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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Introduc¸a˜o
Algumas grandezas possuem taxas de variac¸a˜o que esta˜o
relacionadas entre si.
Em algumas situac¸o˜es, desejamos determinar a taxa de variac¸a˜o de
uma das grandezas sendo que conhecemos a taxa de variac¸a˜o da
outra.
Por exemplo, ao inflar um bala˜o esfe´rico, a taxa de variac¸a˜o do seu
volume esta´ relacionada com a taxa de variac¸a˜o de seu raio. Se
conhecemos a taxa de variac¸a˜o do volume, podemos enta˜o querer
conhecer a taxa de variac¸a˜o do raio.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Me´todo de resoluc¸a˜o
Suponha que um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que a taxa de
variac¸a˜o de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de
variac¸a˜o de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm?
Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r e´ dado por
V =
4
3
pir3. Mas, esse raio esta´ variando com o tempo. Sendo
assim, aplicando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dr
dr
dt
dV
dt
= 4pir2
dr
dt
10 = 4pi(40)2
dr
dt
dr
dt
=
1
640pi
cm/s.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Me´todo de resoluc¸a˜o
Suponha que um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que a taxa de
variac¸a˜o de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de
variac¸a˜o de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm?
Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r e´ dado por
V =
4
3
pir3.
Mas, esse raio esta´ variando com o tempo. Sendo
assim, aplicando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dr
dr
dt
dV
dt
= 4pir2
dr
dt
10 = 4pi(40)2
dr
dt
dr
dt
=
1
640pi
cm/s.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Me´todo de resoluc¸a˜o
Suponha que um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que a taxa de
variac¸a˜o de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de
variac¸a˜o de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm?
Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r e´ dado por
V =
4
3
pir3. Mas, esse raio esta´ variando com o tempo. Sendo
assim, aplicando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dr
dr
dt
dV
dt
= 4pir2
dr
dt
10 = 4pi(40)2
dr
dt
dr
dt
=
1
640pi
cm/s.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Me´todo de resoluc¸a˜o
Suponha que um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que a taxa de
variac¸a˜o de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de
variac¸a˜o de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm?
Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r e´ dado por
V =
4
3
pir3. Mas, esse raio esta´ variando com o tempo. Sendo
assim, aplicando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dr
dr
dt
dV
dt
= 4pir2
dr
dt
10 = 4pi(40)2
dr
dt
dr
dt
=
1
640pi
cm/s.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Me´todo de resoluc¸a˜o
Suponha que um bala˜o esfe´rico e´ inflado de modo que a taxa de
variac¸a˜o de seu volume seja 10 cm3/s. Qual seria a taxa de
variac¸a˜o de seu raio no instante em que ele for igual a 40 cm?
Sabemos que o volume V de uma esfera de raio r e´ dado por
V =
4
3
pir3. Mas, esse raio esta´ variando com o tempo. Sendo
assim, aplicando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dr
dr
dt
dV
dt
= 4pir2
dr
dt
10 = 4pi(40)2
dr
dt
dr
dt
=
1
640pi
cm/s.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Uma escada de 5 m esta´ encostada em uma parede.
Se a base da escada afasta-se da parede com uma velocidade de 1
m/s, com que velocidade a parte superior da escada esta´ descendo
quando a sua base esta´ a 3 m da parede?
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Uma escada de 5 m esta´ encostada em uma parede.
Se a base da escada afasta-se da parede com uma velocidade de 1
m/s, com que velocidade a parte superior da escada esta´ descendo
quando a sua base esta´ a 3 m da parede?
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Tanto a distaˆncia x quanto a y esta˜o variando com o tempo.
Sendo assim, aplicando derivac¸a˜o impl´ıcita temos que
(x2 + y2)′ = (25)′
2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0
Quando x = 3, temos que y =
√
25− 32 = 4. Ale´m disso,
sabemos que dxdt = 1. Desse modo, temos que
2 · 3 · 1 + 2 · 4dy
dt
= 0
dy
dt
= −3
4
m/s.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Tanto a distaˆncia x quanto a y esta˜o variando com o tempo.
Sendo assim, aplicando derivac¸a˜o impl´ıcita temos que
(x2 + y2)′ = (25)′
2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0
Quando x = 3, temos que y =
√
25− 32 = 4. Ale´m disso,
sabemos que dxdt = 1. Desse modo, temos que
2 · 3 · 1 + 2 · 4dy
dt
= 0
dy
dt
= −3
4
m/s.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Tanto a distaˆncia x quanto a y esta˜o variando com o tempo.
Sendo assim, aplicando derivac¸a˜o impl´ıcita temos que
(x2 + y2)′ = (25)′
2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0
Quando x = 3, temos que y =
√
25− 32 = 4. Ale´m disso,
sabemos que dxdt = 1. Desse modo, temos que
2 · 3 · 1 + 2 · 4dy
dt
= 0
dy
dt
= −3
4
m/s.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Tanto a distaˆncia x quanto a y esta˜o variando com o tempo.
Sendo assim, aplicando derivac¸a˜o impl´ıcita temos que
(x2 + y2)′ = (25)′
2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0
Quando x = 3, temos que y =
√
25− 32 = 4. Ale´m disso,
sabemos que dxdt = 1. Desse modo, temos que
2 · 3 · 1 + 2 · 4dy
dt
= 0
dy
dt
= −3
4
m/s.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Um reservato´rio em formato de cone circular reto e´
enchido de a´gua com uma taxa de 2 m3/h. As medidas desse
reservato´rio esta˜o ilustradas na figura abaixo. Com que velocidade
o n´ıvel da a´gua esta´ subindo quando a profundidade dessa a´gua e´
de 4 m?
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Sabemos que um cone circular reto com raio da base r e altura h
tem volume V dado por
V =
1
3
pir2h.
Usando semelhanc¸a de triaˆngulos temos que
r
5
=
h
10
.
Disso no´s obtemos que r =
h
2
e portanto o volume pode ser
calculado por
V =
1
12
pih3.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Sabemos que um cone circular reto com raio da base r e altura h
tem volume V dado por
V =
1
3
pir2h.
Usando semelhanc¸a de triaˆngulos temos que
r
5
=
h
10
.
Disso no´s obtemos que r =
h
2
e portanto o volume pode ser
calculado por
V =
1
12
pih3.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Sabemos que um cone circular reto com raio da base r e altura h
tem volume V dado por
V =
1
3
pir2h.
Usando semelhanc¸a de triaˆngulos temos que
r
5
=
h
10
.
Disso no´s obtemos que r =
h
2
e portanto o volume pode ser
calculado por
V =
1
12
pih3.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Como tanto o volume quanto a altura dependem do tempo,
usando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dh
dh
dt
dV
dt
=
1
4
pih2
dh
dt
.
Mas, sabemos que
dV
dt
= 2 e h = 4. Desse modo, temos que
2 =
1
4
pi42
dh
dt
dh
dt
=
1
2pi
m/h.
Atenc¸a˜o! Cuidado para na˜o confundir a inco´gnita h com a unidade
“h” (hora) que aparece na soluc¸a˜o.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Como tanto o volume quanto a altura dependem do tempo,
usando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dh
dh
dt
dV
dt
=
1
4
pih2
dh
dt
.
Mas, sabemos que
dV
dt
= 2 e h = 4. Desse modo, temos que
2 =
1
4
pi42
dh
dt
dh
dt
=
1
2pi
m/h.
Atenc¸a˜o! Cuidado para na˜o confundir a inco´gnita h com a unidade
“h” (hora) que aparece na soluc¸a˜o.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Como tanto o volume quanto a altura dependem do tempo,
usando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dh
dh
dt
dV
dt
=
1
4
pih2
dh
dt
.
Mas, sabemos que
dV
dt
= 2 e h = 4. Desse modo, temos que
2 =
1
4
pi42
dh
dt
dh
dt
=
1
2pi
m/h.
Atenc¸a˜o! Cuidado para na˜o confundir a inco´gnita h com a unidade
“h” (hora) que aparece na soluc¸a˜o.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Como tanto o volume quanto a altura dependem do tempo,
usando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dh
dh
dt
dV
dt
=
1
4
pih2
dh
dt
.
Mas, sabemos que
dV
dt
= 2 e h = 4. Desse modo, temos que
2 =
1
4
pi42
dhdt
dh
dt
=
1
2pi
m/h.
Atenc¸a˜o! Cuidado para na˜o confundir a inco´gnita h com a unidade
“h” (hora) que aparece na soluc¸a˜o.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Um reservato´rio cu´bico, com arestas medindo 2
metros, e´ enchido de a´gua com uma taxa de a m3/h. Usando
taxas de variac¸a˜o relacionadas, prove que a velocidade com que o
n´ıvel da a´gua esta´ subindo, quando a profundidade dessa a´gua e´ de
k metros, e´ dada por
a
4
m/h.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Um reservato´rio cu´bico, com arestas medindo 2
metros, e´ enchido de a´gua com uma taxa de a m3/h. Usando
taxas de variac¸a˜o relacionadas, prove que a velocidade com que o
n´ıvel da a´gua esta´ subindo, quando a profundidade dessa a´gua e´ de
k metros, e´ dada por
a
4
m/h.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Sabemos que o volume V de uma caixa com base quadrada de
lado l = 2 e altura k e´ dado por
V = l2k = 4k .
Note que tanto o volume quanto a altura dependem do tempo.
Desse modo, usando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dk
dk
dt
a = 4
dk
dt
dk
dt
=
a
4
m/h.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Sabemos que o volume V de uma caixa com base quadrada de
lado l = 2 e altura k e´ dado por
V = l2k = 4k .
Note que tanto o volume quanto a altura dependem do tempo.
Desse modo, usando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dk
dk
dt
a = 4
dk
dt
dk
dt
=
a
4
m/h.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Sabemos que o volume V de uma caixa com base quadrada de
lado l = 2 e altura k e´ dado por
V = l2k = 4k .
Note que tanto o volume quanto a altura dependem do tempo.
Desse modo, usando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dk
dk
dt
a = 4
dk
dt
dk
dt
=
a
4
m/h.
Taxas de Variac¸a˜o Relacionadas
Exerc´ıcio
Sabemos que o volume V de uma caixa com base quadrada de
lado l = 2 e altura k e´ dado por
V = l2k = 4k .
Note que tanto o volume quanto a altura dependem do tempo.
Desse modo, usando a Regra da Cadeia temos que
dV
dt
=
dV
dk
dk
dt
a = 4
dk
dt
dk
dt
=
a
4
m/h.

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