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<p>Prefeitura Municipalde Barras</p><p>Secretaria Municipalde Educação -SEMED</p><p>Coordenação de matemática</p><p>Atividadede reforço para OBMEP 2 FASE- NIVEL 1</p><p>arras</p><p>N100-Solucão</p><p>Para contar os pingos de cola que usa para</p><p>montar sólidos, Cláudia começa contando</p><p>quantos pingos de cola usa para fazer uma</p><p>carreira de cubinhos. Para isso, ela precisa de</p><p>pingo</p><p>tantos pingos quantos são os cubinhos, menos</p><p>um. Assim, usa 1 pingo para unir 2 cubinhos, 2</p><p>pingos para unir 3 cubinhos, e assim por diante.</p><p>Para unir duas carreiras iguais, ela usa tantos 2X 1pingo</p><p>pingos quantos são os cubinhos de uma carreira. Logo, para colar 2 carreiras de 2</p><p>cubinhos, usa 2 pingos,para colar 2 carreiras de 3cubinhos usa 3 pingos, e assim por</p><p>diante.</p><p>Para formar camadas com altura de 1</p><p>cubinho, ela junta carreiras iguais. Para formar</p><p>uma camada 2x2, Cláudia une duas carreiras</p><p>de dois cubinhos cada. O número total de 1X2pingos</p><p>pingos de cola é 1x2+2x1=1×2x2=4.</p><p>Para formar uma camada 2x3,ela cola</p><p>2 carreiras de 3 cubos cada, usando um total de</p><p>1x3+2x2=7 pingos.</p><p>Para formar uma camada 3x3, ela junta</p><p>2 carreiras de 3 cubinhos cada e, em seguida, 1X3 pingos</p><p>mais uma carreira de 3 cubinhos cada, num total de 2x3+3x2 =2x2x3=12 pingos.</p><p>De maneira semelhante, para formar uma camada 4x4 ela une 4 carreiras de 4</p><p>cubinhos, usando 3x4 +4x3= 2x3x4 =24 pingos, para uma de 5x5, ela usa</p><p>2x4x5= 40,etc.</p><p>a) Para formar um cubo de 2cm de aresta, Cláudia deve colar duas camadas 2x2 de</p><p>cubinhos de 1 cm de aresta.Como vimos acima, em cada camada ela usa 4 pingos;</p><p>logo, para formar as2 camadas, ela usará 2x4=8 pingos.Como cada camada tem 4</p><p>cubinhos, para colar as duas camadas iráusar mais 4 pingos. No total, ela iráusar</p><p>8+4=12 pingos.</p><p>Solução alternativa: Começando com um cubinho, Cláudia usa um pingo para</p><p>juntar um cubinho na face ao lado,</p><p>mais um para um cubinho emn outra</p><p>face vizinha ao lado e outro para a</p><p>face vizinha de cima. Depois, 2</p><p>pingos para cada buraco (dois</p><p>laterais e um em baixo) e, no final,</p><p>mais 3 pingos para colar o último</p><p>cubinho. No total, ela terá usado</p><p>1+1+1+2+2+2+3 =12 pingos de</p><p>cola.</p><p>b) Para montar um cub0 de aresta 3 cm, ela irácolar 3 camadas 3x3 de cubinhos.</p><p>Como vimos acima, para formar cada uma dessas camadas ela usa 12 pingOs, logo</p><p>para montar as 3, ela irá usar 3x12=36 pingos.Como cada camada tem 9cubinhos,</p><p>para colar duas camadas, ela precisaráde 9 pingos e, para colar a terceira camada,</p><p>mais 9pingos. No total, irá usar 36 +2×9=54 pingos.</p><p>0UMEP 2012</p><p>Senadae revestelot pa</p><p>OBMEP 2012-2" Fase</p><p>Soluções-Nível 1</p><p>5</p><p>c) Para montar uma camada 3x3,Cláudia usa 12 pingos de cola; para montar uma</p><p>camada 5x5, usa 40pingos e para montar uma camada 7 x 7, usa 2x6x7=84</p><p>pingos. Para colar um cubinho na camada 3x3,ela usa 1 pingo;para colara camada</p><p>3x3 na camada de baixo ela usa 9 pingos (poisa camada 3 x3 tem 9 cubinhos) e</p><p>para colar a camada 5x5 na camada de baixo, ela usa 25 pingos (esta camada tem</p><p>25 cubinhos).Portanto, o número total de pingos de cola para montar o sólido é</p><p>12+40 + 84 +1+9+25=171.</p><p>Solucão geral para cubos</p><p>Olhando para um cubo montado, podemos</p><p>contar quantas faces decubinhos estão em</p><p>contato duas a duas. Para cada par dessas</p><p>faces decubinhos em contato,foi usado um</p><p>pingo de cola. Basta contar entãoquantos</p><p>cubinhos formam cada uma das camadas</p><p>horizontais ou verticais, e contar quantas SU</p><p>camadas háem cada direção.O número de</p><p>pingos de cola em cada uma das três</p><p>direções (uma horizontal e duas verticais</p><p>diferentes) éo número dequadradinhos em</p><p>cada camada multiplicadopelo número decamadas nessa direção menos um.</p><p>a) Para o cubo de 2 cm de aresta,cada camada tem 4 cubinhos de 1cm. Como há</p><p>duas camadas em cada uma das três direções, foram usados</p><p>1x4 +1x4 +1x4=3x1x4 =12 pingos de cola.</p><p>b) Parao cubo de 3 cm de aresta,cada camada tem 9 cubinhos de 1 cm.Como há</p><p>três camadas em cada uma das três direções, foram usados</p><p>2x9+2x9+2x9=3x2x9=54 pingos de cola.</p><p>Observação: na primeira construção de um cubo com n° cubinhos por carreirase</p><p>camadas, número de pingos de cola usado</p><p>(n-1)n+n(n-1)|n+(n-1)n'=3r (n-1), que corresponde à segunda solução</p><p>(três direções de n-1secções,com f quadradinhos cada).</p><p>as FscOLAS PURLICa</p><p>00MEP 2012</p><p>OBMEP 2012-2" Fase</p><p>Soluções- Nível 1</p><p>6</p><p>N1Q9– Solução</p><p>a) O número 9 pode ser escrito como soma de duas parcelas inteiras de quatro</p><p>maneiras diferentes: 9 =1+8=2+7=3+6=4+5. Como a ordem em que os cartões</p><p>sãoescolhidos não altera sua soma, segueque Vítor pode escolher dois cartões azuis</p><p>cujos números somam 9de 4 maneiras diferentes.</p><p>b) 1 solução: Podemos escrever 9 como soma de dois números de 1 a 8 de 4</p><p>maneiras: 9=1+8=2+7=3+6= 4+5. No caso de cartões com a mesma cor,</p><p>escolhemosuma das expressões de 9 Como soma e depois a cor dos cartões; como</p><p>ascores sãoem número de 3, isso pode ser feito de 4x3=12 maneiras. No casode</p><p>cartões de cores diferentes, escolhemosuma das expressões de 9, a cor de um dos</p><p>cartões e uma cor diferente para o outro cartão; isso pode ser feito de 4x3x2=24</p><p>maneiras diferentes. No total, é possível escolher dois cartões cuja soma seja 9 de</p><p>12+24 =36 maneiras diferentes.</p><p>28 solução: Para fazer uma escolha possível, Vitor deve pegar um par de</p><p>cartões de modo que a soma de seus números seja igual a 9. Os números desses</p><p>cartões podem ser escolhidos de 4 maneiras diferentes, como vimos no item anterior.</p><p>Para cada um desses pares, a cor do cartão com o menor número pode ser escolhida</p><p>de 3 maneiras diferentes, bem Como a cor do cartão com o maior número;no total, as</p><p>cores dos cartões de um par podem ser escolhidas de 3x3=9 maneiras diferentes.</p><p>Como são 4 pares, o número total de escolhas é4×9 =36.</p><p>c) 1 solução: Hátrês casos a considerar.</p><p>Os três cartöes têm a mesma cor: asS possibilidades para que sua Soma 9 seja</p><p>são 9=1+2+6=1+3+5=2+3+4; como são 3 cores, o número de</p><p>possiblidades nesse caso é3x3=9.</p><p>Dois cartões de uma cor e o terceiro de uma cor diferente:os dois cartões da</p><p>mesma cor somam de 3 a 8; as possibilidades são aqui 3=1+2, 4=1+3,</p><p>5=1+4=2+3, 6=1+5=2+4, 7=1+6=2+5=3+4</p><p>8=1+7=2+6=3+5,num total de 12 possibilidades; em qualquer caso, para</p><p>completar a soma 9, o terceiro cartão pode ser escolhido de uma única</p><p>maneira. Para as cores, temos 3possibilidades para os cartões de mesma cor</p><p>e 2 para o de cor diferente. No total, temos 12x1x3x2=72 possibilidades</p><p>nessecaso.</p><p>Os cartões têm cores diferentes: listamos a seguir as 28 possibilidades nesse</p><p>caso; as letras A, Be V indicam, respectivamente, azul, branco e vermelho.</p><p>A 1171122661133551 4|42252233443</p><p>B17| 1|26 1|6 12 35 15 1 4 14| 25 234|2 4 233</p><p>V71162612 153 51314 4|152243 4|2323</p><p>No total, o número de maneiras éentão 9+72+28 =109.</p><p>29solução:Para fazer uma escolha possível, Vitor deve pegar um trio de cartões cuja</p><p>soma seja igual a 9. Quanto aosnúmeros,hásetepossibilidades para esses trios:</p><p>9=1+1+7=1+2 +6=1+3+5=1+4 +4=2+2+5=2+3+4=3+3+3</p><p>Observamos que os trios são de três tipos diferentes:</p><p>(3,3,3) os três números são iguais.</p><p>(1,2,6),(1,3,5) e (2,3,4)–os três números são diferentes.</p><p>MATMACA</p><p>08MEP 2012</p><p>eves ba p</p><p>OBMEP 2012-2' Fase</p><p>Soluções -Nivel1</p><p>7</p><p>(1,1,7), (1,4,4)e (2,2,5) –um número é repetido duas vezes eo terceiroé</p><p>diferente.</p><p>Háuma única maneira de escolher cartões parao trio (3,3,3), a saber, um decada cor.</p><p>Jápara os trios do segundo tipo, cada um dos números pode aparecer em qualquer</p><p>das cores; nesse caso, há 3x3x3=27 maneiras de escolher um desses trios. Como</p><p>são 3trios, o total aqui é 3×27=81 possibilidades.</p><p>Para um trio do terceiro tipo, devemos escolher duas cores distintas para os</p><p>números repetidos, o que pode ser feito de 3maneiras (AB, AV e BV) e depoiís uma</p><p>cor qualquer para o número diferente,o quepode ser feito de3 maneiras. Nesse caso,</p><p>o total de possibilidades é 3x3=9; como são 3 trios desse tipo, obtermos</p><p>3x9=27 possibilidades.</p><p>Finalmente, o número totalde possibilidades é a soma das possibilidades de</p><p>cada caso, ouseja, 1+81+27=109.</p><p>Somando novos talentos para 0 Basl</p><p>N1Q43</p><p>a) A sequência é 4125 � 537� 810�91�10�1</p><p>b) Os</p><p>seisprimeirostermos são 995 � 1814 -� 995� 1814 � 995 �1814</p><p>c) Os primeirostermos da sequência são</p><p>33333 6666�121212�33333-� 6666 �>...</p><p>e vem0S que os termos se repetem de três em três. Como 103=3x34+1.segue</p><p>que o 103° termodessa sequência é33333.</p><p>N1Q24</p><p>a) Do 10° andar até o 15° andar há6 andares, cada um com 25 quartos. Logo o</p><p>número dequartos do 10° andar para cima é 6x25 =150.</p><p>b) O número de uma chave éformado pelo número do andar, de 1 a 15, seguido do</p><p>número doquarto,de 01a 25. Podemos dividir aschaves em quatro casos, como</p><p>segue:</p><p>1. andarcom 1, quarto sem 1</p><p>2. andar sem 1,quarto Com 1</p><p>3. andarequarto com 1</p><p>4. andarequarto sem 1</p><p>Observamos os andares cujos números têm o algarismo 1 são 1, 10, 11, 12, 13, 14</p><p>e 15, num total de 7; segue que os andares sem 1 são em número de 15-7=8.</p><p>Os quartos com 1 são 01,10, 11,... ,19 e 21, num total de 12; os quartos sem 1</p><p>são então em número de 25-12=13. Oprincipio fundamental da contagem nos</p><p>permite saber quantas chaves aparecem em cada um dos grupos:</p><p>1. andar com 1, quarto sem 1: 7x13=91</p><p>2. andar sem 1, quarto com 1: 8x12 =96</p><p>3. andar e quarto com 1: 7×12=84</p><p>4. andar e quarto sem 1: 8x13=104</p><p>Os três primeiros grupos consistem das chaves com 1, que são em número de</p><p>7x13+8x12+7x12=271.</p><p>Podemos também proceder, observando que para obter o número de chaves</p><p>com 1 basta retirar, do total de chaves, as chaves do grupo 4 acima. Como o</p><p>número total dechaves é 15x25,isso nos leva à conta 15x25-8x13=271.</p><p>c) O número total de chaves é 15x25=375. Para obter o número de chaves</p><p>procurado, primeiro eliminamos as chaves de quartos nos andares 11 e 13,que</p><p>são em número de 2x 25=50. Restam 13 andares a considerar; devemos</p><p>eliminartambém as chaves dos quartos 11 ou 13 desses andares, o que nos dá</p><p>13x2 =26 chaves. Finalmente, devemos considerar as chaves do andar 1 e,</p><p>neste andar, de quartos cujo dígito das dezenas seja também 1. Como já</p><p>eliminamos os quartos 11e 13 de todos os andares, os números possíveis para</p><p>esses quartos são 10, 12,14, 15, 16,17, 18 e 19, ou seja,devemosainda eliminar</p><p>8 chaves. Desse modo, o número de chaves em que não aparecem assequencias</p><p>11 ou 13 é375–50–26–8291.</p><p>OBMEP 2008-2-FASE -Soluções -Nível 1</p><p>QUESTÄos aS</p><p>2 OUMPIADA SRASILERA</p><p>DE MATEMATICA</p><p>21 DAS ESCOLAS PÜBLICAS</p><p>OBMEP 2008</p><p>Somando novos talentos para o Brasil</p><p>Noque segue, por "número"queremos dizer "número deaténove algarismos"</p><p>a) Consideremos um número cujo resumo seja 523. Então ele tem cinco dígitos (523),dos quais dois</p><p>são impares (523) e três são pares (523). Podemos formar muitos números satisfazendoestas</p><p>condições; alguns exemplos são 11222, 23456 e 36854.</p><p>b)Como o resumo dequalquer número tem três algarismos,vemos que paraque um número seja igual</p><p>ao seu próprio resumo énecessário que ele tenha très algarismos.Suponhamos então que existaum</p><p>número que seja seu próprio resumo, esejam c seu algarismodas centenas,d odas dezenas euo das</p><p>unidades.</p><p>Como o algarismo das centenas do resumo deum número de três algarismosé 3,devemos ter</p><p>C=3. Somando os algarismos das dezenas e das unidades do resumo devemos obter o número de</p><p>algarismos do número original, ou seja, d+u=3.Logo as possibilidades para o resumo de um resumo</p><p>são 303, 312, 321 ou 330; destes,o único que é seu próprio resumo éo 321, que éentão o número</p><p>procurado.</p><p>c)O resumo deum número tem sempre três algarismos.Como vimos no item (b),as possibilidades para</p><p>o resumo de um número de três algarismos são 303, 312, 321 ou 330; logo as possibilidades para o</p><p>resumo do resumo dequalquer número estão entre estas quatro. Os resumos de 303, 312,321 ou 330</p><p>sãotodos iguaisa 321. Como 321tem como resumo ele mesmo, sempre chegaremos a ele quando</p><p>calculamos sucessivas vezes o resumo de um número. Mais precisamente,para qualquernúmero inicial,</p><p>o resumo do resumo de seu resumo é 321. Podemos visualizar este raciocínio no diagrama abaixo.</p><p>�número de três algarismos -</p><p>resumo</p><p>�303, 312, 321 ou 330–</p><p>resumo</p><p>�321</p><p>número</p><p>resumo</p><p>Observação:notamos que o resumo do resumo de qualquer número só pode ser 303 ou 321. De fato, da</p><p>primeira vez que calculamos o resumo de algum número obtemos um número de três dígitos cdu, com</p><p>d+u=c.Temos então dois casos:</p><p>cépar: neste caso de u são ambospares ou ambos ímpares.</p><p>se de usão pares, o próximo resumo será303;</p><p>sede u são ímpares, o próximo resumo será321.</p><p>Ou</p><p>céimpar: neste caso dé par e ué ímpar,ou d éímpar e uépar.</p><p>se dépare ué ímpar,o próximo resumo será 321;</p><p>se déimpare uépar, o próximo resumo será321.</p><p>OBMEP 2008 - 2 FASE -Soluções -Nível 1</p><p>QUESTÃo6</p><p>NJ OUMPADA BRASILEJRA</p><p>DEMATEMÁTICA</p><p>DAS ESCOLAS PÜBUICAS</p><p>0BMEP 2008</p><p>Somando novos talentos para o Brasil</p><p>a)Aqui estãotrês soluções, entre outras:</p><p>123456</p><p>ínverte</p><p>�654321- �165432</p><p>troca</p><p>23456</p><p>troca</p><p>234561- inverte</p><p>>165432</p><p>12l3456</p><p>troca</p><p>�3456 12-</p><p>inverte</p><p>216543 troca</p><p>�165432</p><p>b) Existem 5números diferentes formados com os algarismos1,2e 3,além de 123.Eles são 132,213,231,312e321.Vamos mostrarcomo obter todos a partir de 123:</p><p>23- �231-</p><p>invertetroca</p><p>�132</p><p>inverte123- �321-</p><p>troca</p><p>213</p><p>J23- �231</p><p>troca</p><p>123</p><p>troca</p><p>312</p><p>123 inverte</p><p>�321</p><p>Pode-se também obter todos estes números através de uma única seqüência de troca e inverte ;porexemplo,</p><p>312- �231- inverte123]</p><p>troca troca</p><p>�132</p><p>troca 213 troca</p><p>�321</p><p>c) Em um número qualquer formado com os algarismos 1, 2, 3,4, 5e 6, temos os algarismosdas</p><p>"pontas"e os do "meio";por exemplo, em 621354 os algarismosdas pontassão6e4eos algarismos2,1,3,e5estão no meio. Dizemos também que dois algarismossão vizinhos seum estáao ladodo outro;</p><p>no exemplo em questão,(2,1) e (3,5) são dois pares de vizinhos.</p><p>O movimento inverte troca os algarismosdas pontas emantém os vizinhos juntos. O movimento</p><p>trocafazcom que as pontas se tornem vizinhos esepara um par de vizinhos, fazendo com que eles se</p><p>tornem pontas. Logo, começando com 123456, vemos que qualquer seqüência de movimento troca e</p><p>inverte tem como resultado um número em que 1e6são ou pontas ou vizinhos; como isso não acontece</p><p>com 243156,éimpossiveltransformar 123456em 243156 com essesmovimentos. 6Alternativamente,podemos pensar nos algarismos do número 123456</p><p>escritos ao longo de um círculo orientado no sentido horário, como na figura ao</p><p>lado. O movimento inverte muda o sentidode rotação deste ciclo e o movimento</p><p>troca mantém este sentido; por outro lado,algarismosvizinhos, em particular o 1e 5</p><p>o 6, permanecem sempre vizinhos após qualquer destes movimentos. Como em</p><p>243156 o 1 eo6 não são vizinhos, concluímos que é impossível transformar</p><p>123456 em 243156 com esses movimentos.</p>