Derivada-Função-Implícita

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Introduc¸a˜o
Na u´ltima aula no´s aprendemos a Regra Cadeia, que nos permite
derivar func¸o˜es compostas.
Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis, sendo que a imagem de g esta´
contida no dom´ınio de f . A func¸a˜o h dada por h(x) = f (g(x)) e´
diferencia´vel e sua derivada e´ dada por
h′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
Na notac¸a˜o de Leibniz, se y = f (u) e u = g(x), enta˜o temos que
dy
dx
=
dy
du
du
dx
.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Introduc¸a˜o
Considere que a varia´vel y depende da varia´vel x . Ou seja, que y e´
uma func¸a˜o de x .
Dizemos que uma func¸a˜o e´ expl´ıcita quando a varia´vel y esta´
escrita diretamente em termos da varia´vel x . Por exemplo, a
func¸a˜o a seguir e´ expl´ıcita:
y = x2 − 1, com x ∈ R.
Por outro lado, dizemos que uma func¸a˜o e´ impl´ıcita quando a
varia´vel y na˜o esta´ escrita diretamente em termos da varia´vel x .
Por exemplo, a func¸a˜o a seguir e´ impl´ıcita:
x2 + y2 = 1, com x ∈ [−1; 1].
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Introduc¸a˜o
Considere que a varia´vel y depende da varia´vel x . Ou seja, que y e´
uma func¸a˜o de x .
Dizemos que uma func¸a˜o e´ expl´ıcita quando a varia´vel y esta´
escrita diretamente em termos da varia´vel x . Por exemplo, a
func¸a˜o a seguir e´ expl´ıcita:
y = x2 − 1, com x ∈ R.
Por outro lado, dizemos que uma func¸a˜o e´ impl´ıcita quando a
varia´vel y na˜o esta´ escrita diretamente em termos da varia´vel x .
Por exemplo, a func¸a˜o a seguir e´ impl´ıcita:
x2 + y2 = 1, com x ∈ [−1; 1].
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Introduc¸a˜o
Considere que a varia´vel y depende da varia´vel x . Ou seja, que y e´
uma func¸a˜o de x .
Dizemos que uma func¸a˜o e´ expl´ıcita quando a varia´vel y esta´
escrita diretamente em termos da varia´vel x . Por exemplo, a
func¸a˜o a seguir e´ expl´ıcita:
y = x2 − 1, com x ∈ R.
Por outro lado, dizemos que uma func¸a˜o e´ impl´ıcita quando a
varia´vel y na˜o esta´ escrita diretamente em termos da varia´vel x .
Por exemplo, a func¸a˜o a seguir e´ impl´ıcita:
x2 + y2 = 1, com x ∈ [−1; 1].
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Introduc¸a˜o
Em alguns casos, e´ poss´ıvel reescrever uma func¸a˜o impl´ıcita como
uma func¸a˜o expl´ıcita (ou ate´ mesmo a unia˜o de va´rias delas). Por
exemplo, note que
x2 + y2 = 1⇒ y = ±
√
1− x2, com x ∈ [−1; 1].
Note que podemos enxergar a func¸a˜o impl´ıcita representada por
x2 + y2 = 1 como sendo a unia˜o de duas func¸o˜es expl´ıcitas dadas
por y =
√
1− x2 e y = −√1− x2, com x ∈ [−1; 1].
Por outro lado, existem casos nos quais e´ dif´ıcil reescrever (ou
talvez seja imposs´ıvel) a func¸a˜o impl´ıcita como uma func¸a˜o
expl´ıcita. Por exemplo, considere a func¸a˜o impl´ıcita
y + x cos y = 1.
Vale a pena destacar que as func¸o˜es expl´ıcitas facilmente podem
ser reescritas como func¸o˜es impl´ıcitas.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Introduc¸a˜o
Em alguns casos, e´ poss´ıvel reescrever uma func¸a˜o impl´ıcita como
uma func¸a˜o expl´ıcita (ou ate´ mesmo a unia˜o de va´rias delas). Por
exemplo, note que
x2 + y2 = 1⇒ y = ±
√
1− x2, com x ∈ [−1; 1].
Note que podemos enxergar a func¸a˜o impl´ıcita representada por
x2 + y2 = 1 como sendo a unia˜o de duas func¸o˜es expl´ıcitas dadas
por y =
√
1− x2 e y = −√1− x2, com x ∈ [−1; 1].
Por outro lado, existem casos nos quais e´ dif´ıcil reescrever (ou
talvez seja imposs´ıvel) a func¸a˜o impl´ıcita como uma func¸a˜o
expl´ıcita. Por exemplo, considere a func¸a˜o impl´ıcita
y + x cos y = 1.
Vale a pena destacar que as func¸o˜es expl´ıcitas facilmente podem
ser reescritas como func¸o˜es impl´ıcitas.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Introduc¸a˜o
Em alguns casos, e´ poss´ıvel reescrever uma func¸a˜o impl´ıcita como
uma func¸a˜o expl´ıcita (ou ate´ mesmo a unia˜o de va´rias delas). Por
exemplo, note que
x2 + y2 = 1⇒ y = ±
√
1− x2, com x ∈ [−1; 1].
Note que podemos enxergar a func¸a˜o impl´ıcita representada por
x2 + y2 = 1 como sendo a unia˜o de duas func¸o˜es expl´ıcitas dadas
por y =
√
1− x2 e y = −√1− x2, com x ∈ [−1; 1].
Por outro lado, existem casos nos quais e´ dif´ıcil reescrever (ou
talvez seja imposs´ıvel) a func¸a˜o impl´ıcita como uma func¸a˜o
expl´ıcita. Por exemplo, considere a func¸a˜o impl´ıcita
y + x cos y = 1.
Vale a pena destacar que as func¸o˜es expl´ıcitas facilmente podem
ser reescritas como func¸o˜es impl´ıcitas.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Introduc¸a˜o
Em alguns casos, e´ poss´ıvel reescrever uma func¸a˜o impl´ıcita como
uma func¸a˜o expl´ıcita (ou ate´ mesmo a unia˜o de va´rias delas). Por
exemplo, note que
x2 + y2 = 1⇒ y = ±
√
1− x2, com x ∈ [−1; 1].
Note que podemos enxergar a func¸a˜o impl´ıcita representada por
x2 + y2 = 1 como sendo a unia˜o de duas func¸o˜es expl´ıcitas dadas
por y =
√
1− x2 e y = −√1− x2, com x ∈ [−1; 1].
Por outro lado, existem casos nos quais e´ dif´ıcil reescrever (ou
talvez seja imposs´ıvel) a func¸a˜o impl´ıcita como uma func¸a˜o
expl´ıcita. Por exemplo, considere a func¸a˜o impl´ıcita
y + x cos y = 1.
Vale a pena destacar que as func¸o˜es expl´ıcitas facilmente podem
ser reescritas como func¸o˜es impl´ıcitas.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Me´todo de resoluc¸a˜o
Para calcular a derivada de uma func¸a˜o impl´ıcita e´ necessa´rio
usarmos a Regra da Cadeia.
Vejamos um exemplo. Considere que
a varia´vel y depende da varia´vel x atrave´s da func¸a˜o impl´ıcita
x2 + y2 = 1, com x ∈ [−1; 1].
Calcule a derivada de y .
Sabemos que para representar que y e´ uma func¸a˜o de x podemos
escrever y = f (x). Vamos enta˜o reescrever a equac¸a˜o anterior
como
x2 + [f (x)]2 = 1, com x ∈ [−1; 1].
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Me´todo de resoluc¸a˜o
Para calcular a derivada de uma func¸a˜o impl´ıcita e´ necessa´rio
usarmos a Regra da Cadeia. Vejamos um exemplo. Considere que
a varia´vel y depende da varia´vel x atrave´s da func¸a˜o impl´ıcita
x2 + y2 = 1, com x ∈ [−1; 1].
Calcule a derivada de y .
Sabemos que para representar que y e´ uma func¸a˜o de x podemos
escrever y = f (x). Vamos enta˜o reescrever a equac¸a˜o anterior
como
x2 + [f (x)]2 = 1, com x ∈ [−1; 1].
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Me´todo de resoluc¸a˜o
Para calcular a derivada de uma func¸a˜o impl´ıcita e´ necessa´rio
usarmos a Regra da Cadeia. Vejamos um exemplo. Considere que
a varia´vel y depende da varia´vel x atrave´s da func¸a˜o impl´ıcita
x2 + y2 = 1, com x ∈ [−1; 1].
Calcule a derivada de y .
Sabemos que para representar que y e´ uma func¸a˜o de x podemos
escrever y = f (x). Vamos enta˜o reescrever a equac¸a˜o anterior
como
x2 + [f (x)]2 = 1, com x ∈ [−1; 1].
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Me´todo de resoluc¸a˜o
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o, temos:{
x2 + [f (x)]2
}′
= (1)′
2x + 2f (x)f ′(x) = 0
f ′(x) = − x
f (x)
Usando as notac¸o˜es y ′ = f ′(x) e y = f (x), podemos dizer que
x2 + y2 = 1⇒ y ′ = −x
y
.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Me´todo de resoluc¸a˜o
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o, temos:{
x2 + [f (x)]2
}′
= (1)′
2x + 2f (x)f ′(x) = 0
f ′(x) = − x
f (x)
Usando as notac¸o˜es y ′ = f ′(x) e y = f (x), podemos dizer que
x2 + y2 = 1⇒ y ′ = −x
y
.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Me´todo de resoluc¸a˜o
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o, temos:{
x2 + [f (x)]2
}′
= (1)′
2x + 2f (x)f ′(x) = 0
f ′(x) = − x
f (x)
Usando as notac¸o˜es y ′ = f ′(x) e y = f (x), podemos dizer que
x2 + y2 = 1⇒ y ′ = −x
y
.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Me´todo de resoluc¸a˜o
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o, temos:{
x2 + [f (x)]2
}′
= (1)′
2x + 2f (x)f ′(x) = 0
f ′(x) = − x
f (x)
Usando as notac¸o˜es y ′ = f ′(x) e y = f (x), podemos dizer que
x2 + y2 = 1⇒ y ′ = −x
y
.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Me´todo de resoluc¸a˜o
Poder´ıamos tambe´m ter derivado ambos os membros da equac¸a˜o
original sem substituir y por f (x):(
x2 + y2
)′
= (1)′
2x + 2yy ′ = 0
y ′ = −x
y
Derivada de Func¸a˜oImpl´ıcita
Me´todo de resoluc¸a˜o
Poder´ıamos tambe´m ter derivado ambos os membros da equac¸a˜o
original sem substituir y por f (x):(
x2 + y2
)′
= (1)′
2x + 2yy ′ = 0
y ′ = −x
y
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Me´todo de resoluc¸a˜o
Poder´ıamos tambe´m ter derivado ambos os membros da equac¸a˜o
original sem substituir y por f (x):(
x2 + y2
)′
= (1)′
2x + 2yy ′ = 0
y ′ = −x
y
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da
func¸a˜o
x2
4
+
y2
2
= 1 no ponto
(
1,
√
6
2
)
.
Usando a mesma estrate´gia anterior, poder´ıamos usar a notac¸a˜o
y = f (x) e em seguida derivar ambos os membros da equac¸a˜o.
Entretanto, vamos treinar o ca´lculo da derivada diretamente sem
fazer essa substituic¸a˜o.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da
func¸a˜o
x2
4
+
y2
2
= 1 no ponto
(
1,
√
6
2
)
.
Usando a mesma estrate´gia anterior, poder´ıamos usar a notac¸a˜o
y = f (x) e em seguida derivar ambos os membros da equac¸a˜o.
Entretanto, vamos treinar o ca´lculo da derivada diretamente sem
fazer essa substituic¸a˜o.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o obtemos:(
x2
4
+
y2
2
)′
= (1)′
x
2
+ yy ′ = 0
y ′ = − x
2y
Calculando a derivada no ponto
(
1,
√
6
2
)
:
y ′ = − 1
2
√
6
2
= − 1√
6
= − 1 ·
√
6√
6 · √6 = −
√
6
6
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o obtemos:(
x2
4
+
y2
2
)′
= (1)′
x
2
+ yy ′ = 0
y ′ = − x
2y
Calculando a derivada no ponto
(
1,
√
6
2
)
:
y ′ = − 1
2
√
6
2
= − 1√
6
= − 1 ·
√
6√
6 · √6 = −
√
6
6
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o obtemos:(
x2
4
+
y2
2
)′
= (1)′
x
2
+ yy ′ = 0
y ′ = − x
2y
Calculando a derivada no ponto
(
1,
√
6
2
)
:
y ′ = − 1
2
√
6
2
= − 1√
6
= − 1 ·
√
6√
6 · √6 = −
√
6
6
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o obtemos:(
x2
4
+
y2
2
)′
= (1)′
x
2
+ yy ′ = 0
y ′ = − x
2y
Calculando a derivada no ponto
(
1,
√
6
2
)
:
y ′ = − 1
2
√
6
2
= − 1√
6
= − 1 ·
√
6√
6 · √6 = −
√
6
6
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o obtemos:(
x2
4
+
y2
2
)′
= (1)′
x
2
+ yy ′ = 0
y ′ = − x
2y
Calculando a derivada no ponto
(
1,
√
6
2
)
:
y ′ = − 1
2
√
6
2
= − 1√
6
= − 1 ·
√
6√
6 · √6 = −
√
6
6
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o obtemos:(
x2
4
+
y2
2
)′
= (1)′
x
2
+ yy ′ = 0
y ′ = − x
2y
Calculando a derivada no ponto
(
1,
√
6
2
)
:
y ′ = − 1
2
√
6
2
= − 1√
6
= − 1 ·
√
6√
6 · √6
= −
√
6
6
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o obtemos:(
x2
4
+
y2
2
)′
= (1)′
x
2
+ yy ′ = 0
y ′ = − x
2y
Calculando a derivada no ponto
(
1,
√
6
2
)
:
y ′ = − 1
2
√
6
2
= − 1√
6
= − 1 ·
√
6√
6 · √6 = −
√
6
6
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Sabemos que a reta tangente ao gra´fico de y = f (x) no ponto
(c , f (c)) e´ dada por
y − f (c) = f ′(c)(x − c).
No exerc´ıcio sabemos que (c , f (c)) =
(
1,
√
6
2
)
e f ′(1) = −
√
6
6
.
Desse modo, temos que
y −
√
6
2
= −
√
6
6
(x − 1)⇒ y = −
√
6
6
x +
2
√
6
3
.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Sabemos que a reta tangente ao gra´fico de y = f (x) no ponto
(c , f (c)) e´ dada por
y − f (c) = f ′(c)(x − c).
No exerc´ıcio sabemos que (c , f (c)) =
(
1,
√
6
2
)
e f ′(1) = −
√
6
6
.
Desse modo, temos que
y −
√
6
2
= −
√
6
6
(x − 1)⇒ y = −
√
6
6
x +
2
√
6
3
.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Considerando a mesma func¸a˜o do exerc´ıcio anterior,
determine as retas tangentes que sa˜o horizontais e as que sa˜o
verticais ao gra´fico da func¸a˜o.
No´s calculamos anteriormente que a derivada de
x2
4
+
y2
2
= 1 e´
igual a y ′ = − x
2y
.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Considerando a mesma func¸a˜o do exerc´ıcio anterior,
determine as retas tangentes que sa˜o horizontais e as que sa˜o
verticais ao gra´fico da func¸a˜o.
No´s calculamos anteriormente que a derivada de
x2
4
+
y2
2
= 1 e´
igual a y ′ = − x
2y
.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
As tangentes horizontais acontecera˜o quando y ′ = 0.
Sendo assim, teremos − x
2y
= 0 de onde obtemos que x = 0.
Portanto, substituindo x = 0 na func¸a˜o, obtemos que as retas
tangentes horizontais passam pelos pontos (0,
√
2) e (0, −√2).
A equac¸a˜o da reta dessas tangentes sera´ y =
√
2 e y = −√2.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
As tangentes horizontais acontecera˜o quando y ′ = 0.
Sendo assim, teremos − x
2y
= 0 de onde obtemos que x = 0.
Portanto, substituindo x = 0 na func¸a˜o, obtemos que as retas
tangentes horizontais passam pelos pontos (0,
√
2) e (0, −√2).
A equac¸a˜o da reta dessas tangentes sera´ y =
√
2 e y = −√2.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
As tangentes horizontais acontecera˜o quando y ′ = 0.
Sendo assim, teremos − x
2y
= 0 de onde obtemos que x = 0.
Portanto, substituindo x = 0 na func¸a˜o, obtemos que as retas
tangentes horizontais passam pelos pontos (0,
√
2) e (0, −√2).
A equac¸a˜o da reta dessas tangentes sera´ y =
√
2 e y = −√2.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
As tangentes horizontais acontecera˜o quando y ′ = 0.
Sendo assim, teremos − x
2y
= 0 de onde obtemos que x = 0.
Portanto, substituindo x = 0 na func¸a˜o, obtemos que as retas
tangentes horizontais passam pelos pontos (0,
√
2) e (0, −√2).
A equac¸a˜o da reta dessas tangentes sera´ y =
√
2 e y = −√2.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
As tangentes verticais acontecera˜o quando o denominador em
y ′ =
dy
dx
for zero.
Sendo assim, como y ′ = − x
2y
, temos que deve ocorrer 2y = 0, de
onde obtemos y = 0.
Portanto, substituindo y = 0 na func¸a˜o, obtemos que as retas
tangentes verticais passam pelos pontos (2, 0) e (−2, 0).
A equac¸a˜o da reta dessas tangentes sera´ x = 2 e x = −2.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
As tangentes verticais acontecera˜o quando o denominador em
y ′ =
dy
dx
for zero.
Sendo assim, como y ′ = − x
2y
, temos que deve ocorrer 2y = 0, de
onde obtemos y = 0.
Portanto, substituindo y = 0 na func¸a˜o, obtemos que as retas
tangentes verticais passam pelos pontos (2, 0) e (−2, 0).
A equac¸a˜o da reta dessas tangentes sera´ x = 2 e x = −2.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
As tangentes verticais acontecera˜o quando o denominador em
y ′ =
dy
dx
for zero.
Sendo assim, como y ′ = − x
2y
, temos que deve ocorrer 2y = 0, de
onde obtemos y = 0.
Portanto, substituindo y = 0 na func¸a˜o, obtemos que as retas
tangentes verticais passam pelos pontos (2, 0) e (−2, 0).
A equac¸a˜o da reta dessas tangentes sera´ x = 2 e x = −2.
Derivada de Func¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio
As tangentes verticais acontecera˜o quando o denominador em
y ′ =
dy
dx
for zero.
Sendo assim, como y ′ = − x
2y
, temos que deve ocorrer 2y = 0, de
onde obtemos y = 0.
Portanto, substituindo y = 0 na func¸a˜o, obtemos que as retas
tangentes verticais passam pelos pontos (2, 0) e (−2, 0).
A equac¸a˜o da reta dessas tangentes sera´ x = 2 e x = −2.