P2 - Aula Cargas Distribuídas (Linear e Não Linear)

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Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ 
Departamento de Ensino Superior - DEPES 
Departamento de Engenharia Civil - DEPEC 
Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cargas Distribuídas – Carregamentos 
 
Além de forças concentradas, corpos rígidos também 
podem sofrer a ação de cargas distribuídas ao longo 
de um determinado comprimento. Contudo, é possível 
reduzir o carregamento por uma força em um único 
ponto. Os carregamentos podem ser: 
 
 Lineares: é quando a intensidade do carregamento é 
constante ou varia linearmente ao longo do 
comprimento do corpo. 
 
 Não-Lineares: é quando a intensidade do 
carregamento varia de forma não linear ao longo do 
comprimento do corpo. 
 
 
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Cargas Distribuídas – Carregamentos 
 
Exemplos: 
Linear 
Não-Linear 
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Carregamento Linear 
 
Para cargas linearmente distribuídas, pode-se substituir o 
carregamento por uma força resultante aplicada no Centro 
de Gravidade (CG) da figura geométrica formada pelo 
carregamento, sendo que a intensidade da força é igual a 
área da figura. 
 
Exemplos: 
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Carregamento Linear 
 
Para cargas lineares combinadas, basta dividir o 
carregamento em quantas figuras geométricas forem 
necessárias, aplicando sempre a força resultante no 
CG da figura formada, e sendo essa força sempre igual 
a área da figura. 
 
Exemplo: 
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Carregamento Linear 
 
Exemplo: Determine as forças de reação nos apoios em 
A e em B para a viga sujeita ao carregamento 
mostrado. 
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Carregamento Linear 
 
Solução: Como se trata de carregamento linear, 
podemos dividir o carregamento em duas figuras, um 
retângulo e um triângulo. 
 
No caso do retângulo, a força resultante do 
carregamento é igual a área, e é aplicada no CG da 
figura, que é meio da viga. Assim: 
F1 = 10 x 120 = 1200 lb 
d1 = 10/2 = 5’ 
 
No caso do triângulo, a força resultante do 
carregamento também é igual a área, e é aplicada no 
CG da figura. Assim: 
F2 = [(280 – 120) x 6] / 2 = 480 lb 
d2 = 4 + [(2/3) x 6] = 8’ 
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Carregamento Linear 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando o DCL: 
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Carregamento Linear 
 
 
Aplicamos [∑MA = 0] e descobrimos a reação em B. 
 
[∑MA = 0] → (1200 x 5) + (480 x 8) – (RB x 10) 
RB = 984 lb 
 
Aplicamos [∑MB = 0] e descobrimos a reação em A. 
 
[∑MB = 0] → (480 x 2) + (1200 x 5) – (RA x 10) 
RA = 696 lb 
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Carregamento Linear 
 
Exercício1: Determine as reações no apoio A para a 
viga abaixo: 
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Carregamento Linear 
 
Solução: Primeiramente, substitui-se o carregamento 
por uma força aplicada no CG do triângulo. 
F1 = (4kN/m x 3m) / 2 = 6kN 
XCG = [(2/3) x 3] = 2m 
 
Faz-se, então, o DCL da viga e acha-se o momento em 
A: 
MA = (6 x 2) + (2 x 4,5) = 21Nm 
 
As componentes em x e y da força de reação nos 
apoios são: 
RAy = 6 + 2 = 8kN 
RAx = 0 
 
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Carregamento Linear 
 
Exercício2: Determine as reações nos apoios A e B 
para a viga carregada conforme a figura abaixo: 
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Carregamento Linear 
 
Solução: Primeiramente, dividimos o carregamento 
mostrado em três figuras: dois triângulos e um 
retângulo. Em seguida, calculamos a intensidade da 
força resultante e seu ponto de aplicação para cada 
uma das figuras. 
 
Triângulo 1: F1 = (160 x 3) / 2 = 240lb 
Retângulo: F2 = (160 x 5) = 800lb 
Triângulo2: (160 x 4) / 2 = 320lb 
 
Triângulo1: d1 = [(2/3) x 3] = 2ft 
Retângulo: d2 = 3 + (5/2) = 5,5ft 
Triângulo2: d3 = 3 + 5 + [(1/3) x 4] = 9,333...ft 
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Carregamento Linear 
 
Solução: Determinamos as reações em A e em B 
aplicando somatório dos momentos igual a zero em 
ambos os pontos. 
 
 
 
[∑MA = 0] → (240 x 1) + (RB x 5) = (800 x 2,5) + (320 x 6,333) 
RB = 757,33 lb 
 
 
[∑MB = 0] → (240 x 6) + (800 x 2,5) = (RA x 5) + (320 x 1,333) 
RA = 602,69 lb 
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Carregamento Não-Linear 
 
Para cargas distribuídas de forma não-linear, também pode-
se substituir o carregamento por uma força resultante 
aplicada no Centro de Gravidade (CG) da figura geométrica 
formada, sendo que a intensidade da força é igual a área da 
figura. Entretanto, para essas determinações são 
necessários cálculos de diferenciais e integrais. 
 
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Carregamento Não-Linear 
 
Se imaginarmos um pequeno elemento diferencial de 
força e fizermos o somatório infinitesimal desses 
elementos, encontramos: 
 
 
 
 
 ↓ 
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Carregamento Não-Linear 
 
A localização dessa força resultante R é na coordenada 
x do CG da figura (XCG). Para encontrá-la, utilizamos: 
 
 
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Carregamento Não-Linear 
 
Exemplo: Determine as reações no engaste A da viga 
carregadaconforme a figura abaixo. 
 
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Carregamento Não-Linear 
 
Solução: Inicialmente, precisamos encontrar as 
constantes ω0 e k. 
 
Pela figura, vemos que: ω(0) = ω0 = 1000 N/m 
 
Substituindo os valores da figura na equação que 
descreve a curva, podemos obter o valor de k: 
ω0 = 1000 N/m 
ω = 2024 N/m 
x = 8 m 
 
2024 = 1000 + k (8)³ 
K = 2 N/m4 
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Carregamento Não-Linear 
 
Solução: Em seguida, encontramos a resultante R 
através da integral: 
 
 
 
 
 
Sabemos que ω = 1000 + 2x³ , e que os limites de 
integração são 0 (inferior) e 8 (superior). Assim: 
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Solução: A coordenada x do centroide da figura é 
encontrada através da integral: 
 
 
 
 
 
Carregamento Não-Linear 
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Solução: Sabemos ainda que ω = 1000 + 2x³, e temos 
o valor da resultante R calculada anteriormente. Então: 
 
 
 
 
 
↓ 
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Solução: Agora basta aplicarmos somatório dos 
momentos igual a zero no ponto para descobrirmos MA, 
e somatório das forças igual a zero em x e em y. 
 
 
[∑MA = 0] → MA = 10048 x 4,49 → MA = 45100 Nm 
 
[∑Fy = 0] → Ay = 10048 N 
 
Por inspeção, Ax = 0. 
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Exercício: Determine as reações em A e em B para a 
viga sujeita as cargas concentradas e distribuídas. 
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Solução: Primeiro, devemos encontrar o valor de k. 
Sabemos que, ω = ω0 + kx² e que: 
 ω = 6 kN/m 
ω0 = 2 kN/m 
x = 0,6 + 1,4 = 2 m 
 
Substituindo esses valores na equação, encontramos: 
k = 1 kN/m³ 
 
A força resultante R é encontrada através da integral: 
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Solução: Como o carregamento varia de 0 a 2, 
tomaremos estes como limites inferior e superior, 
respectivamente. Assim, temos: 
 
 
 → 
 ↓ 
 
 → R = 6,67 kN 
Carregamento Não-Linear 
 (𝛚𝟎 + 𝐤𝐱
𝟐) 𝐝𝐱
𝟐
𝟎
 𝟐 + 𝟏𝐱𝟐 𝐝𝐱
𝟐
𝟎
 
 𝟐𝒙 +
𝒙𝟑
𝟑
 
 𝟐
 𝟎
 
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Solução: Para encontrarmos a coordenada x do CG da 
figura, utilizamos: 
 
 
 
 
 
 
Com isso, temos: 
Carregamento Não-Linear 
𝒙 =
 𝒙 𝟐 + 𝟏𝒙𝟐 
𝟐
𝟎
𝒅𝒙
𝑹
 
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Solução: Resolvendo: 
 
 
 → → 
 
 
 
 → → 
Carregamento Não-Linear 
𝒙 =
 𝒙 𝟐 + 𝟏𝒙𝟐 
𝟐
𝟎
𝒅𝒙
𝑹
 𝒙 =
 𝟐𝒙 + 𝟏𝒙𝟑 𝒅𝒙
𝟐
𝟎
𝟔,𝟔𝟕
 
𝒙 =
 𝟐
𝒙𝟐
𝟐 +
𝒙𝟒
𝟒 
 𝟐
 𝟎
𝟔,𝟔𝟕
 𝒙 = 𝟏,𝟐 𝒎 
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Solução: Para encontrarmos as reações em A e em B, 
aplicamos agora as equações de equlíbrio. 
 
[∑MA = 0] → [6,67 x (1,2 – 0,6)] = (RBy x 1,8) + (4 x 0,5) 
RBy = 1,11 kN 
 
[∑MB = 0] → (4 x 0,5) + [6,67 x (2,4 – 1,2)] = (RAy x 1,8) 
RAy = 5,56 kN 
 
Por inspeção, RBx = 4 kN 
Carregamento Não-Linear