POR MAIS Ficou curioso para descobrir outras geometrias, suas origens e seus contextos? Indicamos três livros que permitem um aprofundamento histórico e conceitual em três Todos eles estão disponíveis na Minha Biblioteca Única virtual: Também conhecida como "Geometria do Caos", livro Descobrindo a Geometria Fractal - para a sala de aula, de Barbosa (2005), aborda notas históricas e conceitos sobre essa geometria não tradicional. Disponível em: https://bit.ly/2Vdpm3A. Acesso em: 20 abr. 2021. No livro "Matemática através dos tempos: um guia fácil e prático para professores e de Berlinghoff (2010), dentre vários tópicos, evidenciam as geometrias não euclidianas em seus contextos históricos. Disponível em: https://bit.ly/3717GLn. Acesso em: 20 abr. 2021. Já livro "História da Matemática", de Boyer e Merzbach (2012), traz capítulos com a historicidade de geometrias que foram utilizadas ou construídas desde a Antiguidade. Disponível em: Acesso em: 20 abr. 2021. 1.2 A GEOMETRIA PLANA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA Observe as figuras a seguir e tente perceber alguma semelhança entre elas. Sabe que elas têm em comum? Analise-as com bastante atenção e leia as notas. Figura 1: Placas de barro com mapas da cidade babilônica de Nippur (~1300 a. C.) Fonte: Weiss (2019) FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Figura 2: Parede do palácio de antiga região Assíria no norte da Mesopotâmia (~700 anos a.C) Fonte: Silva (2021) Figura 3: Quadro Mona Cat (2004) do pintor brasileiro Romero Britto Fonte: Fuks (2019) Figura 4: Exemplo de planta baixa de um apartamento BANHEIRO COZINHA SALA DE ESTAR QUARTO SALA DE JANTAR Fonte: Disponível em: Acesso em: 14 fev. 2021. Conseguiu identificar semelhanças? Acreditamos que sim! Todas utilizaram e mobilizaram alguns conhecimentos de Geometria Plana para a sua construção. Claro que esses conhecimentos foram obtidos de diferentes formas, em épocas e lugares diferentes e esses objetos foram feitos com instrumentos bem distintos, mas é possível identificar semelhanças. Na Figura 1, por exemplo, observamos dois fragmentos de barro, frutos de escavações, datados de há mais de 1300 anos em que estudiosos indicam conhecimentos de Geometria Plana sendo utilizados para áreas FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>administrativas na Babilônia. Sobre a primeira placa, Weiss (2019) afirma que "esta placa, que mapeia uma área próxima à cidade, apresenta uma complexa rede de irrigação de valas e canais, representada por linhas, juntamente com uma série de cidades e propriedades agrícolas, representadas por círculos". Os traços grossos representariam rios e canais de irrigação, sendo principal deles em forma de "U". Na segunda placa, os principais templos seriam os quadrados margeados, algumas áreas agrícolas e jardins estariam em forma de retângulo e trapézio, respectivamente, e os traços mais finos ao redor seriam muralhas da cidade. Já na Figura 2, é possível perceber que os Assírios já construíam rodas com raios diametralmente opostos e ângulos centrais de mesma medida. Segundo Giovanni, Giovanni Júnior e Castrucci (2015, p. 172), "tal fato nos leva a concluir que os povos que viviam na Mesopotâmia, naquela época, já dominavam um processo de divisão da circunferência em partes iguais". Ainda de acordo com esses autores, esse pode ser um dos problemas matemáticos mais antigos conhecidos na história da civilização, pois, entre 4000 e 3000 anos a.C. Na mesma região mesopotâmica há indícios de que, para registrar e contar tempo, iniciou-se um processo de divisão do movimento orbital circular do Sol em torno da Terra (assim como eles acreditavam 1 que acontecia naquela época) em 360 partes, supondo que representaria um 360 dia dessa órbita circular. É de se admirar que, mais de três milênios depois, assim como representado pelas Figuras 3 e 4, utilizemos noções semelhantes de Geometria Plana, assim como os povos que viveram naquela época. Os traços do Cubismo e da chamada Pop Art pintados por Romero Britto, assim como os desenhos técnicos dos projetos de planta baixa de construções, feitos, muitas vezes, com apoio de um computador, também são inspirados por representações, sistematizadas ou não, da Geometria FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>VAMOS PENSAR Algumas pessoas acreditam que a Matemática existe de forma independente na natureza e é apenas percebida pelo ser humano. Padrões, formas, leis e entes abstratos já estariam presentes no universo apenas aguardando para serem descobertos. que você acha: a Matemática, incluindo a Geometria, é uma construção humana ou algo que foi descoberto pelo ser humano? Será que a Geometria desenvolvida (ou descoberta) pelo povo Maia, por exemplo, é diferente da Geometria do Egito Antigo? Será que os círculos utilizados por Romero Britto na pintura Mona Cat, na Figura 3, possuem um significado conceitual diferente dos círculos e curvas utilizados pela planta baixa da Figura 4 ou pela roda esculpida e retratada na Figura 2? Antes mesmo dos gregos darem origem à palavra Geometria, os conceitos, as ideias e propriedades dela já eram utilizados em muitas culturas com diferentes aprofundamentos e a partir de demandas distintas. Os egípcios, por exemplo, entre os anos 4000 e 3000 a.C., por meio da emergência de comunidades que já possuíam certa densidade populacional e em que práticas agrícolas e as edificações eram comuns nas proximidades dos rios Nilo, Eufrates e Tigre, já utilizam noções de Geometria de forma prática para medir e dividir terrenos, além de capitalizarem essas terras para pagamento de impostos ao faraó proporcionais às áreas cultivadas. As engenhosas e enigmáticas pirâmides de Gizé, construídas entre 3000 e 2000 anos são uma demonstração do quão desenvolvidos poderiam ser os conhecimentos de agrimensura e Geometria dos egípcios. A notabilidade desses conhecimentos percorreu muitas regiões do mediterrâneo e despertou a atenção de alguns gregos que buscaram, no Antigo Egito, novas aplicações da Geometria. Nesse contexto, além de conhecerem e adquirirem um acervo significativo sobre noções de Geometria que eram utilizadas no Egito, os gregos deram um passo à frente dando ênfase às primeiras sistematizações das teorias da Geometria e ao raciocínio dedutivo (COSTA, 2010). De acordo com Giovanni, Bonjorno e Giovanni (1994, p. 408), "por volta de 600 a. C., filósofos e matemáticos gregos, entre os quais podemos incluir Tales de Mileto e Pitágoras, passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos da época". A Geometria, até então, era puramente experimental, com muitas informações, saberes e aplicações dispersos e sem compromisso com alguns fundamentos matemáticos que já eram conhecidos na época e que se ligavam, de certa forma, à FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Geometria. Nessa perspectiva, um matemático grego estava na atmosfera para se tornar um dos maiores expoentes da Geometria de todos os tempos, organizando logicamente e conectando os conhecimentos matemáticos apropriados para dar origem à Geometria Euclidiana. Euclides de Alexandria, conhecido como "pai da Geometria", foi responsável por conferir um embasamento teórico robusto e axiomático aos conhecimentos matemáticos relacionados à Geometria conhecida na época e sistematizada, principalmente, por ele. A Geometria Euclidiana que ensinamos em sala de aula atualmente é praticamente a mesma de Euclides! VAMOS PENSAR Se existem diferentes geometrias, cada qual com suas particularidades culturais e conceitos formais ou informais, porque a Geometria Euclidiana é tão difundida e usada até hoje? Na próxima seção, nos aprofundaremos mais nesse percurso que levou à sistematização da Geometria e lhe conferiu um caráter de ciência dedutiva graças aos estudos e conexões realizados por Euclides, além de destacarmos uma das ramificações dessa sistematização: a Geometria Euclidiana Plana. Q BUSQUE POR MAIS No livro eletrônico "Geometria de Couceiro (2016) há um histórico do início do desenvolvimento da Geometria Plana com foco no histórico e nos métodos axiomáticos de Euclides de Alexandria. Vale a pena conferir na Biblioteca Virtual Pearson a partir do seguinte link: Acesso em: 20 fev. 2021. 1.3 DO SENSO COMUM À CIÊNCIA DEDUTIVA É consenso que, antes dos gregos, por volta do século VI grande parte dos conhecimentos sobre Geometria era espalhada, muitas vezes sem suportes matemáticos seguros e lógicos e carecia de registros que acumulariam e transmitiriam os saberes socioculturais para as próximas gerações. Como já vimos anteriormente, as geometrias egípcia e mesopotâmica eram, fundamentalmente, marcadas pelo FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>USO de artefatos empíricos e da observação para formularem ideias e aplicações diretas para os trabalhos agrícolas e de edificação estrutural. Logo, a lógica do pensamento era, metodologicamente, indutiva; ou seja, pela quantidade e padronização de eventos, pelo senso comum e pelo USO comum de certas técnicas socialmente repetidas e/ou testadas, argumentava-se, algumas vezes de forma até mesmo autoritária, que casos particulares indicariam leis gerais que deveriam ser aceitas como verdadeiras. Claro que estamos analisando esse fato histórico de uma perspectiva Ocidental. No entanto, a influência e predomínio das produções gregas acerca da Geometria, e Matemática em geral, se destacavam até mesmo no Oriente, em especial, por dois fatores: os registros documentais e método científico dedutivo. De acordo com Giovanni, Bonjorno e Giovanni Júnior (1994, p. 408), "os gregos foram os primeiros a introduzir raciocínio dedutivo", que ampliou e impulsionou todos os conhecimentos sistematizados, a partir de então, para outro patamar do determinismo axiomático característico da Matemática como ciência. FIQUE ATENTO Nesse ponto da leitura é importante perceber que estamos tratando de dois métodos científicos bastante utilizados até os dias de hoje: a indução e a dedução. Segundo Marconi e Lakatos (2017, p. 82-89), em resumo, a indução é "um processo por intermédio do qual, partindo de dados particulares, suficientemente constatados, infere- se uma verdade geral ou universal". Já a dedução "parte de teorias e leis para predizer a ocorrência dos fenômenos particulares". Essas autoras afirmam que, se nos argumentos "dedutivos as premissas verdadeiras levam, inevitavelmente, a uma conclusão verdadeira, nos indutivos, premissas verdadeiras conduzem apenas a conclusões prováveis" (MARCONI; LAKATOS, 2017, p. 89). Dito de outra forma, no método indutivo, nunca se tem a certeza de uma conclusão, pois, dadas certas premissas, a conclusão possui graus de probabilidade; já no método dedutivo, a conclusão é particular e parte de uma premissa geral, ou seja, a conclusão é tão correta quanto as suas premissas. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>VAMOS PENSAR Para esclarecer os conceitos de indução e dedução, observe os dois exemplos matemáticos a seguir e identifique cada método sendo empregado: Caso A Caso Seja n um número natural qualquer. Premissa 1: 3 e 7 são números primos; Premissa 1: todo número impar pode ser Premissa 2: 3 + 7 = 10 escrito como 2n+1; Conclusão: a soma de dois números Premissa 2: 421 é um número primos sempre dá um número par. Conclusão: assim, número 421 pode ser escrito como 2n+1 se n = 210 1 = 421). No caso A, a partir de uma premissa geral (premissa 1) e de uma premissa restrita (premissa 2), conclui-se uma sentença verdadeira para todo n natural. Temos, assim, uma dedução. Já no caso B, observe que as chances são grandes para que a soma de dois números primos, escolhidos ao acaso, seja um número par. No entanto, 2 é um número primo. Caso ele seja escolhido, a conclusão não pode ser aplicada. Assim, caso B trata de situações prováveis, mas não certas (indução). Outro motivo para poder sistematizador e difusor do conhecimento dos gregos, especialmente no Ocidente, demonstrando forte hegemonia das escolas gregas, é caráter documental ao se registrar tudo que se sabia de Geometria até então, produzida por meio do senso comum, por agrícolas, construtores ou por estudiosos. Textos, esboços, artefatos de desenho, protótipos e outros objetos eram produzidos, estudados, analisados e interpretados seguindo uma lógica dedutiva. Nesse bojo foi que, segundo Giovanni, Bonjorno e Giovanni (1994), matemático grego Euclides fez da cidade egípcia Alexandria, onde vivia, centro mundial da Geometria por volta de 300 anos a.C. Num processo rigoroso e coordenado de sistematização dos conhecimentos de outros povos antigos e das propriedades dos objetos geométricos, Euclides concebia a Geometria como "uma ciência dedutiva cujo desenvolvimento partia de certas hipóteses básicas: os axiomas postulados" (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI 1994, p. 408, grifos Estudioso da Academia de Platão e partícipe do polo cultural que se constituiu em torno da Biblioteca de Alexandria ao reunir vários sábios da época de diferentes áreas (COSTA, 2010), Euclides "produziu uma extensa obra, tendo como sustentação os axiomas e método dedutivo. Sua obra maior, Os Elementos, representou a primeira axiomatização da história da Matemática" (SANTOS; FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>NACARATO, 2014, p. 13, grifos das autoras). Composto por 13 volumes, Os Elementos reuniram boa parte do que se sabia de Geometria naquele tempo. Essa obra tornou-se tão importante após a sua divulgação que toda a sistematização feita por Euclides passou a ser conhecida como Geometria Euclidiana e, no decorrer da história, passou a ser categorizada como Geometria Euclidiana Plana (estudos sobre os espaços uni e bidimensional), Geometria Euclidiana Espacial (estudos sobre espaço tridimensional) e Geometria Euclidiana Analítica (também chamada de Geometria Cartesiana, abrange os estudos sobre a Geometria Algébrica com base num sistema de coordenadas). Uma imagem de duas versões de Os Elementos está na Figura 5. Figura 5: Fragmentos de versões da obra Os Elementos, de Euclides de Alexandria (à esquerda, primeira edição impressa em 1482. À direita, papiro encontrado no século XIX, mas datado de cerca de 100 anos d. C.) in are geometria non Linea longitado fine ab púcto ad exten in 8 dine für linee plana ab ad ali lam crientic in eft linea rectá anault cor crit. cui vocar vero vero recto Termin92 ra termino vel plana de linea quo Diameter ad linea in media figura plana metro circu circult figura linea parte lo aut minor figure für que rectio quar lincie quadrilatere pluribus continentur. babene tria latera 2 Fonte: Biblioteca Digital Mundial. Disponível em: Acesso em: 22 de fev. 2021. Destarte, utilizando-se raciocínio lógico-dedutivo num processo de análise a partir da avaliação de premissas verdadeiras que, consequentemente, geravam conclusões verdadeiras, Euclides precisou considerar proposições que deveriam ser aceitas, eximindo-as de demonstrações ou provas (os axiomas) e outras que poderiam ser demonstradas de alguma forma, mas não fez (os postulados ou noções comuns). São conceitos matemáticos muito relevantes que não necessitam de demonstração para serem verdadeiros, pois fazem parte de um consenso da comunidade que os utiliza. Os axiomas e os postulados são a base lógica e metodológica que reflete FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>algumas das propriedades observáveis dos objetos e conceitos matemáticos. Eles são a essência das cadeias dedutivas sobre as quais coisas mais complexas são construídas (ou descobertas) a partir de outras mais simples. Inclusive, a negação ou a modificação de algum dos axiomas e postulados propostos por Euclides deu origem às chamadas geometrias não euclidianas, especialmente, a partir do Renascimento, no século XV, e por toda a Idade Moderna (COSTA, 2010). Machado e Ferraz (2019, p. 16-17) apresentam um compilado dos principais axiomas e postulados que se constituíram como um dos alicerces para a sistematização dos conhecimentos sobre Geometria: Axiomas Axioma I: pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos; Axioma II: pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita continuamente em uma reta; Axioma III: pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio; Axioma IV: todos os ângulos retos são iguais; Axioma V: se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então essas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos. Postulados Postulado I: dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une; Postulado II: um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta; Postulado III: dados um ponto e uma distância quaisquer, pode-se construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; Postulado IV: todos os ângulos retos são congruentes Postulado V: se duas linhas intersectam uma terceira linha, de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem intersectar-se nesse lado, se forem estendidas indefinidamente (MACHADO; FERRAZ, 2019, p. 16-17). De acordo com Santos e Viglioni (2011, p. 15), trabalho de Euclides destaca- se pelo fato de que, com apenas 5 postulados, ele foi capaz de deduzir 465 proposições, muitas complicadas e não intuitivas". Apesar das lacunas existentes, sanadas por outros matemáticos como David Hilbert, esses autores acrescentam que, a partir dos axiomas acima enunciados, foi possível desenvolver quase toda a Geometria Plana com a qual temos contato desde a Educação Básica. Marconi e Lakatos (2017, p. 90), ao considerarem que os argumentos matemáticos, por sua vez, são dedutivos, salientam que "na geometria euclidiana do plano, os teoremas são FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>todos demonstrados com base em axiomas e postulados. Não obstante conteúdo dos teoremas já esteja fixado neles, esse conteúdo está longe de ser óbvio". Nesse sentido, tendo em vista que, se não pudéssemos definir noções sem demonstrá-las, ficaríamos num processo infinito de definições (SANTOS; VIGLIONI, 2011), Euclides precisou estabelecer alguns conceitos e relações primitivos sem os quais não seria possível avançar na construção da Geometria Plana e dos espaços uni e bidimensional. Na sequência, abordaremos algumas dessas peças primitivas, justificando-as como sendo essenciais para que desejamos discutir neste livro: a própria Geometria Euclidiana Plana e as construções geométricas decorrentes dela. Q BUSQUE POR MAIS Sabia que já está disponível uma tradução para português, a partir do texto grego, da obra "Os Elementos" de Euclides? São 600 páginas e 13 livros em 1 em que Irineu Bicudo responsabilizou-se por traduzir todos os conceitos, definições, axiomas, postulados e demonstrações de forma integral e acrescentou uma introdução com um contexto histórico e científico completo sobre a vida e as produções de Euclides. livro chama-se "Os Elementos, Euclides". 1.4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E POSTULARES Como já dissemos, Euclides precisou definir algumas noções primitivas que satisfizessem os axiomas e postulados para, então, propor outras definições, teoremas e demonstrações capazes de darem corpo ao que chamamos hoje de Geometria Euclidiana Plana que, segundo Santos e Viglioni (2011), tem como objeto de estudo plano e as proposições decorrentes dele. Para tal, algumas ideias intuitivas foram propostas e aceitas sem, necessariamente, serem provadas: Ponto é que não tem partes, ou que não tem grandeza alguma; II. Linha é que tem comprimento, porém não tem largura; III. As extremidades da linha são pontos; IV. Linha reta é aquela que está posta igualmente entre as suas extremidades; V. Superfície é que tem comprimento e largura; VI. As extremidades da superfície são linhas; VII. Superfície plana é aquela sobre a qual assenta toda uma linha reta entre dois pontos quaisquer que estiverem na mesma superfície (MACHADO; FERRAZ, 2019, p. 17). Também existem outras ideias lançadas por Euclides, mas destacamos aqui as FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>noções elementares de ponto (Figura 6), reta (Figura 7) e plano (Figura 8): Figura 6: Ponto A B (Ponto A) (Ponto B) Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). ! FIQUE ATENTO Para Euclides, ponto não possui parte, ou seja, é adimensional. Inclusive, a figura acima é apenas uma ideia que não representa essa noção, pois até mesmo esse minúsculo ponto desenhado possui dimensões. Um ponto é indicado por letra maiúscula do nosso alfabeto. Figura 7: Reta r S (Reta r) (Reta s) Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). ! FIQUE ATENTO Uma reta tem comprimento, mas não tem largura. É unidimensional e possui infinitos pontos. Ela é ilimitada nos dois sentidos e, por isso, os desenhos acima são apenas uma ideia. As retas são indicadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. Figura 8: Plano (Plano beta) Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>! FIQUE ATENTO Já o plano é bidimensional: possui comprimento e largura. Ele é ilimitado em todas as direções, sem fronteiras e é constituído de pontos e retas. Um plano é sempre indicado por letras minúsculas do alfabeto grego. Dessas definições axiomáticas, postulares e primitivas até então discutidas aqui, decorrem as seguintes proposições: toda reta possui pelo menos dois pontos (Figura 9); não existe uma reta contendo todos os pontos (Figura 10); e existem pelo menos três pontos no plano (Figura 11) (MACHADO; FERRAZ, 2019). Observe: Figura 9: Pontos na reta Retas (ou AD e reta t (ou AC S D A t B C Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) ! FIQUE ATENTO A condição mínima de existência de uma reta é possuir dois pontos distintos. Figura 10: Pontos fora da reta Plano (delta) A B E r C D 8 G F Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) ! FIQUE ATENTO Observe que no plano delta há infinitos pontos e retas. Fora da reta r, por exemplo, há infinitos pontos também Figura 11: Existência do plano Plano y (gama) FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>P Q R Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) ! FIQUE ATENTO A condição de existência de um plano é possuir, pelo menos, três pontos com, pelo menos, um não colinear. GLOSSÁRIO Sabe o que significa colinear? Segundo o Dicionário Aurélio (2010, p. 164), "Mat. Diz-se: de uma configuração pertencente à mesma reta que outra; dos pontos que estão sobre a mesma reta". Com efeito, método lógico-dedutivo que Euclides utilizou, aliado a essas definições, fez com que todo pensamento matemático posterior fosse influenciado por esse jogo de premissas, conexões e demonstrações. Esses conceitos fundamentais perduram até os dias de hoje em virtude da robustez com que foram concebidos e modelados e suas aplicações no universo. A partir da próxima unidade nos aprofundaremos no estudo de tópicos básicos e especiais da Geometria Euclidiana Plana que foram difundidos, inicialmente, por Euclides e seus discípulos, mas foram aprimorados e organizados de tal maneira que matemáticos e não matemáticos pudessem se apropriar de tais conhecimentos, seja na Educação Básica, seja em áreas como Arquitetura, Design, Engenharia, Biologia, Química, dentre outras tantas que se utilizam desses conhecimentos. Mas, antes, vamos testar os seus conhecimentos e revisar aspectos importantes na seção "Fixando FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO 1. No preâmbulo da Unidade 1 apresentamos seguinte verso do poeta brasileiro Mário Quintana: "Linha curva: caminho mais agradável entre dois pontos". De forma afetuosa, poeta quis, possivelmente, se inspirar em um dos princípios mais básicos da Geometria para propor uma espécie de paródia Em qual princípio geométrico Mário Quintana se inspirou para sugerir que há mais de um caminho entre dois pontos, dentre os quais uma linha curva seria mais agradável, porém, não único? a) Ao processo de divisão da circunferência em partes iguais de acordo com movimento do Sol e da Terra, na região mesopotâmica. b) Ao procedimento de e dividir terrenos em que os egípcios já utilizam noções de Geometria de forma prática, inclusive, para capitalizarem suas terras. c) Ao axioma proposto por Euclides em que se pode traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos. d) Ao postulado euclidiano que propõe que um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta. e) À ideia primitiva de que as extremidades da superfície são linhas. 2. Os egípcios e os mesopotâmicos já detinham muito conhecimento sobre vários aspectos da Geometria, antes mesmo da palavra ser criada, mas foram os gregos que deram um passo à frente na sistematização desses conhecimentos, acrescentando outros conceitos, definições e métodos expressivamente rigorosos de demonstração e validação. Nesse sentido, analise as seguintes afirmações: I. A Geometria experimental dos povos mediterrâneos (povos ligados à região do mar apesar de diversificada, carecia de organização, de registros e demonstrações sobre os fundamentos matemáticos subjacentes a cada ideia. II. Os gregos não conseguiram avançar muito na sistematização dos conhecimentos geométricos acumulados por egípcios e pois as técnicas agrícolas FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>e as que eram empregadas nas construções não eram apoiadas em nenhuma metodologia III. Euclides, a partir do método dedutivo axiomático, pôde criar, demonstrar, provar e sistematizar grande parte dos conhecimentos e das técnicas geométricas dos povos antigos, especialmente os Podemos concluir que as afirmações verdadeiras sobre esses aspectos da Geometria na Antiguidade estão em: b) e III. d) Apenas III. e) e III. 3. Em relação às geometrias que se desenvolveram nas regiões egípcia e mesopotâmica na Antiguidade, analise cada uma das seguintes afirmativas e sinalize-as com V para as que forem verdadeiras e F para as que forem falsas. ( ) Possuíam aspectos baseados, essencialmente, em métodos seguros e lógicos da Matemática que lhe conferiam um caráter puramente científico. ( ) Caracterizavam-se pelo USO de técnicas, artefatos e observação empírica que, fundamentalmente, embasavam boa parte dos conhecimentos. ( ) Havia um predomínio do pensamento metodológico indutivo, caracterizado pela quantidade, repetição, padronização de eventos, técnicas e pelo USO do senso comum em que casos particulares indicariam leis gerais. De acordo com a sinalização dos parênteses acima, a sequência que define preenchimento correto é: a) V-V-V. b) V-F-V. c) F-F-V. d) F-V-F. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>e) F-V-V. 4. Tendo em vista os conceitos de dedução e indução discutidos na Unidade 1, os exemplos estabelecidos, os contextos históricos em que foram empregados na Geometria e os seus conhecimentos sobre assunto, associe a primeira coluna com a segunda. Primeira Segunda coluna (1) Dedução ( ) Um quadrado tem 4 lados. Um quadrado tem 4 ângulos internos. (2) Figuras de 4 lados tem 4 ângulos internos. ( ) Um ângulo é formado pelo encontro de duas retas. Há chance de retas se encontrarem num mesmo plano. Duas retas quaisquer de um plano formam um ângulo entre si. ( ) Um quadrilátero possui 4 paralelogramo possui 4 lados. paralelogramo é um De cima para baixo, a sequência correta da segunda coluna preenchida é: a) b) c) 2 1. d) 2 2 - 1. e) 2 1. 5. As escolas gregas de Artes, Filosofia e Matemática, por volta do século VI a. C., demonstravam certa hegemonia e expansão na produção, sistematização e divulgação de conhecimentos matemáticos, em especial, os relacionados à Geometria. Euclides, sem dúvida, foi um expoente e se destacou com a obra Os Elementos. Composto por 13 volumes, Os Elementos reuniram boa parte do que se sabia de Geometria naquele tempo, deu um salto significativo em aspectos metodológicos e contribui, até os dias de hoje, para desenvolvimento de pesquisas e práticas de ensino e aprendizagem nesse vasto campo. Considere as seguintes afirmativas em relação às contribuições de Euclides e seus predecessores gregos em relação à Geometria: FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>I. Adotavam um caráter documental de registrar, sistematizar e divulgar os conhecimentos gregos e de outros povos. II. Concebiam e utilizavam método lógico-dedutivo em suas análises, demonstrações e provas. III. A proposição de axiomas e postulados como geradores de cadeias dedutivas era a essência e a base para a construção (ou descoberta) de propriedades e conceitos mais complexos a partir de noções mais simples. As afirmativas que condizem que as características da Geometria produzida ou sistematizada por Euclides, seus predecessores e são: a) I, e III. b) Apenas I. c) e II. d) Apenas III. e) e III. 6. A chamada Geometria Euclidiana (e também as suas ramificações Plana, Espacial e Analítica) considera e está baseada em proposições que devem ser aceitas, assim como "dogmas", sem, necessariamente, serem provadas, mas apenas enunciadas: são os axiomas e os postulados. São conceitos matemáticos que não necessitam de demonstração para serem verdadeiros, pois fazem parte de um consenso da comunidade que os utiliza. Em relação aos axiomas e postulados propostos por Euclides e seus discípulos, podemos afirmar que: a) Limitam-se ao espaço bidimensional e não podem ser considerados nos espaços uni e tridimensional. b) Foram obtidos a partir de experiências e observações. c) Trazem uma definição matemática sobre figuras e conceitos não euclidianos. d) Representam a realidade concreta e, por isso, podem ser representados no mundo material. e) Dão suporte ao método lógico-dedutivo para os conceitos, demonstrações e provas da Geometria Euclidiana. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>7. Ponto, reta e plano são noções primitivas sobre as quais Euclides lançou mão para, junto com os axiomas e postulados, propor definições, teoremas e demonstrações capazes de darem corpo ao que chamamos hoje de Geometria Euclidiana Plana. No âmbito dessas noções, algumas ideias decorrem de suas propriedades, apesar de não receberem definições exatas de suas existências e, quase sempre, não serem demonstradas ou provadas. Assim, em relação a essas noções primitivas, analise as seguintes afirmativas e registre V para as verdadeiras e F para as falsas: ponto é definido como sendo a menor unidade da Geometria, unidimensional e, portanto, a base de outras figuras como as retas e os planos. ( ) Apesar de não ser definida, a noção de reta é unidimensional, possui infinitos pontos e pode ser nomeada por uma letra minúscula do nosso alfabeto. ( ) Bidimensional, plano contém todos os pontos e retas do espaço. A sequência correta de V e F que preenche os parênteses acima é: a) b) c) d) 8. A partir das proposições axiomáticas, postulares e primitivas foi possível estabelecer (por Euclides e por outras pessoas depois dele) relações diretas da aplicação das noções de ponto, reta, plano e espaço na própria Geometria geral e em outras áreas da Matemática. Analise a Figura 12 a seguir: A C B a FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Sobre essa figura, podemos destacar como verdadeira a seguinte relação direta e aplicada: a) Partindo-se de dados particulares, suficientemente constatados, infere-se uma verdade geral ou universal. b) A condição de existência de um plano é possuir, pelo menos, três pontos com um ponto não colinear. c) Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio. d) Todos os ângulos retos são iguais. e) Todos os retos são diferentes. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>GEOMETRIA PLANA BÁSICA DA UNIDADE RETA E DO DESENHO GEOMÉTRICO 02 2.1 INTRODUÇÃO "Um dos meus anseios de chegan ao infinito é a esperança de que, ao menos lá, as paralelas se encontrem" Helder É importante salientar que, apesar de não definirmos formalmente os conceitos de ponto, reta e plano, nem provarmos ou demonstrarmos os axiomas e postulados, a Geometria Euclidiana Plana teve seu desenvolvimento e suas aplicações baseados nessas premissas que não foram propostas de forma despretensiosa, mas, a partir de um método que deu sentido e robustez às teorias subjacentes a essas noções. Assim, por meio de algumas áreas científicas como a própria Geometria, a Topologia, a Álgebra e até mesmo a Didática, um conjunto de conhecimentos foi sendo agrupado em tópicos com a finalidade de se avançar na pesquisa, no ensino e na aprendizagem dessas noções. GLOSSÁRIO Sabe que significa topologia? Segundo dicionário Aurélio (2010, p. 676): "Mat. ramo que estuda os espaços topológicos, sendo considerado como uma extensão da geometria; estudo das propriedades geométricas de um corpo que não sejam alteradas por uma deformação Q BUSQUE POR MAIS No livro "História da Matemática", de Boyer e Merzbach (2012), você pode conhecer e se aprofundar na construção e no desenvolvimento de várias áreas da Matemática e as suas aplicações no momento histórico em que surgiram até os dias atuais. Confira na Minha Biblioteca Única virtual a partir do seguinte link: Acesso em: 24 fev. 2021. Segundo Costa (2010, p. 03, grifo da autora), "uma das primeiras noções FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>matemáticas desenvolvidas pelo homem desde a pré-história foi a ideia de dimensão, advinda de formas, tamanhos, distâncias, necessidade de delimitação de terras, construções de moradias e objetos da natureza". De acordo com Eves (1992), inicialmente, essa ideia de dimensão estava ligada à chamada geometria subconsciente em que os problemas que envolviam a Geometria eram concretos e tinham pouca ou nenhuma ligação entre si e estavam vinculados aos potenciais humanos de reconhecer, comparar e estabelecer configurações, formas e tamanhos. Mas, a partir da capacidade de abstração de algumas características e propriedades, leis foram concebidas e a Geometria ganhou status de ciência (COSTA, 2010). Nesse sentido, no âmbito das noções uni e bidimensionais, abordaremos tópicos da Geometria Euclidiana Plana que são básicos e estruturais para as construções que são decorrentes dessas noções. Para tal, inicialmente, faremos algumas discussões sobre as retas e introduziremos alguns instrumentos e técnicas de desenho buscando aplicá-los em algumas construções elementares. 2.2 ESTUDO DAS RETAS Dos postulados que estudamos anteriormente, há dois que se classificam como postulados de determinação: dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles (Figura 9) e três pontos distintos e não colineares determinam um único plano que os contém (ou seja, uma reta e um ponto fora dela) (Figura 11). Desses postulados, de acordo com Santos e Viglioni (2011), decorre uma consequência importante: por um ponto passam infinitas retas (Figura 13). Figura 13: Infintas retas por um ponto Nesta figura, percebemos: 1. A representação de que infinitas retas C passam por A; M 2. Que os pontos A e B determinam a reta t; N 3. Que os pontos A, B e C, com C não S colinear a B, determinam um plano 0; Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 4. A, M, N e são pontos colineares em que a reta S passa por todos eles ao mesmo tempo, pois estão estritamente alinhados. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Ao pensarmos nas possibilidades de localizarmos duas ou mais retas num mesmo plano (Figura 14), existem três cenários para que elas sejam: Paralelas entre si: nesse caso, elas não se encontram no plano e, por isso, não há pontos comuns. Usa-se símbolo // para indicar que r // S (r é paralela à s). Concorrentes, ou seja, elas se encontram em apenas um ponto. Usa-se símbolo X para indicar que S X t (reta S é concorrente à reta t). Coincidentes. Isso significa que todos os pontos de uma são pontos da outra também. Usa-se símbolo III para indicar que m III t (retas m e t são coincidentes). Figura 14: Retas paralelas, concorrentes e coincidentes m A r B S Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Ainda sobre as retas concorrentes, como encontro de duas delas determinam quatro regiões no plano, elas podem ser classificadas (Figura 15) em perpendiculares (regiões de mesma abertura angular, cada uma medindo 90°) ou entre si (regiões de aberturas angulares diferentes de 90°). Baseando-se nisso, segundo Santos e Viglioni (2011, p. 41), decorre um teorema que explicita que "por qualquer ponto de uma reta passa uma única perpendicular a esta reta". Figura 15: Retas concorrentes perpendiculares e oblíquas r m S n Usa-se símbolo 1 para indicar que r S Usa-se símbolo L para indicar que m (Leia: a reta r é perpendicular à reta s) (Leia: a reta m é oblíqua à reta n) Fonte: autor. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>FIQUE ATENTO Nas seções seguintes, faremos algumas construções geométricas, incluindo algumas posições relativas entre retas, utilizando-nos, para tal, instrumentos simples como régua, esquadro e compasso. desenho e a construção geométrica são ferramentas importantes para professores, artistas, projetistas, engenheiros e outros profissionais que elaboram projetos que dependam de formas estruturais. É estrategicamente importante que, na Matemática, haja a definição de noções de partes e divisões de uma reta. Aliás, nunca conseguiremos desenhar uma reta de verdade por ela estar associada à ideia de um conjunto infinito de pontos sem origem fim, mas, parte dela sim. Existem muitas construções que são concebidas tomando-se a ideia das partes de uma reta. Assim, em Geometria, considerando-se um ponto A qualquer pertencente a uma reta r qualquer, denominam-se semirretas as duas partes da reta cuja origem está em A. Logo, uma semirreta terá uma origem, mas não terá um fim. Representamos uma semirreta por sua origem, um ponto pertencente a ela e uma seta acima das letras que representam esses pontos (Figura 16). Figura 16: Semirreta Para identificar qual semirreta está sendo BA C considerada, basta definir mais um ponto r em cada parte, distinto da origem A. Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Assim, tem-se a semirreta AB (AB) e a semirreta AC (AC), ambas com origem no ponto A e passando pelos pontos B e C, respectivamente. Aretar é a reta de suporte para essas duas semirretas Outra subdivisão muito importante da reta é segmento de reta. A partir de uma reta de suporte, ao marcarem-se dois pontos distintos, determina-se um conjunto infinito de pontos entre esses dois pontos iniciais (denominados de extremidades). A esse conjunto (pontos da extremidade e pontos internos entre essas extremidades) dá-se nome de segmento de reta. Identifica-se essa figura geométrica ao indicar as suas extremidades com um traço sobre elas (Figura 17). FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Figura 17: Segmentos de reta Sobre a reta suporte r, tem-se A segmentos de reta BD, DE, EF, BE, BF e DF. B D E F r Sobre a reta suporte S, tem-se os segmentos de reta AB, BC e AC. C S As retas r e S são coplanares (estão no Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) mesmo plano) e são concorrentes oblíquas entre si no ponto B. Ao considerarmos os exemplos de segmentos de reta determinados na Figura 17, podemos estabelecer as seguintes relações entre eles: Os segmentos AB e BC; AB e BD; BD e DE; DE e EF; BE e BF; BD e DF; BE e EF são segmentos consecutivos, pois possuem uma extremidade comum. No caso de BD e DE, D é extremidade comum; AB e BC, assim como BD e DE; DE e EF; BE e BF; BD e BE e EF são chamados de segmentos colineares, pois estão na mesma reta suporte S e r, respectivamente; É importante notar que dois segmentos consecutivos podem ser, ao mesmo tempo, colineares (como BD e DE) ou não (como AB e BD); Um segmento pode estar contido (c) em outro quando todos os pontos de um são pontos contidos no outro também. segmento DE, por exemplo, está contido em BE, BF e DF (DECBE, DECBF ou DECDF / C é "está contido") ou equivale dizer que (BE contém DE). Ao se tomar um segmento de reta como parte limitada contida numa reta suporte, é possível estabelecer noções referentes a um sistema de medidas que utilize como padrão a comparação com sistemas já conhecidos, como métrico. Nesse sentido, axiomas de medição de segmentos possibilitam deduzir algumas regras e propriedades que são importantes para as construções geométricas. Dois desses axiomas interessam-nos. O primeiro, de acordo com Santos e Viglioni (2011, p. 34-35), diz que "a todo segmento corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é zero se, e somente se, as extremidades coincidem", ou seja, declara-se, implicitamente, a escolha de uma unidade de medida e um número que corresponde ao comprimento ou distância entre os pontos que definem um segmento de reta. segundo axioma expressa que "os pontos de uma reta podem FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>ser sempre colocados em correspondência biunívoca com os números reais, de modo que módulo da diferença entre estes números meça a distância entre os pontos correspondentes" (VIGLIONI, 2011, p. 34-35). Dito de outra forma, existe uma correspondência fixada entre os números reais e os pontos de uma reta (que podemos chamar de coordenadas) que permite a seguinte dedução, segundo Santos e Viglioni (2011, p. 35): "se a e b são as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente, então o comprimento do segmento AB, denotado por AB, é igual a AB = a ou seja, o módulo (valor positivo) da diferença entre coordenadas de dois pontos (extremos). Observe os seguintes exemplos ilustrativos desses dois axiomas: VAMOS PENSAR Figura 18: Axiomas de medição de A coordenada dos pontos coincidentes A segmentos e A' é 5 e de B é 11. Os números estão A B localizados numa reta real. A' Segundo os axiomas de medição citados : 5 11 acima: Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) AB = 5 11 = I 6 = 6 unidades de medida, sendo que 6 corresponde a um número real. AA' = 5 = 101 = 0 unidade de medida, pois os pontos A e A' são coincidentes. Para finalizarmos essa seção, decorre ainda desses axiomas de medição de segmentos a definição de que "o ponto médio C de um segmento AB é um ponto deste segmento tal que AC CB" e teorema de que "um segmento tem exatamente um ponto médio" (SANTOS; VIGLIONI, 2011, p. 37). A demonstração dessas decorrências é bem simples, no entanto, desejamos chamar a atenção para fato de que a relação de congruência (representada pelo símbolo que quer dizer "congruente") é uma relação de equivalência, ou seja, ponto médio de um segmento de reta divide em duas partes de mesmo tamanho, dito de outra forma, em dois segmentos congruentes. ponto médio é sempre interno ao segmento. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>! FIQUE ATENTO Figura 19: Ponto médio de um segmento Então, se C é ponto médio de AB, a A C B distância de C em relação aos pontos A e 5 11 = 3 unidades. 2 2 2 Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Isso significa que a coordenada e que AC CB (segmento AC é congruente ao CB). Q BUSQUE POR MAIS Nesta seção, fizemos discussões sobre a reta no âmbito da Geometria Euclidiana Plana. No entanto, outras abordagens como distâncias entre retas, pontos e planos, equação da reta, condições de existência, dentre outras, podem ser encontrados no livro "Geometria analítica no plano: abordagem simplificada a tópicos de Bourchtein, Bourchtein e Nunes (2019) que trata sobre estudos relacionados à Geometria Euclidiana Analítica. Confira na Biblioteca Virtual Pearson no link: https://bit.ly/3eZTre5. Acesso em: 14 fev. 2021. 2.3 INSTRUMENTOS E TÉCNICAS DE DESENHO As tecnologias digitais presentes em vários momentos do cotidiano, inclusive na escrita deste livro, impelem-nos ao questionamento sobre ensino, a aprendizagem e a aplicabilidade do desenho geométrico nos dias de hoje, com seus instrumentos, técnicas e regras, muitas das quais axiomáticas. Sem dúvida, arrastar dedo numa tela para desenhar um quadrado parece algo, razoavelmente, fácil. No entanto, esse movimento em si é originário de uma construção anterior, física e material, que levou em conta vários conceitos e leis matemáticas, sem os quais não existiriam quase todas as engenharias, por exemplo. Como discutiremos ensino-aprendizagem de Geometria na última unidade, não delongaremos muito em dizer que vários problemas do mundo dependem do raciocínio geométrico e de suas construções para serem resolvidos OU, ao menos, aprimorados. Por trás de cada estratégia, de cada tecnologia, de cada desenho, existe um humano que é responsável por mobilizar conhecimentos relacionados às FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>construções geométricas para propor soluções em diversas áreas. Portanto, nesta seção, alguns instrumentos e técnicas de desenho geométrico serão apresentados para que, a partir deles, possamos propor algumas construções e discussões. Assim, o desenho geométrico caracteriza-se por um conjunto de aspectos e processos nos quais várias construções geométricas são concebidas para representar, resolver problemas ou desenvolver novos e aplicados problemas. As técnicas estão ligadas, exatamente, aos objetivos propostos e problemas que precisam ser resolvidos. Por exemplo: se quero desenhar um sorvete, poderia optar pela sobreposição ou encaixe de um e um encaixe de um trapézio e algumas elipses pode se tornar, por exemplo, um vaso de cactos, como na Fig. 20. Figura 20: Sorvete, folha e vaso com cactos a partir da sobreposição de desenhos geométricos Fonte: Disponível em Acesso em: 24 de abr. de 2021. Dentre várias técnicas, a da Figura 20 seria a artística. Outra técnica é a utilizada para elaborar muitos dos desenhos que estão presentes neste livro: a computacional ou algoritmizada. Por fim, expressamos que utilizaremos a técnica axiomática ou lógico-dedutiva da Geometria para propor algumas construções baseadas nos postulados ou axiomas, especialmente propostos em Os elementos. Os instrumentos mais usados para desenho geométrico são (Figura 21): Régua: geralmente, graduada em milímetros (modelo mais comum de régua escolar), é usada para apoiar o deslizar de outros instrumentos, medir ou traçar linhas retas; Transferidor: geralmente, graduado em graus, é utilizado na construção, medição e transporte de ângulos. Costuma ser de volta inteira (360°) ou de meia volta Par de esquadros: são duas peças em formato de retângulos, sendo FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>um isósceles (um ângulo de 90° e dois de 45°) e outro escaleno (um ângulo de 90°, um de 30° e o outro de Os esquadros são usados, principalmente, no traçado de retas perpendiculares e paralelas ou no desenho de alguns ângulos com a combinação ou não das duas peças; Compasso: instrumento articulado que liga duas hastes, cada uma com uma ponta, serve para traçar pontos equidistantes de um ponto central (circunferência), arcos de circunferência e transportar ângulos e outras medidas. O modelo atual do compasso que utilizamos na escola, por exemplo, foi criado por Leonardo Da Vinci (1452-1519). Figura 21: Régua, transferidores de 180° e 360°, par de esquadros e compasso 80 90 100 80 centro 2 45° 3 Isósceles 4 linha de fé 90 60 10 80 100 80 100 70 110 120 130 limbo % Escaleno 20 8 10 170 - 90° 80 350 Esquadros 092 DOE ponta de grafite ponta seca Régua Transferidores de 180° e 360° Compasso Fonte: Adaptado de https://bit.ly/3i55KYF Acesso em: 24 de abr. de 2021. Além desses instrumentos, outros artefatos são usados para os desenhos geométricos e podem variar de acordo com os objetivos como o lápis, canetas, borrachas, papéis, gabaritos (espécie de molde), pranchetas e outros suportes. 2.4 CONSTRUÇÕES ELEMENTARES Mão na massa! Com apoio de alguns instrumentos estudados na seção FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>anterior, esboçaremos algumas construções elementares utilizando, para tal, a técnica axiomática que permitirá que os desenhos adequadamente, de acordo com que preconizam as leis da Geometria Euclidiana Plana. Assumimos as propriedades dos instrumentos que utilizaremos como os ângulos dos esquadros, a linearidade da régua ou a circularidade da volta do compasso, por exemplo. Construção de retas paralelas e uma paralela que passa por um ponto: Quadro 1: Desenho de retas paralelas Passos: 1. Com uma régua e um esquadro ou com par de esquadros, é possível construir retas paralelas entre si. Construção 2. Para isso, basta posicioná-los de como a figura ao lado e deslizá-los, paralelas sendo que escaleno (esquerda) é fixo e isósceles (direita) é móvel, conforme indicação das setas. 3. esquadro escaleno fixo pode ser substituído por uma régua. Passos: 1. Dados a reta t e ponto P, deseja-se traçar uma paralela a t que passe por P. Posicione um esquadro isósceles sobre t e uma régua de apoio, como na figura. 2. Com a régua fixa e esquadro móvel, movimente-o sobre a régua até alcançar ponto P, conforme indica a seta. 3. Solte a régua e trace a reta paralela que passe por P. Construção de paralela que passe P pelo ponto P P t t Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>FIQUE ATENTO Todas as construções geométricas elementares que aqui fizemos podem ser provadas em relação às suas propriedades e conceitos por meio das noções intuitivas, dos axiomas e postulados. Sem dúvida, este é um exercício muito interessante! Construção de retas perpendiculares e perpendicular que passa por ponto: Quadro 2: Desenho de retas perpendiculares Passos: 1. Com uma régua e um esquadro ou com o par de esquadros, é possível construir retas perpendiculares entre si. 2. Para isso, basta posicioná-los como a figura abaixo, sendo que esquadro escaleno (esquerda) é fixo e isósceles (direita) é móvel, conforme indicação das setas. 3. esquadro isósceles deve ser posicionado sobre a reta na qual se deseja traçar a perpendicular figura). 4. escaleno deve ser posicionado na lateral do isósceles, pois aquele servirá como suporte ao movimento deste. 5. Deve-se, então, movimentar o ângulo reto do isósceles (marca x) sobre apoio do escaleno, fazendo-se um giro de 180° e deixando a marca X na parte mais superior do apoio do escaleno. 6. A partir disso, o isósceles já ficará posicionado perpendicularmente sobre a reta inicial, permitindo, portanto, traçado de retas Construção de perpendiculares com a reta inicial ao se deslizar esquadro isósceles perpendiculares sobre escaleno, conforme indicam as setas da 2° figura. 7. esquadro escaleno fixo pode ser substituído por uma régua. X Passos: Construção de 1. Dada a reta S e o ponto B, deseja-se traçar uma perpendicular a S que passe por B. perpendicular que passe pelo ponto B 2. Repetem-se os passos anteriores de 2 a 6. Aqui, substituímos o esquadro escaleno por uma régua de apoio que permaneceró fixa. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>3. Após a repetição dos passos de 2 a 6, desliza-se o esquadro isósceles B sobre a régua fixa, conforme indicação das setas, para posicionar esquadro retilineamente ao ponto B visando que a reta perpendicular a S S, que passe por B, seja desenhada. Fonte: Elaborado pelo Autor (2021). Determinação do ponto médio de um segmento de reta: Quadro 3: Ponto médio de um segmento de reta por meio de construções geométricas Passos: 1. Utilizando um compasso, com a ponta seca em A e abertura maior que a metade do segmento dado, traça-se uma ponta de circunferência (ou apenas um arco entre ponta grafite Ponto os pontos A e B). seca médio M 2. Com a ponta seca em B, repetimos de um primeiro passo de forma a fazer a A B segmento interseção das circunferências (ou arcos) M AB em dois pontos. 3. Com uma régua, tracejamos ou traçamos uma linha que una os pontos de interseção. cruzamento dessa linha com segmento determinará o ponto médio M de AB. Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Divisão de um segmento de reta em partes congruentes: Quadro 4: Divisão em segmentos congruentes Passos: 1. A demanda inicial é dividir segmento AB em quatro partes (segmentos) congruentes entre si. 2. Usando-se os passos para Divisão de determinação de ponto médio, um obtém-se M, ponto médio de AB. segmento 3. Considerando-se os novos A em segmentos AM e MB, obtêm-se os segmentos pontos médios M' e congruentes respectivamente, da mesma entre si forma que passo 2. 4. Logo, divide-se AB em quatro segmentos congruentes: AM' M'M MM" M"B, como desejávamos. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Q BUSQUE POR MAIS Deseja conhecer outras construções geométricas elementares? Leia livro "Desenho de Jardim e Giora 2018 (2018). Confira na Minha Biblioteca Única virtual a partir do seguinte link: Acesso em: 24 fev. 2021. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO 1. - adaptada) segmento de reta da figura representa um trecho de uma estrada. Os pontos destacados dividem segmento de reta em intervalos congruentes. Esses pontos são os marcos quilométricos onde serão colocadas algumas placas. O ponto P representa marco 5 e ponto marco 89. P Q X Nessa representação, marco correspondente ao ponto X é: a) 139,4. b) 131,0. c) 127,5. d) 125,0. e) 123,9. 2. (UNESC/2017/Desenhista adaptada) As linhas são classificadas também quanto à DEFINIÇÃO. Conforme esta classificação, a linha reta não possui início e fim conhecidos, podendo ser percorrida nos dois sentidos pelo ponto P gerador; percorrendo à esquerda, sentido negativo e à direita sentido positivo. Assinale V para verdadeiro e F para falso nas alternativas abaixo, conforme as demais classificações da linha e as suas definições. Após, marque a sequência correta de F: ( ) A linha é semirreta quando estiver definida apenas por uma extremidade, à esquerda à direita da mesma, e a outra indo ao infinito. ( ) A linha é segmento de reta quando a reta estiver definida nas duas extremidades. ( ) Segmentos adjacentes são segmentos que têm a mesma medida. Chama-se reta suporte aquela que contém segmento ou os segmentos de reta. a) V, V, F, V. b) V, F, F, V. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>c) F, V, F, V. d) V, V, V, F. e) F, V, V, F. 3. Na Geometria, os pontos e as retas assumem posições relativas entre si que podem ter como consequência algumas propriedades e cenários pertinentes ao plano. Assim, relacione a seguinte sequência com os seus enunciados correspondentes para, então, eleger a sequência correta de correspondência. (1) Pontos colineares // (3) Retas concorrentes (2) Retas paralelas // (4) Retas coincidentes ( ) Todos os pontos de uma são pontos da outra também. ( ) Não se interceptam no plano e, por isso, não há pontos em comum. ( ) Uma reta passa, estritamente, por todos eles de forma alinhada. ( ) Encontram-se em apenas um ponto. A sequência correta da correspondência é: 4. Analise a seguinte figura. Nela, representamos alguns segmentos de reta. S F Considerando-se esses segmentos de reta representados e as relações existentes entre eles, pode-se afirmar que: a) AB e BE são segmentos consecutivos. b) AB e BF são segmentos colineares. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>c) BE e BC são segmentos consecutivos e colineares. d) BC C AB, pois são segmentos consecutivos. e) BE BF, pois são segmentos consecutivos. 5. Considere os axiomas de medição de segmentos. Tendo em vista que a todo segmento de reta corresponde um número maior ou igual a zero (ou seja, um número que corresponde ao comprimento ou à distância entre os pontos que definem um segmento de reta) e que os extremos que definem um segmento possuem correspondência biunívoca com os números reais, podemos afirmar que: a) Se dois pontos pertencentes a um segmento coincidem, eles têm coordenadas distintas. b) Se extremos de um segmento são distintos, módulo entre eles sempre será negativo, especialmente se considerarmos a diferença da coordenada menor pela maior. c) Conhecendo-se os dois extremos de um segmento, obtém-se comprimento por meio do módulo da diferença entre as coordenadas desses pontos. d) Com quaisquer pontos de um segmento de reta é possível obter a distância entre os extremos desse segmento considerado originalmente. e) Se dois pontos pertencentes a um segmento coincidem, eles têm coordenadas desconhecidas ou indeterminadas. 6. Decorre dos axiomas de medição de segmentos a definição de que "o ponto médio C de um segmento AB é um ponto deste segmento tal que AC CB" e teorema de que "um segmento tem exatamente um ponto médio". Logo, é possível determinar, de forma única, a coordenada ou número real que corresponde ao ponto médio de um determinado segmento de reta. Considere a seguinte figura: A C B 14 X 38 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Sabendo que A e B são os pontos extremos desse segmento, a coordenada X do ponto médio C (ou número real associado) de AB é: a) 12. b) 16. c) 24. d) 26. e) 31. 7. Não há dúvidas que os instrumentos e as técnicas utilizados nas construções geométricas são essenciais para que os axiomas e postulados da Geometria Euclidiana Plana sejam preservados e os objetos desenhados sejam, de fato, representativos das ideias abstratas e lógico-dedutivas subjacentes. Considere as seguintes afirmativas e julgue-as como verdadeiras (V) ou falsas (F): Com os ângulos disponíveis no par de esquadros é possível substituir um transferidor na medição de qualquer ângulo. ( ) Por usarem medidas internacionalmente aceitas, os instrumentos de desenho geométrico são adequados para construções mais simples em que a técnica axiomática precisa ser utilizada. ( ) Apenas uma régua graduada é suficiente para construir retas perpendiculares. Um compasso não é um instrumento adequado para fornecer a leitura direta de medidas, apesar de ser um instrumento utilizado para A sequência correta que preenche as lacunas é: d) 8. (CESGRANRIO/2016/Petrobras - adaptada) Considere a construção geométrica FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>descrita a seguir. Com alguma inclinação sobre segmento de reta AB dado, traça-se uma semirreta auxiliar S, com origem num dos extremos A ou B. Sobre esse segmento auxiliar, e a partir da origem escolhida, marcam-se comprimentos iguais, com uma abertura qualquer de compasso, de acordo com número (n) de divisões desejadas, achando-se os pontos 1, 2, n. Une-se último ponto marcado com outro extremo do segmento de reta AB e traçam-se paralelas a essa linha que passam pelos pontos marcados na semirreta auxiliar S. Após realizar esse procedimento descrito, obtém-se a construção geométrica denominada de: a) Paralela à reta AB. b) Perpendicular à reta AB. c) Divisão do segmento AB. d) de lado igual a AB. e) Triângulo com lado igual a AB. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA UNIDADE BÁSICA ESTRUTURAL E ALGUMAS CONSTRUÇÕES ESPECIAIS 03 3.1 INTRODUÇÃO "A lei de ouro do comportamento é a tolerância mútua, já que nunca pensaremos todos da mesma maneira, já que nunca veremos senão uma parte da verdade e sob ângulos diversos". Mahatma Gandhi Nesta unidade, em alguns tópicos estruturantes da Geometria Euclidiana Plana para, então, propormos a análise e algumas construções geométricas mais avançadas do ponto de vista do processo axiomático. Nesse sentido, propusemos estudo de alguns conceitos e propriedades sobre regiões angulares, polígonos, circunferências e círculos. Ao final, o propósito é utilizar alguns dos instrumentos de desenho para, por meio da técnica lógico-dedutiva, consolidar e ampliar esses tópicos com algumas construções especiais. 3.2 ESTUDO DE ÂNGULOS E REGIÕES ANGULARES Em Os Elementos, Euclides axiomatizou a ideia de ângulo sem, no entanto, defini-lo em termos de medidas. Costa (2010, p. 19) diz que a palavra "ângulo" foi encontrada, pela primeira vez, em materiais gregos que envolviam elementos de círculo em estudos sobre arcos e cordas, mas que "não podemos estimar quando homem começou a medir porém sabe-se que eles eram medidos na Mesopotâmia e muito bem conhecidos quando Stonehenge monumento pré- histórico - foi construída" há mais de 3.000 anos a.C na atual Inglaterra. Ângulo é uma região formada por duas semirretas coplanares que compartilham a mesma origem e limitam regiões do plano. Observe a Figura 22. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Figura 22: Ângulo e alguns elementos Pode-se indicar esse ângulo das seguintes A formas: AÔB (lê-se ângulo AOB) ou (lê-se ângulo BOA). o A medida desse ângulo pode ter três B representações: Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) med (AÔB) = ou = um número real. (usamos letras minúsculas gregas ou do nosso alfabeto) São elementos do ângulo AÔB: Vértice: (origem) Lados: semirretas OA e OB. Em relação ao ângulo AÔB, duas regiões são delimitadas: região convexa (lilás) em que dois pontos quaisquer determinam um segmento de reta que estará contido nessa região e região não convexa (amarela) em que haverá dois pontos que determinarão segmentos que não estarão totalmente nesta região. Assim, diz-se que AÔB é uma região convexa (ou ângulo convexo). Isso é regra geral. grau uma criação dos babilônios antes da era é a unidade de medida que utilizaremos neste material para indicar a abertura (ou medida) dos ângulos. transferidor é um dos instrumentos de medida de ângulos mais utilizados em virtude da leitura fácil e direta. Na unidade 2, apresentamos esse importante instrumento como suporte para algumas construções e medições geométricas. ! FIQUE ATENTO Uma unidade de grau é determinado pela divisão do giro (uma volta completa) em 360 partes iguais! Ao se avançar para os chamados axiomas de medição de ângulos, é importante esclarecer algumas nomenclaturas e classificações que são dadas aos ângulos em relação à medida de diferentes aberturas e à localização de seus pontos. Santos e Viglioni (2011) afirmam que, para se avançar no conceito de medida de ângulo, os seguintes axiomas são fundamentais nesse processo de sistematização e definição. primeiro deles, segundo esses autores, estabelece que "a todo ângulo corresponde um único número real maior ou igual ao zero. Este número é zero se, e FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>somente se, os lados do ângulo coincidem" (p. 39). Disso decorre que um semiplano (metade de um plano) é dividido por uma semirreta se essa semirreta pertence a esse semiplano e se sua origem (um ponto de interseção) pertence à reta que determinou semiplano. Um segundo axioma propõe que "existe uma bijeção entre as semirretas de mesma origem que dividem um dado semiplano e os números entre zero e 180, de modo que a diferença entre os números é a medida do ângulo formado pelas semirretas correspondentes" (SANTOS; VIGLIONI, 2011, p. 40). Pareceu um pouco confuso? Observe a Figura 23, pois nela esclareceremos, de forma prática e ilustrativa, esses axiomas: Figura 23: Axiomas de medição de ângulo Sobre primeiro axioma de medição de ângulo, temos que: 120° 1. A medida dos ângulos condiz a um D número real, em 2. med (AÔB) = pois os lados desse ângulo coincidem. B A 0° Em relação ao segundo axioma, O percebemos que: Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 3. A reta suporte de EA define dois semiplanos no plano; 4. As semirretas OA, OD, e têm mesma origem; 5. A relação bijetora entre as semirretas e os ângulos que elas determinam os ângulos = 35 = 35°, CÔD = 85° e DÔE = 180 120 = 60°, ou seja, a diferença entre os números vinculados a cada semirreta. Em decorrência desses axiomas, têm-se as seguintes definições (quadro 5): Quadro 5: Definições, nomenclaturas e classificações de ângulos Ângulo de meia volta ou Ângulo nulo Ângulo de uma volta raso med (AÔB) med (AÔB) = 360° med 180° A B A B A B Ângulo reto Ângulo agudo Ângulo obtuso med (AÔB) = 90° 0° < med (AÔB) < 90° 90° < med (AÔB) < 180° FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>A A B B B Ângulos consecutivos Ângulos adjacentes Bissetriz de um ângulo Partilham um lado Com origem no vértice de (semirretas coincidentes) e São ângulos consecutivos um ângulo, é a semirreta podem possuir pontos que não têm pontos internos que divide em dois internos comuns. comuns. ângulos adjacentes congruentes (ângulos de mesma medida). A A A C C B AÔB e AÔB e e são AÔB e são adjacentes C consecutivos. e possuem OB como lado OB é a bissetriz de pois Lados comuns: OB, OA, e OC, comum. AÔB (são respectivamente. adjacentes) Ângulos complementares Ângulos suplementares São dois ângulos cuja soma de suas São dois ângulos cuja soma de suas medidas é 90°. Um será complemento do medidas é 180°. Um será o suplemento do outro. Fonte: Adaptado de Barreto Filho e Silva (2000); Costa (2010) e Giovanni, Giovanni e Castrucci (2015). Observe que se uma semirreta, com origem no vértice, divide um ângulo em dois outros ângulos, então a soma da medida dos novos ângulos é igual ao ângulo original (SANTOS; VIGLIONI, 2011). Esse terceiro axioma de medição de ângulo é importante, pois permite algumas deduções relevantes quando relacionamos pares ou conjuntos de ângulos. Partindo-se da Figura 24, analisaremos novas conclusões. Figura 24: Terceiro axioma de medição de Tendo em vista terceiro axioma de ângulo medição de ângulo: 1. = AÔB + = a + b = 180° (são B suplementares); A a II. = AÔB+ = a + d = 180° b (suplementares); d S (cancela-se C "a"). D C De forma semelhante, encontra-se que a = Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) Assim, as medidas "b" e "d", "a" e "C" são congruentes (têm a mesma abertura). FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Sob a ótica do vértice O, na Figura 24, as e S determinam ângulos opostos pelo vértice (usa-se a abreviação "o.p.v.") que são sempre congruentes. Segundo Santos e Viglioni (2011, p. 86), axioma das paralelas é enunciado da seguinte forma: "por um ponto fora de uma reta dada, pode-se uma única reta paralela a esta reta". Considerando esse axioma, que equivale ao quinto postulado do primeiro livro de Os Elementos, e a conclusão dos ângulos o.p.v., ao considerarmos duas retas distintas r e S (com r // s) cortadas por outra reta t que dividirá plano em dois semiplanos (por isso, a chamaremos de reta transversal t), obtêm-se "pares de ângulos importantes nos estudos da Geometria" (BARRETO FILHO; SILVA, 2000, p. 413). Esses ângulos formados pela reta transversal t são denominados de forma específica de acordo com a posição que ocupam e detêm algumas propriedades que são evidenciadas, mas não demonstradas, na Figura 25. Intuitivamente, é simples compreendê-las ao considerarmos que foi discutido aqui. - Têm-se ângulos internos (região verde) e externos (região laranja); Colateral significa "mesmo lado mesmo Figura 25: Ângulos formados por paralelas e semiplano" e alterno "lado diferente uma transversal semiplano diferente"; Se r // S, ambas estão cortadas pela reta transversal t e se todas são coplanares, então os ângulos: h são correspondentes e congruentes; são alternos internos e S congruentes; h são alternos externos e congruentes; Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) são colaterais internos e suplementares são colaterais externos e suplementares Assim, encerramos os estudos propostos sobre ângulos e regiões angulares para discutirmos figuras geométricas fechadas cuja existência depende da relação entre ângulos e segmentos de reta de um mesmo plano. Boa leitura! 3.3 os POLÍGONOS E ALGUMAS PARTICULARIDADES nosso objetivo nesta seção é de explorar os polígonos sob uma perspectiva FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p>