Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Ca´lculo Diferencial e Integral I Derivada de Ordem Superior Luiz C. M. de Aquino aquino.luizclaudio@gmail.com http://sites.google.com/site/lcmaquino http://www.youtube.com/LCMAquino Derivada de Ordem Superior Introduc¸a˜o Ate´ agora vimos a derivada de uma func¸a˜o f , representada por f ′. Ora, mas f ′ e´ tambe´m uma func¸a˜o e podemos falar de sua derivada. Isto e´, podemos querer calcular (f ′)′, ou simplesmente f ′′. Por sua vez, f ′′ e´ tambe´m uma func¸a˜o e podemos querer calcular a sua derivada. Isto e´, calcular (f ′′)′, ou simplesmente f ′′′. Dizemos que f ′ e´ a derivada de 1a ordem de f . Ja´ f ′′ e´ a derivada de 2a ordem de f . Por fim, f ′′′ e´ a derivada de 3a ordem de f . De modo geral, f (n) representa a derivada de ordem n de f . A notac¸a˜o f (0) representa a pro´pria func¸a˜o f . Vale a pena destacar que nem toda func¸a˜o possui derivada de qualquer ordem. Derivada de Ordem Superior Introduc¸a˜o Na notac¸a˜o de Leibniz, temos que: y ′ = dy dx , y ′′ = d dx ( dy dx ) = d2y dx2 , y ′′′ = d dx ( d2y dx2 ) = d3y dx3 , ... y (n) = dny dxn . Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x sen x calcule f ′, f ′′ e f ′′′. f ′(x) = (x)′ sen x + x( sen x)′ ⇒ f ′(x) = sen x + x cos x f ′′(x) = ( sen x)′+(x)′ cos x +x(cos x)′ ⇒ f ′′(x) = 2 cos x−x sen x f ′′′(x) = (2 cos x)′−[(x)′ sen x+x( sen x)′]⇒ f ′′′(x) = −3 sen x−x cos x Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x sen x calcule f ′, f ′′ e f ′′′. f ′(x) = (x)′ sen x + x( sen x)′ ⇒ f ′(x) = sen x + x cos x f ′′(x) = ( sen x)′+(x)′ cos x +x(cos x)′ ⇒ f ′′(x) = 2 cos x−x sen x f ′′′(x) = (2 cos x)′−[(x)′ sen x+x( sen x)′]⇒ f ′′′(x) = −3 sen x−x cos x Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x sen x calcule f ′, f ′′ e f ′′′. f ′(x) = (x)′ sen x + x( sen x)′ ⇒ f ′(x) = sen x + x cos x f ′′(x) = ( sen x)′+(x)′ cos x +x(cos x)′ ⇒ f ′′(x) = 2 cos x−x sen x f ′′′(x) = (2 cos x)′−[(x)′ sen x+x( sen x)′]⇒ f ′′′(x) = −3 sen x−x cos x Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x sen x calcule f ′, f ′′ e f ′′′. f ′(x) = (x)′ sen x + x( sen x)′ ⇒ f ′(x) = sen x + x cos x f ′′(x) = ( sen x)′+(x)′ cos x +x(cos x)′ ⇒ f ′′(x) = 2 cos x−x sen x f ′′′(x) = (2 cos x)′−[(x)′ sen x+x( sen x)′]⇒ f ′′′(x) = −3 sen x−x cos x Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de ordem n de f , com n ≤ k. f (1)(x) = kxk−1 f (2)(x) = k(k − 1)xk−2 f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3 ... f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n f (n)(x) = k! (k − n)!x k−n Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de ordem n de f , com n ≤ k. f (1)(x) = kxk−1 f (2)(x) = k(k − 1)xk−2 f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3 ... f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n f (n)(x) = k! (k − n)!x k−n Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de ordem n de f , com n ≤ k. f (1)(x) = kxk−1 f (2)(x) = k(k − 1)xk−2 f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3 ... f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n f (n)(x) = k! (k − n)!x k−n Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de ordem n de f , com n ≤ k. f (1)(x) = kxk−1 f (2)(x) = k(k − 1)xk−2 f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3 ... f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n f (n)(x) = k! (k − n)!x k−n Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de ordem n de f , com n ≤ k. f (1)(x) = kxk−1 f (2)(x) = k(k − 1)xk−2 f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3 ... f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n f (n)(x) = k! (k − n)!x k−n Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de ordem n de f , com n ≤ k. f (1)(x) = kxk−1 f (2)(x) = k(k − 1)xk−2 f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3 ... f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n f (n)(x) = k! (k − n)!x k−n Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que x2 + y3 = 1. 2x + 3y2y ′ = 0 y ′ = − 2x 3y2 y ′′ = −(2x) ′(3y2)− 2x(3y2)′ (3y2)2 y ′′ = −6y 2 − 12xyy ′ 9y4 y ′′ = −(6y 2 − 12xyy ′) : 3y 9y4 : 3y y ′′ = −2y − 4xy ′ 3y3 Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que x2 + y3 = 1. 2x + 3y2y ′ = 0 y ′ = − 2x 3y2 y ′′ = −(2x) ′(3y2)− 2x(3y2)′ (3y2)2 y ′′ = −6y 2 − 12xyy ′ 9y4 y ′′ = −(6y 2 − 12xyy ′) : 3y 9y4 : 3y y ′′ = −2y − 4xy ′ 3y3 Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que x2 + y3 = 1. 2x + 3y2y ′ = 0 y ′ = − 2x 3y2 y ′′ = −(2x) ′(3y2)− 2x(3y2)′ (3y2)2 y ′′ = −6y 2 − 12xyy ′ 9y4 y ′′ = −(6y 2 − 12xyy ′) : 3y 9y4 : 3y y ′′ = −2y − 4xy ′ 3y3 Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que x2 + y3 = 1. 2x + 3y2y ′ = 0 y ′ = − 2x 3y2 y ′′ = −(2x) ′(3y2)− 2x(3y2)′ (3y2)2 y ′′ = −6y 2 − 12xyy ′ 9y4 y ′′ = −(6y 2 − 12xyy ′) : 3y 9y4 : 3y y ′′ = −2y − 4xy ′ 3y3 Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que x2 + y3 = 1. 2x + 3y2y ′ = 0 y ′ = − 2x 3y2 y ′′ = −(2x) ′(3y2)− 2x(3y2)′ (3y2)2 y ′′ = −6y 2 − 12xyy ′ 9y4 y ′′ = −(6y 2 − 12xyy ′) : 3y 9y4 : 3y y ′′ = −2y − 4xy ′ 3y3 Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que x2 + y3 = 1. 2x + 3y2y ′ = 0 y ′ = − 2x 3y2 y ′′ = −(2x) ′(3y2)− 2x(3y2)′ (3y2)2 y ′′ = −6y 2 − 12xyy ′ 9y4 y ′′ = −(6y 2 − 12xyy ′) : 3y 9y4 : 3y y ′′ = −2y − 4xy ′ 3y3 Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 4: Seja a func¸a˜o f (x) = { x2, se x ≤ 1 2x − 1, se x > 1 . Verifique que f e´ diferencia´vel em 1, mas f ′ na˜o e´ diferencia´vel em 1. Sabemos que f ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo existe f ′(1) = lim x→1 f (x)− f (1) x − 1 . lim x→1− x2 − 1 x − 1 = limx→1− x + 1 = 2. lim x→1+ 2x − 1− 1 x − 1 = limx→1+ 2 = 2. Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 4: Seja a func¸a˜o f (x) = { x2, se x ≤ 1 2x − 1, se x > 1 . Verifique que f e´ diferencia´vel em 1, mas f ′ na˜o e´ diferencia´vel em 1. Sabemos que f ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo existe f ′(1) = lim x→1 f (x)− f (1) x − 1 . lim x→1− x2 − 1 x − 1 = limx→1− x + 1 = 2. lim x→1+ 2x − 1− 1 x − 1 = limx→1+ 2 = 2. Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 4: Seja a func¸a˜o f (x) = { x2, se x ≤ 1 2x − 1, se x > 1 . Verifique que f e´ diferencia´vel em 1, mas f ′ na˜o e´ diferencia´vel em 1. Sabemos que f ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo existe f ′(1) = lim x→1 f (x)− f (1) x − 1 . lim x→1− x2 − 1 x − 1 = limx→1− x + 1 = 2. lim x→1+ 2x − 1− 1 x − 1 = limx→1+ 2 = 2. Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Exemplo 4: Seja a func¸a˜o f (x) = { x2, se x ≤ 1 2x − 1, se x > 1 . Verifique que f e´ diferencia´vel em 1, mas f ′ na˜o e´ diferencia´vel em 1. Sabemos que f ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo existe f ′(1) = lim x→1 f (x)− f (1) x − 1 . lim x→1− x2 − 1 x − 1 = limx→1− x + 1 =2. lim x→1+ 2x − 1− 1 x − 1 = limx→1+ 2 = 2. Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Note que f ′(x) = { 2x , se x ≤ 1 2, se x > 1 . Sabemos que f ′ na˜o ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo na˜o existe f ′′(1) = lim x→1 f ′(x)− f ′(1) x − 1 . lim x→1− 2x − 2 x − 1 = limx→1− 2 = 2. lim x→1+ 2− 2 x − 1 = limx→1+ 0 = 0. Note que f ′′(x) = { 2, se x ≤ 1 0, se x > 1 . Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Note que f ′(x) = { 2x , se x ≤ 1 2, se x > 1 . Sabemos que f ′ na˜o ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo na˜o existe f ′′(1) = lim x→1 f ′(x)− f ′(1) x − 1 . lim x→1− 2x − 2 x − 1 = limx→1− 2 = 2. lim x→1+ 2− 2 x − 1 = limx→1+ 0 = 0. Note que f ′′(x) = { 2, se x ≤ 1 0, se x > 1 . Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Note que f ′(x) = { 2x , se x ≤ 1 2, se x > 1 . Sabemos que f ′ na˜o ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo na˜o existe f ′′(1) = lim x→1 f ′(x)− f ′(1) x − 1 . lim x→1− 2x − 2 x − 1 = limx→1− 2 = 2. lim x→1+ 2− 2 x − 1 = limx→1+ 0 = 0. Note que f ′′(x) = { 2, se x ≤ 1 0, se x > 1 . Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Note que f ′(x) = { 2x , se x ≤ 1 2, se x > 1 . Sabemos que f ′ na˜o ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo na˜o existe f ′′(1) = lim x→1 f ′(x)− f ′(1) x − 1 . lim x→1− 2x − 2 x − 1 = limx→1− 2 = 2. lim x→1+ 2− 2 x − 1 = limx→1+ 0 = 0. Note que f ′′(x) = { 2, se x ≤ 1 0, se x > 1 . Derivada de Ordem Superior Exerc´ıcio Note que f ′(x) = { 2x , se x ≤ 1 2, se x > 1 . Sabemos que f ′ na˜o ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo na˜o existe f ′′(1) = lim x→1 f ′(x)− f ′(1) x − 1 . lim x→1− 2x − 2 x − 1 = limx→1− 2 = 2. lim x→1+ 2− 2 x − 1 = limx→1+ 0 = 0. Note que f ′′(x) = { 2, se x ≤ 1 0, se x > 1 .
Compartilhar