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<p>1</p><p>Matemática III</p><p>Ensino Médio</p><p>Prof.ª Valéria Espíndola Lessa</p><p>PROBABILIDADE</p><p>1. Introdução</p><p>Há fenômenos ou experimentos que quando realizados repetidas vezes, não</p><p>apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma moeda</p><p>perfeita, o resultado é imprevisível. Podemos lançá-la diversas vezes e não</p><p>sabemos se sairá “cara” ou “coroa”. O que sabemos é que temos essas duas</p><p>possibilidades de resultado.</p><p>Aos experimentos deste tipo chamamos de fenômenos aleatórios (ou</p><p>casuais).</p><p>Como não sabemos o resultado exato de um fenômeno aleatório,</p><p>buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um</p><p>determinado resultado ocorrer.</p><p>A Teoria das Probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e</p><p>pesquisa modelos para estudar experimentos aleatórios.</p><p>Exemplo 1: Quais são as chances de eu lançar uma moeda e dar “cara”?</p><p>2</p><p>2. Espaço amostral e evento finitos</p><p>Espaço amostral (U) é o conjunto de todos os resultados possíveis num</p><p>experimento aleatório.</p><p>Evento é um subconjunto desse espaço amostral. É o subconjunto de</p><p>resultados que nos interessam dentro de todas as possibilidades.</p><p>Vamos analisar alguns exemplos de fenômenos aleatórios.</p><p>1º) Lançamento de um dado e registrar seu resultado:</p><p>• Espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(U) = 6</p><p>• Evento A “ocorrer número ímpar”: 𝐴 = {1, 3, 5}, n(A) = 3</p><p>• Evento B “ocorrer número par”: 𝐵 = {2, 4, 6}, n(B) = 3</p><p>• Evento C “ocorrer múltiplo de 3”: 𝐶 = {3, 6}, n(C) = 2</p><p>• Poderíamos considerar muitos outros eventos...</p><p>2º) Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e registar seu naipe:</p><p>C = copas, E = espada, O = ouros e P = paus.</p><p>• Espaço amostral: U = {𝐶, 𝐸, 𝑂, 𝑃}, n(U) = 4</p><p>• Evento A “tirar uma carta de copas”: A = {𝐶}, n(A) = 1</p><p>Observação: O evento A é chamado de elementar por ter apenas 1</p><p>elemento.</p><p>3</p><p>3º) No lançamento de dois dados, um branco e outro vermelho:</p><p>• Espaço amostral:</p><p>n(U) = 36</p><p>Podemos usar o Princípio Fundamental da Contagem para encontrar o número</p><p>de elementos do espaço amostral</p><p>• Evento A: “sair o mesmo número em ambos os dados”</p><p>𝐴 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}, n(A) = 6</p><p>• Evento B: “sair soma 7”</p><p>𝐵 = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} , n(B) = 6</p><p>• Evento C: “sair soma maior que 12”</p><p>𝐶 = ∅ Este é um evento impossível</p><p>• Evento D: “sair soma igual a 10”</p><p>𝐷 = {(4,6), (6,4), (5,5)}, n(D) = 3</p><p>Observações:</p><p>✓ O evento C é impossível.</p><p>✓ Os eventos A, B e D são possíveis.</p><p>✓ Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois não possuem</p><p>elementos comuns.</p><p>4</p><p>3. Cálculo de probabilidades</p><p>Quando num experimento aleatório, todo evento elementar tem a mesma</p><p>chance de ocorrer (o espaço é equiprovável) a probabilidade de ocorrer o</p><p>evento A é é a razão entre o número que resultados favoráveis pelo número</p><p>total de casos possíveis.</p><p>𝑝(𝐴) =</p><p>𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠</p><p>𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠</p><p>𝒑(𝑨) =</p><p>𝒏(𝑨)</p><p>𝒏(𝑼)</p><p>→ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴</p><p>→ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑈</p><p>Exemplo 2: No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se</p><p>obter:</p><p>a) o número 2.</p><p>b) um número par.</p><p>c) um número múltiplo de 3.</p><p>Exemplo 3: De um baralho de 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem</p><p>reposição, duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:</p><p>a) as duas cartas são damas.</p><p>b) as duas cartas são de ouros.</p><p>Exemplo 4: De um baralho de 52 cartas tiram-se, sucessivamente, com</p><p>reposição, duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:</p><p>a) as duas cartas são reis.</p><p>b) as duas cartas são de copas.</p><p>Valéria Espíndola Lessa</p><p>Typewriter</p><p>paramos aqui 15/03</p><p>5</p><p>Exemplo 5: Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de:</p><p>a) observarmos 3 coroas?</p><p>b) observarmos exatamente uma coroa?</p><p>c) observarmos pelo menos uma cara?</p><p>d) não observarmos nenhuma coroa?</p><p>e) observarmos no máximo duas caras?</p><p>Exemplo 6: Considere todos os números naturais de 4 algarismos distintos que</p><p>é possível formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo um deles ao</p><p>acaso, qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine</p><p>em 7?</p><p>Exemplo 7: Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 estão estragadas.</p><p>Escolhendo-se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determine a</p><p>probabilidade de</p><p>a) ambas não estarem estragadas.</p><p>b) pelo menos uma estar estragada.</p><p>4. Evento complementar</p><p>Seja um evento 𝐴 e seu complementar �̅�, ou seja, 𝐴 ∪ �̅� = 𝑈, 𝐴 ∩ �̅� = ∅</p><p>(não possuem elementos comuns) e 𝑛(𝐴) + 𝑛(�̅�) = 𝑛(𝑈)</p><p>Logo,</p><p>𝒑(𝑨) + 𝒑(�̅�) = 𝟏</p><p>Exemplo 8: Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos.</p><p>Ao pegar ao acaso 3 parafusos, responda:</p><p>a) Qual é a probabilidade de que os 3 sejam perfeitos?</p><p>b) Qual é a probabilidade de que os 3 sejam defeituosos?</p><p>c) Qual é a probabilidade de que pelo menos um seja defeituoso?</p><p>6</p><p>5. União de eventos</p><p>Em algumas situações com mais de um evento, pode haver a possibilidade</p><p>de um evento acontecer OU o outro evento acontecer. Nesse caso, SOMAMOS</p><p>as possibilidades de cada evento. Mas é preciso excluir uma vez a interseção dos</p><p>dois eventos de existir.</p><p>𝒑(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒑(𝑨) + 𝒑(𝑩) − 𝒑(𝑨 ∩ 𝑩)</p><p>No caso de eventos mutuamente exclusivos, em que 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, temos</p><p>𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵)</p><p>Exemplo 9: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a</p><p>probabilidade de que essa carta seja um ás ou uma carta qualquer vermelha.</p><p>6. Probabilidade condicional</p><p>Chamamos de probabilidade condicional quando queremos calcular a</p><p>probabilidade de um evento A acontecer mediante já ter acontecido o evento B.</p><p>Com o símbolo p(A|B) indicamos a probabilidade de A dado que B ocorreu.</p><p>Quando calculamos p(A|B), tudo se passa como se B fosse o novo espaço</p><p>amostral “reduzido” dentro do qual queremos calcular a probabilidade de A.</p><p>Temos duas formas de calcular p(A|B)</p><p>1ª forma: Considerando a probabilidade de A em relação ao espaço amostral</p><p>“reduzido” B.</p><p>2ª forma: Usando a fórmula:</p><p>𝒑(𝑨|𝑩) =</p><p>𝒑(𝑨 ∩ 𝑩)</p><p>𝒑(𝑩)</p><p>7</p><p>Exemplo 10: Um dado é lançado e o número da face de cima é observado. Qual</p><p>a probabilidade de sair um número maior ou igual a 5, dado que o resultado</p><p>obtido foi par?</p><p>Exemplo 11: Uma comissão de 3 pessoas é formada escolhendo-se ao acaso</p><p>entre Antônio, Benedito, César, Denise e Elisabete. Se Denise não pertence à</p><p>comissão, qual a probabilidade de César pertencer?</p><p>Exemplo 12: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a</p><p>probabilidade de sair um “ás vermelho” sabendo que ela é de “copas”?</p><p>7. Eventos sucessivos/simultâneos</p><p>Quando temos uma situação de probabilidade envolvendo dois ou mais</p><p>eventos sucessivos (ou simultâneos), realizaremos a multiplicação da</p><p>probabilidade de cada evento. Mas antes, precisaremos analisar se esses eventos</p><p>são dependentes ou independentes entre si. Veremos que no texto das questões</p><p>haverá a menção de ocorrência de A e B. A conjunção e indica a multiplicação.</p><p>✓ Os eventos são denominados independentes quando a probabilidade</p><p>de ocorrência de um deles não depende da ocorrência de outros.</p><p>✓ Os eventos são denominados dependentes quando a probabilidade de</p><p>um ocorrer interfere na ocorrência do outro ou de outros. Em se</p><p>tratando de eventos dependentes, damos o nome de PROBABILIDADE</p><p>CONDICIONAL, conforme já visto. Isto é, queremos calcular a</p><p>probabilidade do evento A dado que o evento B já ocorreu.</p><p>Exemplos com Eventos Independentes</p><p>Exemplo 13: Numa urna há 6 bolas azuis e 2 vermelhas. Sorteando-se duas dessas</p><p>bolas (ao acaso), uma de cada vez, com reposição da primeira bola sorteada, qual</p><p>é a probabilidade de a primeira bola sorteada ser azul e a segunda ser vermelha?</p><p>8</p><p>Dados dois eventos independentes</p><p>(A e B) de um espaço amostral, a</p><p>probabilidade de eles ocorrerem sucessivamente é dado por</p><p>𝒑(𝑨 𝒆 𝑩) = 𝒑(𝑨) ∙ 𝒑(𝑩)</p><p>𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒑(𝑨) ∙ 𝒑(𝑩)</p><p>Exemplo 14: São realizados dois lançamentos sucessivos de um dado perfeito.</p><p>Qual a probabilidade de ocorrer, nos dois casos, o número 5?</p><p>Exemplos de Eventos Dependentes</p><p>Exemplo 15: Numa urna há 6 bolas azuis e 2 vermelhas. Sorteando-se duas</p><p>dessas bolas (ao acaso), uma de cada vez, sem reposição da primeira bola</p><p>sorteada, qual é a probabilidade de a primeira bola sorteada ser azul e a</p><p>segunda ser vermelha?</p><p>Dados dois eventos dependentes (A e B) de um espaço amostral, a</p><p>probabilidade de eles ocorrerem sucessivamente é dado por</p><p>𝒑(𝑨 𝒆 𝑩) = 𝒑(𝑨) ∙ 𝒑(𝑩 𝒅𝒂𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝑨 𝒐𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒖)</p><p>𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒑(𝑨) ∙ 𝒑(𝑩|𝑨)</p><p>9</p><p>Exemplo 16: Um lote contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Uma peça é</p><p>escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso. Qual</p><p>a probabilidade das duas serem defeituosas?</p><p>Exemplo 17: Uma urna contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas; outra urna</p><p>tem 3 bolas vermelhas e uma bola branca e uma terceira urna tem 4 bolas</p><p>vermelhas e 2 brancas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma</p><p>bola. Qual a probabilidade de a bola ser vermelha?</p><p>8. Questões de ENEM</p><p>Exemplo 18: ENEM 2016</p><p>10</p><p>Exemplo 19: ENEM 2017</p><p>Exemplo 20: ENEM 2017</p><p>11</p><p>Exemplo 21: ENEM 2017</p><p>Exemplo 22: ENEM 2020</p><p>12</p><p>9. Exercícios</p><p>1) A partir de um baralho de 52 cartas, responda as questões:</p><p>a) Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de se escolher uma</p><p>carta “vermelha”?</p><p>b) Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de se obter uma carta</p><p>de “copas”?</p><p>c) Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de se obter uma</p><p>“Dama”?</p><p>d) Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de se obter uma “Dama</p><p>vermelha”?</p><p>e) Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de se obter uma</p><p>“Dama”, dado que saiu uma carta vermelha”?</p><p>f) Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de se obter um “Valete”,</p><p>dado que saiu uma carta de “espada”?</p><p>g) Retirando-se duas cartas, com reposição, qual a probabilidade da primeira ser</p><p>de “paus” e a segunda ser de “copas”?</p><p>h) Retirando-se duas cartas, sem reposição, qual a probabilidade da primeira ser</p><p>de “paus” e a segunda ser de “copas”?</p><p>2) Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de sair cara nos 10</p><p>lançamentos?</p><p>3) Em uma sala estão cinco estudantes, um dos quais é Carlos. Três estudantes</p><p>serão escolhidos ao acaso pelo professor para participarem de uma atividade.</p><p>Qual a probabilidade de Carlos ficar de fora do grupo escolhido?</p><p>13</p><p>4) ENEM 2017 (Prova de Libras)</p><p>5) (UFJF – 2016) Na fase final do processo seletivo para o Mestrado em</p><p>Matemática de uma certa universidade há 10 candidatos. Nessa fase, cada um</p><p>dos 5 professores do corpo docente do departamento deve escolher apenas um</p><p>dos candidatos para orientar, formando, assim, uma dupla do tipo (orientador,</p><p>mestrando). Os cinco escolhidos serão aprovados e os demais reprovados. Qual</p><p>é a probabilidade de João, um dos candidatos, ser aprovado para o Mestrado e</p><p>Maria, uma das professoras, ser a orientadora de João?</p><p>(a) 1/2 (b) 1/10 (c) 1/3024 (d) 1/6084 (e) 1/30240</p><p>6) Um grupo é formado por três homens e duas mulheres. Foram escolhidas, ao</p><p>acaso, três pessoas desse grupo. Qual a probabilidade de as duas mulheres do</p><p>grupo estarem entre as três pessoas escolhidas?</p><p>14</p><p>7) ENEM 2010</p><p>a) 1/3 b) 1/5 c) 2/5 d) 5/7 e) 5/14</p><p>Gabarito:</p><p>1) a) 26/52; b) 13/52; c) 4/52; d) 2/52; e) 1/13; f) 1/13; g) 1/16; h) 13/204</p><p>2) 1/1024</p><p>3) 2/5</p><p>4) Letra D</p><p>5) Letra B</p><p>6) 3/10</p><p>7) Letra D</p><p>1. Introdução</p><p>2. Espaço amostral e evento finitos</p><p>3. Cálculo de probabilidades</p><p>4. Evento complementar</p><p>5. União de eventos</p><p>6. Probabilidade condicional</p><p>7. Eventos sucessivos/simultâneos</p><p>8. Questões de ENEM</p>