Victor Mirshawka - Exercícios de probabilidades e estatística para engenharia v 1-Livraria Nobel (1984)

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<p>EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Volume 1 Victor Mirshawka LONDON'S Or, A COLLECTION of All the Bills of Mortality For this Year: Beginning the 27th of December 1664. and ending the 19th. of December following : As also, The GENERAL or whole years BILL: According to the Report made to the KING'S Moft Majelty, By the Company of Clerks of LONDON: Printed and are to be by E. living in Printer to the Company ISBN 85-213-0135-9 obra completa ISBN 85-213-0136-7 volume 1 nobel</p><p>Copyright by "Livraria Nobel S.A." Cap. 1 - PROBABILIDADES Exercicios resolvidos 5 propostos 12 Cap. 2 - ALEATÓRIAS resolvidos 39 Exercicios propostos 49 Todos os direitos reservados de Cap. 3 - DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ESPECIAIS acordo com a legislação em vigor Exercicios resolvidos 71 Exercicios propostos 79 Cap. 4 - DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS ESPECIAIS Exercícios resolvidos 111 Exercicios propostos 121 Cap. 5 - TRANSFORMAÇÕES DE resolvidos 145 Exercicios propostos 157 Cap. 6 - TEORIA DA ESTIMAÇÃO Exercicios resolvidos 191 Exercícios propostos 203 Cap. 7 - TESTES DE Exercicios resolvidos 225 Exercicios propostos 241 Apêndice I - COMPLEMENTAÇÃO 259 e outras complementações 299 Impresso no Brasil/Printed in Brazil</p><p>PREFÁCIO Este livro e indicado para desenvolver e solidificar nosso curso anual de Probabilidades e Estatistica para a Engenharia atra- ves de inumeros exercicios. É útil tambem como um suplemento compreen sivo e de fixação de conceitos para qualquer um dos outros livros-tex to existentes. A nossa preocupação fundamental foi a de abordar as mais va- riadas modalidades de Engenharia (Civil, Eletrica, Mecânica, Metalur- gia, Química, etc), atraves de exemplos numericos procurando dessa forma destacar a notavel necessidade e vasto campo de aplicação de Probabilidades e Estatistica na industria e na pesquisa. Procuramos acompanhar neste livro a simbologia e a sequência que apresentamos no nosso livro "Probabilidades e Estatistica para En genharia" qual em breve pretendemos ampliar, surgindo um novo volume onde serao analisados problemas de simples e multipla, tes- tes nao parametricos, delineamento experimental, etc. Este livro, ao nosso ver, tem um carater eminentemente dida- tico e por isso procuramos abrir cada capítulo com exercicios resolvi dos apresentando a seguir uma serie de problemas para serem aplicados em provas e trabalhos. Praticamente todos os exercicios aparecem com as suas respec tivas respostas porem agradeceremos muito aos leitores que nos chama- rem atençao para os erros e falhas conceituais, de calculo e de im- na primeira edição deste livro. Estamos em mais uma vez com excepcional datilografo Toshiro Iqueda e com a Livraria Nobel S.A. por ter colocado a nossa todos os seus recursos para que esse livro pudesse ser editado. Victor Mirshawka</p><p>DECLARAÇÃO Os problemas e charadas matematicas e geometricas que apare cem na abertura de todos os foram retiradas da revista"ITA -Engenharia" que circulou entre nos no de 1970. Era uma revista voltada para a tecnologia e desenvolvimento industrial enviada sem ônus a 20 000 engenheiros em todo territorio nacional. Editada pelo Centro Tecnico Aeroespacial (C.T.A.) em con- vênio com a Associação dos Antigos Alunos do ITA Infelizmente como todas as iniciativas deste tipo e senti- mos isto nas revistas que ainda existem mas sobrevivem com grande dificuldade como e caso, por exemplo, da revista da Escola de En- genharia Mackenzie ou a revista de Administração da Faculdade de Ad- ministração da Armando Alvares Penteado teve uma existencia o que realmente e uma grande pena. Uma das suas era "Cafezinho" que incluia todas essas matematicas. No mundo atual onde calculo puramente numerico e cada vez mais facilitado pela existência das maquinas de calcular programa- veis o que jamais deixara de ter importância para engenheiro e pa- ra qualquer pessoa e o raciocinio. Foi com esse intuito que compilamos todas essas "piadinhas" que esperamos possam desenvolver raciocinio do</p><p>4 PROBABILIDADES 2 QUANTAS CRIANÇAS? 3 5 "Ouço umo meninado brincondo no quin- tal" diz José, um estudante de todos seus "Credo, exclama o professor Smith, 6 eminente teórico dos números. "Os meus filhos estão brincando com meninos de très outras 7 embora, no verdode, o nosso sejo a maior. Os Siqueiro menor número de filhos, os Prado menos ainda e os Silvo menos de crianças são todo?' perguntou José. "Deduza você. São menos que 18 e o pro- duto dos meninos nos quatro famílias é igual ao número do minha que você conhece" José tirou do bôlso popel e começou escrever. Pouco depois ergueu os olhos e disse: "Preciso de mais um há mais de uma crionça na família Imediatamente após o resposto de Smith, José sorriu e deu o número certo de crianças de Conhecendo o número do casa e se Silva tinham ou não mais de um filho, achou que o problema ero fácil. Entretanto poderemos des- cobrir número de crianças de cada familio sem êstes Como?</p><p>Resposta QUANTAS CRIANÇAS? ANÁLISE ESTATÍSTICA Jones sabia, de início, que as quatro famílias tinham número diferente de filhos e que total menor do que 18. Soube mais que o produto dos quatro números era igual ao número da caso do professor. É evidente, então, que o primeiro passo era fatorar o número da caso em números diferentes que dessem PROBLEMA DA DIAGONAL um total menor do que 18. Se a solução fôsse êle terio imediatamente o solução do Um é inscrito no quadrante como problema. Como êle não resolveu o problema no figura 1. sem solicitar novas informações, concluimos que Dadas as distâncias, DC e CO qual o com- deve ter havido mais de um modo de fatorar o primento da AC? número do casa. Tempo limite: 30 segundos. passo seguinte é anotar tôdas as possíveis combinações de quotro números diferentes com total menor do que 18 e efetuar os produtos de cada grupo. Verificamos que há vários casos em que mais de umo combinação dá o mesmo pro- Figura 1 duto. Como decidir qual número da casa? A chave está no fato de ter Jones pergun- A B tado se havia mais de uma criança família menor. Essa pergunto só tem sentido se o número da caso fôr 120, que pode ser fatorado como 1x3x5x8, 1x4x5x6 ou 2x3x4x5. Se Smith tivesse respondido não, o problema seria insolúvel. Como Jones o resolveu, nós sabemos que o resposto foi sim. As famílias serão compostas portanto, de dois, três, quatro e cinco filhos. D C</p><p>PROBABILIDADES 1 * Registre: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) A. Uma mensagem e codificada em codigo binario. consistindo de 2 ou seja (zero) e 1 As probabilidades de Resposta transmissao dos 2 simbolos sao 0,45 e 0,55 respectivamente. No canal os símbolos sao distorcidos em 1 com probabilidade 0,2 e os simbolos 1 sao distorcidos em com probabilidade PROBLEMA DA DIAGONAL comprimento diagonal = raio a) Ache a probabilidade de que tendo recebido a. um o ele nao seja distorcido: b. um 1 ele nao seja distorcido. B. A probabilidade (ou de uma letra em um texto longo de uma certa lingua e a razao do numero de ocorrências de A B uma letra para numero total de letras e espaços naquela lin- gua. Na lingua inglesa as probabilidades das letras "E", "R" e sao: = 0,1031; P("R") = 0,0484; = 0,0796 Uma certa datilografa comete erros apertando a tecla a esquerda ou 57cm a direita daquela que deveria com probabilidades iguais a 0,05 pa C o ra cada caso, e nao erra com probabilidade 0,90. Se numa maquina R tem a sua esquerda E e a sua direita T ache probabilidade de ter a letra R em um extenso elaborado por essa datilogra fa. W E R T Y</p><p>6 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 7 Tendo batido a letra E a letra R (Erro direita). (A) P(ESQ/ERRO) Tendo batido a letra T saiu a letra um "zero" foi transmitido. R (Erro a esquerda). T Tendo batido a letra R saiu a letra um foi transmitido. R (Acerto). um "zero" foi recebido. R1 um foi recebido. Dessa a probabilidade de termos a letra "R" e P(R) = P(E).P(R/E) 0,005 + 0,004 + 0,044 = 0,053 Dai finalmente temos: 2) Na Fig. 1.1 temos sentido de duas ruas de unica R1 que se "fundem" numa unica rua Suponhamos tem mesma capacidade porem na de maior movimento apresentam trafegos dife = rentes de forma que p(trafego excessivo em Fig. 1.1 Por outro lado sabe-se ainda que (B) Sabemos e P(E) P(R) = 0,0484 a) Se a capacidade de R3 e 8 mesma que a de e a pro- babilidade de termos trafego excessivo em R3? supor que quando as probabilidades condicionais (conhecidas) sao: R1 ou R2 tem trafego menor que a sua capacidade a probabilidade de que a de R3 seja excedida e 0,20.</p><p>VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE E ESTATÍSTICA 8 9 b) Se a capacidade de R3 e dobro de R1 ou R2 qual e a probabili- 3) Duas unidades geradoras a e b operam em paralelo para atender as dade de ter excesso de trafego em R3? Supor que se somente R1 necessidades de energia de uma pequena cidade. ou 2 tem trafego excessivo, capacidade de R3 pode ser excedi A demanda de energia esta sujeita uma consideravel flutuação e da com probabilidade 0.15. sabe-se que cada unidade tem capacidade em 75% dos casos de poder atender sozinha a necessidade total de energia da cidade caso a ou tra unidade falhe. A probabilidade de falha de cada unidade e 0,10 e a probabilidade a) Utilizamos a que ambas falhem e 0,02. Se existe uma falha na de energia qual e a probabilidade de que a cidade tenha fornecimento total de energia? Assim Solução: Sejam A e B respectivamente os eventos falha unidade a e falha a unidade b. Sabemos que P(A) = P(B) = 0,1 e = 0,02. Devemos calcular a probabilidade condicional que quando existe uma = 0,20 falha somente uma das duas unidades falhou, isto e Dai vem: P = = = b) Foi dado que Pois Assim agora temos: Finalmente a probabilidade de que a cidade tenha fornecimento to- tal quando apenas uma unidade trabalha e =</p><p>VICTOR EXERCICIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 11 sistema de micro-ondas entre A e F USE retrans- missoras de acordo com da Fig. 1.2. As re- Dessa forma probabilidade de não passar entre transmissoras todas do mesmo tipo e os testes mostraram que a probabilidade de e q (falhas independen- tes). Achar probabilidade que sistema de entre falhe no decorrer desse (supoe-se que sejam fa- lhas de equipamento e devido a causa de 5) Calcular confiabilidade do sistema, sabendo que os componentes funcionam independentemente e que as confiabilidades individueis B. Se o sistema de micro-ondas entre A e F usa as estaçoes retrans sao missoras de acordo com o esquema da Fig. 1.3, sera agora 8 = probabilidade de ocorrer falha de comunicação entre A e F manti das as do item anterior? P1 R2 R3 2 2 A R C B 5 1 F3 F A F R4 Fig. 1.4 P3 Fig. 1.3 P(A-C) = = = 4. = - + = 0,97686 P(Funcionar) = 0,9758831 P(Falhar) = 1 de passar de X ate e dada por de entre</p><p>12 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 13 Luis de de Engenharia Mackenzie 3) Um estudante participando de um exame de multipla escolha on- de cada tem 5 alternativas e onde exatamente uma a cor- reta. SE estudante conhece ele sabe escolher 8 1 correta. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Caso contrario ele escolhe aleatoriamente uma entre 5 pos siveis. que estudante sabe a resposta para 70% das questoes. a) Qual e a probabilidade de que para uma dada estudante de a resposta certa? 1) a) Dado que P(A) = 0,4; P(B') = 0.7 e = 0,7 determine b) Se para uma dada ele da a resposta certa. qual e a i. iii. babilidade de que ele conhecia a pergunta? 19 Resp a) b) 35 b) Dado que ; 25 38 = 0,2, se possivel determine valores exatos de cada uma das quantidades abaixo ou entao defina limite numerico 4) Um certo sistema de controle de tiro compos-se de radar e de mais preciso para cada uma computador ligados de forma que sistema falha se um qualquer des i. iii. ses componentes falhar. iv. V. P Se 8 probabilidade que radar opere h sem falhar 0,9 e que computador opere 100 h sem falher 0,7, qual e probabilidade Resp.: a) i. ii. que sistema opere 100 sem falhar? falhas dos componentes sao independentes. ii. 0,8; iii. 0,5; iv. : 0.63 2) Considere eventos tais que e 5) AS falhas na fundação de um grande edifício podem ser de dois ti- Calcule as dos seguintes pos A (capacidade de suportar) e excessiva). eventos: Sabendo-se que P(A) = P(B) = 0,008 e P(AIB) = 0,1 determi- nar probabilidade: a) de haver falhs na 5 b) de ocorrer A e B. Resp.: 12 Resp. a) 0.0082: b) 0.0072.</p><p>14 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 6) Numa avenida existem 3 sinaleiros de transito es- 8) No projeto de de um edificio temos uma serie de ativi- paçados para poderem ser considerados independentes. dades. da luz verde durante 30 S em cada minuto, durante 40 S Definem-se os eventos (Es) escavaçao executada em tempo, (F) fun- por minuto e 30 fica aceso na verde durante por minuto. terminadas em tempo e (s) superestrutura executada em tem- Um motorista percorre a avenida em tods a sua extensao. po com probabilidades respectivamente iguais a 0,8; 0,7 e 0.9. Supoe-se que existe a independência estatistica entre esses Pede-se 8 probabilidade que encontre tos a) todos os sinais abertos; b) apenas um deles c) os 3 a) Definir evento {0 projeto terminou epoca em sinais fechados. termos de Es, F e S. 5 17 Resp.: a) b) c) Calcule a probabilidade de terminar edifício em tempo. 18 b) Definir em termos de Es, F e S e de seus complementos o seguin te evento 7) a) Sob de uma força as probabilidades de falha nas bar- G = a escavaçao terminou em tempo e ao menos uma das outras a, b e da estruture mostrada abaixo sao duas etapas nao foi terminada em tempo. tivamente 0,06; 0,05 e 0,04. Calcular P(G). ocorrer a falha em qualquer uma das barras isto leva a fa- c) Definir o evento em toda estrutura. H = somente uma das tres operaçoes terminou na epoca certa. que as falhas nas a) 0,504; a barras sao estatisticamen = te independentes, ache a probabilidade de ocorrer a falha da estrutura. F Fig. 1.5 9) A poluição do ar em uma cidade causada principalmente pela sai- b) Observou-se para que de certo cru- da de industrias e pelo gases que escapam dos automoveis. zamento em um dado sentido que dobro dos que viram 8 Nos proximos 5 anos as possibilidades de controlar com sucesso es seguem reto e viram esquerda metade dos que viram a direita. sas duas fontes de sao respectivamente de 75% e de 50% Suponha que se somente uma das duas fontes e controlada com suces Qual a probabilidade de um carro virar a direita sabendo que so, a probabilidade de trazer poluição abaixo de um nivel ele vai virar? tavel e de 0,8. Resp.: a) 0,14272 : b, 2/3 a) Qual e a probabilidade de controlar a do ar com suces so nos proximos cinco anos? b) Se nos proximos cinco anos, o nivel de nao e suficien temente controlado qual e a probabilidade de que e na totalidade, a falha no controle do escapamento dos gases dos au tomoveis?</p><p>16 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE E ESTATÍSTICA 17 c) Se poluição nao e controlada, qual e probabilidade de que d) Se colocarmos ordem crescente todos os numeros de 5 algaris o controle da exaustao dos automoveis nao obteve sucesso? distintos obtidos com 1,3,4,6 e qual e a posição do nu- d) A mesma pergunta do item c) porem no caso em que nao se contro mero 61473? la a industrial. Resp. a) 0,81; b) 0,32; c) 0,84; d) 0,68. e) festa temos 10 e 12 rapazes. De quantas maneiras di ferentes podemos escolher entre os jovens 4 pares para uma dan 10) a) cartas sao escolhidas de 1 baralho de 52 cartas. Em quan- (entenda como par um homem com uma mulher)? tos casos as cartas contem: f) De quantas formas pode-se trocar as letras da palavra ARRANJO i. ao menos um rei; ii. exatamente um rei? de forma que duas letras iguais nao apareçam juntas? b) Considerando-se todos os numeros formados com 3 algarismos dis g) numero de de m objetos 3 a 3 4 vezes numero tintos, quantos sao os impares? de arranjos dos mesmos objetos 2 a 2. Calcule m. c) Quantos anagramas podemos ter com a palavra ROMA? h) Em uma sala temos 7 pessoas e 5 cadeiras. De quantas maneiras d) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra diferentes podemos ter 5 sentados e 2 de pe? TREMEMBE? e) Um estudante precisa responder 8 das 12 questoes de um exame. a) 11; b) 91; c) d) e) f) g) 26; h) Quantas alternativas ele tem se deve responder ao menos 3 das 6 primeiras questoes? 12) a) Com uma letra A, uma letra B e um certo numero de letras C po- f) Em um certo as chapas dos carros têm 3 letras e 3 algaris demos formar 20 Qual e o numero de letras C? mos com as 3 letras aparecendo o numero de le- b) Quanto vale tras que podem ser usadas e 20 e o numero de algarismos e 10. Quantas placas diferentes podemos ter? sabendo a) i. que e que e conhecida a relação d) f) 8 para 11) a) Considere 20 pontos no espaço, sendo 6 coplanares. Quantos pla d) Calcule valor de n na equaçao nos sao determinados por esses 20 pontos? Idem para 6 pontos 5/3 sendo 5 coplanares? (nesse caso apenas faça o calculo). b) Quantas fichas compoem um domino que inclua desde o duplo"bran Pode-se usar resultado anterior (de d). ate o duplo 12? e) De quantas formas pode-se preencher um cartao de loteria es- c) Em quantos casos obtemos com 3 dados um total de pontos (soma portiva com tres prognosticos duplos e dois prognosticos de pontos) menor que sete? plos?</p><p>18 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 19 cartao de loteria tem 13 linhas e 3 colunas para: vitoria, 15) Uma caixa contem 4 valvulas defeituosas e 6 perfeitas. empate e derrota). a) Duas valvulas sao extraidas (sem Uma delas en- = 3: b) 2n; d) e) saiada e verifica-se ser perfeita. Qual e a probabilidade de que a outra tambem seja perfeita? 13) a) material que vai constituir uma das camadas para pavimentar b) Se cada valvula retirada do lote e qual e a probabili dade de que no quinto ensaio obtenhamos todas as defeituosas? uma estrada pode ser de boa qualidade (B) e qualidade c) Qual e a probabilidade de que necessitamos 10 ensaios para ob com probabilidades 0,9 e 0,1 respectivamente. ter todas as defeituosas? Com intuito de melhorar essa informação engenheiro testa Resp. uma amostra desse material. Contudo metodo de teste nao e totalmente confiavel. Sabendo 16) Um lote consistindo de 100 peças, tem 20 estragadas e 80 perfei- -se que e = isto e, a probabilida tas. de de sendo o material de uma certa qualidade a indicação do Escolhe-se aleatoriamente 10 peças (sem reposição no lote). teste ser positiva (material de boa qualidade), achar Qual e a probabilidade de se tirar exatamente 5 estragadas e 5 perfeitas? b) Se for feito uma nova amostragem baseando-se no resultado an- terior ou seja tomando no lugar de P(B) = 0,9 valor P(BIT1) Resp.: ache Resp. a) 0,993865; b) 0,999657 17) a) Seja e suponha que cada ponto tenha probabili- 14) a) Um certo tipo de motor eletrico pode apresentar tres tipos de dade falhas A =mancais presos, = queima de enrolamento e esco- Tome A = {1,2} ; vas gastas. Mostre que os pares de eventos A e B, e e e sao inde Supondo que a probabilidade da ocorrencia do evento A 3 ve- pendentes. zes a de B e a ocorrencia do evento B e 5 vezes do evento Pode-se ache P(A), P(B) e P(C). b) Suponha que A, B e C sao eventos mutuamente independentes e b) Um sistema consta de dois sub-sistemas digamos A e # Qual e valor de B. De testes previos sabe-se que: P(A falha) = 0,20; P(A e B Resp. a) P(A) P(B) b) P(C). falham) = 0,15; P(B falha sozinho) = 0,15. Calcule: i. P(A falha ii. P(A falha sozinho). 18) Processa-se uma batalha aerea entre um caça X e dois Y.Quem começa a batalha e X, dando apenas um disparo contra cada Y, ten do probabilidade de derrubar mesmo. SE Y nao for derrubado b) 0,50; ii. 0,05. entao, independentemente da sorte do outro caça Y, atira contra X tendo probabilidade P2 de derruba-lo. Determinar a probabilidade</p><p>EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 21 20 dos seguintes eventos; derrubar: A - apos parada temos mesmo numero de passageiros no B ninguem entrow a) os dois b) menos um c) exatamente um C entrou um passageiro e) pelo menos um f) exatamente um Calcule: a) Sugestao: Ocorrem apenas duas etapas: 2 tiros de X contra os Y e eventualmente um tiro de cada Y contra X; basta um tiro para der- rubar o caça. a) (1-p)n; b) a) 21) Oscar perdeu seu cao ou na A (com probabilidade ou floresta B (com probabilidade A probabilidade que cao sobre viva uma noite na floresta A e na B Se o cao em A (vivo ou morto) e Oscar gasta um dia procuran- do-o, tem probabilidade de acha-lo. 19) a) Um geologo diz que existe uma probabilidade 0,8 de ter petro- Num dia de procura na floresta B, Oscar tem probabilidade de leo numa certa regiao, alem disso se nessa terra existe petro- leo a probabilidade na primeira de sair petroleo encontrar cao (vivo ou morto). cao nao pode ir de uma flores- ta a outra. Qual e a probabilidade de ter petroleo se na primeira per Oscar pode procurar apenas de dia e ir de uma floresta a outra de nao se encontrou petroleo? noite. b) Duas maquinas A e B produzem diariamente 500 e 800 ferrolhos Ele estabeleceu que ira procurar apenas dois dias, indo primeiro respectivamente. As maquinas A e B apresentam diariamente 2% e a florests B e se necessario, procurar floresta A no dia. 6% de ferrolhos defeituosos. Da de um dia seleciona- a) Qual e probabilidade que Oscar encontre cao vivo no se um ferrolho que e defeituoso. Qual e a probabilidade que b) Qual e a probabilidade que Oscar encontre cao? mesmo tenha sido fabricado pela maquina A? Faça um diagrama de arvore para todas as possibilidades. Resp. b) 0,172. 20) Num ônibus temos n passageiros. Na parada seguinte cada um deles tem probabilidade p de sair do ônibus. 22) a) X diz a verdade com probabilidade e Y diz a verdade com pro Alem disso e a probabilidade que suba uma pessoa no babilidade P2 independentemente um do outro. X faz uma afirma bus e que nao suba ninguem (nao ocorrem outras possibilidades) e Y diz que X mente. Ache a probabilidade que X diz ver- Ache a probabilidade de que ônibus tenha o mesmo numero de pas- dade. Aplicação numerica P1 sageiros quando se colocar em movimento. b) A e B atiram alternadamente em um duelo. A probabilidade de B Sugestao: Sejam os eventos atingir A e P2 e a probabilidade de A atingir B e ra primeiro, qual e a probabilidade que A ganhe o duelo, que</p><p>EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 22 VICTOR MIRSHAWKA 23 so termina quando um atinge outro? 25) Um muro de retençao por gravidade pode "falhar", ou devido ao efei to de deslizar, ou devido ao efeito de virar, ou devido ambos. Resp. a) Suponha que: i) probabilidade de falhar por deslizamento e duas vezes daquela de falhar devido ao efeito de ii) a probabi lidade de que o muro falhe por deslizamento dado que ja falhou 23) Dois jogadores X e Y disputam um jogo no qual sao lançados dois quanto ao efeito de virar e iii) a probabilidade de falha dados em forma de octaedro. jogador X começa o jogo e ganha no muro e 10-3 com soma de pontos 9 e jogador Y joga 8 seguir e ganha com Tombamento a) Ache probabilidade de que de pontos 8. o jogo termina quando alguem deles atinge a soma de o deslizamento. pontos acima estabelecida. Quais sao as probabilidades de vito- b) Se o muro nao resistiu. qual e probabilidade que te- ria de cada jogador? nha ocorrido apenas o desli Resp. X que tem probabilidade 0,5664 de ganhar. zamento? a) b) 0,546 24) A probabilidade de se ter fogo num certo setor de uma fabrica foi estimeda em 0,3 para uma e 0,10 para duas ocorrencias 26) 0 fornecimento de agua de uma cidade vem de dois reservatorios no mesmo ano. e R2 (veja a Fig. 1.7). Em vista das variaveis da chuva Suponha que a possibilidade de se ter tres ou mais ocorrencias de em cada ano a quantidade de agua em cada reservatorio pode exce- incêndio no ano e desprezivel. der ou nao a capacidade normal. Se ocorrer o incendio, probabilidade que haja problemas na es- Reservatorio trutura e R1 Adotando que as falhas estruturais entre os incêndios sao estatis ticamente independentes ache: a) a probabilidade que nao haja falha estrutural causada pelo fo- go nesse ano: b) existam algumas falhas estruturais causadas pelo fogo sabendo Reservatorio que a fabrica possui dois setores desse tipo. R. Supor nesse caso tambem a independencia entre os eventos fogo e falha estrutural num dado setor. Fig. 1.7 Seja A o evento que a agua no reservatorio excede 8 capacidade Resp.: a) 0,904 normal e B a mesms para reservatorio b) 0,1828. Conhecem-se as seguintes probabilidades: P(B) = 0,8;</p><p>24 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 25 Alem disso, sabe-se que as probabilidades de que a cidade tera um 28) a) 30% de todos os acidentes de sao devidos as falhas fornecimento satisfatorio de agua dado que somente um reservato- truturais (F.E). Um perito que analisa acidente tem probabi- rio ambos excedem e nenhum dos reservatorios excede as ca lidade 0,85 de diagnosticar corretamente que e devido a F.E e pacidades normais sao respectivamente 0,7, 0,9 e 0,3. no caso do acidente ter sido devido a outras falhas ele erra Qual a probabilidade de que a cidade tera um fornecimento sa- com probabilidade 0,35 ao dar o diagnostico que e devido a F.E. tisfatorio de agua? Ache a probabilidade de que acidente foi devido a F.E. dado que o diagnostico foi de falhas estruturais (DFE). Resp.: 0,764. b) Em certa fabrica tres maquinas I, II, III fabricam 30%, e 27) sistema de fornecimento de agua a uma cidade consiste de um tan- respectivamente da produção diaria; por sua vez, as res- que de armazenamento e de uma tubulação de fornecimento da agua pectivas taxas de produtos defeituosos sao 1%, e 2%. Ten de um lago a alguma distância do tanque. A quantidade de agua dis do um artigo sido retirado ao acaso da diaria de 40000 ponivel de um reservatorio e uma variavel dependendo da precipita unidades e se verificado que apresenta defeito, pede-se 3 pro- da bacia (entre outras coisas). Consequentemente a babilidade de ser proveniente de (i = I, II, III). quantidade de agua armazenada no tanque tambem sera uma varia- Resp. a) 0,51 vel. consumo de agua tambem varia muito. Para simplificar o pro blema represente os eventos seguinte maneira: A = o fornecimento de agua do reservatorio e pequeno. B = a agua armazenada no tanque e pouca. 29) Antes de projetar um tunel atraves de uma regiao rochosa e C = o nível de consumo e pequeno. uma exploração geologica para investigar superficies em potencial onde pode ocorrer deslocamento. Por razoes apenas Suponha que P(A) = 0,2 P(B) = 0,15 e P(C) = 0,50. porçoes de estrato podem ser exploradas. Alem disso as fornecimento do reservatorio e regulado com o intuito de aten- der demanda de tal forma que: (o fornecimento do re- o consumo e grande) = 0,75 servatorio e grande Rocha Sabe-se tambem que P(BIA) = 0,50 onde & quantidade de agua e arma zenada e independente da demanda. Suponha que ocorrera falta de quando a demanda e grande (consumo de agua) porem ou o forne Tunel cimento do reservatorio e pequeno ou e pouca a agua armazenada no tanque. Qual e a probabilidade de termos falta de agua? Supo- nha tambem que = Resp. 0,175 Fig. 1.8</p><p>26 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATISTICA 27 obtidas estao sujeitas a erros ou seja os instrumentos de medição Todos os outros produtos na fabrica sao considerados inofensivos. nao sao perfeitamente Assim geologo pode somente Num mes típico em 30% e 10% do tempo respect concluir que a da rocha pode ser fortemente tivamente usam-se os processos A, B, C e D, isto e, P(A) = (FF), moderadamente fissurada (MF) e levemente fissurada (LF) com P(B) = P(C) = 0,3 e P(D) = 0.1. probabilidades respectivamente iguais a 0,8. a) Qual e a probabilidade de nao termos uma descarga de Baseando-se nessa informação, engenheiro projeta tunel e es- perigosa nesse mes? tima que se a da rocha e (LF) a confiabilidade do proje- b) Se foi detectada uma perigosa na saida da fabrica, to proposto e Contudo se a da rocha for (MF) a qual e a probabilidade de que tenhamos em processo probabilidade de falha ira dobrar e se da rocha for A? (FF) a probabilidade de falha sera 10 vezes que aquela da condi- c) Os produtos poluentes que sao descarregados nos varios proces tem diferentes probabilidades de produzir mortandade nos (LF). peixes do rio, a saber: a) Qual e a confiabilidade esperada para proposto no pro- Probabilidade de ocorrer mortan- jeto? Processo dade nos peixes b) Um aparelhamento mais confiável e utilizado para melhorar a predição da da rocha. Seus resultados A 0,9 indicam que a FF e praticamente e que B 0,1 P(LF) = 8 Em vista dessas informações qual seria agora a confiabilidade para tunel proposto no projeto? C 0,8 c) Se tunel ruir na b) quais as probabilidades D 0,3 de que a rocha era do tipo LF e MF? Baseando-se nessas qual e probabilidade de que a) 0,998; b) c) 0,203; 0,797 peixes morrem nesse mes? 30) Uma quimica produz uma grande variedade de produtos, d) Dos quatro processos, qual o que deveriamos "melhorar" para diminuir exterminio dos peixes? usando quatro diferentes processos; a mao de obra e su ficiente somente para que apenas um processo seja executado num a) 0,8; b) 0,4; c) 0,1490; d) processos A e C dado instante. o gerente da indústria sabe que a descarga de uma perigosa no rio que passa pelos arredores, depende do 31) Numa oficina funcionam 6 maquinas idênticas; para qualquer uma processo que esta em As probabilidades de ocorrer po- delas, a probabilidade de entrar em pane durante dia de traba- para os varios processos sao, denotando por F a e igual a Supondo-se que as falhas ocorram independente- descarga com poluição perigosa: mente entre si, pede-se para calcular a probabilidade Processo A = a) de pelo menos uma entrar em "pane"; Processo B = 0,05 b) nenhuma entrar em "pane"; Processo C = 0,30 c) nao ocorrerem falhas em dois dias consecutivos; Processo D = 0,10</p><p>28 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATISTICA d) de exatamente uma maquina ter entrado em pane no decorrer do c) Para item b) qual deve ser valor de p para que a protabili dia, sabendo-se que houve pelo menos uma pane. dade de se ter entre e R seja 0,99999. Resp. a) 0,4686; b) 0,5314: c) 0,2824; d) 0,7561 Resposta para com 4 decimais. 32) Em uma pedreira, tempo que se gasta para carregar com pedras, um caminhao pode ser 2, 1 ou 3 min e isto com a mesma probabilidade. A tabela abaixo da as probabilidades de encontrarmos caminhoes es L perando serem carregados. R Fig. 1.9 de caminhoes 1 2 3 4 5 em fila p probabilidade 0,2 0,1 0,3 0,1 0,1 0,2 Resp. a) 9/11; c) 0,9438 Se tempo para se carregar caminhao e independente do tamanho 34) sistema que esta na Fig. 1.10 e formado por quatro componentes da fila, ache a probabilidade de que tempo de espera seja menor de igual confiabilidade. que 5 min: a) se ja existem 2 caminhoes no sistema quando o caminhao chega; onde e G 3 sao gerado G1 M 2 b) se conhecemos tamanho da fila no instante da chegada. A B res e M2 e sao moto- res. Resp. a) 0,25; b) 0,375. G3 M4 Fig. 1.10 33) a) Um homem para ir para casa pode escolher um caminho que passa Se cada componente tem confiabilidade igual a 0,9, qual e confia por uma ponte ou que passa sob um tunel. Ele varia seu percur- bilidade do sistema? so escolhendo o tunel 1/4 das vezes. Se ele utiliza o percurso b) Dadas as caracteristicas do serviço, convem uma con- do tunel, chega em casa as 80% das vezes e quando o faz fiabilidade do sistema superior 0,98. Com esse objetivo pen- pela ponte ele chega as 18h, apenas 70% das vezes. Se sao 18 h sou-se em agregar um outro sub-sistema gerador (G5) motor e ele nao chegou, qual e 8 probabilidade de ter ele utilizado em paralelo com as caracteristicas anteriores. Foi al- a ponte? cançada a confiabilidade desejada? b) A probabilidade de fechamento de cada do circuito apresen G M 1 2 tado e representada por p. Se os reles funcionam independente- mente, qual e a probabilidade de que haja corrente entre os 1.11 A M 5 terminais? L G5 IA</p><p>30 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 31 c) No item b) custo de aquisição e instalação superava as possi Preço u.m.) bilidades financeiras da empresa. compo- nente D Um engenheiro propoe a seguinte solução, incorporar um quinto 1 D1 2 2 elemento (gerador) com um dispositivo de que E1 0,8 0,95 380 470 acionar de forma indistinta os motores M2 e custo dessa 4 E2 0,7 0,70 217 217 solução (Fig. 1.12) e 45% daquela do item b) e poderia ser ab- sorvida pela empresa. A confiabilidade do elemento e igual E3 0,8 0,95 37 122 a 0,8. Qual a que devemos tomar se o acrescimo percentual na Qual e agora a confiabilidade G1 M 2 confiabilidade deve corresponder a no maximo dobro de aumento do sistema? Satisfaz a condi no preço do sistema (por exemplo se existe um acrescimo percen- pedida em b)? A B tual de 5% na confiabilidade do sistema, so vale 8 pena implanta- Supor que o funcionamento (ou G5 la se existir no maximo um acrescimo de 10% no preço)? falha) dos componentes e inde G3 pendente entre si. Fig. 1.12 Resp. Tomar a D2 a) 0,9639; b) c) 0,98478>0,98. 36) Na rede de indicada abaixo, as falhas nos elos (acoplamento) sao independentes e cada elo tem probabilidade de 35) Seja um sistema formado por 3 componentes e con- falhar q (0</p><p>32 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 33 d g (para tanto basta que haja ao menos um caminho). Aplique para A e f B b) 2p3 0,8008 b h 39) a confiabilidade de seguinte configuração Fig. 1.14 0,9 0,9 0.95 37) Seja um sistema formado com 7 elementos conforme se mostra ne B A Fig. 1.15. b 0,95 0,8 c d 0,95 b b A B Fig. 1.17 c b Adote que o funcionamento de cada componente independente de to Fig. 1.15 dos os outros. Dadas as confiabilidades individuais 0,985538. = 0,98, = 0,90, 40) Considere sistema representado na Fig. 1.18. calcule a confiabilidade do sistema ou seja probabilidade de pas Diz-se que o sistema e operavel quando cada estagio e operavel. sar de A ate B. Suponhamos que todos os componentes dentro de cada estagio traba Resp. : lham em paralelo e que possuem circuitos de ligação que tem pro de colocar um novo componente no circuito quando um 38) 6 ponente antigo falha. 7 Naturalmente se todos os componentes de um estagio falharem, en- 2 tao o estagio e não operavel. 3 8 Suponhamos ainda que os componentes de cada estagio sao A B Em particular, cada um dos componentes nos estagios (1), (2),(3) e (4) tem as probabilidades e de falhar respectivamen Fig. 1.16 5 te. Dado o circuito da Fig. 1.16 onde todos os elementos sao iguais e Ache a probabilidade que sistema opere (essa probabilidade e funcionam independentemente tendo probabilidade de estar em fun chamada confiabilidade do sistema). cionamento, ache a probabilidade de passar corrente de A para B.</p><p>34 VICTOR MIRSHAWKA 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Estagio 1 APLICANDO Estagio 3 ESTATÍSTICA Estagio 2 Fig. 1.18 Resp.: 0,44. Estagio 4 41) Dados os circuitos abaixo veja as Fig. b, qual e de con fiabilidade maior? Ache o valor dessa diferença. Suponha que o funcionamento de todas as chaves independente en- tre si e todas sao iguais com probabilidade p de estarem desempe- nhando a sua função ate tempo T. Aplicação numerica para p = 0,9. 2 1 2 3 3 1 4 "Presente das arábias" A A B B 5 5 6 1 6 O Xeique Achmed Ben Achmed, soberano dos Ben Azouli, prometeu dar à sua esposa predileta, um preciosíssimo colar, desde que ela adivinhasse de Circuito A B quantas pérolas ele era composto. Achmed Ben Achmed esclarece a bela Fátima de que o colar é feito com a) Fig. 1.19 b) jóias cujo peso aumenta, uniformemente, desde as duas pérolas extremas, que pesam 1 "carat" cada uma até a pérola central, que pesa 100 "carats". O peso do colar completo é de 1650 "carats" mas o peso do fecho e do fio Resp. Circuito B tem = 0.0914. igual a tantos "carats" quanto pesam as pérolas que formam o colar Achmed relembra ainda a Fátima que existem 2n + 1 pérolas, face à si metria do colar.</p><p>"A Lagosta" A "Lagosta" da figura abaixo é composta de 17 pedaços. Você conseguirá redistribuir essas partes de modo a formar um círculo e um quadrado (concomitantemente) ? 4 3 3 7 6 5 2 8 6 5 2 7 3 3 4 Resposta "Visão Espacial" "Presente das arábias" Eis alguns probleminhas de visão espacial pa- os leitores quebrarem a cabeça: A linda Fátima, que não era somente a mais formosa, mas também a mais inteligente esposa do Xeique dos Ben Azouli, lhe forneceu, rapidamente, a so- lução do problema: O peso das pérolas será 101.n + 1 e o do fecho mais o fio 2n + 1 sendo que o peso total é igual a 103.n + 2, donde: 103.n + 2 = 1650 Fátima encontrou o total de pérolas igual a 33, e. em seguida a diferença de peso de 99/16 "carats", de uma pérola para outra.</p><p>"A Lagosta" VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 4 7 3 3 7 3 3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4 5 5 1) Na de um edifício de 20 andares a quantidade disponível 8 6 de um certo material (digamos cimento) e uma variavel que pode ser 2 descrita pelo diagrama de frequência abaixo. 6 2 % por unidade 0.6% Fig. 2.1 100 150 200 250 300 de Respostas material A quantidade de material usada num dia de trabalho e de 150 unida- des (sacos) ou 250 unidades com as probabilidades 0,70 0.30 res- pectivamente. "Visão espacial" a) Qual e 8 probabilidade de termos falta de material num dia? Temcs falta sempre que a quantidade de material me nor do que quantidade necessaria para aquele dia de trabalho na construção. b) Se existe uma falta de material, qual a de que se tenha menos do que 200 unidades disponíveis?</p><p>VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTAIÍSTICA a) Seja quantidade de unidades do material que utilizada Seja a distância do ponto em que foi dobrado arame ate Sabemos que: extremo mais Entao a area do sera dada pela = e = 0,30. Se A e a quantidade disponível a probabilidade de termos falta 20 cm de material e dada por: = 250) a) = b) Fig. 2.2 (o leitor deve observar os valores acima forem obtidos o auxílio da Fig. 2.1.) De com enunciado temos a ou 10x Donde = P(B=250) Portanto pode estar nos intervalos ou e consequentemente a moldura retangular obtida se ponto cai em um dos intervalos. ou (17,20) = 0,35 Dessa forma se representarmos por B evento a area do menor que 21cm2 temos pedaço de arame de cm de comprimento em um ponto escolhido casualmente ponto de curvature = 0,6 mente). Apos isto arame em dois pontos com que se obtem A justificativa geometrica esta na Fig. 2.3. um contorno retangular. Achar a probabilidade de que a area do obtido não ultra- passe 21</p><p>42 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Deve-se observar que essa probabilidade serve 3 obtida da dos "intervalos" Como: nos quais ponto satisfaz a 7 = = 16 t em ao intervalo ou comprimento total. 100% serve 13 = + 4,25) Portanto 17 serve Fig. 2.3 P(T</p><p>44 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 45 b) Suponha que a capacidade atual da rodovia depois da constru- ção e ou 300 ou 350 veiculos/hora com probabilidades e respectivamente. Qual e a probabilidade que capacidade 1 75 rodovia seja excedida? 100 ros) 75 150 100 200 A. Sejam TN trafego normal e TP = trafego pesado. 100 2 (carros) a) trafego normal b) trafego pesado Sabemos que Fig. 2.4 Seja C* evento a capacidade da rodovia e ultrapassada. Se em um certo dia a probabilidade de termos trafego normal e Entao vezes maior que termos trafego pesado, qual e a probabili- dade de que a capacidade da rodovia seja ultrapassada? B. volume de trafego por hora para uma certa rodovia distribui- se conforme mostrado na Fig. 2.5. f(x) onde volume de trafego no caso e no caso e sendo que h=? 0,180 100 200 300 400 X leitor deve notar que essas probabilidades foram calculadas dire 2.5 tamente achando as areas dos triângulos a direita dos "pontos" a) Um engenheiro de trafego pode planejar a capacidade da rodo- 100 e 140 nas Fig. 2.4 a e b. via como sendo igual a: B. Da Fig. 2.5 tira-se valor de h (altura do triângu- i. moda de X ii. média de X 400 h h iii. mediana de X iv. que e percentil de Assim a f.d. e para Determine capacidade planejada para a rodovia e as correspon- 60000 f(x) = dentes probabilidades de exceder a mesma para cada um dos qua- 1 para 400 50 20000 tro casos.</p><p>VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA L- A moda e ponto mais "alto": por direta. temos = Assim 5) Consideremos uma coluna de suportando uma "carga" S a qual es- ta inclinada de um ângulo e em relação a vertical como mostrado na ii. 60000 X dx + 400 20000 ) dx Fig. 2.6. 300 Aqui S e e sao v.a. com medias e desvios padroes respectivamente iguais dx = 60000 rd. iii. Representemos a mediana por M entao Determinar a media e desvio padrao do momento fletor maximo que d = 60000 aparece na coluna devido a força S. e S Adotar que S e sao v.a.i. 0 momento maximo ocorre na base da = coluna e a sua expressao e h=5m 400 iv. ( 50 20000 = 0,10 Dai temos que Dai pode-se tirar Fig. 2.6 = sen 30° = 250 N.m b) Seja a capacidade da auto-estrada A variancia correspondente e dada pela expressao P(capacidade as + v(e)</p><p>48 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA sen = = 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS vem observação importante: A da media estimada do momento pode ser melhorada usando 1) Supondo que X e uma v.a.d. como f.p. p(x) dada pela tabela a aproximação de 28 ordem. X -3 -1 1 2 3 5 8 Assim p(x) 0,2 0,15 0,2 0.15 ache as seguintes probabilidades: a) X e negativo b) X e par c) X se encontra entre os valores 1 e 8 inclusive sen = 249 Nm Isto mostra portanto que a aproximação de la ordem e bastante pre- Resp. : a) 0,3; b) 0,3; c) 0,55; cisa para esse caso. 2) Se uma v.a.d. X pode assumir os valores 5, verifi que se cada uma das expressoes abaixo define uma função de probabi lidade. a) p(x) = Resp.: a) Sim; b) c) d) Nao 3) Uma companhia de seguros obtem a seguinte distribuição de probabi- lidades para acidentes dos seus assegurados no decorrer de um ano 0 1 2 3 0.3 0,4 0,2 0,1</p><p>50 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE E 51 Adotando a suposição da independencia de acidentes em qualquer ano Supor que a saida de qualquer uma das regines em relação aos anos anteriores achar as probabilidades de termos Resp. a) 1/4: b) 0,14645. assegurados com exatamente: a) acidentes em 4 anos: c) nenhum acidente em 4 anos; 7) Em um círculo e inscrito um quadrado. b) 10 acidentes em 3 anos: d) 2 3 anos. Achar a probabilidade de que: Resp. a) b) c) d) 0.024 a) um ponto aleatoriamente no interior do tam bem no interior do 4) 11m numero e escolhido ao acaso entre b) de cinco pontos, lançados aleatoriamente dentro do circulo, um Qual e valor de n para que a media e a dessa se- caia tambem dentro do quadrado e cada um dos outros caia em ca- jam da um dos segmentos circulares, Sabe-se que Supor que a probabilidade de queda de qualquer um dos pontos den- n(n+1) 1 tro de qualquer uma das partes do circulo depende apenas da area = 2 dessa parte e e proporcional a mesma. 6 Resp. a) 2 b) 0,0052. Resp. 8) Sobre um segmento AB de comprimento a sao marcados aleatoriamente 5) Uma barra quebrada em tres partes, escolhendo-se cinco pontos (atraves do lançamento de uma agulha). te os pontos de A probabilidade de se marcar pontos sobre qualquer um dos trechos A probabilidade que ponto em que se quebra caia em qualquer ponto do segmento depende apenas do comprimento dessa parte e e propor- da barra, depende apenas do comprimento da parte e e proporcional a cional a ela. mesma. Achar a probabilidade: Achar a probabilidade de que das tres partes obtidas possa se for- a) de que dois pontos encontrem-se do ponto A a uma distancis mar um triângulo. menor que e tres a uma distância maior que 0,25. b) de que dois pontos sejam marcados no terço da esquerda, um no meio e dois no terço da direita. Sobre uma esfera e traçado um sistema de coordenadas esfera e no plano. Achar de ele te- Resp. como ponto de contato um ponto que se encontre: DE regiao de longitude entre 81 c) de latitude norte entre</p><p>52 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E 9) Um ponto e casualmente dentro de um circulo de raio R. A probabilidade do ponto cair em uma regiao qualquer disposta no = interior do circulo e proporcional a area da regiao. Achar a F.D., a esperança matematica e desvio padrao do do centro do circulo. 12) a) Uma v.a.c. X tem uma distribuição de Cauchy quando a sua f.d.e para para Resp. para para Calcule a b) A porcentagem de uma substancia (100 X) em um certo composto pode ser considerada como uma X que segue a lei 10) para f(x) = O para para valores de f(x) = caso contrario i. Verifique se f(x) f.d. e faça seu grafico. Determine: ii. Ache a F.D. e faça seu grafico. a) k para que tenhamos uma iii. Calcule a media e a moda da distribuição b) E(X): iv. Calcule c) Suponha que preço de venda desse composto dependa dessa d) a substancia. Particularmente se composto se e) vende por C1 cruzeiros por lata de 20 litros, caso con- 21 27 b) c) trario ele vende por cruzeiros por lata. Se custo 401 320 for cruzeiros por lata de 20 litros qual e a esperança 37 + de lucro líquido? 80 11) Uma tem a f.d. indicada no intervalo abaixo e fora ela e nu la. b) calcule para calcule para e calcule k,</p><p>54 EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA VICTOR MIRSHAWKA 55 13) A distribuição de X, vida de um transistor, em horas tem a seguin- 15) a) Uma X tem a f.d. para ) para f(x) = para outros valores de para outros valores a e a a) Qual e valor de a? b) Uma b) Qual e a vida media dos transistores? c) Qual e a F.D. de X? = para d) Se Y for uma v.a. tal que qual e a para outros valores de Calcule a) 2; b) 1000 3 c) custo de de uma usina hidreletrica para um determi para nado consiste de um custo fixo C1 cruzeiros independen 14) Um posto de gasolina recebe líquido uma vez por semana. As ven te da quantidade de eletricidade gerada e um custo de cru- das do passado sugerem que a distribuição de probabilidade das zeiros por kw.h gerado. Toda a energia gerada pode ser vendi- vendas semanais X medida em dezena de milhares de litros da a preço de cruzeiros por kw.h. A possivel quantidade de e função da chuva de região. Esta tem f.d. que permite calculo da f.d. do kw.h gerado, e para qualquer outro valor de para Calcular: Qual lucro esperado? a) para b) c) d) a minima quantidade de gasolina que posto deve armazenar por semana se mesmo nao quer que em mais de 8% do esteja vazio semanalmente quando caminhao tanque vier. a) 0,195; b) 0,575; c) d) 2,6 mil litros. 16) 0 tempo de duração da de uma força sobre uma estruture e uma v.a. tendo f.d. mostrada na Fig. 2.7.</p><p>56 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 57 b essa f.d. quais sao os valores de 8 12 16 Qual e a Esboce o seu grafico. Fig. 2.7 a) Ache os valores apropriados de a e b para que se tenha realmen c) Considere-se uma variando de ate 3 e cuja f.d. é te uma f.d. b) Qual e a media e a mediana de T? c) Qual e a probabilidade de T ser maior ou igual a isto e, Calcular os valores de (media), (moda). (mediana) para Como temos f(x) = + = 1 obtida resolvendo a 18) Um aviao de bombardeio executa direto sobre uma estrada de 0,9375 ferro levando 3 bombas. Se uma cai a menos de 40 m da estrada ela provoca danos e 17) a) Uma X tem uma f.d.f(x) = para -00 esta ficara suficientemente destruida para que naja a interrupção e Qual e o valor de a para que essa função seja realmente uma do trafego. f.d.? A f.d. dos vem dada função Qual e a 10 000 b) Uma f.d. e definida da seguinte forma k sen para para e em qualquer outro caso Pergunta-se qual deve ser valor de k para que seja onde representa desvio horizontal da estrada de ferro. Caso f.d.? se as 3 bombas qual e a probabilidade de que via fi- que</p><p>58 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 50 19) h. A resistencia lateral de um portico de pequeno tem a seguinte f.d. = para em contrario para e valor Calcule a) Faça grafico da f.d. e da F.D. c) Calcule com a f.p.c do ítem b) a probabilidade b) Determine c) Qual e C.V.? sabendo que d) Qual e o coeficiente de assimetria? para B. Uma bomba de gasolina e reabastecida uma vez por semana. Resp. a) Se o volume de vendas semanais, em milhares de litros tem uma outros valores f.d. f(v) = 5(1-v)4 para qual deve ser a capacidade do tanque de modo que a probabilidade que se esgote a gasolina numa dada semana seja 0,03708. = = 21) (X,Y) e uma bidimensional cuja f.d.c. e dada por: 0,149; d) nula para B. 601,9 litros. a) = em contrario Ache 20) a) Para duas X e Y a f.p.c. tem a forma sen(x+y) para b) f(x,y) = para c) f(x,y) = 24(1-x-y) para e p(x,y) = para outros valores de em caso Calcule a f.p.m. de X. 2 para d) = em caso contrario. Ache b) Uma f.p.c. tem a forma e) = { 12xy(1-y) para em caso contrario. Mostre</p><p>VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E no de calendarios Resp.: para probabilidade solicitados 5000 0.30 sen 6000 0,20 7000 0,10 2 2(1-x-y) 8000 para 0,20 9000 0,10 10000 0,10 preço unitario de cada aquisição de calendarios e e 22) Um sistema eletrico tem dois tipos de resistores instalados tipo preço unitario de venda e 0,70 u.m. Todo calendario nao vendido A e tipo B. Resistores sobressalentes sao estocados para que torna-se obsoleto e deve ser o que implica na ausencia se possa substituir aqueles que No estoque ha 1000 do tipo de qualquer renda para o distribuidor. Outros custos de manuten- A e 3000 do tipo B. provavelmente insignificantes. Com base nessas informa- Contudo ambos os tipos estao guardados juntos e consequentemente distribuidor deseja saber quantos calendarios devem quando uma troca e feita um resistor sera escolhido ao acaso do ser encomendados. estoque total e dessa forma possivel ocorrer uma substituição 24) Um vendedor adquire uma revista por u.m. e vende a u.m. incorreta. Todas as revistas empatadas do fim do mes sao vendidas como papel Supondo que A falhe) = 0,15 e B falhe) = e velho, proporcionando ao vendedor u.m. por revista. Determi admitindo que se um resistor tipo A for substituido por um tipo ne pedido mais economico calculando o lucro medio ou lucro es- ocorrera uma perda de C1 watts e caso contrario ocorrera uma per perado para cada alternativa se temos a seguinte distribuição de da de 2 watts. Qual e a perda esperada em watts depois de duas probabilidades para cada demanda mensal dessa revista. substituições? Adotar que um resistor substituto nao falhe subse probabilidade de quantidade solicitada ocorrencia 100 0,30 Resp. E(P) 2 = 120 0,30 8 140 0,20 23) Suponhamos que um distribuidor de calendarios deva comprar seu su 160 0,10 180 primento para ano entrante, bem antes do seu Ele estima 0.10 que quadro de demanda desse artigo seja seguinte Resp. melhor comprar 123 revistas.</p><p>62 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 63 25) Mede-se um terreno de forma quadrada por meio de fotografias a) Conhecida a tabela aereas. A qualidade da fotografia e tal que as probabilidades de erro sao da seguinte ordem: total de caixas por dia Probabilidade Erro em metros -30 -20 -10 10 20 30 25 0,10 Probabilidades 0.05 0.08 0,16 0,42 0,16 0,08 0,05 26 27 AS fotografias indicam 350 m de lado. Qual e o valor medio da area 28 do terreno? 0,10 1,00 b) Uma fabrica certa peça de uma maquina. Se a peça es- ta em perfeitas paga-se 1000 e se resulta de- e sabendo que preço de compra e 8 u.m. e o preço de venda é feituosa 750 u.m. 10 u.m. qual e a quantidade a estocar para se ter o maior Pode-se prover a peça antes da entrega que significa um gas- lor esperado de lucro? to de 10 u.m. e se resulta defeituosa deve-se gastar 50 u.m. b) Se tivermos de prever com certeza qual e a demanda para corrigir a imperfeição. do dia seguinte (neste caso estoque seria sempre igual de i. Sabendo que 2% das peças fabricadas sao dese manda) qual seria o lucro esperado? ja-se saber se e util ou realizar c) A diferença entre o valor encontrado em b) e a) chama-se va- ii. Qual e a atitude da industria supondo que 6% das lor esperado da informação perfeita [V.E.I.P.] Quanto e cas sao defeituosas? V.E.I.P.? É obvio que deve-se supor que muitas peças serao a) 26; b) 53,2 ; c) u.m. das durante muito tempo. Resp. a) 27) A f.d.c. de uma bidimensional b) = 995 (não convem fazer teste) ii. 987 u.m. (deve realizar-se teste) k(x+y)2 para a) = em caso contrario. Calcule 26) Suponha que um vendedor esta frente problema de quantas caixas de um certo produto deve estocar para a demanda de que toda caixa de produto vendida no fim do (dia) b) = cosy para representa uma perda completa para Adote que o em caso contrario. toda demanda satisfeits nao traz nenhum custo & ser a per Calcule voltara no futuro.</p><p>64 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E 65 c) = para Se - 18 calcule E(2) e c) Qual seria v(z) do item b) se soubessemos que Calcule 30) a) Sabendo que uma X tem f.d. Resp.: 28) A f.d.c. de uma v.a. bidimensional e: para ache a) b) Sabe-se que X3 sao nao correlacionadas com medias e desvios padroes = conhecidos. Ache Calcule o coeficiente de correlação entre onde b) f(x,y) = para contrario. e Ache para 3X + 4Y o seu valor medio. 31) Aplicando os metodos aproximados calcular a esperança e a varian- c) f(x,y) cia da W dada pela sabendo que b = 5 Ache E - 29) a) Seja X uma tal que a sua f.d. e b) = para conhecidos em caso contrario. Ache E(X), E E - conhecidos e uma k sendo b) Sejam X e Y duas sendo que X e aquela do ítem a) e Y constante. tem</p><p>66 VICTOR MIRSHAWKA 32) Se X e uma v.a. tal que = 13 utilizando a de- 3* sigualdade de Chebyshev determine inferior para DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ESPECIAIS b) sinal de em um receptor de radar tem carac- teristica que se mostra na Fig. 2.8. A potencia media do sinal de é 10-8 enquanto que o desvio padrao Estimar a quantidade mínima de tempo que o sistema operara se a potencia permitida do misturador de cristal no receptor antes que ele entre em fusao 10-3 W. "Torneio em Reikjavik" Suponha que a potencia em cada intervalo e independente dos va lores dos demais intervalos. f(t) REIKJAVIK URGENTE Após a sensacional disputa da Coroa Mundial entre o norte-americano Bob Fischer e o so- viético Boris Spassky, as autoridades governamentais islandesas decidiram promover um Torneio Mundial, do qual participarão Grandes Mestres Internacionais e o próprio campeão do mundo que, evidentemente, não colocará em jogo o título recém-conquistado, mas que ira prestigiar o com a inclusão de seu nome. t Fig. 2.8 Torneio Internacional será realizado em partidas e dele participarão 32 jogadores, todos Mestres Internacionais." Com base na notícia acima, nos diga qual a possibilidade do nosso c) Determine utilizando a desigualdade de Chebyshev o valor de h único Grande Mestre Internacional, Henrique da Costa Mecking, (Me- quinho), enfrentar o Campeão Mundial, sabendo-se que todos os joga- que garanta com ao menos 90% e 99% que valor de X esta no dores estão em mesmo nível. intervalo & no Resp. a) 0,84; b) 1111 h; c) 3,17 e 10.</p><p>"Ora bolas" E = MC2 O engenheiro Sílvio tem três caixinhas sobre sua mesa de trabalho. Uma delas tem no seu interior duas amostras de minério preto, outra com duas amostras de minério branco e, finalmente, uma terceira com uma amostra negra e outra branca. As caixas tinham suas etiquetas correspondentes - PP. BB e PB - mas, a secretária nova trocou-as de Resposta modo a ficarem todas com as tampas erradas. Tirando uma amostra por vez, de cada caixa, sem olhar para o interior, qual é o menor número de amos- tras a tirar para que se determine o conteúdo exato das três caixas? "Torneio em Reikjavik" todos os jogos são exclusivos, mutuamente, e realizados aditiva com de todos probabilidade Como os participantes permite que classificados se escreva num os 2" mesmo jogos: nível, a p DESVIO PADRÃO EM</p><p>"Ora bolas" = MC2 engenheiro Sílvio tem três caixinhas sobre sua mesa de trabalho. Uma delas tem no seu interior duas amostras de minério preto, outra com duas amostras de minério branco e, finalmente, uma terceira com uma amostra negra e outra branca. As caixas tinham suas etiquetas correspondentes - PP. BB e PB - mas, a secretária nova trocou-as de Resposta modo a ficarem todas com as tampas erradas. Tirando uma amostra por vez, de cada caixa, sem olhar para o interior, qual é o menor número de amos- tras a tirar para que se determine o conteúdo exato das três caixas? "Torneio em Reikjavik" Como todos os jogos são exclusivos, mutuamente, e realizados aditiva com de todos os participantes classificados num mesmo nível, a lei probabilidade permite que se escreva os 2" jogos: p = = 0, 0625 DESVIO PADRÃO EM</p><p>3 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ESPECIAIS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ANÁLISE 1) Ns de produção de uma industria existem 10 que po- dem necessitar de ajuste no decorrer de um Três dessas maqui- Resposta nas sao velhas e cada uma tem probabilidade de precisar de ajus 11 te num certo dia e 7 sao novas tendo probabilidade 1/2 de precisar 1 21 de ajuste em um certo dia, Adotar que nenhuma maquina precisa de mais de um ajuste por dis e 8 independencia de um dia para "Ora bolas" Achar a probabilidade que, em um certo dia: a) apenas duas velhas e nenhuma nova precisem de b) se apenas duas maquinas pre cisam de ajuste, que as mesmas sejam do mesmo tipo. É possível determinar-se o conteúdo das três cai- xinhas, tirando-se apenas uma amostra de uma delas. Sejam as A chave da solução é o conhecimento prévio de que todos os rótulos estão errados. É preciso, então, retirar uma amostra da caixa que numero de maquinas velhas que precisam de ajuste tem a etiqueta PB. (em 3) Suponhamos que a amostra retirada é de minério branco. Então, ficamos sabendo que a outra amostra = numero de maquinas novas que precisam de ajuste dessa caixa também é pois, do contrário, a eti- 7) queta estaria certa. Uma vez identificada a caixa con- tendo as amostras de minério branco, podemos logo indicar a caixa contendo as pretas. pois sua etiqueta Assim: também deve estar errada e não pode ser a marcada a) com PP. Seguindo idêntico raciocínio. resolvemos o problema se a amostra retirada da caixa PB for preta.</p><p>72 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 73 c) lote de um determinado produto de tamanho 100 chega setor de controle de qualidade do qual sem 10 = Qual e probabilidade que o lote seja aceito, se pa- tanto, na amostra se deve ter mais de um defeituoso? Sabe-se que a qualidade do produto e 5% de defeituosos. Compare a sua resposts com aquela que se obteria se utilizasse b) a binomial como uma aproximação da distribuição hipergeome- trica. Qual e o erro relativo porcentual? a) Sejam e as v.a.d. Podemos agora calcular a probabilidade condicional pedida: de chapas boas P1 = 0,90. = numero de chapas com apenas uma falha P2 2 = numero de chapas que tem mais de uma falha 0,04. Assim: 2) a) Em um processo para a obtenção de folhas de flandres (folha de ferro laminada revestida de estanho), a probabilidade de uma pa ser boa e 0,90, de ter somente uma falha e 0,060 e de ter b) mais de uma falha e 0,04. Qual e a probabilidade que numa amos Analogamente se calculam os outros casos e a probabilidade pedi tra aleatoria de seis chapas tenhamos 3 chapas perfeitas, 2 com apenas uma falha e 1 com mais de uma falha? b) Em um canteiro de obras existem 4 compartimentos onde dormem os 12 1 trabalhadores. Se os compertimentos sao escolhidos aleatoriamen = 0,6229 te pelos empregados qual e a probabilidade que nao tenhamos ne- nhum compartimento vazio se temos no momento 8 empregados? c) esquema para o calculo e seguinte 5 defeituosas 0,1 defeituosas As possiveis distribuições nos compartimentos sao: retiram-se 100 10 sem reposição (4, 2, 1, 1); (3, 3, 1, 1); (3, 2, 2, 1) e 95 boas 10.9 boas (2, 2, 2, 2), onde (5, 1, 1, 1) significa que temos 5 emprega dos em um compartimento e 1 empregado em cada um dos outrostres.</p><p>74 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE E ESTATISTICA 75 Dessa probabilidade de aceitar hipergeometrica e: Solução: 1 posto a) Temos = Portante em 25 km temos em media 10 km 10 10! = Assim P(Aceitar) = 0.9231 a) Pela distribuição binomial teriamos 2.53 e-2,5 + 2! 3! = 0.543813 = = 0,9139 b) = Assim o erro relativo percentual e onde Y e numero de postos com gasolina entre proximos 3 = = 0,00997 postos. c) P(ficar na estrada) = P(Todos postos estao sem 3) Os postos de gasolina ao longo de uma rodovia de gasolins do com a lei de Poisson uma media de 1 posto cada 10 km. Temos 2= = 1,5 postos em nos proximos Em viste da greve de gasolina existe uma probabilidade 15 km. 0.2 que o proximo posto nao haja gasolina. Adotar que as "disponibilidades" de gasolina nos diferentes postos P(ficar na estrada) = sao estatisticamente independentes. a) Qual e 8 probabilidade que existem mais que 2 nos pro (0,3 ximos 25 km? b) Qual e 8 probabilidade de que nos proximos 3 postos nenhum -1,5 0,301 gasolina para vender? c) Um motorista que esta ne estrada nota que mostrador de combus- 4) a) ocorrencia de mares acima de um certo nivel pode previste tivel do seu carro indica "tanque vazio". pels lei de Poisson tendo uma certa regian A a media de De "experiencias" em semelhantes ele sabe que pode ir ocorrencia de 1 vez cada 8 anos. mais 15 km. Ache as probabilidades para um de 10 anos de i) não ter Qual a probabilidade que ele fique estrada por de com nenhuma dessas mares; ii) ter mais que tres dessas mares. bustivel?</p><p>76 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE E ESTATÍSTICA b) Uma estrutura esta localizada região A. = A probabilidade de que, ela seja inundada e estragada quando ocorrer a more do item a) e 0,05. Ache probabilidade de que a "sobrevive" se nao exis tirem mares, se existir 1 mare, se existirem n mares. Suponha que existe a independencia estatistica entre as mares. c) Determine a probabilidade que a estrutura sobreviva o de 10 anos. -1,25 1,25.0,95 = 0,939413 i! pa- 8 i ra item c) ex x = i=0 i=0 5) Em uma fabrica determinado tipo de peça apresenta 4% das mes- mas defeituosas. a) Como a taxa de ocorrencia e 1 mare entao em 10 anos teremos fabricante pressupoe 8 vende de uma de N = 2000 peças, re 8 anos em media 1.25 mares. cebendo propostas. Seja X a v.a.d. numero de mares altas em 10 anos. a) comprador A examina uma amostra = 100 peças e pagara 50u.m. Entao por peça, se houver ate 3 na Em caso con- i) 0,286505 trario pagara u.m. por peça. ii) b) comprador E examina n = 10 peças, dispondo-se a pagar 55 por unidade, se todas as 10 forem perfeitas; pagara 25 se 0,0382684 houver alguma b) Seja D evento danificar a e D' o seu complementar. c) comprador C oferece 35 por peça sem efetuar teste algum. Sabemos que P(D) = 0,05 e = 0.95. Qual e 8 melhor oferta para a industria? Assim: a) Uma vez que (pequeno) pode-se utilizar a distribuição = de Poisson que n e grande (n = 100). Seja X o numero de defeituosas em uma amostra da tamanho 100 c) Representemos por S o evento a estrutura sobreviver período de 10 anos. valor que se tira diretamente das tabelas entrando</p><p>78 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E 79 4. Assim o preço medio ou esperado que se obtem com o comprador A 3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS b) Com p e relativamente pequeno podemos tambem para usar a Poisson (o leitor pode fazer esse calculo com a binomial). 1) Uma empresa tem por norma atender os pedidos num prazo de uma sema- Agora 4 e assim na. e = 0,330 Se apenas 5% dos clientes tem seus pedidos atendidos em a empresa considera o de atendimento. Assim = Diversas reclamaçoes parecem indicar que a proporçao de pedidos atrasados e superior a 5% sendo atualmente de 10% Como a proposta do comprador C consiste em pagar 35 A companhia decide se pelo menos um pedido entre n estiver atrasa- pode-se concluir que o fabricante tera maior lucro se aceitar a do investigara processo de expedição com o intuito de altera-lo. proposta de B, seguindo-se de A e finalmente a de C. Quais sao as probabilidades disto ocorrer se a) = 3; b) n = É obvio que supoe-se que esse tipo de procedimento sera repeti- c) para as duas situações ou seja 5% e 10% de nao atendidos? do muitas vezes e que a qualidade do produto ou seja a porcenta gem de defeituosos mantem-se Resp.: probabilidade de atender um cliente Se isso fosse feito uma única vez talvez nao tomar risco nenhum n p = 0,90 fosse o melhor e esse tipo de e analisado na teoris da 3 0,1426 0,2710 5 0,2262 9 0,3698 0,6126 As probabilidades dentro do quadro correspondem a necessidade de ter que investigar processo de expedição. 2) a) Faça grafico de probabilidades simples para as binomiais b(x; 6:0,5) e b) Faça grafico de controle de qualidade para a resistência de (concreto protendido usando nas de uma</p><p>80 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 81 ponte e cuja concretagem leva aproximadamente 1 ano) que 3) Sabe-se que probabilidade de um aluno do curso de Mecanica faltar a resistência media populacional e 421 2 e numa amos as aulas num determinado dia e 0,2 e a probabilidade de um aluno do tra de n = 6 obtiveram-se os seguintes resultados curso de faltar e 0,3. Sao sorteados ao acaso dois alunos, corpo de um do curso de Mecanica e um do curso de Quimica. 1 prova (C.P.) 2 3 4 5 6 a) Qual a probabilidade de o aluno sorteado do curso de Química fal data 15/1 15/2 15/3 15/4 15/5 15/6 tar duas vezes numa determinada semana (6 dias úteis)? 385 357 297 303 298 323 b) Qual a probabilidade de aluno sorteado do curso de Quimica fal tar mais de quatro vezes num determinado mes (25 dias úteis)? c) Admitindo-se que a probabilidade de se obter um valor f c) Qual a probabilidade de nenhum dos dois alunos faltar durante e 0,5 (quer dizer que um concreto e produzido com uma distri- cc uma determinada semana? normal de resistencias) qual e a conclusas baseado em Resp. a) 0,32413; b) 0,90961; c) 0,03084. b(x,6; e no item b? Qual e a probabilidade de ocorrer o caso b)? 4) a) Numa fabrica examina-se, a cada hora 32 peças. Se for encontrada d) Admitindo-se que o concreto esteja sendo produzido com resistên pelo menos uma peça defeituosa, o processo de fabricação e in- cia característica ck de tal forma que a probabilidade de se terrompido e a causa e pesquisada. A porcentagem de peças defei- obter f cc ck e igual a 0,05 baseado na amostra tuosas produzidas pelo equipamento e conhecida e tem sido sempre de Considerando um dia de trabalho de 10 horas, quantas ve corpo de prova (C.P.) 1 2 3 4 5 6 zes por dia podemos esperar que processo seja interrompido data medio de interrupções) ? 15/1 15/2 15/3 15/4 15/5 15/6 Resistência b) Pequenos motores eletricos sao expedidos em lotes de 80. Antes 398 413 425 487 457 504 que uma remessa seja aprovada, um inspetor recolhe e inspeciona qual e a 8 desses motores (sem Se nenhum for 10- te e aprovado e despachado. Se encontrarmos um ou mais defeituo- Tomar fck = 430 kgf/cm2 SOS todos os motores sao inspecionados um a um. Considerando que Resp.: c) Os valores da amostra b) estao todos abaixo de 421 e ne na temos constantemente 5% de qual e a pro suposição de c) isso tem probabilidade 0,015625 o que nos babilidade da necessidade de uma inspeção 100%? faz desconfiar que houve mudança do centro do processo. c) Um aluno conhece bem 60% de materia toda. Num exame de 15 pergun d) A mesma pois = 0,002143 (muito tas qual e numero de acertos mais provavel? Qual e a probabili de ocorrer). dade dessa ocorrencia? Dado: a) 3 b) 0,35; c)</p><p>82 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 5) A vida útil da camada de de um trecho de 1 km de uma 7) a) Em 1978 verificou-se que ocorreram 22,4 mortes em acidentes de estrada pode ser descrita atraves de uma lei de probabilidades cha automoveis para uma população de mada log normal. Tomando essa estatistica como a estimativa da probabilidade de Atraves da tem-se os seguintes dados. que um brasileiro escolhido venha a morrer em P(A) e um acidente de automovel ache o tamanho minimo da amostra que onde A e B sao os eventos que 1 km de estrada necessite de reparo devemos observar para que com probabilidade de ao menos 0,99 te em 1 e 3 anos nhamos ao menos 1 das pessoas em um acidente fatal? Para um trecho da estrada de 4 km e supondo que a "vida" de qual- b) Um sistema de micro-ondas permite a comunicação a quer quilometro de estrada e independente dos outros, determine a uma comunidade de dez assinantes cada um dos quais usa siste- probabilidade de: ma durante 25% do tempo nas horas de pico. a) nao ocorrerem reparos no ano; Quantos canais sao necessarios para tornar o sistema disponível b) ocorrerem reparos em 2 dos 4 km no ano: durante as horas de pico: i) a todos os assinantes em ao menos c) ocorrerem nos 3 primeiros anos de uso. 90% do tempo: ii) a 90% dos assinantes todo o tempo? a) 0,960596; b) c) 0,9375. Sugestao: Resolva a parte i) do item b) por tentativas. Resp. a) 20556; b) i) ii) 9 6) a) A probabilidade de que em um unico tiro um atirador acerte no alvo e 0.4. 8) Temos seguintes sobre a velocidade maxima do vento V Quantos tiros devem ser dados para que a probabilidade de acer- dado ano ns em quilometros por tar pelo menos uma vez no alvo nao seja menor que Ano V b) A probabilidade que um certo evento aconteça pelo menos uma vez 1959 1969 76, entre tres experiencias independentes entre si e 1960 75.8 1970 76,4 Ache a probabilidade do aparecimento do evento uma vez em uma 1961 81,8 1971 72,9 experiencia. 1962 85,2 1972 76,0 Supor que a probabilidade desse evento nas tres experiências 1963 75,9 1973 79,3 a mesma. 1964 78,2 1974 77,4 a) ; b) 1965 72,3 1975 77.1 1966 1976 1967 76.1 1977 70.6 1968 1978 73.5</p><p>84 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE E ESTATÍSTICA 85 a) Baseando nesses dados estime a probabilidade de que V exceda 11) a) Uma pessoa num parque de joga tiro ao alvo ate acer- 80 km/h. tar. Qual a probabilidade de que ela acerte no 40 tiro se a probabilidade de acertar e constante e igual a 0,2? b) Qual e a probabilidade de nos proximos 10 anos termos mente 3 anos com velocidade maxima anual de vento excedendo 80 b) A probabilidade de 1 aluno ser aprovado e reprovado 0,2; km/h? e ter que fazer 2a epoca Em 12 alunos, qual e a probabi- lidade de termos 7 aprovados, 2 reprovados e 1 de 2a epoca? c) Se uma estrutura temporaria e projetada para resistir veloci dade maxima do vento de 80 qual sera a probabilidade de Resp.: a) 0,2304; b) 0,044. que essa velocidade do vento de projeto seja excedida durante o tempo de vida da estrutura que e de 3 anos? 12) Maquinas diesel utilizadas para fornecer energia eletrica preci sam ter uma alta confiabilidade de funcionamento durante uma emer d) Como mudara a resposta do item c) se a velocidade do vento no gência. Se a probabilidade requerida de que um motor diesel fun- projeto for aumentada para 85 km/h? cione no instante em que for ligado e 0,99, quantas partidas e) Quantos anos devemos observar para que com 0,8 ao necessarias para que ao menos uma vez se ache um insucesso com menos em um ano tenhamos um vento com velocidade superior a probabilidades: 85 km/h? a) b) c) Use o modelo binomial. Resp. a) 0,15; b) 0,1298; c) 0,386; d) 0,05; e) 10 anos que significa se em 298 partidas nao foi constatado nenhum in- sucesso? 9) Numa secção de uma industria metalurgica 10 prensas estao ligadas Faça um grafico que tenha n no eixo das abscissas e 8 probabilida a uma chave automatica que desliga quando a corrente atinge 60 de de ao menos um insucesso nas ordenadas. Cada prensa consome 3A girando em "vazio" e 7,5A quando em opera a) 69; b) 229; c) 298. Sabendo-se que cada prensa e solicitada em media uma vez por mi- 13) Na Fig. 3.1 temos um corte de 12m do solo onde pode se en- nuto e durante 12 ache a probabilidade da chave desligar num contrar rochas redondas que se aleatoriamente. Estacas instante qualquer. sao cravadas nesse solo e o perigo e encontrar essas rochas antes Resp. 0,0009. de atingir a profundidade e camada conveniente. Para simplicidade suponha que o solo esta dividido em quatro camadas de de pro- 10) Em um certo jogo a probabilidade de ganhar u.m. e e de per- fundidade cada uma e que a probabilidade de encontrar uma der e 0,6. Qual e a probabilidade de se ganhar ao menos 4C em cada camada e 0,02 e que a probabilidade de encontrar duas ou u.m. em 15 partidas? mais rochas na mesma camada e desprezivel. Resp. 0,3002. Qual e a probabilidade que: a)</p><p>86 VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATISTICA a) a estaca seja cravada sem bater em alguma rocha; 20 Resp. b) ao menos uma rocha seja encontrada no caminho da estaca; ) x=11 c) a estaca encontre 18 rocha na camada C? d) Suponha que a fundação de um pequeno edificio requer 8 dessas 15) Num certo exame com testes de multipla escolha sao dadas 5 ques- toes cada uma com 5 alternativas das quais uma e a certa. Qual e probabilidade de que i) nao sejam encontradas rochas re dondas ao se cravarem as Se um estudante estudou a materia ele tem probabilidade de res- ponder corretamente a questao. ii) de se encontrar rochas quando se cravam 2 delas? Se ele nao ele tera probabilidade de responder corre- tamente uma Suponha que existe independencia entre a forma de cravar as esta- o professor sabe do passado que 30% dos alunos estudam e 70% cas. Se um estudante acertou 3 questoes qual e a probabilidade que te- nha estudado? 3 A 0 Resp. 3 in camada 16) Uma firma recebe tres propostas para a compra de seu artigo. con 3 m canada C Proposta A do solo Examina 18 e paga 120 u.m. por peça (do lote) se existir no maximo uma defeituosa na amostra e 100 por peça caso contra- rio. Fig. 3.1 Proposta B a) b) 0,0192; c) 0,522; d) i. 0.1046 Examina 12 peças e paga 180 por se nenhuma defei- ii. 0,150. tuosa e 60 caso tenha uma ou mais. 14) Um fabricante afirma que em cada caixa que envia existem 12 pe- Proposta C boas e oito com pequenos defeitos. Vinte caixas sao inspecio- Nao examina nada e paga 115 u.m. por peça do lote. nadas por um comprador da seguinte forma, seis peças sao escolhi Qual e a melhor proposta para quem vende sabendo que das de caixa sem reposição e se mais que tres</p><p>VICTOR MIRSHAWKA EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 89 88 17) se testar um pneu de um caminhao em um terreno especial verifi vamente. cou-se que 25% dos mesmos Qual a probabilidade que 5 a Suponha que 10 tiros sao dados independentemente e ao acaso so (inclusive) pneus dos proximos 15 testados falhem? bre o alvo. b) Um engenheiro de controle de trafego verificou que 75% dos au- i. Calcule a probabilidade de que no maximo 3 tiros se alojem tomoveis que passam por um pedagio sao da marca M. na limitada pelos circulos de raios e Qual e a probabilidade que ao menos 3 dos proximos cinco car- ii. Se 5 tiros se alojarem no circulo de raio dm ache a pro ros que passarem sejam da marca M? babilidade de que ao menos um tiro esta no círculo de raio 1 c) Um indivíduo informa corretamente sobre um fato com probabili- dm. dade p. Para calcular a probabilidade de que um tiro atinja uma certa i. Se escutamos n individuos e decidimos aceitar a opiniao Area da zona utilizar a formula Area do alvo da maioria simples qual e risco de termos adotado a de- cisao errada? Resp. : b) 0,1018 ii. A mesma pergunta porem se decidirmos por ou mais infor- maçoes iguais. Adotar e para uma aplica 0,0035 numerica. iii. Quais sao as probabilidades de nao poder decidir em i. e ii? 19) a) lote formado de 14 artigos bons e 2 com defeitos, dois ar a) 0,3134; b) 0,8965; c) i. 0,0039: ii. 0,0006; tigos sao escolhidos ao acaso (sem reposição). Qual a proba- iii. 0,0155 e 0,0720. bilidade que ambos sejam defeituosos? b) Um aleatorio de 3 pessoas e formado a partir de um gru- 18) a) A mostra que 20% das pessoas que reservam mesas em de 4 enfermeiros e 3 enfermeiras. Se representa numero um certo restaurante nunca aparecem. de enfermeiros ache Se um restaurante tem 50 mesas e recebe 52 reservas, qual a de que nesse dia todos que comparecerem tenham c) um lote de 12 4 sao selecionados aleatoriamente e lugar para se sentar? acesos. Se lote continha 3 rojoes defeituosos (que nao vao estourar), qual e a probabilidade que i. os 4 estourem; b) Uma pessoa participando de um certo jogo pode ganhar 1 u.m.com nenhum estoure (dos 4 selecionados)? probabilidade e perder 0,25 u.m. com probabilidade 0,75. Qual e a probabilidade de ganhar ao menos 5 u.m. em 20 jogos? 1 22 Resp. b) c) i. 0.2545, ii. 120 35 c) Um alvo circular de raio unitario esta dividido em quatro 113 nas circulares concentricas COIL raios e 1 dm respecti-</p>