Cálculo-de-Volumes-Pelo-Método-das-Cascas-Cilindricas

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Na aula anterior no´s estudamos como aplicar o conceito de
integrais para calcular o volume de so´lidos.
Entretanto, em alguns casos a te´cnica estudada pode ser dif´ıcil de
ser aplicada.
Nesta aula estudaremos como calcular o volume de alguns so´lidos
atrave´s do chamado Me´todo das Cascas Cil´ındricas.
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Considere que desejamos calcular o volume do so´lido obtido pela
rotac¸a˜o, em torno do eixo y , da regia˜o R delimitada entre o gra´fico
de f (x) = −x2 + x e o eixo x .
R
0 1
f
0
1-1 r
i
r
e
1
4
1
4
Cada sec¸a˜o transversal desse so´lido, perpendicular ao eixo y , sera´
uma coroa circular com raio interno ri e raio externo re .
Dado um valor y ∈ [0, 14], teremos enta˜o associado a ele esses dois
raios.
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Considere que desejamos calcular o volume do so´lido obtido pela
rotac¸a˜o, em torno do eixo y , da regia˜o R delimitada entre o gra´fico
de f (x) = −x2 + x e o eixo x .
R
0 1
f
0
1-1 r
i
r
e
1
4
1
4
Cada sec¸a˜o transversal desse so´lido, perpendicular ao eixo y , sera´
uma coroa circular com raio interno ri e raio externo re .
Dado um valor y ∈ [0, 14], teremos enta˜o associado a ele esses dois
raios.
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Para determinar cada raio associado a um valor y , devemos
resolver a equac¸a˜o f (r) = y . Ou seja, temos que
−r2 + r = y ,
−r2 + r − y = 0.
Considerando a inco´gnita r , essa e´ uma equac¸a˜o polinomial do 2◦
grau, com soluc¸a˜o
ri =
1−√1− 4y
2
e re =
1 +
√
1− 4y
2
.
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Para determinar cada raio associado a um valor y , devemos
resolver a equac¸a˜o f (r) = y . Ou seja, temos que
−r2 + r = y ,
−r2 + r − y = 0.
Considerando a inco´gnita r , essa e´ uma equac¸a˜o polinomial do 2◦
grau, com soluc¸a˜o
ri =
1−√1− 4y
2
e re =
1 +
√
1− 4y
2
.
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Para determinar cada raio associado a um valor y , devemos
resolver a equac¸a˜o f (r) = y . Ou seja, temos que
−r2 + r = y ,
−r2 + r − y = 0.
Considerando a inco´gnita r , essa e´ uma equac¸a˜o polinomial do 2◦
grau, com soluc¸a˜o
ri =
1−√1− 4y
2
e re =
1 +
√
1− 4y
2
.
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
A a´rea de cada sec¸a˜o transversal sera´ dada por
A = pir2e − pir2i ,
A = pi
(
1 +
√
1− 4y
2
)2
− pi
(
1−√1− 4y
2
)2
.
Desenvolvendo toda essa equac¸a˜o, no final podemos escrever A
como uma func¸a˜o de y dada por:
A(y) = pi
√
1− 4y .
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
A a´rea de cada sec¸a˜o transversal sera´ dada por
A = pir2e − pir2i ,
A = pi
(
1 +
√
1− 4y
2
)2
− pi
(
1−√1− 4y
2
)2
.
Desenvolvendo toda essa equac¸a˜o, no final podemos escrever A
como uma func¸a˜o de y dada por:
A(y) = pi
√
1− 4y .
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
A a´rea de cada sec¸a˜o transversal sera´ dada por
A = pir2e − pir2i ,
A = pi
(
1 +
√
1− 4y
2
)2
− pi
(
1−√1− 4y
2
)2
.
Desenvolvendo toda essa equac¸a˜o, no final podemos escrever A
como uma func¸a˜o de y dada por:
A(y) = pi
√
1− 4y .
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Podemos enta˜o calcular o volume do so´lido desejado atrave´s da
integral
V =
∫ 1
4
0
A(y) dy
=
∫ 1
4
0
pi
√
1− 4y dy
=
[
−pi
6
√
(1− 4y)3
] 1
4
0
=
pi
6
(u.v. – unidade de volume)
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Podemos enta˜o calcular o volume do so´lido desejado atrave´s da
integral
V =
∫ 1
4
0
A(y) dy
=
∫ 1
4
0
pi
√
1− 4y dy
=
[
−pi
6
√
(1− 4y)3
] 1
4
0
=
pi
6
(u.v. – unidade de volume)
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Podemos enta˜o calcular o volume do so´lido desejado atrave´s da
integral
V =
∫ 1
4
0
A(y) dy
=
∫ 1
4
0
pi
√
1− 4y dy
=
[
−pi
6
√
(1− 4y)3
] 1
4
0
=
pi
6
(u.v. – unidade de volume)
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Podemos enta˜o calcular o volume do so´lido desejado atrave´s da
integral
V =
∫ 1
4
0
A(y) dy
=
∫ 1
4
0
pi
√
1− 4y dy
=
[
−pi
6
√
(1− 4y)3
] 1
4
0
=
pi
6
(u.v. – unidade de volume)
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Vejamos agora como calcular esse volume usando uma outra
estrate´gia. No´s vamos comec¸ar dividindo o so´lido em va´rias cascas
cil´ındricas, como ilustra a figura abaixo.
f(x)
x+
∆x
2
x -
∆x
2
x x+
∆x
2
x -
∆x
2
x
f(x)
O volume dessa casca cil´ındrica e´ dado por
V¯ = pi
(
x +
∆x
2
)2
f (x)− pi
(
x − ∆x
2
)2
f (x),
V¯ = 2pixf (x)∆x .
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Vejamos agora como calcular esse volume usando uma outra
estrate´gia. No´s vamos comec¸ar dividindo o so´lido em va´rias cascas
cil´ındricas, como ilustra a figura abaixo.
f(x)
x+
∆x
2
x -
∆x
2
x x+
∆x
2
x -
∆x
2
x
f(x)
O volume dessa casca cil´ındrica e´ dado por
V¯ = pi
(
x +
∆x
2
)2
f (x)− pi
(
x − ∆x
2
)2
f (x),
V¯ = 2pixf (x)∆x .
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Vejamos agora como calcular esse volume usando uma outra
estrate´gia. No´s vamos comec¸ar dividindo o so´lido em va´rias cascas
cil´ındricas, como ilustra a figura abaixo.
f(x)
x+
∆x
2
x -
∆x
2
x x+
∆x
2
x -
∆x
2
x
f(x)
O volume dessa casca cil´ındrica e´ dado por
V¯ = pi
(
x +
∆x
2
)2
f (x)− pi
(
x − ∆x
2
)2
f (x),
V¯ = 2pixf (x)∆x .
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Vale a pena destacar que o volume da casca cil´ındrica e´ equivalente
ao volume do paralelep´ıpedo cujas dimenso˜es sa˜o 2pix , ∆x e f (x).
x+
∆x
2
x -
∆x
2
x
f(x)
f(x)
∆x2πx
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Vamos dividir o intervalo [0, 1] em n partes, de modo que x0 = 0 e
xn = 1. Em cada subintervalo [xi , xi+1], de comprimento
∆xi = xi+1 − xi , vamos tomar x i o seu ponto me´dio. O volume de
cada casca cil´ındrica sera´ dado por
Vi = 2pix i f (x i )∆xi
Somando-se todos esses volumes, teremos uma aproximac¸a˜o para o
volume do so´lido.
No limite quando o maior ∆xi tende para zero, essa soma tendera´
para o volume do so´lido desejado:
V = lim
max ∆xi→0
n−1∑
i=0
2pix i f (x i )∆xi =
∫ 1
0
2pixf (x) dx .
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Vamos dividir o intervalo [0, 1] em n partes, de modo que x0 = 0 e
xn = 1. Em cada subintervalo [xi , xi+1], de comprimento
∆xi = xi+1 − xi , vamos tomar x i o seu ponto me´dio. O volume de
cada casca cil´ındrica sera´ dado por
Vi = 2pix i f (x i )∆xi
Somando-se todos esses volumes, teremos uma aproximac¸a˜o para o
volume do so´lido.
No limite quando o maior ∆xi tende para zero, essa soma tendera´
para o volume do so´lido desejado:
V = lim
max ∆xi→0
n−1∑
i=0
2pix i f (x i )∆xi
=
∫ 1
0
2pixf (x) dx .
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Vamos dividir o intervalo [0, 1] em n partes, de modo que x0 = 0 e
xn = 1. Em cada subintervalo [xi , xi+1], de comprimento
∆xi = xi+1 − xi , vamos tomar x i o seu ponto me´dio. O volume de
cada casca cil´ındrica sera´ dado por
Vi = 2pix i f (x i )∆xi
Somando-se todos esses volumes, teremos uma aproximac¸a˜o para o
volume do so´lido.
No limite quando o maior ∆xi tende para zero, essa soma tendera´
para o volume do so´lido desejado:
V = lim
max ∆xi→0
n−1∑
i=0
2pix i f (x i )∆xi =
∫ 1
0
2pixf (x) dx .
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜oPodemos enta˜o calcular o volume do so´lido desejado atrave´s da
integral
V =
∫ 1
0
2pix
(−x2 + x) dx
=
[
2pi
(
−x
4
4
+
x3
3
)]1
0
=
pi
6
(u.v. – unidade de volume)
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Podemos enta˜o calcular o volume do so´lido desejado atrave´s da
integral
V =
∫ 1
0
2pix
(−x2 + x) dx
=
[
2pi
(
−x
4
4
+
x3
3
)]1
0
=
pi
6
(u.v. – unidade de volume)
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Introduc¸a˜o
Podemos enta˜o calcular o volume do so´lido desejado atrave´s da
integral
V =
∫ 1
0
2pix
(−x2 + x) dx
=
[
2pi
(
−x
4
4
+
x3
3
)]1
0
=
pi
6
(u.v. – unidade de volume)
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Procedimento
Considere um so´lido S obtido pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y , da
regia˜o delimitada entre o gra´fico da func¸a˜o cont´ınua f e o eixo x
no intervalo [a, b], sendo f (x) ≥ 0 nesse intervalo e 0 ≤ a < b. O
volume de S sera´ dado por
V =
∫ b
a
2pixf (x) dx .
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em
torno do eixo y , da regia˜o R delimitada entre o gra´fico de
f (x) = x +
√
x e o eixo x no intervalo [1, 4].
R
f
1 4
2
6
1 4
f
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em
torno do eixo y , da regia˜o R delimitada entre o gra´fico de
f (x) = x +
√
x e o eixo x no intervalo [1, 4].
R
f
1 4
2
6
1 4
f
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Exerc´ıcio
O volume desse so´lido sera´ dado pela integral
V =
∫ 4
1
2pixf (x) dx
=
∫ 4
1
2pix
(
x +
√
x
)
dx
=
[
2pi
(
x3
3
+
2
√
x5
5
)]4
1
=
334pi
5
(u.v. – unidade de volume)
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Exerc´ıcio
O volume desse so´lido sera´ dado pela integral
V =
∫ 4
1
2pixf (x) dx
=
∫ 4
1
2pix
(
x +
√
x
)
dx
=
[
2pi
(
x3
3
+
2
√
x5
5
)]4
1
=
334pi
5
(u.v. – unidade de volume)
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Exerc´ıcio
O volume desse so´lido sera´ dado pela integral
V =
∫ 4
1
2pixf (x) dx
=
∫ 4
1
2pix
(
x +
√
x
)
dx
=
[
2pi
(
x3
3
+
2
√
x5
5
)]4
1
=
334pi
5
(u.v. – unidade de volume)
Ca´lculo de Volumes pelo Me´todo das Cascas Cil´ındricas
Exerc´ıcio
O volume desse so´lido sera´ dado pela integral
V =
∫ 4
1
2pixf (x) dx
=
∫ 4
1
2pix
(
x +
√
x
)
dx
=
[
2pi
(
x3
3
+
2
√
x5
5
)]4
1
=
334pi
5
(u.v. – unidade de volume)