Comprimento de Curvas

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Comprimento de Curvas
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Comprimento de Curvas
Introduc¸a˜o
Nesta aula estudaremos como calcular o comprimento de uma
curva representada pelo gra´fico de uma func¸a˜o.
Comprimento de Curvas
Introduc¸a˜o
Uma primeira estrate´gia para aproximar o comprimento da curva
representada pelo gra´fico de uma func¸a˜o f , e´ criar um curva
poligonal com formato semelhante a curva original. Faremos isso
como ilustra a figura abaixo.
x = a
0
x
1
x
2
x = b
3
f
x
0))f
x
1))f x
2))f
x
3))f
Comprimento de Curvas
Introduc¸a˜o
x = a
0
x
1
x
2
x = b
3
f
x
0))f
x
1))f x
2))f
x
3))f
O comprimento C do gra´fico de f no intervalo [a, b] e´ aproximado
por
C ≈
2∑
i=0
√
(xi+1 − xi )2 + [f (xi+1)− f (xi )]2
Comprimento de Curvas
Introduc¸a˜o
Considere que f tenha derivada cont´ınua no intervalo [a, b].
Vamos dividir o intervalo [a, b] em n partes, de modo que x0 = a e
xn = b. Seja ∆xi = xi+1 − xi o tamanho de cada subintervalo
[xi , xi+1]. O comprimento de cada segmento de extremos
(xi , f (xi )) e (xi+1, f (xi+1)) sera´ dado por
Ci =
√
(xi+1 − xi )2 + [f (xi+1)− f (xi )]2.
Pelo Teorema do Valor Me´dio, sabemos que existe x i ∈ (xi , xi+1)
tal que f ′(x i ) =
f (xi+1)−f (xi )
xi+1−xi . Isto e´, temos que
f (xi+1)− f (xi ) = f ′(x i )(xi+1 − xi ).
Sendo assim, podemos reescrever a expressa˜o para Ci como sendo
Ci =
√
(∆xi )2 + [f ′(x i )∆xi ]2 =
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi .
Comprimento de Curvas
Introduc¸a˜o
Considere que f tenha derivada cont´ınua no intervalo [a, b].
Vamos dividir o intervalo [a, b] em n partes, de modo que x0 = a e
xn = b. Seja ∆xi = xi+1 − xi o tamanho de cada subintervalo
[xi , xi+1]. O comprimento de cada segmento de extremos
(xi , f (xi )) e (xi+1, f (xi+1)) sera´ dado por
Ci =
√
(xi+1 − xi )2 + [f (xi+1)− f (xi )]2.
Pelo Teorema do Valor Me´dio, sabemos que existe x i ∈ (xi , xi+1)
tal que f ′(x i ) =
f (xi+1)−f (xi )
xi+1−xi . Isto e´, temos que
f (xi+1)− f (xi ) = f ′(x i )(xi+1 − xi ).
Sendo assim, podemos reescrever a expressa˜o para Ci como sendo
Ci =
√
(∆xi )2 + [f ′(x i )∆xi ]2 =
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi .
Comprimento de Curvas
Introduc¸a˜o
Considere que f tenha derivada cont´ınua no intervalo [a, b].
Vamos dividir o intervalo [a, b] em n partes, de modo que x0 = a e
xn = b. Seja ∆xi = xi+1 − xi o tamanho de cada subintervalo
[xi , xi+1]. O comprimento de cada segmento de extremos
(xi , f (xi )) e (xi+1, f (xi+1)) sera´ dado por
Ci =
√
(xi+1 − xi )2 + [f (xi+1)− f (xi )]2.
Pelo Teorema do Valor Me´dio, sabemos que existe x i ∈ (xi , xi+1)
tal que f ′(x i ) =
f (xi+1)−f (xi )
xi+1−xi . Isto e´, temos que
f (xi+1)− f (xi ) = f ′(x i )(xi+1 − xi ).
Sendo assim, podemos reescrever a expressa˜o para Ci como sendo
Ci =
√
(∆xi )2 + [f ′(x i )∆xi ]2
=
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi .
Comprimento de Curvas
Introduc¸a˜o
Considere que f tenha derivada cont´ınua no intervalo [a, b].
Vamos dividir o intervalo [a, b] em n partes, de modo que x0 = a e
xn = b. Seja ∆xi = xi+1 − xi o tamanho de cada subintervalo
[xi , xi+1]. O comprimento de cada segmento de extremos
(xi , f (xi )) e (xi+1, f (xi+1)) sera´ dado por
Ci =
√
(xi+1 − xi )2 + [f (xi+1)− f (xi )]2.
Pelo Teorema do Valor Me´dio, sabemos que existe x i ∈ (xi , xi+1)
tal que f ′(x i ) =
f (xi+1)−f (xi )
xi+1−xi . Isto e´, temos que
f (xi+1)− f (xi ) = f ′(x i )(xi+1 − xi ).
Sendo assim, podemos reescrever a expressa˜o para Ci como sendo
Ci =
√
(∆xi )2 + [f ′(x i )∆xi ]2 =
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi .
Comprimento de Curvas
Introduc¸a˜o
No limite quando o maior ∆xi tende para zero, a soma de todos
esses comprimentos tendera´ para o comprimento da curva
desejada:
C = lim
max ∆xi→0
n−1∑
i=0
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi
=
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
Comprimento de Curvas
Introduc¸a˜o
No limite quando o maior ∆xi tende para zero, a soma de todos
esses comprimentos tendera´ para o comprimento da curva
desejada:
C = lim
max ∆xi→0
n−1∑
i=0
√
1 + [f ′(x i )]2∆xi
=
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
Comprimento de Curvas
Procedimento
Considere uma func¸a˜o f com derivada cont´ınua no intervalo [a, b].
O comprimento da curva representada pelo gra´fico de f nesse
intervalo sera´ dado por
C =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule o comprimento da circunfereˆncia de raio 2 u.c..
Dos conhecimentos de Geometria Anal´ıtica, sabemos que essa
circunfereˆncia e´ dada pela equac¸a˜o
x2 + y2 = 4.
2x
y
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule o comprimento da circunfereˆncia de raio 2 u.c..
Dos conhecimentos de Geometria Anal´ıtica, sabemos que essa
circunfereˆncia e´ dada pela equac¸a˜o
x2 + y2 = 4.
2x
y
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Considerando apenas o primeiro quadrante, podemos escrever que
y =
√
4− x2 (com 0 ≤ x ≤ 2).
Fazendo y = f (x), o comprimento dessa circunfereˆncia pode ser
calculado por
C = 4
∫ 2
0
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
Calculando a derivada de f(x), obtemos que
f ′(x) = − x√
4− x2 .
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Considerando apenas o primeiro quadrante, podemos escrever que
y =
√
4− x2 (com 0 ≤ x ≤ 2).
Fazendo y = f (x), o comprimento dessa circunfereˆncia pode ser
calculado por
C = 4
∫ 2
0
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
Calculando a derivada de f(x), obtemos que
f ′(x) = − x√
4− x2 .
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Considerando apenas o primeiro quadrante, podemos escrever que
y =
√
4− x2 (com 0 ≤ x ≤ 2).
Fazendo y = f (x), o comprimento dessa circunfereˆncia pode ser
calculado por
C = 4
∫ 2
0
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
Calculando a derivada de f(x), obtemos que
f ′(x) = − x√
4− x2 .
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que
C = 4
∫ 2
0
√
1 +
[
− x√
4− x2
]2
dx
= 4
∫ 2
0
√
4
4− x2 dx
= 4
∫ 2
0
√
1
1− x24
dx
= 4
∫ 2
0
1√
1− ( x2)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica sen u = x2 e
cos u du = 12 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 2 temos que u = pi2 .
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que
C = 4
∫ 2
0
√
1 +
[
− x√
4− x2
]2
dx
= 4
∫ 2
0
√
4
4− x2 dx
= 4
∫ 2
0
√
1
1− x24
dx
= 4
∫ 2
0
1√
1− ( x2)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica sen u = x2 e
cos u du = 12 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 2 temos que u = pi2 .
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que
C = 4
∫ 2
0
√
1 +
[
− x√
4− x2
]2
dx
= 4
∫ 2
0
√
4
4− x2 dx
= 4
∫ 2
0
√
1
1− x24
dx
= 4
∫ 2
0
1√
1− ( x2)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica sen u = x2 e
cos u du = 12 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 2 temos que u = pi2 .
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que
C = 4
∫ 2
0
√
1 +
[
− x√
4− x2
]2
dx
= 4
∫ 2
0
√
4
4− x2 dx
= 4
∫ 2
0
√
1
1− x24
dx
= 4
∫ 2
0
1√
1− ( x2)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica sen u = x2 e
cos u du = 12 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 2 temos que u = pi2 .
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Podemos enta˜o escrever que
C = 4
∫ pi
2
0
2 cos u√
1− ( sen u)2 du
= 4
∫ pi
2
0
2 du
= 4[2u]
pi
2
0
= 4pi (u.c. – unidade de comprimento)
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Podemos enta˜o escrever que
C = 4
∫ pi
2
0
2 cos u√
1− ( sen u)2 du
= 4
∫ pi
2
0
2 du
= 4[2u]
pi
2
0
= 4pi (u.c. – unidade de comprimento)
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Podemos enta˜o escrever que
C = 4
∫ pi
2
0
2 cos u√
1− ( sen u)2 du
= 4
∫ pi
2
0
2 du
= 4[2u]
pi
2
0
= 4pi (u.c. – unidade de comprimento)
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Podemos enta˜o escrever que
C = 4
∫ pi
2
0
2 cos u√
1− ( sen u)2 du
= 4
∫ pi
2
0
2 du
= 4[2u]
pi
2
0
= 4pi (u.c. – unidade de comprimento)
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule o comprimento da curva representada pelo
gra´fico de f (x) = x2 no intervalo
[
0, 12
]
.
0 1
2
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule o comprimentoda curva representada pelo
gra´fico de f (x) = x2 no intervalo
[
0, 12
]
.
0 1
2
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
O comprimento dessa curva pode ser calculado por
C =
∫ 1
2
0
√
1 + [f ′(x)]2 dx
=
∫ 1
2
0
√
1 + (2x)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica tg u = 2x e
sec2 u du = 2 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 12 temos que u =
pi
4 .
Desse modo, podemos escrever que
C =
∫ pi
4
0
1
2
sec3 u du
=
1
4
[sec u tg u + ln | sec u + tg u|)]
pi
4
0
=
1
4
(√
2 + ln
∣∣∣√2 + 1∣∣∣) (u.c. – unidade de comprimento)
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
O comprimento dessa curva pode ser calculado por
C =
∫ 1
2
0
√
1 + [f ′(x)]2 dx
=
∫ 1
2
0
√
1 + (2x)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica tg u = 2x e
sec2 u du = 2 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 12 temos que u =
pi
4 .
Desse modo, podemos escrever que
C =
∫ pi
4
0
1
2
sec3 u du
=
1
4
[sec u tg u + ln | sec u + tg u|)]
pi
4
0
=
1
4
(√
2 + ln
∣∣∣√2 + 1∣∣∣) (u.c. – unidade de comprimento)
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
O comprimento dessa curva pode ser calculado por
C =
∫ 1
2
0
√
1 + [f ′(x)]2 dx
=
∫ 1
2
0
√
1 + (2x)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica tg u = 2x e
sec2 u du = 2 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 12 temos que u =
pi
4 .
Desse modo, podemos escrever que
C =
∫ pi
4
0
1
2
sec3 u du
=
1
4
[sec u tg u + ln | sec u + tg u|)]
pi
4
0
=
1
4
(√
2 + ln
∣∣∣√2 + 1∣∣∣) (u.c. – unidade de comprimento)
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
O comprimento dessa curva pode ser calculado por
C =
∫ 1
2
0
√
1 + [f ′(x)]2 dx
=
∫ 1
2
0
√
1 + (2x)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica tg u = 2x e
sec2 u du = 2 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 12 temos que u =
pi
4 .
Desse modo, podemos escrever que
C =
∫ pi
4
0
1
2
sec3 u du
=
1
4
[sec u tg u + ln | sec u + tg u|)]
pi
4
0
=
1
4
(√
2 + ln
∣∣∣√2 + 1∣∣∣) (u.c. – unidade de comprimento)
Comprimento de Curvas
Exerc´ıcio
O comprimento dessa curva pode ser calculado por
C =
∫ 1
2
0
√
1 + [f ′(x)]2 dx
=
∫ 1
2
0
√
1 + (2x)2 dx
Faremos a substituic¸a˜o trigonome´trica tg u = 2x e
sec2 u du = 2 dx . Para x = 0 temos que u = 0. Por outro lado,
para x = 12 temos que u =
pi
4 .
Desse modo, podemos escrever que
C =
∫ pi
4
0
1
2
sec3 u du
=
1
4
[sec u tg u + ln | sec u + tg u|)]
pi
4
0
=
1
4
(√
2 + ln
∣∣∣√2 + 1∣∣∣) (u.c. – unidade de comprimento)