Área-de-Superfície-de-Revolução

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Nesta aula estudaremos como calcular a a´rea de uma superf´ıcie de
revoluc¸a˜o.
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Quando rotacionamos uma regia˜o plana em torno de um
determinado eixo, no´s obtemos um so´lido de revoluc¸a˜o. A figura
abaixo ilustra um so´lido desse tipo.
A superf´ıcie desse so´lido e´ tambe´m chamada de superf´ıcie de
revoluc¸a˜o.
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Antes de calcular a a´rea de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o gene´rica,
vamos analisar a a´rea de uma superf´ıcie conhecida.
Considere um cone circular reto, ilustrado na figura abaixo.
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Antes de calcular a a´rea de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o gene´rica,
vamos analisar a a´rea de uma superf´ıcie conhecida.
Considere um cone circular reto, ilustrado na figura abaixo.
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Se planificamos a superf´ıcie desse cone, encontramos algo como
ilustra a figura abaixo.
r
g
2πr
Dos conhecimentos de Geometria Espacial, sabemos que a a´rea
lateral desse cone sera´ dada por
A = pirg .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Se planificamos a superf´ıcie desse cone, encontramos algo como
ilustra a figura abaixo.
r
g
2πr
Dos conhecimentos de Geometria Espacial, sabemos que a a´rea
lateral desse cone sera´ dada por
A = pirg .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Vamos agora considerar um tronco de cone, de raio maior R e raio
menor r .
R
g g
2πR
r
2πr
Sabemos que a a´rea lateral desse tronco de cone e´ dada por
A = pi(r + R)g .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Vamos agora considerar um tronco de cone, de raio maior R e raio
menor r .
R
g g
2πR
r
2πr
Sabemos que a a´rea lateral desse tronco de cone e´ dada por
A = pi(r + R)g .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Fazendo uma substituic¸a˜o de varia´veis, vamos fixar r como sendo a
me´dia aritme´tica entre r e R, isto e´, faremos
r =
r + R
2
.
Desse modo, vamos reescrever a a´rea lateral do tronco de cone
como segue
A = pi(r + R)g ⇒ A = 2pirg .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Fac¸amos enta˜o a divisa˜o do so´lido de revoluc¸a˜o gene´rico em
pequenos troncos de cone, como ilustra a figura abaixo.
g
x+
∆x
2
x -
∆x
2
�
�
g
∆x
f(x)
Do triaˆngulo retaˆngulo em destaque, segue que
tgα =
√
g2 −∆x2
∆x
.
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Fac¸amos enta˜o a divisa˜o do so´lido de revoluc¸a˜o gene´rico em
pequenos troncos de cone, como ilustra a figura abaixo.
g
x+
∆x
2
x -
∆x
2
�
�
g
∆x
f(x)
Do triaˆngulo retaˆngulo em destaque, segue que
tgα =
√
g2 −∆x2
∆x
.
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Lembrando que tgα = f ′(x), podemos escrever que
tgα =
√
g2 −∆x2
∆x
⇒
√
1 + [f ′(x)]2∆x = g .
Sendo assim, a a´rea lateral desse tronco de cone sera´ dada por
A = 2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2∆x .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Lembrando que tgα = f ′(x), podemos escrever que
tgα =
√
g2 −∆x2
∆x
⇒
√
1 + [f ′(x)]2∆x = g .
Sendo assim, a a´rea lateral desse tronco de cone sera´ dada por
A = 2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2∆x .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Vamos dividir o intervalo [a, b], no qual o so´lido esta´ posicionado,
em n partes, de modo que x0 = a e xn = b. Em cada subintervalo
[xi , xi+1], de comprimento ∆xi = xi+1 − xi , vamos tomar x i o seu
ponto me´dio. A a´rea de cada tronco de cone sera´ dada por
Ai = 2pif (x i )
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi
Somando-se todas essas a´reas, teremos uma aproximac¸a˜o para a
a´rea da superf´ıcie do so´lido.
No limite quando o maior ∆xi tende para zero, essa soma tendera´
para a a´rea da superf´ıcie do so´lido desejado:
A = lim
max ∆xi→0
n−1∑
i=0
2pif (x i )
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi
=
∫ b
a
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Vamos dividir o intervalo [a, b], no qual o so´lido esta´ posicionado,
em n partes, de modo que x0 = a e xn = b. Em cada subintervalo
[xi , xi+1], de comprimento ∆xi = xi+1 − xi , vamos tomar x i o seu
ponto me´dio. A a´rea de cada tronco de cone sera´ dada por
Ai = 2pif (x i )
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi
Somando-se todas essas a´reas, teremos uma aproximac¸a˜o para a
a´rea da superf´ıcie do so´lido.
No limite quando o maior ∆xi tende para zero, essa soma tendera´
para a a´rea da superf´ıcie do so´lido desejado:
A = lim
max ∆xi→0
n−1∑
i=0
2pif (x i )
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi
=
∫ b
a
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Introduc¸a˜o
Vamos dividir o intervalo [a, b], no qual o so´lido esta´ posicionado,
em n partes, de modo que x0 = a e xn = b. Em cada subintervalo
[xi , xi+1], de comprimento ∆xi = xi+1 − xi , vamos tomar x i o seu
ponto me´dio. A a´rea de cada tronco de cone sera´ dada por
Ai = 2pif (x i )
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi
Somando-se todas essas a´reas, teremos uma aproximac¸a˜o para a
a´rea da superf´ıcie do so´lido.
No limite quando o maior ∆xi tende para zero, essa soma tendera´
para a a´rea da superf´ıcie do so´lido desejado:
A = lim
max ∆xi→0
n−1∑
i=0
2pif (x i )
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi
=
∫ b
a
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Procedimento
Considere um so´lido S obtido pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x , da
regia˜o delimitada entre o gra´fico da func¸a˜o f e o eixo x no
intervalo [a, b], sendo f (x) ≥ 0 nesse intervalo e f possuindo
derivada cont´ınua. A a´rea da superf´ıcie de S sera´ dada por
A =
∫ b
a
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule a a´rea da superf´ıcie de uma esfera de raio 2
u.c..
Podemos enxergar essa esfera como sendo o resultado da rotac¸a˜o,
em torno do eixo x , da circunfereˆncia dada pela equac¸a˜o
x2 + y2 = 4.
2
y
2x
y
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule a a´rea da superf´ıcie de uma esfera de raio 2
u.c..
Podemos enxergar essa esfera como sendo o resultado da rotac¸a˜o,
em torno do eixo x , da circunfereˆncia dada pela equac¸a˜o
x2 + y2 = 4.
2
y
2x
y
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Considerando apenas o primeiro quadrante, podemos escrever que
y =
√
4− x2 (com 0 ≤ x ≤ 2).
Fazendo y = f (x), a a´rea da superf´ıcie dessa esfera pode ser
calculada por
A = 2
∫ 2
0
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
Calculando a derivada de f(x), obtemos que
f ′(x) = − x√
4− x2 .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Considerando apenas o primeiro quadrante, podemos escrever que
y =
√
4− x2 (com 0 ≤ x ≤ 2).
Fazendo y = f (x), a a´rea da superf´ıcie dessa esfera pode ser
calculada por
A = 2
∫ 2
0
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
Calculando a derivada de f(x), obtemos que
f ′(x) = − x√
4− x2 .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Considerando apenas o primeiro quadrante, podemos escrever que
y =
√
4− x2 (com 0 ≤ x ≤ 2).
Fazendo y = f (x), a a´rea da superf´ıcie dessa esfera pode ser
calculada por
A = 2
∫ 2
0
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
Calculando a derivada de f(x), obtemos que
f ′(x) = − x√
4− x2 .
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que
A = 2
∫ 2
0
2pi
√
4− x2
√
1 +
[
− x√
4− x2
]2
dx
= 4pi
∫ 2
0
√
4− x2
√
4
4− x2 dx
= 4pi
∫ 2
0
2 dx
= 4pi [2x ]20
= 16pi (u.a. – unidade de a´rea)
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que
A = 2
∫ 2
0
2pi
√
4− x2
√
1 +
[
− x√
4− x2
]2
dx
= 4pi
∫ 2
0
√
4− x2
√
4
4− x2 dx
= 4pi
∫ 2
0
2 dx
= 4pi [2x ]20
= 16pi (u.a. – unidade de a´rea)
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que
A = 2
∫ 2
0
2pi
√
4− x2
√
1 +
[
− x√
4− x2
]2
dx
= 4pi
∫ 2
0
√
4− x2
√
4
4− x2 dx
= 4pi
∫ 2
0
2dx
= 4pi [2x ]20
= 16pi (u.a. – unidade de a´rea)
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que
A = 2
∫ 2
0
2pi
√
4− x2
√
1 +
[
− x√
4− x2
]2
dx
= 4pi
∫ 2
0
√
4− x2
√
4
4− x2 dx
= 4pi
∫ 2
0
2 dx
= 4pi [2x ]20
= 16pi (u.a. – unidade de a´rea)
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que
A = 2
∫ 2
0
2pi
√
4− x2
√
1 +
[
− x√
4− x2
]2
dx
= 4pi
∫ 2
0
√
4− x2
√
4
4− x2 dx
= 4pi
∫ 2
0
2 dx
= 4pi [2x ]20
= 16pi (u.a. – unidade de a´rea)
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule a a´rea da superf´ıcie do so´lido obtido pela
rotac¸a˜o, em torno do eixo x, da regia˜o delimitada entre o gra´fico
de f (x) = x2 e o eixo x no intervalo
[
0, 12
]
.
0 01
2
1
2
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule a a´rea da superf´ıcie do so´lido obtido pela
rotac¸a˜o, em torno do eixo x, da regia˜o delimitada entre o gra´fico
de f (x) = x2 e o eixo x no intervalo
[
0, 12
]
.
0 01
2
1
2
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
A a´rea da superf´ıcie sera´ dada
A =
∫ 1
2
0
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx
= 2pi
∫ 1
2
0
x2
√
1 + (2x)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica tg u = 2x e
sec2 u du = 2 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 12 temos que u =
pi
4 .
Desse modo, podemos escrever que
A = 2pi
∫ pi
4
0
1
8
tg 2u sec3 u du
=
pi
4
∫ pi
4
0
sec5 u − sec3 u du
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
A a´rea da superf´ıcie sera´ dada
A =
∫ 1
2
0
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx
= 2pi
∫ 1
2
0
x2
√
1 + (2x)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica tg u = 2x e
sec2 u du = 2 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 12 temos que u =
pi
4 .
Desse modo, podemos escrever que
A = 2pi
∫ pi
4
0
1
8
tg 2u sec3 u du
=
pi
4
∫ pi
4
0
sec5 u − sec3 u du
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
A a´rea da superf´ıcie sera´ dada
A =
∫ 1
2
0
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx
= 2pi
∫ 1
2
0
x2
√
1 + (2x)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica tg u = 2x e
sec2 u du = 2 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 12 temos que u =
pi
4 .
Desse modo, podemos escrever que
A = 2pi
∫ pi
4
0
1
8
tg 2u sec3 u du
=
pi
4
∫ pi
4
0
sec5 u − sec3 u du
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
A a´rea da superf´ıcie sera´ dada
A =
∫ 1
2
0
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx
= 2pi
∫ 1
2
0
x2
√
1 + (2x)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica tg u = 2x e
sec2 u du = 2 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 12 temos que u =
pi
4 .
Desse modo, podemos escrever que
A = 2pi
∫ pi
4
0
1
8
tg 2u sec3 u du
=
pi
4
∫ pi
4
0
sec5 u − sec3 u du
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Desse modo, podemos escrever que
A =
pi
4
[
sec3 u tg u
4
− 1
8
(sec u tg u + ln | sec u + tg u|)
]pi
4
0
=
pi
32
(
3
√
2− ln
∣∣∣√2 + 1∣∣∣) (u.a. – unidade de a´rea)
A´rea de Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
Exerc´ıcio
Desse modo, podemos escrever que
A =
pi
4
[
sec3 u tg u
4
− 1
8
(sec u tg u + ln | sec u + tg u|)
]pi
4
0
=
pi
32
(
3
√
2− ln
∣∣∣√2 + 1∣∣∣) (u.a. – unidade de a´rea)