Derivada-Regra-da-Cadeia

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Regra da Cadeia
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Regras da Cadeia
Introduc¸a˜o
Na u´ltima aula, no´s aprendemos as regras operato´rias para derivar
combinac¸o˜es de func¸o˜es.
Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis em um mesmo dom´ınio D. Sa˜o
va´lidas as afirmac¸o˜es:
(i) [cf (x)]′ = cf ′(x), com c uma constante real qualquer;
(ii) [f (x) + g(x)]′ = f ′(x) + g ′(x);
(iii) [f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x);
(iv)
[
f (x)
g(x)
]′
= f
′(x)g(x)−f (x)g ′(x)
[g(x)]2
, com g(x) 6= 0 no dom´ınio D.
Observac¸a˜o
De (i) e (ii) segue que:
(v) [f (x)− g(x)]′ = f ′(x)− g ′(x).
Regras da Cadeia
Teorema
Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis, sendo que a imagem de g esta´
contida no dom´ınio de f . A func¸a˜o h dada por h(x) = f (g(x)) e´
diferencia´vel e sua derivada e´ dada por
h′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
Na notac¸a˜o de Leibniz, se y = f (u) e u = g(x), enta˜o temos que
dy
dx
=
dy
du
du
dx
.
Observac¸a˜o
Lembre-se que:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
⇒ lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆u→0
∆y
∆u
lim
∆x→0
∆u
∆x
Regras da Cadeia
Teorema
Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis, sendo que a imagem de g esta´
contida no dom´ınio de f . A func¸a˜o h dada por h(x) = f (g(x)) e´
diferencia´vel e sua derivada e´ dada por
h′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
Na notac¸a˜o de Leibniz, se y = f (u) e u = g(x), enta˜o temos que
dy
dx
=
dy
du
du
dx
.
Observac¸a˜o
Lembre-se que:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
⇒ lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆u→0
∆y
∆u
lim
∆x→0
∆u
∆x
Regras da Cadeia
Esquema ba´sico
[f (g(x))]′ = f ′︸︷︷︸
derivada da externa
( g(x)︸︷︷︸
conserva a interna
) · g ′(x)︸ ︷︷ ︸
derivada da interna
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule a derivada de h(x) =
√
x2 + 5.
Func¸a˜o externa
f (u) =
√
u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2 + 5.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) =
1
2
√
u
,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) =
1
2
√
u
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
g(x)
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
x2 + 5
.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule a derivada de h(x) =
√
x2 + 5.
Func¸a˜o externa
f (u) =
√
u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2 + 5.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) =
1
2
√
u
,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) =
1
2
√
u
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
g(x)
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
x2 + 5
.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule a derivada de h(x) =
√
x2 + 5.
Func¸a˜o externa
f (u) =
√
u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2 + 5.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) =
1
2
√
u
,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) =
1
2
√
u
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
g(x)
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
x2 + 5
.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule a derivada de h(x) =
√
x2 + 5.
Func¸a˜o externa
f (u) =
√
u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2 + 5.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) =
1
2
√
u
,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) =
1
2
√
u
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
g(x)
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
x2 + 5
.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule a derivada de h(x) =
√
x2 + 5.
Func¸a˜o externa
f (u) =
√
u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2 + 5.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) =
1
2
√
u
,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) =
1
2
√
u
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
g(x)
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
x2 + 5
.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule a derivada de h(x) =
√
x2 + 5.
Func¸a˜o externa
f (u) =
√
u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2 + 5.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) =
1
2
√
u
,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) =
1
2
√
u
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
g(x)
⇒ f ′(g(x)) = 1
2
√
x2 + 5
.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que:
h′(x) = f ′(g(x))g ′(x)
h′(x) =
1
2
√
x2 + 5
· (2x)
h′(x) =
x√
x2 + 5
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que:
h′(x) = f ′(g(x))g ′(x)
h′(x) =
1
2
√
x2 + 5
· (2x)
h′(x) =
x√
x2 + 5
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que:
h′(x) = f ′(g(x))g ′(x)
h′(x) =
1
2
√
x2 + 5
· (2x)
h′(x) =
x√
x2 + 5
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Fac¸amos o mesmo exerc´ıcio usando a notac¸a˜o de Leibniz. Seja
y = f (u) =
√
u,
u = g(x) = x2 + 5.
Desse modo, temos que:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
dy
dx
=
1
2
√
u
(2x)
dy
dx
=
x√
x2 + 5
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Fac¸amos o mesmo exerc´ıcio usando a notac¸a˜o de Leibniz. Seja
y = f (u) =
√
u,
u = g(x) = x2 + 5.
Desse modo, temos que:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
dy
dx
=
1
2
√
u
(2x)
dy
dx
=
x√
x2 + 5
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Fac¸amos o mesmo exerc´ıcio usando a notac¸a˜o de Leibniz. Seja
y = f (u) =
√
u,
u = g(x) = x2 + 5.
Desse modo, temos que:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
dy
dx
=
1
2
√
u
(2x)
dy
dx
=
x√
x2 + 5
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule a derivada de h(x) = cos2 x .
Primeiro, lembre-se que
cos2 x = (cos x)(cos x) = (cos x)2.
Func¸a˜o externa
f (u) = u2.
Func¸a˜o interna
g(x) = cos x .
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = 2u,
g ′(x) = − sen x .
Note que:
f ′(u) = 2u ⇒ f ′(g(x)) = 2g(x)⇒ f ′(g(x)) = 2 cos x .
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule a derivada de h(x) = cos2 x .
Primeiro, lembre-se que
cos2 x = (cos x)(cos x) = (cos x)2.
Func¸a˜o externa
f (u) = u2.
Func¸a˜o interna
g(x) = cos x .
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = 2u,
g ′(x) = − sen x .
Note que:
f ′(u) = 2u ⇒ f ′(g(x)) = 2g(x)⇒ f ′(g(x)) = 2 cos x .
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule a derivada de h(x) = cos2 x .
Primeiro, lembre-se que
cos2 x = (cos x)(cos x) = (cos x)2.
Func¸a˜o externa
f (u) = u2.
Func¸a˜o interna
g(x) = cos x .
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = 2u,
g ′(x) = − sen x .
Note que:
f ′(u) = 2u ⇒ f ′(g(x)) = 2g(x)⇒ f ′(g(x)) = 2 cos x .
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule a derivada de h(x) = cos2 x .
Primeiro, lembre-se que
cos2 x = (cos x)(cos x) = (cos x)2.
Func¸a˜o externa
f (u) = u2.
Func¸a˜o interna
g(x) = cos x .
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = 2u,
g ′(x) = − sen x .
Note que:
f ′(u) = 2u ⇒ f ′(g(x)) = 2g(x)⇒ f ′(g(x)) = 2 cos x .
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule a derivada de h(x) = cos2 x .
Primeiro, lembre-se que
cos2 x = (cos x)(cos x) = (cos x)2.
Func¸a˜o externa
f (u) = u2.
Func¸a˜o interna
g(x) = cos x .
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = 2u,
g ′(x) = − sen x .
Note que:
f ′(u) = 2u ⇒ f ′(g(x)) = 2g(x)⇒ f ′(g(x)) = 2 cos x .
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule a derivada de h(x) = cos2 x .
Primeiro, lembre-se que
cos2 x = (cos x)(cos x) = (cos x)2.
Func¸a˜o externa
f (u) = u2.
Func¸a˜o interna
g(x) = cos x .
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = 2u,
g ′(x) = − sen x .
Note que:
f ′(u) = 2u ⇒ f ′(g(x)) = 2g(x)⇒ f ′(g(x)) = 2 cos x .
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule a derivada de h(x) = cos2 x .
Primeiro, lembre-se que
cos2 x = (cos x)(cos x) = (cos x)2.
Func¸a˜o externa
f (u) = u2.
Func¸a˜o interna
g(x) = cos x .
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = 2u,
g ′(x) = − sen x .
Note que:
f ′(u) = 2u ⇒ f ′(g(x)) = 2g(x)⇒ f ′(g(x)) = 2 cos x .
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que:
h′(x) = f ′(g(x))g ′(x)
h′(x) = −2 cos x sen x
Usando a identidade trigonome´trica
sen 2a = 2 sen a cos a,
podemos reescrever a soluc¸a˜o como
h′(x) = − sen 2x .
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que:
h′(x) = f ′(g(x))g ′(x)
h′(x) = −2 cos x sen x
Usando a identidade trigonome´trica
sen 2a = 2 sen a cos a,
podemos reescrever a soluc¸a˜o como
h′(x) = − sen 2x .
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule a derivada de h(x) = cos x2.
Func¸a˜o externa
f (u) = cos u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = − sen u,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) = − sen u ⇒ f ′(g(x)) = − sen g(x)⇒ f ′(g(x)) = − sen x2.
Regras da CadeiaExerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule a derivada de h(x) = cos x2.
Func¸a˜o externa
f (u) = cos u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = − sen u,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) = − sen u ⇒ f ′(g(x)) = − sen g(x)⇒ f ′(g(x)) = − sen x2.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule a derivada de h(x) = cos x2.
Func¸a˜o externa
f (u) = cos u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = − sen u,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) = − sen u ⇒ f ′(g(x)) = − sen g(x)⇒ f ′(g(x)) = − sen x2.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule a derivada de h(x) = cos x2.
Func¸a˜o externa
f (u) = cos u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = − sen u,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) = − sen u ⇒ f ′(g(x)) = − sen g(x)⇒ f ′(g(x)) = − sen x2.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule a derivada de h(x) = cos x2.
Func¸a˜o externa
f (u) = cos u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = − sen u,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) = − sen u ⇒ f ′(g(x)) = − sen g(x)⇒ f ′(g(x)) = − sen x2.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule a derivada de h(x) = cos x2.
Func¸a˜o externa
f (u) = cos u.
Func¸a˜o interna
g(x) = x2.
Desse modo, temos que h(x) = f (g(x)).
Sabemos que:
f ′(u) = − sen u,
g ′(x) = 2x .
Note que:
f ′(u) = − sen u ⇒ f ′(g(x)) = − sen g(x)⇒ f ′(g(x)) = − sen x2.
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Desse modo, temos que:
h′(x) = f ′(g(x))g ′(x)
h′(x) =
(− sen x2) (2x)
h′(x) = −2x sen x2
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Use a Regra da Cadeia para mostrar que a func¸a˜o
f (x) = xn, com n ∈ R, tem derivada dada por f (x) = nxn−1.
O caso quando x = 0 e´ simples, ficando como exerc´ıcio. Vamos
agora considerar que x 6= 0 e tomar o mo´dulo em ambos os
membros da expressa˜o da definic¸a˜o de f
|f (x)| = |xn| = |x |n.
Vamos aplicar agora o logaritmo natural, ficando com
ln |f (x)| = n ln |x |.
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o, ficamos com
1
f (x)
f ′(x) = n
1
x
⇒ f ′(x) = n f (x)
x
⇒ f ′(x) = nxn−1
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Use a Regra da Cadeia para mostrar que a func¸a˜o
f (x) = xn, com n ∈ R, tem derivada dada por f (x) = nxn−1.
O caso quando x = 0 e´ simples, ficando como exerc´ıcio. Vamos
agora considerar que x 6= 0 e tomar o mo´dulo em ambos os
membros da expressa˜o da definic¸a˜o de f
|f (x)| = |xn| = |x |n.
Vamos aplicar agora o logaritmo natural, ficando com
ln |f (x)| = n ln |x |.
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o, ficamos com
1
f (x)
f ′(x) = n
1
x
⇒ f ′(x) = n f (x)
x
⇒ f ′(x) = nxn−1
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Use a Regra da Cadeia para mostrar que a func¸a˜o
f (x) = xn, com n ∈ R, tem derivada dada por f (x) = nxn−1.
O caso quando x = 0 e´ simples, ficando como exerc´ıcio. Vamos
agora considerar que x 6= 0 e tomar o mo´dulo em ambos os
membros da expressa˜o da definic¸a˜o de f
|f (x)| = |xn| = |x |n.
Vamos aplicar agora o logaritmo natural, ficando com
ln |f (x)| = n ln |x |.
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o, ficamos com
1
f (x)
f ′(x) = n
1
x
⇒ f ′(x) = n f (x)
x
⇒ f ′(x) = nxn−1
Regras da Cadeia
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Use a Regra da Cadeia para mostrar que a func¸a˜o
f (x) = xn, com n ∈ R, tem derivada dada por f (x) = nxn−1.
O caso quando x = 0 e´ simples, ficando como exerc´ıcio. Vamos
agora considerar que x 6= 0 e tomar o mo´dulo em ambos os
membros da expressa˜o da definic¸a˜o de f
|f (x)| = |xn| = |x |n.
Vamos aplicar agora o logaritmo natural, ficando com
ln |f (x)| = n ln |x |.
Derivando ambos os membros da equac¸a˜o, ficamos com
1
f (x)
f ′(x) = n
1
x
⇒ f ′(x) = n f (x)
x
⇒ f ′(x) = nxn−1
Regras da Cadeia
Demonstrac¸a˜o
Antes de demonstrar a Regra da Cadeia precisamos de um
resultado preliminar.
Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em a. Sejam ∆x = x − a e
∆y = f (x)− f (a). Por definic¸a˜o, temos que
f ′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Considerando valores de ∆x bem pro´ximos de zero, suponha que
aproximamos f ′(a) por ∆y∆x . Ou seja, suponha que fizemos
f ′(a) ≈ ∆y∆x . Vamos demonstrar que o erro E = ∆y∆x − f ′(a) e´ zero
quando ∆x → 0.
lim
∆x→0
E = lim
∆x→0
(
∆y
∆x
− f ′(a)
)
= f ′(a)− f ′(a) = 0
Regras da Cadeia
Demonstrac¸a˜o
Antes de demonstrar a Regra da Cadeia precisamos de um
resultado preliminar.
Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em a. Sejam ∆x = x − a e
∆y = f (x)− f (a). Por definic¸a˜o, temos que
f ′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Considerando valores de ∆x bem pro´ximos de zero, suponha que
aproximamos f ′(a) por ∆y∆x . Ou seja, suponha que fizemos
f ′(a) ≈ ∆y∆x . Vamos demonstrar que o erro E = ∆y∆x − f ′(a) e´ zero
quando ∆x → 0.
lim
∆x→0
E = lim
∆x→0
(
∆y
∆x
− f ′(a)
)
= f ′(a)− f ′(a) = 0
Regras da Cadeia
Demonstrac¸a˜o
Antes de demonstrar a Regra da Cadeia precisamos de um
resultado preliminar.
Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em a. Sejam ∆x = x − a e
∆y = f (x)− f (a). Por definic¸a˜o, temos que
f ′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Considerando valores de ∆x bem pro´ximos de zero, suponha que
aproximamos f ′(a) por ∆y∆x . Ou seja, suponha que fizemos
f ′(a) ≈ ∆y∆x . Vamos demonstrar que o erro E = ∆y∆x − f ′(a) e´ zero
quando ∆x → 0.
lim
∆x→0
E = lim
∆x→0
(
∆y
∆x
− f ′(a)
)
= f ′(a)− f ′(a) = 0
Regras da Cadeia
Demonstrac¸a˜o
Antes de demonstrar a Regra da Cadeia precisamos de um
resultado preliminar.
Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em a. Sejam ∆x = x − a e
∆y = f (x)− f (a). Por definic¸a˜o, temos que
f ′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Considerando valores de ∆x bem pro´ximos de zero, suponha que
aproximamos f ′(a) por ∆y∆x . Ou seja, suponha que fizemos
f ′(a) ≈ ∆y∆x . Vamos demonstrar que o erro E = ∆y∆x − f ′(a) e´ zero
quando ∆x → 0.
lim
∆x→0
E = lim
∆x→0
(
∆y
∆x
− f ′(a)
)
= f ′(a)− f ′(a) = 0
Regras da Cadeia
Demonstrac¸a˜o
Como E = ∆y∆x − f ′(a) e lembrando-se que ∆x 6= 0, podemos
escrever que
∆y = (f ′(a) + E )∆x .
Regras da Cadeia
Demonstrac¸a˜o
Vamos agora provar a Regra da Cadeia. Considere a func¸a˜o
h(x) = f (g(x)), sendo g(x) diferencia´vel em a e f (x) diferencia´vel
em g(a). Sejam y = f (u) e u = g(x). Fac¸amos ∆x = x − a,
∆u = g(x)− g(a) e ∆y = f (g(x))− f (g(a)).
Por definic¸a˜o, temos que
h′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Da hipo´tese de g ser diferencia´vel em a, temos que
∆u = (g ′(a) + E1)∆x , com E1 → 0 quando ∆x → 0.
Da hipo´tese de f ser diferencia´vel em g(a), temos que
∆y = (f ′(g(a)) + E2)∆u, com E2 → 0 quando ∆u → 0.
Substituindo a expressa˜o de ∆u em ∆y , temos que
∆y = (f ′(g(a)) + E2)(g ′(a) + E1)∆x ,
com E1 → 0 e E2 → 0 quando ∆x → 0.
Regras da Cadeia
Demonstrac¸a˜o
Vamos agora provar a Regra da Cadeia. Considere a func¸a˜o
h(x) = f (g(x)), sendo g(x) diferencia´vel em a e f (x) diferencia´vel
em g(a). Sejam y = f (u) e u = g(x). Fac¸amos ∆x = x − a,
∆u = g(x)− g(a) e ∆y = f (g(x))− f (g(a)).
Por definic¸a˜o, temos que
h′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Da hipo´tese de g ser diferencia´vel em a, temos que
∆u = (g ′(a) + E1)∆x , com E1 → 0 quando ∆x → 0.
Da hipo´tese de f ser diferencia´vel em g(a), temos que
∆y = (f ′(g(a)) + E2)∆u, com E2 → 0 quando ∆u → 0.
Substituindo a expressa˜o de ∆u em ∆y , temos que
∆y = (f ′(g(a)) + E2)(g ′(a) + E1)∆x ,
com E1 → 0 e E2 → 0 quando ∆x → 0.
Regras da Cadeia
Demonstrac¸a˜o
Vamos agora provar a Regra da Cadeia. Considere a func¸a˜o
h(x) = f (g(x)), sendo g(x) diferencia´vel em a e f (x) diferencia´vel
em g(a). Sejam y = f (u) e u = g(x). Fac¸amos ∆x = x − a,
∆u = g(x)− g(a) e ∆y = f (g(x))− f (g(a)).
Por definic¸a˜o, temos que
h′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Da hipo´tese de g ser diferencia´vel em a, temos que
∆u = (g ′(a) + E1)∆x , com E1 → 0 quando ∆x → 0.
Da hipo´tese de f ser diferencia´vel em g(a), temos que
∆y = (f ′(g(a)) + E2)∆u, com E2 → 0 quando ∆u → 0.
Substituindo a expressa˜o de ∆u em ∆y , temos que
∆y = (f ′(g(a)) + E2)(g ′(a) + E1)∆x ,
com E1 → 0 e E2 → 0 quando ∆x → 0.
Regras da Cadeia
Demonstrac¸a˜o
Vamos agora provara Regra da Cadeia. Considere a func¸a˜o
h(x) = f (g(x)), sendo g(x) diferencia´vel em a e f (x) diferencia´vel
em g(a). Sejam y = f (u) e u = g(x). Fac¸amos ∆x = x − a,
∆u = g(x)− g(a) e ∆y = f (g(x))− f (g(a)).
Por definic¸a˜o, temos que
h′(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Da hipo´tese de g ser diferencia´vel em a, temos que
∆u = (g ′(a) + E1)∆x , com E1 → 0 quando ∆x → 0.
Da hipo´tese de f ser diferencia´vel em g(a), temos que
∆y = (f ′(g(a)) + E2)∆u, com E2 → 0 quando ∆u → 0.
Substituindo a expressa˜o de ∆u em ∆y , temos que
∆y = (f ′(g(a)) + E2)(g ′(a) + E1)∆x ,
com E1 → 0 e E2 → 0 quando ∆x → 0.
Regras da Cadeia
Demonstrac¸a˜o
Temos que
∆y = (f ′(g(a)) + E2)(g ′(a) + E1)∆x .
Dividindo toda a expressa˜o por ∆x (o que sempre poderemos fazer
ja´ que ∆x 6= 0), temos que
∆y
∆x
= (f ′(g(a)) + E2)(g ′(a) + E1).
Tomando o limite quando ∆x → 0 em ambos os membros da
equac¸a˜o, temos que
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
(f ′(g(a)) + E2)(g ′(a) + E1) = f ′(g(a))g ′(a).
Portanto, temos que
h′(a) = f ′(g(a))g ′(a).