Mom Inércia integração_2

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Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ 
Departamento de Ensino Superior - DEPES 
Departamento de Engenharia Civil - DEPEC 
Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de Inércia por integração 
 
O momento de Inércia de uma área A em relação aos 
eixos x, y e z é definido como: 
 
 
 
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Momento de Inércia por integração 
 
Podemos reduzir a complexidade do problema se 
escolhermos dA como sendo uma faixa estreita 
paralela a uma dos eixos coordenados. 
 
 
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Momento de Inércia por integração 
 
Além disso, temos: 
 
 
Momento Polar de Inércia Raio de Giração 
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Momento de Inércia por integração 
 
Exemplo: Determine o momento de inércia em relação 
ao eixo x da área sob a parábola abaixo. 
 
 
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Momento de Inércia por integração 
 
Solução: O problema pode ser resolvido usando tanto 
uma faixa vertical como horizontal. Primeiro é 
necessário que determinemos o valor da constante k, 
substituindo x = 4 e y = 3 na equação da parábola. 
 
 
4 = k(3)² 
 
k = 4/9 
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Momento de Inércia por integração 
 
Solução: Utilizando uma faixa horizontal, podemos ver 
que todas as partes da faixa estão a uma mesma 
distância do eixo x. Assim, teremos: 
 
 
 
 
 
 ↓ 
 
 
𝒅𝑨 = 𝟒 𝟏 −
𝒚𝟐
𝟗
 𝒅𝒚 
𝑑𝐴 = (4 − 𝑥)𝑑𝑦 
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Momento de Inércia por integração 
 
Solução: Agora, basta integrar em relação a y que 
encontramos o Ix da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
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Momento de Inércia por integração 
 
Exercício: Determine o momento de inércia em relação 
ao eixo x da área mostrada. 
 
 
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Momento de Inércia por integração 
 
Exercício: Primeiro determinamos o valor de k, 
substituindo x = 4’’ e y = 4’’ na equação da parábola. 
 
 
4 = k(4)² 
 
k = 1/4 
 
 
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Momento de Inércia por integração 
 
Solução: Em seguida, escolhemos uma faixa 
horizontal, que facilita o cálculo para o momento de 
inércia em relação a x. Assim, temos: 
 
 , como 
 
 então: . 
 
𝒅𝑨 = 𝒙𝒅𝒚 𝒙 =
𝒚𝟐
𝟒
 
𝒅𝑨 =
𝒚𝟐
𝟒
𝒅𝒚 
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Momento de Inércia por integração 
 
Solução: Agora, utilizamos a fórmula da integral para 
calcularmos o momento Ix. 
 
 
 → → 
 
 
 
→ → 
𝑰𝒙 = 𝒚𝟐 𝒅𝑨 𝑰𝒙 = 𝒚
𝟐 
𝒚𝟐
𝟒
 𝒅𝒚
𝟒
𝟎
 
𝑰𝒙 =
𝟏
𝟒
 
𝒚𝟒
𝟒
 𝒅𝒚
𝟒
𝟎
 𝑰𝒙 =
𝟐𝟓𝟔
𝟓
 
𝑰𝒙 = 𝟓𝟏,𝟐 𝒊𝒏𝟒