TC EQUAÇÕES IRRACIONAIS

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<p>ENSINO MÉDIO</p><p>TC</p><p>MATEMÁTICA</p><p>OSG 0000/03</p><p>TURNO DATA</p><p>ALUNO(A)</p><p>TURMA</p><p>Nº</p><p>SÉRIE</p><p>PROFESSOR(A) JUDSON SANTOS</p><p>IME / ITA</p><p>SEDE</p><p>___/___/___</p><p>01. (USA – ADAPTADA) Sabendo que x e y são os valores</p><p>reais positivos que satisfazem o sistema de equações:</p><p>{</p><p>𝑦. √𝑥2 − 𝑦2 = 48</p><p>𝑥 + 𝑦 + √𝑥2 − 𝑦2 = 24</p><p>Se s1 e s2 é a soma dos algarismos da expressão 𝑥2 +</p><p>𝑥𝑦 + 𝑦2, então o valor de s1 + s2 é igual a:</p><p>a) 10</p><p>b) 16</p><p>c) 20</p><p>d) 26</p><p>e) 36</p><p>02. (Canadá – Adaptada) Se r é a única raiz real positiva da</p><p>equação irracional 𝑥 = √𝑥 −</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>+ √1 −</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>. Então o valor da</p><p>expressão 𝑟(√5 − 1) vale:</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 3</p><p>d) 4</p><p>e) 5</p><p>03. (MIT – ADAPTADA) Sejam x, y e z reais positivos que</p><p>satisfazem o sistema de equações:</p><p>{</p><p>𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1</p><p>𝑥2 + 𝑥𝑧 + 𝑧2 = 4</p><p>𝑦2 + 𝑦𝑧 + 𝑧2 = 5</p><p>Sabendo que 𝑆 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧, então o valor da soma dos</p><p>algarismos de 2016. 𝑆2 é igual a:</p><p>a) 11</p><p>b) 12</p><p>c) 13</p><p>d) 14</p><p>e) 15</p><p>04. (AIME – ADAPTADA) Dada que x, y e z são números reais</p><p>que satisfazem:</p><p>{</p><p>𝑥 = √𝑦2 −</p><p>1</p><p>16</p><p>+ √𝑧2 −</p><p>1</p><p>16</p><p>𝑦 = √𝑧2 −</p><p>1</p><p>25</p><p>+ √𝑥2 −</p><p>1</p><p>25</p><p>𝑧 = √𝑥2 −</p><p>1</p><p>36</p><p>+√𝑦2 −</p><p>1</p><p>36</p><p>E 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =</p><p>𝑚</p><p>√𝑛</p><p>, onde m e n são inteiros positivos e n não é</p><p>divisível pelo quadrado de qualquer primo. Determine 𝑚 + 𝑛.</p><p>04. (China – Adaptada) Sabendo que x, y e z são números</p><p>reais positivos que satisfazem o seguinte sistema de</p><p>equações:</p><p>{</p><p>𝑥2 + 𝑦2 = 9</p><p>𝑦2 + 𝑧2 = 16</p><p>𝑦2 = 𝑥𝑧</p><p>Determine o valor numérico de 𝑆 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧:</p><p>a) 10</p><p>b) 11</p><p>c) 12</p><p>d) 13</p><p>e) 14</p><p>06. (Singapura) Suponha 𝑥 > 0. Encontre o valor de x se</p><p>√17 − 𝑥2 + √272 − 𝑥2 = 17.</p><p>07. (USA) Sejam x, y e z reais positivos tais que:</p><p>{</p><p>𝑥2 + 𝑥𝑦 +</p><p>𝑦2</p><p>3</p><p>= 25</p><p>𝑦2</p><p>3</p><p>+ 𝑧2 = 9</p><p>𝑧2 + 𝑧𝑥 + 𝑥2 = 16</p><p>Determine o valor de 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 3𝑧𝑥.</p><p>08. (AIME – ADAPTADA) Considere:</p><p>I. Seja 𝐼 = (√5 + √6 + √7)(−√5 + √6 + √7)(√5 − √6 +</p><p>√7)(√5 + √6 − √7).</p><p>II. T é a única raiz real da equação √1 + 𝑥2 +</p><p>√1+ 𝑥2 − 𝑥√3 = √3.</p><p>III. Sabendo que 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ+ tal que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10 e</p><p>√36 − 𝑥2 + √49 − 𝑦2 + √169 − 𝑧2 = 24. Seja 𝐴 =</p><p>(</p><p>7𝑥𝑧</p><p>𝑦</p><p>).</p><p>Então o valor de 𝐼. 𝑇. 𝐴 é igual a:</p><p>a) 1040√3</p><p>b) 1032√3</p><p>c) 1056√3</p><p>d) 2010√3</p><p>e) 2024√3</p><p>09. (Turquia) Resolva o sistema de equações:</p><p>{</p><p>4𝑥 = √16𝑦</p><p>2 − 1 +√16𝑧2 − 1</p><p>4𝑦 = √16𝑧2 − 1 + √16𝑥2 − 1</p><p>4𝑧 = √16𝑥2 − 1 + √16𝑦2 − 1</p><p>TC – MATEMÁTICA</p><p>2</p><p>OSG 0000/03</p>