Aula 02 - Introdução ao Método dos Elementos Finitos

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<p>Introdução ao Método dos</p><p>Elementos Finitos - MEF</p><p>Engenharia Mecânica</p><p>ENGENHARIA ASSISTIDA POR COMPUTADOR</p><p>AULA 02</p><p>2Engenharia Assistida por Computador</p><p>Introdução;</p><p>Pilares;</p><p>Modelos Contínuos x Modelos Discretos</p><p>Projetos;</p><p>Elementos Finitos - A Base da</p><p>Tecnologia CAE, 6th Edition</p><p>Avelino Alves Filho</p><p>Finite Element Analysis – FEA</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>- MEF</p><p>Bibl iograf ia</p><p>3Engenharia Assistida por Computador</p><p>4Engenharia Assistida por Computador</p><p>Introdução - Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ No dia a dia das atividades de engenharia, os engenheiros e os projetistas são colocados</p><p>diante de problemas técnicos, alguns mais simples e outros mais complexos, tendo de</p><p>resolvê-los de forma satisfatória. Para isso utilizam um verdadeiro arsenal de fórmulas,</p><p>tabelas, que aprenderam nos cursos de engenharia;</p><p>▪ Em particular, na área de cálculo estrutural, o engenheiro deve garantir que a estrutura</p><p>objeto de análise não estará sujeita a falhas sob as diversas condições de operação. Os</p><p>subsídios para essa missão são normalmente obtidos a partir da resistência dos</p><p>materiais, que trata da resistência e da rigidez dos elementos das estruturas, apoiando-se</p><p>nos Teoremas da Mecânica Geral e em particular no estudo da estática;</p><p>5Engenharia Assistida por Computador</p><p>Introdução - Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ O método dos elementos finitos não é limitado à análise estrutural. Ele também é</p><p>utilizado em problemas de mecânica dos fluidos, transferência de calor, acústica,</p><p>eletromagnetismo e outros problemas mais especializados.</p><p>https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwj7ouX2y5jMAhXJkpAKHX8gADgQjRwIBw&url=https://www.comsol.pt/cfd-module&bvm=bv.119745492,d.Y2I&psig=AFQjCNHAXU2Epz_pWgkEfQQgb41GsAGNLw&ust=1461082832271846</p><p>https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiP1PeGzpjMAhVKIJAKHaXHCWwQjRwIBw&url=https://www.kjmagnetics.com/blog.asp?p=superconductors&bvm=bv.119745492,d.Y2I&psig=AFQjCNF-hXBwAPerWaQMoZ47WZNYXVTtjQ&ust=1461083385438863</p><p>6Engenharia Assistida por Computador</p><p>Introdução - Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Motivação para utilização de ferramentas de CAE como os softwares que utilizam o MEF:</p><p>• É possível a implementação de um sistema de CAD, acreditando que ele por si só irá produzir</p><p>projetos eficientes?</p><p>• Na área de CAE seria diferente?</p><p>• “Se o engenheiro não sabe modelar o problema sem ter o computador, ele não deve fazê-lo tendo</p><p>o computador.”</p><p>• Seria possível um gerente de projeto falar para os seus engenheiros: “Olha vocês têm todo o tempo</p><p>do mundo para desenvolver esse projeto e apresentar a melhor solução, fiquem à vontade, mas</p><p>também não precisa se preocupar com a qualidade.”</p><p>• O Mercado Globalizado exige projetos com desenvolvimento cada vez mais rápido, com baixos</p><p>custos e com grande qualidade. Em resumo a procura por redução de custos e prazos. Ter mais</p><p>agilidade nas atividades e garantir a qualidade no produto final.</p><p>7Engenharia Assistida por Computador</p><p>Introdução - Método dos Elementos Finitos</p><p>• Na área automotiva o desenvolvimento era realizado pelo método de tentativa e erro, a montadora</p><p>construía um protótipo do veículo e colocava o mesmo em pistas especiais para teste de</p><p>durabilidade. Os obstáculos das pistas provocavam uma aceleração da vida útil do veículo. Em caso</p><p>de sucesso os veículos poderiam ser lançados;</p><p>• Nas indústrias navais e aéreas, isso era inviável, como construir um protótipo de um navio de</p><p>US100.000.000 e depois chegar a conclusão que ele não funciona e que deveria ser construído</p><p>outro, com um a nova concepção?</p><p>• A grande motivação é a redução de prazo e de custo no projeto. Fazer o projeto da forma correta</p><p>minimizando os possíveis erros;</p><p>• A grande ideia da tecnologia dos elementos finitos é trabalhar com os protótipos virtuais;</p><p>• Mas isso não se limita a “apertar botões” é muito mais complexo e exige conhecimento teórico</p><p>das ferramentas.</p><p>8Engenharia Assistida por Computador</p><p>Pilares - Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Os pilares do MEF (Método de Elementos Finitos) que irão sustentar todo o aprendizado:</p><p>1. A modelagem matemática dos fenômenos físicos. Serão feitas as devidas simplificações</p><p>onde as soluções não podem ser mais difíceis do que os problemas.</p><p>• No desenvolvimento dos cálculos de uma estrutura, o sucesso dessa tarefa não está apenas</p><p>condicionado ao conhecimento de um aparato matemático muitas vezes complicado, mas à</p><p>capacidade que o engenheiro apresenta de entender a natureza física do fenômeno que se propõe</p><p>a resolver. A identificação dos pontos relevantes do problema em estudo permite tecer hipóteses</p><p>sobre o comportamento do sistema estrutural a ser analisado, que constituirão a base para um bom</p><p>desenvolvimento do projeto em curso.</p><p>2. A Discretização: A grande missão da análise estrutural é entender o comportamento da</p><p>estrutura inteira a partir do entendimento de cada um dos seus elementos.</p><p>• Estrutura reticulada, constituídas de componentes individuais de barras (elementos), formando um</p><p>conjunto de elementos conectados em pontos chaves chamadas de juntas estruturais ou nós</p><p>estruturais e no MEF conhecidos somente como nós;</p><p>9Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>Nas estruturas reticuladas o</p><p>modelo é de fácil visualização.</p><p>10Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>Malha: divisão do componente em</p><p>um número finito de elementos</p><p>discretos conectados pelos seus nós.</p><p>11Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Em todos os modelos do MEF isso ocorrerá, ou seja, a divisão em elementos que estão</p><p>conectados por nós;</p><p>▪ A análise de um elemento isolado é feita através do diagrama de corpo livre. Onde devem</p><p>ser incluídas todas as ações que o elemento troca com os seus vizinhos;</p><p>▪ É preciso quantificar o comportamento do conjunto a partir do comportamento de cada</p><p>elemento e para isso é usado o conceito mais importante da mecânica estrutural que é o</p><p>conceito da rigidez. Se temos um elemento podemos estudar o comportamento de</p><p>deformação dele conhecendo a sua rigidez;</p><p>▪ Devem ser consideradas todas as rigidezes existentes no elemento, sendo: rigidez axial,</p><p>rigidez a flexão no plano vertical, rigidez a flexão no plano horizontal e a rigidez a torção.</p><p>Um mesmo elemento pode ter diferentes componentes de rigidez convivendo juntos;</p><p>12Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>13Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>Lei de Hooke ? ? ?</p><p>14Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>Lei de Hooke</p><p>x</p><p>𝐹 = 𝐾. 𝑥</p><p>Robert Hooke (1635-1703)</p><p>15Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Outro conceito da física básica também relacionado com o elemento mola, é o conceito de</p><p>mola equivalente. A deformação do conjunto é avaliada a partir da deformação de cada um</p><p>dos seus elementos, ou seja, a partir da rigidez de cada elemento você pode avaliar a</p><p>rigidez do conjunto inteiro, como se fosse a mola equivalente;</p><p>▪ Na análise linear esses componentes de rigidez que convivem juntos não tem relação entre</p><p>eles. Por exemplo, as forças axiais e forças de flexão agem independentes, ou seja, uma não</p><p>afeta o efeito da outra;</p><p>▪ Conhecendo o comportamento da rigidez de cada elemento é possível conhecer o</p><p>comportamento da rigidez da estrutura (mola equivalente) esse é o grande objetivo da</p><p>análise do MEF, sabendo dessa forma como a estrutura se deforma. O software de MEF é</p><p>uma ferramenta importante, mas sempre em conjunto com o conhecimento da teoria;</p><p>▪ Se a estrutura reticulada está em equilíbrio, os elementos estão também em equilíbrio,</p><p>comprovados pelos seus diagramas de corpo livre.</p><p>16Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>▪ Ao iniciar um processo de cálculo da estrutura objeto de análise, o engenheiro deve</p><p>formular um Esquema de Cálculo para essa estrutura ou, em outras palavras, um Modelo</p><p>de Cálculo, em que a estrutura é idealizada de sorte que se possa analisá-la. A figura a</p><p>seguir representa de forma esquemática os passos principais envolvidos na análise de um</p><p>sistema estrutural. Por intermédio de um exemplo bastante simples de flexão de vigas,</p><p>pretende-se introduzir a filosofia de abordagem anteriormente discutida e posteriormente,</p><p>utilizando a mesma sequência, partir para o estudo de sistemas mais complexos;</p><p>▪ A importância do exemplo discutido em seguida não reside nas expressões matemáticas</p><p>obtidas a partir da resistência dos materiais, que foram introduzidas apenas para ilustrar</p><p>um ferramental de cálculo que acompanha a estratégia de abordagem do problema. Para</p><p>as mais diversas classes de problemas que são objeto de análise neste livro, inclusive a</p><p>flexão de vigas, teremos a oportunidade de aprofundar os recursos matemáticos a serem</p><p>utilizados.</p><p>17Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>18Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>▪ A "solução pronta" do problema de flexão de vigas, que os engenheiros utilizam a partir das tabelas</p><p>e soluções analíticas encontradas nos livros de resistência dos materiais, como ilustrado</p><p>anteriormente, é o produto do tratamento matemático clássico baseado no estudo das Equações</p><p>Diferenciais, que descrevem o equilíbrio da estrutura. Embora a utilização dessas expressões finais</p><p>seja até certo ponto "cômoda" no dia a dia dos trabalhos de engenharia, o desenvolvimento dessas</p><p>soluções é bastante trabalhoso e necessita de um conhecimento matemático aprofundado não</p><p>muito agradável à maioria dos engenheiros;</p><p>▪ À semelhança do estudo desenvolvido para a Teoria de Vigas, uma ampla classe de problemas pode</p><p>ser resolvida utilizando essas técnicas clássicas. As chapas que são amplamente utilizadas em</p><p>engenharia estrutural, aviação, construção naval, mecânica automobilística etc. são estudadas pela</p><p>Teoria Geral de Placas e Cascas que utiliza intensamente o recurso matemático das Equações</p><p>Diferenciais. Com base nelas, são desenvolvidas soluções para diversas configurações geométricas</p><p>de chapas, tais como: chapas retangulares, quadradas, circulares etc., e incluindo diversas</p><p>condições de fixação nas bordas (apoios simples, engastamentos), e para diversas condições de</p><p>carregamentos (pressão uniforme, carga concentrada etc.).</p><p>19Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>▪ Da mesma forma, a Teoria Matemática da Elasticidade estuda o comportamento dos</p><p>sólidos deformáveis, utilizando o aparato matemático complicado das Equações</p><p>Diferenciais, efetuando uma quantidade volumosa de cálculos. A despeito de todo o</p><p>trabalho matemático necessário para desenvolver as "expressões analíticas fechadas"</p><p>citadas anteriormente, ainda assim as limitações são grandes. Apenas para sistemas de</p><p>geometria simples, com condições de carregamento e apoio muito "bem comportados",</p><p>são obtidas soluções exatas para os problemas alvo de análise;</p><p>▪ A maioria das estruturas de importância prática é muito complexa para ser analisada</p><p>pelas técnicas clássicas. Para estruturas de forma arbitrária, a solução analítica</p><p>frequentemente torna-se impossível, e o problema requer grandes e excessivas</p><p>simplificações, se quisermos aplicar as tais expressões analíticas fechadas, resultando em</p><p>cálculos pouco acurados;</p><p>20Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>▪ Estamos então diante da questão central que motiva o estudo que ora se inicia:</p><p>✓ Os Métodos Analíticos Clássicos permitem o Cálculo da Resposta Exata dos Deslocamentos,</p><p>Deformações e Tensões na estrutura em todos os seus pontos, isto é, nos seus infinitos</p><p>pontos, porém essas soluções são somente conhecidas para alguns casos, que fogem da</p><p>maioria das aplicações práticas que encontramos no dia a dia;</p><p>✓ Seria interessante desenvolver procedimentos aproximados, que pudessem ser aplicados em</p><p>caráter geral, independente da forma da estrutura e da condição de carregamento, dentro da</p><p>precisão aceitável do problema de engenharia. Esse caminho alternativo aos procedimentos</p><p>analíticos clássicos constitui o foco central do estudo a partir de agora, e que dará origem ao</p><p>Método dos Elementos Finitos.</p><p>21Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>22Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>▪ Assim, esquematicamente, podemos representar na figura abaixo os dois grandes caminhos que</p><p>podem ser percorridos na solução dos problemas anteriormente levantados:</p><p>23Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>▪ Por intermédio de Técnicas Numéricas, como o Método dos Elementos Finitos, pode-se</p><p>determinar o comportamento estrutural de componentes com formas complexas,</p><p>utilizando os "softwares" de análise disponíveis;</p><p>▪ Os programas de computador requerem o conhecimento das propriedades dos</p><p>componentes, tais como espessuras, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson,</p><p>densidade de massa etc.;</p><p>▪ Conhecendo o carregamento atuante na forma de forças, pressão, cargas gravitacionais e as</p><p>condições de fixação da estrutura, pode-se determinar as regiões mais solicitadas do</p><p>componente, estabelecendo-se previsões a respeito do seu comportamento. Desta forma,</p><p>as devidas correções serão efetuadas já no âmbito do desenvolvimento do projeto,</p><p>evitando gastos excessivos em ferramental, inerentes à execução de projetos desenvolvidos</p><p>pelo processo de Tentativa e Erros;</p><p>▪ O uso do Método dos Elementos Finitos revela-se como um grande diferencial, reduzindo</p><p>os prazos e enxugando os custos, desenvolvendo assim o poder competitivo das empresas.</p><p>24Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>25Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>26Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ O diagrama de corpo livre da estrutura mostra: {f} (matriz de forças) =[k] (matriz de rigidez)</p><p>. {x} (matriz de deformação);</p><p>▪ O grande objetivo da análise de MEF é encontrar a rigidez da estrutura inteira, a partir do</p><p>conhecimento da rigidez de cada um dos seus elementos, para saber como a estrutura se</p><p>deforma. Após isso são aplicados os critérios de deformação e os mesmos são analisados</p><p>do ponto de vista estrutural com aceitáveis ou não para aquela estrutura, considerando as</p><p>propriedades dos materiais de construção;</p><p>▪ No exemplo da estrutura do chassi de caminhão, o modelo estrutura é divido em</p><p>elementos, usando o mesmo princípio de conhecer a rigidez de cada elemento para</p><p>conhecer a rigidez da estrutura e saber com ela irá se deformar. É uma divisão artificial,</p><p>pois os elementos não existem na prática e sim a estrutura como um todo;</p><p>▪ A mesma estrutura pode ser analisada mais de uma vez com elementos de diferentes</p><p>tamanhos, no caso da existência de diferentes objetivos para a análise.</p><p>27Engenharia Assistida por Computador</p><p>Análise de Elementos Finitos</p><p>28Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Nos modelos de elementos finitos os elementos estão conectados apenas nos nós, e não</p><p>nas suas faces, como elemento real, isso é uma das aproximações da análise pelo MEF;</p><p>▪ Surge uma pergunta imediata, por que a divisão da superfície da estrutura em retângulos,</p><p>formando elementos hexaédricos ou em triângulos, formando elementos tetraédricos?</p><p>▪ A reposta será demostrada matematicamente posteriormente. Essa é uma das discussões</p><p>mais séria do MEF;</p><p>▪ Sendo essa uma decisão apenas do engenheiro estrutural e nunca do software. Quando</p><p>você vai fazer um modelo no software a escolha do tipo do elemento e do tamanho do</p><p>mesmo é sempre do usuário e não do software;</p><p>▪ Tem sistemas que fazem a malha automaticamente e não mostra como foi feita a divisão</p><p>dos elementos para o usuário, é impossível trabalhar dessa maneira. A definição do</p><p>tamanho de cada elemento deverá ser definida no início da análise e esta não é uma</p><p>decisão a partir de tentativa e erro.</p><p>29Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>30Engenharia</p><p>Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Resumo: Nós temos uma estrutura e queremos saber como ela se comporta, do ponto de</p><p>vista da engenharia estrutural, saber como ela se deforma. O procedimento é subdividir a</p><p>estrutura em elementos, que estão conectados nos nós, e a partir da rigidez dos</p><p>elementos é determinada a rigidez da estrutura. Dessa forma é possível avaliar a</p><p>deformação da estrutura;</p><p>▪ Os resultados são aproximados, mas a diferença para a realidade é de apenas 1% ou 2%,</p><p>com a validação da simulação utilizando a extensometria:</p><p>• A extensometria é um método de experimentação que tem como objetivo medir deformações e,</p><p>consequentemente, obter as tensões em componentes, estruturas e equipamentos. Isso se dá a</p><p>partir da instalação de sensores que são fixados na superfície do objeto em estudo, denominados</p><p>extensômetros (ou strain gauges).</p><p>31Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>Projeto</p><p>Fase 1</p><p>Formulação Conceitual</p><p>Fase 2</p><p>Desenvolvimento do</p><p>Produto</p><p>Levantamento</p><p>de necessidades</p><p>Planejamento</p><p>do projeto</p><p>Análise e observação de</p><p>sistemas existentes</p><p>Definição da BASELINE</p><p>para o sistema</p><p>Análises / utilização de</p><p>recursos CAE / CADDesenvolvimento do</p><p>projeto para um</p><p>BASELINE definido</p><p>SÍNTESE da estrutura</p><p>Construção e testes</p><p>de protótipos</p><p>32Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>Abordagem global para</p><p>projeto estrutural</p><p>SÍNTESE - Determinação inicial dos elementos da</p><p>estrutura pelo comportamento</p><p>1º, 2º, 3º</p><p>ESTRUTURA PRELIMINAR</p><p>ANÁLISE / CAE - MEF</p><p>ALTERAÇÃO?</p><p>FIM DA FASE DE CÁLCULO</p><p>33Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>Soluções dos</p><p>problemas de</p><p>análise Estrutural</p><p>em Engenharia</p><p>PROBLEMA REAL</p><p>MODELO FÍSICO</p><p>MODELO MATEMÁTICO</p><p>ANÁLISE DOS RESULTADOS</p><p>Obter o maior número possível de</p><p>informação do problema</p><p>Conhecimento de técnica de</p><p>Modelagem/Discretização</p><p>Que extensão considerar na</p><p>Modelagem?</p><p>Que tipo de reposta o modelo</p><p>investiga?</p><p>Condições de carregamento</p><p>Condições de contorno</p><p>Tipo de Elementos Finitos</p><p>34Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Em estrutural não existem atalhos, existem caminhos;</p><p>▪ Condições de contorno, por exemplo, saber se o elemento é apoiado ou engastado;</p><p>▪ Conhecer os quatro comportamentos da mecânica estrutural e saber quais os elementos</p><p>do software que representam esse comportamento;</p><p>▪ Análise Estrutural pelo MEF – Tensões / Deformações;</p><p>▪ Análise Dinâmica - Frequências naturais dos elementos: 𝜔 =</p><p>𝑘</p><p>𝑚</p><p>▪ Análise de Durabilidade – Fadiga;</p><p>▪ Análise Não Lineares;</p><p>▪ Otimização de Produto;</p><p>▪ Validação de Carregamentos e Critérios;</p><p>▪ P&D para Projetos Estruturais e Materiais;</p><p>▪ Análise Estrutural de Conjuntos Soldados (Fadiga em Juntas Soldadas)</p><p>35Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ O MEF tem procedimentos que irão se repetir no desenvolvimento de todo o histórico do</p><p>método;</p><p>▪ As leis que alicerçam esse comportamento, não vão mudar do que nós vamos fazer aqui</p><p>para o que vem depois, é a linguagem matemática que vai se elaborando. Mas desde que</p><p>nós entendemos fisicamente o está sendo feito não teremos nenhum tipo de problema;</p><p>▪ Todo engenheiro tem que fazer isso, pode ser que ele nem perceba, mas faz</p><p>intuitivamente, para quem trabalha com projeto de engenharia. É a base para análise de</p><p>qualquer tipo de problema de engenharia;</p><p>▪ Exemplo: o engenheiro que tem que projetar uma ponte rolante que se move no interior</p><p>de um galpão, na ponte vai montada a talha que serve para levantar uma carga. A estrutura</p><p>deve ser projetada para uma carga de 5tf. Existe o risco de acidente pois pessoas trabalham</p><p>embaixo da estrutura;</p><p>36Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>Sistemas</p><p>Problema Real e Construção do seu Modelo</p><p>• Idealize o Sistema de uma maneira que</p><p>possa ser analisado – Solução Conhecida!!!!</p><p>Análise de</p><p>Sistemas de</p><p>Engenharia</p><p>• Monte as Equações de Equilíbrio</p><p>• Resolva as Equações de Equilíbrio</p><p>• Interprete os Resultados!!!!</p><p>DISCRETOS???? CONTÍNUOS????ou</p><p>37Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>Talha</p><p>Elétrica</p><p>Real:</p><p>P</p><p>R1 R2</p><p>Modelo:</p><p>L</p><p>a b Σ𝐹 = 0 →</p><p>Σ𝑀 = 0 →</p><p>𝑅1 + 𝑅2 = 𝑃</p><p>𝑃. 𝑎 = 𝑅2. 𝐿</p><p>38Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Primeiro deve ser feito um desenho do problema real e depois irá ser tomada a decisão</p><p>sobre qual o modelo que será usado, nunca ao contrário. Surge uma questão conceitual,</p><p>existem duas abordagens para a interpretação dos problemas de mecânica estrutural: A</p><p>abordagem do sistema contínuo e a abordagem do sistema discreto;</p><p>▪ Através de um elemento diferencial e estudando o seu equilíbrio, modelo de viga bi</p><p>apoiada, serão geradas equações diferenciais. Essas equações resolvem a maior parte dos</p><p>problemas de geometria simples;</p><p>▪ A grande questão da resolução das equações diferenciais é que elas resolvem os sistemas</p><p>contínuos;</p><p>▪ No exemplo da viga da ponte para cada valor da posição x você vai ter a deformada dessa</p><p>viga, ou seja, a posição da viga deformada no eixo y. Quantos pontos tem nessa viga?</p><p>▪ Infinitos. E para infinitos pontos eu posso ter a reposta do meu sistema. Seria a condição</p><p>ideal. Tendo a solução analítica e exata dos seus infinitos pontos (elementos diferenciais)</p><p>dentro da teoria de vigas;</p><p>39Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Mas para problemas mais complicados, como um navio, um bloco de um motor e um chassi</p><p>de caminhão, nós não veremos esse tipo de resolução;</p><p>▪ Você não consegue resolver problemas de geometria complicada e carregamentos</p><p>complicados por equações diferenciais e pela abordagem dos infinitos pontos de um</p><p>sistema contínuo. Não tem solução exata para esse tipo de problema;</p><p>▪ Então qual é a solução?</p><p>▪ Aí entra a ideia de discretização de sistemas contínuos. Por exemplo eu tenho um problema</p><p>com 10.000 nós, não são infinitos pontos, mas eu acho que essa quantidade de nós é</p><p>suficiente para a solução do meu problema, ou seja, para representar o comportamento do</p><p>meu conjunto. É aí que entra o conceito de discretização e o conceito de elementos finitos.</p><p>▪ Vamos usar como exemplo o problema do sistema tático leve para a transposição de curso</p><p>de água, a ponte móvel. Esse problema não tem solução analítica disponível, logo será</p><p>necessário construir um modelo para com a discretização do sistema contínuo.</p><p>40Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>Problema Real e Construção do seu Modelo</p><p>Vigas sobre Base Elástica</p><p>Número Finito de</p><p>Variáveis de Estado</p><p>EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Resposta Aproximada</p><p>DISCRETOS???? CONTÍNUOS????</p><p>Diagrama de</p><p>Corpo Livre</p><p>Resposta Governada por</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>Resposta Exata</p><p>41Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>42Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Pelo princípio de Arquimedes a força de Empuxo, que é o peso da massa de água</p><p>deslocada, é igual a força Peso;</p><p>▪ Considerando a variação da força de Empuxo em relação a medida linear de quanto o barco</p><p>afunda, como se fosse um deslocamento, do ponto de vista físico esse bote se comporta</p><p>em relação a plataforma como se fosse uma mola elástica;</p><p>▪ Logo pode se propor um modelo, onde cada bote para efeito de estudar a plataforma, se</p><p>comporta como uma mola. No caso essa consideração é somente para o modelo da</p><p>plataforma, sendo o bote calculado de outra forma, usando os princípios da engenharia</p><p>naval;</p><p>▪ O modelo da plataforma pode ser considerado como uma viga apoiada em cima de molas,</p><p>onde cada mola representa um bote para efeito do movimento da plataforma;</p><p>43Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Em seguida deve ser pesquisado na teoria da resistência dos materiais a existência de um</p><p>modelo analítico que representa uma viga apoiada por molas ou uma viga sobre uma base</p><p>elástica, ou seja, buscar uma solução conhecida, através de equações diferencias,</p><p>da</p><p>mesma forma que o exemplo anterior da viga bi apoiada;</p><p>▪ Na literatura de resistência de materiais existe vigas sobre base elástica contínua, ou uma</p><p>viga apoiada em um colchão elástico contínuo;</p><p>▪ No caso em questão esse modelo não serve, pois para a plataforma estudada nós temos</p><p>uma viga apoiada por uma base elástica discreta, ou seja, com uma certa quantidade de</p><p>molas, que estão localizadas em pontos específicos;</p><p>44Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>45Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Ver figura 1.4 para o modelo analítico, onde pode ser considerado se o comprimento da</p><p>onda elástica λ for muito maior que a distância d entre as molas;</p><p>▪ É o que ocorre no modelo estrutural dos trilhos do trem, os dormentes estão separados por</p><p>uma distância (d) bem menor que o comprimento da onda elástica (λ), pois os dormentes</p><p>irão funcionar como molas, pois os mesmos estão apoiados no solo que tem uma certa</p><p>rigidez;</p><p>▪ Mas nem todos os modelos terão esse tipo de solução conhecida.</p><p>▪ Na figura 1.7 temos a estrutura discretizada com uma modelagem de elementos. No caso</p><p>temos elementos diferentes, elementos de viga e elementos de mola;</p><p>▪ Se o modelo em questão for dividido em 2.000 nós, no caso só estaremos calculando os</p><p>deslocamentos desses 2.000 nós, sendo o nosso julgamento que esses 2.000 nós são o</p><p>suficiente para tratar a estrutura deformada;</p><p>46Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>47Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>Análise de Sistemas de Engenharia – DISCRETOS</p><p>• Idealize o Sistema de uma maneira que possa ser analisado – COMO</p><p>UMA MONTAGEM DE ELEMENTOS!!!!</p><p>• Monte as Equações de Equilíbrio – DE CADA ELEMENTO!!!!</p><p>• Estabeleça os REQUISITOS DE CONEXÃO ENTRE OS ELEMENTOS –</p><p>EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE!!!!</p><p>• Soluções do Sistema de Milhares de Equações Simultâneas!!!!</p><p>SISTEMA</p><p>DISCRETO</p><p>PADRÃO</p><p>A maneira mais compacta e elegante de resolver as</p><p>Milhares de Equações Simultâneas é na Forma</p><p>Matricial</p><p>Notação Matricial Questão Administrativa</p><p>48Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>▪ Será aplicado o princípio da rigidez equivalente onde conhecendo a rigidez de cada</p><p>elemento pode se encontrar a rigidez da estrutura;</p><p>▪ O objetivo é calcular os deslocamentos dos nós, usando a técnica matemática da</p><p>interpolação, a partir do deslocamento do nó se calcula o deslocamento do elemento;</p><p>▪ Em um modelo com 1.000.000 de elementos, o software irá fazer 1.000.000 de diagramas</p><p>de corpo livre, um para cada elemento, de acordo com informações do engenheiro de</p><p>estruturas.</p><p>▪ A equação de compatibilidade permite concluir que quando um elemento desloca de um</p><p>certo valor delta, os seus elementos vizinhos também irão se deslocar com o mesmo valor</p><p>delta, caso contrário a estrutura se romperia. Na resolução das equações dos elementos</p><p>são impostas condições que devem ser atendidas, assim as equações são chamadas de</p><p>equações de compatibilidade, com as condições de conexão dos elementos, que precisão</p><p>estar conectados;</p><p>49Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p><p>DISCRETIZAÇÃO de Sistemas Contínuos</p><p>• Origem: Década de 1940 (Henikoff, Neumark e McHerry)</p><p>• Motivo: Superar a intratabilidade do tipo de problema</p><p>contínuo real – Resolver as Equações Diferenciais</p><p>• Ideia Central: Entender o comportamento do todo a partir do</p><p>entendimento do comportamento de cada uma das suas partes,</p><p>os Elementos!!!!</p><p>• Conceito Central: Rigidez</p><p>• Dificuldade: O Gato Farofino e as Equações Diferenciais – Por</p><p>exemplo, como resolver 100 equações com 100 incógnitas.</p><p>Visão dos</p><p>Matemáticos</p><p>Visão dos</p><p>Engenheiros</p><p>Visão de Analogia Direta da Engenharia</p><p>Sistema Discreto Padrão</p><p>▪ Conforme calculado no Livro de</p><p>Matemática para Engenheiros usando os</p><p>métodos convencionais de Cramer seria</p><p>necessário um tempo de 10147 anos, para</p><p>resolver o problema das 100 equações e</p><p>100 incógnitas;</p><p>▪ O problema só foi resolvido no final da</p><p>década de 50, com o surgimento do</p><p>programa espacial e dos computadores,</p><p>surgindo então o cálculo numérico. Sendo</p><p>que a velocidade da resolução do problema</p><p>aumenta a cada ano, com o surgimento de</p><p>computadores com maior capacidade de</p><p>processamento de dados e novos softwares</p><p>para esse tipo de resolução.</p><p>50Engenharia Assistida por Computador</p><p>Método dos Elementos Finitos</p>