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Derivada-Ordem-Superior

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Derivada de Ordem Superior
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Derivada de Ordem Superior
Introduc¸a˜o
Ate´ agora vimos a derivada de uma func¸a˜o f , representada por f ′.
Ora, mas f ′ e´ tambe´m uma func¸a˜o e podemos falar de sua
derivada. Isto e´, podemos querer calcular (f ′)′, ou simplesmente
f ′′.
Por sua vez, f ′′ e´ tambe´m uma func¸a˜o e podemos querer calcular a
sua derivada. Isto e´, calcular (f ′′)′, ou simplesmente f ′′′.
Dizemos que f ′ e´ a derivada de 1a ordem de f . Ja´ f ′′ e´ a derivada
de 2a ordem de f . Por fim, f ′′′ e´ a derivada de 3a ordem de f .
De modo geral, f (n) representa a derivada de ordem n de f . A
notac¸a˜o f (0) representa a pro´pria func¸a˜o f .
Vale a pena destacar que nem toda func¸a˜o possui derivada de
qualquer ordem.
Derivada de Ordem Superior
Introduc¸a˜o
Na notac¸a˜o de Leibniz, temos que:
y ′ =
dy
dx
,
y ′′ =
d
dx
(
dy
dx
)
=
d2y
dx2
,
y ′′′ =
d
dx
(
d2y
dx2
)
=
d3y
dx3
,
...
y (n) =
dny
dxn
.
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x sen x calcule f ′, f ′′ e f ′′′.
f ′(x) = (x)′ sen x + x( sen x)′ ⇒ f ′(x) = sen x + x cos x
f ′′(x) = ( sen x)′+(x)′ cos x +x(cos x)′ ⇒ f ′′(x) = 2 cos x−x sen x
f ′′′(x) = (2 cos x)′−[(x)′ sen x+x( sen x)′]⇒ f ′′′(x) = −3 sen x−x cos x
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x sen x calcule f ′, f ′′ e f ′′′.
f ′(x) = (x)′ sen x + x( sen x)′ ⇒ f ′(x) = sen x + x cos x
f ′′(x) = ( sen x)′+(x)′ cos x +x(cos x)′ ⇒ f ′′(x) = 2 cos x−x sen x
f ′′′(x) = (2 cos x)′−[(x)′ sen x+x( sen x)′]⇒ f ′′′(x) = −3 sen x−x cos x
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x sen x calcule f ′, f ′′ e f ′′′.
f ′(x) = (x)′ sen x + x( sen x)′ ⇒ f ′(x) = sen x + x cos x
f ′′(x) = ( sen x)′+(x)′ cos x +x(cos x)′ ⇒ f ′′(x) = 2 cos x−x sen x
f ′′′(x) = (2 cos x)′−[(x)′ sen x+x( sen x)′]⇒ f ′′′(x) = −3 sen x−x cos x
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Dada a func¸a˜o f (x) = x sen x calcule f ′, f ′′ e f ′′′.
f ′(x) = (x)′ sen x + x( sen x)′ ⇒ f ′(x) = sen x + x cos x
f ′′(x) = ( sen x)′+(x)′ cos x +x(cos x)′ ⇒ f ′′(x) = 2 cos x−x sen x
f ′′′(x) = (2 cos x)′−[(x)′ sen x+x( sen x)′]⇒ f ′′′(x) = −3 sen x−x cos x
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de
ordem n de f , com n ≤ k.
f (1)(x) = kxk−1
f (2)(x) = k(k − 1)xk−2
f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3
...
f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n
f (n)(x) =
k!
(k − n)!x
k−n
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de
ordem n de f , com n ≤ k.
f (1)(x) = kxk−1
f (2)(x) = k(k − 1)xk−2
f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3
...
f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n
f (n)(x) =
k!
(k − n)!x
k−n
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de
ordem n de f , com n ≤ k.
f (1)(x) = kxk−1
f (2)(x) = k(k − 1)xk−2
f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3
...
f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n
f (n)(x) =
k!
(k − n)!x
k−n
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de
ordem n de f , com n ≤ k.
f (1)(x) = kxk−1
f (2)(x) = k(k − 1)xk−2
f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3
...
f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n
f (n)(x) =
k!
(k − n)!x
k−n
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de
ordem n de f , com n ≤ k.
f (1)(x) = kxk−1
f (2)(x) = k(k − 1)xk−2
f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3
...
f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n
f (n)(x) =
k!
(k − n)!x
k−n
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Seja f (x) = xk , com k natural. Calcule a derivada de
ordem n de f , com n ≤ k.
f (1)(x) = kxk−1
f (2)(x) = k(k − 1)xk−2
f (3)(x) = k(k − 1)(k − 2)xk−3
...
f (n)(x) = k(k − 1)(k − 2) · · · [k − (n − 1)]xk−n
f (n)(x) =
k!
(k − n)!x
k−n
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que
x2 + y3 = 1.
2x + 3y2y ′ = 0
y ′ = − 2x
3y2
y ′′ = −(2x)
′(3y2)− 2x(3y2)′
(3y2)2
y ′′ = −6y
2 − 12xyy ′
9y4
y ′′ = −(6y
2 − 12xyy ′) : 3y
9y4 : 3y
y ′′ = −2y − 4xy
′
3y3
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que
x2 + y3 = 1.
2x + 3y2y ′ = 0
y ′ = − 2x
3y2
y ′′ = −(2x)
′(3y2)− 2x(3y2)′
(3y2)2
y ′′ = −6y
2 − 12xyy ′
9y4
y ′′ = −(6y
2 − 12xyy ′) : 3y
9y4 : 3y
y ′′ = −2y − 4xy
′
3y3
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que
x2 + y3 = 1.
2x + 3y2y ′ = 0
y ′ = − 2x
3y2
y ′′ = −(2x)
′(3y2)− 2x(3y2)′
(3y2)2
y ′′ = −6y
2 − 12xyy ′
9y4
y ′′ = −(6y
2 − 12xyy ′) : 3y
9y4 : 3y
y ′′ = −2y − 4xy
′
3y3
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que
x2 + y3 = 1.
2x + 3y2y ′ = 0
y ′ = − 2x
3y2
y ′′ = −(2x)
′(3y2)− 2x(3y2)′
(3y2)2
y ′′ = −6y
2 − 12xyy ′
9y4
y ′′ = −(6y
2 − 12xyy ′) : 3y
9y4 : 3y
y ′′ = −2y − 4xy
′
3y3
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que
x2 + y3 = 1.
2x + 3y2y ′ = 0
y ′ = − 2x
3y2
y ′′ = −(2x)
′(3y2)− 2x(3y2)′
(3y2)2
y ′′ = −6y
2 − 12xyy ′
9y4
y ′′ = −(6y
2 − 12xyy ′) : 3y
9y4 : 3y
y ′′ = −2y − 4xy
′
3y3
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule y ′′ sendo y uma func¸a˜o impl´ıcita de x tal que
x2 + y3 = 1.
2x + 3y2y ′ = 0
y ′ = − 2x
3y2
y ′′ = −(2x)
′(3y2)− 2x(3y2)′
(3y2)2
y ′′ = −6y
2 − 12xyy ′
9y4
y ′′ = −(6y
2 − 12xyy ′) : 3y
9y4 : 3y
y ′′ = −2y − 4xy
′
3y3
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Seja a func¸a˜o f (x) =
{
x2, se x ≤ 1
2x − 1, se x > 1 . Verifique
que f e´ diferencia´vel em 1, mas f ′ na˜o e´ diferencia´vel em 1.
Sabemos que f ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo
existe
f ′(1) = lim
x→1
f (x)− f (1)
x − 1 .
lim
x→1−
x2 − 1
x − 1 = limx→1− x + 1 = 2.
lim
x→1+
2x − 1− 1
x − 1 = limx→1+ 2 = 2.
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Seja a func¸a˜o f (x) =
{
x2, se x ≤ 1
2x − 1, se x > 1 . Verifique
que f e´ diferencia´vel em 1, mas f ′ na˜o e´ diferencia´vel em 1.
Sabemos que f ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo
existe
f ′(1) = lim
x→1
f (x)− f (1)
x − 1 .
lim
x→1−
x2 − 1
x − 1 = limx→1− x + 1 = 2.
lim
x→1+
2x − 1− 1
x − 1 = limx→1+ 2 = 2.
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Seja a func¸a˜o f (x) =
{
x2, se x ≤ 1
2x − 1, se x > 1 . Verifique
que f e´ diferencia´vel em 1, mas f ′ na˜o e´ diferencia´vel em 1.
Sabemos que f ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo
existe
f ′(1) = lim
x→1
f (x)− f (1)
x − 1 .
lim
x→1−
x2 − 1
x − 1 = limx→1− x + 1 = 2.
lim
x→1+
2x − 1− 1
x − 1 = limx→1+ 2 = 2.
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Seja a func¸a˜o f (x) =
{
x2, se x ≤ 1
2x − 1, se x > 1 . Verifique
que f e´ diferencia´vel em 1, mas f ′ na˜o e´ diferencia´vel em 1.
Sabemos que f ser diferencia´vel em 1 significa que o limite abaixo
existe
f ′(1) = lim
x→1
f (x)− f (1)
x − 1 .
lim
x→1−
x2 − 1
x − 1 = limx→1− x + 1 =2.
lim
x→1+
2x − 1− 1
x − 1 = limx→1+ 2 = 2.
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Note que f ′(x) =
{
2x , se x ≤ 1
2, se x > 1
.
Sabemos que f ′ na˜o ser diferencia´vel em 1 significa que o limite
abaixo na˜o existe
f ′′(1) = lim
x→1
f ′(x)− f ′(1)
x − 1 .
lim
x→1−
2x − 2
x − 1 = limx→1− 2 = 2.
lim
x→1+
2− 2
x − 1 = limx→1+ 0 = 0.
Note que f ′′(x) =
{
2, se x ≤ 1
0, se x > 1
.
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Note que f ′(x) =
{
2x , se x ≤ 1
2, se x > 1
.
Sabemos que f ′ na˜o ser diferencia´vel em 1 significa que o limite
abaixo na˜o existe
f ′′(1) = lim
x→1
f ′(x)− f ′(1)
x − 1 .
lim
x→1−
2x − 2
x − 1 = limx→1− 2 = 2.
lim
x→1+
2− 2
x − 1 = limx→1+ 0 = 0.
Note que f ′′(x) =
{
2, se x ≤ 1
0, se x > 1
.
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Note que f ′(x) =
{
2x , se x ≤ 1
2, se x > 1
.
Sabemos que f ′ na˜o ser diferencia´vel em 1 significa que o limite
abaixo na˜o existe
f ′′(1) = lim
x→1
f ′(x)− f ′(1)
x − 1 .
lim
x→1−
2x − 2
x − 1 = limx→1− 2 = 2.
lim
x→1+
2− 2
x − 1 = limx→1+ 0 = 0.
Note que f ′′(x) =
{
2, se x ≤ 1
0, se x > 1
.
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Note que f ′(x) =
{
2x , se x ≤ 1
2, se x > 1
.
Sabemos que f ′ na˜o ser diferencia´vel em 1 significa que o limite
abaixo na˜o existe
f ′′(1) = lim
x→1
f ′(x)− f ′(1)
x − 1 .
lim
x→1−
2x − 2
x − 1 = limx→1− 2 = 2.
lim
x→1+
2− 2
x − 1 = limx→1+ 0 = 0.
Note que f ′′(x) =
{
2, se x ≤ 1
0, se x > 1
.
Derivada de Ordem Superior
Exerc´ıcio
Note que f ′(x) =
{
2x , se x ≤ 1
2, se x > 1
.
Sabemos que f ′ na˜o ser diferencia´vel em 1 significa que o limite
abaixo na˜o existe
f ′′(1) = lim
x→1
f ′(x)− f ′(1)
x − 1 .
lim
x→1−
2x − 2
x − 1 = limx→1− 2 = 2.
lim
x→1+
2− 2
x − 1 = limx→1+ 0 = 0.
Note que f ′′(x) =
{
2, se x ≤ 1
0, se x > 1
.

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