ADM_2024_part1 (1)

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<p>2024</p><p>JAILSON D. DE OLIVEIRA</p><p>Universidade Estadual do Centro Oeste</p><p>UNICENTRO</p><p>Apostila	de	Matemática	Financeira</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	1</p><p>Sumário</p><p>Revisão ................................................................................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>INTRODUÇÃO. ..................................................................................................................................... 7</p><p>Figura 1 ............................................................................................................................................... 7</p><p>REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO. .............................................................................................. 8</p><p>Crescimento de R$ 100,00 a juros simples de 10% ao ano ............................................................. 9</p><p>Crescimento de R$ 100,00 a juros compostos de 10% ao ano ............................................... 9</p><p>CAPÍTULO I ........................................................................................................................................ 10</p><p>JUROS SIMPLES ...................................................................................................................... 10</p><p>Taxas Proporcionais .................................................................................................................. 11</p><p>Exercícios: ............................................................................................................................. 12</p><p>Cálculo do Montante .................................................................................................................. 12</p><p>Exercícios: ............................................................................................................................. 13</p><p>Desconto Simples ...................................................................................................................... 15</p><p>Desconto comercial, bancário ou “por fora” .......................................................................... 16</p><p>Desconto racional ou “por dentro” ........................................................................................... 17</p><p>Exercícios: ............................................................................................................................. 18</p><p>Exercícios Complementares do Capitulo I .................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>CAPÍTULO II ....................................................................................................................................... 20</p><p>JUROS COMPOSTOS ..................................................................................................................... 20</p><p>A Calculadora HP-12C .................................................................................................................. 22</p><p>Exercícios: ................................................................................................................................. 24</p><p>Cálculo de montantes com prazo fracionado ................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>Exercícios: ................................................................................................................................. 25</p><p>CAPÍTULO III ..................................................................................................................................... 26</p><p>TAXAS DE JUROS .......................................................................................................................... 26</p><p>Taxa Nominal ............................................................................................................................... 26</p><p>Taxa Equivalente .......................................................................................................................... 27</p><p>Exercícios: ................................................................................................................................. 28</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	2</p><p>Taxa Efetiva .................................................................................................................................. 29</p><p>Exercícios: ..................................................................................................................................... 29</p><p>Taxa Real e Taxa Aparente .......................................................................................................... 30</p><p>Exercícios: ................................................................................................................................. 30</p><p>EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CAPITULO III ........................................................................ 33</p><p>Capitulo IV ........................................................................................................................................ 34</p><p>Desconto Composto ..................................................................................................................... 34</p><p>Cálculo do desconto composto racional ...................................................................................... 34</p><p>Exercícios: ................................................................................................................................. 35</p><p>CAPÍTULO V ............................................................................................ Erro! Indicador não definido.</p><p>Equivalência de Capitais a Juros Compostos .................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>Exercícios: ...................................................................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>Capitulo VI ............................................................................................. Erro! Indicador não definido.</p><p>RENDAS ............................................................................................. Erro! Indicador não definido.</p><p>Classificação das rendas .................................................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>Valor presente de uma renda Antecipada (PV) ................................ Erro! Indicador não definido.</p><p>Valor futuro de uma renda Antecipada (FV) .................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>Valor presente de uma renda Postecipada (PV) .............................. Erro! Indicador não definido.</p><p>Valor futuro de uma renda Postecipada .......................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>Cálculo do valor presente de uma renda Diferida ........................... Erro! Indicador não definido.</p><p>Exercícios: ...................................................................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>TABELAS FINANCEIRAS ...................................................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>CAPÍTULO VII ......................................................................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>PLANOS DE AMORTIZAÇÃO .............................................................. Erro! Indicador não definido.</p><p>Sistema de Amortização Americano ................................................. Erro! Indicador não definido.</p><p>Sistema de Amortização Constante (SAC) ........................................ Erro! Indicador não definido.</p><p>1. Em 30/09, Karina, obteve de seu irmão Karamov um empréstimo de R$ 7580,00 a juros de</p><p>2%a.m. e pagamento em 18 meses. Pelo sistema SAC, qual o valor da primeira prestação? Qual</p><p>o saldo devedor ao fim do ano seguinte? .......................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>2. Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago em 25 prestações mensais, pelo sistema SAC,</p><p>tendo sido contratada a taxa de juros 5% a.m.. Qual é o saldo devedor, os juros e prestações,</p><p>referentes ao 16º e 20º pagamento? ................................................</p><p>Erro! Indicador não definido.</p><p>Sistema de Amortização Francês (PRICE) ......................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	3</p><p>Sistema de Amortização Crescente (SACRE) .................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>Exercícios: ...................................................................................... Erro! Indicador não definido.</p><p>Exercícios Complementares do Capitulo VII ................................. Erro! Indicador não definido.</p><p>7. O Caso de Silvio Antonio Costa ............................................ Erro! Indicador não definido.</p><p>BIBLIOGRAFIA ........................................................................................ Erro! Indicador não definido.</p><p>Departamento de Matemática – DEMAT/I ............................................ Erro! Indicador não definido.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	4</p><p>REVISA' O</p><p>Exemplos:</p><p>1. 10% = !"</p><p>!""</p><p>= 0,1</p><p>35% = #$</p><p>!""</p><p>= 0,35</p><p>5,3% = $,#</p><p>!""</p><p>= 0,053</p><p>2. Escreva</p><p>!</p><p>"</p><p>na forma percentual.</p><p>3. Determine 52% de 25.</p><p>4. Sabendo que 45% de um número equivalem a 36, determine esse número.</p><p>5. Em uma determinada fruta cuja massa é 60 g, o teor de água é 45% e o resto</p><p>é polpa. Quantos gramas há de polpa de fruta?</p><p>6. Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 950,00 mais 4% sobre o total de</p><p>vendas no mês. Qual será seu salário se, em certo mês, o total de vendas</p><p>efetuadas for R$ 10 000,00? E se as vendas dobrarem?</p><p>Porcentagem ou percentagem: é uma razão centesimal frequentemente</p><p>utilizada para cálculos de transações comerciais, entre outros. O nome tem</p><p>origem do latim (per centum) e quer dizer por cento, ou seja, uma razão de base</p><p>100.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	5</p><p>7. No mês de janeiro, o índice de pontualidade dos voos de uma companhia</p><p>aérea foi de 95% e, no mês seguinte caiu para 90%. Sabendo que em janeiro</p><p>a companhia operou 1800 voos e em fevereiro 1350, determine o índice de</p><p>pontualidade dos voos nesse bimestre.</p><p>Exercícios:</p><p>1. Em uma determinada fruta cuja massa é 60 g, o teor de água é 45% e o resto</p><p>é polpa. Quantos gramas há de polpa de fruta?</p><p>2. Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 950,00 mais 4% sobre o total de</p><p>vendas no mês. Qual será seu salário se, em certo mês, o total de vendas</p><p>efetuadas for R$ 10 000,00? E se as vendas dobrarem?</p><p>3. No mês de janeiro, o índice de pontualidade dos voos de uma companhia</p><p>aérea foi de 95% e, no mês seguinte caiu para 90%. Sabendo que em janeiro</p><p>a companhia operou 1 800 voos e em fevereiro 1 350, determine o índice de</p><p>pontualidade dos voos nesse bimestre.</p><p>4. Em uma liquidação, os produtos de uma loja são anunciados com descontos</p><p>de 25% até 60%.</p><p>a) Um artigo que custa R$180,00 é anunciado com 28% de desconto.</p><p>Quanto ele passou a custar?</p><p>b) Um artigo que custa R$ 400,00 foi vendido por R$ 260,00. Qual foi o</p><p>desconto percentual oferecido?</p><p>5. A densidade demográfica de uma região (cidade, estado, país etc.) é definida</p><p>como a razão entre o número de habitantes e a área da região. Qual é a</p><p>região com menor densidade povoada entre as citadas no quadro?</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	6</p><p>6. Em um supermercado trabalham 120 pessoas, sendo 70% mulheres. Entre</p><p>as mulheres, 2/7 são solteiras e, entre os homens, 25% não são solteiros.</p><p>Determine:</p><p>a) o número de homens solteiros.</p><p>b) o percentual de funcionários que não são solteiros.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	7</p><p>INTRODUÇA' O.</p><p>A Matemática Financeira é ferramenta fundamental na resolução de</p><p>problemas de nosso cotidiano envolvendo recursos financeiros, visando estudar o</p><p>valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos pagamentos de empréstimos.</p><p>Sendo aplicada nos mercados de ações, bolsas de valores, operações bancarias e</p><p>em todas as movimentações envolvendo dinheiro.</p><p>Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$ 200,00 hoje não são iguais</p><p>a R$ 300,00 em qualquer outra data, pois o poder aquisitivo do dinheiro varia ao</p><p>longo dos períodos, devido à taxa de juros por período.</p><p>A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere</p><p>consumir seus bens no presente e não no futuro. Havendo uma preferencia</p><p>temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência. E</p><p>o valor pago por esse consumo imediato é o juro.</p><p>Geralmente os juros são expressos por uma taxa que incide sobre o valor</p><p>imobilizado (valor atual). A taxa de juros pode ser vista como a remuneração de</p><p>uma unidade do capital imobilizado ao longo de um período de tempo.</p><p>Visto que o valor do dinheiro no decorrer de determinado tempo e a existência</p><p>dos juros são elementos interligado e indispensável ao desenvolvimento do estudo</p><p>da Matemática Financeira, é conveniente a utilização do fluxo de caixa.</p><p>Esquematicamente, a representação do fluxo de caixa é feita como na figura</p><p>1.</p><p>0 1 2 ... n</p><p>Eixo horizontal: Tempo (períodos)</p><p>Figura 1</p><p>Dessa forma, a Matemática Financeira tem como objetivos principais:</p><p>a) a transformação e o manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas</p><p>de juros de cada período, para se levar em conta o valor do dinheiro no</p><p>tempo;</p><p>b) a obtenção da taxa interna de juros que está implícita no fluxo de caixa;</p><p>c) a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa.</p><p>(+) recebimento</p><p>R$ (+)</p><p>R$ (-)</p><p>(-) pagamento</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	8</p><p>Tempo (t): um dos conceitos mais importantes no estudo da matemática</p><p>financeira. O tempo é fundamental para verificar se dois ou mais capitais podem</p><p>ser comparados.</p><p>Capital (PV): é o qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada</p><p>época. (Valor Atual, Valor Presente, Valor Aplicado ou Present Value)</p><p>Juros (J): representa a remuneração do capital empregado em alguma atividade</p><p>produtiva.</p><p>Valor Futuro ou Montante (FV): valor capitalizado, ou seja, a soma do capital</p><p>com os juros.</p><p>REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO.</p><p>Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por</p><p>período, o montante (capital acrescido dos juros) poderá crescer de acordo com</p><p>duas convenções, chamadas regimes de capitalização. Tem-se o regime de</p><p>capitalização simples (ou juros simples) e o regime de capitalização composta</p><p>(ou juros compostos).</p><p>Tanto os juros simples como os juros compostos são fixados através de uma</p><p>taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, mês,</p><p>dia.</p><p>Por exemplo, um capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de 8% ao ano,</p><p>proporcionará, no final de um ano, um total de juros equivalentes a R$ 800,00, pois:</p><p>8% de R$ 10.000,00 = . 10.000 = R$ 800,00.</p><p>a) Regime de capitalização simples</p><p>O juro é simples quando é produzido unicamente pelo capital inicial.</p><p>Exemplo: Considere o caso de um indivíduo que, no início do ano depositou R$</p><p>100,00 em um banco X que lhe prometeu juros simples, à razão de 10% ao ano.</p><p>Qual será o seu saldo credor no final de cada um dos próximos quatro anos?</p><p>100</p><p>8</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	9</p><p>Crescimento de R$ 100,00 a juros simples de 10% ao ano</p><p>Tempo (ano) Saldo no início de cada</p><p>ano</p><p>Juro Saldo no final de cada</p><p>ano</p><p>1 R$ 100,00</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>b) Regime de capitalização composta</p><p>O juro é composto quando é calculado sempre em função do saldo existente</p><p>no início do período correspondente.</p><p>Exemplo: Imagine se o mesmo indivíduo do exemplo anterior tivesse colocado, no</p><p>início do ano, outros R$ 100,00 em um banco Y, que paga juros compostos,</p><p>à razão</p><p>de 10% ao ano. Como se comportaria o seu saldo credor ao longo dos quatro anos?</p><p>Crescimento de R$ 100,00 a juros compostos de 10% ao ano</p><p>Tempo (ano) Saldo no início de cada</p><p>ano</p><p>Juro Saldo no final de cada</p><p>ano</p><p>1 R$ 100,00</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>A juros simples, apenas o capital rende juros, ao passo que a juros</p><p>compostos os rendimentos são calculados sobre os montantes, havendo portanto</p><p>uma incidência de juros sobre juros.</p><p>Observando os dois</p><p>exemplos, os montantes disponíveis</p><p>para o indivíduo no final do quarto</p><p>ano, seriam:</p><p>• No banco Y, a juros</p><p>compostos R$146,41</p><p>• No banco X, a juros simples</p><p>R$ 140,00</p><p>Essa diferença de R$ 6,41</p><p>corresponde ao pagamento de juros</p><p>sobre juros, devido a juros</p><p>compostos.</p><p>Rendimento de R$ 100,00</p><p>-</p><p>20,00</p><p>40,00</p><p>60,00</p><p>80,00</p><p>100,00</p><p>120,00</p><p>140,00</p><p>160,00</p><p>1 2 3 4</p><p>tempo</p><p>m</p><p>on</p><p>ta</p><p>nt</p><p>e</p><p>juro simples</p><p>juro composto</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	10</p><p>CAPI2TULO	I</p><p>JUROS SIMPLES</p><p>Cálculo dos Juros Simples</p><p>No regime de juros simples, a taxa de juros incide apenas sobre o capital</p><p>inicial aplicado, sendo proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação, ou seja,</p><p>os juros de cada período são sempre calculados sobre o mesmo principal (PV).</p><p>𝑃𝑉 𝑗! 𝑗" 𝑗# 𝑗$</p><p>0 1 2 3 4 Messes</p><p>Se a taxa de juros ( ) for constante e incidir apenas sobre o capital aplicado</p><p>(PV), então o juro ( ) por período será também constante e igual a:</p><p>𝐽% = 𝑃𝑉. 𝑖. 𝑛</p><p>Nesse caso, observa-se um crescimento linear do capital:</p><p>Juro Simples</p><p>FV</p><p>t</p><p>Se a Matemática Financeira objetiva estudar o relacionamento entre valores</p><p>monetários posicionados em pontos distintos no tempo, então para um capital “ ”</p><p>aplicado a uma taxa de juros “ ” durante “ ” períodos de tempo, sob o regime de</p><p>juros simples pode ser calculado:</p><p>i</p><p>J</p><p>c</p><p>i n</p><p>nicJ . . =</p><p>100</p><p>200</p><p>300</p><p>montante</p><p>1 2 3 4</p><p>período</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	11</p><p>Nesse regime a taxa de juros pode ser convertida para outro prazo qualquer</p><p>com base em multiplicações e divisões, sem alterar seu valor intrínseco, ou seja,</p><p>mantém a proporcionalidade existente entre valores realizáveis em diferentes datas.</p><p>Portanto, no cálculo de juros, a taxa e o tempo devem estar na mesma unidade</p><p>de medida.</p><p>Ano comercial ou juros comercial: quando o prazo da operação é dado</p><p>considerando-se meses de 30 dias, logo o ano terá 360 dias.</p><p>Ano exato ou juros exato: quando o número de dias corresponde àqueles</p><p>do ano civil (365 dias ou 366 dias), são chamados juros exatos.</p><p>O mercado financeiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porém</p><p>é necessário colocá-la na forma fracionária para realizar os cálculos financeiros.</p><p>O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente</p><p>nas operações de curto prazo, em função da simplicidade de cálculo.</p><p>Exemplos:</p><p>1. Calcular o juro produzido por R$ 500,00, aplicado à taxa de 10% ao semestre</p><p>durante 3 semestres.</p><p>2. Calcular o juro produzido por R$ 40.000,00 à taxa de 72% ao ano, durante</p><p>45 dias.</p><p>Taxas Proporcionais</p><p>Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção</p><p>com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.</p><p>𝑖</p><p>𝑖& =</p><p>𝑛</p><p>𝑛′</p><p>Vamos, então, determinar uma fórmula que nos permita obter, rapidamente,</p><p>uma taxa proporcional a outra taxa dada.</p><p>Sendo 𝑖 a taxa de juros relativa a um período e 𝑖' a taxa proporcional que</p><p>queremos determinar, relativa a um à fração !</p><p>'</p><p>do período, temos:</p><p>𝑖'</p><p>𝑖 =</p><p>1</p><p>𝑘</p><p>1 								⟺ 				 𝑖' =</p><p>𝑖</p><p>𝑘</p><p>Obs: observe que 𝑖 é sempre a taxa relativa ao maior período.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	12</p><p>Exemplos:</p><p>1. Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.</p><p>2. Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.</p><p>3. Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre.</p><p>Exercícios:</p><p>1. Calcule a taxa mensal proporcional a:</p><p>a. 9% a.t. b. 24% a.s. c. 0,04% a.d</p><p>2. Calcule a taxa anual proporcional a:</p><p>a. 1,5% a.m b. 8% a.t. c. 21% a.s. d. 0,05 a.d.</p><p>3. Verificar se as taxas 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.</p><p>4. Sendo dada a taxa de 10% ao semestre, achar a taxa trimestral que lhe é</p><p>proporcional.</p><p>Cálculo do Montante</p><p>Quando um investidor aplica um capital por certo tempo à determinada taxa,</p><p>no final desse período de tempo ele tem à sua disposição não só o valor inicial</p><p>aplicado, mas também os juros que lhe são devidos. Esse total, soma de capital e</p><p>juros, é chamado montante.</p><p>𝑃𝑉 𝐹𝑉! 𝐹𝑉" 𝐹𝑉#</p><p>0 1 2 3 m</p><p>O valor de resgate FV, chamado de montante é calculado por:</p><p>𝐹𝑉% = 𝑃𝑉(1 + 𝑛. 𝑖)</p><p>Exemplos:</p><p>1. Qual é o montante resultante de uma aplicação de R$ 29.800,00 à taxa de</p><p>12% ao mês, durante 6 meses?</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	13</p><p>2. Para uma aplicação de R$ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% ao ano,</p><p>o montante recebido foi R$ 4.800,00. Determine o prazo da aplicação.</p><p>3. Qual é a taxa anual de juros simples ganho por uma aplicação de R$</p><p>1.500,00 que produz após um ano um montante de R$ 1.950,00?</p><p>Exercícios:</p><p>1. Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, a taxa de</p><p>1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber?</p><p>2. Calcule o juros a ser pago por um empréstimo de R$9.200,00 à taxa de 5%</p><p>ao trimestre, durante 3 trimestre.</p><p>3. Um capital de R$56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante</p><p>2,5 meses. Calcule o juro produzido.</p><p>4. Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$28.000,00</p><p>durante 15 meses, à de 3% ao mês?</p><p>5. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$14.800 daqui</p><p>a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juros simples?</p><p>6. Uma pessoa consegue um empréstimo de R$86.400,00 e promete pagar ao</p><p>credor, após 10 meses, a quantia de R$116.640,00. Determine a taxa de</p><p>juros anual cobrada.</p><p>7. Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$8.000,00, à taxa de juros</p><p>de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$8.320?</p><p>8. Uma concessionaria vende um automóvel por R$ 15.000,00 à vista. A prazo,</p><p>vende por R$16.540,00, sendo R$4.000,00 de entrada e o restante após 4</p><p>meses. Qual é a taxa de juros mensal cobrada?</p><p>9. Qual o juro de R$ 25.000,00 em 2 anos e 6 meses à taxa de 8% ao ano?</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	14</p><p>10. Calcular o juro de R$ 5.000,00 à taxa de 3,6% ao ano em 1 ano, 1 mês e 10</p><p>dias.</p><p>11. Calcular o juro produzido por R$ 9.000,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias, à</p><p>taxa de 1% ao mês.</p><p>12. A que taxa anual deve ser empregado o capital de R$ 16.000,00 para</p><p>produzir R$ 2.520,00 de juro em 2 anos e 3 meses?</p><p>13. Um certo capital ficou empregado por 1 ano e 3 meses a uma taxa de 12%</p><p>ao ano e rendeu um juro de R$ 650,00. Qual foi o capital empregado?</p><p>14. O capital de R$ 400,00 foi colocado a 20% ao ano e produziu um juro de R$</p><p>60,00. Por quanto tempo o capital ficou empregado?</p><p>15. Coloquei uma certa quantia em um banco a 20% ao ano e retirei, depois de</p><p>4 anos, R$ 9.280,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi</p><p>feita a juros simples?</p><p>16. Emprestei uma certa quantia a 30% ao ano e recebi R$ 3.230,00 depois de</p><p>2 anos e 4 meses. Quanto emprestei?</p><p>17. Certo capital acrescido de juros de 13,5% ao ano, em 2 anos e 5 meses,</p><p>importa em R$ 7.612,50. Determine o capital.</p><p>18. Determinar o capital e os juros cuja soma, no final de 5 meses, à taxa de</p><p>15,5% ao ano, atingiu R$ 17.676,00.</p><p>19. Qual é o capital que, acrescidos dos seus juros produzidos em 270 dias,</p><p>à</p><p>taxa de 14% ao ano, se eleva a R$ 45.071,50?</p><p>20. Uma pessoa aplicou R$ 110.000,00 do seguinte modo: R$ 68.000,00 a 5%</p><p>ao ano e R$ 42.000,00 a uma taxa desconhecida. Sabendo-se que, no fim</p><p>de meio ano, a primeira importância tinha rendido R$ 125,00 a mais do que</p><p>a segunda, pergunta-se a que taxa esta última foi aplicada?</p><p>21. A soma de um capital com seus juros aplicado durante 110 dias, à taxa de</p><p>17% ao ano é igual a R$ 2.553,47. Determinar o valor dos juros,</p><p>considerando-se o ano de 360 dias.</p><p>22. Certo capital, acrescido dos juros resultante de sua aplicação durante</p><p>8 meses eleva-se a R$ 23.100,00. O mesmo capital, acrescido de juros</p><p>resultantes de 13 meses de aplicação, à mesma taxa, eleva-se a R$</p><p>23.475,00. Calcular o capital e a taxa anual.</p><p>23. Determinar a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48.000,00</p><p>que, em 3 meses e 20 dias, rendeu R$ 440,00 de juros.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	15</p><p>24. Dois capitais de R$ 11.000,00 e R$ 5.000,00 estiveram aplicados durante</p><p>3 anos. Determinar à que taxa esteve aplicado o segundo capital, sabendo</p><p>que o primeiro, aplicado à taxa de 7% ao ano, rendeu R$ 1.110,00 a mais do</p><p>que o segundo.</p><p>25. Um capital ficou aplicado durante 2 anos, à taxa de 4% ao ano. Após este</p><p>período, o montante foi reaplicado a 6% ao ano durante 18 meses. Determine</p><p>o capital inicial, sabendo que o montante final foi de R$ 17.658,00?</p><p>26. O montante de uma aplicação, após 7 meses e 15 dias, foi de R$</p><p>180.900,00. O mesmo capital, à mesma taxa, acrescido dos juros de 32</p><p>meses, dá um montante de R$ 210.840,00. Determinar o capital e a taxa</p><p>mensal.</p><p>27. Dois capitais diferem em R$ 86.000,00. O maior, empregado durante 10</p><p>meses, rendeu R$ 1.542,00. O menor, empregado durante 15 meses,</p><p>rendeu, à mesma taxa, R$ 1.926,00. Quais foram os capitais empregados e</p><p>qual a taxa anual?</p><p>28. Dois capitais, um de R$ 240.000,00 e o outro de R$ 400.000,00 foram postos a</p><p>juros segundo uma mesma taxa. O primeiro rendeu em 50 dias, R$ 10.000,00 a</p><p>mais do que o segundo em 21 dias. Calcular a taxa de juros anual.</p><p>Desconto Simples</p><p>A ideia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor</p><p>monetário em determinadas condições. Assim, por exemplo, quando uma compra</p><p>é feita em grande quantidade é comum o vendedor conceder algum desconto no</p><p>preço por unidade. No comércio é bastante comum também o vendedor conceder</p><p>um prazo para o pagamento; caso o comprador queira pagar à vista geralmente é</p><p>proporcionado um desconto sobre o preço oferecido. Nestas situações, o desconto</p><p>costuma ser expresso por um percentual aplicado sobre o preço.</p><p>Uma outra situação envolvendo o conceito de desconto ocorre quando uma</p><p>empresa vende um produto a prazo; neste caso, o vendedor emite uma duplicata</p><p>que lhe dará o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado.</p><p>A duplicata é, portanto, um título emitido por uma pessoa jurídica contra o cliente</p><p>para o qual ela vendeu mercadorias à prazo ou prestou serviços para serem pagos</p><p>no futuro, segundo um contrato. A emissão da duplicata só é legal se for feita tendo</p><p>por base a nota fiscal proveniente do serviço prestado.</p><p>Chamamos de desconto de um título ao abatimento que se dá sobre o</p><p>seu valor pela antecipação do seu pagamento.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	16</p><p>Pela sistemática de capitalização simples, os valores do desconto são</p><p>obtidos por meio de cálculos lineares. O desconto é estudado sob duas</p><p>modalidades: desconto comercial simples e desconto racional simples.</p><p>Desconto comercial, bancário ou “por fora”</p><p>É aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o valor nominal do</p><p>título. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente, nas</p><p>chamadas operações de “desconto de duplicatas”. O desconto comercial é obtido</p><p>multiplicando-se o valor de resgate (nominal) do título pela taxa de desconto e pelo</p><p>prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:</p><p>onde: d = desconto comercial, bancário, “por fora”</p><p>N = valor nominal do título</p><p>i = taxa de desconto</p><p>n = prazo</p><p>A= o valor atual comercial ou valor descontado</p><p>comercial</p><p>Para se obter o valor presente (valor do título após o desconto), também</p><p>chamado de valor atual, basta subtrair o valor do desconto do valor nominal do</p><p>título.</p><p>e ainda:</p><p>Exemplos:</p><p>1. Um título de valor nominal R$ 24.000,00 sofre um desconto bancário à taxa</p><p>de 30% ao ano, 60 dias antes do seu vencimento. Qual o valor do desconto</p><p>e qual o seu valor atual?</p><p>n . . iNd =</p><p>dNA -=</p><p>).1(</p><p>..</p><p>niNA</p><p>niNNA</p><p>-=</p><p>-=</p><p>Observações:</p><p>NOTA PROMISSORIA: é um comprovante de aplicação de um capital.</p><p>DUPLICATA: é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (físico ou</p><p>jurídico) para o qual ele vendeu mercadoria a prazo ou prestou serviços a serem pagos</p><p>na fatura.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	17</p><p>2. Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por</p><p>R$6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de</p><p>desconto comercial foi de 4% a.m.</p><p>3. Um título de R$ 100,00 será descontado a 1% ao mês, 120 meses antes do</p><p>vencimento. Qual o valor do desconto?</p><p>Desconto racional ou “por dentro”</p><p>É aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor atual do título ou</p><p>valor líquido.</p><p>Exemplo:</p><p>1. Calcular o valor do desconto por dentro e o valor atual, de um título de R$</p><p>2.000,00 com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês.</p><p>ni</p><p>niNd</p><p>niNnidd</p><p>nidniNd</p><p>nidNd</p><p>niAd</p><p>.1</p><p>..'</p><p>...'.'</p><p>.'...'</p><p>.).'('</p><p>. . '</p><p>+</p><p>=</p><p>=+</p><p>-=</p><p>-=</p><p>=</p><p>ni</p><p>NA</p><p>ni</p><p>niNniNNA</p><p>ni</p><p>ninNA</p><p>dNA</p><p>.1</p><p>.1</p><p>....</p><p>.1</p><p>..</p><p>'</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>-+</p><p>=</p><p>+</p><p>-=</p><p>-=</p><p>Observação:</p><p>O desconto comercial é utilizado para operações de curto prazo, para prazos</p><p>longos, seu cálculo se torna impraticável, pois o valor do desconto se torna tão elevado</p><p>que pode, inclusive, ultrapassar o próprio valor nominal do título.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	18</p><p>Exercícios:</p><p>Obs: exercícios do 1 ao 4 desconto comercial.</p><p>1. Um título de R$6.000,00 vai ser descontado a taxa de 2,1% ao mês. Faltando</p><p>45 dias para o vencimento do título. Determine o valor do desconto e o valor</p><p>atual.</p><p>2. Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$2.000,00 foi resgatada 2 meses</p><p>antes do vencimento, a taxa de 30% ao ano. Qual o desconto?</p><p>3. Um título, no valor nominal de R$8.400,00, com vencimento em 18/10, é</p><p>resgatado em 20/07. Se a taxa de juros contratada foi de 54% ao ano, qual</p><p>é o valor comercial descontado?</p><p>4. Um título de R$4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por</p><p>R$4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto é de 32,4% ao ano, calcule o</p><p>tempo de antecipação do resgate.</p><p>5. Determine o valor do desconto e o valor atual racional de um título de</p><p>R$50.000,00, disponível dentro de 40 dias, a taxa de 3% ao Mês.</p><p>6. Qual o valor do desconto por fora de um título de R$ 2.000,00, com</p><p>vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês?</p><p>7. Qual o valor a ser pago hoje por um título de R$ 50.000,00 cujo vencimento</p><p>ocorrerá daqui a 3 meses, supondo que a taxa de desconto bancário seja de</p><p>5,5% ao mês?</p><p>8. Calcular a taxa mensal de desconto por dentro utilizada numa operação de</p><p>120 dias, cujo valor de resgate do título é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é</p><p>de R$ 880,00.</p><p>9. Sabendo-se que o desconto de um título no valor de R$ 6.800,00 resultou</p><p>em um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente, e que a taxa cobrada pelo</p><p>banco é de 3,2% ao mês, calcular o prazo do título, com desconto por dentro.</p><p>10. Uma nota promissória de valor nominal de R$ 24.000,00 sofre um desconto</p><p>por fora à taxa de 30% ao ano, 30 dias antes do vencimento. Qual o valor do</p><p>desconto</p><p>e qual o seu valor atual?</p><p>11. Uma duplicata de valor nominal de R$ 39.600,00 é negociada à taxa de 30%</p><p>ao ano, 120 dias antes do vencimento. A quanto importou o desconto que foi</p><p>racional? Qual o seu valor atual?</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	19</p><p>12. Qual o desconto bancário, a 5% ao mês, sobre um título de R$ 750,00 pago</p><p>2 meses e 10 dias antes do vencimento?</p><p>13. Um título no valor de R$ 1.200,00 pago 5 meses antes do vencimento, ficou</p><p>reduzido a R$ 900,00. Qual foi a taxa mensal considerando o desconto</p><p>bancário e o desconto racional?</p><p>14. Determine o valor atual produzido por uma letra que, descontada por dentro,</p><p>60 dias antes do seu vencimento, à taxa de 9% ao mês, produziu R$ 140,00</p><p>de desconto.</p><p>15. Calcular o desconto por dentro de um título com vencimento daqui a 8</p><p>anos, no valor nominal de R$ 1.000,00, se descontado hoje à taxa anual de</p><p>20%. Repita o cálculo verificando o desconto por fora e analise as respostas</p><p>encontradas.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	20</p><p>CAPI2TULO	II</p><p>JUROS COMPOSTOS</p><p>Este capítulo tem por objetivo mostrar o problema da capitalização composta,</p><p>isto é, aquele voltado para o crescimento do dinheiro ao longo do tempo, no regime</p><p>de juros compostos.</p><p>Em seguida é estudado o problema inverso, ou seja, o da diminuição das</p><p>grandezas futuras ao serem trazidas para o presente, mediante as operações de</p><p>desconto composto.</p><p>Cálculo dos Juros Compostos</p><p>Ao contrário do que acontece no regime de juros simples, no regime de juros</p><p>compostos a base sobre a qual a taxa de juro composto incide é variável. No regime</p><p>de juros compostos a taxa de juros incide sempre sobre o capital atualizado, isto é,</p><p>sobre o capital original mais os juros acumulados até o período imediatamente</p><p>anterior.</p><p>𝑃𝑉 𝐹𝑉! 𝐹𝑉" 𝐹𝑉#</p><p>0 1 2 3 ... Meses</p><p>Considerando um capital 𝑃𝑉 aplicado a uma taxa de juros por períodos,</p><p>o desenvolvimento de uma fórmula que relaciona um valor monetário de hoje 𝑃𝑉</p><p>com um valor futuro 𝐹𝑉% é a seguinte:</p><p>Logo, o montante, no regime de juros compostos é calculado pela expressão:</p><p>𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)% onde 𝐹𝑉 é o capital aplicado</p><p>é a taxa de juros</p><p>é o prazo de aplicação</p><p>O gráfico a seguir ilustra o comportamento do crescimento do capital no</p><p>regime de juros compostos.</p><p>i n</p><p>i</p><p>n</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	21</p><p>Juro Composto</p><p>Todas as demais fórmulas de juros compostos são deduzidas a partir da</p><p>expressão genérica 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)%.</p><p>Ø Para o cálculo do capital</p><p>Ø Para o cálculo do período</p><p>Ø Para o cálculo da taxa</p><p>100</p><p>200</p><p>300</p><p>400</p><p>montante</p><p>1 2 3 4</p><p>período</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	22</p><p>A Calculadora HP-12C</p><p>A HP-12C é uma calculadora de tecnologia norte-americana, por isso, suas</p><p>teclas têm letras que sintetizam, em inglês, as funções que representam.</p><p>No mundo das finanças a HP-12C é possivelmente a mais popular das</p><p>calculadoras financeiras, ela foi projetada para fazer muitos tipos de cálculos, por</p><p>isso, ela possui até três funções por teclas, simbolizadas por caracteres impressos</p><p>em cores diferentes: brancas, amarelas e azuis. Para utilizar as funções brancas</p><p>basta pressionar a tecla diretamente e para acionar as teclas azuis e amarelas</p><p>pressiona-se primeiramente a tecla (f) e (g) respectivamente. Quando as teclas f e</p><p>g são acionadas o visor da calculadora mostra as letras f e g.</p><p>Para os cálculos financeiros utilizamos 5 teclas (i, n, PV, PMT e FV),</p><p>localizadas na parte superior da HP-12C, que obedecem às seguintes definições:</p><p>Número de períodos de capitalização de juros, expresso em anos, semestres,</p><p>trimestres, meses ou dias. Os valores de n podem ser números inteiros ou</p><p>fracionários.</p><p>Taxa de juros por período de capitalização, expresso em porcentagem.</p><p>Valor Presente (Presente Value), valor do capital inicial aplicado.</p><p>Valor de cada prestação da série uniforme (Periodic Pay MenT) que ocorre no fim</p><p>ou no início de cada período.</p><p>Valor Futuro (Future Value), ou valor do montante acumulado no fim de n períodos</p><p>de capitalização, com a taxa de juros i por período.</p><p>Separadores de Dígitos;</p><p>• 1.252,32 (Sistema Brasileiro – vírgula separando as casas decimais)</p><p>• 1,252.32 (Sistema Americano – ponto separando as casas decimais)</p><p>Para realizarmos a troca do ponto pela vírgula e vice-versa, devemos proceder</p><p>da seguinte forma:</p><p>i. Desligue a calculadora</p><p>ii. com a calculadora desligada, pressione ao mesmo tempo as teclas ON e</p><p>(ponto)</p><p>iii. Solte a tecla ON e logo após a tecla (ponto).</p><p>PMT</p><p>i</p><p>n</p><p>FV</p><p>PV</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	23</p><p>Número de casas decimais: f + Nº de casas decimais;</p><p>• pressione a tecla f (aquela douradinha) e a seguir a tecla 2 para o visor</p><p>apresentar 2 casas decimais, por exemplo.</p><p>Números Negativos: pressionar a tecla CHS (CHange Sign);</p><p>Modos de Entrada de Dados:</p><p>• Modo Algébrico: f ALG</p><p>• Modo RPN: f RPN; (Notação Polonesa Reversa)</p><p>Modos de Operação:</p><p>• STO EEX (modo científico)</p><p>• STO EEX (c) (modo financeiro)</p><p>Função de Limpeza:</p><p>• CLX – Apaga APENAS o visor;</p><p>• FIN – Apaga os registradores financeiros;</p><p>• REG – Apaga os registradores de armazenamento de dados, os</p><p>registradores financeiros, os registradores da pilha operacional e o visor;</p><p>• PRGM - Apaga a memória de programação (somente quando pressionadas</p><p>no modo PRGM)</p><p>Devemos observar que:</p><p>Ø Os valores monetários (PV, FV, PMT) devem ser registrados na</p><p>calculadora sempre de acordo com a convenção de sinal, isto é, as</p><p>entradas de caixa (recebimentos) devem ter o sinal positivo (+), e as</p><p>saídas de caixa (pagamentos) devem ter sinal negativo ( - ).</p><p>Ø A unidade referencial de temo da taxa de juros i deve coincidir com a</p><p>unidade referencial de tempo do período n.</p><p>Ø Antes da entrada de dados financeiros devemos apagar os registros</p><p>financeiros utilizando as teclas (f) (fin).</p><p>Exemplos:</p><p>1. Calcular o montante de um capital de R$ 10.000,00 aplicado a juros</p><p>compostos de 2% ao mês, durante 3 meses.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	24</p><p>2. Qual a quantia que, colocada em um banco, a juros compostos de 2% ao</p><p>mês, durante 5 meses, eleva-se a R$ 40.000,00?</p><p>3. Durante quanto tempo deve-se aplicar R$ 5.000,00 à taxa de 7% ao mês,</p><p>para produzir o montante de R$ 11.260,96?</p><p>4. Um capital de R$ 7.500,00, aplicado durante 5 meses, produziu um montante</p><p>de R$ 9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?</p><p>Exercícios:</p><p>1. Calcule o montante de uma aplicação de R$8.200,00, por um prazo de 8</p><p>meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês.</p><p>2. Calcule o montante do capital de R$75.000,00, colocado a juros composto à</p><p>taxa de 2"</p><p>#</p><p>% a.m., no fim de 6 meses.</p><p>3. Qual o montante produzido por R$ 12.000,00, em regime de juro composto,</p><p>à taxa de 2% ao mês durante 40 meses?</p><p>4. Sabendo que um capital inicial, em regime de juros composto, à taxa de 2,5%</p><p>ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475,00, calcule</p><p>esse capital.</p><p>5. Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$3.200,00 sem</p><p>entrada, para pagamento em uma única prestação de R$4.049,00 no final de</p><p>6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?</p><p>6. Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado</p><p>em um único pagamento de R$22.125,00, sabendo que a taxa contratada é</p><p>de 15% ao semestre em regime de juros composto.</p><p>7. Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de R$</p><p>12.000,00</p><p>para receber R$16.127,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de</p><p>rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto?</p><p>8. O capital de R$8.700,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% a.m.</p><p>elevou-se no fim de certo tempo a R$ 11.456,00. Calcule esse tempo.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	25</p><p>Exercícios:</p><p>1. Calcular o montante para um capital inicial de R$ 10.000,00 a juros</p><p>compostos de 4% ao mês, durante 8 meses e 12 dias. (Use a convenção</p><p>exponencial).</p><p>2. Em 1995, na porta de um banco encontrava-se um cartaz onde se lia “Aplique</p><p>hoje R$ 1778,80 e receba R$ 3.000,00 daqui a 6 meses”. Qual era a taxa</p><p>mensal de juros que o banco estava aplicando o dinheiro investido?</p><p>3. Qual o tempo necessário para que um certo capital, colocado a juros</p><p>compostos de 5% ao mês, produza juros de 80% do seu valor?</p><p>4. Calcular o montante de R$ 10.000,00 a juros compostos de 12% ao ano,</p><p>durante 30 meses, com capitalização mensal.</p><p>5. Qual a taxa mensal de inflação num país onde os preços duplicam de valor</p><p>em 3 meses?</p><p>6. Qual o montante de uma aplicação de R$ 2.000,00 em 1 ano e meio, à taxa</p><p>de 12,5% ao ano, capitalizado trimestralmente?</p><p>7. O capital de R$ 120,00 foi colocado a juros de 20% ao ano, capitalizado</p><p>semestralmente. Qual o montante no fim de 2 anos e 6 meses?</p><p>8. Durante quanto tempo se deve aplicar R$ 5.000,00 à taxa de 7% ao mês,.</p><p>Para produzir o montante de R$ 12.000,00?</p><p>9. Um capital de R$ 7.500,00, aplicado durante 5 meses, produziu um montante</p><p>de R$ 9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?</p><p>10. Usando a convenção exponencial calcule o montante das aplicações abaixo:</p><p>a) Capital de R$ 12.000,00, aplicado a uma taxa de 15% ao ano, durante</p><p>5 anos e 10 meses.</p><p>b) Capital de R$ 13.176,15, aplicado a uma taxa de 4% ao bimestre,</p><p>durante 1 ano e 1 mês.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	26</p><p>CAPÍTULO	III</p><p>TAXAS DE JUROS</p><p>Uma vez definida a forma de capitalização, torna-se necessária uma</p><p>definição rigorosa do tipo de taxa de juros com que se quer trabalhar. Diferentes</p><p>operações financeiras usam diferentes tipos de taxas. Existem taxas para</p><p>descontos de duplicatas, taxas para cartões de crédito, taxas para financiamento de</p><p>curto prazo, taxas para financiamento de longo prazo, taxas mínimas de retorno</p><p>exigidas para diferentes tipos de investimentos, etc.</p><p>Tendo em vista que toda a Matemática Financeira tem como insumo básico</p><p>a taxa de juros, sua especificação rigorosa é fundamental para que se obtenham os</p><p>resultados desejados.</p><p>Esse capítulo será dedica ao estudo das taxas de juros:</p><p>• Taxa Nominal;</p><p>• Taxa Efetiva;</p><p>• Taxas Proporcionais;</p><p>• Taxas Equivalentes;</p><p>• Taxa Real;</p><p>Contudo, qualquer que seja o tipo de operação financeira de interesse, a taxa</p><p>de juros envolvida poderá ser especificada em uma das seguintes formas: taxa</p><p>nominal ou taxa efetiva.</p><p>Taxa Nominal</p><p>Exemplo: 24% ao ano, com capitalização mensal;</p><p>36% ao ano, capitalizados semestralmente.</p><p>A taxa de juros nominal é a taxa mais comumente encontrada nas operações</p><p>financeiras. Contudo, apesar de sua proliferação nos contratos de financiamento,</p><p>ela aparentemente, pode conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo da transação</p><p>financeira. Observe o exemplo a seguir:</p><p>Exemplo numérico: Considerando um capital de R$ 100,00, aplicado a 20% ao ano,</p><p>pelo período de 1 ano, com capitalização semestral, vamos calcular o seu montante</p><p>pelo regime de capitalização composta.</p><p>No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período</p><p>de capitalização não coincide com aquela a que ela se refere.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	27</p><p>No exemplo anterior, um leigo poderia, em princípio, imaginar um custo</p><p>efetivo de capital anual da ordem de 20%, o que seria incorreto, pois 10% ao</p><p>semestre capitalizado durante 12 meses produziriam um resultado maior do que</p><p>20% ao ano. Nesse caso, os cálculos financeiros devem ser feitos tendo como base</p><p>a taxa de 10% ao ano.</p><p>A taxa nominal é em geral uma taxa anual capitalizada trimestralmente,</p><p>mensalmente, bimestral etc.</p><p>Exemplo:</p><p>1. Qual o montante de um capital de R$5.000,00, no fim de 2 anos, com</p><p>juros de 24% ao ano capitalizado trimestralmente?</p><p>Taxa Proporcional</p><p>Usada em Capitalização Simples, como visto anteriormente.</p><p>12% ao ano, é proporcional a 6% ao semestre</p><p>5% ao trimestre, é proporcional a 20% ao ano</p><p>Taxa Equivalente</p><p>Exemplo:</p><p>1. Calcule o montante, em regime de juros composto, relativo a um capital de</p><p>R$1.000,00, empregado:</p><p>1º durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano;</p><p>2º durante 12 meses, à taxa de 2% ao mês.</p><p>a. As duas taxas são proporcionais?</p><p>b. As duas taxas são equivalentes?</p><p>Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem</p><p>com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	28</p><p>Calculo da taxa equivalente</p><p>Exemplo:</p><p>1. Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano?</p><p>2. Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês?</p><p>Exercícios:</p><p>1. Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia.</p><p>2. Determine a taxa semestral equivalente a 45% ao ano.</p><p>3. Calcular a taxa mensal equivalente a 12% a.a.</p><p>4. Calcular a taxa mensal equivalente a 18% a.a.</p><p>5. Qual a taxa trimestral equivalente a 16% a.a. em juros compostos.</p><p>6. Qual a taxa semestral equivalente a 14% a.a. em juros compostos.</p><p>7. Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas:</p><p>a) 1,8%a.m c) 4,5%a.t</p><p>b) 2,5% a.b d) 18%a.s</p><p>8. Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas:</p><p>a)75%a.a d) 6,5%a.t</p><p>b) 50%a.s e) 0,12%a.d</p><p>c) 21%a.t</p><p>9. Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente às seguintes taxas:</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	29</p><p>a) 0,14%a.d d) 4,1%a.t</p><p>b) 1,6%a.m e) 96%a,</p><p>c) 2,7%a.b</p><p>10. Em juros compostos, o que é preferível: aplicar um capital por um ano a taxa</p><p>de 26%a.a ou à taxa de 2,1%a.m?</p><p>11. Um investidor pode aplicar seu capital por três meses a juros compostos à</p><p>taxa de 33%a.a ou a taxa de 2,5% a.m. Qual é mais vantajoso?</p><p>12. O que é melhor: aplicara um capital a juros compostos por seis meses de</p><p>4,5%a.t ou à taxa de 6%a.q?</p><p>Taxa Efetiva</p><p>Exemplo: 5% ao ano, capitalizado anualmente;</p><p>10% ao trimestre, capitalizado trimestralmente.</p><p>É comum no caso de taxas efetivas, não se especificar o período de</p><p>capitalização, ou seja, as taxas acima poderiam ser especificadas como uma taxa</p><p>efetiva de 5% ao ano ou uma taxa efetiva de 10% ao trimestre.</p><p>Exemplo:</p><p>1. Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a</p><p>taxa efetiva .</p><p>Exercícios:</p><p>1. Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado 3 anos, à taxa de 10% a.a. com</p><p>capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva da operação.</p><p>2. Sabendo-se que uma taxa nominal de 12% a.a. é capitalizada</p><p>trimestralmente, calcular a taxa efetiva.</p><p>3. Um banco emprestou a importância de R$1000,00 por 1 ano. Sabendo-se</p><p>que o banco cobra a taxa de 12% a.a., com capitalização mensal, pergunta-</p><p>se qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final de 1</p><p>ano.</p><p>Uma taxa de juros é dita efetiva se o período em que ela estiver</p><p>referenciada for coincidente com o período de capitalização.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson</p><p>D. Oliveira Página	30</p><p>4. Um banco apresentou a importância de R$35.000,00 por 2 anos. Sabendo</p><p>que o banco cobra a taxa de 36% a.a., com capitalização trimestral, qual a</p><p>taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos?</p><p>Taxa Real e Taxa Aparente</p><p>Denominamos taxa aparente aquela que vigora nas operações correntes.</p><p>Quando não há inflação, a taxa aparente ou efetiva é igual a taxa real; porém,</p><p>quando há inflação, a taxa real corresponde:</p><p>𝑡𝑎𝑥𝑎	𝑟𝑒𝑎𝑙 =</p><p>1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎	𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎</p><p>1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎	𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎	 − 1</p><p>Exemplo:</p><p>1. Uma pessoa adquire uma letra de cambio em uma época A e resgata na</p><p>época B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real,</p><p>sabendo que a taxa de inflação, nesse período foi de 15%.</p><p>2. Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m</p><p>e a uma inflação de 20% no período?</p><p>Exercícios:</p><p>1. Vamos supor que uma determinada aplicação financeira tenha rendido no</p><p>mês de Março uma taxa efetiva de 5% e que a variação do IGP-M ( índice</p><p>geral de preços do mercado) no mesmo mês foi de 4%. Qual a taxa de</p><p>juros real que remunerou tal aplicação?</p><p>2. Segundo dados publicados pelo jornal Gazeta Mercantil em 02/01/2001,</p><p>o índice de Bolsa de Valores do Estado de São Paulo (Ibovespa)</p><p>apresentou uma perda nominal no ano de 2000 de 10,72%, enquanto a</p><p>Caderneta de Poupança rendeu 8,36%. Considerando que no ano de</p><p>2000 a inflação medida pelos ÍGP-M foi de 9,95% qual a perda real no</p><p>ano destes investimentos?</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	31</p><p>3. Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a</p><p>inflação nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual.</p><p>4. Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% a.a., com intenção de</p><p>ter um retorno real correspondente a uma taxa de 9% a.a. Qual á taxa de</p><p>inflação?</p><p>5. Observe a propaganda e responda:</p><p>TV LED 3D, são 32 polegadas de muita</p><p>imagem e som. Com resolução Full HD,</p><p>conversor digital integrado, 04 entradas</p><p>HDMI e 03 entradas USB, potência de som</p><p>de 2 x 10 watts, e converte conteúdo 2D</p><p>para 3D. É muito mais emoção em sua</p><p>casa!</p><p>20% de desconto ou 24 x de R$ 121,63 total R$ 2919,12</p><p>De: R$ 2299,00 por R$ 1839,20 avista com taxa de 12%a.a</p><p>a) Existe algo de enganoso na propaganda? Se sim indique o que está errado</p><p>e sua forma correta.</p><p>b) De acordo com a solução Se a taxa de inflação nesse período é de 7% qual</p><p>é a taxa real? Qual é o valor pago de inflação</p><p>6. Complete a tabela e responda:</p><p>Reajuste do Salário Mínimo 2003-2010</p><p>Período</p><p>Salário</p><p>Mínim</p><p>o R$</p><p>Reajuste</p><p>Aparente %</p><p>INPC</p><p>%</p><p>Aumento</p><p>Real %</p><p>Abril de</p><p>2002</p><p>200,00 XXXXXXXXX</p><p>X</p><p>XXXXX</p><p>X</p><p>XXXXXXXXX</p><p>X</p><p>Abril de</p><p>2003</p><p>240,00 20,0 18,54</p><p>Maio de</p><p>2004</p><p>260,00 7,06 1,19</p><p>Maio de</p><p>2005</p><p>15,38 6,61 8,23</p><p>Abril de</p><p>2006</p><p>350,00 16,67 3,21</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	32</p><p>Abril de</p><p>2007</p><p>380,00 8,57 3,3</p><p>Março</p><p>de 2008</p><p>415,00 9,21 4,03</p><p>Fevereir</p><p>o de</p><p>2009</p><p>12,05 5,92</p><p>Janeiro</p><p>de 2010</p><p>510,00 3,45 6,02</p><p>0bs: INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor) mostra o aumento do custo</p><p>de vida da população.</p><p>a) Qual foi a variação percentual do valor do Salário mínimo de Março de</p><p>2008 para Fevereiro de 2009?</p><p>b) Qual foi o aumento real em abril de 2003?</p><p>c) De abril 2006 a abril de 2007 o aumento foi de 8,57% e INPC foi de 3,3%</p><p>então o aumento real foi de 8,57% - 3,3%=5,27%. Esta informação esta</p><p>correta? Justifique.</p><p>7. Determine as taxas efetivas ao ano para cada caso:</p><p>a) 12%a.a capitalizado bimestralmente.</p><p>b) 24%a.a capitalizado trimestralmente.</p><p>Taxas Proporcionais X Taxas Equivalentes</p><p>As taxas de juros proporcionais e equivalentes são obtidas, respectivamente,</p><p>nos regimes de juros simples e compostos.</p><p>A tabela seguinte apresenta uma comparação de diversas taxas anuais,</p><p>proporcionais e equivalentes a determinadas taxas mensais, com a finalidade de</p><p>mostrar as diferenças entre as taxas anuais obtidas a juros simples (proporcionais)</p><p>e a juros compostos (equivalentes) à medida que as taxas de juros aumentam de</p><p>valor.</p><p>Conclusão</p><p>Neste capítulo foram apresentadas diversas formas de informar e calcular</p><p>taxas de juros. Destacamos os seguintes pontos:</p><p>Ø A taxa efetiva é a utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	33</p><p>Ø A taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita em seu enunciado, que</p><p>depende do número de períodos de capitalização.</p><p>Ø Taxas proporcionais são taxas de juros que permitem o mesmo</p><p>crescimento do dinheiro, no regime de juros simples.</p><p>Ø Taxas equivalentes são taxas de juros permitem o mesmo crescimento</p><p>do dinheiro, no regime de juros compostos.</p><p>EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CAPITULO III</p><p>1. Qual a taxa trimestral equivalente a 6% ao ano?</p><p>2. Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês?</p><p>3. Qual a taxa mensal equivalente a 36% ao ano?</p><p>4. A caderneta de poupança paga juros de 6% ao ano, com capitalizações</p><p>mensais. Qual a taxa efetiva de juros?</p><p>5. Um título rende juros de 12% ao ano com capitalizações trimestrais. Qual a</p><p>taxa efetiva de juros?</p><p>6. Calcular a taxa mensal proporcional e a taxa mensal equivalente a 24% ao</p><p>ano.</p><p>7. Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondente a 2% ao mês.</p><p>8. O capital de R$ 500,00 foi colocado a juros de 20% ao ano capitalizado</p><p>trimestralmente. Calcular o montante no fim de 2 anos e 8 meses</p><p>empregando a taxa anual efetiva.</p><p>9. Uma instituição financeira paga juros de 24% ao ano, capitalizado</p><p>trimestralmente. Qual a taxa efetiva?</p><p>10. Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente?</p><p>11. Determinar a taxa diária equivalente à taxa de 6% ao semestre.</p><p>12. Determinar a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8,5%</p><p>ao ano, capitalizado trimestralmente.</p><p>13. Determinar as taxas efetivas, trimestral e anual equivalentes à taxa nominal</p><p>de 11,4% ao ano, capitalizado mensalmente.</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	34</p><p>Capítulo	IV</p><p>Desconto Composto</p><p>O Desconto Composto é constituído pela soma de descontos simples, que</p><p>devem ser calculados isoladamente em cada um dos períodos que faltam para o</p><p>vencimento do título.</p><p>Neste desconto, assim como no desconto simples, também apresenta duas</p><p>modalidades: o Desconto Comercial Composto (Desconto Por Fora) e</p><p>Desconto Composto Racional (Desconto por Dentro). O desconto comercial</p><p>composto é calculado com a taxa aplicada sobre o valor nominal do título. O</p><p>desconto composto racional é calculado com a taxa incidente no valor atual do título.</p><p>Entretanto, na prática, somente o desconto composto racional é utilizado; assim,</p><p>ficaremos restritos ao estudo do desconto composto racional.</p><p>Cálculo do desconto composto racional</p><p>Como já foi mencionado, o desconto composto equivale à soma de descontos</p><p>simples; e, considerando um período de 4 anos, por exemplo, o desconto composto</p><p>deveria ser encontrado calculando , respectivamente e então</p><p>somando os valores encontrados em cada desconto, conforme a figura seguinte.</p><p>Obviamente, seria muito trabalhoso resolver um problema de desconto</p><p>composto real dessa forma. Por esse motivo vamos deduzir uma fórmula para o</p><p>cálculo do valor atual (A) de um título de valor nominal (N), com vencimento para</p><p>(n) períodos, a uma taxa (i).</p><p>4321 ' ,' ,' ,' dddd</p><p>1A 2A 3A 4A N</p><p>1 2 3 4 anos 0</p><p>4'd 3'd 2'd 1'd</p><p>Cddddd ''''' 4321 =+++</p><p>onde o desconto racional</p><p>é:</p><p>in</p><p>Nind</p><p>+</p><p>=</p><p>1</p><p>'</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	35</p><p>Portanto, para n períodos, temos:</p><p>As demais fórmulas são deduzidas a partir dessa.</p><p>Ø Para o cálculo do valor nominal</p><p>Ø Para o cálculo do prazo de antecipação</p><p>Ø Para o cálculo da taxa</p><p>Exemplo:</p><p>1. Qual é o valor atual de R$ 1.200,00, a 3% ao mês, paga 4 meses antes do</p><p>vencimento?</p><p>Exercícios:</p><p>1. De quanto tempo foi antecipado o pagamento de um título de R$154.000,00</p><p>se a 9% ao ano, o seu valor sofreu uma redução de R$28.500,00?</p><p>2. A que taxa foi descontada uma dívida de R$ 50.000,00 que sendo paga 5</p><p>anos antes do vencimento se reduziu a R$ 37.362,96?</p><p>3. Assumi uma dívida que, a juros compostos equivale a R$ 20.000,00.</p><p>Pagando-a, porém , 2 anos antes do vencimento, obtive um desconto de 6%</p><p>ao ano. Quanto desembolsei?</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	36</p><p>4. Uma dívida de R$ 60.000,00 foi descontada 3 anos antes do vencimento, a</p><p>5% ao ano. Em quanto importou o desconto?</p><p>5. Qual é o valor atual de R$ 20.000,00, exigível daqui a 10 anos, descontados</p><p>a 10% ao ano?</p><p>6. Calcular o valor atual, a 5% ao ano, de R$ 1234,10 pagos 4 anos, 3 meses</p><p>e 20 dias antes do vencimento. (Use convenção exponencial).</p><p>7. Um título de R$ 50.000,00 pago 6 anos antes do vencimento, sofreu um</p><p>desconto de 5,4% ao ano. Calcular o desconto.</p><p>8. De quanto tempo foi antecipado o pagamento de R$ 37.038,90 sabendo que,</p><p>descontado a 4,5% ao ano, o seu valor se reduziu a R$ 20.000,00?</p><p>9. A que taxa se descontou um título de R$ 25.600,00 que pago, 3 anos, 4</p><p>meses e 5 dias antes do vencimento, se reduziu a R$ 19.800,00?</p><p>10. À taxa de 8% ao ano, calcular o valor atual de R$ 20.000,00, pago 4 anos</p><p>antes do vencimento.</p><p>11. Determine o valor atual de um título de R$800,00, saldado 4 meses antes de</p><p>seu vencimento, à taxa de desconto (composto)de 2% ao mês.</p><p>12. Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$1.120,00 com</p><p>vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizados</p><p>semestralmente.</p><p>13. Qual o desconto composto que um título de R$5.000,00 sofre ao ser</p><p>descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês?</p><p>14. Um título de valor nominal de R$1.500,00foi resgatado 3 meses antes de seu</p><p>vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados</p><p>mensalmente. Qual foi o desconto concedido?</p><p>15. Em uma operação de desconto, o portador do título recebeu R$36.954,00</p><p>como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o</p><p>desconto de R$3.046,00qual foi a taxa de juros mensal a dotada?</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	37</p><p>Atividades complementares do capítulo IV</p><p>1) Iranildo pegou um financiamento no J.BANK, para pagar em 30 parcelas de R$</p><p>477,34, que vencem dia 04 de cada mês. Após pagar 26 parcelas, deseja pagar as 4 restantes</p><p>no dia 04 de novembro de 2010. Para saber quanto deveria pagar a quitar a dívida, Iranildo</p><p>acessa o site do BANCO, no dia 04, e imprime a tabela abaixo. Mas devido a um erro no</p><p>sistema, consta alguns espaços em branco. COMPLETE A TABELA E RESPONDA.</p><p>Parcela Data de</p><p>vencimento</p><p>Valor da</p><p>parcela</p><p>Valor atual Valor do</p><p>desconto</p><p>Status</p><p>027 04/11/2010 477,34 477,34 0,00 A Pagar</p><p>028 04/12/2010 477,34 10,46 A Pagar</p><p>029 04/01/2011 477,34 A Pagar</p><p>030 04/02/2011 477,34 A Pagar</p><p>a) Por que o valor atual é diferente do valor da parcela?</p><p>b) Qual o valor para a quitação da dívida que ainda tem com o Banco no dia 04 de</p><p>novembro?</p><p>c) Como poderíamos ter certeza que os valores da tabela, calculados pelo BANCO, estão</p><p>corretos?</p><p>2) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a</p><p>antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgaste) é</p><p>de R$ 200.000,00, determine o valor nominal da dívida.</p><p>3) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 340,10 seis meses antes do seu</p><p>vencimento. Calcule o valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de</p><p>5% a.m.</p><p>4) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do</p><p>seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando</p><p>que a taxa de desconto é de 5% a.m.</p><p>5) Antônio emprestou R$ 100.000,00 a Carlos, devendo o empréstimo ser pago após 4</p><p>meses, acrescido de juros compostos calculados a uma taxa de 15% a.m., com capitalização</p><p>diária. Três meses depois Carlos decide quitar a dívida, e combina com Antônio uma taxa de</p><p>desconto racional composto de 30% a.b. (ao bimestre), com capitalização mensal. Qual a</p><p>importância paga por Carlos a título de quitação do empréstimo.</p><p>6) Tomei emprestado de um amigo R$ 150,00, à taxa composta de 7 % a.b, por 1 ano. Vinte</p><p>dia antes do vencimento da dívida propus a liquidação dela. Que valor paguei pela dívida, se</p><p>Matemática Financeira Prof. Jailson D. Oliveira Página	38</p><p>a taxa de juro composto nessa ocasião era de 10% ao bimestre e o desconto foi feito pelo</p><p>critério racional?</p><p>7) Sabemos que no sistema de capitalização simples o desconto comercial (por fora) é dado</p><p>por 𝑑 = 𝑁. 𝑖. 𝑛, determine uma fórmula para o calculo do desconto comercial composto.</p>