Aula Momento 3D e CG simples

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Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ 
Departamento de Ensino Superior - DEPES 
Departamento de Engenharia Civil - DEPEC 
Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento em três dimensões 
 
 
 
 
 
Em geral, os problemas em três 
dimensões são mais fáceis de 
resolver quando trabalhamos 
com vetores. Dessa forma, 
podemos escrever o momento 
de uma força em notação 
vetorial, através do 
determinante: 
 
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Momento em três dimensões 
 
Desenvolvendo o determinante acima, encontramos: 
 
 
 
 
 
Então, temos os momentos em relação aos eixos x, y e z: 
 
 
 
 
E se quisermos o momento escalar resultante, utilizamos: 
 
 
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Momento em três dimensões 
 
Se quisermos calcular o momento de uma força em relação a um 
eixo qualquer, basta substituir os unitários i, j e k do determinante 
pelos cossenos diretores do dado eixo. Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde α, β e γ são os cossenos diretores de um eixo λ. 
 
 
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Momento em três dimensões 
 
 
 
Exemplo: A tensão T de 
magnitude 10 kN é aplicada 
no cabo preso no vértice A do 
mastro rígido e amarrado no 
solo no ponto B. Determine o 
momento Mz da força T sobre 
o eixo z. 
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Momento em três dimensões 
 
Solução: Primeiramente, é necessário achar as componentes 
retangulares da força T, que são encontradas multiplicando-se a 
dada força T pelo vetor unitário nAB. Assim, temos: 
 
 
 
 
= 10 (0,566i – 0,707j + 0,424k) kN 
 
Então, temos que: 
 
Fx = 5,66 kN 
Fy = 7,07 kN 
Fz = 4,24 kN 
T . nAB = 10 kN 
12𝑖−15𝑗+9𝑘
 12 2+ −15 2 + 9 2
 
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Momento em três dimensões 
 
Pelo desenvolvimento do determinante, temos que: 
 
 
 
 
 
Sendo que: 
 
Fx = 5,66 kN 
rx = 0 m 
Fy = 7,07 kN 
ry = 15 m 
 
Assim: 
Mz = 0 (7,07) – 15 (5,66) = – 84,9 kNm 
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Momento em três dimensões 
 
 
 
Exercício: Uma força de 300 N é aplicada na manivela, como 
mostra a figura. A força pertence a um plano paralelo ao plano y-z 
e é perpendicular a 
linha AB da manivela. 
Determine o 
momento resultante 
dessa força sobre o 
ponto O. 
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Momento em três dimensões 
 
Solução: Primeiramente, construímos o determinante: 
 
 
 
 
 
Resolvendo-o, encontramos: 
 
(- 98,67i + 17,25j + 29,88k) Nm 
 
Portanto, o momento escalar resultante é: 
 
 
= 104,5 Nm 
 
𝑖 𝑗 𝑘
0,115 0,350 cos 40 0,350 sin 40 
0 0,300 sin 60 −0,300 cos 60 
 
 −98,67 2 + 17,25 2 + 29,88 2 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
 Centro de Gravidade de um corpo é o ponto onde 
pode ser considerada a aplicação da força de atração 
gravitacional de todo o corpo formado por um conjunto de 
partículas. 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
A determinação matemática do Centro de Gravidade de um 
corpo vem de cálculos de integrais. Entretanto, para algumas 
figuras geométricas simples o CG é predeterminado e 
tabelado, e está disponível em quaisquer livros de estática. 
 
A seguir, seguem as coordenadas do CG de cada uma das 
figuras planas mais comuns: (Livro Meriam & Kraige – pg. 483) 
 
1) Superfície circular: 
 
 ẏ = 0 Área = πr² 
 ẋ = 0 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
2) Superfície semicircular: 
 
 ẋ = 0 Área = πr²/2 
 ẏ = 4r/3π 
 
 
 
3) Superfície de um quarto de círculo: 
 
 
 ẋ = ẏ = 4r/3π Área = πr²/4 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
4) Setor circular: 
 
 ẋ = 2r senα / 3α Área = αr² 
 
 
 
5) Superfície retangular: 
 
 
 ẋ = ẏ = 0 Área = bh 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
6) Superfície triangular: 
 
 ẋ = (a+b)/3 Área = bh/2 
 ẏ = h/3 
 
 
 
 
7) Superfície de um quarto de elipse: 
 
 
 ẋ = 4a/3π Área = π ab/4 
 ẏ = 4b/3π 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
8) Superfície sob um arco parabólico: 
 
 ẋ = 3a/4 Área = ab/3 
 ẏ = 3b/10 
 
 
 
 
9) Superfície parabólica: 
 
 
 ẋ = 3a/8 Área = 2ab/3 
 ẏ = 3b/5 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
Determinação do CG de figuras combinadas 
 
Para determinarmos o CG de uma figura composta por outras 
figuras simples, utilizamos a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
Simplificando, temos: 
 
 
 
ẋ =
𝑥1 𝐴1 + 𝑥2 𝐴2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝐴𝑛
𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑛
 
ẋ =
 ẋ 𝐴
 𝐴
 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
Exemplo: Determine o CG da figura a seguir. 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
Solução: Podemos dividir a peça e duas figuras, sendo um 
retângulo e um triângulo. 
 
Encontramos as coordenadas do CG de cada uma das 
figuras, e multiplicamos pela respectiva área da figura. 
Assim, temos: 
 
 
Área do retângulo: (300)(600) = 180000 mm² 
ẋ do retângulo: 150 mm 
Produto ẋA = 27000000 mm³ 
ẏ do retângulo:300 mm 
Produto ẏA = 54000000 mm³ 
 
Área do triângulo: (300)(600)/2 = 90000 mm² 
ẋ do triângulo: 300 + (300)/3 = 400 mm 
Produto ẋA= 32000000 mm³ 
ẏ do triângulo: 2(600)/3 = 400 mm 
Produto ẏA = 32000000 mm³ 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
Solução: Para facilitar o problema, construímos a seguinte 
tabela com os dados acima calculados: 
Figura A (mm²) ẋ (mm) ẏ (mm) ẋA (mm³) ẏA (mm³) 
Retângulo 180000 150 300 27000000 54000000 
Triângulo 90000 400 400 36000000 36000000 
Somatório 270000 - - 63000000 90000000 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
Solução: Para descobrirmos as coordenadas do CG da peça 
inteira, basta dividir o somatório de ẋA e ẏA pelo somatório 
das áreas. Assim, encontramos: 
 
 
 
 
ẋ = 63000000 / 270000 = 233,333... mm 
 
ẏ = 90000000 / 270000 = 333,333... mm 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
Exercício: Determine o CG da figura a seguir. 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
Solução: Dividimos a peça em três figuras, sendo um 
retângulo, um triângulo e um furo circular. Construindo a 
tabela auxiliadora, encontramos: 
Figura A (mm²) ẋ (mm) ẏ (mm) ẋA (mm³) ẏA (mm³) 
Retângulo 100000 200 125 20000000 12500000 
Triângulo 18750 450 83,333 8437500 1562493,75 
Furo 
circular 
- 11309,7 200 125 - 2261940 - 1413712,5 
Somatório 107440,3 - - 26175560 12648781,25 
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Centro de Gravidade (CG) 
 
Solução: Assim, encontramos as seguintes coordenadas para 
o CG da peça: 
 
 
 
 
ẋ = 26175560 / 107440,3 = 243,6 mm 
 
ẏ = 12648781,25 / 107440,3 = 117,7 mm