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Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Momento em três dimensões Em geral, os problemas em três dimensões são mais fáceis de resolver quando trabalhamos com vetores. Dessa forma, podemos escrever o momento de uma força em notação vetorial, através do determinante: Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Momento em três dimensões Desenvolvendo o determinante acima, encontramos: Então, temos os momentos em relação aos eixos x, y e z: E se quisermos o momento escalar resultante, utilizamos: Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Momento em três dimensões Se quisermos calcular o momento de uma força em relação a um eixo qualquer, basta substituir os unitários i, j e k do determinante pelos cossenos diretores do dado eixo. Assim, temos: Onde α, β e γ são os cossenos diretores de um eixo λ. Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Momento em três dimensões Exemplo: A tensão T de magnitude 10 kN é aplicada no cabo preso no vértice A do mastro rígido e amarrado no solo no ponto B. Determine o momento Mz da força T sobre o eixo z. Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Momento em três dimensões Solução: Primeiramente, é necessário achar as componentes retangulares da força T, que são encontradas multiplicando-se a dada força T pelo vetor unitário nAB. Assim, temos: = 10 (0,566i – 0,707j + 0,424k) kN Então, temos que: Fx = 5,66 kN Fy = 7,07 kN Fz = 4,24 kN T . nAB = 10 kN 12𝑖−15𝑗+9𝑘 12 2+ −15 2 + 9 2 Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Momento em três dimensões Pelo desenvolvimento do determinante, temos que: Sendo que: Fx = 5,66 kN rx = 0 m Fy = 7,07 kN ry = 15 m Assim: Mz = 0 (7,07) – 15 (5,66) = – 84,9 kNm Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Momento em três dimensões Exercício: Uma força de 300 N é aplicada na manivela, como mostra a figura. A força pertence a um plano paralelo ao plano y-z e é perpendicular a linha AB da manivela. Determine o momento resultante dessa força sobre o ponto O. Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Momento em três dimensões Solução: Primeiramente, construímos o determinante: Resolvendo-o, encontramos: (- 98,67i + 17,25j + 29,88k) Nm Portanto, o momento escalar resultante é: = 104,5 Nm 𝑖 𝑗 𝑘 0,115 0,350 cos 40 0,350 sin 40 0 0,300 sin 60 −0,300 cos 60 −98,67 2 + 17,25 2 + 29,88 2 Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) Centro de Gravidade de um corpo é o ponto onde pode ser considerada a aplicação da força de atração gravitacional de todo o corpo formado por um conjunto de partículas. Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) A determinação matemática do Centro de Gravidade de um corpo vem de cálculos de integrais. Entretanto, para algumas figuras geométricas simples o CG é predeterminado e tabelado, e está disponível em quaisquer livros de estática. A seguir, seguem as coordenadas do CG de cada uma das figuras planas mais comuns: (Livro Meriam & Kraige – pg. 483) 1) Superfície circular: ẏ = 0 Área = πr² ẋ = 0 Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) 2) Superfície semicircular: ẋ = 0 Área = πr²/2 ẏ = 4r/3π 3) Superfície de um quarto de círculo: ẋ = ẏ = 4r/3π Área = πr²/4 Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) 4) Setor circular: ẋ = 2r senα / 3α Área = αr² 5) Superfície retangular: ẋ = ẏ = 0 Área = bh Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) 6) Superfície triangular: ẋ = (a+b)/3 Área = bh/2 ẏ = h/3 7) Superfície de um quarto de elipse: ẋ = 4a/3π Área = π ab/4 ẏ = 4b/3π Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) 8) Superfície sob um arco parabólico: ẋ = 3a/4 Área = ab/3 ẏ = 3b/10 9) Superfície parabólica: ẋ = 3a/8 Área = 2ab/3 ẏ = 3b/5 Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) Determinação do CG de figuras combinadas Para determinarmos o CG de uma figura composta por outras figuras simples, utilizamos a seguinte fórmula: Simplificando, temos: ẋ = 𝑥1 𝐴1 + 𝑥2 𝐴2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝐴𝑛 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑛 ẋ = ẋ 𝐴 𝐴 Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) Exemplo: Determine o CG da figura a seguir. Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) Solução: Podemos dividir a peça e duas figuras, sendo um retângulo e um triângulo. Encontramos as coordenadas do CG de cada uma das figuras, e multiplicamos pela respectiva área da figura. Assim, temos: Área do retângulo: (300)(600) = 180000 mm² ẋ do retângulo: 150 mm Produto ẋA = 27000000 mm³ ẏ do retângulo:300 mm Produto ẏA = 54000000 mm³ Área do triângulo: (300)(600)/2 = 90000 mm² ẋ do triângulo: 300 + (300)/3 = 400 mm Produto ẋA= 32000000 mm³ ẏ do triângulo: 2(600)/3 = 400 mm Produto ẏA = 32000000 mm³ Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) Solução: Para facilitar o problema, construímos a seguinte tabela com os dados acima calculados: Figura A (mm²) ẋ (mm) ẏ (mm) ẋA (mm³) ẏA (mm³) Retângulo 180000 150 300 27000000 54000000 Triângulo 90000 400 400 36000000 36000000 Somatório 270000 - - 63000000 90000000 Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) Solução: Para descobrirmos as coordenadas do CG da peça inteira, basta dividir o somatório de ẋA e ẏA pelo somatório das áreas. Assim, encontramos: ẋ = 63000000 / 270000 = 233,333... mm ẏ = 90000000 / 270000 = 333,333... mm Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) Exercício: Determine o CG da figura a seguir. Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) Solução: Dividimos a peça em três figuras, sendo um retângulo, um triângulo e um furo circular. Construindo a tabela auxiliadora, encontramos: Figura A (mm²) ẋ (mm) ẏ (mm) ẋA (mm³) ẏA (mm³) Retângulo 100000 200 125 20000000 12500000 Triângulo 18750 450 83,333 8437500 1562493,75 Furo circular - 11309,7 200 125 - 2261940 - 1413712,5 Somatório 107440,3 - - 26175560 12648781,25 Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ Departamento de Ensino Superior - DEPES Departamento de Engenharia Civil - DEPEC Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. Centro de Gravidade (CG) Solução: Assim, encontramos as seguintes coordenadas para o CG da peça: ẋ = 26175560 / 107440,3 = 243,6 mm ẏ = 12648781,25 / 107440,3 = 117,7 mm
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