Derivada Aproximacao Linear Diferencial

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Introduc¸a˜o
Podemos usar a reta tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o para
aproximar os seus valores pro´ximos do ponto de tangeˆncia.
Isto e´, temos que
f (x) ≈ f (c) + f ′(c)(x − c), com x pro´ximo de c.
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Use a reta tangente ao gra´fico de f (x) = ex no ponto
(0, f (0)) para aproximar o valor de e0,001.
Note que aproximando e com duas casas decimais temos que
e0,001 ≈ 2, 720,001. Ou seja, isso significaria ter que calcular
2, 72
1
1000 = 1000
√
2, 72.
A reta tangente ao gra´fico de f no ponto (0, f (0)) sera´
y = f (0) + f ′(0)(x − 0).
Sabemos que f ′(x) = ex . Desse modo, temos que f ′(0) = e0 = 1.
Ale´m disso, tambe´m temos que f (0) = 1. Portanto, a reta
tangente sera´
y = 1 + x .
Logo, a aproximac¸a˜o para a func¸a˜o sera´
f (x) ≈ 1 + x
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Use a reta tangente ao gra´fico de f (x) = ex no ponto
(0, f (0)) para aproximar o valor de e0,001.
Note que aproximando e com duas casas decimais temos que
e0,001 ≈ 2, 720,001. Ou seja, isso significaria ter que calcular
2, 72
1
1000 = 1000
√
2, 72.
A reta tangente ao gra´fico de f no ponto (0, f (0)) sera´
y = f (0) + f ′(0)(x − 0).
Sabemos que f ′(x) = ex . Desse modo, temos que f ′(0) = e0 = 1.
Ale´m disso, tambe´m temos que f (0) = 1. Portanto, a reta
tangente sera´
y = 1 + x .
Logo, a aproximac¸a˜o para a func¸a˜o sera´
f (x) ≈ 1 + x
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Use a reta tangente ao gra´fico de f (x) = ex no ponto
(0, f (0)) para aproximar o valor de e0,001.
Note que aproximando e com duas casas decimais temos que
e0,001 ≈ 2, 720,001. Ou seja, isso significaria ter que calcular
2, 72
1
1000 = 1000
√
2, 72.
A reta tangente ao gra´fico de f no ponto (0, f (0)) sera´
y = f (0) + f ′(0)(x − 0).
Sabemos que f ′(x) = ex . Desse modo, temos que f ′(0) = e0 = 1.
Ale´m disso, tambe´m temos que f (0) = 1. Portanto, a reta
tangente sera´
y = 1 + x .
Logo, a aproximac¸a˜o para a func¸a˜o sera´
f (x) ≈ 1 + x
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Use a reta tangente ao gra´fico de f (x) = ex no ponto
(0, f (0)) para aproximar o valor de e0,001.
Note que aproximando e com duas casas decimais temos que
e0,001 ≈ 2, 720,001. Ou seja, isso significaria ter que calcular
2, 72
1
1000 = 1000
√
2, 72.
A reta tangente ao gra´fico de f no ponto (0, f (0)) sera´
y = f (0) + f ′(0)(x − 0).
Sabemos que f ′(x) = ex . Desse modo, temos que f ′(0) = e0 = 1.
Ale´m disso, tambe´m temos que f (0) = 1. Portanto, a reta
tangente sera´
y = 1 + x .
Logo, a aproximac¸a˜o para a func¸a˜o sera´
f (x) ≈ 1 + x
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Use a reta tangente ao gra´fico de f (x) = ex no ponto
(0, f (0)) para aproximar o valor de e0,001.
Note que aproximando e com duas casas decimais temos que
e0,001 ≈ 2, 720,001. Ou seja, isso significaria ter que calcular
2, 72
1
1000 = 1000
√
2, 72.
A reta tangente ao gra´fico de f no ponto (0, f (0)) sera´
y = f (0) + f ′(0)(x − 0).
Sabemos que f ′(x) = ex . Desse modo, temos que f ′(0) = e0 = 1.
Ale´m disso, tambe´m temos que f (0) = 1. Portanto, a reta
tangente sera´
y = 1 + x .
Logo, a aproximac¸a˜o para a func¸a˜o sera´
f (x) ≈ 1 + x
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Basta enta˜o calcular
f (0, 001) ≈ 1 + 0, 001 = 1, 001.
Desse modo, temos que
e0,001 ≈ 1, 001.
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Basta enta˜o calcular
f (0, 001) ≈ 1 + 0, 001 = 1, 001.
Desse modo, temos que
e0,001 ≈ 1, 001.
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Diferencial
Analisando a figura abaixo, temos que
f ′(x) =
dy
dx
.
Podemos escrever dy como dependente de x e dx atrave´s da
equac¸a˜o
dy = f ′(x)dx .
Note que podemos usar dy para aproximar o valor de ∆y .
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A medida do lado de um cubo e´ encontrada como
sendo 7 cm, com uma possibilidade de erro de 0,01 cm. Usando
um diferencial, encontre o erro aproximado no ca´lculo do volume
desse cubo se essa medida do lado fosse usada.
Sabemos que o volume y do cubo dado que seu lado mede x e´
calculado por y = x3.
Sendo assim, dy = 3x2dx . Portanto, para um erro dx = 0, 01 e um
lado x = 7, temos que
dy = 3 · 72 · 0, 01 = 1, 47.
Vejamos como seria mais trabalhoso fazer o exerc´ıcio sem o uso do
diferencial. O volume para x = 7 seria y = 73 = 343. Ja´ o volume
para x = 7, 01 seria y = 7, 013 = 344, 472101. Desse modo, temos
que a varic¸a˜o do volume seria
∆y = 344, 472101− 343 = 1, 472101.
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A medida do lado de um cubo e´ encontrada como
sendo 7 cm, com uma possibilidade de erro de 0,01 cm. Usando
um diferencial, encontre o erro aproximado no ca´lculo do volume
desse cubo se essa medida do lado fosse usada.
Sabemos que o volume y do cubo dado que seu lado mede x e´
calculado por y = x3.
Sendo assim, dy = 3x2dx . Portanto, para um erro dx = 0, 01 e um
lado x = 7, temos que
dy = 3 · 72 · 0, 01 = 1, 47.
Vejamos como seria mais trabalhoso fazer o exerc´ıcio sem o uso do
diferencial. O volume para x = 7 seria y = 73 = 343. Ja´ o volume
para x = 7, 01 seria y = 7, 013 = 344, 472101. Desse modo, temos
que a varic¸a˜o do volume seria
∆y = 344, 472101− 343 = 1, 472101.
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A medida do lado de um cubo e´ encontrada como
sendo 7 cm, com uma possibilidade de erro de 0,01 cm. Usando
um diferencial, encontre o erro aproximado no ca´lculo do volume
desse cubo se essa medida do lado fosse usada.
Sabemos que o volume y do cubo dado que seu lado mede x e´
calculado por y = x3.
Sendo assim, dy = 3x2dx . Portanto, para um erro dx = 0, 01 e um
lado x = 7, temos que
dy = 3 · 72 · 0, 01 = 1, 47.
Vejamos como seria mais trabalhoso fazer o exerc´ıcio sem o uso do
diferencial. O volume para x = 7 seria y = 73 = 343. Ja´ o volume
para x = 7, 01 seria y = 7, 013 = 344, 472101. Desse modo, temos
que a varic¸a˜o do volume seria
∆y = 344, 472101− 343 = 1, 472101.
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A medida do lado de um cubo e´ encontrada como
sendo 7 cm, com uma possibilidade de erro de 0,01 cm. Usando
um diferencial, encontre o erro aproximado no ca´lculo do volume
desse cubo se essa medida do lado fosse usada.
Sabemos que o volume y do cubo dado que seu lado mede x e´
calculado por y = x3.
Sendo assim, dy = 3x2dx . Portanto, para um erro dx = 0, 01 e um
lado x = 7, temos que
dy = 3 · 72 · 0, 01 = 1, 47.
Vejamos como seria mais trabalhoso fazer o exerc´ıcio sem o uso do
diferencial.
O volume para x = 7 seria y = 73 = 343. Ja´ o volume
para x = 7, 01 seria y = 7, 013 = 344, 472101. Desse modo, temos
que a varic¸a˜o do volume seria
∆y = 344, 472101− 343 = 1, 472101.
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A medida do lado de um cubo e´ encontrada como
sendo 7 cm, com uma possibilidade de erro de 0,01 cm. Usando
um diferencial, encontre o erro aproximado no ca´lculo do volume
desse cubo se essa medida do lado fosse usada.
Sabemos que o volume y do cubo dado que seu lado mede x e´
calculado por y = x3.
Sendo assim, dy = 3x2dx . Portanto, para um erro dx = 0, 01 e um
lado x = 7, temos que
dy = 3 · 72 · 0, 01 = 1, 47.
Vejamos como seria mais trabalhoso fazer o exerc´ıcio sem o uso do
diferencial. O volume para x = 7 seria y = 73 = 343.
Ja´ o volume
para x = 7, 01 seria y = 7, 013 = 344, 472101. Desse modo, temos
que a varic¸a˜o do volume seria
∆y = 344, 472101− 343 = 1, 472101.
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A medida do lado de um cubo e´ encontrada como
sendo 7 cm, com uma possibilidade de erro de 0,01 cm. Usando
um diferencial, encontre o erro aproximado no ca´lculo do volume
desse cubo se essamedida do lado fosse usada.
Sabemos que o volume y do cubo dado que seu lado mede x e´
calculado por y = x3.
Sendo assim, dy = 3x2dx . Portanto, para um erro dx = 0, 01 e um
lado x = 7, temos que
dy = 3 · 72 · 0, 01 = 1, 47.
Vejamos como seria mais trabalhoso fazer o exerc´ıcio sem o uso do
diferencial. O volume para x = 7 seria y = 73 = 343. Ja´ o volume
para x = 7, 01 seria y = 7, 013 = 344, 472101.
Desse modo, temos
que a varic¸a˜o do volume seria
∆y = 344, 472101− 343 = 1, 472101.
Aproximac¸a˜o Linear e Diferencial
Exerc´ıcio
Exemplo 2: A medida do lado de um cubo e´ encontrada como
sendo 7 cm, com uma possibilidade de erro de 0,01 cm. Usando
um diferencial, encontre o erro aproximado no ca´lculo do volume
desse cubo se essa medida do lado fosse usada.
Sabemos que o volume y do cubo dado que seu lado mede x e´
calculado por y = x3.
Sendo assim, dy = 3x2dx . Portanto, para um erro dx = 0, 01 e um
lado x = 7, temos que
dy = 3 · 72 · 0, 01 = 1, 47.
Vejamos como seria mais trabalhoso fazer o exerc´ıcio sem o uso do
diferencial. O volume para x = 7 seria y = 73 = 343. Ja´ o volume
para x = 7, 01 seria y = 7, 013 = 344, 472101. Desse modo, temos
que a varic¸a˜o do volume seria
∆y = 344, 472101− 343 = 1, 472101.