3 - Sistemas de numeração

Prévia do material em texto

<p>ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES</p><p>AULA 3 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO</p><p>SISTEMAS DE NUMERAÇÃO</p><p> Há muitos sistemas de numeração em uso na tecnologia digital. Os mais</p><p>comuns são os sistemas decimal, binário e hexadecimal.</p><p> Humanos operam usando números decimais, sistemas digitais operam</p><p>usando números binários, e o hexadecimal é um sistema de numeração</p><p>que torna mais fácil para humanos lidar com números binários.</p><p> Os três sistemas de numeração são definidos e funcionam da</p><p>mesmíssima maneira.</p><p>SISTEMA DECIMAL</p><p> O sistema decimal é composto de 10 numerais ou símbolos. São eles: 0,</p><p>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.</p><p> O sistema decimal, também chamado de sistema de base 10 por ter dez</p><p>dígitos, desenvolveu-se naturalmente; afinal, as pessoas possuem dez</p><p>dedos. De fato, a palavra dígito é derivada da palavra ‘dedo’ em latim.</p><p> O sistema decimal é um sistema de valor posicional, no qual o valor de</p><p>cada dígito depende de sua posição no número.</p><p> Exemplo: 453 (4 centenas, 5 dezenas e 3 unidades)</p><p> 4 é o digito mais significativo, 3 o menos significativo</p><p>SISTEMA DECIMAL</p><p> Considere outro exemplo: 27,35. Este número é, na realidade, igual a 2</p><p>dezenas mais 7 unidades mais 3 décimos mais 5 centésimos, ou 2 × 10 +</p><p>7 × 1 + 3 × 0,1 + 5 × 0,01. A vírgula decimal é usada para separar a parte</p><p>inteira da parte fracionária do número.</p><p> 27,35 = (2 × 10+1) + (7 × 100) + (3 × 10–1) + (5 × 10–2)</p><p>SISTEMA BINÁRIO</p><p> O sistema de numeração decimal não é conveniente para ser</p><p>implementado em sistemas digitais.</p><p> Por exemplo, é muito difícil projetar um equipamento eletrônico para</p><p>que ele opere com dez níveis diferentes de tensão (cada um</p><p>representando um caractere decimal, 0 a 9). Por outro lado, é muito fácil</p><p>projetar um circuito eletrônico simples e preciso que opere com apenas</p><p>dois níveis de tensão.</p><p> É comum que o sistema binário use um número maior de dígitos para</p><p>expressar determinado valor. Um digíto binário é chamado bit.</p><p>SISTEMA BINÁRIO</p><p> Para representar o número 1011,101 no seu equivalente no sistema</p><p>decimal, basta somar os produtos do valor de cada dígito (0 ou 1) pelo</p><p>seu respectivo valor posicional (peso):</p><p> 1011,1012 = (1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20) + (1 × 2–1) + (0 × 2–2) +</p><p>(1 × 2–3) = 8 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 11,62510</p><p> Na operação anterior, observe que foram usados subscritos (2 e 10) para</p><p>indicar a base na qual o número em questão é expresso. Essa convenção</p><p>é usada para evitar confusão quando mais de um sistema de numeração</p><p>está sendo utilizado.</p><p>SISTEMA BINÁRIO</p><p>SISTEMA BINÁRIO</p><p>SISTEMA BINÁRIO</p><p> Para representar o número 1011,101 no seu equivalente no sistema</p><p>decimal, basta somar os produtos do valor de cada dígito (0 ou 1) pelo</p><p>seu respectivo valor posicional (peso):</p><p> 1011,1012 = (1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20) + (1 × 2–1) + (0 × 2–2) +</p><p>(1 × 2–3) = 8 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 11,62510</p><p> Na operação anterior, observe que foram usados subscritos (2 e 10) para</p><p>indicar a base na qual o número em questão é expresso. Essa convenção</p><p>é usada para evitar confusão quando mais de um sistema de numeração</p><p>está sendo utilizado.</p><p>SISTEMA BINÁRIO</p><p> Usando N bits ou posições, podemos contar 2N números.</p><p> Por exemplo, com 2 bits podemos contar 2² = 4 contagens (002 até 112);</p><p>com 4 bits podemos contar 24 = 16 contagens (00002 até 11112), e assim</p><p>por diante.</p><p> A última contagem será sempre com os bits em 1, que é igual a 2N –1 no</p><p>sistema decimal. Por exemplo, usando 4 bits, a última contagem é 11112</p><p>= 24 –1 = 1510.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p> Qual é o maior número que pode ser representado usando 8 bits? E com</p><p>12 bits?</p><p> Qual é o número decimal equivalente a 11010112?</p><p>EXERCÍCIOS</p><p> Qual é o maior número que pode ser representado usando 8 bits? E com</p><p>12 bits?</p><p> 2N – 1 = 28 – 1 = 25510 = 111111112.</p><p> 2N – 1 = 212 – 1 = 409510 = 1111111111112.</p><p> Qual é o número decimal equivalente a 11010112?</p><p> =1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20 = 64+32+0+8+0+2+1 = 107​</p><p>SISTEMA OCTAL E HEXADECIMAL</p><p> Números octais são formados a partir dos oito dígitos octais: 0 1 2 3 4 5</p><p>6 7</p><p> Para números hexadecimais, 16 dígitos são necessários. Assim,</p><p>precisamos de seis novos símbolos.</p><p> Por convenção, usamos as letras maiúsculas de A a F para os seis dígitos</p><p>depois do 9. Os números hexadecimais são, então, formados a partir dos</p><p>dígitos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F</p><p>CONVERSÃO DE BASES</p><p>CONVERSÃO DE BASES</p><p> A conversão de números octais ou hexadecimais para números binários</p><p>é fácil.</p><p> Para converter um número binário para octal, divida-o em grupos de 3</p><p>bits, com os 3 bits imediatamente à esquerda (ou à direita) do ponto</p><p>decimal (muitas vezes denominado ponto binário ou vírgula aritmética)</p><p>formando um grupo, os 3 bits imediatamente à sua esquerda outro</p><p>grupo e assim por diante.</p><p> Cada grupo de 3 bits pode ser convertido diretamente para um único</p><p>dígito octal, de 0 a 7, de acordo com a conversão dada nas primeiras</p><p>linhas da tabela anterior.</p><p>CONVERSÃO DE BASES</p><p> A conversão de octal para binário é igualmente trivial. Cada dígito octal é</p><p>apenas substituído pelo número binário equivalente de 3 bits. A</p><p>conversão de hexadecimal para binário é, na essência, a mesma que a de</p><p>octal para binário, exceto que cada dígito hexadecimal corresponde a um</p><p>grupo de 4 bits em vez de 3 bits.</p><p>CONVERSÃO DE BASES</p><p>CONVERSÃO DE BASES</p><p> O método para converter decimais para binários (só para inteiros)</p><p>consiste em dividir o número por 2.</p><p> O quociente é escrito diretamente abaixo do número original e o resto, 0</p><p>ou 1, é escrito ao lado do quociente. Então, considera-se o quociente e o</p><p>processo é repetido até chegar ao número 0.</p><p> O resultado desse processo será duas colunas de números, os</p><p>quocientes e os restos. O número binário agora pode ser lido</p><p>diretamente na coluna do resto, começando por baixo.</p><p>CONVERSÃO DE BASES</p><p> A conversão de decimal para octal e de decimal para hexadecimal pode</p><p>ser realizada primeiro convertendo para binário e depois para o sistema</p><p>desejado, ou subtraindo potências de 8 ou 16. Também é possível fazer</p><p>divisões sucessivas.</p><p> Exemplo (423):</p><p> 423/16 = 26 (com resto 7)</p><p> 26/16 = 1 (com resto 10)</p><p> 1/16 = 0 (com resto 1)</p><p>CONVERSÃO DE BASES</p><p> A conversão de decimal para octal e de decimal para hexadecimal pode</p><p>ser realizada primeiro convertendo para binário e depois para o sistema</p><p>desejado, ou subtraindo potências de 8 ou 16. Também é possível fazer</p><p>divisões sucessivas.</p><p> Exemplo (423):</p><p> 423/16 = 26 (com resto 7)</p><p> 26/16 = 1 (com resto 10)</p><p> 1/16 = 0 (com resto 1)</p><p> Resultado: 1A7</p><p>CONVERSÃO DE BASES</p><p> Converter:</p><p> 3F16 = ??10</p><p> 1C316 = ??10</p><p> C1316 = ??2</p><p> 1001 10002 = ??16</p><p>CONVERSÃO DE BASES</p><p> Converter:</p><p> 3F16 = 6310</p><p> 1C316 = 45110</p><p> C1316 = 1100 0001 00112</p><p> 1001 10002 = 9816</p><p>ARITMÉTICA BINÁRIA</p><p> Adição</p><p> Exemplo: 111 + 101 = 1100</p><p>Adendo 0 0 1 1</p><p>Augendo +0 +1 +0 +1</p><p>Soma 0 1 1 0</p><p>Vai-um 0 0 0 1</p><p>ARITMÉTICA BINÁRIA</p><p> Adição</p><p> 11 + 10 = 101</p><p> 110 + 111 = 1101</p><p> 0101 + 11011 = 100000</p><p> 1111 + 111 = 10110</p><p>Adendo 0 0 1 1</p><p>Augendo +0 +1 +0 +1</p><p>Soma 0 1 1 0</p><p>Vai-um 0 0 0 1</p><p>ARITMÉTICA BINÁRIA</p><p> Subtração</p><p> Exemplo: 111 - 101 = 010</p><p>Minuendo 0 0 1 1</p><p>Subtraendo -0 -1 -0 -1</p><p>Diferença 0 1 1 0</p><p>Empresta um 0 1 0 0</p><p>ARITMÉTICA BINÁRIA</p><p> Subtração</p><p> 111 - 100 = 11</p><p> 1000 – 111 = 1</p><p> 1100 − 0101 = 0111</p><p>Minuendo 0 0 1 1</p><p>Subtraendo -0 -1 -0 -1</p><p>Diferença 0 1 1 0</p><p>Empresta um 0 1 0 0</p><p>ARITMÉTICA BINÁRIA</p><p> Multiplicação</p><p> Exemplo: 111 x 10 = 1110</p><p>Multiplicador 0 0 1 1</p><p>Multiplicando x0 x1 x0 x1</p><p>Produto 0 0 0 1</p><p>ARITMÉTICA BINÁRIA</p><p> Multiplicação</p><p> 11010 x 10 = 110100</p><p> 1100 x 011 = 100100</p><p> 11010 x 101 = 10000010</p><p>Multiplicador 0 0 1 1</p><p>Multiplicando x0 x1 x0 x1</p><p>Produto 0 0 0 1</p><p>ARITMÉTICA BINÁRIA</p><p> Divisão</p><p> Exemplo: 100 ÷ 10 = 10</p><p> 11011 ÷ 11 = 1001</p><p>Dividendo 0 0 1 1</p><p>Divisor ÷0 ÷1 ÷0 ÷1</p><p>Quociente 0 1 ?? 1</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Quatro sistemas diferentes para representar números negativos já foram</p><p>usados em computadores</p><p>digitais em uma época ou outra da história.</p><p> O primeiro é conhecido como magnitude com sinal. Nesse sistema, o bit</p><p>da extrema esquerda é o bit de sinal (0 é + e 1 é –) e os restantes contêm</p><p>a magnitude absoluta do número.</p><p> O segundo sistema, denominado complemento de um, também tem um</p><p>bit de sinal, que é 0 para mais e 1 para menos. Para tornar um número</p><p>negativo, substitua cada 1 por 0 e cada 0 por 1. Isso vale também para o</p><p>bit de sinal. O complemento de 1 é obsoleto.</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> O terceiro sistema, chamado complemento de dois, também tem um bit</p><p>de sinal que é 0 para mais e 1 para menos.</p><p> Negar um número é um processo em duas etapas.</p><p> Na primeira, cada 1 é substituído por um 0 e cada 0 por um 1, assim</p><p>como no complemento de um.</p><p> Na segunda, 1 é somado ao resultado. A adição binária é a mesma que a</p><p>adição decimal, exceto que um vai-um é gerado se a soma for maior do</p><p>que 1 em vez de maior do que 9.</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Por exemplo, a conversão de 6 para complemento de dois tem duas</p><p>etapas:</p><p>00000110 (+6)</p><p>11111001 (–6 em complemento de um)</p><p>11111010 (–6 em complemento de dois)</p><p> Se ocorrer um vai-um no bit da extrema esquerda, ele é descartado.</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Outros exemplos:</p><p> 101101 -> 010011</p><p> 101100 -> 010100</p><p> 10010110 -> 01101010</p><p> Para representar números com sinal mantemos a forma binária direta</p><p>para números positivos e acrescentamos um bit 0 mais a esquerda. Para</p><p>negativos, convertemos no complemento de 2 e colocamos um 1 mais a</p><p>esquerda.</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Represente cada um dos seguintes números decimais com sinal como</p><p>um número binário com sinal no sistema de complemento de 2. Use um</p><p>total de 5 bits incluindo o bit de sinal.</p><p>a) +13</p><p>b) –9</p><p>c) +3</p><p>d) –2</p><p>e) –8</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Represente cada um dos seguintes números decimais com sinal como</p><p>um número binário com sinal no sistema de complemento de 2. Use um</p><p>total de 5 bits incluindo o bit de sinal.</p><p>a) +13</p><p>b) –9</p><p>c) +3</p><p>d) –2</p><p>e) –8</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Represente cada um dos seguintes números decimais com sinal como</p><p>um número binário com sinal no sistema de complemento de 2. Use um</p><p>total de 5 bits incluindo o bit de sinal.</p><p>a) +13</p><p>b) –9</p><p>c) +3</p><p>d) –2</p><p>e) –8</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Represente cada um dos seguintes números decimais com sinal como</p><p>um número binário com sinal no sistema de complemento de 2. Use um</p><p>total de 5 bits incluindo o bit de sinal.</p><p>a) +13</p><p>b) –9</p><p>c) +3 = 00011</p><p>d) –2 = 11110</p><p>e) –8 = 11000</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Conversão do número em complemento de 2 para decimal:</p><p>11110111</p><p> É um número negativo. É necessário fazer o complemento de 2 para</p><p>descobrir a magnitude.</p><p> 1110111 -> 0001001 (+9)</p><p> Portanto, 11110111 representa o decimal -9</p><p> 00001001 seria apenas +9</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Cada um dos seguintes números é um número binário com sinal de 5</p><p>bits no sistema do complemento de 2. Determine o valor decimal em</p><p>cada caso:</p><p>a) 01100</p><p>b) 11010</p><p>c) 10001</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Cada um dos seguintes números é um número binário com sinal de 5</p><p>bits no sistema do complemento de 2. Determine o valor decimal em</p><p>cada caso:</p><p>a) 01100 = +12</p><p>b) 11010 = -6</p><p>c) 10001 = -15</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> O sistema de complemento de 2 é usado para representar números com</p><p>sinal porque, permite realizar a operação de subtração efetuando, na</p><p>verdade, uma adição.</p><p> Isso é importante porque um computador digital pode usar o mesmo</p><p>circuito tanto na adição quanto na subtração, desse modo, poupando</p><p>hardware.</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> O quarto sistema, que é chamado excesso 2m−1 para números de m bits,</p><p>representa um número armazenando-o como a soma dele mesmo com</p><p>2m−1.</p><p> Por exemplo, para números de 8 bits, m = 8, o sistema é denominado</p><p>excesso 128 e um número é armazenado como seu verdadeiro valor</p><p>mais 128. Portanto, –3 se torna –3 + 128 = 125, e –3 é representado pelo</p><p>número binário de 8 bits para 125 (01111101).</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Os números de –128 a +127 mapeiam para 0 a 255, todos os quais</p><p>podem ser expressos como um inteiro positivo de 8 bits. O interessante</p><p>é que esse sistema é idêntico ao complemento de dois com o bit de sinal</p><p>invertido.</p><p> Magnitude com sinal, bem como complemento de um, têm duas</p><p>representações para zero: mais zero e menos zero. Essa situação é</p><p>indesejável. O sistema de complemento de dois não tem esse problema</p><p>porque o complemento de dois de mais zero também é mais zero.</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> Contudo, o sistema de complemento de dois tem uma singularidade</p><p>diferente. O padrão de bit que consiste em 1 seguido por 0s é seu</p><p>próprio complemento.</p><p> O resultado disso é que as faixas de números positivos e negativos ficam</p><p>não simétricas; há um número negativo sem nenhuma contraparte</p><p>positiva.</p><p>BINÁRIOS NEGATIVOS</p><p> A razão para esses problemas não é difícil de achar: queremos um</p><p>sistema de codificação com duas propriedades:</p><p>1. Somente uma representação para zero.</p><p>2. Exatamente a mesma quantidade de números positivos e negativos.</p><p> O problema é que qualquer conjunto de números com a mesma</p><p>quantidade de números positivos e números negativos e só um zero tem</p><p>um número ímpar de membros, ao passo que m bits permite um</p><p>número par de padrões de bits. Sempre haverá um padrão de bits a mais</p><p>ou um padrão de bits a menos, não importando qual representação seja</p><p>escolhida.</p><p>Slide 1: Organização de computadores aula 3 – sistemas de numeração</p><p>Slide 2: Sistemas de numeração</p><p>Slide 3: Sistema decimal</p><p>Slide 4: Sistema decimal</p><p>Slide 5: Sistema binário</p><p>Slide 6: Sistema binário</p><p>Slide 7: Sistema binário</p><p>Slide 8: Sistema binário</p><p>Slide 9: Sistema binário</p><p>Slide 10: Sistema binário</p><p>Slide 11: exercícios</p><p>Slide 12: exercícios</p><p>Slide 13: Sistema octal e hexadecimal</p><p>Slide 14: Conversão de bases</p><p>Slide 15: Conversão de bases</p><p>Slide 16: Conversão de bases</p><p>Slide 17: Conversão de bases</p><p>Slide 18: Conversão de bases</p><p>Slide 19: Conversão de bases</p><p>Slide 20: Conversão de bases</p><p>Slide 21: Conversão de bases</p><p>Slide 22: Conversão de bases</p><p>Slide 23: Aritmética binária</p><p>Slide 24: Aritmética binária</p><p>Slide 25: Aritmética binária</p><p>Slide 26: Aritmética binária</p><p>Slide 27: Aritmética binária</p><p>Slide 28: Aritmética binária</p><p>Slide 29: Aritmética binária</p><p>Slide 30: Binários negativos</p><p>Slide 31: Binários negativos</p><p>Slide 32: Binários negativos</p><p>Slide 33: Binários negativos</p><p>Slide 34: Binários negativos</p><p>Slide 35: Binários negativos</p><p>Slide 36: Binários negativos</p><p>Slide 37: Binários negativos</p><p>Slide 38: Binários negativos</p><p>Slide 39: Binários negativos</p><p>Slide 40: Binários negativos</p><p>Slide 41: Binários negativos</p><p>Slide 42: Binários negativos</p><p>Slide 43: Binários negativos</p><p>Slide 44: Binários negativos</p><p>Slide 45: Binários negativos</p><p>Slide 46: Binários negativos</p>