Estatística aplicada medidas posição media

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14
9
4.2
3.3
7
4
.
8
15
.
5
3

1
3
2
1
14
9
4.2
3.3
7
4
.
8
15
.
5
3

1
3
1
3
2
1
2
1
Z) m N R, n (a aa *n mn
m
 e 



n
i
ix
n
x
1
1




n
i
i
n
i
ii
p
p
px
x
1
1
.
ESTATÍSTICA APLICADA 
Medidas de Posição 
Prof Lima Neto 
 Medidas de posição: 
 São estatísticas que representam uma série de 
dados orientando-os quanto à posição da 
distribuição em relação ao eixo horizontal(eixo 
da abcissas). 
 
 Sendo as Medidas de Posição mais importantes 
são as medidas de tendência central, que 
recebem tal denominação pelo fato de os dados 
observados tenderem, em geral a se agrupar em 
torno dos valores centrais. 
Medidas de Tendência Central 
• os dados observados tendem a se agrupar 
em torno de dos valores centrais: 
Média Mediana 
Moda 
Tipos de Dados Estatísticos 
DADOS 
AGRUPADOS 
DADOS 
NÃO-AGRUPADOS 
Sem intervalos de 
classes 
Com intervalos de 
classes 
Medidas de 
Tendência Central 
DADOS AGRUPADOS (com e 
sem intervalos de classes) 
Média 
Mediana 
Média 
Dados não agrupados 
 Exemplo: 
 
 As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, 
foram: 
 
 
Determine: 
 
(a) A nota média 
 
(b) A nota mediana 
 
(c) A nota modal 
8,4 9,1 7,2 6,8 8,7 7,2 
9,7
6
2,77,88,62,71,94,8




X
7,8 
7,2 
Medidas de tendência central 
Média Aritmética( )- É o quociente da divisão da soma 
dos valores da variável pelo número deles: 
 
 
n
x
x
n
i i

 1
Sendo: 
 – a média aritmética; 
 xi – os valores da variável; 
 n – o número de valores 
Vantagem: 
Utiliza TODOS os valores da 
distribuição 
Desvantagem: 
É influenciada por valores 
extremos 
x
x
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, 
durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, 
temos, para produção média da semana: 
 
 
 = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14 litros 
 7 7 
x
 PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA 
i) A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números em relação a média aritmética é zero. 
Exemplo: Seja o conjunto A= { 1,8,10,7,14} 
 1-8=-7; 8-8=0; 10-8=2 7 -8=-1; 14-8=6 
 
 (-7)+0+2+(-1)+6=0 
 
ii) Quando somamos ou subtraímos uma constante aos valores de uma variável, a média fica 
aumentada ou diminuída dessa constante. 
Exemplo : Oito peças foram pesadas, seus pesos (g)são: 2,4-2,8-2,4-2,5-2,4-2,7-2,7-2,8. 
a) Qual o peso médio? 
b) A balança estava descalibrada e cada peso é na verdade.0,3g maior .Qual a verdadeira 
média ?+0,3g. 
 
 ӯ= + K 
iii) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável por uma constante, a média 
fica multiplicada ou dividida por essa constante. 
Exemplo : Considere a seguinte amostra de salários: 
X=500,550,550,600,600,600,650,700,700,2200. 
a) Qual o salário médio? 
 = 7650/10 → = 765 
 
b) Se todos os salários são reajustados em 20%.Qual a nova média salarial? 
 nova = .1,2 
 
 nova =765.1,2 
 
 nova = 918,0 
 
x
x
x
x
x
x
x
85/1471081 x
Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas 
onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. 
Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final: 
 
Média Aritmética 
Ponderada 
(UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco 
provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um 
determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos 
estabelecidos pelo professor para cada prova. 
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada 
igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota 
obtida por esse aluno na prova IV foi: 
7,3
22321
2.(6,2)2.x3.(7,5)2.(7,3)1.(6,5)


  56 + 2x = 73  x = 8,5 
Média Geométrica 
Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da 
amostra 
n
n21
......x.xxx 
66.4.9x 3 
63.12h 
Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9. 
A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média 
geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Veja: 
È usada em Contabilidade e Economia para 
achar taxas médias de variação, de crescimento 
ou razões médias. 
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após 
um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio 
mensal de aumento desta categoria? 
Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um 
salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores 
correspondentes a tais percentuais. Supondo um salário inicial de R$100,00. 
1,1287413 2).(1,07)(1,2).(1,1x 
Salário Final 
7% 
12% 
20% R$100,00 
% de 
aumento 
Salário 
Inicial 
R$120,00 
R$120,00 R$134,4 
R$134,4 R$143,08 
Salário Final 
12,8741% R$100,00 
% de 
aumento 
Salário 
Inicial 
R$112,8741 
R$112,8741 R$127,4056245 12,8741% 
12,8741% R$127,4056245 R$143,08 
Percentual médio de aumento: 12,8741% 
Média Harmônica 
Média Harmônica -A média harmônica está relacionada ao cálculo matemático das situações 
envolvendo as grandezas inversamente proporcionais. É o inverso da média aritmética dos inversos . 
Exemplo: Determine a média harmônica dos números 6, 4 e 9. 
108
19
3
36
19
3
9
1
4
1
6
1


5,68
19
108

Média aritmética dos inversos(Mh) : 
A média harmônica é um tipo de média que privilegia o desempenho harmônico do 
candidato. Terá melhor desempenho o candidato que tiver um desempenho médio em 
todas as provas, do que aquele que for muito bem numa e muito mal noutra. Exemplo: 
Inverso da Média aritmética dos inversos: 
Exercícios: Média 
1- Um produto é vendido em três supermercados por R$ 13,00/kg, R$ 13,20/kg e R$ 13,50/kg. 
Determine quantos R$/kg se paga em média pelo produto. 
 
2- Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade comercializada 
destes produtos vale respectivamente R$ 200,00, R$ 300,00, R$ 500,00, R$ 1.000,00, R$ 
5.000,00. A loja vendeu em determinado mês 20, 30, 20, 10, 5 unidades respectivamente. Qual 
foi lucro médio por unidade comercializada por esta loja? 
 
3- Um caminhão cujo peso vazio é 3.000,00 kg será carregado com 480 caixas de 10 kg cada, 
350 caixas de 8 kg cada, 500 caixas de 4 kg cada, 800 caixas de 5 kg cada. O motorista do 
caminhão pesa 80 kg e a lona de cobertura pesa 50 kg. (a) Se este caminhão tem que passar 
por uma balança que só permite passagens a caminhões com peso de 15 toneladas, este 
caminhão passará pela balança? (b) Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão? 
4-Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um 
mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio geométrico 
mensal de aumento desta categoria? 
 
5-Suponha que, em uma determinada viagem, um carro desenvolva duas velocidades 
distintas, durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 50 km/h e durante a 
metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. determine a velocidade média harmônica do 
veículo durante o percurso. 
Dados Agrupados – Sem intervalos de 
classes 
variável discreta de variação 
relativamente pequena. 
 Exemplo: Consideremos a distribuição relativa a 34 
famílias de 4 filhos, tomando para variável o número de 
filhos do sexo masculino. 
 xi 
(n° de meninos) 
fi 
 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
Σ=34 
Média 
• Sem intervalos de classes: 
 xi: variável 
 fi: freqüência absoluta (indica a 
intensidade de cada valor da variável) 
 xi 
 
(n° de meninos) 
fi 
 
(n° de famílias) 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
Σ=34 
i
ii
f
fx
X




Distribuição relativa a 34 
famílias de 4 filhos, 
tomando para variável o 
número de filhos do sexo 
masculino. 
 xi 
 
(n° de meninos) 
fi 
 
(n° de famílias) 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
Σ=34 
 
xifi 
0 
6 
20 
36 
16 
Σ=783,2
34
78





i
ii
f
fx
X
O valor médio 2,3 meninos sugere que o maio número 
de famílias tem 2 meninos e 2 meninas. 
Média 
Dados Agrupados com intervalos de 
classes 
Média 
 Com intervalos de classes: 
 xi: ponto médio da classe 
 fi: freqüência absoluta 
i
ii
f
fx
X




SALÁRIO SEMANAL 
(R$) 
fi 
PONTO 
MÉDIO (xi) 
150 154 4 152 
154 158 9 156 
158 162 11 160 
162 166 8 164 
166 170 5 168 
170 174 3 172 
TOTAL 40 
SALÁRIO 
SEMANAL 
(R$) 
fi 
PONTO 
MÉDIO (xi) 
150 154 4 152 
154 158 9 156 
158 162 11 160 
162 166 8 164 
166 170 5 168 
170 174 3 172 
TOTAL 40 
Média 
 
xifi 
608 
1404 
1760 
1312 
840 
516 
Σ = 6440 
161
40
6440





i
ii
f
fx
X
1- Calcule a média das idades dos 
alunos de uma classe: 
 estatística exercícios 
Idades fi 
17 
18 
19 
20 
21 
3 
18 
17 
8 
4 
Σ = 50 
2- Calcule o número médio de 
acidentes por dia em uma determinada 
esquina: 
Acidentes fi 
0 
1 
2 
3 
4 
30 
5 
3 
1 
1 
Σ = 40 
 estatística 
3- O salário de 40 funcionários de um 
escritório está distribuído segundo o 
quadro ao lado. Calcule o salário 
médio destes funcionários. 
i Salários 
(R$) 
fi 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
1000 ⌐ 1200 
1200 ⌐ 1400 
1400 ⌐ 1600 
1600 ⌐ 1800 
1800 ⌐ 2000 
2000 ⌐ 2200 
12 
15 
8 
3 
1 
1 
Σ = 40 
 estatística 
4- Uma imobiliária gerencia o aluguel 
de residências particulares em um 
determinado Bairro, seguindo o 
quadro ao lado. Calcule o aluguel 
médio para estas residências 
i Aluguel 
(R$) 
fi 
1 
2 
3 
4 
5 
300 ⌐ 400 
400 ⌐ 500 
500 ⌐ 600 
700 ⌐ 800 
800 ⌐ 900 
30 
52 
28 
7 
3 
Σ = 120