Apostila de Geometria Analítica I (12 páginas, 88 questões, com gabarito)

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<p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>PROF. GILBERTO SANTOS JR</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA I</p><p>SUMÁRIO</p><p>CAPÍTULO I – PONTO E RETA ................................... 1</p><p>1. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS .......................... 1</p><p>2. PONTO MÉDIO DE SEGMENTO ............................... 2</p><p>CAPÍTULO II - ESTUDO DA RETA .............................. 2</p><p>3. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA ................... 2</p><p>3.1 Coeficiente angular de reta dada a sua inclinação... 2</p><p>3.2 Coeficiente angular de reta dado dois pontos ......... 3</p><p>4. PONTOS COLINEARES ........................................... 3</p><p>5. EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA ........................ 4</p><p>5.1 Equação geral da reta ......................................... 4</p><p>5.2 Equação reduzida da reta .................................... 4</p><p>5.3 Obtenção da equação de uma reta sendo conhecidos</p><p>dois pontos .............................................................. 4</p><p>6. INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS ............................. 6</p><p>7. RETAS PARALELAS ............................................... 7</p><p>8. RETAS PERPENDICULARES .................................... 7</p><p>9. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ......................... 8</p><p>10. CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂNGULO ...................... 8</p><p>CAPÍTULO III – CIRCUNFERÊNCIA ........................... 9</p><p>11. EQUAÇÃO REDUZIDA .......................................... 9</p><p>12. EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA ............. 9</p><p>Recursos Pedagógicos ............................................. 11</p><p>Referências ........................................................... 11</p><p>Agradecimentos ..................................................... 11</p><p>CAPÍTULO I – PONTO E RETA</p><p>1. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS</p><p>A distância dAB entre dois pontos A(xA, yA) e</p><p>B(xB, yB) é dada por:</p><p>dAB = √(𝐱𝐀 – 𝐱𝐁)𝟐 + (𝐲𝐀 – 𝐲𝐁)𝟐</p><p>Exemplo: Calcular a distância d entre (0,0) e (1,1).</p><p>Resolução: Fazendo o esquema no plano cartesiano:</p><p>Chamando o par ordenado (0, 0) de ponto A</p><p>e o par ordenado (1, 1) de ponto B e utilizando a</p><p>fórmula da distância entre dois pontos</p><p>dAB = √(𝐱𝐀 – 𝐱𝐁)𝟐 + (𝐲𝐀 – 𝐲𝐁)𝟐, segue,</p><p>dAB = √(0 – 1)2 + (0 – 1)2 ⟹ dAB = √(– 1)2 + (– 1)2</p><p>⟹ dAB = √1 + 1 ⟹ dAB = √2</p><p>Comentário: Conta a tradição que essa foi a inda-</p><p>gação de Pitágoras de Samos (570 a.C.), ou seria</p><p>de um de seus alunos, na Escola Pitagórica. Até</p><p>então eles conheciam apenas os números racio-</p><p>nais, não sabendo responder ao certo a medida</p><p>d = √2, do exemplo acima, chamaram-no de nú-</p><p>mero incomensurável, mais tarde chamado núme-</p><p>ro irracional. Eles mostraram a existência desse</p><p>tipo de número utilizando o teorema de Pitágoras,</p><p>que é base, também, para a geometria analítica.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1) Calcule, em cada caso, a distância d entre os</p><p>pontos dados:</p><p>a) A(1, 3) e B(9, 9) R: d = 10</p><p>b) A(– 3, 1) e B(5,– 14) R: d = 17</p><p>c) A(– 4, – 2) e B(0, 7) R: d = √97</p><p>2) Calcule o comprimento do segmento 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ , sendo</p><p>A(</p><p>1</p><p>2</p><p>, –</p><p>1</p><p>3</p><p>) e B(</p><p>5</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>3</p><p>). R: AB̅̅ ̅̅ =</p><p>2√10</p><p>3</p><p>3) Calcule a distância d do ponto M(– 12, 9) à ori-</p><p>gem. R: d = 15</p><p>4) Determine a</p><p>distância entre os</p><p>pontos M e N indi-</p><p>cados na figura.</p><p>R: d = √113</p><p>5) Calcule o perímetro do triângulo ABC, sabendo</p><p>que A(1, 3), B(7, 3) e C(7, 11). R: P = 24</p><p>6) Prove que o triângulo cujos vértices são os</p><p>pontos A(0, 5), B(3, – 2) e C(– 3, – 2) é isósceles; e</p><p>calcule o seu perímetro. R: P = 2√58 + 6; AB̅̅ ̅̅ = AC̅̅̅̅</p><p>7) Um quadrilátero ABCD está definido pelos pon-</p><p>tos A(– 1, – 1), B(1, 1), C(3, 1) e D(– 1, – 3). Calcule o</p><p>perímetro desse quadrilátero. R: P = 4 + 6√2</p><p>8) Usando o teorema de Pitágoras, verifique se o</p><p>triângulo de vértices A(– 1, – 3), B(6, 1) e C(2, – 5) é</p><p>retângulo. R: é retângulo de hipotenusa AB̅̅ ̅̅</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>2</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>9) Seja A um ponto do eixo das ordenadas. Dado</p><p>o ponto B(– 3, – 2), calcule as coordenadas do ponto</p><p>A de forma que o comprimento do segmento 𝐀𝐁̅̅ ̅̅</p><p>seja igual a 5. R: A(0, 2) ou A(0, – 6)</p><p>10)(FGV) Sabendo</p><p>que o triângulo ABC</p><p>da figura é retângulo</p><p>em A, calcule o valor</p><p>de k. R: k = 4</p><p>EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES</p><p>11)(U. E. Londrina-PR) Considere, no plano</p><p>cartesiano, o paralelogramo de vértices (1, 1),</p><p>(3, 3), (6, 1) e (8, 3). A maior diagonal desse para-</p><p>lelogramo mede:</p><p>(a) 5√5 (b) √71 (c) 5√3 (d) √53 (e) 3√5</p><p>R: (d)</p><p>12)(FGV-RJ) Os pontos A(– 1, m) e B(n, 2) per-</p><p>tencem à reta 2x – 3y = 4. Calcule a distância entre</p><p>A e B. R: 2√13</p><p>2. PONTO MÉDIO DE SEGMENTO</p><p>Se A(xA, yA) e B(xB, yB) são pontos distintos, en-</p><p>tão o ponto médio M(xM, yM) do segmento 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ é</p><p>tal que:</p><p>𝐱𝐌 =</p><p>𝐱𝐀 + 𝐱𝐁</p><p>𝟐</p><p>e 𝐲𝐌 =</p><p>𝐲𝐀 + 𝐲𝐁</p><p>𝟐</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>13) Obtenha, em cada caso, as coordenadas do</p><p>ponto médio do segmento 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ .</p><p>a) A(1, 7) e B(11, 3) R: M(6, 5)</p><p>b) A(– 2, 5) e B(– 4, – 1) R: M(– 3, 2)</p><p>c) A(0, 3) e B(0, – 3) R: M(0, 0)</p><p>d) A(– 6, 9) e B(– 2, – 5) R: M(– 4, 2)</p><p>14) Sabe-se que M(a, b) é o ponto médio do</p><p>segmento 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ . Se A(11, – 7) e B(– 9, 0), calcule as</p><p>coordenadas do ponto M. R: M(1, – 7/2)</p><p>15) Uma das extremidades de um segmento é o</p><p>ponto cujas coordenadas são (– 2, – 2). O ponto</p><p>médio desse segmento tem coordenadas (3, – 2).</p><p>Determine as coordenadas x e y da outra extremi-</p><p>dade do segmento. R: (x, y) = (8, – 2)</p><p>16) Calcule os comprimentos das medianas de</p><p>um triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0),</p><p>B(4, – 6) e C(– 1, – 3). R:</p><p>3√10</p><p>2</p><p>(ou ≅ 4,74),</p><p>9√2</p><p>2</p><p>(ou ≅ 6,36) e 3</p><p>17) No plano cartesiano, os pontos A(– 1, 1),</p><p>B(3, 1), C(3, 5) e D(– 1, 5) são os vértices de um</p><p>quadrado. Determine as coordenadas do centro</p><p>desse quadrado. R: (1, 3)</p><p>18) Num paralelogramo ABCD, dois vértices con-</p><p>secutivos são os pontos A(2, 3) e B(6, 4). Seja</p><p>M(1, – 2) o ponto de encontro das diagonais 𝐀𝐂̅̅ ̅̅ e</p><p>𝐁𝐃̅̅ ̅̅ do paralelogramo. Sabendo que as diagonais</p><p>no paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio,</p><p>determine as coordenadas dos vértices C e D des-</p><p>se paralelogramo. R: C(0, – 7) e D(– 4, – 8)</p><p>EXERCÍCIO DE VESTIBULAR</p><p>19)(PUC-MG) O comprimento da mediana 𝐂𝐌̅̅̅̅̅ do</p><p>triângulo ABC, sendo A(2, 3), B(4, 3) e C(3, 5), é:</p><p>(a) √2 (b) √3 (c) 2 (d)</p><p>2√2</p><p>3</p><p>(e) 3</p><p>R: (c)</p><p>CAPÍTULO II - ESTUDO DA RETA</p><p>3. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA</p><p>Declividade de uma rampa</p><p>Na engenharia civil, quando</p><p>se diz que uma rampa tem</p><p>declividade de 30%, isso</p><p>significa que a tangente do</p><p>ângulo ∝ que a rampa</p><p>forma com o plano horizon-</p><p>tal é 0,3, ou seja, tg ∝ =</p><p>0,3.</p><p>3.1 Coeficiente angular de reta dada a</p><p>sua inclinação</p><p>Chama-se coeficiente angular ou declividade</p><p>da reta r de inclinação ∝, ∝ ≠ 90°, o número</p><p>real m tal que:</p><p>m = 𝐭𝐠 ∝</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>3</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>3.2 Coeficiente angular de reta dado dois</p><p>pontos</p><p>m = tg ∝ =</p><p>yB – yA</p><p>xB – xA</p><p>=</p><p>yA– yB</p><p>xA – xB</p><p></p><p>m =</p><p>𝐲𝐀– 𝐲𝐁</p><p>𝐱𝐀–𝐱𝐁</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>20) Se ∝ é a medida da inclinação de uma reta e</p><p>m é o seu coeficiente angular, complete a tabela:</p><p>∝ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°</p><p>m</p><p>R: 0,</p><p>√3</p><p>3</p><p>, 1, √3, não existe, – √3, – 1, –</p><p>√3</p><p>3</p><p>21) Determine o coeficiente angular m das retas</p><p>que passam pelos pontos A e B e faça o gráfico de</p><p>cada reta, quando:</p><p>a) A(– 1, 4) e B(3, 2) R: m = – 1/2</p><p>b) A(4, 3) e B(– 2, 3) R: m = 0</p><p>c) A(2, 5) e B(– 2, – 1) R: m = 3/2</p><p>d) A(4, – 1) e B(4, 4) R: m não existe</p><p>22) Calcule a declividade da reta que passa pelos</p><p>pontos P1(1, 20) e P2(7, 8). R: m = – 2</p><p>23) Quando a quantidade x de artigos que uma</p><p>companhia vende aumenta de 200 para 300, o</p><p>custo de produção y diminui de R$ 100,00 para</p><p>R$ 80,00. Determine a variação média de custo</p><p>representada</p><p>pela declividade da reta que passa</p><p>por esses dois pontos. R: m = – 1/5</p><p>24) Calcule o coeficiente angular m das seguintes</p><p>retas:</p><p>a) b)</p><p>R: m = 5 R: m = – 1</p><p>EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO</p><p>25) Um botânico mede o crescimento de uma</p><p>planta, em centímetros, todos os dias. Ligando-se</p><p>os pontos colocados por ele num gráfico, resulta a</p><p>figura seguinte.</p><p>Se for mantida sempre esta relação entre</p><p>tempo e altura, determine a altura que a planta</p><p>terá no 30º dia. R: h = 6 cm</p><p>EXERCÍCIO DE VESTIBULAR</p><p>26)(Enem-2016) Para uma feira de ciências,</p><p>dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo</p><p>construídos para serem lançados. O planejamento</p><p>é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo</p><p>do projétil B interceptar o A quando esse alcançar</p><p>sua altura máxima. Para que isso aconteça, um</p><p>dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica,</p><p>enquanto o outro irá descrever uma trajetória su-</p><p>postamente retilínea. O gráfico mostra as alturas</p><p>alcançadas por esses projéteis em função do tem-</p><p>po, nas simulações realizadas.</p><p>Com base nessas simulações, observou-se</p><p>que a trajetória do projétil B deveria ser alterada</p><p>para que o objetivo fosse alcançado.</p><p>Para alcançar o objetivo, o coeficiente da reta que</p><p>representa a trajetória de B deverá</p><p>(a) diminuir em 2 unidades.</p><p>(b) diminuir em 4 unidades.</p><p>(c) aumentar em 2 unidades.</p><p>(d) aumentar em 4 unidades.</p><p>(e) aumentar em 8 unidades.</p><p>4. PONTOS COLINEARES</p><p>Três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xc, yc) são co-</p><p>lineares (alinhados) se, e somente se, mAB = mBC</p><p>ou não exitem mAB e mBC.</p><p>Dados três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xc, yc),</p><p>dizemos que os pontos são colineares (alinha-</p><p>dos) se, e somente se,</p><p>|</p><p>xA yA 1</p><p>xB yB 1</p><p>xC yC 1</p><p>| = 0</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>4</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>27) Verifique se os pontos A, B e C estão alinha-</p><p>dos quando:</p><p>a) A(0, 2), B(– 3, 1) e C(4, 5) R: não</p><p>b) A(– 2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) R: sim</p><p>c) A(– 1, 3), B(2, 4) e C(– 4, 10) R: não</p><p>28) Determinar o valor de m para que os pontos</p><p>A(m, 3), B(– 2, – 5) e C(– 1, – 3) sejam colineares.R: m =</p><p>2</p><p>29) Determine m para que os ponto A(0, – 3),</p><p>B(– 2m, 11) e C(– 1, 10m) estejam em linha reta.</p><p>R: m = – 1 ou m = 7/10</p><p>30) Os pontos A(– 1, 2), B(3, 1) e C(a, b) são coli-</p><p>neares. Calcule a e b de modo que o ponto C este-</p><p>ja localizado sobre o eixo das abscissas. R: a = 7 e b = 0</p><p>31) O valor de um determinado carro decresce</p><p>linearmente com o tempo, devido ao desgaste.</p><p>Sabendo-se que hoje ele vale dez mil dólares e,</p><p>daqui a cinco anos, quatro mil dólares, qual será</p><p>o seu valor daqui a três anos? R: R$ 6 400,00</p><p>EXERCÍCIO DE VESTIBULAR</p><p>32)(CESGRANRIO) O valor de um carro novo é</p><p>de R$ 9 000,00 e, com 4 anos de uso, é de</p><p>R$ 4 000,00. Supondo que o preço caia com o tem-</p><p>po, segundo uma linha reta, o valor de um carro</p><p>com 1 ano de uso é:</p><p>(a) R$ 8 250,00 (d) R$ 7 500,00</p><p>(b) R$ 8 000,00 (e) R$ 7 000,00</p><p>(c) R$ 7 750,00 R: (c)</p><p>5. EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA</p><p>Se r é a reta não-vertical que passa pelo ponto</p><p>P(x0, y0) e tem coeficiente angular m, então uma</p><p>equação de r é y – y0 = m(x – x0), denominada</p><p>equação fundamental da reta.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>33) Determine a equação da reta r que passa</p><p>pelo ponto A(– 1, 4) e tem coeficiente angular 2.</p><p>R: 2x – y + 6 = 0</p><p>34) Determine a equação da reta que passa pelo</p><p>ponto A(2, – 3) e tem coeficiente angular</p><p>1</p><p>2</p><p>.R: x – 2y – 8 = 0</p><p>35) Determine a equação da reta que passa pelo</p><p>ponto P(4, 1) e tem uma inclinação de 45°. R: x – y – 3 = 0</p><p>36) Usando a equação fundamental, obtenha a</p><p>equação da reta que passa pelos pontos A(2, 5) e</p><p>B(4, 1). R: 2x + y – 9 = 0</p><p>37) Ache a equação da reta r em cada caso:</p><p>a) b)</p><p>R:</p><p>√3</p><p>3</p><p>x – y + √3 = 0 R: x + y = 0</p><p>5.1 Equação geral da reta</p><p>ax + by + c = 0</p><p>, no qual: - x e y são variáveis;</p><p>- a, b e c são números reais e</p><p>- a e b não simultaneamente nulos.</p><p>5.2 Equação reduzida da reta</p><p>y = mx + n</p><p>, no qual: - m é o coeficiente angular da reta;</p><p>- n é o coeficiente linear da reta e</p><p>- x e y são variáveis.</p><p>Observação: o coeficiente linear n é o valor da</p><p>ordenada do ponto quando a reta corta o eixo y.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>38) Escreva a equação reduzida da reta que tem</p><p>coeficiente angular m = 2 e que cruza o eixo y no</p><p>ponto (0, – 3). R: y = 2x – 3</p><p>39) Equação reduzida de uma reta é y = 4x – 1.</p><p>Calcule:</p><p>a) o ponto da reta de abscissa 2; R: (2, 7)</p><p>b) o ponto de intersecção da reta com o eixo 0x;</p><p>c) o ponto de intersecção da reta com o eixo 0y.</p><p>R: b)(1/4, 0); c)(0, – 1)</p><p>40) Dada a reta que tem como equação 3x + 4y =</p><p>7, determine o coeficiente angular da reta. R: m = – 3/4</p><p>5.3 Obtenção da equação de uma reta</p><p>sendo conhecidos dois pontos</p><p>Dados dois pontos distintos A(xA, yA) e B(xB, yB),</p><p>uma equação da reta 𝐀𝐁 ⃡ é:</p><p>|</p><p>𝐱𝐀 𝐲𝐀 𝟏</p><p>𝐱𝐁 𝐲𝐁 𝟏</p><p>𝐱𝐂 𝐲𝐂 𝟏</p><p>| = 0</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>41) Usando determinantes obtenha a equação da</p><p>reta que passa pelos pontos A(2, 5) e B(4, 1).</p><p>R: 2x + y – 9 = 0</p><p>42) Consideremos a reta que passa pelos pontos</p><p>A(1, 4) e B(2, 1). Determine o coeficiente angular</p><p>m e o coeficiente linear n dessa reta. R: m = – 3 e n = 7</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>5</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>43) Determine a equação geral da reta r, a partir</p><p>dos gráficos:</p><p>a) b)</p><p>R: a) – 3x + y – 1 = 0; b) R: 4x + y + 2 = 0</p><p>44) São dados os pontos A(– 1, – 3), B(5, 7), C(2, –</p><p>4) e D(0, 2). O ponto M é o ponto médio do seg-</p><p>mento 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ e o ponto M2 é o ponto médio do seg-</p><p>mento 𝐂𝐃̅̅ ̅̅ . Determine a equação da reta que passa</p><p>por M1 e M2. R: 3x – y – 4 = 0</p><p>EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES</p><p>45)(Unama-2009) O gráfico abaixo representa</p><p>o custo (C), em reais, na fabricação de x unidades</p><p>de um produto. Nessas condições, para se produ-</p><p>zir 25 unidades desse produto serão gastos:</p><p>(a) R$ 60,00 (b) R$ 72,00 (c) R$ 75,00 (d) R$ 80,00</p><p>R: (d)</p><p>46)(Unificado-RJ) Uma barra de ferro com tem-</p><p>peratura inicial de –10 ºC foi aquecida até 30 ºC. O</p><p>gráfico representa a variação da temperatura da</p><p>barra em função do tempo gasto nessa experiên-</p><p>cia. Calcule em quanto tempo, após o início da</p><p>experiência, a temperatura da barra atingiu 0 ºC.</p><p>(a) 1 min (c) 1 min 10 s (e) 1 min 20 s</p><p>(b) 1 min 5 s (d) 1 min 15 s R: (d)</p><p>47)(Enem-2016) Uma cisterna de 6 000 L foi</p><p>esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora</p><p>foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas</p><p>horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de es-</p><p>vaziamento, outra bomba foi ligada junto com a</p><p>primeira. O gráfico, formado por dois segmentos</p><p>de reta, mostra o volume de água presente na</p><p>cistena, em função do tempo.</p><p>Qual é a vazão, em litros por hora, da</p><p>bomba que foi ligada no início da segunda hora?</p><p>(a) 1 000 (c) 1 500 (e) 2 500</p><p>(b) 1 250 (d) 2 000</p><p>48)(UFRA-2003) Numa feira livre, o dono de</p><p>uma barraca de verduras verificou que, quando o</p><p>preço da couve é R$ 1,00 o maço, são vendidos 20</p><p>maços, porém, quando o preço cai R$ 0,50 são</p><p>vendidos 30 maços. Considerando essa demanda</p><p>linear e supondo serem vendidos x maços a um</p><p>preço y, a função que melhor descreve essa situa-</p><p>ção é:</p><p>(a) y = – 20x + 40 (d) y = – 20x</p><p>(b) y = – 0,05x + 2 (e) y = – 2x + 4</p><p>(c) y = 0,05x R: (b)</p><p>49)(UEPA-2014) Na figura abaixo, está</p><p>representado um mosaico do século passado de 16</p><p>cm de lado, composto por um conjunto de</p><p>quadrados cujos vértices dos quadrados inscritos</p><p>se encontram situados nos pontos médios dos</p><p>quadrados circunscritos. A reta que passa pelos</p><p>pontos A e B, vértices do quadro destacado,</p><p>também passa pelo ponto cujas coordenadas são:</p><p>(a) (9, 13)</p><p>(b) (1, 7)</p><p>(c) (0,</p><p>6)</p><p>(d) (– 4, 2)</p><p>(e) (– 8, 0)</p><p>R: (a)</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>6</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>6. INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS</p><p>A figura acima mostra duas retas, r e s, do</p><p>mesmo plano, que se intersectam no ponto</p><p>P(x0, y0).</p><p>Como P pertence às duas retas, suas coor-</p><p>denadas devem satisfazer, simultaneamente, as</p><p>equações dessas duas retas. Logo, para determi-</p><p>ná-las, basta resolver o sistema de equações for-</p><p>mado pelas equações das duas retas.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>50) Determine as coordenadas do ponto P(x, y),</p><p>intersecção das retas r e s em cada caso:</p><p>a) r: 2x + y – 1 = 0 e s: 3x + 2y – 4 = 0 R: (– 2, 5)</p><p>b) r: x + 2y – 3 = 0 e s: x – 2y + 7 = 0 R: (– 2, 5/2)</p><p>c) r: 2x + 3y – 8 = 0 e s: 2x – 4y + 13 = 0 R: (– 1/2, 3)</p><p>51) Se as equações das retas suportes dos lados</p><p>de um triângulo são y = 2x – 1, y = 5x – 4 e x = 5,</p><p>calcule as coordenadas dos vértices do triângulo.</p><p>R: (5, 9), (5, 21), (1, 1)</p><p>52) Dado o triângulo cujos vértices são os pontos</p><p>A(5, 2), B(1, – 3) e C(– 3, 4), determine o baricentro</p><p>(ponto de encontro das medianas) do triângulo.</p><p>R: G(1, 1) (Resolução em apresentação →)</p><p>Observações:</p><p>Baricentro: é o encontro</p><p>das medianas num triân-</p><p>gulo.</p><p>O baricentro pode ser</p><p>encontrado pela expres-</p><p>são:</p><p>xG =</p><p>xA+xB+xC</p><p>3</p><p>e yG =</p><p>yA+yB+yC</p><p>3</p><p>Assim, o baricentro G do triângulo ABC será</p><p>𝐆 (</p><p>𝐱𝐀 + 𝐱𝐁 + 𝐱𝐂</p><p>𝟑</p><p>,</p><p>𝐲𝐀 + 𝐲𝐁 + 𝐲𝐂</p><p>𝟑</p><p>)</p><p>Assista a animação →</p><p>Ortocentro: é o encon-</p><p>tro das alturas num tri-</p><p>ângulo.</p><p>Assista a animação →</p><p>Circuncentro: é o encontro</p><p>das mediatrizes num triân-</p><p>gulo, que coincide com o</p><p>centro da circunferência</p><p>circunscrita ao triângulo.</p><p>Incentro: é o encontro</p><p>das bissetrizes num</p><p>triângulo, que coincide</p><p>com o centro da circun-</p><p>ferência inscrita ao</p><p>triângulo.</p><p>53) Uma reta r é determinada pelos pontos</p><p>A(2, 0) e B(0, 4), e uma reta s é determinada pelos</p><p>pontos C(– 4, 0) e D(0, 2). Seja P(x, y) o ponto de</p><p>intersecção das retas r e s. Determine as coorde-</p><p>nadas do ponto P. R: P(4/5, 12/5)</p><p>54) Determine a equação da reta que passa pela</p><p>origem dos eixos coordenados e pela intersecção</p><p>das retas 2x + y – 6 = 0 e x – 3y + 11 = 0. R: – 4x + y = 0</p><p>EXERCÍCIO DE VESTIBULAR</p><p>55)(UFPA-2003) Recentemente foi exibido, em</p><p>alguns cinemas de nossa cidade, o filme Scooby</p><p>doo, cuja personagem principal era virtual. Isso é</p><p>possível através de efeitos especiais com imagens</p><p>e alguns deles são obtidos através de movimentos</p><p>de pontos, chamados de rotação, reflexão e trans-</p><p>lação. Todos esses movi-</p><p>mentos são obtidos alge-</p><p>bricamente, por produtos</p><p>de matrizes. Assim, por</p><p>exemplo, para efetuarmos</p><p>a rotação de  graus do</p><p>ponto R, em torno da ori-</p><p>gem, e obtermos o ponto</p><p>R’, como mostra a figura</p><p>ao lado,</p><p>Procedemos o produto matricial</p><p>(</p><p>cos  – sen </p><p>sen cos </p><p>)(</p><p>x</p><p>y) = (</p><p>x′</p><p>y′</p><p>)</p><p>onde X e Y são as coordenadas de R e X’ e Y’ são</p><p>as coordenadas de R’. Com base no exemplo aci-</p><p>ma, encontre a equação da reta que passa pela</p><p>origem e pelo ponto R’, obtido pela rotação de 30</p><p>graus, em torno da origem do ponto R(√3, 1).</p><p>R: √3x – y = 0</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/questao-48-da-apost-geo-analitica</p><p>https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/2020/07/baricentro-em-geogebra.html</p><p>https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/2020/07/baricentro-em-geogebra.html</p><p>https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/2020/07/ortocentro-em-geogebra.html</p><p>https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/2020/07/ortocentro-em-geogebra.html</p><p>7</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>7. RETAS PARALELAS</p><p>As retas r e s são paralelas, veja o gráfico</p><p>abaixo:</p><p>Duas retas não-verticais r e s de equações re-</p><p>duzidas y = mrx + nr e y = msx + ns, são parale-</p><p>las distintas se, somente se:</p><p>mr = ms e nr ≠ ns</p><p>Observações: Duas retas não-verticais r e s de</p><p>equações reduzidas y = mrx + nr e y = msx + ns, são</p><p>paralelas coincidentes se, somente se:</p><p>mr = ms e nr = ns</p><p>e concorrentes se, e somente se:</p><p>mr ≠ ms</p><p>EXERCÍCIO PROPOSTO</p><p>56) Estude a posição relativa dos pares de retas.</p><p>a) 3x – 2y + 1 = 0 e 4x + 6y – 1 = 0 R: concorrentes</p><p>b) y + x – 7 = 0 e 2x – 2y + 1 = 0 R: concorrentes</p><p>c) 2x – y – 6 = 0 e – 4x + 2y – 5 = 0 R: paralelas</p><p>8. RETAS PERPENDICULARES</p><p>As retas r e s são perpendiculares, veja o</p><p>gráfico abaixo:</p><p>Duas retas r e s, não verticais, são perpendi-</p><p>culares, se e somente se, o coeficiente angular</p><p>de uma delas é igual ao oposto do inverso do</p><p>coeficiente angular da outra.</p><p>ms = –</p><p>𝟏</p><p>𝐦𝐫</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>57) Dada a reta r de equação 2x – y + 5 = 0 e o</p><p>ponto P(3, 5), determine a equação da reta s que</p><p>passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r.</p><p>R: x + 2y – 13 = 0</p><p>58) Escreva a equação reduzida da reta que pas-</p><p>sa pelo ponto (5, 0) e é perpendicular à reta de</p><p>equação</p><p>x – 5</p><p>3</p><p>=</p><p>y + 3</p><p>2</p><p>. R: y = −</p><p>3</p><p>2</p><p>x +</p><p>15</p><p>2</p><p>59) A equação de uma reta r é dada por:</p><p>|</p><p>𝐲 – 𝟏 𝐱 𝟒</p><p>𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟐 𝟏 𝟎</p><p>| = 𝟎</p><p>Determine a equação da reta que passa pelo ponto</p><p>(4, 7) e é perpendicular a r. R: x + 2y – 18 = 0</p><p>60) Os pontos A(2, 1), B(– 2, – 4) e C(0, 2) são os</p><p>vértices de um triângulo ABC. Determine a equa-</p><p>ção da reta suporte da altura relativa ao lado 𝐀𝐁̅̅ ̅̅</p><p>do triângulo. R: 4x + 5y – 10 = 0</p><p>EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES</p><p>61)(Fuvest-SP) São dados os pontos A(2, 3) e</p><p>B(8, 5).</p><p>a) Ache a equação da reta 𝐀𝐁 ⃡ . R: – x + 3y – 7 = 0</p><p>b) Ache a equação da mediatriz do segmento 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ .</p><p>R: y = – 3x + 19</p><p>62)(Vunesp) Ache os coeficientes angulares das</p><p>retas r e s da figura e verifique se elas são ortogo-</p><p>nais.</p><p>R: não são ortogonais.</p><p>63)(Enem-2003) Nos últimos anos, a televisão</p><p>tem passado por uma verdadeira revolução, em</p><p>termos de qualidade de imagem, som e interativi-</p><p>dade com o telespectador. Essa transformação se</p><p>deve a conversão do sinal analógico para o sinal</p><p>digital. Entretanto, muitas cidades ainda não con-</p><p>tam com essa nova tecnologia. Buscando levar</p><p>esses benefícios a três cidades, uma emissora de</p><p>televisão pretende construir uma nova torre de</p><p>transmissão, que envie sinal as antenas A, B e C,</p><p>já existentes nessas cidades. As localizações das</p><p>antenas estão representadas no plano cartesiano:</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>8</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>A torre está situada num local equidistante</p><p>das três antenas. O local adequado para a cons-</p><p>trução dessa torre corresponde ao ponto de coor-</p><p>denadas</p><p>(a) (65; 35) (c) (45; 35) (e) (50; 30)</p><p>(b) (53; 30) (d) (50; 20) R: (e)</p><p>9. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA</p><p>A distância d entre um ponto P(x0, y0) e uma</p><p>reta r: ax + by + c = 0 é dada por:</p><p>𝐝 =</p><p>|𝐚𝐱𝟎 + 𝐛𝐲𝟎 + 𝐜|</p><p>√𝐚𝟐 + 𝐛𝟐</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>64) Calcule a distância d do ponto P(2, 1) à reta r:</p><p>3x – 4y + 8 = 0. R: d = 2</p><p>65) Determine a distância d entre o ponto A(2, 1)</p><p>e a reta r, de equação x + 2y – 14 = 0. R: d = 2√5</p><p>66) Calcule a distância d do ponto P à reta r em</p><p>cada caso:</p><p>a) P(5, 7) e r: 4x – 3y + 2 = 0 R: d = 1/5</p><p>b) P(1, – 2) e r: y = –</p><p>3</p><p>4</p><p>x + 1 R: d = 9/5</p><p>c) P(– 1, 4) e r: x + y = 0 R: d = 3√2/2</p><p>d) P(2, 6) e r: 2x + 1 = 0 R: d = 5/2</p><p>67) Qual é a distância d entre a origem e a reta r,</p><p>que passa pelos A(1, 1) e B(– 1, 3)? R: d = √2</p><p>68) Calcule a distância d entre as retas paralelas</p><p>12x – 9y + 27 = 0 e 12x – 9y – 18 = 0. R: d = 3</p><p>69) Os pontos A(2, 1), B(– 2, – 4) e C(0, 2) são os</p><p>vértices de um triângulo ABC. Determine</p><p>a) a medida da altura relativa ao lado 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ do triân-</p><p>gulo. R: d = 14</p><p>√41</p><p>41</p><p>b) a medida da altura relativa ao lado 𝐁𝐂̅̅ ̅̅ do triân-</p><p>gulo.</p><p>R: d = 7</p><p>√10</p><p>10</p><p>70) Determine a medida da altura do trapézio</p><p>cujos vértices são os pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3)</p><p>e D(4, 3). R: h = 2</p><p>10. CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂNGULO</p><p>A área A de triângulo cujos vértices são os pon-</p><p>tos E(xE, yE), F(xF, yF) e G(xG, yG) é dada por:</p><p>A =</p><p>|𝐃|</p><p>𝟐</p><p>, em que D = |</p><p>𝐱𝐄 𝐲𝐄 𝟏</p><p>𝐱𝐅 𝐲𝐅 𝟏</p><p>𝐱𝐆 𝐲𝐆 𝟏</p><p>|</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>71) Calcular a área do triângulo cujos vértices</p><p>são os pontos A(2, 4), B(– 6, 2) e C(0, – 2). R: A = 22</p><p>72) Determine a área do triângulo cujos vértices</p><p>são os pontos:</p><p>a) A(– 3, 3), B(– 1, 1) e C(4, 0) R: A = 4</p><p>b) A(– 1,</p><p>7</p><p>2</p><p>), B(4, – 3) e C(0, – 6) R: A = 41/2</p><p>73) Determinar a área do quadrilátero ABCD, sa-</p><p>bendo que seus vértices são os pontos A(2, 0),</p><p>B(3, 1), C(1, 4) e D(0, 2). R: A = 11/2</p><p>74) Os pontos A(2, – 4), B(a, 1) e C(4, 2) são os</p><p>vértices do triângulo ABC. Calcule o valor de a,</p><p>para que esse triângulo tenha 2 unidades de área.</p><p>R: a = 13/3 ou a = 3</p><p>75) A reta r da figura a seguir tem equação</p><p>x + 2y – 4 = 0.</p><p>Determine a área do triângulo AOB. R: A = 4</p><p>76)(U.F. Viçoas-MG) As retas r e s do gráfico</p><p>tem equações y = – x + 5 e y = x – 3, respectiva-</p><p>mente. Pode se afirmar que a área do triângulo</p><p>ABC é:</p><p>(a) 2 (b)</p><p>1</p><p>2</p><p>(c) 1 (d) 2√2 e)</p><p>√2</p><p>2</p><p>R: (c)</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>9</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>CAPÍTULO III – CIRCUNFERÊNCIA</p><p>11. EQUAÇÃO REDUZIDA</p><p>Seja, no plano cartesiano, uma circunferên-</p><p>cia  de centro C(a, b) e raio r.</p><p>Considerando um ponto genérico G(x, y),</p><p>segue CG =r ⟹ √(x − a)2 + (y − b)2 = r ⟹</p><p>(𝐱 – 𝐚)𝟐 + (𝐲 – 𝐛)𝟐 = 𝐫𝟐</p><p>Denominada equação reduzida da circunferência</p><p> de centro C(a, b) e raio r.</p><p>Observação:</p><p>• Se r > 0,  é real;</p><p>• Se r = 0,  se reduz a um ponto;</p><p>• Se r ∉ ℝ,  é imaginário.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>77) Obtenha a equação reduzida da circunferên-</p><p>cia de centro C e raio R, nos seguintes casos:</p><p>a) C(4, 6) e R = 3 R: (x – 4)2 + (y – 6)2 = 9</p><p>b) C(0, 2) e R = √5 R: x2 + (y – 2)2 = 5</p><p>c) C(–3, 1) e R =</p><p>3</p><p>2</p><p>R: (x + 3)2 + (y – 1)2 = 9/4</p><p>d) C(0, 2) e R = √7 R: x2 + (y – 2)2 = 7</p><p>e) C(–4, 1) e R =</p><p>1</p><p>3</p><p>R: (x + 4)2 + (y – 1)2 = 1/9</p><p>f) C(–</p><p>1</p><p>3</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p>) e R = 1 R: (x + 1/3)2 + (y – 1/2)2 = 1</p><p>78) Determine o centro C e o raio r da circunfe-</p><p>rência cuja equação reduzida é:</p><p>a) (x – 6)2 + (y – 2)2 = 16 R: C(6, 2), r = 4</p><p>b) (x + 4)2 + (y – 1)2 = 3 R: C(– 4, 1), r = √3</p><p>c) (x + 2)2 + y2 =</p><p>16</p><p>25</p><p>R: C(-2, 0), r = 4/5</p><p>d) (x –</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>+ (y –</p><p>5</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>= 9 R: C(1/2, -5/2), r = 3</p><p>e) x2 + (y + 1)2 = 2 R: C(0, -1), r = √2</p><p>f) x2 + y2 = 4 R: C(0, 0), r = 2</p><p>12. EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFE-</p><p>RÊNCIA</p><p>(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⟹</p><p>⟹ x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 ⟹</p><p>x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0</p><p>Denominada equação normal da circunferência.</p><p>Exemplo: Determinar o centro C(a, b) e o raio r da</p><p>circunferência de equação: x2 + y2 – 6x + 8y + 9 =</p><p>0.</p><p>Resolução:</p><p>De x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, te-</p><p>mos</p><p>– 2a = – 6 ⟹ a = 3</p><p>– 2b = 8 ⟹ b = – 4</p><p>Assim C(a, b) = (3, – 4).</p><p>Ainda, a2 + b2 – r2 = 9</p><p>⟹ 32 + (– 4)2 – r2 = 9</p><p>⟹ r2 = 9 – 9 + 16 ⟹ r = 4.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>79) Qual é a equação normal da circunferência de</p><p>centro C(4, 1) e raio 5? R: x2 + y2 – 8x – 2y – 8 = 0</p><p>80) Obtenha o centro C e o raio r da circunferên-</p><p>cia de equação:</p><p>a) x2 + y2 – 2x + 8y + 14 = 0 R: C(1, – 4) e R = √3</p><p>b) x2 + y2 – 4x – 8y + 16 = 0 R: C(2, 4) e R = 2</p><p>c) 16x2 + 16y2 + 16x – 8y – 31 = 0 R: C(– 1/2, 1/4) e R = 3/2</p><p>EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES</p><p>81)(Enem-2018) Um jogo pedagógico utiliza-se</p><p>de uma interface algébrico-geométrica do seguinte</p><p>modo: os alunos devem eliminar os pontos do pla-</p><p>no cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias</p><p>que devem passar pelos pontos escolhidos. Para</p><p>dar os tiros, os alunos deve escrever em uma ja-</p><p>nela do programa a equação cartesiana de uma</p><p>reta ou de uma circunferência que passa pelos</p><p>pontos e pela origem do sistema de coordenadas.</p><p>Se o tiro for dado por meio da equação da circun-</p><p>ferência, cada ponto diferente da origem que for</p><p>atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado meio da</p><p>equação de uma reta, cada ponto diferente da</p><p>origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma si-</p><p>tuação de jogo, ainda restam os seguintes pontos</p><p>para serem eliminados: A(0; 4), B(4; 4), C(4; 0),</p><p>D(2; 2) e E(0; 2).</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>10</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a</p><p>maior pontuação?</p><p>(a) x = 0 (d) x2 + (y – 2)2 = 16</p><p>(b) y = 0 (e) (x –2)2 + (y –2)2 = 8</p><p>(c) x2 + y2 = 16</p><p>R: (e)</p><p>82)(Enem-2013) Durante uma aula de Matemá-</p><p>tica, o professor sugere aos alunos que seja fixado</p><p>um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e</p><p>representa na lousa a descrição de cinco conjuntos</p><p>algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:</p><p>I – é a circunferência de equação x2 + y2 = 9</p><p>II – é a parábola de equação y = – x2 – 1, com x</p><p>variando de –1 a 1;</p><p>III – é o quadrado formado pelos vértices (1, 1),</p><p>(2, 1), (2, 2) e (1, 2);</p><p>V – é o ponto (0, 0).</p><p>A seguir, o professor representa corretamente os</p><p>cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadri-</p><p>culada, composta de quadrados com lados medin-</p><p>do uma unidade de comprimento, cada, obtendo</p><p>uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo</p><p>professor?</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>(c)</p><p>(d)</p><p>(e)</p><p>R: (e)</p><p>83)(Cesgranrio) A equação da circunferência</p><p>cuja representação cartesiana está indicada pela</p><p>figura abaixo é:</p><p>(a) x2 + y2 – 3x – 4y = 0</p><p>(b) x2 + y2 + 6x + 8y = 0</p><p>(c) x2 + y2 + 6x – 8y = 0</p><p>(d) x2 + y2 + 8x – 6y = 0</p><p>(e) x2 + y2 – 8x + 6y = 0 R: (c)</p><p>84)(UEPA-2008) Segundo a Revista VEJA de</p><p>03.10.07, o mundo dá sinais de que a paciência</p><p>com o Irã está chegando ao fim. Rudolph Giuliani,</p><p>candidato à presidência dos EUA, defende um ata-</p><p>que preventivo para evitar que o país se torne</p><p>uma potência nuclear, pois o presidente do Irã</p><p>declarou ser seu projeto riscar Israel do mapa. O</p><p>material bélico do Irã é uma preocupação mundial.</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>11</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>Seus mísseis têm um alcance considerável e um</p><p>raio de ação de grande destruição. Um míssil foi</p><p>lançado sobre uma região e devastou uma área de</p><p>formato circular. O raio de ação desse míssil foi</p><p>registrado por meio da equação x² + y² – 2x – 4y – 4</p><p>= 0. Esse raio, em km, mede:</p><p>(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) 6</p><p>R: (b)</p><p>85)(UFPA-2008) Conhecendo as coordenadas</p><p>de três pontos A(0,2), B(3,0) e C(– 1,– 2), encontre</p><p>a coordenada do centro da circunferência que</p><p>contém os três pontos. R: C(9/14, – 2/7)</p><p>86)(UFPA-2005) Um arquiteto gostaria de cons-</p><p>truir um edifício de base quadrada em frente à</p><p>praia, de tal forma que uma das diagonais de sua</p><p>base fosse paralela à orla, conforme ilustração</p><p>abaixo. Utilizando um sistema de coordenadas</p><p>cartesiano, ele determinou que os vértices da base</p><p>que determinam a diagonal paralela à orla deverão</p><p>ser A(2,6) e C(8,2). Determine as coordenadas</p><p>dos outros dois vértices, de modo que o quadrilá-</p><p>tero ABCD seja, de fato, um quadrado.</p><p>87)(UFRA-2004) C1 e C2 são dois círculos con-</p><p>cêntricos. C1 é determinado pela circunferência</p><p>cuja equação é x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 e C2 possui</p><p>15,7 m2 de área. A equação da circunferência que</p><p>determina C2 é:</p><p>(a) x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0</p><p>(b) x2 + y2 – 4x – 4y – 17 = 0</p><p>(c) x2 + y2 – 4x – 4y + 5 = 0</p><p>(d) x2 + y2 – 4x – 4y – 3 = 0</p><p>(e) x2 + y2 – 4x – 4y + 17 = 0</p><p>R: (a)</p><p>88)(UEPA-2001) Um agricultor recebe uma he-</p><p>rança e decide investir em</p><p>terras para aumentar</p><p>sua produção. Resolve comprar um terreno ao</p><p>lado do seu, e o corretor cobra R$ 2 000,00 a uni-</p><p>dade de área (u). O terreno tem a forma de qua-</p><p>drilátero de vértices A, B, C e D. Em sua represen-</p><p>tação no plano cartesiano, em que a unidade em</p><p>cada um dos eixos representa a unidade de com-</p><p>primento sobre o terreno, tem-se A = (0, 0), B =</p><p>(0, 1) e D = (3, 0). Sabe-se que a equação da reta</p><p>que contém os pontos D e C é 3x + 2y = 9, en-</p><p>quanto que a reta que contém os pontos B e C</p><p>também passa pelo ponto (4, 2). Faça os cálculos</p><p>necessários e determine o valor que o agricultor</p><p>irá pagar pelo terreno. R: 8 500 u</p><p>Recursos Pedagógicos</p><p>(Ensino Híbrido)</p><p>• Apostila de Geometria Analítica I (6 páginas,</p><p>56 questões) com gabarito</p><p>• Animação do baricentro no geogebra</p><p>• Animação do ortocentro no geogebra</p><p>• Apostila de Geometria Plana – Áreas e Medidas</p><p>de Superfícies (11 páginas, 36 questões) com</p><p>gabarito parcial</p><p>• Apostila de Geometria Plana – Áreas e Medidas</p><p>de Superfícies (16 páginas, 59 questões) com</p><p>gabarito</p><p>• Apostilas de Geometria Plana – Polígonos Re-</p><p>gulares (5 páginas, 17 questões)</p><p>• Apostila de Geometria Espacial I (11 páginas,</p><p>38 questões) com gabarito parcial</p><p>• Apostila de Geometria Espacial I (12 páginas,</p><p>48 questões) com gabarito</p><p>• Apostila de Geometria Espacial II (8 páginas,</p><p>34 questões) com gabarito</p><p>• Apostila de Geometria Espacial II (12 páginas,</p><p>56 questões) com gabarito</p><p>• Apostila de Geometria Analítica I (11 páginas,</p><p>88 questões) com gabarito</p><p>• Apostila de Geometria Analítica II (9 páginas,</p><p>36 questões) com gabarito</p><p>• Apostila de Trigonometria (8 páginas, 34 ques-</p><p>tões)</p><p>• Apostila de Trigonometria (26 páginas, 124</p><p>questões) com gabarito</p><p>• Apostila de Números Complexos (11 páginas,</p><p>59 questões) com gabarito</p><p>• Todas as apostilas de Matemática de Ensino</p><p>Médio do Prof. Gilberto</p><p>• Vídeos de Geometria</p><p>• Videoaulas de Matemática de Ensino Médio do</p><p>Prof. Gilberto</p><p>Referências</p><p>DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 2. Ed. São</p><p>Paulo: Ática, 2000, v.3.</p><p>Agradecimentos</p><p>A aluna Laryssa Souza, na revisão do gabarito.</p><p>y</p><p>x</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>(8,2</p><p>orla</p><p>A</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-analitica-i-6.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-analitica-i-6.html</p><p>https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/2020/07/baricentro-em-geogebra.html</p><p>https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/2020/07/ortocentro-em-geogebra.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-geometria-plana-areas-e.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-geometria-plana-areas-e.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-geometria-plana-areas-e.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/geo-gr.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/geo-gr.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/geo-gr.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/pol-reg.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/pol-reg.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-espacial-i-11.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-espacial-i-11.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-espacial-i-12.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-espacial-i-12.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-espacial-ii-8.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-espacial-ii-8.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-espacial-ii-10.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-espacial-ii-10.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-analitica-i-11.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-analitica-i-11.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-analitica-ii-9.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-geometria-analitica-ii-9.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-trigonometria-7-paginas-30.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-trigonometria-7-paginas-30.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-trigonometria-26-paginas.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-trigonometria-26-paginas.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-numeros-complexos-11.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-numeros-complexos-11.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html</p><p>https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/p/videos-de-geometria.html</p><p>https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/p/videos.html</p><p>https://professorgilbertosantosjr.blogspot.com/p/videos.html</p><p>12</p><p>Blog do Prof. Gilberto</p><p>“Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilho-</p><p>sa ciência aplicada que economiza trabalho e torna a</p><p>vida mais fácil? A resposta é simples: porque ainda</p><p>não aprendemos a nos servir dela com bom senso”.</p><p>Albert Einstein.</p><p>Atualizada em 13/1/2021</p><p>Gostou da apostila? Você encontra várias</p><p>apostilas como essa no blog do Professor</p><p>Gilberto Santos, no endereço</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.co</p><p>m/</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p><p>https://professorgilbertosantos.blogspot.com/</p>