Problemas de Cálculo Complexo

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MATA06 - Cálculo E
Lista 01
1. Sejam z e w complexos de módulo 1. Mostre que
z + w
1 + zw
é um número real.
Dica: |z| = 1⇔ z =
1
z
2. Encontre as raı́zes quadradas de 7 + 24i.
3. Dado o inteiro positivo n, encontre as soluções da equação (z − 1)n = zn.
Dica: As raı́zes de zn = 1 são 1, w, w2, . . . , wn−1, em que w = cis(2π/n).
4. Encontre todas as raı́zes da equação zn = z.
5. Se n ∈ N é um múltiplo de 3, calcule o valor de
(1 +
√
3i)n − (1−
√
3i)n.
Dica: Lembre que se w é uma raiz cúbica da unidade diferente de 1, então 1 + w + w2 = 0 e
w = w2.
6. Mostre que todas as raı́zes complexas da equação (z − 1)5 = 32(z + 1)5 estão situadas sobre
a circunferência do plano complexo de raio 4/3 e centro −5/3.
7. Em quais pontos a função exp(z) é derivável?
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