Derivada-Maximo-Minimo-Funcao

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Ma´ximo e Mı´nimo de Func¸o˜es
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Introduc¸a˜o
Uma importante aplicac¸a˜o do Ca´lculo Diferencial e´ a soluc¸a˜o de
problemas de otimizac¸a˜o.
Um problema de otimizac¸a˜o consiste em determinar o valor de
certa grandeza de modo a maximizar (ou minimizar) o valor de
outra grandeza relacionada a ela.
Por exemplo, se temos que fabricar uma lata cil´ındrica para conter
1 litro de determinada substaˆncia, e´ interessante saber qual o raio
da base dessa lata de modo a minimizar a a´rea da superf´ıcie dessa
lata. Note que ter uma superf´ıcie de a´rea m´ınima significa que
gastaremos menos material na fabricac¸a˜o dessa lata. Ou seja, no´s
reduziremos o custo na sua fabricac¸a˜o.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Definic¸a˜o
Seja uma func¸a˜o f definida no dom´ınio D.
Dizemos que f tem m´ınimo global (ou m´ınimo absoluto) em
x = c se f (x) ≥ f (c) para todo x ∈ D. O valor f(c) e´
chamado de m´ınimo global (ou absoluto).
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Definic¸a˜o
Seja uma func¸a˜o f definida no dom´ınio D.
Dizemos que f tem ma´ximo global (ou ma´ximo absoluto) em
x = c se f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ D. O valor f(c) e´
chamado de ma´ximo global (ou absoluto).
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Definic¸a˜o
Seja uma func¸a˜o f definida no dom´ınio D.
Dizemos que f tem m´ınimo local (ou m´ınimo relativo) em
x = c se f (x) ≥ f (c) para todo x em algum intervalo aberto
de D contendo c . O valor f(c) e´ chamado de m´ınimo local
(ou relativo).
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Definic¸a˜o
Seja uma func¸a˜o f definida no dom´ınio D.
Dizemos que f tem ma´ximo local (ou ma´ximo relativo) em
x = c se f (x) ≤ f (c) para todo x em algum intervalo aberto
de D contendo c . O valor f(c) e´ chamado de ma´ximo local
(ou relativo).
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Teorema de Fermat
Se f tem um m´ınimo (ou ma´ximo) local em c e f ′(c) existe, enta˜o
f ′(c) = 0.
Observac¸a˜o
O ponto c no qual f ′(c) = 0 ou f ′(c) na˜o existe e´ chamado de
ponto cr´ıtico de f .
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Teorema de Fermat
Se f tem um m´ınimo (ou ma´ximo) local em c e f ′(c) existe, enta˜o
f ′(c) = 0.
Observac¸a˜o
O ponto c no qual f ′(c) = 0 ou f ′(c) na˜o existe e´ chamado de
ponto cr´ıtico de f .
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Teorema de Fermat
O contra´rio do Teorema de Fermat na˜o e´ va´lido. Isto e´, se
f ′(c) = 0, enta˜o na˜o necessariamente a func¸a˜o tem um m´ınimo
(ou ma´ximo) local em c .
Por exemplo, a func¸a˜o f (x) = (x − 1)3 e´ tal que f ′(1) = 0, mas
ela na˜o tem um ponto de m´ınimo (ou ma´ximo) local em 1, como
ilustra o seu gra´fico abaixo.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Teorema de Fermat
O contra´rio do Teorema de Fermat na˜o e´ va´lido. Isto e´, se
f ′(c) = 0, enta˜o na˜o necessariamente a func¸a˜o tem um m´ınimo
(ou ma´ximo) local em c .
Por exemplo, a func¸a˜o f (x) = (x − 1)3 e´ tal que f ′(1) = 0, mas
ela na˜o tem um ponto de m´ınimo (ou ma´ximo) local em 1, como
ilustra o seu gra´fico abaixo.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Sabe-se que a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + 5 tem um
ponto de m´ınimo em x = 2. Verifique que f ′(2) = 0.
f ′(x) = 2x − 4⇒ f ′(2) = 2 · 2− 4 = 0
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Sabe-se que a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + 5 tem um
ponto de m´ınimo em x = 2. Verifique que f ′(2) = 0.
f ′(x) = 2x − 4⇒ f ′(2) = 2 · 2− 4 = 0
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Me´todo do Intervalo Fechado
Para determinar o m´ınimo ou o ma´ximo global de uma func¸a˜o
cont´ınua f em um intervalo [a, b], basta seguir os passos:
1 calcule o valor de f nos seus pontos cr´ıticos;
2 calcule o valor de f em a e em b;
3 o menor dos valores nos passos anteriores e´ o m´ınimo global e
o maior dos valores e´ o ma´ximo global.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Na figura abaixo, determine o ponto B entre (0, 0) e
(4, 0) de modo que o triaˆngulo ABC tenha o menor per´ımetro
poss´ıvel.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
AB =
√
x2 + 12 =
√
x2 + 1
BC =
√
(4− x)2 + 42 =
√
(4− x)2 + 16
AC =
√
32 + 42 = 5
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
AB =
√
x2 + 12 =
√
x2 + 1
BC =
√
(4− x)2 + 42 =
√
(4− x)2 + 16
AC =
√
32 + 42 = 5
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
O per´ımetro do triaˆngulo ABC sera´ dado pela func¸a˜o
p(x) =
√
x2 + 1 +
√
(4− x)2 + 16 + 5.
Derivando essa func¸a˜o, obtemos
p′(x) =
x√
x2 + 1
− 4− x√
(4− x)2 + 16.
Para determinar os pontos cr´ıticos de p devemos resolver a
equac¸a˜o p′(x) = 0. Isto e´,
x√
x2 + 1
− 4− x√
(4− x)2 + 16 = 0.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
O per´ımetro do triaˆngulo ABC sera´ dado pela func¸a˜o
p(x) =
√
x2 + 1 +
√
(4− x)2 + 16 + 5.
Derivando essa func¸a˜o, obtemos
p′(x) =
x√
x2 + 1
− 4− x√
(4− x)2 + 16.
Para determinar os pontos cr´ıticos de p devemos resolver a
equac¸a˜o p′(x) = 0. Isto e´,
x√
x2 + 1
− 4− x√
(4− x)2 + 16 = 0.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
O per´ımetro do triaˆngulo ABC sera´ dado pela func¸a˜o
p(x) =
√
x2 + 1 +
√
(4− x)2 + 16 + 5.
Derivando essa func¸a˜o, obtemos
p′(x) =
x√
x2 + 1
− 4− x√
(4− x)2 + 16.
Para determinar os pontos cr´ıticos de p devemos resolver a
equac¸a˜o p′(x) = 0. Isto e´,
x√
x2 + 1
− 4− x√
(4− x)2 + 16 = 0.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
x√
x2 + 1
=
4− x√
(4− x)2 + 16
(
x√
x2 + 1
)2
=
(
4− x√
(4− x)2 + 16
)2
x2
x2 + 1
=
(4− x)2
(4− x)2 + 16
x2[(4− x)2 + 16] = (x2 + 1)(4− x)2
15x2 + 8x − 16 = 0
Dessa u´ltima equac¸a˜o, obtemos que x = −43 e x = 45 . Como x
deve estar entre 0 e 4, apenas devemos considerar a soluc¸a˜o
positiva.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
x√
x2 + 1
=
4− x√
(4− x)2 + 16(
x√
x2 + 1
)2
=
(
4− x√
(4− x)2 + 16
)2
x2
x2 + 1
=
(4− x)2
(4− x)2 + 16
x2[(4− x)2 + 16] = (x2 + 1)(4− x)2
15x2 + 8x − 16 = 0
Dessa u´ltima equac¸a˜o, obtemos que x = −43 e x = 45 . Como x
deve estar entre 0 e 4, apenas devemos considerar a soluc¸a˜o
positiva.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
x√
x2 + 1
=
4− x√
(4− x)2 + 16(
x√
x2 + 1
)2
=
(
4− x√
(4− x)2 + 16
)2
x2
x2 + 1
=
(4− x)2
(4− x)2 + 16
x2[(4− x)2 + 16] = (x2 + 1)(4− x)2
15x2 + 8x − 16 = 0
Dessa u´ltima equac¸a˜o, obtemos que x = −43 e x = 45 . Como x
deve estar entre 0 e 4, apenas devemos considerar a soluc¸a˜o
positiva.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
x√
x2 + 1
=
4− x√
(4− x)2 + 16(
x√
x2 + 1
)2
=
(
4− x√
(4− x)2 + 16
)2
x2
x2 + 1
=
(4− x)2
(4− x)2 + 16
x2[(4− x)2 + 16] = (x2 + 1)(4− x)2
15x2 + 8x − 16 = 0
Dessa u´ltima equac¸a˜o, obtemos que x = −43 e x = 45 . Como x
deve estar entre 0 e 4, apenas devemos considerar a soluc¸a˜o
positiva.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
x√
x2 + 1
=
4− x√
(4− x)2 + 16(
x√
x2 + 1
)2
=
(
4− x√
(4− x)2 + 16
)2
x2
x2 + 1
=
(4− x)2
(4− x)2 + 16
x2[(4− x)2 + 16] = (x2 + 1)(4− x)2
15x2 + 8x − 16 = 0
Dessa u´ltima equac¸a˜o, obtemos que x = −43 e x = 45 . Como x
deve estar entre 0 e 4, apenas devemos considerar a soluc¸a˜o
positiva.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
x√
x2 + 1
=
4− x√
(4− x)2 + 16(
x√
x2 + 1
)2
=
(
4− x√
(4− x)2 + 16
)2
x2
x2 + 1
=
(4− x)2
(4− x)2 + 16
x2[(4− x)2 + 16] = (x2 + 1)(4− x)2
15x2 + 8x − 16 = 0
Dessa u´ltima equac¸a˜o, obtemos que x = −43 e x = 45 . Como x
deve estar entre 0 e 4, apenas devemosconsiderar a soluc¸a˜o
positiva.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
Calculando o valor da func¸a˜o em seu ponto cr´ıtico, obtemos
p
(
4
5
)
=
√(
4
5
)2
+ 1+
√(
4− 4
5
)2
+ 16+5 =
√
41+5 ≈ 11, 403.
Calculando o valor da func¸a˜o em 0 e em 4, obtemos
p(0) =
√
02 + 1 +
√
(4− 0)2 + 16 + 5 = 4
√
2 + 6 ≈ 11, 657,
p(4) =
√
42 + 1 +
√
(4− 4)2 + 16 + 5 =
√
17 + 9 ≈ 13, 123.
Portanto, o menor per´ımetro poss´ıvel para o triaˆngulo ABC ocorre
quando B =
(
4
5
, 0
)
.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
Calculando o valor da func¸a˜o em seu ponto cr´ıtico, obtemos
p
(
4
5
)
=
√(
4
5
)2
+ 1+
√(
4− 4
5
)2
+ 16+5 =
√
41+5 ≈ 11, 403.
Calculando o valor da func¸a˜o em 0 e em 4, obtemos
p(0) =
√
02 + 1 +
√
(4− 0)2 + 16 + 5 = 4
√
2 + 6 ≈ 11, 657,
p(4) =
√
42 + 1 +
√
(4− 4)2 + 16 + 5 =
√
17 + 9 ≈ 13, 123.
Portanto, o menor per´ımetro poss´ıvel para o triaˆngulo ABC ocorre
quando B =
(
4
5
, 0
)
.
Ma´ximo e M´ınimo de Func¸o˜es
Exerc´ıcio
Calculando o valor da func¸a˜o em seu ponto cr´ıtico, obtemos
p
(
4
5
)
=
√(
4
5
)2
+ 1+
√(
4− 4
5
)2
+ 16+5 =
√
41+5 ≈ 11, 403.
Calculando o valor da func¸a˜o em 0 e em 4, obtemos
p(0) =
√
02 + 1 +
√
(4− 0)2 + 16 + 5 = 4
√
2 + 6 ≈ 11, 657,
p(4) =
√
42 + 1 +
√
(4− 4)2 + 16 + 5 =
√
17 + 9 ≈ 13, 123.
Portanto, o menor per´ımetro poss´ıvel para o triaˆngulo ABC ocorre
quando B =
(
4
5
, 0
)
.