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Ca´lculo Diferencial e Integral I Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Luiz C. M. de Aquino aquino.luizclaudio@gmail.com http://sites.google.com/site/lcmaquino http://www.youtube.com/LCMAquino Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Introduc¸a˜o Algumas grandezas possuem taxas de variac¸a˜o que esta˜o relacionadas entre si. Em algumas situac¸o˜es, desejamos determinar a taxa de variac¸a˜o de uma das grandezas sendo que conhecemos a taxa de variac¸a˜o da outra. Por exemplo, ao inflar um bala˜o esfe´rico, a taxa de variac¸a˜o do seu volume esta´ relacionada com a taxa de variac¸a˜o de seu raio. Se conhecemos a taxa de variac¸a˜o do volume, podemos enta˜o querer conhecer a taxa de variac¸a˜o do raio. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Me´todo de resoluc¸a˜o Suponha que um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que a taxa de variac¸a˜o de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de variac¸a˜o de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm? Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r e´ dado por V = 4 3 pir3. Mas, esse raio esta´ variando com o tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dr dr dt dV dt = 4pir2 dr dt 10 = 4pi(40)2 dr dt dr dt = 1 640pi cm/s. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Me´todo de resoluc¸a˜o Suponha que um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que a taxa de variac¸a˜o de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de variac¸a˜o de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm? Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r e´ dado por V = 4 3 pir3. Mas, esse raio esta´ variando com o tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dr dr dt dV dt = 4pir2 dr dt 10 = 4pi(40)2 dr dt dr dt = 1 640pi cm/s. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Me´todo de resoluc¸a˜o Suponha que um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que a taxa de variac¸a˜o de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de variac¸a˜o de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm? Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r e´ dado por V = 4 3 pir3. Mas, esse raio esta´ variando com o tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dr dr dt dV dt = 4pir2 dr dt 10 = 4pi(40)2 dr dt dr dt = 1 640pi cm/s. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Me´todo de resoluc¸a˜o Suponha que um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que a taxa de variac¸a˜o de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de variac¸a˜o de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm? Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r e´ dado por V = 4 3 pir3. Mas, esse raio esta´ variando com o tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dr dr dt dV dt = 4pir2 dr dt 10 = 4pi(40)2 dr dt dr dt = 1 640pi cm/s. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Me´todo de resoluc¸a˜o Suponha que um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que a taxa de variac¸a˜o de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de variac¸a˜o de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm? Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r e´ dado por V = 4 3 pir3. Mas, esse raio esta´ variando com o tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dr dr dt dV dt = 4pir2 dr dt 10 = 4pi(40)2 dr dt dr dt = 1 640pi cm/s. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Exemplo 1: Uma escada de 5 m esta´ encostada em uma parede. Se a base da escada afasta-se da parede com uma velocidade de 1 m/s, com que velocidade a parte superior da escada esta´ descendo quando a sua base esta´ a 3 m da parede? Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Exemplo 1: Uma escada de 5 m esta´ encostada em uma parede. Se a base da escada afasta-se da parede com uma velocidade de 1 m/s, com que velocidade a parte superior da escada esta´ descendo quando a sua base esta´ a 3 m da parede? Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Tanto a distaˆncia x quanto a y esta˜o variando com o tempo. Sendo assim, aplicando derivac¸a˜o impl´ıcita temos que (x2 + y2)′ = (25)′ 2x dx dt + 2y dy dt = 0 Quando x = 3, temos que y = √ 25− 32 = 4. Ale´m disso, sabemos que dxdt = 1. Desse modo, temos que 2 · 3 · 1 + 2 · 4dy dt = 0 dy dt = −3 4 m/s. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Tanto a distaˆncia x quanto a y esta˜o variando com o tempo. Sendo assim, aplicando derivac¸a˜o impl´ıcita temos que (x2 + y2)′ = (25)′ 2x dx dt + 2y dy dt = 0 Quando x = 3, temos que y = √ 25− 32 = 4. Ale´m disso, sabemos que dxdt = 1. Desse modo, temos que 2 · 3 · 1 + 2 · 4dy dt = 0 dy dt = −3 4 m/s. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Tanto a distaˆncia x quanto a y esta˜o variando com o tempo. Sendo assim, aplicando derivac¸a˜o impl´ıcita temos que (x2 + y2)′ = (25)′ 2x dx dt + 2y dy dt = 0 Quando x = 3, temos que y = √ 25− 32 = 4. Ale´m disso, sabemos que dxdt = 1. Desse modo, temos que 2 · 3 · 1 + 2 · 4dy dt = 0 dy dt = −3 4 m/s. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Tanto a distaˆncia x quanto a y esta˜o variando com o tempo. Sendo assim, aplicando derivac¸a˜o impl´ıcita temos que (x2 + y2)′ = (25)′ 2x dx dt + 2y dy dt = 0 Quando x = 3, temos que y = √ 25− 32 = 4. Ale´m disso, sabemos que dxdt = 1. Desse modo, temos que 2 · 3 · 1 + 2 · 4dy dt = 0 dy dt = −3 4 m/s. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Exemplo 2: Um reservato´rio em formato de cone circular reto e´ enchido de a´gua com uma taxa de 2 m3/h. As medidas desse reservato´rio esta˜o ilustradas na figura abaixo. Com que velocidade o n´ıvel da a´gua esta´ subindo quando a profundidade dessa a´gua e´ de 4 m? Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Sabemos que um cone circular reto com raio da base r e altura h tem volume V dado por V = 1 3 pir2h. Usando semelhanc¸a de triaˆngulos temos que r 5 = h 10 . Disso no´s obtemos que r = h 2 e portanto o volume pode ser calculado por V = 1 12 pih3. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Sabemos que um cone circular reto com raio da base r e altura h tem volume V dado por V = 1 3 pir2h. Usando semelhanc¸a de triaˆngulos temos que r 5 = h 10 . Disso no´s obtemos que r = h 2 e portanto o volume pode ser calculado por V = 1 12 pih3. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Sabemos que um cone circular reto com raio da base r e altura h tem volume V dado por V = 1 3 pir2h. Usando semelhanc¸a de triaˆngulos temos que r 5 = h 10 . Disso no´s obtemos que r = h 2 e portanto o volume pode ser calculado por V = 1 12 pih3. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Como tanto o volume quanto a altura dependem do tempo, usando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dh dh dt dV dt = 1 4 pih2 dh dt . Mas, sabemos que dV dt = 2 e h = 4. Desse modo, temos que 2 = 1 4 pi42 dh dt dh dt = 1 2pi m/h. Atenc¸a˜o! Cuidado para na˜o confundir a inco´gnita h com a unidade “h” (hora) que aparece na soluc¸a˜o. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Como tanto o volume quanto a altura dependem do tempo, usando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dh dh dt dV dt = 1 4 pih2 dh dt . Mas, sabemos que dV dt = 2 e h = 4. Desse modo, temos que 2 = 1 4 pi42 dh dt dh dt = 1 2pi m/h. Atenc¸a˜o! Cuidado para na˜o confundir a inco´gnita h com a unidade “h” (hora) que aparece na soluc¸a˜o. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Como tanto o volume quanto a altura dependem do tempo, usando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dh dh dt dV dt = 1 4 pih2 dh dt . Mas, sabemos que dV dt = 2 e h = 4. Desse modo, temos que 2 = 1 4 pi42 dh dt dh dt = 1 2pi m/h. Atenc¸a˜o! Cuidado para na˜o confundir a inco´gnita h com a unidade “h” (hora) que aparece na soluc¸a˜o. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Como tanto o volume quanto a altura dependem do tempo, usando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dh dh dt dV dt = 1 4 pih2 dh dt . Mas, sabemos que dV dt = 2 e h = 4. Desse modo, temos que 2 = 1 4 pi42 dhdt dh dt = 1 2pi m/h. Atenc¸a˜o! Cuidado para na˜o confundir a inco´gnita h com a unidade “h” (hora) que aparece na soluc¸a˜o. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Exemplo 3: Um reservato´rio cu´bico, com arestas medindo 2 metros, e´ enchido de a´gua com uma taxa de a m3/h. Usando taxas de variac¸a˜o relacionadas, prove que a velocidade com que o n´ıvel da a´gua esta´ subindo, quando a profundidade dessa a´gua e´ de k metros, e´ dada por a 4 m/h. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Exemplo 3: Um reservato´rio cu´bico, com arestas medindo 2 metros, e´ enchido de a´gua com uma taxa de a m3/h. Usando taxas de variac¸a˜o relacionadas, prove que a velocidade com que o n´ıvel da a´gua esta´ subindo, quando a profundidade dessa a´gua e´ de k metros, e´ dada por a 4 m/h. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Sabemos que o volume V de uma caixa com base quadrada de lado l = 2 e altura k e´ dado por V = l2k = 4k . Note que tanto o volume quanto a altura dependem do tempo. Desse modo, usando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dk dk dt a = 4 dk dt dk dt = a 4 m/h. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Sabemos que o volume V de uma caixa com base quadrada de lado l = 2 e altura k e´ dado por V = l2k = 4k . Note que tanto o volume quanto a altura dependem do tempo. Desse modo, usando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dk dk dt a = 4 dk dt dk dt = a 4 m/h. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Sabemos que o volume V de uma caixa com base quadrada de lado l = 2 e altura k e´ dado por V = l2k = 4k . Note que tanto o volume quanto a altura dependem do tempo. Desse modo, usando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dk dk dt a = 4 dk dt dk dt = a 4 m/h. Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas Exerc´ıcio Sabemos que o volume V de uma caixa com base quadrada de lado l = 2 e altura k e´ dado por V = l2k = 4k . Note que tanto o volume quanto a altura dependem do tempo. Desse modo, usando a Regra da Cadeia temos que dV dt = dV dk dk dt a = 4 dk dt dk dt = a 4 m/h.
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