Contexto Aplicações - Roberto Dante - Vol 1 (2013)

Prévia do material em texto

<p>LUIZ ROBERTO DANTE</p><p>• Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP</p><p>• Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática, pela PUC – São Paulo</p><p>• Mestre em Matemática pela USP</p><p>• Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP</p><p>• Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e Médio – São Paulo</p><p>• Autor de vários livros, entre os quais: Didática da resolução de problemas de Matemática;</p><p>Didática da Matemática na pré-escola; Coleção Aprendendo Sempre (1º- ao 5º- ano);</p><p>Tudo é Matemática (6º- ao 9º- ano); Matemática Contexto & Aplicações (Volume único),</p><p>por esta editora.</p><p>1a edição</p><p>1a impressão</p><p>2013 – São Paulo</p><p>1Volume</p><p>Matemática</p><p>Ensino Médio</p><p>Manual do Professor</p><p>2</p><p>Gerente	Editorial: Margarete Gomes</p><p>Editora:	 Cármen Matricardi</p><p>Edição	de	texto: Lídia La Marck</p><p>Sônia Scoss Nicolai</p><p>Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.)</p><p>Kátia Scaff Marques (coord.)</p><p>Ivana Alves Costa</p><p>Maurício Baptista Vieira</p><p>Patrícia Travanca</p><p>Assessoria	didática: Eloy Ferraz Machado Neto</p><p>Sofia Isabel Machado Lucas</p><p>Pesquisa	iconográfica	e	cartográfica: Sílvio Kligin (superv.)</p><p>Cláudia Bertolazzi (iconografia)</p><p>Márcio Santos de Souza (cartografia)</p><p>Edição	de	arte: Rosimeire Tada (coord.)</p><p>Programação	visual:	 Catherine Saori Ishihara</p><p>Editoração	eletrônica: Formato Comunicação Ltda.</p><p>Maria Alice Silvestre Guimarães</p><p>Loide Edelweiss Iizuka</p><p>Ilustrações	e	gráficos: Formato Comunicação Ltda.</p><p>Capa:			Estúdio Sintonia</p><p>Foto da capa: Ewa Ahlin/Johner RF/Getty Images</p><p>Título	original	da	obra: Matemática – Contexto & Aplicações – Volume 1</p><p>© Editora Ática S.A.</p><p>2013</p><p>Todos os direitos reservados pela Editora Ática S.A.</p><p>Av. Otaviano Alves de Lima, 4400</p><p>5º- andar e andar intermediário Ala A</p><p>Freguesia do Ó – CEP 02909-900</p><p>São Paulo – SP</p><p>Tel.: 0800 115152 – Fax: 0(XX)11 3990-1616</p><p>www.atica.com.br</p><p>editora@atica.com.br</p><p>ISBN 978 85 08 12909-6 (aluno)</p><p>ISBN 978 85 08 12910-2 (professor)</p><p>3</p><p>ApresentAção</p><p>A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.</p><p>Aristóteles</p><p>Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos</p><p>fenômenos do mundo real.</p><p>Lobachevsky</p><p>Ao elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as ideias que abrem esta</p><p>apresentação. Isso porque nosso objetivo é criar condições para que o aluno possa compreender</p><p>as ideias básicas da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a elas, além de saber</p><p>aplicá-las na resolução de problemas do mundo real.</p><p>Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de maneira intuitiva e</p><p>compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porém mantivemos</p><p>o rigor coerente com o nível para o qual a coleção está sendo proposta.</p><p>Na abertura dos capítulos apresentamos informações gerais sobre o assunto que será discutido,</p><p>para preparar o aluno e despertar nele o interesse sobre o tema.</p><p>Antes de resolver os exercícios propostos, é absolutamente necessário que o aluno estude a</p><p>teoria e refaça os exemplos. Na seção Tim-tim por tim-tim, com exemplos comentados, explicitamos</p><p>as fases da resolução de um problema.</p><p>A seção A Matemática e as práticas sociais foi criada para formular, resolver e interpretar si-</p><p>tuações-problema que exigem a participação consciente do cidadão na sociedade.</p><p>Cada capítulo contém ainda uma seção de Atividades adicionais com questões de vestibulares</p><p>de todas as regiões do país, destinadas a revisar, fixar e aprofundar os conteúdos estudados.</p><p>No fim de cada volume foram incluídas questões do Exame Nacional do Ensino Médio</p><p>(Enem).</p><p>A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente trabalhados no Ensino</p><p>Médio, além de auxiliar o aluno em sua preparação para os processos seletivos de ingresso nos</p><p>cursos de Educação Superior.</p><p>Esperamos poder contribuir para o trabalho do professor em sala de aula e para o processo</p><p>de aprendizagem dos alunos, consolidando e aprofundando o que eles aprenderam no Ensino</p><p>Fundamental.</p><p>As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre bem-</p><p>-vindas.</p><p>O autor</p><p>4</p><p>sumário</p><p>Capítulo 1</p><p>revisão: produtos notáveis</p><p>e fatoração ....................................................................... 8</p><p>1. Produtos notáveis .................................................... 10</p><p>2. Fatoração de expressões algébricas ............. 12</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 17</p><p>Capítulo 2</p><p>Conjuntos e conjuntos</p><p>numéricos ......................................................................... 18</p><p>1. Introdução .................................................................... 20</p><p>2. A noção de conjunto ............................................. 20</p><p>3. Propriedades, condições e conjuntos ......... 21</p><p>4. Igualdade de conjuntos ....................................... 21</p><p>5. Conjuntos vazio, unitário e universo ............ 22</p><p>6. Subconjuntos e a relação de inclusão ......... 22</p><p>7. Conjunto das partes................................................ 26</p><p>8. Complementar de um conjunto .................... 26</p><p>9. Contrapositiva ............................................................ 27</p><p>10. Operações entre conjuntos ............................... 28</p><p>11. Conjuntos numéricos ............................................ 36</p><p>12. Intervalos........................................................................ 44</p><p>13. Coordenadas cartesianas ..................................... 47</p><p>14. Produto cartesiano .................................................. 51</p><p>15. Relação binária ........................................................... 52</p><p>16. Situações-problema envolvendo</p><p>números reais, grandezas e medidas ........... 55</p><p>A Matemática e as práticas sociais ............................. 64</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 66</p><p>Leituras .................................................................................... 69</p><p>Capítulo 3</p><p>Funções ................................................................................ 70</p><p>1. Introdução .................................................................... 72</p><p>2. Explorando intuitivamente a</p><p>noção de função ....................................................... 72</p><p>3. A noção de função por</p><p>meio de conjuntos .................................................. 74</p><p>4. Domínio, contradomínio e</p><p>conjunto imagem .................................................... 76</p><p>5. Funções definidas por</p><p>fórmulas matemáticas ........................................... 77</p><p>6. Estudo do domínio de</p><p>uma função real ......................................................... 81</p><p>7. Gráfico de uma função.......................................... 82</p><p>8. Função par – Função ímpar ............................... 87</p><p>AN</p><p>tO</p><p>N</p><p>IO</p><p>P</p><p>Et</p><p>IC</p><p>O</p><p>v/</p><p>AC</p><p>ER</p><p>vO</p><p>D</p><p>O</p><p>A</p><p>Rt</p><p>IS</p><p>tA</p><p>55</p><p>9. Função crescente e</p><p>função decrescente ................................................ 89</p><p>10. Função injetiva, sobrejetiva</p><p>e bijetiva ......................................................................... 94</p><p>11. Função composta .................................................... 99</p><p>12. Função inversa ........................................................... 101</p><p>13. Função e sequências .............................................. 104</p><p>A Matemática e as práticas sociais ............................. 106</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 108</p><p>Capítulo 4</p><p>Função afim ..................................................................... 110</p><p>1. Introdução .................................................................... 112</p><p>2. Definição de função afim .................................... 112</p><p>3. Casos particulares importantes da função</p><p>afim f(x) = ax + b ........................................................</p><p>quantas páginas serão impressas no total?</p><p>b) A gráfica que vai imprimir os catálogos cobra R$ 1,00 por página se a tiragem for até 5 000 cópias</p><p>da mesma página, R$ 0,80 se a tiragem for de 5 001 a 10 000 cópias, e R$ 0,70 para tiragens acima</p><p>de 10 000 cópias. Assim, qual é o custo unitário do catálogo C1 considerando-se as quantidades</p><p>apontadas no item a?</p><p>c) Discussão em equipe</p><p>Troque ideias com seus colegas sobre a importância de ainda haver catálogos impressos nos dias</p><p>atuais. Um catálogo eletrônico (em um site na internet, por exemplo) não seria mais eficaz, além</p><p>de poupar o corte de árvores para a fabricação do papel?</p><p>3‚) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem sim ou não: Gosta de</p><p>música? Gosta de esportes? Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim à segunda;</p><p>25 responderam sim a ambas; e 40 responderam não a ambas. Quantos jovens foram entrevistados?</p><p>A: conjunto dos que gostam de música ⇒ n(A) 5 90</p><p>B: conjunto dos que gostam de esportes ⇒ n(B) 5 70</p><p>34 Matemática</p><p>A  B: conjunto dos que gostam de ambos ⇒ n(A  B) 5 25</p><p>A 2 (A  B): conjunto dos que só gostam de música ⇒ 90 2 25 5 65</p><p>B 2 (A  B): conjunto dos que só gostam de esportes ⇒ 70 2 25 5 45</p><p>Portanto, o número de entrevistados é:</p><p>65 1 25 1 45 1 40 5 175</p><p>ou:</p><p>n(A  B) 1 40 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B) 1 40 5 90 1 70 2 25 1 40 5 175</p><p>4‚) Agora estamos em condições de resolver o problema da introdução deste capítulo:</p><p>“Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e</p><p>vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol</p><p>e de basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei; e 5 gostam das três modalidades.</p><p>a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?</p><p>b) Quantas gostam somente de futebol?</p><p>c) Quantas gostam só de basquete?</p><p>d) Quantas gostam apenas de vôlei?</p><p>e) E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei?</p><p>f ) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos?”</p><p>Vamos considerar F o conjunto das pessoas que gostam de futebol, B o das que gostam de basquete e V o das</p><p>que gostam de vôlei e montar o diagrama com a distribuição das quantidades. Devemos começar sempre</p><p>com a intersecção dos três conjuntos, depois com a intersecção de dois e, finalmente, com a quantidade de</p><p>pessoas que gostam só de um esporte, sempre desconsiderando as já contadas.</p><p>9</p><p>4 3</p><p>F B</p><p>V</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>2</p><p>a) 50 2 (5 1 5 1 3 1 4 1 5 1 2 1 9) 5 17</p><p>Dezessete pessoas não gostam de nenhum desses esportes.</p><p>b) Nove pessoas só gostam de futebol.</p><p>c) Cinco pessoas só gostam de basquete.</p><p>d) Duas pessoas só gostam de vôlei.</p><p>e) Vinte e seis pessoas não gostam nem de basquete nem de vôlei (9 que só gostam de futebol e 17 que não</p><p>gostam de nenhum dos esportes).</p><p>f) 9 1 5 1 10 5 24</p><p>Vinte e quatro pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos.</p><p>Observação: No caso de três conjuntos, A, B e C, a fórmula que indica o número de elementos da união</p><p>A  B  C é:</p><p>n(A  B  C ) 5 n(A) 1 n(B) 1 n(C ) 2 n(A  B) 2 n(A  C ) 2 n(B  C ) 1 n(A  B  C )</p><p>Assim, nos conjuntos do terceiro exemplo:</p><p>n(F  B  V) 5 23 1 18 1 14 2 10 2 9 2 8 1 5 5 33</p><p>Podemos justificar essa fórmula fazendo:</p><p>n(A  B  C) 5 n[(A  B)  C] 5 n(A  B) 1 n(C) 2 n[(A  B)  C]</p><p>Como vale a propriedade distributiva da intersecção em relação à união (A  B)  C 5 (A  C)  (B  C), temos:</p><p>n[(A  B)  C] 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B) 1 n(C) 2 n[(A  C)  (B  C)] 5</p><p>5 n(A) 1 n(B) 1 n(C) 2 n(A  B) 2 n(B  C) 2 n(A  C) 1 n(A  B  C)</p><p>65</p><p>A B</p><p>25 45</p><p>40</p><p>35Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Exercícios propostos</p><p>36. Uma prova com duas questões foi dada a uma classe</p><p>de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas</p><p>questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acer-</p><p>taram a segunda questão. Quantos alunos erraram</p><p>as duas questões?</p><p>37. Numa pesquisa feita com 1 000 famílias para verificar</p><p>a audiência dos programas de televisão, os seguintes</p><p>resultados foram encontrados: 510 famílias assistem</p><p>ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386</p><p>assistem ao programa C. Sabe-se ainda que 180 fa-</p><p>mílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos</p><p>programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias</p><p>assistem aos três programas.</p><p>a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses</p><p>programas?</p><p>b) Quantas famílias assistem somente ao programa A?</p><p>c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A</p><p>nem ao programa B?</p><p>38. Um professor de Português sugeriu em uma classe a</p><p>leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Ira-</p><p>cema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena,</p><p>15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não</p><p>leram nenhum deles.</p><p>a) Quantos alunos leram Iracema?</p><p>b) Quantos alunos leram só Helena?</p><p>c) Qual é o número de alunos nessa classe?</p><p>39. Na porta de um supermercado foi realizada uma en-</p><p>quete com 100 pessoas sobre três produtos. As res-</p><p>postas foram: 10 pessoas compram somente o pro-</p><p>duto A, 30 pessoas compram somente o produto B,</p><p>15 pessoas compram somente o produto C, 8 pessoas</p><p>compram A e B, 5 pessoas compram A e C, 6 pes-</p><p>soas compram B e C, e 4 compram os três produtos.</p><p>a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos três</p><p>produtos?</p><p>b) Quantas pessoas não compram nenhum desses</p><p>produtos?</p><p>c) Quantas pessoas compram os produtos A e B e não</p><p>compram C?</p><p>d) Quantas pessoas compram o produto A?</p><p>e) Quantas pessoas compram o produto B?</p><p>f) Quantas pessoas compram os produtos A ou B?</p><p>40. Num levantamento entre 100 estudantes sobre o</p><p>estudo de idiomas, foram obtidos os seguintes re-</p><p>sultados: 41 estudam inglês, 29 estudam francês e</p><p>26 estudam espanhol; 15 estudam inglês e francês,</p><p>8 estudam francês e espanhol, 19 estudam inglês e</p><p>espanhol; 5 estudam os três idiomas.</p><p>a) Quantos estudantes não estudam nenhum desses</p><p>idiomas?</p><p>b) Quantos estudantes estudam apenas um desses</p><p>idiomas?</p><p>41. Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados</p><p>leem o jornal A, 29% leem o jornal B, 22% leem o</p><p>jornal C, 13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A</p><p>e C e 6% leem os três jornais.</p><p>a) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais?</p><p>b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C?</p><p>c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?</p><p>42. Numa pesquisa sobre audiência de tevê entre 125</p><p>entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao canal X, 40</p><p>ao canal Y, 15 ao canal Z, 25 assistem a X e Y, 8 a Y e</p><p>Z, 3 a X e Z, e 1 assiste aos três.</p><p>a) Quantos não assistem a nenhum desses canais?</p><p>b) Quantos assistem somente ao canal X?</p><p>c) Quantos não assistem nem a X nem a Y?</p><p>43. (FGV-SP) Uma pesquisa de mercado sobre o consu-</p><p>mo de três marcas, A, B e C, de um determinado</p><p>produto apresentou os seguintes resultados: A,</p><p>48%; B, 45%; C, 50%; A e B, 18%; B e C, 25%; A e C,</p><p>15%; nenhuma das três, 5%.</p><p>a) Qual a porcentagem dos entrevistados que conso-</p><p>mem as três marcas?</p><p>b) Qual a porcentagem dos entrevistados que conso-</p><p>mem uma e apenas uma das três marcas?</p><p>Curiosidade</p><p>Os diagramas de Venn</p><p>As representações da união e in-</p><p>tersecção dos conjuntos em for-</p><p>ma de diagrama é conhecida</p><p>como diagrama de Venn, por cau-</p><p>sa do seu criador, o matemático</p><p>inglês John Venn (1834-1923).</p><p>Esses diagramas foram introduzi-</p><p>dos em 1880 por Venn e a partir</p><p>daí tornaram-se populares, ainda</p><p>que outros matemáticos já tives-</p><p>sem usado diagramas similares</p><p>anteriormente. Na foto ao lado,</p><p>vemos uma das janelas da Facul-</p><p>dade Gonville e Caius (Universi-</p><p>dade de Cambridge), que home-</p><p>nageia John Venn, estudante e</p><p>professor da instituição.</p><p>w</p><p>Ik</p><p>Im</p><p>éd</p><p>IA</p><p>c</p><p>o</p><p>m</p><p>m</p><p>o</p><p>n</p><p>s/</p><p>AR</p><p>q</p><p>u</p><p>Iv</p><p>o</p><p>d</p><p>A</p><p>Ed</p><p>It</p><p>o</p><p>RA</p><p>36 Matemática</p><p>11.  Conjuntos numéricos</p><p>Os dois principais objetos de que se ocupa a Matemática são os números e as figuras geométricas. O objetivo</p><p>deste tópico é recordar e aprofundar o que você estudou sobre números no ensino fundamental.</p><p>Quando comparamos uma grandeza e uma unidade obtemos um número. Se a grandeza é discreta, a compa-</p><p>ração é uma contagem e o resultado, um número natural. Exemplo: quando contamos o número de dias de um ano</p><p>bissexto. Se a grandeza é contínua, a comparação é uma medição e o resultado é um número real. Por exemplo,</p><p>quando medimos a distância entre duas cidades.</p><p>Conjunto dos números naturais (lN)</p><p>“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.”</p><p>Leopold Kronecker</p><p>O conjunto dos números naturais é representado por:</p><p>n 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}</p><p>Um subconjunto importante de n é o conjunto n*, obtido excluindo o zero</p><p>de n:</p><p>n* 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} ou n* 5 N 2 {0}</p><p>Os números naturais são usados nas contagens (por exemplo, a população brasileira é de aproximadamente</p><p>190 milhões de habitantes), nos códigos (por exemplo, o CEP de uma empresa em São Paulo é 02909-900) e nas</p><p>ordenações (por exemplo, o 1‚ estado brasileiro em superfície é o Amazonas, com aproximadamente 1 570 745 km2,</p><p>e o 2‚ é o Pará, com aproximadamente 1 247 689 km2).</p><p>Em n é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números natu-</p><p>rais resultam sempre um número natural. Já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número</p><p>natural; a subtração 3 2 4, por exemplo, não é possível em n. Daí a necessidade de ampliar o conjunto n introdu-</p><p>zindo os números negativos.</p><p>Conjunto dos números inteiros (Ω)</p><p>O conjunto dos números inteiros é representado por:</p><p>Ω 5 {…, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, …}</p><p>Destacamos os seguintes subconjuntos de Ω:</p><p>• n, pois n , Ω</p><p>• Ω* 5 Ω 2 {0} ou Ω* 5 {…, 24, 23, 22, 21, 1, 2, 3, 4, …}</p><p>–4 3 2 1 0 1 2 3 4</p><p>… …</p><p>Observe na figura acima que há uma simetria em relação ao zero. O oposto</p><p>ou simétrico de 3 é 23, bem como o oposto de 23 é 3, valendo</p><p>3 1 (23) 5 23 1 3 5 0.</p><p>No conjunto Ω é sempre possível efetuar a adição, a multiplicação e a sub-</p><p>tração, ou seja, a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros resultam</p><p>sempre um número inteiro. E todas as propriedades das operações em n conti-</p><p>nuam válidas em Ω.</p><p>Para refletir</p><p>Qualquer número natural tem</p><p>um único sucessor.</p><p>Números naturais diferentes</p><p>têm sucessores diferentes.</p><p>O zero é o único natural que não</p><p>é sucessor de nenhum outro.</p><p>Para refletir</p><p>• Existe número natural que</p><p>não é inteiro?</p><p>• Existe número inteiro que</p><p>não é natural?</p><p>• Você sabia que Z é a primeira</p><p>letra da palavra Zahl, que em</p><p>alemão significa ‘número’ ?</p><p>Termômetro indicando</p><p>temperatura negativa.</p><p>g</p><p>u</p><p>to</p><p>k</p><p>u</p><p>er</p><p>te</p><p>n</p><p>/a</p><p>g</p><p>ên</p><p>ci</p><p>a</p><p>rb</p><p>s/</p><p>fo</p><p>lh</p><p>a</p><p>im</p><p>ag</p><p>em</p><p>37Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro:</p><p>(28) : (12) 5 24 → é possível em Ω</p><p>(27) : (12) 5 ? → não é possível em Ω</p><p>Daí a necessidade de ampliar o conjunto Ω introduzindo as frações não aparentes.</p><p>Conjunto dos números racionais (œ)</p><p>Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto Ω, obtemos o conjunto dos</p><p>números racionais (œ). Assim, por exemplo, são números racionais:</p><p>22, 2</p><p>3</p><p>2</p><p>, 21, 2</p><p>1</p><p>2</p><p>, 2</p><p>1</p><p>4</p><p>, 0,</p><p>1</p><p>2</p><p>,</p><p>3</p><p>4</p><p>, 1,</p><p>5</p><p>3</p><p>e 2</p><p>Observe que todo número racional pode ser escrito na forma a</p><p>b</p><p>, com a [ Ω, b [ Ω e b  0. Por exemplo, 22 5</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>, 1 5</p><p>2</p><p>2</p><p>, 2 5</p><p>10</p><p>5</p><p>, 2</p><p>3</p><p>4</p><p>,</p><p>2</p><p>3</p><p>, 0 5</p><p>0</p><p>2</p><p>, etc.</p><p>Assim, escrevemos:</p><p>œ 5 {x | x 5</p><p>a</p><p>b</p><p>, com a [ Ω, b [ Ω e b  0}</p><p>Observe que a restrição b  0 é necessária, pois a</p><p>b</p><p>, divisão de a por b, só tem significado se b  0. A designa-</p><p>ção “racional” surgiu porque a</p><p>b</p><p>pode ser vista como uma razão entre os inteiros a e b.</p><p>A letra œ, que representa o conjunto dos números racionais, é a primeira letra da pala-</p><p>vra quociente.</p><p>Se b 5 1, temos</p><p>a</p><p>b</p><p>5</p><p>a</p><p>1</p><p>5 a [ Ω, o que implica que Ω é subconjunto de œ. Assim:</p><p>n , Ω , œ</p><p>n</p><p>Ω</p><p>œ</p><p>Representação decimal dos números racionais</p><p>Dado um número racional</p><p>a</p><p>b</p><p>, a representação decimal desse número é obtida dividindo-se a por b, podendo</p><p>resultar em:</p><p>• decimais exatas, finitas:</p><p>1</p><p>4</p><p>5 0,25 2</p><p>5</p><p>8</p><p>5 20,625 6 5</p><p>6</p><p>1</p><p>5 6,0</p><p>4</p><p>5</p><p>5 0,8</p><p>• decimais ou dízimas periódicas, infinitas:</p><p>2</p><p>3</p><p>5 0,666… 5 0 6,</p><p>177</p><p>990</p><p>5 0,1787878… 5 0 178,</p><p>Para refletir</p><p>Fração aparente é aquela</p><p>que indica um número</p><p>inteiro:</p><p>12</p><p>4</p><p>5 3; 2</p><p>8</p><p>2</p><p>5 24; etc.</p><p>Para refletir</p><p>Pense num silogismo</p><p>envolvendo n, Ω e œ.</p><p>Para refletir</p><p>Se a decimal for infinita mas</p><p>não periódica, ela não repre-</p><p>senta número racional.</p><p>38 Matemática</p><p>Determinação da fração geratriz do decimal</p><p>Da mesma forma que um número racional</p><p>a</p><p>b</p><p>pode ser representado por um decimal exato ou periódico, estes</p><p>também podem ser escritos na forma</p><p>a</p><p>b</p><p>, que recebe o nome de fração geratriz do decimal.</p><p>Por exemplo, vamos escrever a fração geratriz de cada decimal:</p><p>• 0,75</p><p>0,75 5</p><p>75</p><p>100</p><p>5</p><p>3</p><p>4</p><p>→ fração geratriz</p><p>• 0,222…</p><p>x 5 0,222…</p><p>10x 5 2,222…</p><p>10x 5 2 1 0,222…</p><p>10x 5 2 1 x</p><p>9x 5 2</p><p>x 5</p><p>2</p><p>9</p><p>→ fração geratriz</p><p>• 0,414141…</p><p>N 5 0,414141…</p><p>100N 5 41,4141…</p><p>100N 5 41 1 0,4141…</p><p>100N 5 41 1 N</p><p>99N 5 41</p><p>N 5</p><p>41</p><p>99</p><p>→ fração geratriz</p><p>• 0,1w78</p><p>N 5 0,1787878…</p><p>10N 5 1,787878…</p><p>10N 5 1 1 0,787878… 0 787878</p><p>78</p><p>99</p><p>, ...    . 5 Verifique.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10N 5 1 1</p><p>78</p><p>99</p><p>990N 5 99 1 78</p><p>N 5</p><p>177</p><p>990</p><p>→ fração geratriz</p><p>Observações:</p><p>1·) O número 0,999… é igual a 1, pois o símbolo 0,999… representa o número cujos valores aproximados são 0,9;</p><p>0,99; 0,999; 0,9999; etc., cada vez mais próximos de 1. Dizemos que essa sequência tem 1 como limite.</p><p>2·) Veja alguns números racionais colocados na reta:</p><p>54321012345</p><p>5</p><p>2</p><p></p><p>4</p><p>3</p><p></p><p>1</p><p>2</p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>5</p><p>8</p><p>3</p><p>4</p><p>Entre dois números inteiros nem sempre existe outro número inteiro.</p><p>Entre dois números racionais sempre existe outro racional. Por exemplo, entre os racionais</p><p>1</p><p>2</p><p>5 0,5 e</p><p>3</p><p>4</p><p>5 0,75</p><p>podemos encontrar infinitos racionais; entre eles</p><p>5</p><p>8</p><p>5 0,625. Mas isso não significa que os racionais preenchem</p><p>toda a reta.</p><p>Os números racionais são insuficientes para medir todos os segmentos de reta. Veremos um exemplo disso no</p><p>próximo item.</p><p>Embora as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão por um número diferen-</p><p>te de zero) sejam sempre definidas em œ, uma equação como x2 5 2 não pode ser resolvida em œ, pois não existe</p><p>racional</p><p>a</p><p>b</p><p>tal que</p><p>a</p><p>b</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>5 2. Surge então a necessidade de outro tipo de número, o número irracional.</p><p>39Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Conjunto dos números irracionais (iIr)</p><p>Como vimos, há números decimais que podem ser escritos na forma fracionária com numerador inteiro e deno-</p><p>minador inteiro (diferente de zero) — são os números racionais. Mas há também números decimais que não admitem</p><p>essa representação: são os decimais infinitos e não periódicos. Esses números são chamados números irracionais.</p><p>Veja alguns exemplos:</p><p>• 2 5 1,4142135…</p><p>•	 3 	5	1,7320508…</p><p>•	 π	5	3,1415926535…</p><p>Usando a relação de Pitágoras, podemos representar alguns desses números na reta numérica:</p><p>3 2 3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1 0 21</p><p>1</p><p>1</p><p>d2 5 12 1 12 ⇒ d2 5 2 ⇒ d 5 2</p><p>Observe que a medida da diagonal do quadrado de lado 1, usan-</p><p>do esse lado 1 como unidade, é 2 . Essa diagonal é um exemplo de</p><p>segmento que não pode ser medido com um número racional. Sua</p><p>medida é o número irracional 2 .</p><p>Observação: Veja as leituras no final do capítulo.</p><p>π é irracional</p><p>O número π é obtido dividindo-se a medida do comprimento</p><p>de qualquer circunferência pela medida de seu diâmetro</p><p>(π 5 3,1415926535…).</p><p>Conjunto dos números reais (®)</p><p>Da reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números</p><p>irracionais obtemos o conjunto dos números reais (®).</p><p>® 5 œ  Ir 5 {x | x [ œ ou x [ Ir} 5 {x | x é racional ou x é irracional}</p><p>Como vimos, os números racionais não bastam para esgotar os pontos da</p><p>reta. Por exemplo, os pontos da reta correspondentes aos números 2 3 , 2 , etc.</p><p>não são alcançados com os números racionais. Agora, os números reais esgotam</p><p>todos os pontos da reta, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um único número</p><p>real e, reciprocamente, a cada número real corresponde um único ponto</p><p>da reta.</p><p>Por isso, dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números</p><p>reais e os pontos da reta. Temos assim a reta real, que é construída desta forma:</p><p>numa reta, escolhemos uma origem (e associamos a ela o zero), um sentido de</p><p>percurso e uma unidade de comprimento ( 0 1 ).</p><p>Observe alguns números reais colocados na reta real:</p><p>0 0,5 1 1,5 22 1,5 1</p><p>3</p><p>42 2</p><p>Para refletir</p><p>Dois conjuntos A e B são disjun-</p><p>tos quando A  B 5 ∅.</p><p>Verifique se são disjuntos:</p><p>• N e Z;</p><p>• Q e Ir.</p><p>Para refletir</p><p>O conjunto R pode ser visto</p><p>como modelo aritmético de</p><p>uma reta, enquanto esta, por</p><p>sua vez, é o modelo geométri-</p><p>co de R.</p><p>Para refletir</p><p>Os matemáticos já demonstraram que π é um</p><p>número irracional.</p><p>Você sabia que o número irracional π foi calcula-</p><p>do com o auxílio de um computador obtendo-se</p><p>1,2 trilhão de casas decimais sem que tenha sur-</p><p>gido uma decimal exata ou uma dízima?</p><p>A demonstração feita pelos matemáticos é o</p><p>único modo que temos para saber que ne-</p><p>nhum computador vai encontrar periodicidade</p><p>no cálculo dos algarismos decimais de π, mes-</p><p>mo que examine alguns trilhões de dígitos.</p><p>40 Matemática</p><p>O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui:</p><p>n , Ω , œ , ®</p><p>Ir , ®</p><p>œ  Ir 5 ®</p><p>œ  Ir 5 ∅</p><p>Ir 5 ® 2 œ</p><p>Observação: Com os números reais toda equação do tipo x2 5 a, com a [ n, pode</p><p>ser resolvida e todos os segmentos de reta podem ser medidos.</p><p>Desigualdades entre números reais</p><p>Dados dois números reais quaisquer a e b, ocorre uma e somente uma das seguintes possibilidades:</p><p>a  b ou a 5 b ou a  b</p><p>Geometricamente, a desigualdade a  b significa que a está à esquerda de b na reta real:</p><p>a</p><p>a  b</p><p>b</p><p>A desigualdade a  b significa que a está à direita de b na reta real:</p><p>b</p><p>a  b</p><p>a</p><p>Aritmeticamente, vamos analisar alguns exemplos:</p><p>•	2,195…  3,189…, pois 2  3</p><p>• 4,128…  4,236…, pois 4 5 4 e 0,1  0,2</p><p>• 3,267…  3,289…, pois 3 5 3; 0,2 5 0,2 e 0,06  0,08</p><p>• 5,672…  5,673…, pois 5 5 5; 0,6 5 0,6; 0,07 5 0,07 e 0,002  0,003</p><p>e assim por diante.</p><p>Algebricamente, a  b se, e somente se, a diferença d 5 b 2 a é um número positivo, ou seja, vale a  b se, e</p><p>somente se, existe um número real positivo d tal que b 5 a 1 d.</p><p>Uma vez definida essa relação de ordem dos números reais, dizemos que eles estão ordenados.</p><p>Usamos também a notação a  b para dizer que a  b ou a 5 b. Assim:</p><p>a  b lê-se a é menor do que ou igual a b</p><p>b  a lê-se b é maior do que ou igual a a</p><p>Para refletir</p><p>São reais:</p><p>• os números naturais;</p><p>• os números inteiros;</p><p>• os números racionais;</p><p>• os números irracionais.</p><p>n �Irœ</p><p>®</p><p>Ω</p><p>Para refletir</p><p>Ordenar os números reais</p><p>aritmeticamente é como or-</p><p>denar as palavras num di-</p><p>cionário.</p><p>Exercícios propostos</p><p>44. Usando os símbolos , e , relacione os conjuntos</p><p>numéricos a seguir:</p><p>a) IN e IN* b) IQ e IR</p><p>45.		Com os conjuntos numéricos dados, efetue as opera-</p><p>ções de união e intersecção:</p><p>a) ZZ e IQ b) IQ e Ir</p><p>46. Determine:</p><p>a) IN  ZZ c) ( IQ  Ir)  IN</p><p>b) (IN  IQ)  ZZ d) ( IQ  Ir)  IN</p><p>47. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F):</p><p>a) Todo número natural representa a quantidade de</p><p>elementos de algum conjunto finito.</p><p>b) Existe um número natural que é maior do que todos</p><p>os demais.</p><p>c) Todo número natural tem sucessor em IN.</p><p>d) Todo número natural tem antecessor em IN.</p><p>48. Dê a representação decimal dos seguintes núme-</p><p>ros racionais:</p><p>a)</p><p>7</p><p>8</p><p>b)</p><p>5</p><p>13</p><p>c)</p><p>3</p><p>4</p><p>d)</p><p>7</p><p>5</p><p>e) 1</p><p>1</p><p>7</p><p>49. Determine a geratriz</p><p>a</p><p>b</p><p>dos seguintes decimais perió-</p><p>dicos:</p><p>a) 0,333… c) 0,242424…</p><p>b) 0,1666… d) 0,125777…</p><p>50. Coloque em ordem crescente os números reais:</p><p>6</p><p>10</p><p>;</p><p>0 5, ;</p><p>1</p><p>2</p><p>;</p><p>4</p><p>5</p><p>; 0 52, ; 0,25.</p><p>41Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Conjunto dos números complexos (ç)*</p><p>Se x [ ®, então x2  0. Assim, a equação x2 1 1 5 0 não tem solução em ®, pois:</p><p>x2 1 1 5 0 ⇒ x2 5 21 ⇒ x 5 � �1</p><p>e não existe um número real x que elevado ao quadrado resulte 21.</p><p>Daí surgiu a necessidade de estender o conjunto dos números reais para obter um novo</p><p>conjunto chamado conjunto dos números complexos.</p><p>Um número complexo z é um número que pode ser escrito na forma:</p><p>z 5 a 1 bi, com a [ ®, b [ ® e i2 5 21</p><p>i é chamada unidade imaginária e sua característica fundamental é que i2 5 21.</p><p>Um número complexo tem duas partes, uma real e outra imaginária:</p><p>z 5 a 1 bi</p><p>parte real de z parte imaginária de z</p><p>Re(z) 5 a Im(z) 5 b</p><p>Devemos observar também que, se b 5 0, temos z 5 a (número real); e se a 5 0 e b  0, temos z 5 bi, que é</p><p>um número imaginário puro.</p><p>Se indicarmos o conjunto dos números complexos por ç, podemos escrever que ® , ç.</p><p>®</p><p>ç</p><p>Veja agora o diagrama que relaciona os conjuntos numéricos:</p><p>n IrΩ</p><p>œ</p><p>®</p><p>ç</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Em z 5 2 1 5i, temos Re(z) 5 2 e Im(z) 5 5.</p><p>2‚) Em z 5 5, temos Re(z) 5 5 e Im(z) 5 0. Portanto, z é real.</p><p>3‚) Em z 5 23i, temos Re(z) 5 0 e Im(z) 5 23. Portanto, z é um imaginário puro.</p><p>Operações com números complexos</p><p>Adição</p><p>Se z1 5 2 1 2i e z2 5 23 1 4i, temos:</p><p>z1 1 z2 5 (2 1 2i) 1 (23 1 4i) 5 (2 2 3) 1 (2 1 4)i 5 21 1 6i</p><p>* O conjunto numérico (ç) será estudado detalhadamente no volume 3 desta coleção.</p><p>Para refletir</p><p>A forma z 5 a 1 bi é</p><p>chamada de forma</p><p>algébrica de z.</p><p>42 Matemática</p><p>Subtração</p><p>Se z1 5 3 1 i e z2 5 5 1 3i, temos:</p><p>z1 2 z2 5 (3 1 i) 2 (5 1 3i) 5 (3 2 5) 1 (1 2 3)i 5 22 2 2i</p><p>Multiplicação</p><p>Se z1 5 1 1 5i e z2 5 2 2 2i, temos:</p><p>z1 • z2 5 (1 1 5i) • (2 2 2i) 5 1 • 2 2 1 • 2i 1 (5i) • 2 2 (5i)(2i) 5 2 2 2i 1 10i 2 10i2 5 2 1 8i 2 10(21) 5 2 1 8i 1 10 5 12 1 8i</p><p>Potenciação</p><p>Veja alguns exemplos:</p><p>1‚) Se z 5 1 1 2i, temos:</p><p>z2 5 (1 1 2i)2 5 (1 1 2i)(1 1 2i) 5 1 • 1 1 1 • 2i 1 (2i) • 1 1 (2i)(2i) 5 1 1 2i 1 2i 1 4i2 5 1 1 4i 2 4 5 23 1 4i</p><p>2‚) Se z 5 i, temos:</p><p>i1 5 i i3 5 i2 • i 5 (21) • i 5 2i i5 5 i4 • i 5 1 • i 5 i i7 5 i4 • i3 5 1 • (2i) 5 2i</p><p>i2 5 21 i4 5 (i2)2 5 (21)2 5 1 i6 5 i4 • i2 5 1 • i2 5 1(21) 5 21 i8 5 i4 • i4 5 1 • 1 5 1</p><p>Observe que as potências de i começam a se repetir depois de i4. Então, de modo geral, temos:</p><p>i4n 5 (i4)n 5 1</p><p>i4n 1 1 5 (i4)n • i 5 1 • i 5 i</p><p>i4n 1 2 5 (i4)n • i2 5 1 • (21) 5 21</p><p>i4n 1 3 5 (i4)n • i3 5 1 • i2 • i 5 1 • (21) • i 5 2i</p><p>ou seja:</p><p>i4n 1 p 5 ip</p><p>Exemplo:</p><p>Calcule o valor de:</p><p>a) i39</p><p>i39 5 i36 • i3 5 (i4)9 • i3 5 1 • i3 5 1 • (2i) 5 2i</p><p>Ou, de outra maneira:</p><p>39 4</p><p>2 36 9 i39 5 i3 5 2i</p><p>3</p><p>b) 2i13 2 i12</p><p>2i13 2 i12 5 2(i4)3 • i 2 (i4)3 5 2 • 13 • i 2 13 5</p><p>5 2i 2 1 5 21 1 2i</p><p>c) i80</p><p>i80 5 (i4)20 5 120 5 1</p><p>Ou, de outra maneira:</p><p>80 4</p><p>0 20</p><p>i80 5 i0 5 1</p><p>Divisão</p><p>O conjugado de um número complexo z 5 a 1 bi é o número complexo z 5 a 2 bi.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Se z 5 3 1 4i, então z 5 3 2 4i. 4‚) Se z 5 4i, então z 5 24i.</p><p>2‚) Se z 5 1 2 3i, então z 5 1 1 3i. 5‚) Se z 5 0, então z 5 0.</p><p>3‚) Se z 5 5, então z 5 5. 6‚) Se z 5 i, então z 5 2i.</p><p>O quociente</p><p>z</p><p>z</p><p>1</p><p>2</p><p>entre dois números complexos, com z2  0, é dado por</p><p>z</p><p>z</p><p>z z</p><p>z z</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>5 .</p><p>43Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Vamos determinar o quociente</p><p>z</p><p>z</p><p>1</p><p>2</p><p>sabendo que z1 5 1 1 3i e z2 5 2 1 2i.</p><p>z</p><p>z</p><p>i</p><p>i</p><p>i i1</p><p>2</p><p>1 3</p><p>2 2</p><p>1 3 2 2</p><p>2</p><p>(     )(     )</p><p>(</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� 22 2 2</p><p>2 2 6 6</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2i i</p><p>i i i</p><p>i)(     )</p><p>( )</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>( )</p><p>2 4 6 1</p><p>4 4</p><p>8 4</p><p>8</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>i i</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1 i</p><p>2‚) Vamos determinar o número complexo z tal que:</p><p>a) z 2 i26 5 i33 2 z</p><p>z 2 i26 5 i33 2 z ⇒ z 1 z 5 i33 1 i26 ⇒ 2z 5 i32 • i 1 i24 • i2 ⇒ 2z 5 1 • i 1 1 • (21) ⇒ 2z 5 i 2 1 ⇒ 2z 5 21 1 i ⇒</p><p>⇒ z 5 � �</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>i</p><p>Logo, z 5 � �</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>i</p><p>b) iz 5 z 2 2 1 3i</p><p>1a maneira</p><p>Como z 5 a 1 bi, temos:</p><p>i(a 1 bi) 5 (a 1 bi) 2 2 1 3i ⇒ 2b 1 ai 5 (a 2 2) 1 (b 1 3)i ⇒</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>b a   2</p><p>a   b   3</p><p></p><p></p><p> Então:</p><p>2b 5 (b 1 3) 2 2 ⇒ 22b 5 1 ⇒ b 5 2</p><p>1</p><p>2</p><p>a 5 b 1 3 ⇒ a 5 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 3 ⇒	a 5</p><p>5</p><p>2</p><p>Logo, z 5</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>i.</p><p>2a maneira</p><p>iz 5 z 2 2 1 3i ⇒	iz 2 z 5 22 1 3i ⇒ (i 2 1)z 5 22 1 3i ⇒ z</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2 3</p><p>1</p><p>+</p><p>⇒ z</p><p>i i</p><p>i i</p><p>(     )(     )</p><p>(     )(     )</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>2 3 1</p><p>1 1</p><p>⇒</p><p>⇒	 z</p><p>i i i</p><p>i</p><p>( )</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>2 2 3 3</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>⇒	 z</p><p>i</p><p>i</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>2 3</p><p>1</p><p>⇒	 z</p><p>i</p><p>�</p><p>�5</p><p>2</p><p>⇒ z i       � �</p><p>5</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3‚) Vamos resolver em ç a equação x2 2 2x 1 10 5 0.</p><p>x 5</p><p>2 4 40</p><p>2</p><p>2 36</p><p>2</p><p>± ±�</p><p>�</p><p>�</p><p>(impossível em ®)</p><p>Em ç podemos resolvê-la. Assim, temos:</p><p>x 5</p><p>2 1 36</p><p>2</p><p>2 36</p><p>2</p><p>2 6</p><p>2</p><p>2    ( )</p><p>± ± ±�</p><p>� �</p><p>? ?i i</p><p>x’ 5</p><p>2 6</p><p>2</p><p>1 i</p><p>5 1 1 3i</p><p>x” 5</p><p>2 6</p><p>2</p><p>2 i</p><p>5 1 2 3i</p><p>Verificando, vem:</p><p>S 5 x’ 1 x” 5 (1 1 3i) 1 (1 2 3i) 5 2</p><p>P 5 x’ ? x” 5 (1 1 3i) ? (1 2 3i) 5 12 2 (3i)2 5 1 2 (29) 5 10</p><p>Satisfazendo portanto a equação x2 2 Sx 1 P 5 0, ou seja, x2 2 2x 1 10 5 0.</p><p>Para refletir</p><p>Quando for indicado o conjunto</p><p>universo, consideramos que o</p><p>conjunto é R.</p><p>44 Matemática</p><p>4‚) Vamos efetuar as divisões indicadas:</p><p>a)</p><p>1</p><p>2 2 i</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>(     )</p><p>(   )(     )</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>i</p><p>i</p><p>i i</p><p>i?</p><p>22 2</p><p>2</p><p>4 1</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>5�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>i</p><p>i i i</p><p>b)</p><p>2 3</p><p>1 4</p><p>1</p><p>1</p><p>i</p><p>i</p><p>2 3</p><p>1 4</p><p>2 3 1 4</p><p>1 4 1</p><p>(     )(     )</p><p>(     )(</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>i</p><p>i</p><p>i i</p><p>i    )</p><p>4</p><p>2 8 3 12</p><p>1 16</p><p>2 52</p><p>i</p><p>i i i i</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>12</p><p>17</p><p>14 5</p><p>17</p><p>14</p><p>17</p><p>5</p><p>17</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>i</p><p>i</p><p>Exercícios propostos</p><p>51. Efetue as operações indicadas, escrevendo o resulta-</p><p>do na forma algébrica z 5 a 1 bi:</p><p>a) (22 1 i) 1 (23 2 6i) c) (4 1 2i) • (5 1 3i)</p><p>b) (2 1 5i) 2 (1 1 3i) d) (1 1 i)3</p><p>52. Efetue:</p><p>a) i60 c) i400 2 i150</p><p>b) i101 d) i25 1 i16</p><p>53. Resolva em |C as equações:</p><p>a) x2 2 2x 1 4 5 0 b) x2 2 4x 1 5 5 0</p><p>54. Efetue as divisões indicadas:</p><p>a)</p><p>1 5</p><p>2 3</p><p>1</p><p>1</p><p>i</p><p>i</p><p>c)</p><p>i</p><p>i1   2</p><p>b)</p><p>1 2   1 i</p><p>i</p><p>d)</p><p>3</p><p>1 2</p><p>i</p><p>i   1</p><p>55. Atividade em dupla</p><p>Calcule</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>e dê a resposta na forma</p><p>z 5 a 1 bi.</p><p>12.  Intervalos</p><p>Certos subconjuntos de ®, determinados por desigualdades, têm grande importância na Matemática: são os</p><p>intervalos. Assim, dados dois números reais a e b, com a  b, tem-se:</p><p>a) Intervalo aberto</p><p>a b</p><p>(a, b) 5 {x [ ® | a  x  b}</p><p>(A bolinha vazia () indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo.)</p><p>b) Intervalo fechado</p><p>a b</p><p>[a, b] 5 {x [ ® | a  x  b}</p><p>(A bolinha cheia () indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo.)</p><p>c) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita</p><p>a b</p><p>[a, b) 5 {x [ ® | a  x  b}</p><p>d) Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda</p><p>a b</p><p>(a, b] 5 {x [ ® | a  x  b}</p><p>e) Semirreta esquerda, fechada, de origem b</p><p>b</p><p>(2∞, b] 5 {x [ ® | x  b}</p><p>f ) Semirreta esquerda, aberta, de origem b</p><p>b</p><p>(2∞, b) 5 {x [ ® | x  b}</p><p>45Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Operações com intervalos</p><p>Como intervalos são subconjuntos de ®, é possível fazer operações com eles. As operações de intersecção,</p><p>união, diferença e complementar serão apresentadas por meio de exemplos.</p><p>1‚) Dados A 5 {x [ ® | 21  x  1} e B 5 [0, 5).</p><p>a) Vamos determinar A  B.</p><p>1 0</p><p>0 5</p><p>1</p><p>1 1</p><p>5</p><p>A</p><p>B</p><p>A  B</p><p>A  B 5 {x [ ® | 0  x  1} 5 [0, 1[</p><p>Para refletir</p><p>Analise os possíveis significados</p><p>de {3, 5}, (3, 5) e [3, 5].</p><p>g) Semirreta direita, fechada, de origem a</p><p>a</p><p>[a, 1∞) 5 {x [ ® | x  a}</p><p>h) Semirreta direita, aberta, de origem a</p><p>a</p><p>(a, 1∞) 5 {x [ ® | x  a}</p><p>i) Reta real</p><p>(2∞, 1∞) 5 ®</p><p>Observações:</p><p>1·) 2∞ e 1∞ não são números reais; apenas fazem parte das notações de intervalos ilimitados.</p><p>2·) Qualquer intervalo de extremos a e b, com a  b, contém números racionais e irracionais.</p><p>3·) Há outras formas de representar intervalos abertos, usando colchetes em vez de parênteses. Por exemplo:</p><p>(a, b] 5 ]a, b]; (a, b) 5 ]a, b[.</p><p>Exercícios propostos</p><p>56. Represente graficamente na reta real os seguintes</p><p>intervalos:</p><p>a) {x [ ® | 21  x  3} d) {x [ ® | 2  x  7}</p><p>b) (2∞, 2] e) {x [ ® | x  24}</p><p>c) 23</p><p>1</p><p>2</p><p>,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> f) [0, 6)</p><p>57. Escreva os intervalos representados graficamente:</p><p>a)</p><p>4 2</p><p>b)</p><p>1</p><p>c)</p><p>1</p><p>d)</p><p>31</p><p>2</p><p>e)</p><p>33</p><p>58. Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmações:</p><p>a) 2 [ [2, 6]</p><p>b) 21 [ (25, 21)</p><p>c) 0 [ {x [ ® | 21  x  1}</p><p>d) 3  {x [ ® | 3  x  4}</p><p>e) {2, 5} , [0, 1∞)</p><p>46 Matemática</p><p>b) Vamos determinar A  B.</p><p>1</p><p>0 5</p><p>1 1</p><p>5</p><p>A  B</p><p>B</p><p>A</p><p>A  B 5 {x [ ® | 21  x  5} 5 ]21, 5[</p><p>c) Vamos determinar A 2 B.</p><p>1 0</p><p>0 5</p><p>1 1</p><p>A  B</p><p>B</p><p>A</p><p>A 2 B 5 {x [ ® | 21  x  0} 5 ]21, 0[</p><p>d) Vamos determinar B 2 A.</p><p>1 5</p><p>0 5</p><p>1 1</p><p>B  A</p><p>B</p><p>A</p><p>B 2 A 5 {x [ ® | 1  x  5} 5 [1, 5[</p><p>e) Vamos determinar cA</p><p>B .</p><p>cA</p><p>B não se define, pois A  B.</p><p>2‚) Sejam U 5 ® e os conjuntos A 5 [2, 5] e B 5 ]3, 6]. Lembre-se de que c A</p><p>® 5 ® 2 A também pode ser re pre sen-</p><p>tado por c A ou A.</p><p>a) Vamos calcular A.</p><p>2 5</p><p>2 5</p><p>A</p><p>A</p><p>A 5 {x [ ® | x  2 ou x  5} 5 ]2∞, 2[  ]5, 1∞[</p><p>b) Vamos calcular B.</p><p>63</p><p>3 6</p><p>B</p><p>B</p><p>B 5 {x [ ® | x  3 ou x  6} 5 ]2∞, 3]  ]6, 1∞[</p><p>47Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>61. Dados os intervalos A 5 [21, 4], B 5 [1, 5], C 5 [2, 4]</p><p>e D 5 (1, 3], verifique se 1 pertence ao conjunto</p><p>(A  B) 2 (C 2 D).</p><p>Desafio em dupla</p><p>O diagrama de Venn para os conjuntos A, B e C decom-</p><p>põe o plano em oito regiões. Numere-as e exprima cada</p><p>um dos conjuntos abaixo como reunião de algumas des-</p><p>sas regiões.</p><p>a) (Ac  B)c b) (Ac  B)  C c</p><p>c) Vamos calcular A  B.</p><p>3 6</p><p>2 5</p><p>2 6</p><p>A</p><p>B</p><p>A  B</p><p>A  B 5 {x [ ® | 2  x  6} 5 [2, 6]</p><p>d) Vamos calcular A  B.</p><p>2 6</p><p>A  B</p><p>A  B 5 {x [ ® | x  2 ou x  6} 5 ]2∞, 2[  ]6, 1∞[</p><p>Exercícios propostos</p><p>59. Dados os conjuntos a seguir, determine o que se</p><p>pede:</p><p>a) A 5 [2, 4] e B 5 [3, 6]: A  B, A  B, A 2 B, B 2 A e cA</p><p>B .</p><p>b) A 5 {x [ ® | x  4} e B 5 {x [ ® | x  1}: A  B,</p><p>B  A, cA</p><p>B e cB</p><p>A .</p><p>c) A 5 [22, 0) e B 5 [21, 1∞): A  B e A  B.</p><p>d) A 5 (22, 1) e B 5 [23, 0]: A, B, A  B e A  B.</p><p>60. Dados A 5 (25, 2], B 5 [26, 6] e C 5 (2∞, 2], calcule:</p><p>a) A  B  C c) (A  B)  C</p><p>b) A  B  C d) A  (B  C)</p><p>13.  Coordenadas cartesianas</p><p>A notação (a, b) é usada para indicar o par ordenado de números reais a e b, no qual o número a é a primeira</p><p>coordenada e o número b é a segunda coordenada. Observe que os pares ordenados (3, 4) e (4, 3) são diferentes,</p><p>pois a primeira coordenada de (3, 4) é 3, enquanto a primeira coordenada de (4, 3) é 4.</p><p>Sistema de eixos ortogonais</p><p>Um sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares, Ox e Oy, que têm a mesma</p><p>origem O.</p><p>y</p><p>x</p><p>O</p><p>(origem)</p><p>(eixo horizontal ou</p><p>eixo das abscissas)</p><p>(eixo vertical ou</p><p>eixo das ordenadas)</p><p>48 Matemática</p><p>Damos o nome de plano cartesiano a um plano munido de um sistema de eixos ortogonais.</p><p>Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes, na ordem colocada abaixo:</p><p>y</p><p>x</p><p>O</p><p>P(a, b)</p><p>a</p><p>b</p><p>1‚ quadrante</p><p>4‚ quadrante</p><p>2‚ quadrante</p><p>3‚ quadrante</p><p>Usamos esse sistema para localizar pontos no plano. Dado um ponto P desse plano, dizemos que os números</p><p>a e b são as coordenadas cartesianas do ponto P, em que a é a abscissa e b é a ordenada.</p><p>Observe que a cada par ordenado de números reais corresponde um ponto do plano cartesiano e, reciproca-</p><p>mente, a cada ponto do plano corresponde um par ordenado de números reais. Essa correspondência biunívoca</p><p>entre pares de números reais e pontos do plano permite escrever conceitos e propriedades geométricas em uma</p><p>linguagem algébrica e, reciprocamente, interpretar geometricamente relações entre números reais.</p><p>Por exemplo, vamos localizar num plano cartesiano os pontos A(4, 1), B(1, 4), C(22, 23), D(2, 22), E(21, 0), F(0, 3)</p><p>e O(0, 0).</p><p>y</p><p>x</p><p>234 1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>32</p><p>2</p><p>3</p><p>4 B</p><p>A</p><p>D</p><p>C</p><p>1</p><p>1</p><p>0 4</p><p>E O</p><p>F</p><p>Ponto A(4, 1) → ponto A de coordenadas cartesianas 4 e 1 {</p><p>a abscissa é 4</p><p>a ordenada é 1</p><p>Ponto B(1, 4) → ponto B de coordenadas cartesianas 1 e 4 {</p><p>a abscissa é 1</p><p>a ordenada é 4</p><p>Exercícios propostos</p><p>62.	 Dê as coordenadas cartesianas de cada ponto do pla-</p><p>no cartesiano abaixo.</p><p>D</p><p>F</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>E</p><p>y</p><p>x</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>10 2 3 4�1�2�3�4</p><p>�1</p><p>�2</p><p>�3</p><p>�4</p><p>63.	Assinale,</p><p>num plano cartesiano, os seguintes pontos:</p><p>a) A(21, 3); d) E(3, 21);</p><p>b) D(4, 0); e) C[ 3</p><p>2 , 4] ;</p><p>c) B(0, 22); f ) F[ 1</p><p>2 , 22] .</p><p>64.	 Escreva as coordenadas cartesianas de dois pontos</p><p>que estão:</p><p>a) sobre o eixo das abscissas;</p><p>b) sobre o eixo das ordenadas.</p><p>65.	 Um ponto P tem coordenadas (2x 2 6, 7) e pertence</p><p>ao eixo das ordenadas. Determine x.</p><p>49Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Distância entre dois pontos</p><p>A pergunta fundamental é: Se P(a, b) e Q(c, d), como se pode expri-</p><p>mir a distância do ponto P ao ponto Q em termos dessas coordenadas?</p><p>Assim, dados dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2), queremos obter a</p><p>expressão da distância d(P1, P2) em termos das coordenadas de P1 e P2.</p><p>Para isso, é preciso introduzir um novo ponto Q(x2, y1).</p><p>O triângulo P1P2Q é retângulo em Q e o segmento de reta P1P2 é a</p><p>sua hipotenusa. Seus catetos medem (x2 2 x1) e (y2 2 y1), tomados em</p><p>valores absolutos. Usando a relação de Pitágoras, temos:</p><p>[d(P1, P2)]2 5 (x2 2 x1)2 1 (y2 2 y1)2, ou seja,</p><p>Para refletir</p><p>Essa expressão geral obtida não depen-</p><p>de da localização dos pontos P1 e P2.</p><p>d(P1, P2)2 5 (   )    (   )x x y y2 1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>2� � �</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>1‚) Vamos calcular a distância entre os pontos A(1, 24) e B(23, 2).</p><p>d(A, B) 5 (   )    (   )x x y y2 1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>2� � � 5 (     )        ( )     ( )  ( )  ( )� � � � � � � � �3 1 2 4 4 62 2 2 2 16 36 52       � �</p><p>Logo, d(A, B) 5 52  7,2 unidades de comprimento.</p><p>2‚) Vamos demonstrar que o triângulo com vértices</p><p>X(24, 3), Y(4, 23) e Z(3, 4) é isósceles.</p><p>d(X, Y) 5 ( )   ( )    (     )4 4 3 32 2� � � � � 5 64 36 100 10           � � �</p><p>d(Y, Z) 5 (     )        ( )            ( )3 4 4 3 1 492 2� � � � � � � 50</p><p>d(X, Z) 5 ( )   ( )    (     )          3 4 4 3 49 12 2� � � � � � � 50</p><p>Como d(Y, Z) 5 d(X, Z), o triângulo XYZ é isósceles.</p><p>66.	 Os pares ordenados (2x, y) e (3y 2 9, 8 2 x) são iguais.</p><p>Determine x e y.</p><p>67.	 Marque os pontos X(22, 2), Y(2, 2), Z(22, 22) e</p><p>W(2, 22) num sistema cartesiano ortogonal. Una es-</p><p>ses pontos e determine a área da região limitada</p><p>pelo polígono XYWZ.</p><p>68.	Coordenadas geográficas</p><p>O ponto P está localizado a uma latitude de 208 S e</p><p>a uma longitude de 408 L. Indicamos esse ponto</p><p>assim: P(208 S, 408 L) ou P(2208, 1408). Estime a</p><p>latitude e a longitude de cada um dos pontos a</p><p>seguir e indique-as usando o mesmo procedimento</p><p>que fizemos com o ponto P.</p><p>Observação: Mantivemos aqui o que se faz em</p><p>Cartografia: primeiro escrevemos a latitude, depois a</p><p>longitude. Em Matemática é o inverso: a primeira</p><p>coordenada está sempre na horizontal e a segunda,</p><p>na vertical.</p><p>90°90°</p><p>G</p><p>E</p><p>H F</p><p>P</p><p>J</p><p>I K</p><p>Equador</p><p>90°</p><p>Polo Norte</p><p>Pr</p><p>im</p><p>ei</p><p>ro</p><p>m</p><p>er</p><p>id</p><p>ia</p><p>no</p><p>Polo Sul</p><p>90°</p><p>20°</p><p>20°</p><p>40°</p><p>40°</p><p>60°</p><p>60°</p><p>80°</p><p>80°</p><p>a) E c) G e) I g) K</p><p>b) F d) H f ) J</p><p>y</p><p>x</p><p>x1</p><p>x2</p><p>y1</p><p>y2</p><p>P2</p><p>P1 Q</p><p>50 Matemática</p><p>Equação de uma circunferência</p><p>A circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo que é o centro</p><p>dela. A distância constante de qualquer ponto da circunferência ao seu centro é denominada raio da circunferência</p><p>(na figura, OA 5 OB 5 OD 5 r).</p><p>raio (r)</p><p>raio (r)</p><p>raio (r)</p><p>B A</p><p>D</p><p>O</p><p>Para refletir</p><p>Às vezes nos referimos ao raio como o seg-</p><p>mento de reta e às vezes à sua medida.</p><p>Assim, se o centro de uma circunferência C é o ponto O(a, b) e o raio é o</p><p>número real positivo r, então um ponto P(x, y) pertence a C se, e somente se,</p><p>d(O, P) 5 r.</p><p>Pela fórmula da distância entre dois pontos, temos:</p><p>d(P, O) 5 (     )    (     ) ,x a y b� � �2 2 ou seja, r 5 (     )    (     ) ,x a y b� � �2 2 ou ainda,</p><p>(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2 → equação da circunferência de centro O(a, b) e raio r.</p><p>No caso particular em que o centro da circunferência estiver na origem,</p><p>ou seja, (a, b) 5 (0, 0), a equação da circunferência passa a ser x2 1 y2 5 r2 .</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>1‚) Vamos determinar a equação da circunferência com centro O(23, 1) e raio 3.</p><p>Neste caso, a 5 23, b 5 1 e r 5 3. Usando a equação da circunferência, temos:</p><p>(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2 ⇒ (x 1 3)2 1 (y 2 1)2 5 32 ⇒ x2 1 y2 1 6x 2 2y 1 1 5 0</p><p>Logo, a equação é (x 1 3)2 1 (y 2 1)2 5 9 ou x2 1 y2 1 6x 2 2y 1 1 5 0.</p><p>2‚) Vamos escrever a equação da circunferência de centro (0, 0) e raio 5.</p><p>x2 1 y2 5 r2 ⇒ x2 1 y2 5 52 ⇒ x2 1 y2 5 25</p><p>Logo, a equação é x2 1 y2 5 25.</p><p>c) centro em O(0, 0) e raio 6;</p><p>d) centro em O(0, 1) e raio 2.</p><p>Desafio em dupla</p><p>Verifique se a equação x2 1 y2 2 4x 1 8y 1 19 5 0 re-</p><p>presenta uma circunferência. Em caso afirmativo, deter-</p><p>mine as coordenadas do centro e o raio dela.</p><p>Observação: Retornaremos e aprofundaremos esse assunto</p><p>no volume 3 desta coleção.</p><p>Exercícios propostos</p><p>69.	 Determine a distância entre os pontos A e B nos se-</p><p>guintes casos:</p><p>a) A(3, 24) e B(21, 2)</p><p>b) A(3, 23) e B(23, 3)</p><p>(a, b)</p><p>r</p><p>P(x, y)</p><p>O</p><p>x</p><p>y</p><p>b</p><p>a0</p><p>70.	 Demonstre que a distância de um ponto P(x, y) à ori-</p><p>gem O(0, 0) é igual a x y2 2    .1</p><p>71.	 Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são</p><p>A(2, 3), B(0, 0) e C(3, 2).</p><p>Exercícios propostos</p><p>72.	 Dê as coordenadas do centro e o raio das circunferên-</p><p>cias representadas pelas equações:</p><p>a) (x 2 5)2 1 (y 2 3)2 5 1</p><p>b) (x 1 2)2 1 (y 1 1)2 5 9</p><p>c) x2 1 y2 5 16</p><p>d) x2 1 (y 2 2)2 5 25</p><p>73.	Determine uma equação da circunferência que tem:</p><p>a) centro em O(1, 4) e raio 2;</p><p>b) centro em O(22, 25) e raio 3;</p><p>51Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>14. Produto cartesiano</p><p>Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares</p><p>ordenados (a, b), com a [ A e b [ B.</p><p>Indicamos o produto cartesiano de A por B por A × B, que se lê “A cartesiano B”. Assim:</p><p>A × B 5 {(a, b) | a [ A e b [ B}</p><p>Exemplo:</p><p>Se A 5 {1, 2} e B 5 {3, 7, 9}, vamos determinar:</p><p>a) A × B</p><p>A × B 5 {(1, 3); (1, 7); (1, 9); (2, 3); (2, 7); (2, 9)}</p><p>b) B × A</p><p>B × A 5 {(3, 1); (3, 2); (7, 1); (7, 2); (9, 1); (9, 2)}</p><p>c) A × A</p><p>A × A 5 {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2)} 5 A2</p><p>d) B2</p><p>B2 5 {(3, 3); (3, 7); (3, 9); (7, 3); (7, 7); (7, 9); (9, 3); (9, 7); (9, 9)}</p><p>Gráfico do produto cartesiano</p><p>Dados dois conjuntos A e B, com A e B subconjuntos de ®, cada par ordenado do</p><p>produto cartesiano A × B é representado por um ponto no plano cartesiano. O gráfico de</p><p>A × B é o conjunto de todos esses pontos.</p><p>Em A × B, representamos o conjunto A no eixo das abscissas e o conjunto B no eixo das ordenadas. Já em B × A,</p><p>o conjunto B será representado nos eixos das abscissas e A, no eixo das ordenadas.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Dados A 5 {1, 3} e B 5 {2, 4, 5}, vamos determinar o gráfico de:</p><p>a) A × B b) B × A</p><p>B</p><p>A</p><p>1</p><p>1</p><p>32</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>0 4</p><p>B</p><p>A</p><p>1</p><p>1</p><p>32</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>0 4 5</p><p>Observamos que n(A) 5 2, n(B) 5 3 e n(A × B) 5 6 5 n(A) ? n(B).</p><p>2‚) Dados os conjuntos A 5 {x [ ® | 1</p><p>elementos, então A  B pode ter, no máximo, um</p><p>número de elementos igual a:</p><p>a) 7. c) 11. e) 13.</p><p>b) 8. d) 12.</p><p>81. Identifique a alternativa na qual está representado o</p><p>gráfico de A × B com A 5 [2, 3] e B 5 {1, 2}:</p><p>a) y</p><p>x</p><p>32</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>0 4</p><p>c) y</p><p>x</p><p>32</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>0 4</p><p>b) y</p><p>x</p><p>32</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>0 4</p><p>d)   y</p><p>x</p><p>32</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>0 4</p><p>82. Identifique a alternativa na qual está representado o</p><p>gráfico de A × B com A 5 ]2∞, 2] e B 5 [1, 2]:</p><p>a) y</p><p>x</p><p>32</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>0 4</p><p>c) y</p><p>x</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>41 2</p><p>b) y</p><p>x</p><p>32</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>0 4</p><p>d) y</p><p>x</p><p>32 4</p><p>15. Relação binária</p><p>Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se relação (binária) R entre os elementos do conjunto A e os</p><p>elementos do conjunto B qualquer subconjunto de A × B.</p><p>Por exemplo, se A 5 {1, 3, 5} e B 5 {2, 4, 6, 8}, então:</p><p>A × B 5 {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (1, 8); (3, 2); (3, 4); (3, 6); (3, 8); (5, 2); (5, 4); (5, 6); (5, 8)}</p><p>53Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Agora, observe estes subconjuntos de A × B:</p><p>R1 5 {(1, 2); (1, 8); (3, 4); (3, 6); (5, 4); (5, 8)}</p><p>R2 5 {(1, 4); (3, 2); (5, 6)}</p><p>R3 5 ∅</p><p>R4 5 A × B</p><p>R5 5 {(3, 8)}</p><p>R1, R2, R3, R4 e R5 são relações binárias entre os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B (ou</p><p>relações binárias de A em B), pois todos são subconjuntos de A × B.</p><p>Diagrama de flechas</p><p>Uma relação R entre os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B pode ser representada por</p><p>diagramas como o abaixo, chamado de diagrama de flechas.</p><p>1 • • 2</p><p>• 4</p><p>• 6</p><p>• 8</p><p>3 •</p><p>5 •</p><p>A B</p><p>As flechas indicam quais pares ordenados pertencem à relação. Neste exemplo, temos:</p><p>R 5 {(3, 2); (3, 6); (5, 6)}</p><p>e escrevemos 3 R 2; 3 R 6; 5 R 6 para indicar que 3 está relacionado com 2, 3 está relacionado com 6, e 5 está relacio-</p><p>nado com 6.</p><p>Domínio e conjunto imagem</p><p>Sendo R uma relação de A em B, podemos definir:</p><p>• Domínio de R: conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados (x, y) que pertencem a R.</p><p>É indicado por D(R).</p><p>No exemplo anterior, D(R) 5 {3, 5}. Note que D(R) , A.</p><p>• Imagem de R: conjunto formado por todos os segundos elementos dos pares ordenados (x, y) que pertencem a R.</p><p>É indicado por Im(R).</p><p>No exemplo anterior, Im(R) 5 {2, 6}. Note que Im(R) , B.</p><p>Relação inversa</p><p>Dada uma relação binária R de A em B, definimos a relação inversa R21 como o conjunto formado pelos pares</p><p>ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par.</p><p>Assim:</p><p>R21 5 {(x, y) [ B × A | (y, x) [ R}</p><p>Por exemplo, se R 5 {(1, 2); (3, 4)}, então R21 5 {(2, 1); (4, 3)}.</p><p>Para refletir</p><p>Um caso particular e muito</p><p>importante de relação é o</p><p>conceito de função, que</p><p>será estudado no próximo</p><p>capítulo.</p><p>54 Matemática</p><p>Exercícios propostos</p><p>83. Dados os conjuntos A 5 {1, 2} e B 5 {3, 4, 5}, indique</p><p>quais desses conjuntos de pares ordenados represen-</p><p>tam uma relação entre os elementos de A e os ele-</p><p>mentos de B, ou seja, uma relação de A em B.</p><p>a) F1 5 {(1, 3); (2, 4); (2, 5)}</p><p>b) F2 5 {(2, 3); (2, 5); (2, 6)}</p><p>c) F3 5 {(1, 4); (1, 5); (2, 4); (2, 5)}</p><p>d) F4 5 {(1, 5); (0, 3); (2, 4)}</p><p>84. Considerando as relações do exercício anterior:</p><p>a) construa o gráfico de cada uma delas;</p><p>b) desenhe o diagrama de flechas de cada uma delas;</p><p>c) escreva o domínio e o conjunto imagem.</p><p>85. Dados A 5 {21, 0, 1, 2} e B 5 {2, 4, 6}, a relação R de-</p><p>finida de A em B tem o seguinte gráfico:</p><p>y</p><p>x</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>10 2 31</p><p>a) Escreva a relação R como um conjunto de pares</p><p>ordenados.</p><p>b) Faça o diagrama de flechas de R.</p><p>c) Escreva o domínio e a imagem de R.</p><p>Para refletir</p><p>O gráfico de uma relação R en tre os conjuntos</p><p>A e B é o subconjunto G(R) do produto cartesia-</p><p>no A × B formado pelos pares (x, y) tal que x R y,</p><p>ou seja, G(R) 5 {(x, y) [ A × B | x R y}.</p><p>86. Dados os conjuntos A 5 {21, 1} e B 5 {22, 2}, deter-</p><p>mine o número de relações binárias não vazias de A</p><p>em B.</p><p>87. Examine a relação R de A em B representada pelo</p><p>diagrama de flechas abaixo:</p><p>1 • • 2</p><p>• 4</p><p>• 6</p><p>• 8</p><p>• 10</p><p>3 •</p><p>7 •</p><p>5 •</p><p>A B</p><p>a) Escreva a relação R como conjunto de pares or-</p><p>denados.</p><p>b) Escreva o domínio e o conjunto imagem de R.</p><p>c) Construa o gráfico de R.</p><p>Relações definidas por certas condições entre x e y</p><p>Entre as relações, destacam-se aquelas definidas por condições que estabelecem se x está ou não relacionado com y.</p><p>Por exemplo, a relação “menor do que” () entre números reais (relação de ® em ®):</p><p>• 2  3, pois 3 2 2  0.</p><p>• 24  21, pois (21) 2 (24) 5 3  0.</p><p>• 5 não é menor do que 3, pois 3 2 5 não é maior do que 0.</p><p>De modo geral, a condição que nos permite escrever x  y, com x [ ® e y [ ®</p><p>é y 2 x  0.</p><p>Dados A 5 {21, 2, 5} e B 5 {1, 5}, temos: A × B 5 {(21, 1); (21, 5); (2, 1); (2, 5);</p><p>(5, 1); (5, 5)} e R 5 {(x, y) [ A × B | x  y}</p><p>Nesse caso, um par ordenado (x, y), para pertencer a R, deve pertencer a A × B</p><p>e satisfazer a condição x  y. Assim, R 5 {(21, 1); (21, 5); (2, 5)}.</p><p>Exercícios propostos</p><p>88. Dados os conjuntos A 5 {1, 2, 3, 4} e B 5 {2, 3, 5, 6},</p><p>determine:</p><p>a) a relação R de A em B definida por</p><p>R 5 {(x, y) [ A × B | y 5 x 1 2};</p><p>b) o domínio e a imagem da relação R;</p><p>c) a relação R21 inversa de R.</p><p>89. Dados os conjuntos A 5 {3, 4, 5} e B 5 {3, 4}, escreva as</p><p>relações a seguir como conjunto de pares ordenados.</p><p>Depois, faça o diagrama de flechas, determine o</p><p>domínio, o conjunto imagem e a sua respectiva</p><p>relação inversa.</p><p>a) R1 5 {(x, y) [ A × B | x 1 y  6}</p><p>b) R2 5 {(x, y) [ A × B | x 5 y}</p><p>c) R3 5 {(x, y) [ A × B | y  x}</p><p>d) R4 5 {(x, y) [ A × B | x 1 1  y}</p><p>1 •</p><p>• 1</p><p>• 5</p><p>2 •</p><p>5 •</p><p>A B</p><p>Diagrama de flechas</p><p>55Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Fonte: Adaptado de Atlas geográfico escolar.</p><p>Rio de Janeiro: IBGE, 2007.</p><p>a) Escreva no caderno esse número por extenso.</p><p>b) Escreva no caderno esse número decompondo-o</p><p>em potências de 10.</p><p>c) Arredonde esse número para a centena mais</p><p>próxima.</p><p>d) Arredonde esse número para a unidade de milhar</p><p>mais próxima.</p><p>92. Faça o arredondamento que você achar mais razoável</p><p>em cada caso.</p><p>a) A extensão, em quilômetros quadrados, do estado</p><p>de São Paulo é de 248 209, aproximadamente.</p><p>b) A distância terrestre, em quilômetros, entre São</p><p>Paulo e Rio de Janeiro é de 429.</p><p>c) Extensão da rodovia Transamazônica, em quilôme-</p><p>tros: 5 600 (projeto inicial).</p><p>d) Extensão, em quilômetros quadrados, dos Estados</p><p>Unidos: 9 629 091.</p><p>93. A distância média da Terra ao Sol é de 149 600 000</p><p>quilômetros.</p><p>a) Para que ordem foi arredondado esse número?</p><p>b) Escreva como se lê esse número.</p><p>c) Por que foi escrito “distância média”, e não apenas</p><p>“distância”?</p><p>94. De acordo com IBGE*, a população urbana registrada</p><p>no Brasil em 2007 era de 158 453 000 habitantes e a</p><p>rural, 31 367 000, totalizando 189 820 000 habitantes.</p><p>Nos jornais e nas revistas, esses números aparecem</p><p>arredondados e simplificados.</p><p>Veja como ficam os dois primeiros:</p><p>158 453 000 → 158 000 000 → 158 milhões</p><p>31 367 000 → 31 400 000 → 31,4 milhões</p><p>Use o procedimento com o número que indica a</p><p>população total do Brasil.</p><p>Exercícios propostos</p><p>90. Considere a informação: A superfície do território</p><p>brasileiro tem uma área de 8 514 877 quilômetros</p><p>quadrados (km2).</p><p>Leitura:</p><p>Oito milhões, quinhentos e catorze mil, oitocentos</p><p>e setenta e sete unidades, ou simplesmente: 8 milhões,</p><p>514 mil e 877</p><p>Decomposição:</p><p>Podemos decompor um número natural usando</p><p>potências de 10:</p><p>8 514 877 5 8 000 000 1 500 000 1 10 000 1 4 000 1</p><p>1 800 1 70 1 7 5 8 3 1 000 000 1 5 3 100 000 1</p><p>1 1 3 10 000 1 4 3 1 000 1 8 3 100 1 7 3 10 1</p><p>1 7 3 1 5 8 3 106 1 5 3 105 1 1 3 104 1 4 3 103 1</p><p>1 8 3 102 1 7 3 101 1 7 3 100</p><p>Para refletir</p><p>Qualquer número natural pode ser</p><p>decomposto em potências de 10.</p><p>Arredondamentos:</p><p>Ao fazer arredondamentos, você deve observar o</p><p>algarismo que vem logo à direita do algarismo da</p><p>ordem que vai arredondar:</p><p>• se for 0, 1, 2, 3 ou 4, mantém-se a mesma ordem;</p><p>• se for 5, 6, 7, 8 ou 9, arredonda-se “para cima”.</p><p>Veja alguns exemplos. A ordem que se vai arredondar</p><p>está assinalada com um traço:</p><p>2 3 2 6 → 2 300 (mais</p><p>próximo de 2 300 do que de 2 400)</p><p>1 6 7 4 3 → 17 000 (mais próximo de 17 000 do que de 16 000)</p><p>8 1 5 7 4 3 → 820 000 (mais próximo de 820 000 do que de 810 000)</p><p>8 1 6 7 4 3 → 800 000 (mais próximo de 800 000 do que de 900 000)</p><p>3 5 8 1 6 7 4 3 → 36 000 000 (mais próximo de 36 000 000 do que de 35 000 000)</p><p>Poderíamos ter dado a área aproximada da superfície</p><p>do território brasileiro de forma arredondada. Por</p><p>exemplo, arredondando para a:</p><p>• unidade mais próxima: 8 514 880 km2</p><p>• centena mais próxima: 8 514 900 km2</p><p>Arredonde o número 8 514 877 para a:</p><p>a) unidade de milhar mais próxima</p><p>b) dezena de milhar mais próxima</p><p>c) centena de milhar mais próxima</p><p>91. Você sabia que as duas capitais brasileiras mais dis-</p><p>tantes uma da outra são Boa Vista (Roraima) e Porto</p><p>Alegre (Rio Grande do Sul)? E que essa distância é</p><p>de 3 775 km?</p><p>16. Situações-problema envolvendo números reais, grandezas</p><p>e medidas</p><p>* Síntese de Indicadores Sociais: uma análise das condições de vida da</p><p>população brasileira.</p><p>Boa Vista</p><p>Porto Alegre</p><p>OCEANO ATLÂNTICO</p><p>O</p><p>C</p><p>E</p><p>A</p><p>N</p><p>O</p><p>PA</p><p>C</p><p>ÍF</p><p>IC</p><p>O N</p><p>0 1200 km</p><p>EQUADOR</p><p>56 Matemática</p><p>95. Observe no exemplo a seguir como podemos trans-</p><p>formar um número arredondado e simplificado em</p><p>um número escrito somente com algarismos:</p><p>31,4 milhões → 31 milhões e 4 décimos de 1 milhão →</p><p>→ 31 000 000 1 400 000 → 31 400 000</p><p>Use o mesmo procedimento e escreva no caderno</p><p>usando apenas algarismos.</p><p>a) 17,3 milhões d) 3,5 bilhões</p><p>b) 0,6 milhão e) 152,7 bilhões</p><p>c) 1,3 mil f ) 3,2 trilhões</p><p>96. O número que indica a população de uma cidade foi</p><p>arredondado para a unidade de milhar mais próxima</p><p>e resultou em 56 000. Quais são o menor e o maior</p><p>número possíveis para indicar essa população?</p><p>97. Arredondamento, estimativa, cálculo mental e resulta-</p><p>do aproximado</p><p>Em uma fazenda, foram colhidas 1 123 caixas de</p><p>laranjas em um mês e 783 caixas no mês seguinte.</p><p>Nesses dois meses, aproximadamente, quantas caixas</p><p>de laranjas foram colhidas?</p><p>Como se quer aproximadamente o número de caixas,</p><p>fazemos uma estimativa de 1 123 1 783. Para estimar</p><p>1 123 1 783, arredondamos e somamos:</p><p>1 123</p><p>arredondamos</p><p>1 100</p><p>1783</p><p>arredondamos</p><p>1800</p><p>1 900 estimativa do</p><p>resultado</p><p>aproximado</p><p>Nesses dois meses foram colhidas, aproximadamente,</p><p>1 900 caixas de laranjas.</p><p>Arredonde, faça estimativa do resultado aproximado</p><p>e indique a resposta que você acha mais provável. Em</p><p>seguida, confira o resultado com os de seus colegas.</p><p>a) 48 1 71</p><p>130</p><p>120</p><p>110</p><p>e) 95 2 39</p><p>55</p><p>45</p><p>65</p><p>b)</p><p>300</p><p>600</p><p>900</p><p>3 3 297 f )</p><p>8</p><p>80</p><p>800</p><p>402 : 5</p><p>c)</p><p>5</p><p>10</p><p>50</p><p>998 : 201 g)</p><p>220</p><p>210</p><p>200</p><p>79 1 122</p><p>d)</p><p>160</p><p>1 600</p><p>16 000</p><p>39 3 41 h)</p><p>350</p><p>450</p><p>400</p><p>502 2 149</p><p>98. No Brasil, a reciclagem de lixo ainda está longe do ideal,</p><p>mas aos poucos está melhorando. Por exemplo: 47%</p><p>das embalagens de vidro já estão sendo recicladas.</p><p>a) De acordo com o exemplo dado, para cada 800 t</p><p>de embalagens de vidro, quantas toneladas são</p><p>recicladas?</p><p>b) Determine as porcentagens com base nas informa-</p><p>ções dadas, em média:</p><p>• Papelão: em 250 t são recicladas 200 t.</p><p>• Latas de alumínio: para cada 500 t são recicladas</p><p>480 t.</p><p>c) 20% dos plásticos rigídos são reciclados. Isso sig-</p><p>nifica, em média, que 300 t são recicladas em um</p><p>total de quantas toneladas?</p><p>d) Formule uma pergunta com os dados dos itens</p><p>anteriores.</p><p>(Fonte: www.cempre.org.br. Acesso em 20/5/2009.)</p><p>99. Uso da calculadora</p><p>É muito fácil calcular a porcentagem em uma</p><p>calculadora. Veja:</p><p>Vamos determinar 35% de 460:</p><p>Teclamos</p><p>e obtemos .</p><p>Faça você. Use uma calculadora e descubra:</p><p>a) 80% de 1 340 c) 135% de R$ 60,00</p><p>b) 32% de 1 400</p><p>100. Por que, no item c do exercício anterior, o resultado</p><p>é maior do que R$ 60,00? Converse sobre isso com</p><p>um colega.</p><p>101. Arredondamentos e estimativas</p><p>Faça aproximações e identifique apenas o valor mais</p><p>adequado a cada questão.</p><p>a) Desconto de 9%</p><p>R$ 20,00</p><p>R$ 30,00</p><p>R$ 40,00</p><p>em R$ 298,00</p><p>b) 49% de uma</p><p>população de</p><p>70 000 habitantes</p><p>50 000 habitantes</p><p>80 000 habitantes 141 200 habitantes</p><p>c) 22% de um</p><p>50 km</p><p>100 km</p><p>20 km</p><p>percurso de 503 km</p><p>d) Preço de um</p><p>produto que</p><p>custava R$ 80,50 e</p><p>R$ 180,00</p><p>R$ 95,00</p><p>R$ 88,00 aumentou 11%</p><p>102. Você sabe quais são os quatro estados brasileiros na</p><p>ordem do maior para o menor? Confira sua estimativa</p><p>usando as informações a seguir e descubra as áreas</p><p>aproximadas dos estados, em quilômetros quadrados.</p><p>Pará: 75% do Amazonas.</p><p>Amazonas: (16 3 100 000) km2.</p><p>Minas Gerais: 50% do Pará.</p><p>57Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Mato Grosso:</p><p>3</p><p>2</p><p>de Minas Gerais.</p><p>Agora escreva o nome dos quatro estados de acordo</p><p>com a ordem decrescente de suas áreas.</p><p>103. Em uma loja de som e imagem, cada vendedor rece-</p><p>be R$ 80,00 por semana e mais comissão de R$ 5,00</p><p>por aparelho de DVD que vender. Luciana vendeu 8</p><p>aparelhos em uma semana e Roberto, 4.</p><p>a) Você acha que Luciana recebeu o dobro do que</p><p>ganhou Roberto nessa semana?</p><p>b) Calcule quanto recebeu cada um e depois confira</p><p>sua resposta.</p><p>c) Calcule quantos aparelhos de DVD um funcionário</p><p>precisa vender para receber R$ 145,00 no fim da</p><p>semana.</p><p>104. José Roberto viajou de São Paulo para Brasília. Seguiu,</p><p>depois, para Salvador e, finalmente, de Salvador foi</p><p>para Recife.</p><p>Distância terrestre</p><p>(em km)</p><p>São Paulo Brasília Salvador Recife</p><p>São Paulo 1 015 2 052 2 716</p><p>Brasília 1 015 1 542 2 223</p><p>Salvador 2 052 1 542 842</p><p>Recife 2 716 2 223 842</p><p>a) Mentalmente, estime quantos quilômetros José</p><p>Roberto viajou, aproximadamente.</p><p>b) Faça os cálculos e determine quantos quilômetros</p><p>ele viajou.</p><p>c) Invente uma questão com os dados da tabela.</p><p>Troque-a com um colega e resolva a dele.</p><p>105. No jogo de basquete, as cestas podem valer 3 pontos,</p><p>2 pontos ou 1 ponto (lance livre). Encontre todas as</p><p>maneiras de um time fazer 15 pontos. (Sugestão: faça</p><p>uma tabela organizada.)</p><p>106. Como você já sabe, as calculadoras são usadas para</p><p>auxiliar uma pessoa a fazer cálculos complexos mais</p><p>rapidamente do que utilizando caneta e papel. Ob-</p><p>serve que a calculadora abaixo tem teclas de memó-</p><p>ria. Os números podem ser armazenados na memória</p><p>da calculadora para serem usados posteriormente.</p><p>Examine o significado de algumas teclas:</p><p>M+ : coloque um número na</p><p>memória</p><p>M– : retire um número da</p><p>memória</p><p>MR : busque um número na</p><p>memória</p><p>MC : apague a memória</p><p>Veja como é fácil. Acompanhe o exemplo a seguir.</p><p>Vamos calcular o valor da expressão abaixo usando</p><p>as teclas de memória:</p><p>(2 496 : 32) 1 (6 298 : 94)</p><p>M+ MR2 496 32 78 786 298 94 67</p><p>Agora use a calculadora para determinar o valor de:</p><p>a) (3 612 : 86) ? (1 377 : 51)</p><p>b) (712 ? 34) 1 (3 455 2 219)</p><p>c) (756 1 24) ? (912 : 304)</p><p>107. Faça estimativas, obtenha resultados aproximados e</p><p>responda em seu caderno. Em qual intervalo abaixo</p><p>cada resultado poderá ser colocado?</p><p>0 500</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>500 1 000</p><p>1 000 1 500</p><p>1 500 2 000</p><p>a) 147 1 385</p><p>b) 5 199 2 4 002</p><p>c) 49 3 19</p><p>d) 11 991 : 30</p><p>e) 944 1 626</p><p>108. Notação científica</p><p>A notação científica permite escrever números usando</p><p>potências de 10. Sua principal utilidade é a de fornecer,</p><p>num relance, a ideia da ordem de grandeza de um</p><p>número que, se fosse escrito por extenso, não daria</p><p>essa informação de modo tão imediato.</p><p>Um número está expresso em notação científica se</p><p>está escrito como o produto de dois números reais:</p><p>um número real pertencente ao intervalo [1, 10) e</p><p>uma potência de 10.</p><p>Veja alguns exemplos de números escritos na notação</p><p>científica:</p><p>1) 300 5 3 ? 100 5 3 ? 102</p><p>2) 0,0052 5 5,2 ? 0,001 5 5,2 ? 1023</p><p>3) 32,45 5 3,245 ? 10 5 3,245 ? 101</p><p>4) 5 249 5 5,249 ? 1 000 5 5,249 ? 103</p><p>5) 0,000 000 000 2 5 2 ? 1029</p><p>6) 8 500 000 5 85 ? 105 5 8,5 ? 106</p><p>7) a massa de um átomo de oxigênio: 2,7 ? 10223 g</p><p>8) a massa de um átomo de hidrogênio: 1,66 ? 10224 g</p><p>Escreva os números em notação científica:</p><p>a) a distância média da Terra ao Sol: 149 600 000 km</p><p>b) a velocidade da luz: 300 000 km/s</p><p>c) a distância em torno da Terra no equador: 40 075 km</p><p>d) a distância média do Sol a Marte: 227 900 000 km</p><p>e) a distância média do Sol a Júpiter:</p><p>778 300 000 km</p><p>f) a massa de um elétron, aproximadamente</p><p>0,000000000000000000000000000911 g</p><p>AB</p><p>lE</p><p>st</p><p>o</p><p>ck</p><p>.c</p><p>o</p><p>m</p><p>/J</p><p>u</p><p>pI</p><p>tE</p><p>RI</p><p>m</p><p>AG</p><p>Es</p><p>58 Matemática</p><p>109. Você sabia que...</p><p>... 1 bit é a menor unidade</p><p>de informação usada pe-</p><p>lo computador?</p><p>... byte (B) é a unidade de</p><p>medida usada para a</p><p>memória do computador e para o armazenamento de</p><p>dados?</p><p>... 1 byte contém 8 bits e pode armazenar um caractere</p><p>(uma letra, um número ou um símbolo qualquer)?</p><p>Veja outras unidades:</p><p>B 5 byte (uma unidade de informação)</p><p>KB 5 kilobyte (1 024 B ou, arredondando, 1 000 B)</p><p>MB 5 megabyte (1 024 KB ou, arredondando,</p><p>1 000 KB ou 1 000 000 B)</p><p>GB 5 gigabyte (1 024 MB ou, arredondando,</p><p>1 000 MB ou 1 000 000 000 B)</p><p>MHz 5 megahertz (1 000 000 Hz ou 1 000 000 de ciclos</p><p>por segundo)</p><p>GHz 5 gigahertz (1 000 MHz 5 1 000 000 000 Hz ou</p><p>1 000 000 000 de ciclos por segundo)</p><p>a) Quando um programa é instalado em um computa-</p><p>dor, ele fica armazenado no disco rígido. O compu-</p><p>tador mede a armazenagem em kbytes. Determine</p><p>o número de bytes de um computador que tem</p><p>64 kbytes.</p><p>b) Use potências de 10 para escrever, de modo arre-</p><p>dondado:</p><p>• 2 GHz em Hz • 128 MB em B</p><p>c) Escreva na notação científica:</p><p>• 250 GB em B • 8 MB em B</p><p>110. Use cada algarismo abaixo uma única vez. Escreva</p><p>dois números de três algarismos cujo produto entre</p><p>eles seja o menor possível.</p><p>1 2 5 3 6 4</p><p>111. Examine o gráfico de temperaturas médias (em °C) da</p><p>cidade de Madri (capital da Espanha) nos primeiros</p><p>dias de janeiro.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>1 3 4 5 6 7 80</p><p>Temperatura</p><p>(°C)</p><p>Dias</p><p>de janeiro</p><p>2</p><p>a) Faça uma tabela que corresponda ao gráfico.</p><p>b) Qual foi a temperatura média máxima nesses pri-</p><p>meiros 8 dias? Em que dia ocorreu?</p><p>c) Qual foi a temperatura média mínima? Em que dia</p><p>ocorreu?</p><p>d) Em que dia a temperatura média registrada foi</p><p>de 0 °C?</p><p>e) A média das temperaturas nesses 8 dias foi maior</p><p>ou menor do que 0 °C?</p><p>Para refletir</p><p>Você sabia que...</p><p>... foi o cientista sueco Andres Celsius (1701-1744)</p><p>que, em 1742, criou a escala centesimal para medir</p><p>temperatura?</p><p>... Celsius baseou essa escala na temperatura de so-</p><p>lidificação (0 °C) e de ebulição (100 °C) da água em</p><p>determinadas condições?</p><p>112. Em uma folha de papel quadriculado, trace os eixos</p><p>x e y, localize os pontos A(24, 11) e B(14, 23). Em</p><p>seguida, marque os pontos: C(22, 13), D(14, 11),</p><p>E(23, 23), F(13, 21), G(0, 23), H(11, 23) e I(23, 0).</p><p>Trace agora os triângulos nACD, nIEG, nFHB e clas-</p><p>sifique-os quanto aos ângulos e aos lados.</p><p>? ?</p><p>? ?2</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>4</p><p>14 1 2 3 40</p><p>y</p><p>x</p><p>A</p><p>I</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>F</p><p>HGE</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>As duas retas perpendiculares são chamadas de eixos x e y.</p><p>Os dois números do par ordenado são as coordenadas</p><p>do ponto correspondente.</p><p>O ponto do par (0, 0) é chamado de origem.</p><p>Para refletir</p><p>Chama-se par ordenado porque a ordem em que</p><p>aparecem os números é importante. Por exemplo, a</p><p>posição do ponto M(22, 13) é diferente da posição</p><p>do ponto N(13, 22).</p><p>113. Os pontos A(21, 3), B(21, 23) e D(5, 3) são vértices</p><p>de um quadrado ABCD. Escreva o quarto vértice des-</p><p>se quadrado.</p><p>+ • –+ • –+ • –</p><p>– +</p><p>Pentium Dual-Core: 2 GHz</p><p>Memória: 2 GB</p><p>Disco rígido: 250 GB</p><p>Placa de vídeo: 128 MB</p><p>Iniciar</p><p>File Edit Object Type View Help</p><p>Iniciar</p><p>File Edit Object Type View Help</p><p>foRmAto comunIcAçõEs/ARquIvo dA EdItoRA</p><p>59Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>114. Reflexão, translação e ampliação</p><p>Examine o triângulo de vértices A(1, 3), B(4, 4) e C(3, 1)</p><p>da figura a seguir.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1234 1 2 3 40</p><p>y</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>Vamos multiplicar a primeira coordenada de cada</p><p>vértice por 21:</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1234 1 2 3 40</p><p>y</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>A(1, 3) → D(21, 3); B(4, 4) → E(24, 4); C(3, 1) → F(23, 1)</p><p>O triângulo DEF é uma reflexão do triângulo ABC em</p><p>relação ao eixo y. Dizemos também que o triân-</p><p>gulo DEF é o simétrico do triângulo ABC segundo o</p><p>eixo y.</p><p>Vamos agora somar 23 à segunda coordenada de</p><p>cada vértice do triângulo ABC:</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1234 1 2 3 40</p><p>y</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>G</p><p>H</p><p>I</p><p>A(1, 3) → G(1, 0); B(4, 4) → H(4, 1); C(3, 1) → I(3, 222)</p><p>O triângulo GHI é uma translação do triângulo ABC,</p><p>3 unidades para baixo. Podemos transladar uma figura</p><p>para a esquerda, para a direita, para cima e para</p><p>baixo.</p><p>Em uma reflexão ou em uma translação, o tamanho</p><p>e a forma da figura original não se modificam. Muda-</p><p>-se apenas a posição da figura.</p><p>Vamos, agora, multiplicar por 2 as coordenadas dos</p><p>vértices deste triângulo ABC:</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>1234 1 2 3 40</p><p>y</p><p>xA</p><p>B</p><p>C</p><p>A(1, 1) → J(2, 2); B(2, 4) → K(4, 8); C(4, 1) → L(8, 2)</p><p>O triângulo JKL é uma ampliação do triângulo ABC.</p><p>Em uma ampliação, a forma da figura original não se</p><p>altera, mas o tamanho aumenta.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1 2 3 40</p><p>y</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>5 6 7 8 9</p><p>K</p><p>LJ</p><p>Desenhe em uma folha de papel quadriculado um</p><p>triângulo cujos vértices são A(22, 21), B(24, 22) e</p><p>C(21, 23). Depois, multiplique a segunda coordena-</p><p>da de cada vértice por 21. Desenhe o novo triângulo.</p><p>O que é esse novo triângulo em relação ao original?</p><p>115. Desenhe em uma folha de papel quadriculado um</p><p>triângulo cujos vértices são P(1, 1), Q(2, 23) e R(4, 0).</p><p>Faça a translação do triângulo PQR 3 unidades para</p><p>cima. Escreva as coordenadas de cada vértice do</p><p>triângulo obtido.</p><p>116. Desenhe em uma folha de papel quadriculado um</p><p>triângulo cujos vértices são M(21, 1), N(3, 22) e</p><p>L(22, 23). Depois, multiplique as duas coordenadas</p><p>de cada vértice por 3. Desenhe o novo triângulo. O</p><p>que é esse novo triângulo em relação ao original?</p><p>117. Que operações devemos efetuar com as coordena-</p><p>das dos pontos A, B e C para que o nA9B9C9 seja</p><p>obtido a partir do nABC? Confira sua resposta de-</p><p>terminando e comparando as coordenadas dos vér-</p><p>tices dos dois triângulos.</p><p>60 Matemática</p><p>y</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>118. Aurora vai fazer pãezinhos para seus amigos que vêm</p><p>estudar em sua casa. O livro de receitas indica os in-</p><p>gredientes abaixo.</p><p>4 colheres de sopa de açúcar</p><p>(Porção para 6 pessoas)</p><p>RECEITA</p><p>35</p><p>1</p><p>2</p><p>copo de leite</p><p>colher de café de fermento em pó1</p><p>2</p><p>1</p><p>5 xícaras de farinha de trigo</p><p>Como ela pretende fazer pãezinhos para três pessoas,</p><p>reescreva esses quatro ingredientes com as respectivas</p><p>quantidades.</p><p>119. Quando lançamos um dado, há seis possibilidades</p><p>quanto à face que ficará voltada para cima: A proba-</p><p>bilidade de sair o número 5 é de 1 em 6, ou</p><p>seja,</p><p>1</p><p>6 .</p><p>A probabilidade de sair um número ímpar é de 3 em</p><p>6 ou</p><p>3</p><p>6</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Qual é a probabilidade de sair:</p><p>a) o número 4?</p><p>b) um número par?</p><p>c) um número maior do que 2?</p><p>d) um divisor de 12?</p><p>e) um número maior do que 7?</p><p>f) um número primo?</p><p>120. O gráfico abaixo mostra a variação do valor em reais</p><p>do dólar comercial no período de 11/5/2009 a</p><p>18/5/2009. Analise-o e responda:</p><p>(Fonte: www.bc.gov.br.</p><p>Acesso em 20/5/2009.)</p><p>DÓLAR</p><p>Taxas de câmbio comercial (R$/venda)</p><p>11 12</p><p>2,0992</p><p>2,0579</p><p>2,0649</p><p>2,0929</p><p>2,0762</p><p>maio</p><p>1413</p><p>(Fonte: www.bc.gov.br. Acesso em 20/5/2009.)</p><p>15 18</p><p>2,0500</p><p>2,0600</p><p>2,0700</p><p>2,0800</p><p>2,0900</p><p>2,1000</p><p>2,0784</p><p>a) Qual era o valor do dólar em 12/5?</p><p>b) Em 18/5, a quantia de 100 dólares correspondia a</p><p>quantos reais?</p><p>c) De 15/5 a 18/5, o valor do dólar subiu ou caiu?</p><p>Quanto?</p><p>d) Em 11/5, a quantia de R$ 300,00 correspondia a</p><p>quantos dólares, aproximadamente?</p><p>121. Usando as informações acima, determine o valor mé-</p><p>dio do dólar comercial no período de 11/5/2009 a</p><p>18/5/2009. (Use calculadora.)</p><p>122. Cíntia toca bateria e viaja todo fim de semana com sua</p><p>banda. Como precisa economizar, resolveu verificar</p><p>como estava o consumo de gasolina de seu carro (em</p><p>km/, ). Para isso fez o seguinte: Antes da viagem, en-</p><p>cheu o tanque e anotou a quilometragem marcada no</p><p>painel: 		0 1 8 9 6 8		 .</p><p>Quando retornou, anotou a quilometragem:</p><p>0 1 9 1 9 8		 , encheu novamente o tanque e viu</p><p>que gastou 18,4 , de gasolina.</p><p>a) Qual foi o consumo do carro de Cíntia em quilôme-</p><p>tros por litro?</p><p>b) Quanto Cíntia gastou em gasolina para fazer logo</p><p>em seguida</p><p>uma outra viagem de 387,5 km se cada</p><p>litro custava na época R$ 2,29?</p><p>123. Atividade em equipe</p><p>IMC é a sigla para índice de massa corporal, que permite</p><p>a uma pessoa fazer o controle de seu “peso”. O cálculo</p><p>do IMC é feito usando a fórmula a seguir, e o controle,</p><p>de acordo com a tabela a seguir.</p><p>IMC 5 massa</p><p>altura ? altura</p><p>(massa em kg</p><p>e altura em m)</p><p>“Peso”</p><p>Baixo Normal Pré-obeso Obeso</p><p>Até 19 De 19 a 25 De 25 a 30 Mais de 30</p><p>Il</p><p>u</p><p>st</p><p>RA</p><p>çõ</p><p>Es</p><p>: f</p><p>o</p><p>Rm</p><p>At</p><p>o</p><p>c</p><p>o</p><p>m</p><p>u</p><p>n</p><p>Ic</p><p>Aç</p><p>õ</p><p>Es</p><p>/A</p><p>Rq</p><p>u</p><p>Iv</p><p>o</p><p>d</p><p>A</p><p>Ed</p><p>It</p><p>o</p><p>RA</p><p>61Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Tomemos como exemplo uma pessoa com 70 kg e</p><p>1,64 m:</p><p>IMC 5 70</p><p>1,64 ? 1,64</p><p>5 70</p><p>2,6896</p><p>5 26,03 (aproximada-</p><p>mente)</p><p>Consultando a tabela, podemos deduzir que essa</p><p>pessoa é pré-obesa.</p><p>a) Usando a fórmula do IMC, determinem em que</p><p>faixa da tabela está uma pessoa com 1,70 m de</p><p>altura e 70 kg.</p><p>b) Verifiquem qual é o IMC de vocês e em que faixa</p><p>da tabela se encontram.</p><p>c) Uma pessoa tem 1,80 m de altura. Qual deve ser</p><p>seu “peso” para que o IMC seja 20?</p><p>d) Façam o teste com cada elemento da equipe, clas-</p><p>sificando como IMC “baixo”, “normal”, “pré-obeso”</p><p>e “obeso”.</p><p>124. O gráfico de setores abaixo mostra o resultado de uma</p><p>eleição na qual concorreram os candidatos A, B e C.</p><p>O número total de votos válidos foi 12 000.</p><p>4 800 votos</p><p>%</p><p>votos</p><p>25%</p><p>%</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>votos</p><p>a) Quantos votos teve o candidato A?</p><p>b) Qual foi a porcentagem de votos dados a B?</p><p>c) Qual foi a porcentagem e o número de votos dados</p><p>a C?</p><p>d) Qual é a medida do ângulo central correspondente</p><p>aos setores de A, B e C no gráfico?</p><p>125. Se 201 g de mercúrio e 16 g de oxigênio se combinam</p><p>para formar 217 g de óxido de mercúrio, qual a por-</p><p>centagem de cada elemento no óxido de mercúrio?</p><p>126. 	Você já tentou usar uma calculadora para somar fra-</p><p>ções? É claro que é possível!</p><p>Veja este exemplo. Vamos somar</p><p>2</p><p>13 1</p><p>4</p><p>15 .</p><p>Acompanhe cada passo:</p><p>M+ MR2 13 4 15</p><p>2</p><p>13</p><p>4</p><p>15</p><p>Como escrever esse número na forma de fração?</p><p>Procure uma fração equivalente com denominador</p><p>13 ? 15.</p><p>Veja:</p><p>2</p><p>13 1</p><p>4</p><p>15 5 0,42051282 5</p><p>0,42051282</p><p>1</p><p>5</p><p>82</p><p>195</p><p>Assim,</p><p>2</p><p>13 1</p><p>4</p><p>15 5</p><p>82</p><p>195</p><p>.</p><p>Agora, use calculadora e determine estas somas:</p><p>a)</p><p>21</p><p>37 1</p><p>12</p><p>17 b)</p><p>2</p><p>77 1</p><p>5</p><p>61 c)</p><p>17</p><p>23 1</p><p>4</p><p>15</p><p>127. Rosa é arquiteta. Ao fazer a planta de uma casa, depa-</p><p>rou-se com a seguinte questão: se a altura da escada é</p><p>de 4 m e o afastamento da escada à parede é de 6 m,</p><p>qual deve ser a medida do comprimento da escada?</p><p>Como você resolveria esta questão?</p><p>4 m</p><p>6 m</p><p>128. Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação</p><p>ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de compri-</p><p>mento e seu ponto mais alto está a 5 m de altura, qual</p><p>é a distância do início da rampa (A) ao ponto B? Desenhe</p><p>em seu caderno um modelo matemático, calcule o que</p><p>se pede e dê a resposta em metros e centímetros.</p><p>30 m</p><p>5 m</p><p>xA B</p><p>C</p><p>129. Você sabia que...</p><p>... a polegada é uma unidade de</p><p>medida de comprimento inglesa e</p><p>equivalente a 25 mm?</p><p>... polegada vem de polegar?</p><p>1 polegada 5 25 mm 5 2,5 cm</p><p>0 1 2 3 4 5</p><p>0 1</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2Polegadas:</p><p>Centímetros:</p><p>3 13 3 15</p><p>3 13 3 15</p><p>Il</p><p>u</p><p>st</p><p>RA</p><p>çõ</p><p>Es</p><p>: f</p><p>o</p><p>Rm</p><p>At</p><p>o</p><p>co</p><p>m</p><p>u</p><p>n</p><p>Ic</p><p>Aç</p><p>õ</p><p>Es</p><p>/A</p><p>Rq</p><p>u</p><p>Iv</p><p>o</p><p>d</p><p>A</p><p>Ed</p><p>It</p><p>o</p><p>RA</p><p>62 Matemática</p><p>Observe as figuras da página anterior e utilize os</p><p>valores citados para responder a estas questões:</p><p>a) Qual é a medida do parafuso da figura em pole-</p><p>gadas?</p><p>b) Um parafuso com 2</p><p>1</p><p>4 polegadas mede mais ou</p><p>menos do que 6 cm?</p><p>c) Em 1 m há quantas polegadas?</p><p>d) Qual é o diâmetro, em milímetros, de um cano de</p><p>3</p><p>4 de polegada?</p><p>130. Os cientistas usam a Unidade Astronômica (AU) para</p><p>medir grandes distâncias:</p><p>1,00 AU 5 149,6 milhões de km 5 1 496 ? 105 km</p><p>(distância média da Terra ao Sol).</p><p>A distância média de Marte ao Sol é de, aproximada-</p><p>mente, 228 000 000 km. De quantas AU é, aproxima-</p><p>damente, essa distância?</p><p>131. Você sabia que...</p><p>... a produção brasileira de petróleo é de 1,83 milhão</p><p>de barris por dia?</p><p>... o consumo diário brasileiro de petróleo é de 1,82 mi-</p><p>lhão de barris?</p><p>... a cada mês, aproximadamente, 24 bilhões de litros</p><p>de gasolina e 41 bilhões de litros de diesel são</p><p>consumidos por uma frota de 33,6 milhões de</p><p>veículos em todo o país?</p><p>Fontes: Anp e sindipeças. dados de 2006 e 2007.</p><p>A capacidade de um barril de petróleo é de 158,98</p><p>litros. Quantos litros de petróleo, por dia, aproxima-</p><p>damente, o país:</p><p>a) produz? b) consome?</p><p>132. Caloria (cal) é uma unidade de medida de energia.</p><p>Examine o quadro abaixo e responda:</p><p>Tipo de lanche</p><p>Quantidade de</p><p>calorias (cal)</p><p>Peito de peru light 194</p><p>Hambúrguer simples 296</p><p>Hambúrguer duplo 587</p><p>X-salada 738</p><p>a) Que lanches diferentes uma pessoa pode comer</p><p>em um dia sem ultrapassar 1 200 cal?</p><p>b) Cite o nome de dois lanches tais que um deles tenha,</p><p>aproximadamente, o dobro de calorias do outro.</p><p>c) Qual lanche possui quase quatro vezes o número de</p><p>calorias que o sanduíche de peito de peru light?</p><p>133. O decibel 2 dB (a décima parte do bel) é usado como</p><p>unidade de medida do nível de intensidade sonora.</p><p>A Organização Mundial da Saúde (OMS) recomenda</p><p>que no interior de edifícios o ruído de fundo não seja</p><p>superior a 45 dB, que à noite, no interior de dormitó-</p><p>rios, o ruído não seja superior a 35 dB, que os ruídos</p><p>externos diurnos não sejam superiores a 55 dB e os</p><p>noturnos, não superiores a 45 dB. Mas veja os sons</p><p>(em decibéis) produzidos por:</p><p>a) discotecas: de 85 dB a 100 dB;</p><p>b) motos: de 80 dB a 105 dB;</p><p>c) aviões a jato: 120 dB;</p><p>d) grandes grupos de rock: ultrapassam 120 dB.</p><p>Invente um problema com esses dados. Troque com</p><p>um colega e resolva o dele.</p><p>Baleia-azul</p><p>expelindo ar enquanto</p><p>nada na superfície do</p><p>Golfo St. Lawrence, nas</p><p>proximidades da costa</p><p>canadense.</p><p>fl</p><p>Ip</p><p>n</p><p>Ic</p><p>kl</p><p>In</p><p>/m</p><p>In</p><p>d</p><p>En</p><p>p</p><p>Ic</p><p>tu</p><p>RE</p><p>s/</p><p>lA</p><p>tI</p><p>n</p><p>st</p><p>o</p><p>ck</p><p>Você sabia que...</p><p>... as baleias-azuis emitem sons que podem atingir</p><p>até 188 dB quando se comunicam e que já foram</p><p>detectadas a 850 km de distância por equipamentos</p><p>especiais?</p><p>134. O planeta Terra e suas medidas (em valores aproximados)</p><p>Fotografia obtida por satélite</p><p>enfocando o planeta Terra na</p><p>região do continente</p><p>sul-americano.</p><p>n</p><p>o</p><p>AA</p><p>/s</p><p>cI</p><p>En</p><p>cE</p><p>p</p><p>h</p><p>o</p><p>to</p><p>l</p><p>IB</p><p>RA</p><p>Ry</p><p>/l</p><p>At</p><p>In</p><p>st</p><p>o</p><p>ck</p><p>Você sabia que...</p><p>... o diâmetro da Terra na linha do equador é de</p><p>12 756,34 km?</p><p>... a temperatura do planeta Terra varia de 289,2 °C</p><p>a 58 °C?</p><p>... o planeta Terra pesa 6,5 sextilhões de toneladas?</p><p>... o movimento de translação da Terra dura 1 ano e</p><p>o de rotação, 1 dia?</p><p>... a superfície do planeta Terra tem, aproximadamen-</p><p>te, 510 000 000 km2 (ou 51 ? 107 km2) e</p><p>3</p><p>4 dela são</p><p>ocupados por água?</p><p>... o volume do planeta Terra é de</p><p>1 083 230 000 000 km3 ou 108 323 ? 107 km3?</p><p>Escreva:</p><p>a) a grandeza e a unidade citadas em cada informação.</p><p>b) o número 6,5 sextilhões, usando só algarismos.</p><p>c) a variação, em grau Celsius, da temperatura mínima</p><p>para a máxima do planeta Terra.</p><p>fo</p><p>Rm</p><p>At</p><p>o</p><p>c</p><p>o</p><p>m</p><p>u</p><p>n</p><p>Ic</p><p>Aç</p><p>õ</p><p>Es</p><p>/A</p><p>Rq</p><p>u</p><p>Iv</p><p>o</p><p>d</p><p>A</p><p>Ed</p><p>It</p><p>o</p><p>RA</p><p>63Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>d) como se lê o número que indica a medida de volu-</p><p>me da Terra em quilômetros cúbicos.</p><p>e) quantos km2 da superfície do planeta Terra são</p><p>ocupados por água.</p><p>135. Ano-luz: uma unidade para medir grandes distâncias</p><p>Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano.</p><p>Leia o texto a seguir e responda em seu caderno: a</p><p>quantos quilômetros da Terra está a galáxia espiral</p><p>M100?</p><p>A galáxia espiral M100</p><p>Galáxia espiral M100 enfocada pelo telescópio</p><p>espacial Hubble.</p><p>Esta imagem mostra a resolução espetacular de</p><p>estrelas individuais nos braços espirais de M100. O</p><p>alto poder de resolução do Hubble permitiu a</p><p>identificação em M100 de uma classe rara de estrelas</p><p>pulsantes chamadas variáveis Cefeidas. Essas es-</p><p>trelas são indicadores muito precisos de distâncias,</p><p>uma vez que apresentam uma relação bem definida</p><p>entre o intervalo de tempo que levam para completar</p><p>um pulso e seu brilho intrínseco. Chegamos assim</p><p>ao conhecimento muito preciso da distância</p><p>de</p><p>M100 a nós: 56 milhões de anos-luz.</p><p>Um ano-luz tem 9,5 trilhões de quilômetros.</p><p>Fonte: www.observatorio.ufmg.br/hubble2.htm.</p><p>Acesso em 20/5/2009.</p><p>136. Arroba: unidade de medida de massa</p><p>O Açougue, obra do</p><p>pintor italiano Annibale</p><p>Carracci (1560-1606)</p><p>realizada por volta de</p><p>1580.</p><p>An</p><p>n</p><p>IB</p><p>Al</p><p>E</p><p>cA</p><p>RR</p><p>Ac</p><p>cI</p><p>/k</p><p>Im</p><p>BE</p><p>ll</p><p>A</p><p>Rt</p><p>m</p><p>u</p><p>sE</p><p>u</p><p>m</p><p>/c</p><p>o</p><p>RB</p><p>Is</p><p>/l</p><p>At</p><p>In</p><p>st</p><p>o</p><p>ck</p><p>1 arroba vale, aproximadamente, 14,688 kg.</p><p>Nos cálculos, usaremos: 1 arroba: 15 kg</p><p>José comprou 18 arrobas de carne para seu açougue</p><p>e pagou R$ 21,60 a arroba. Depois, vendeu toda a</p><p>carne por R$ 3,00 o quilograma. Qual foi o lucro de</p><p>José nessa venda?</p><p>137. Copie a tabela em seu caderno e complete-a usando</p><p>calculadora.</p><p>Estado População</p><p>Área</p><p>(em km2)</p><p>Densidade</p><p>demográfica</p><p>(hab./km2)</p><p>Minas Gerais 19 273 506 586 528</p><p>Goiás 5 647 035 340 087</p><p>Rio Grande</p><p>do Sul</p><p>10 582 840 37,56</p><p>Pará 1 247 690 5,66</p><p>Fonte: www.ibge.gov.br/estadosat/perfil.php?.</p><p>Acesso em 20/5/2009</p><p>PA</p><p>GO</p><p>MG</p><p>RS</p><p>OCEANO ATLÂNTICO</p><p>O</p><p>C</p><p>E</p><p>A</p><p>N</p><p>O</p><p>PA</p><p>C</p><p>ÍF</p><p>IC</p><p>O</p><p>N</p><p>0 1030 km</p><p>EQUADOR</p><p>Fonte: Adaptado de Atlas geográfico escolar.</p><p>4. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.</p><p>Agora, responda:</p><p>a) Qual desses quatro estados tem maior população?</p><p>b) Qual tem maior área?</p><p>c) Qual tem maior densidade demográfica?</p><p>d) Qual é a densidade demográfica de Goiás?</p><p>138. Velocidade média</p><p>Quando dizemos que um carro percorreu 240 km em</p><p>3 horas, podemos também dizer que sua velocidade</p><p>média foi de 80 km/h.</p><p>a) Quantos quilômetros percorre um carro com velo-</p><p>cidade média de 90 km/h em 3 h 30 min?</p><p>b) Quanto tempo gasta um carro para percorrer 340 km</p><p>com velocidade média de 85 km/h?</p><p>139. Você sabia que...</p><p>... o trem japonês MLV (veículo levitado magnetica-</p><p>mente) chega a desenvolver 582 km/h?</p><p>Trem que opera através de levitação magnética, durante</p><p>testes em dezembro de 2003 na cidade de Kofu, Japão.</p><p>Em quanto tempo o trem japonês MLV faria o trecho</p><p>de 97 km entre São Paulo e Campinas?</p><p>Ro</p><p>BE</p><p>Rt</p><p>G</p><p>En</p><p>d</p><p>lE</p><p>R/</p><p>vI</p><p>su</p><p>Al</p><p>s</p><p>u</p><p>n</p><p>lI</p><p>m</p><p>It</p><p>Ed</p><p>, I</p><p>n</p><p>c.</p><p>/G</p><p>Et</p><p>ty</p><p>Im</p><p>AG</p><p>Es</p><p>ko</p><p>Ic</p><p>h</p><p>I k</p><p>Am</p><p>o</p><p>sh</p><p>Id</p><p>A/</p><p>G</p><p>Et</p><p>ty</p><p>Im</p><p>AG</p><p>Es</p><p>AG</p><p>En</p><p>cE</p><p>f</p><p>RA</p><p>n</p><p>cE</p><p>-p</p><p>RE</p><p>ss</p><p>/E</p><p>st</p><p>RI</p><p>n</p><p>G</p><p>ER</p><p>64 Matemática</p><p>A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS</p><p>Fontes de energia elétrica</p><p>No Brasil cerca de 95% da energia elétrica produzida provém de usinas hidrelétricas. Em regiões rurais e</p><p>mais distantes das hidrelétricas centrais, tem-se utilizado energia produzida em usinas termoelétricas e, em</p><p>pequena escala, a energia elétrica gerada da energia eólica.</p><p>Neste artigo vamos dar uma visão geral de algumas fontes de energia: a hídrica, a térmica, a nuclear e a</p><p>eólica.</p><p>Energia hídrica</p><p>Nas usinas hidrelétricas, a energia elétrica tem como fonte</p><p>principal a energia proveniente da queda de água represada a</p><p>certa altura. A energia potencial que a água tem na parte alta</p><p>da represa é transformada em energia cinética no momento em</p><p>que a água cai e faz as pás da turbina girar, acionando o eixo do</p><p>gerador e produzindo energia elétrica.</p><p>Utiliza-se a energia hídrica no Brasil em grande escala devido</p><p>aos grandes mananciais de água existentes.</p><p>Energia térmica</p><p>Nas usinas termoelétricas a energia elétrica é obtida pela queima de combustíveis, como carvão, óleo, de-</p><p>rivados do petróleo e, atualmente, também a cana-de-açúcar (biomassa).</p><p>A produção de energia elétrica é realizada através da queima do combustível, que aquece a água, transfor-</p><p>mando-a em vapor. Esse vapor é conduzido a alta pressão por uma tubulação e faz girar as pás da turbina, cujo</p><p>eixo está acoplado ao gerador. Em seguida o vapor é resfriado retornando ao estado líquido, e a água é reapro-</p><p>veitada para novamente ser vaporizada.</p><p>Vários cuidados precisam ser tomados tais como: os gases provenientes da queima do combustível devem</p><p>ser filtrados, evitando a poluição da atmosfera local; a água aquecida precisa ser resfriada ao ser devolvida para</p><p>os rios porque muitas espécies aquáticas não resistem a altas temperaturas.</p><p>Energia nuclear</p><p>Esse tipo de energia é obtido a partir da fissão do núcleo do átomo de urânio enriquecido, que libera uma</p><p>grande quantidade de energia.</p><p>Urânio enriquecido – o que é isso? Sabemos que o átomo é constituído de um</p><p>núcleo, onde estão situados dois tipos de partículas: os prótons, que possuem cargas</p><p>positivas, e os nêutrons, que não possuem carga.</p><p>Em torno do núcleo, há uma região denominada eletrosfera, onde se encontram</p><p>os elétrons, que têm cargas negativas. Átomos do mesmo elemento químico que</p><p>possuem o mesmo número de prótons e diferente número de nêutrons são chamados</p><p>isótopos. O urânio possui dois isótopos: 235U e 238U. O 235U é o único capaz de sofrer</p><p>fissão. Na natureza só é possível encontrar 0,7% desse tipo de isótopo. Para ser usado</p><p>como combustível em uma usina, é necessário enriquecer o urânio natural. Um dos</p><p>métodos para fazê-lo é “filtrar” o urânio através de membranas muito finas. O 235U é</p><p>mais leve e atravessa a membrana antes do 238U. Essa operação tem de ser repetida</p><p>várias vezes e é um processo muito caro e complexo. Poucos países possuem tal</p><p>tecnologia em escala industrial.</p><p>No Brasil, está em funcionamento a Usina Nuclear Angra 2, cuja produção de energia</p><p>elétrica é pequena, não dando nem para abastecer toda a cidade do Rio de Janeiro.</p><p>Usina Hidrelétrica de Itaipu.</p><p>ba</p><p>n</p><p>co</p><p>d</p><p>e</p><p>im</p><p>ag</p><p>en</p><p>s/</p><p>ar</p><p>q</p><p>u</p><p>iv</p><p>o</p><p>d</p><p>a</p><p>ed</p><p>it</p><p>o</p><p>ra</p><p>Vapor para as turbinas</p><p>Gerador</p><p>de vapor</p><p>Trocador</p><p>de calor</p><p>Controle</p><p>Frio Bomba</p><p>Vindo</p><p>de</p><p>turbina</p><p>Alta</p><p>pressão</p><p>Cerne</p><p>Diagrama do reator de uma</p><p>usina nuclear.</p><p>fo</p><p>rm</p><p>at</p><p>o</p><p>c</p><p>o</p><p>m</p><p>u</p><p>n</p><p>ic</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>/a</p><p>rq</p><p>u</p><p>iv</p><p>o</p><p>d</p><p>a</p><p>ed</p><p>it</p><p>o</p><p>ra</p><p>65Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>No âmbito governamental está em discussão a construção da Usina Nuclear Angra 3 em virtude do déficit</p><p>de energia no país.</p><p>Os Estados Unidos lideram a produção de energia nuclear, e na França, Suécia, Finlândia e Bélgica 50% da</p><p>energia elétrica consumida provém de usinas nucleares.</p><p>Energia eólica</p><p>Os moinhos de vento mais antigos como, por exemplo, aque-</p><p>les típicos da Holanda que nós já conhecemos por fotos ou pin-</p><p>turas, usavam a energia dos ventos, isto é, eólica, não para gerar</p><p>eletricidade, mas para realizar trabalho, como bombear água e</p><p>moer grãos. Na Pérsia, no século V, já eram utilizados moinhos</p><p>de vento para bombear água para irrigação.</p><p>Modernamente, o movimento das pás do moinho é usado</p><p>para converter a energia cinética dos ventos em energia elétrica.</p><p>A conversão da energia é realizada por um aerogerador, que con-</p><p>siste num gerador elétrico acoplado a um eixo que gira através da</p><p>incidência do vento nas pás da turbina.</p><p>A turbina eólica é formada essencialmente por um conjunto</p><p>de duas ou três pás, com perfis aerodinâmicos eficientes, impulsionadas por forças predominantemente de sus-</p><p>tentação, acionando geradores que operam a velocidade variável, para garantir alta eficiência de conversão.</p><p>Procura-se instalar turbinas eólicas em locais em que a velocidade média anual dos ventos seja superior a</p><p>3,6 m/s.</p><p>Fonte: Adaptado de Iria Müller Guerrini, CDCC, USP São Carlos.</p><p>CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO</p><p>1.	 O Brasil possui no total 2 081 empreendimentos de ge-</p><p>ração de energia em operação, gerando 104 675 502 kW</p><p>de potência. De acordo com o texto e com o auxílio</p><p>de uma calculadora, determine qual a energia gerada</p><p>a partir de usinas hidrelétricas.</p><p>2.	 Admita que cada turbina eólica produza 300 kilowatts</p><p>de energia elétrica. Com 1 000 watts podemos acender</p><p>10 lâmpadas de 100 watts. Assim, 300 kilowatts seriam</p><p>suficientes para acender quantas lâmpadas de 100</p><p>watts?</p><p>3.	 O Programa Nacional da Universalização do Acesso e</p><p>Uso da Energia Elétrica, denominado Programa Luz</p><p>para Todos (LpT), foi criado visando levar energia elé-</p><p>trica à totalidade da população do meio rural. O ob-</p><p>jetivo do programa era não só garantir energia elétri-</p><p>ca como também proporcionar o desenvolvimento</p><p>de outras atividades e aumentar a renda familiar. Em</p><p>2009 o Ministério de Minas e Energia (MME) realizou</p><p>113</p><p>4. valor de uma função afim ................................... 113</p><p>5. Determinação de uma função afim</p><p>conhecendo-se seus valores em dois</p><p>pontos distintos ......................................................... 114</p><p>6. taxa de variação da função</p><p>afim f(x) = ax + b........................................................ 114</p><p>7. Caracterização da função afim ......................... 115</p><p>8. Função afim e progressão aritmética .......... 118</p><p>9. Gráfico da função afim f(x) = ax + b .............. 118</p><p>10. Função afim e Geometria analítica ................ 121</p><p>11. Uma propriedade característica</p><p>da função afim f(x) = ax + b ............................... 122</p><p>12. Função afim crescente</p><p>e decrescente.............................................................. 123</p><p>13. Estudo do sinal da função afim........................ 130</p><p>14. Zero da função afim ................................................ 130</p><p>15. Estudo do sinal da função afim</p><p>pela análise do gráfico........................................... 131</p><p>16. Inequações do 1º grau .......................................... 132</p><p>17. Função afim e movimento uniforme ........... 136</p><p>18. Proporcionalidade e função linear................. 138</p><p>19. Outras aplicações da função afim .................. 142</p><p>A Matemática e as práticas sociais ............................. 144</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 146</p><p>Capítulo 5</p><p>Função quadrática................................................... 148</p><p>1. Introdução .................................................................... 150</p><p>2. Definição de função quadrática ...................... 150</p><p>3. Situações em que aparece</p><p>a função quadrática ................................................ 151</p><p>4. valor da função quadrática</p><p>em um ponto .............................................................. 151</p><p>5. Zeros da função quadrática ............................... 154</p><p>6. Forma canônica da</p><p>função quadrática .................................................... 158</p><p>7. Gráfico da função quadrática ............................ 164</p><p>8. A parábola e suas intersecções</p><p>com os eixos ................................................................ 172</p><p>9. vértice da parábola, imagem</p><p>e valor máximo ou mínimo</p><p>da função quadrática ............................................. 174</p><p>10. Estudo do sinal da função quadrática ......... 180</p><p>11. Inequações do 2o grau .......................................... 184</p><p>12. taxa de variação da</p><p>função quadrática .................................................... 191</p><p>13. Função quadrática e</p><p>progressão aritmética ............................................ 195</p><p>14. Outros problemas envolvendo</p><p>equação do 2o grau e</p><p>função quadrática .................................................... 196</p><p>A Matemática e as práticas sociais ............................. 197</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 199</p><p>Leitura ...................................................................................... 203</p><p>6</p><p>Capítulo 6</p><p>Função modular .......................................................... 204</p><p>1. Módulo de um número real .............................. 206</p><p>2. Distância entre dois pontos</p><p>na reta real .................................................................... 210</p><p>3. Função modular ........................................................ 210</p><p>4. Equações modulares .............................................. 217</p><p>5. Inequações modulares .......................................... 220</p><p>6. Uma aplicação do módulo na Física ............ 223</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 224</p><p>Capítulo 7</p><p>Função exponencial .............................................. 228</p><p>1. Introdução .................................................................... 230</p><p>2. Revisão de potenciação ....................................... 230</p><p>3. Simplificação de expressões .............................. 235</p><p>4. Função exponencial ............................................... 237</p><p>5. Equações exponenciais ........................................ 241</p><p>6. Inequações exponenciais .................................... 244</p><p>7. Aprofundando o estudo da função</p><p>exponencial .................................................................. 246</p><p>8. As funções f(x) = ax e g(x) = a−x ......................... 248</p><p>9. O número irracional e e a</p><p>função exponencial ex........................................... 249</p><p>10. Aplicações da função exponencial ................ 250</p><p>A Matemática e as práticas sociais .............................. 254</p><p>Atividades adicionais .......................................................... 256</p><p>Capítulo 8</p><p>Logaritmo e função logarítmica ............. 258</p><p>1. Logaritmo ...................................................................... 260</p><p>2. Função logarítmica .................................................. 274</p><p>3. Equações logarítmicas........................................... 279</p><p>4. Inequações logarítmicas ...................................... 281</p><p>5. Outras aplicações da função</p><p>logarítmica e dos logaritmos ............................ 284</p><p>A Matemática e as práticas sociais ............................. 285</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 287</p><p>Leituras .................................................................................... 291</p><p>Capítulo 9</p><p>progressões.................................................................... 292</p><p>1. Introdução .................................................................... 294</p><p>2. Sequências .................................................................... 294</p><p>3. Progressão aritmética (PA) .................................. 297</p><p>4. Progressão geométrica (PG) .............................. 312</p><p>5. Problemas envolvendo PA e PG ..................... 330</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 333</p><p>Capítulo 10</p><p>matemática financeira ...................................... 336</p><p>1. Introdução .................................................................... 338</p><p>2. Números proporcionais ........................................ 338</p><p>3. Porcentagem ............................................................... 340</p><p>AU</p><p>RE</p><p>LI</p><p>AN</p><p>O</p><p>M</p><p>ü</p><p>LL</p><p>ER</p><p>/</p><p>FO</p><p>Lh</p><p>AP</p><p>RE</p><p>SS</p><p>7</p><p>4. termos importantes de</p><p>Matemática financeira ........................................... 346</p><p>5. Juros e funções .......................................................... 351</p><p>6. Equivalência de taxas ............................................. 352</p><p>7. Equivalência de capitais ....................................... 353</p><p>A Matemática e as práticas sociais ............................. 357</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 358</p><p>Capítulo 11</p><p>trigonometria no</p><p>triângulo retângulo ................................................ 360</p><p>1. Introdução .................................................................... 362</p><p>2. Índice de subida ........................................................ 363</p><p>3. A ideia de tangente ................................................. 365</p><p>4. A ideia de seno ........................................................... 365</p><p>5. A ideia de cosseno ................................................... 366</p><p>6. Definição de seno, cosseno</p><p>e tangente por meio de</p><p>semelhança de triângulos ................................... 366</p><p>A Matemática e as práticas sociais ............................. 384</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 386</p><p>Tabela de razões trigonométricas ...............................</p><p>uma pesquisa e constatou que para nove entre dez</p><p>pessoas a qualidade de vida melhorou com a chega-</p><p>da da luz. A implementação da luz nas comunidades</p><p>rurais facilitou o acesso ao serviço de água e sanea-</p><p>mento básico, de saúde e de educação. A pesquisa</p><p>apontou também um crescimento na aquisição de</p><p>eletrodomésticos.</p><p>Em uma pesquisa realizada em uma comunidade agra-</p><p>ciada com o programa constatou-se que:</p><p>• 70% dos moradores adquiriram televisão;</p><p>• 55% dos moradores adquiriram geladeira;</p><p>• 45% dos moradores adquiriram aparelho de som;</p><p>• 40% dos moradores adquiriram televisão e gela-</p><p>deira;</p><p>• 35% dos moradores adquiriram televisão e apare-</p><p>lho de som;</p><p>• 25% dos moradores adquiriram geladeira e apa-</p><p>relho de som;</p><p>• 20% dos moradores adquiriram os três eletrodo-</p><p>mésticos;</p><p>• 200 pessoas não adquiriram nenhum dos três ele-</p><p>trodomésticos.</p><p>Qual o número de habitantes dessa comunidade?</p><p>PESQUISANDO E DISCUTINDO</p><p>4.	 Com base no seu dia a dia, estime o consumo mensal</p><p>de energia elétrica da sua residência. Depois deter-</p><p>mine o consumo anual. Compare com o resultado de</p><p>seus colegas. Discuta quais medidas podem ser ado-</p><p>tadas para que haja economia de energia elétrica em</p><p>casa.</p><p>VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO</p><p>Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites</p><p>www.aneel.gov.br, www.mme.gov.br e www.cidadessola-</p><p>res.org.br.</p><p>Aerogeradores no Parque Eólico de Osório, no</p><p>Rio Grande do Sul.</p><p>it</p><p>am</p><p>ar</p><p>a</p><p>g</p><p>u</p><p>ia</p><p>r/</p><p>ed</p><p>it</p><p>o</p><p>ra</p><p>a</p><p>br</p><p>il</p><p>66 Matemática</p><p>A seguir, separadas por regiões geográficas, relaciona-</p><p>mos algumas questões de vestibular que envolvem o con-</p><p>teúdo deste capítulo.</p><p>Região	Norte</p><p>1. (UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teo-</p><p>ria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma</p><p>pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n</p><p>alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:</p><p>• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;</p><p>• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;</p><p>• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da</p><p>Gama;</p><p>• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;</p><p>• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.</p><p>Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do</p><p>Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo</p><p>e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da</p><p>referida turma, teremos, evidentemente, A  B 5 .</p><p>Concluímos que o número n de alunos desta turma é:</p><p>a) 49.</p><p>b) 50.</p><p>c) 47.</p><p>d) 45.</p><p>e) 46.</p><p>2. (UFT-TO) Considere o número real x 5</p><p>7</p><p>31</p><p>. É correto</p><p>afirmar que, nesse caso, x é um número:</p><p>a) inteiro.</p><p>b) irracional.</p><p>c) racional.</p><p>d) real maior que 1</p><p>4</p><p>.</p><p>Região	Nordeste</p><p>3. (Uece) Se P 5 {1, 2, 5, 7, 8}, então o número de elemen-</p><p>tos do conjunto W 5 {(x, y)  P2 | x , y} é:</p><p>a) 8. c) 10.</p><p>b) 9. d) 11.</p><p>4. (UFS-SE) Considere os conjuntos:</p><p>A 5 {x  ® | 1 , x Atividades adicionais</p><p>ATENÇÃO!</p><p>AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM</p><p>TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS</p><p>APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC.,</p><p>NÃO	ESCREVA	NO	LIVRO.</p><p>TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.</p><p>67Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>d)</p><p>MU N</p><p>P</p><p>e)</p><p>MU N</p><p>P</p><p>7. (UFC-CE) Sejam M e N conjuntos que possuem um úni-</p><p>co elemento em comum. Se o número de subconjuntos</p><p>de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de</p><p>N, o número de elementos do conjunto M  N é:</p><p>a) o triplo do número de elementos de M.</p><p>b) o triplo do número de elementos de N.</p><p>c) o quádruplo do número de elementos de M.</p><p>d) o dobro do número de elementos de M.</p><p>e) o dobro do número de elementos de N.</p><p>Região	Centro-Oeste</p><p>8. (UFG-GO) Sejam os conjuntos A 5 {2n; n  Ω} e</p><p>B 5 {2n 2 1; n  Ω}. Sobre esses conjuntos, pode-se</p><p>afirmar:</p><p>I) A  B 5 </p><p>II) A é o conjunto dos números pares.</p><p>III) B  A 5 Ω</p><p>Está correto o que se afirma em:</p><p>a) I e II, apenas.</p><p>b) II, apenas.</p><p>c) II e III, apenas.</p><p>d) III, apenas.</p><p>e) I, II e III.</p><p>9. (UFMS) Acrescentando-se dois novos elementos a um</p><p>conjunto A, verificou-se que o número de subcon-</p><p>juntos de A teve um acréscimo de 384. Quantos ele-</p><p>mentos possuía originalmente o conjunto A?</p><p>Região	Sudeste</p><p>10. (UFMG) Considere o conjunto de números racionais</p><p>M 5 { }5</p><p>9</p><p>3</p><p>7</p><p>5</p><p>11</p><p>4</p><p>7</p><p>,  ,  ,  . Sejam x o menor elemento de</p><p>M e y o maior elemento de M. Então, é correto afirmar</p><p>que:</p><p>a) x e y            .5 5</p><p>5</p><p>11</p><p>4</p><p>7</p><p>b) x e y            .5 5</p><p>3</p><p>7</p><p>5</p><p>9</p><p>c) x e y            .5 5</p><p>3</p><p>7</p><p>4</p><p>7</p><p>d) x e y            .5 5</p><p>5</p><p>11</p><p>5</p><p>9</p><p>11. (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o</p><p>conjunto U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:</p><p>I)   U e n(U) 5 10.</p><p>II)   U e n(U) 5 10.</p><p>III) 5  U e {5}  U.</p><p>IV) {0, 1, 2, 5}  {5} 5 5.</p><p>Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s):</p><p>a) apenas I e III.</p><p>b) apenas II e IV.</p><p>c) apenas II e III.</p><p>d) apenas IV.</p><p>e) todas as afirmações.</p><p>12. (PUC-RJ) Sejam x e y números tais que os conjuntos</p><p>{1, 4, 5} e {x, y, 1} sejam iguais. Então, podemos afir-</p><p>mar que:</p><p>a) x 5 4 e y 5 5. d) x 1 y 5 9.</p><p>b) x  4. e) x , y.</p><p>c) y  4.</p><p>13. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos</p><p>estes dados:</p><p>• 40% dos entrevistados leem o jornal A.</p><p>• 55% dos entrevistados leem o jornal B.</p><p>• 35% dos entrevistados leem o jornal C.</p><p>• 12% dos entrevistados leem os jornais A e B.</p><p>• 15% dos entrevistados leem os jornais A e C.</p><p>• 19% dos entrevistados leem os jornais B e C.</p><p>• 7% dos entrevistados leem os três jornais.</p><p>• 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos</p><p>três jornais.</p><p>Considerando-se esses dados, é correto afirmar que</p><p>o número total de entrevistados foi:</p><p>a) 1 200. b) 1 500. c) 1 250. d) 1 350.</p><p>14. (FGV-SP) Numa cidade do interior do estado de São Pau-</p><p>lo, uma prévia eleitoral entre 2 000 filiados revelou as</p><p>seguintes informações a respeito de três candidatos</p><p>A, B e C, do Partido da Esperança (PE), que concorreram</p><p>a três cargos diferentes:</p><p>I) Todos os filiados votaram e não houve registro de</p><p>voto em branco, tampouco de voto nulo.</p><p>II) 280 filiados votaram a favor de A e de B.</p><p>68 Matemática</p><p>III) 980 filiados votaram a favor de A ou de B, mas não</p><p>de C.</p><p>IV) 420 filiados votaram a favor de B, mas não de A ou</p><p>de C.</p><p>V) 1 220 filiados votaram a favor de B ou de C, mas</p><p>não de A.</p><p>VI) 640 filiados votaram a favor de C, mas não de A ou</p><p>de B.</p><p>VII) 140 filiados votaram a favor de A e de C, mas não</p><p>de B.</p><p>Determine o número de filiados ao PE que:</p><p>a) votaram a favor dos três candidatos;</p><p>b) votaram a favor de apenas um dos candidatos.</p><p>15. (UFRJ) Uma amostra de 100 caixas de pílulas anti-</p><p>concepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi</p><p>enviada para a fiscalização sanitária. No teste de</p><p>qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas por</p><p>conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade,</p><p>74 foram aprovadas e 26 reprovadas por conterem</p><p>um número menor de pílulas que o especificado. O</p><p>resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas</p><p>foram reprovadas em ambos os testes. Quantas cai-</p><p>xas foram aprovadas em ambos os testes?</p><p>Região	Sul</p><p>16. (PUC-PR) Em uma pesquisa feita com 120 empregados</p><p>de uma firma, verificou-se o seguinte:</p><p>• têm casa própria: 38</p><p>• têm curso superior: 42</p><p>• têm plano de saúde: 70</p><p>• têm casa própria e</p><p>plano de saúde: 34</p><p>• têm casa própria e</p><p>cur so superior: 17</p><p>• têm curso superior e plano de saúde: 24</p><p>• têm casa própria, plano de saúde e curso supe-</p><p>rior: 15</p><p>Qual a porcentagem dos empregados que não se</p><p>enquadram em</p><p>nenhuma das situações anteriores?</p><p>(Sugestão: Utilize o diagrama de Venn para facilitar</p><p>os cálculos.)</p><p>a) 25% c) 35% e) 45%</p><p>b) 30% d) 40%</p><p>17. (UEL-PR) Um instituto de pesquisas entrevistou 1 000</p><p>indivíduos, perguntando sobre uma rejeição aos par-</p><p>tidos A e B. Verificou-se que 600 pessoas rejeitavam o</p><p>partido A; que 500 pessoas rejeitavam o partido B e</p><p>que 200 pessoas não tem rejeição alguma. O número</p><p>de indivíduos que rejeitam os dois partidos é:</p><p>a) 120 pessoas. d) 300 pessoas.</p><p>b) 200 pessoas. e) 800 pessoas.</p><p>c) 250 pessoas.</p><p>casa curso</p><p>superior</p><p>plano de saúde</p><p>18. (UTFPR) Uma classe de quarenta alunos realizou a pro-</p><p>va de uma olimpíada contendo duas questões: uma de</p><p>Matemática e outra de Física. Se 10 alunos acertaram</p><p>as duas questões, 25 acertaram a questão de Matemá-</p><p>tica e 20 acertaram a questão de Física, pode-se afirmar</p><p>que o número de alunos que erraram as duas questões</p><p>foi de:</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 4.</p><p>d) 5.</p><p>e) Nenhum.</p><p>19. (UEL-PR) É comum representar um conjunto pelos</p><p>pontos interiores a uma linha fechada e não entrela-</p><p>çada. Esta representação é chamada de diagrama de</p><p>Venn. Considere quatro conjuntos não vazios A, B, C</p><p>e D. Se A  C, C  A, B  (A  C) e D  (A  C), então</p><p>o diagrama de Venn que representa tal situação é:</p><p>a)</p><p>A</p><p>D</p><p>C</p><p>B</p><p>b)</p><p>A D</p><p>C</p><p>B</p><p>c)</p><p>A D</p><p>B</p><p>C</p><p>d)</p><p>A</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>e)</p><p>A</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>69Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>A crise dos irrracionais</p><p>Historicamente, os racionais estão associados a resultados de medições. Ao medir um segmento de reta AB</p><p>com uma unidade u de medida 1 podem ocorrer estas possibilidades:</p><p>1·) A unidade u cabe em tAB um número inteiro de vezes:</p><p>A B</p><p>u</p><p>Vamos supor que u caiba exatamente p vezes em tAB. Então a medida de tAB 5 p unidades, em que p é um</p><p>número natural.</p><p>2·) A unidade u não cabe um número inteiro de vezes em tAB:</p><p>A B</p><p>u</p><p>v</p><p>Nesse caso, procuramos um segmento de reta v que caiba q vezes no segmento unitário u e p vezes no seg-</p><p>mento de reta AB. A medida de v será a fração 1</p><p>q</p><p>e, consequentemente, a medida de AB será p vezes 1</p><p>q</p><p>ou seja, igual</p><p>a p</p><p>q</p><p>. Quando tal segmento v existe, dizemos que os segmentos de reta u e AB são comensuráveis e a medida de</p><p>tAB é o número racional p</p><p>q</p><p>. Nem sempre existe o segmento v nessas condições. Os pitagóricos acreditavam que</p><p>sempre existia o segmento v nessas condições, ou seja, que sempre dois segmentos eram comensuráveis. Para eles,</p><p>o dogma de sua doutrina “TUDO É NÚMERO” se referia aos números racionais; eles não concebiam a existência de</p><p>outros números que não fossem racionais (inteiro ou fração).</p><p>Como já vimos, ao medirem a diagonal de um quadrado cujos lados medem 1 unidade de comprimento, os</p><p>pitagóricos se depararam com o número irracional 2 5 1,414213562…; ou seja, o lado desse quadrado e sua</p><p>diagonal são segmentos incomensuráveis.</p><p>Essa descoberta causou, na época, uma crise religiosa de grandes proporções, pois punha por terra um dos</p><p>dogmas centrais dos pitagóricos: “Tudo é número” (racional).</p><p>Conta-se que Pitágoras proibiu seus discípulos de divulgar tal descoberta para não abalar a sua doutrina, mas</p><p>um de seus discípulos, Hipaso, quebrou o voto de silêncio e foi assassinado.</p><p>A resistência aos números irracionais continuou por vários séculos, até que, no fim do século XIX, o matemáti-</p><p>co Georg Cantor (1845-1918) fundamentou-os adequadamente.</p><p>Prova de que 2 é irracional</p><p>Para provar que 2 é um número irracional, vamos supor que ele seja um número racional, ou seja, que possa</p><p>ser escrito na forma p</p><p>q</p><p>, p  Ω, q  Ω, e q  0 e chegar a um absurdo.</p><p>Supomos que 2 é racional, ou seja, 2 5 p</p><p>q</p><p>. Consideramos p</p><p>q</p><p>fração irredutível, ou seja, p e q são primos</p><p>entre si, isto é, mdc(p, q) 5 1.</p><p>Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:</p><p>[ 2 ]</p><p>2</p><p>5 p</p><p>q</p><p>p</p><p>q</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>⇒ 5 2 ⇒ p2 5 2q2 (I)</p><p>Como todo número par pode ser escrito na forma 2k, em que k  Ω, temos que p2 5 2q2</p><p>k</p><p>é par (II).</p><p>Assim, p2 é par ⇒ p é par ⇒ p 5 2m, m  Ω (III)</p><p>Observe que:</p><p>p 5 2m ⇒ p2 5 4m2</p><p>(I)</p><p>⇒ 2q2 5 4m2 ⇒ q2 5 2m2</p><p>(II)</p><p>⇒ q2 é par ⇒ q é par (IV)</p><p>As conclusões (III) de que “p é par” e (IV) de que “q é par” são contraditórias, já que p e q foram supostos primos</p><p>entre si. Chegamos a um absurdo. Assim, não podemos supor que 2 é racional. Logo, 2 é irracional.</p><p>Portanto, 2 5 1,4142135... não é uma decimal exata nem periódica.</p><p>>Leituras</p><p>70 Matemática</p><p>Os papiros egípcios apresentavam, como vi-</p><p>mos, problemas práticos ligados às necessidades</p><p>cotidianas e não tinham o objetivo de analisar o</p><p>comportamento dos fenômenos. Desafiando a</p><p>mente humana, as situações sugeridas provoca-</p><p>vam o pensamento lógico, direcionando-o aos</p><p>resultados numéricos. Mas o caráter de generali-</p><p>zação, próprio da Matemática, levou os estudiosos</p><p>a avanços grandiosos. A observação de modelos</p><p>presentes nos fenômenos, como, por exemplo, a</p><p>trajetória da bala de um canhão, os fazia investigar</p><p>e descobrir leis que regiam esses modelos. Inte-</p><p>ressava mais o caso geral e menos o particular,</p><p>aquele que acontece especificamente numa</p><p>circunstância, como um caso isolado. Esse caráter</p><p>atribui à Matemática a qualidade de prever resul-</p><p>tados por meio de leis que têm como caracterís-</p><p>tica relacionar as variáveis envolvidas no fenôme-</p><p>no. Nesse contexto aparecem as funções, que</p><p>apresentam muitas dessas leis e contribuem para</p><p>as pesquisas nas mais variadas áreas: Física, Eco-</p><p>nomia, Ecologia, Meteorologia, Genética, Enge-</p><p>nharia, etc.</p><p>As paisagens do mundo inteiro contêm pontes</p><p>de diversas formas e tamanhos. Um formato muito</p><p>peculiar é o das pontes pênseis: os cabos que as</p><p>sustentam apresentam-se em curva, conferindo a</p><p>elas uma beleza singular. No Brasil, a maior ponte</p><p>pênsil foi construída entre 1922 e 1926, no estado</p><p>de Santa Catarina, ligando a ilha onde fica a capital,</p><p>Florianópolis, ao continente. Essa ponte recebeu o</p><p>nome de Hercílio Luz, em homenagem ao governa-</p><p>dor que promoveu sua construção. Tem 819 metros</p><p>de comprimento e duas torres de 75 metros.</p><p>capítulo 3</p><p>Ponte Hercílio Luz (SC).</p><p>Até o século XVII, pensava-se que</p><p>os cabos que sustentam as pontes</p><p>pênseis tivessem a forma de uma</p><p>parábola; até Galileu pensava</p><p>assim. Entretanto, o matemático</p><p>e físico Christian Huygens provou</p><p>que a curva formada por um fio</p><p>suspenso pelas extremidades não se</p><p>tratava de uma parábola, mas sim</p><p>de uma catenária.</p><p>Zé</p><p>P</p><p>ED</p><p>rO</p><p>r</p><p>U</p><p>SS</p><p>O</p><p>/S</p><p>AM</p><p>BA</p><p>PH</p><p>O</p><p>TO</p><p>70</p><p>Funções</p><p>71capítulo 3 | Funções 71</p><p>1. Observe o gráfico que representa o desmatamento</p><p>no estado de rondônia. A curva azul indica estra-</p><p>das dentro das áreas protegidas, e a vermelha, es-</p><p>tradas situadas fora das áreas protegidas.</p><p>%</p><p>d</p><p>e</p><p>de</p><p>sm</p><p>at</p><p>am</p><p>en</p><p>to</p><p>Rondônia</p><p>0</p><p>0,0</p><p>0,2</p><p>0,4</p><p>0,6</p><p>0,8</p><p>1,0</p><p>10 20 30 40 50</p><p>Distância da</p><p>estrada (km)</p><p>Fonte: www.ambientebrasil.com.br. Acesso em 5/12/2006.</p><p>responda:</p><p>a) O índice (em porcentagem) de desmatamento</p><p>é maior ou menor à medida que nos afastamos</p><p>das estradas nas áreas protegidas? E nas áreas</p><p>não protegidas?</p><p>b) De quanto é, aproximadamente, o índice de desma-</p><p>tamento nas áreas protegidas, distantes cerca de</p><p>20 km das estradas? E nas áreas não protegidas?</p><p>2. Uma sequência de figuras começa como no quadro</p><p>abaixo. Considerando que a primeira contém 5 qua-</p><p>dradinhos, que posição ocupa, nessa sequência, a</p><p>figura que contém 725 quadradinhos?</p><p>1a- figura 2a- figura</p><p>3a- figura e assim por diante ...</p><p>>atividades</p><p>A curva formada pelos cabos que sustentam essas pontes foi descrita algebricamente por meio de</p><p>uma equação. Durante o século XVII, grandes matemáticos de diversas partes da Europa, como Huygens,</p><p>na Holanda, os irmãos Bernoulli, na França, e Leibniz, na Alemanha, dedicaram-se a esses estudos, um</p><p>independente do outro.</p><p>As funções, descrições algébricas da dependência entre grandezas, podem, também, ser represen-</p><p>tadas graficamente, facilitando a linguagem e favorecendo sua compreensão. O crescimento populacio-</p><p>nal da Terra, fenômeno de grande interesse, é com frequência representado por gráficos,</p><p>o que permite</p><p>traçar projeções para o futuro.</p><p>O estudo das funções, que agora se inicia, é fundamental para a construção do conhecimento</p><p>matemático. é o início de uma jornada, um convite à exploração dos vários campos que compõem a</p><p>Matemática.</p><p>ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.</p><p>72 Matemática</p><p>1.  Introdução</p><p>O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar de destaque em vários de seus</p><p>ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É muito comum e conveniente expressar fenômenos físicos,</p><p>biológicos, sociais, etc. por meio de funções. Daí a importância do seu estudo mais detalhado no Ensino Médio.</p><p>Inicialmente, estudaremos as ideias intuitivas ligadas à noção de função e, em seguida, vamos aprofundar e</p><p>estudar mais formalmente esse importante conceito.</p><p>2.  Explorando intuitivamente a noção de função</p><p>A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. Vejamos alguns exemplos.</p><p>1‚) Número de litros de gasolina e preço a pagar</p><p>Considere a tabela ao lado que relaciona o número de litros de gasolina</p><p>comprados e o preço a pagar por eles (em maio de 2009).</p><p>Observe que o preço a pagar é dado em função do número de litros com-</p><p>prados, ou seja, o preço a pagar depende do número de litros comprados.</p><p>preço a pagar 5 R$ 2,40 vezes o número de litros comprados ou</p><p>p 5 2,40x → lei da função ou fórmula matemática da função</p><p>ou regra da função</p><p>2‚) Lado do quadrado e perímetro</p><p>Veja agora a tabela que relaciona a medida do lado de um quadrado (,) e o seu perímetro (P):</p><p>Para refletir</p><p>p é símbolo de semiperímetro.</p><p>Não existe um símbolo para</p><p>perímetro. Muitas pessoas uti-</p><p>lizam 2p para representá-lo.</p><p>Aqui usaremos P para indicar</p><p>perímetro.</p><p>Medida do lado (,) Perímetro (P)</p><p>1 4</p><p>2 8</p><p>2,5 10</p><p>3 12</p><p>4,1 16,4</p><p>: :</p><p>, 4,</p><p>Observe que o perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado, isto é, o perímetro depende da</p><p>medida do lado. A cada valor dado para a medida do lado corresponde um único valor para o perímetro.</p><p>perímetro 5 4 vezes a medida do lado ou</p><p>P 5 4, → lei da função ou fórmula matemática da função ou regra da função</p><p>Como o perímetro depende da medida do lado, ele é a variável dependente, e a medida do lado é chamada de</p><p>variável independente.</p><p>3‚) A máquina de dobrar</p><p>Observe ao lado o desenho imaginário de uma máquina de dobrar números.</p><p>Veja que os números que saem são dados em função dos números que entram na máquina, ou seja, os números</p><p>que saem dependem dos números que entram. Assim, a</p><p>variável dependente é o número de saída e a variável inde-</p><p>pendente é o número de entrada.</p><p>Neste caso, temos:</p><p>número de saída (n) é igual a duas vezes o</p><p>número de entrada (x) ou</p><p>n 5 2x → regra da função ou lei da função, ou, ainda,</p><p>fórmula matemática da função</p><p>Número de litros Preço a pagar (R$)</p><p>1 2,40</p><p>2 4,80</p><p>3 7,20</p><p>4 9,60</p><p>: :</p><p>40 96,00</p><p>x 2,40x</p><p>2... 4... 6... 7... 8,6... 10... 2x</p><p>1... 2... 3... 3,5... 4,3... 5... x</p><p>MÁQUINA</p><p>DE DOBRAR</p><p>entrada</p><p>saída</p><p>Fo</p><p>rm</p><p>at</p><p>o</p><p>c</p><p>o</p><p>m</p><p>u</p><p>n</p><p>ic</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>/</p><p>ar</p><p>q</p><p>u</p><p>iv</p><p>o</p><p>d</p><p>a</p><p>ed</p><p>it</p><p>o</p><p>ra</p><p>73Capítulo 3 | Funções</p><p>4‚) Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 km/h. Veja a tabela que relaciona o tempo t</p><p>(em horas) e a distância d (em quilômetros):</p><p>Tempo (h) 0,5 1 1,5 2 3 4 t</p><p>Distância (km) 45 90 135 180 270 360 90t</p><p>Observe que a distância percorrida é dada em função do tempo, isto é, a distância percorrida depende do inter-</p><p>valo de tempo. A cada intervalo de tempo considerado corresponde um único valor para a distância percorrida.</p><p>Dizemos, então, que a distância percorrida é função do tempo e escrevemos:</p><p>distância 5 90  tempo</p><p>d 5 90t</p><p>variável	independente</p><p>variável	dependente</p><p>Exercícios propostos</p><p>1.		A tabela a seguir indica o nome de alguns estados e</p><p>de suas respectivas capitais.</p><p>Estados Capitais</p><p>Ceará Fortaleza</p><p>Minas Gerais Belo Horizonte</p><p>São Paulo São Paulo</p><p>Paraná Curitiba</p><p>Pernambuco Recife</p><p>PE</p><p>CE</p><p>MG</p><p>PR</p><p>OCEANO ATLÂNTICO</p><p>OCEANO</p><p>PACÍFICO</p><p>N</p><p>0 830 km</p><p>EQUADOR</p><p>a) O nome da capital é dado em função do nome do</p><p>estado?</p><p>b) O nome da capital depende do nome do estado?</p><p>c) A cada estado corresponde uma única capital?</p><p>2.	 Observe na tabela a medida do lado (em cm) de uma</p><p>região quadrada e sua área (em cm2).</p><p>Medida do lado</p><p>(em cm)</p><p>1 3 4 5,5 10 … ,</p><p>Área (em cm2) 1 9 16 30,25 100 … ,2</p><p>a) O que é dado em função do quê?</p><p>b) Qual é a variável dependente?</p><p>c) Qual é a variável independente?</p><p>d) Qual é a lei da função que associa a medida do lado</p><p>com a área?</p><p>e) Qual é a área de uma região quadrada cujo lado</p><p>mede 12 cm?</p><p>f) Qual é a medida do lado da região quadrada cuja</p><p>área é de 169 cm2?</p><p>3.	Responda às seguintes questões:</p><p>a) A diagonal (d) de um quadrado é dada em função</p><p>do seu lado (). Qual é a fórmula matemática que</p><p>indica essa função?</p><p>b) O comprimento (c) da circunferência é dado em</p><p>função do seu raio (r). Qual é a expressão que indica</p><p>essa função?</p><p>c) O número de diagonais (d) de um polígono é dado</p><p>em função do número de lados (n) do polígono. Qual</p><p>é a fórmula matemática que indica essa função?</p><p>4.	 A tabela abaixo indica o custo de produção de certo</p><p>número de peças para informática:</p><p>Número</p><p>de peças</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8</p><p>Custo (R$) 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20 8,40 9,60</p><p>a) A cada número de peças corresponde um único</p><p>valor em reais?</p><p>b) O que é dado em função do quê?</p><p>c) Qual é a fórmula matemática que dá o custo (c) em</p><p>função do número de peças (x)?</p><p>d) Qual é o custo de 10 peças? E de 20 peças? E de 50</p><p>peças?</p><p>e) Com um custo de R$ 120,00, quantas peças podem</p><p>ser produzidas?</p><p>5.	 Um cabeleireiro cobra R$ 12,00 pelo corte para clientes</p><p>com hora marcada e R$ 10,00 sem hora marcada.</p><p>Ele atende por dia um número fixo de 6 clientes com ho-</p><p>ra marcada e um número variável x de clientes sem</p><p>hora marcada.</p><p>a) Escreva a fórmula matemática que fornece a quan-</p><p>tia Q arrecadada por dia em função do número x.</p><p>ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.</p><p>Fonte: adaptado de Atlas geográfico escolar.</p><p>rio de Janeiro: iBGe, 2007.</p><p>74 Matemática</p><p>b) Qual foi a quantia arrecadada num dia em que fo-</p><p>ram atendidos 16 clientes?</p><p>c) Qual foi o número de clientes atendidos num dia</p><p>em que foram arrecadados R$ 212,00?</p><p>d) Qual é a expressão que indica o número C de clien-</p><p>tes atendidos por dia em função de x?</p><p>6. Considere a correspondência que associa a cada nú-</p><p>mero natural o seu sucessor.</p><p>a) Construa uma tabela que indique essa correspon-</p><p>dência.</p><p>b) O sucessor de um número natural depende do nú-</p><p>mero natural?</p><p>c) O que é dado em função do quê?</p><p>d) Qual é a regra que associa um número natural ao</p><p>seu sucessor?</p><p>e) Qual é o sucessor do maior número natural de três</p><p>algarismos?</p><p>Desafio em dupla</p><p>Examinem e depois completem esta tabela no caderno.</p><p>x 22 21 0 1 2 3 4 5</p><p>y 29 24 1 6</p><p>Descubram o padrão e escrevam a lei da função que re-</p><p>presenta os dados da tabela.</p><p>3.  A noção de função por meio de conjuntos</p><p>Vamos, agora, estudar essa mesma noção de função usando a nomenclatura de conjuntos. Considere os exem-</p><p>plos a seguir.</p><p>1‚) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão alguns números inteiros e em B, outros.</p><p>Devemos associar cada elemento de A a seu triplo em B.</p><p>�4 • • 0</p><p>• 2</p><p>• 4</p><p>• 6</p><p>• 8</p><p>�2 •</p><p>0 •</p><p>2 •</p><p>4 •</p><p>A B</p><p>Note que:</p><p>• todos os elementos de A têm correspondente em B;</p><p>• a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.</p><p>Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y 5 3x.</p><p>2‚) Dados A 5 {0, 4} e B 5 {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma:</p><p>cada elemento de A é menor do que um elemento de B:</p><p>Nesse caso não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A</p><p>correspondem três elementos de B (2, 3 e 5, pois 0  2, 0  3 e 0  5),</p><p>e não apenas um único elemento de B.</p><p>3‚) Dados A 5 {24, 22, 0, 2, 4} e B 5 {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de</p><p>A aos elementos de igual valor em B:</p><p>Observe que há elementos em A (os números 24 e 22) que não têm</p><p>correspondente em B. Nesse caso não temos uma função de A em B.</p><p>• 2</p><p>• 3</p><p>• 5</p><p>0 •</p><p>4 •</p><p>A B</p><p>• 0</p><p>• 3</p><p>• 6</p><p>•</p><p>7</p><p>0 •</p><p>1 •</p><p>2 •</p><p>A B</p><p>–2 •</p><p>–1 •</p><p>• –8</p><p>• –6</p><p>• –4</p><p>• –3</p><p>x  A y  B</p><p>22 26</p><p>21 23</p><p>0 0</p><p>1 3</p><p>2 6</p><p>75Capítulo 3 | Funções</p><p>4‚) Dados A 5 {22, 21, 0, 1, 2} e B 5 {0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre</p><p>A e B dada pela fórmula y 5 x4, com x  A e y  B, temos ao lado:</p><p>• todos os elementos de A têm correspondente em B;</p><p>• a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.</p><p>Assim, a correspondência expressa pela fórmula y 5 x4 é uma função</p><p>de A em B.</p><p>5‚) Sejam P o conjunto das regiões poligonais do plano e ® o conjunto dos números reais. A cada região poligonal</p><p>do plano fazemos corresponder a sua área em ®. Essa correspondência é uma função de P em ®.</p><p>6‚) Consideremos S o conjunto dos segmentos de reta de um plano α e T o</p><p>conjunto das retas desse plano α. A cada segmento de reta de S fazemos</p><p>corresponder a sua reta mediatriz. Essa correspondência é uma função de S</p><p>em T.</p><p>Definição e notação</p><p>Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como associar cada elemento</p><p>x  A a um único elemento y  B.</p><p>Usamos a seguinte notação:</p><p>f: A → B ou A</p><p>f</p><p>B (lê-se: f é uma função de A em B)</p><p>f</p><p>•</p><p>x</p><p>•</p><p>y</p><p>A B</p><p>A função f transforma x de A em y de B.</p><p>Escrevemos isso assim:</p><p>y 5 f(x)</p><p>r</p><p>M BA</p><p>Exercícios propostos</p><p>7. Quais dos seguintes diagramas representam uma</p><p>função de A em B?</p><p>a)</p><p>2 • • 0</p><p>• 1</p><p>• 2</p><p>• 3</p><p>• 4</p><p>3 •</p><p>4 •</p><p>5 •</p><p>A B</p><p>c)</p><p>2 • • 1</p><p>• 0</p><p>• 2</p><p>5 •</p><p>10 •</p><p>20 •</p><p>A B</p><p>b)</p><p>0 • • 0</p><p>• 1</p><p>• 2</p><p>1 •</p><p>2 •</p><p>3 •</p><p>A B</p><p>d)</p><p>• 2</p><p>• 0</p><p>• 3</p><p>0 •</p><p>4 •</p><p>9 •</p><p>A B</p><p>8. Dados A 5 {22, 21, 0, 1, 2}, B 5 {21, 0, 1, 3, 4} e a cor-</p><p>respondência entre A e B dada por y 5 x2, com x  A</p><p>e y  B, faça um diagrama e diga se f é uma função</p><p>de A em B.</p><p>9. Dados A 5 {0, 1, 2, 3}, B 5 {21, 0, 1} e a correspondência</p><p>entre A e B dada por y 5 x 2 2, com x  A e y  B, faça</p><p>um diagrama e diga se f é uma função de A em B.</p><p>10. São dados A 5 {21, 0, 1, 2, 3}, B 5 { 1</p><p>2</p><p>, 1, 2, 4, 6, 8}</p><p>e uma correspondência entre A e B expressa por y 5 2x,</p><p>com x  A e y  B. Essa correspondência é uma função</p><p>de A em B?</p><p>• 0</p><p>• 1</p><p>• 4</p><p>• 8</p><p>• 16</p><p>0 •</p><p>1 •</p><p>2 •</p><p>A B</p><p>76 Matemática</p><p>11. Observe a tabela abaixo:</p><p>A x 1 4 9 16 25</p><p>B y 1 2 3 4 5</p><p>a) Faça um diagrama e diga se f é uma função de A</p><p>em B.</p><p>b) Em caso afirmativo, escreva a fórmula matemática</p><p>dessa função. Caso contrário, justifique.</p><p>4.  Domínio, contradomínio e conjunto imagem</p><p>Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função (D) e o conjunto B, contradomínio</p><p>(CD) da função. Para cada x  A, o elemento y  B chama-se imagem de x pela função f ou o valor assumido pela</p><p>função f para x  A, e o representamos por f(x) (lê-se f de x). Assim, y 5 f(x).</p><p>f</p><p>x</p><p>•</p><p>y</p><p>A B</p><p>O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função f e é indicado por Im(f).</p><p>Observe os exemplos:</p><p>1‚) Dados os conjuntos A 5 {0, 1, 2, 3} e B 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: A → B que transforma</p><p>x  A em 2x  B.</p><p>0 •</p><p>1 •</p><p>2 •</p><p>3 •</p><p>A B</p><p>• 0</p><p>• 2 • 1</p><p>• 3</p><p>• 5</p><p>• 4</p><p>• 6</p><p>Dizemos que f: A → B é definida por f(x) 5 2x ou por y 5 2x. A indicação x f 2x significa que x é transformado</p><p>pela função f em 2x.</p><p>Veja que para caracterizar uma função é necessário conhecer seus três componentes: o domínio (A), o contra-</p><p>domínio (B) e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento y 5 f(x) de B. Nesse exemplo o</p><p>domínio é A 5 {0, 1, 2, 3}, o contradomínio é B 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, a regra é dada por y 5 2x e o conjunto imagem</p><p>é dado por Im(f) 5 {0, 2, 4, 6}.</p><p>2‚) Vamos considerar a função f: n → n definida por f(x) 5 x 1 1.</p><p>Nesse caso a função f transforma todo número natural x em outro número</p><p>natural y, que é o sucessor de x, indicado por x 1 1.</p><p>• a imagem de x 5 0 é f(0) 5 0 1 1 5 1</p><p>• a imagem de x 5 1 é f(1) 5 1 1 1 5 2</p><p>• a imagem de x 5 2 é f(2) 5 2 1 1 5 3</p><p>e assim por diante.</p><p>Portanto, o domínio é n (D 5 n), o contradomínio é n (CD 5 n), a regra é y 5 x 1 1 e o conjunto imagem é</p><p>n* 5 n 2 {0}, isto é, Im(f) 5 n*.</p><p>3‚) Seja a função f: ® → ® definida por y 5 x2.</p><p>Nesse caso a função f transforma cada número real x em um outro número</p><p>x</p><p>•</p><p>x2</p><p>•</p><p>® ®</p><p>®</p><p>real y, que é o quadrado de x. Como todo número real maior ou igual a ze-</p><p>ro possui raiz quadrada real, então o conjunto imagem é</p><p>Im(f) 5 ®</p><p>1</p><p>5 {y  ® | y  0}, o domínio é ® (D 5 ®), o contradomínio é ®</p><p>(CD 5 ®) e a regra que associa todo x  ® a um único y de ® é dada por y 5 x2.</p><p>Para refletir</p><p>Em toda função f de A</p><p>em B, Im(f)  B.</p><p>f</p><p>n</p><p>n*</p><p>•</p><p>x •</p><p>y</p><p>n</p><p>77Capítulo 3 | Funções</p><p>Exemplo:</p><p>O diagrama de flechas ao lado representa uma função f de A em B. Vamos determinar:</p><p>a) D(f) d) f(3)</p><p>D(f) 5 {2, 3, 5} ou D(f) 5 A f(3) 5 6</p><p>b) CD(f) e) f(5)</p><p>CD(f) 5 {0, 2, 4, 6, 8, 10} ou CD(f) 5 B f(5) 5 10</p><p>c) Im(f) f) x para f(x) 5 4</p><p>Im(f) 5 {4, 6, 10} x 5 2</p><p>2 • • 0</p><p>• 2</p><p>• 4</p><p>• 6</p><p>• 8</p><p>• 105 •</p><p>3 •</p><p>A B</p><p>Exercícios propostos</p><p>12. Considere a função A</p><p>f</p><p>B dada pelo diagrama e</p><p>determine:</p><p>3 •</p><p>4 •</p><p>5 •</p><p>6 •</p><p>• 1</p><p>• 3</p><p>• 5</p><p>• 7</p><p>A B</p><p>a) D(f); f) x, quando f(x) 5 1;</p><p>b) Im(f); g) f(x), quando x 5 6;</p><p>c) f(4); h) y, quando x 5 3;</p><p>d) y, quando x 5 5; i) x, quando y 5 7.</p><p>e) x, quando y 5 3;</p><p>13. Considere A</p><p>g</p><p>B a função para a qual A 5 {1, 3, 4},</p><p>B 5 {3, 9, 12} e g(x) é o triplo de x, para todo x  A.</p><p>a) Construa o diagrama de flechas da função.</p><p>b) Determine D(g), CD(g) e Im(g).</p><p>c) Determine g(3).</p><p>d) Determine x para o qual g(x) 5 12.</p><p>5.  Funções definidas por fórmulas matemáticas</p><p>Grande parte das funções que estudamos é determinada por fórmulas matemáticas (regras ou leis).</p><p>No início do capítulo vimos uma correspondência entre o número de litros de gasolina e o preço a pagar</p><p>expressa por:</p><p>preço a pagar 5 2,40 vezes o número de litros comprados</p><p>em que o preço de 1, é R$ 2,40. Essa função pode ser expressa pela fórmula matemática:</p><p>y 5 2,40x ou f(x) 5 2,40x</p><p>Veja outras funções expressas por fórmulas matemáticas:</p><p>• f: ® → ® que a cada número real x associa o seu dobro → f(x) 5 2x ou y 5 2x;</p><p>• f: ® → ® que a cada número real x associa o seu cubo → f(x) 5 x3 ou y 5 x3;</p><p>• f: ® → ® que a cada número real x associa o seu triplo somado com 1 → f(x) 5 3x 1 1</p><p>ou y 5 3x 1 1;</p><p>• f: ®* → ® que a cada número real diferente de 0 associa o seu inverso → f(x) 5</p><p>1</p><p>x</p><p>ou</p><p>y 5</p><p>1</p><p>x</p><p>ou y 5 x21.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Numa indústria, o custo operacional de uma mercadoria é composto de um custo fixo de R$ 300,00 mais um</p><p>custo variável de R$ 0,50 por unidade fabricada. Portanto, o custo operacional, que representaremos por y, é</p><p>dado em função do número de unidades fabricadas, que representaremos por x. Vamos expressar, por meio de</p><p>uma fórmula matemática, a lei dessa função.</p><p>custo operacional 5 custo fixo 1 custo variável ⇒ y 5 300,00 1 0,50x</p><p>Então, a fórmula matemática é f(x) 5 300,00 1 0,50x ou y 5 300,00 1 0,50x.</p><p>Para refletir</p><p>Por que neste último</p><p>exemplo a função não</p><p>pode ser de R em R?</p><p>78 Matemática</p><p>2‚) Num quadrado, a fórmula P 5 4, permite calcular a medida P do perímetro em função</p><p>da medida , do lado, e a fórmula d 5 , 2 permite calcular a medida d da diagonal</p><p>em função da medida , do lado. Vamos expressar uma fórmula matemática que</p><p>permita cal cular a medida d da diagonal em função da medida P do perímetro.</p><p>P 5 4, ⇒ , 5</p><p>P</p><p>4</p><p>d 5 , 2 ⇒ d 5</p><p>P 2</p><p>4</p><p>Portanto, a fórmula matemática é d 5</p><p>P 2</p><p>4</p><p>.</p><p>3‚) Vamos determinar o conjunto imagem de f da função f: A → ®, em que f(x) 5 3x 2 5 e A 5 {22, 0, 1}.</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>(– )  ( )</p><p>( )</p><p>2 3 2 5 11</p><p>0 3 0 5 5</p><p>= =</p><p>= =</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>(( )</p><p>Im( )   { ,</p><p>1 3 1 5 2</p><p>11 5</p><p>= =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p> 2 2</p><p>2 2f ,,  } 22</p><p>4‚) Consideremos a função ®</p><p>f</p><p>® dada por y 5 x2 2 5x 1 7. Vamos determinar:</p><p>a) a imagem do número 4</p><p>y 5 f(4) 5 42 2 5(4) 1 7 5 3</p><p>b) o número real x tal que y 5 1</p><p>y 5 f(x) ⇒ 1 5 x2 2 5x 1 7 ⇒ x2 2 5x 1 6 5 0 ⇒ (x 2 2)(x 2 3) 5 0 ⇒ x 5 2 ou x 5 3</p><p>Portanto, y 5 1 ⇒ x 5 2 ou x 5 3.</p><p>5‚) A função f: ®* → ® é dada por f(x) 5 x 1</p><p>1</p><p>x</p><p>. Vamos determinar:</p><p>a) f(3)</p><p>f(3) 5 3 1</p><p>1</p><p>3</p><p>10</p><p>3</p><p>=</p><p>b) f</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>f</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2 5</p><p>5</p><p>2</p><p>c) f(x 1 1), para x  21</p><p>f(x 1 1) 5 x 1 1 1</p><p>1</p><p>1x +</p><p>5 (     )(     )</p><p>x x</p><p>x</p><p>+ + +</p><p>+</p><p>1 1 1</p><p>1</p><p>5</p><p>x x</p><p>x</p><p>2 2 2</p><p>1</p><p>+ +</p><p>+</p><p>(x  21)</p><p>d) f(a 2 1), para a  1</p><p>f(a 2 1) 5 a 2 1 1</p><p>1</p><p>1a   2</p><p>5</p><p>(     )(     )</p><p>a a</p><p>a</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1 1 1</p><p>1</p><p>+</p><p>5</p><p>a a</p><p>a</p><p>2 2 2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>+</p><p>(a  1)</p><p>6‚) As funções f e g são dadas por f(x) 5 2x 2 3 e g(x) 5 3x 1 a. Vamos determinar o valor de a sabendo que</p><p>f(2) 1 g(2) 5 8.</p><p>f</p><p>g a a</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2 2 2 3 1</p><p>2 3 2 6</p><p>= =</p><p>= + = +</p><p></p><p></p><p>2</p><p></p><p></p><p>1 1 6 1 a 5 8 ⇒ a 5 1</p><p>7‚) Seja f: ® → ® uma função tal que:</p><p>• f(x) 5 x2 1 bx 1 c (b  ®, c  ®) • f(1) 5 2 • f(21) 5 12</p><p>Vamos determinar f(2).</p><p>f b c b c</p><p>f</p><p>( )</p><p>( )</p><p>1 2 1 2 1</p><p>1 12</p><p>2= ⇒ + + = ⇒ + =</p><p>=2 ⇒⇒ + + = ⇒ + =</p><p></p><p></p><p></p><p>  ( )   ( )                   2 2 21 1 12 112 b c b c</p><p>bb c</p><p>b c</p><p>+ =</p><p>+ =</p><p>1</p><p>112</p><p>2c 12 c 6 b                                 = ⇒ = ⇒ ==  25</p><p>f(x) 5 x2 2 5x 1 6 ⇒ f(2) 5 22 2 5  2 1 6 5 0</p><p>d</p><p>79Capítulo 3 | Funções</p><p>8‚) f: ® → ® é uma função cuja lei envolve mais de uma sentença: f(x) 5</p><p>3 1</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>,</p><p>,</p><p>+</p><p></p><p></p><p>para x 2</p><p>para x  2</p><p>�</p><p>�</p><p>. Vamos determinar:</p><p>a) f(5) c) f(23) e) f</p><p>1</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>;</p><p>f(5) 5 52 5 25 f(23) 5 3(23) 1 1 5 28</p><p>f</p><p>1</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5 3</p><p>1</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 1 5 2</p><p>b) f(0) d) f</p><p>5</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>; f) f(2)</p><p>f(0) 5 3(0) 1 1 5 1</p><p>f</p><p>5</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5</p><p>25</p><p>4</p><p>f(2) 5 3(2) 1 1 5 7</p><p>9‚) Sendo f: ® → ® uma função tal que f(x 1 1) 5 f(x) 1 10. Se f(6) 5 30, vamos determinar:</p><p>a) f(7)</p><p>Se f(x 1 1) 5 f(x) 1 10, então f(7) 5 f(6) 1 10 5 30 1 10 5 40</p><p>b) f(8)</p><p>f(8) 5 f(7) 1 10 5 40 1 10 5 50</p><p>c) f(5)</p><p>f(6) 5 f(5) 1 10 ⇒ 30 5 f(5) 1 10 ⇒ f(5) 5 30 2 10 5 20</p><p>Exercícios propostos</p><p>14. Expresse por meio de uma fórmula matemática a fun-</p><p>ção f: lR → lR, que a cada número real x associa:</p><p>a) o seu quadrado;</p><p>b) a sua terça parte;</p><p>c) o seu dobro diminuído de 3;</p><p>d) o seu quadrado diminuído de 4;</p><p>e) a sua metade somada com 3;</p><p>f ) o seu cubo somado com o seu quadrado.</p><p>15. Escreva a fórmula matemática que expresse a lei de</p><p>cada uma das funções abaixo:</p><p>a) Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa</p><p>fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de</p><p>mão de obra. Então o preço y que se deve pagar</p><p>pelo conserto de um televisor é dado em função</p><p>do número x de horas de trabalho (mão de obra).</p><p>b) Um fabricante produz objetos a um custo de R$ 12,00</p><p>a unidade, vendendo-os por R$ 20,00 a unidade.</p><p>Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função</p><p>do número x de unidades produzidas e vendidas.</p><p>c) A Organização Mundial da Saúde recomenda que</p><p>cada cidade tenha no mínimo 14 m2 de área ver-</p><p>de por habitante. A área verde mínima y que de-</p><p>ve ter uma cidade é dada em função do número</p><p>x de habitantes.</p><p>d) Um triângulo tem base fixa de 6 cm e altura va-</p><p>riável de x cm.</p><p>A área y, em cm2, é dada em função de x.</p><p>x</p><p>6</p><p>16. Um retângulo tem comprimento c, largura , e perí-</p><p>metro 20. Determine:</p><p>a) a fórmula que dá o valor de c em função de ,;</p><p>b) , em função de c.</p><p>c</p><p>80 Matemática</p><p>17. A fórmula C 5 2πr nos permite calcular o comprimen-</p><p>to C de uma circunferência em função da medida r</p><p>do raio. Expresse uma fórmula matemática que per-</p><p>mita calcular a medida r em função de C.</p><p>r</p><p>18. Considere f: ® → ® dada por f(x) 5 3x 1 5; deter-</p><p>mine f(23) e f(0).</p><p>19. Considere f: ® → ® dada por f(x) 5 x2 2 1 e determi-</p><p>ne a imagem do número real 2 pela função.</p><p>20. Considere f: ® → ® dada por f(x) 5 3x 2 2 e deter-</p><p>mine o número real x de modo que f(x) 5 0.</p><p>21. A fórmula S 5 ,2 nos permite calcular a área S de uma</p><p>região quadrada em função da medida  de seu lado.</p><p>Sendo P o perímetro desse quadrado, expresse uma</p><p>fórmula matemática que permita calcular a área S em</p><p>função de P.</p><p>26. Dada f: n → n tal que f(x) 5</p><p>x se é par</p><p>x se é ímpar</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>1 5</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p>,</p><p>calcule:</p><p>a) f(5);</p><p>b) f(4);</p><p>c) f(0);</p><p>d) f(31);</p><p>e) x tal que f(x) 5 14.</p><p>27. Seja f: ® → ® a função definida por</p><p>f(x) 5</p><p>x</p><p>se x</p><p>x se x</p><p>2</p><p>3</p><p>,</p><p>,</p><p>.</p><p>�</p><p>�</p><p>Q</p><p>Q</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Determine o valor de f f( )   2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 f(π).</p><p>28. A função f: ® → ® é dada por f(x) 5 ax 1 b, em que</p><p>a  ®* e b  ®. Sendo m e n dois números reais</p><p>distintos, calcule o valor da expressão f(m) 2 f(n)</p><p>m 2 n</p><p>.</p><p>29. As funções f e g são dadas por f(x) 5 3x 1 2m e</p><p>g(x) 5 22x 1 1. Calcule o valor de m sabendo que</p><p>f(0) 2 g(1) 5 3.</p><p>30. Se f(x) 5 x2 1 bx 1 c é tal que f(21) 5 1 e f(1) 5 21,</p><p>calcule o valor de bc.</p><p>31. Seja f: ® → ® uma função tal que:</p><p>I) f(x) 5 x2 1 mx 1 n;</p><p>II) f(1) 5 21 e f(21) 5 7.</p><p>Nessas condições, determine f(3).</p><p>32. Um motorista, saindo de um terminal A, viaja por</p><p>uma estrada e nota que a distância percorrida,</p><p>a partir do ponto inicial, pode ser calculada por</p><p>d(x) 5 50x 1 6, sendo d em quilômetros e x em</p><p>horas. Faça uma tabela listando as distâncias per-</p><p>corridas após cada intervalo de uma hora desde</p><p>x 5 1 até x 5 5.</p><p>33. Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a uni-</p><p>dade. O custo total do produto consiste numa taxa</p><p>fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de R$ 0,30</p><p>por unidade.</p><p>a) Qual é o número de unidades que o fabricante deve</p><p>vender para não ter lucro nem prejuízo?</p><p>b) Se vender 200 unidades desse produto, o comer-</p><p>ciante terá lucro ou prejuízo?</p><p>Observação: Existem funções matemáticas que não são definidas por fórmulas. Veja os exemplos da página 75:</p><p>1‚) f: P → ®, em que P é o conjunto das regiões poligonais do plano e, para cada p  P, f(p) 5 área de P.</p><p>2‚) Consideremos S o conjunto dos segmentos de reta de um plano a e T o conjunto das retas desse mesmo plano.</p><p>A regra que associa a cada segmento de reta AB  S sua mediatriz g(AB) define uma função g: S → T.</p><p>22. Seja a função f: D → ® dada por f(x) 5 2x 1 1, de</p><p>domínio D 5 {22, 21, 0, 2}. Determine o conjunto</p><p>imagem de f.</p><p>23. A função f: ®* → ® é dada por f(x) 5</p><p>3</p><p>x</p><p>. Calcule:</p><p>a) o valor de f( );3</p><p>b) o número real x, para que f(x) 5 6.</p><p>24. Se D 5 {1, 2, 3, 4, 5} é o domínio da função f: D → ®</p><p>definida por f(x) 5 (x 2 2)(x 2 4), quantos elementos</p><p>tem o conjunto imagem da função?</p><p>25. Seja f: ®* → ® a função dada por f(x) 5</p><p>x2 1 1</p><p>x</p><p>.</p><p>Qual é o valor de f(3) 1 f [ 1</p><p>3</p><p>] ?</p><p>81Capítulo 3 | Funções</p><p>6.  Estudo do domínio de uma função real</p><p>Vimos que uma função consta de três componentes: domínio, contradomínio e lei de correspondência.</p><p>Quando é citada uma função f de A em B, já ficam subentendidos o domínio (A) e o contradomínio (B).</p><p>Às vezes, porém, é dada apenas a lei da função f, sem que A e B sejam citados. Nestes casos consideramos o</p><p>contradomínio B 5 ® e o domínio A como o “maior” subconjunto de ® (A  ®) tal que a lei dada defina uma função</p><p>f: A → ®. Veja no exemplo a seguir a explicitação do domínio em algumas funções.</p><p>Vamos explicitar o domínio das seguintes funções reais:</p><p>a) f(x) 5</p><p>1</p><p>x</p><p>1</p><p>x</p><p>só é possível em ® se x  0 (não existe divisão por 0).</p><p>Para cada x  0, o valor 1</p><p>x</p><p>sempre existe e é único (o inverso de x).</p><p>Logo, D(f) 5 ® 2 {0} 5 ®*.</p><p>b) f(x) 5 3   2 x</p><p>3   2 x só é possível em ® se 3 2 x  0 (em ® não há raiz quadrada de número negativo).</p><p>3 2 x  0 ⇒ 2x  23 ⇒ x  3</p><p>Para cada x  3, f(x) existe e é único, pois é a raiz quadrada de um número real maior ou igual a zero.</p><p>Portanto, D(f) 5 {x  ® | x  3}.</p><p>c) f(x) 5</p><p>7</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>Neste caso, devemos ter:</p><p>7 2 x  0 ⇒ x  7</p><p>x 2 2  0 ⇒ x  2</p><p>Ou seja, x  ]2, 7]. Para cada x  ]2, 7], f(x) existe e é único, pois é a divisão de um número real positivo ou nulo</p><p>por outro positivo.</p><p>Logo, D(f) 5 ]2, 7].</p><p>Exercício proposto</p><p>34. Explicite o domínio das funções reais definidas por:</p><p>a) f(x) 5</p><p>1</p><p>6x   2</p><p>b) f(x) 5</p><p>x</p><p>x2 92</p><p>c) y 5</p><p>x</p><p>x</p><p>1 1</p><p>d) f(x) 5</p><p>1</p><p>4 52x x� �</p><p>e) f(x) 5</p><p>x   2 1</p><p>4</p><p>f ) f(x) 5 x   2 7</p><p>g) y 5 x3</p><p>h) f(x) 5</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>82 Matemática</p><p>7.  Gráfico de uma função</p><p>Em livros, revistas,</p><p>jornais e na internet frequentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram re-</p><p>tratar uma determinada situação.</p><p>Esses gráficos e tabelas, em geral, representam funções, e por meio deles podemos obter informações sobre a</p><p>situação que retratam, bem como sobre as funções que representam.</p><p>Vamos analisar alguns:</p><p>1‚) O gráfico de uma função auxilia na análise da variação de duas grandezas quando uma depende da outra.</p><p>Examine o gráfico abaixo que mostra a evolução do número de candidatos no vestibular da Fuvest de 1995 a</p><p>2009, variando com o tempo.</p><p>139 369</p><p>80 973</p><p>52 542</p><p>44 492 42 343 45 289 44 813</p><p>49 398 51 572</p><p>73 990</p><p>81 201</p><p>87 392 88 242</p><p>93 723</p><p>87 109</p><p>122 907</p><p>129 095</p><p>138 497</p><p>144 459</p><p>0</p><p>20 000</p><p>1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Anos</p><p>40 000</p><p>60 000</p><p>100 000</p><p>80 000</p><p>120 000</p><p>160 000</p><p>140 000</p><p>Total de candidatos oriundos</p><p>apenas do ensino público</p><p>Total de candidatos Total de candidatos oriundos</p><p>apenas do ensino particular</p><p>161147</p><p>2002</p><p>180 000</p><p>2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009</p><p>93 503</p><p>87 436</p><p>81 496</p><p>85 314</p><p>86 236</p><p>54 677</p><p>62 111</p><p>54 214</p><p>59 374</p><p>70 797</p><p>157 808 154 514</p><p>142 656</p><p>140 999</p><p>138 242</p><p>82 032</p><p>49 340</p><p>44 803</p><p>41 353</p><p>85 016 85 458</p><p>170 474</p><p>146 307</p><p>149 240</p><p>138 311</p><p>N</p><p>úm</p><p>er</p><p>o</p><p>de</p><p>c</p><p>an</p><p>di</p><p>da</p><p>to</p><p>s</p><p>Evolução do número de candidatos no vestibular da Fuvest (1995 a 2009)</p><p>Fonte: www.fuvest.br. acesso em 10/2/2009.</p><p>Pela análise do gráfico vemos que:</p><p>• o número de candidatos oriundos do ensino público diminuiu de 1995 a 1997. De 1997 a 1998 esse número</p><p>aumentou. De 1998 a 1999 houve uma pequena queda. De 1999 a 2003 houve aumento. De 2003 a 2004 houve</p><p>redução. De 2004 a 2006 houve aumento. E de 2006 a 2009 esse número diminuiu.</p><p>• quanto ao número de candidatos oriundos do ensino particular, houve queda de</p><p>1995 a 1996, de 2000 a 2002, de 2003 a 2005 e de 2006 a 2007. O aumento desse nú-</p><p>mero ocorreu entre 1996 e 2000, 2002 e 2003, 2005 e 2006 e entre 2007 e 2009.</p><p>• comparando os vestibulares de 2005 e 2006, a porcentagem dos candidatos</p><p>oriundos do ensino público subiu de 38% para 42% aproximadamente.</p><p>2‚) Pontos de consumo de água em uma residência (em porcentagem)</p><p>Analisando o gráfico ao lado, vemos</p><p>que:</p><p>• o lavatório e o tanque consomem a</p><p>mesma quantidade de água.</p><p>• a bacia sanitária consome aproxima-</p><p>damente 5 vezes mais água do que</p><p>o tanque.</p><p>• a bacia sanitária e o chuveiro são os</p><p>que mais consomem água.</p><p>• dessa lista, a máquina de lavar louças</p><p>é o aparelho que menos consome</p><p>água.</p><p>Para refletir</p><p>Como foram calculadas</p><p>essas porcentagens de</p><p>38% e 42%?</p><p>29%</p><p>28%</p><p>17%</p><p>9%</p><p>6% 6%</p><p>5%</p><p>35</p><p>30</p><p>25</p><p>20</p><p>15</p><p>10</p><p>5</p><p>0</p><p>Bacia</p><p>sanitária</p><p>Chuveiro Pia de</p><p>cozinha</p><p>LavatórioMáquina de</p><p>lavar roupas</p><p>Tanque Máquina de</p><p>lavar louças</p><p>Pontos de</p><p>consumo</p><p>Pe</p><p>rc</p><p>en</p><p>tu</p><p>al</p><p>s</p><p>ob</p><p>re</p><p>o</p><p>to</p><p>ta</p><p>l d</p><p>e</p><p>co</p><p>ns</p><p>um</p><p>o</p><p>83Capítulo 3 | Funções</p><p>Exercícios propostos</p><p>35. Analisando o gráfico, responda:</p><p>91</p><p>Pilotos/países</p><p>51</p><p>41</p><p>31</p><p>27 25 25 24 23 22</p><p>70</p><p>60</p><p>50</p><p>40</p><p>100</p><p>90</p><p>80</p><p>30</p><p>20</p><p>10</p><p>0</p><p>Schumacher</p><p>ALE</p><p>Senna</p><p>BRA</p><p>Mansell</p><p>RUN</p><p>Stewart</p><p>ESC</p><p>Clark</p><p>ESC</p><p>Lauda</p><p>AUT</p><p>Fangio</p><p>ARG</p><p>Piquet</p><p>BRA</p><p>Damon Hill</p><p>RUN</p><p>N</p><p>úm</p><p>er</p><p>o</p><p>de</p><p>v</p><p>it</p><p>ór</p><p>ia</p><p>s</p><p>Os dez maiores vencedores da Fórmula 1 até o fim do campeonato de 2008</p><p>Prost</p><p>FRA</p><p>a) Desses dez pilotos, até o fim do campeonato de 2008, qual teve o maior número de vitórias na Fórmula 1 e qual</p><p>teve o menor número?</p><p>b) Quais pilotos tiveram o mesmo número de vitórias?</p><p>36. Analise o gráfico a seguir e responda:</p><p>Fonte: www.portalbrasil.net. acesso em 23/2/2010.</p><p>a) Em que ano as importações atingiram valor máximo? E mínimo?</p><p>b) Em que anos as exportações foram superiores a 50 bilhões de dólares?</p><p>c) Comparando o saldo de 2008 com o de 2009, houve aumento ou queda? De quanto por cento?</p><p>V</p><p>al</p><p>o</p><p>re</p><p>s</p><p>(e</p><p>m</p><p>U</p><p>S$</p><p>m</p><p>ilh</p><p>õe</p><p>s)</p><p>Balança comercial brasileira (1990 a 2009)</p><p>31414</p><p>55086</p><p>58223</p><p>�751</p><p>Importações SaldoExportações</p><p>55581</p><p>62813</p><p>48291</p><p>4724048011</p><p>51140</p><p>47747</p><p>53314</p><p>49658</p><p>43558</p><p>33168</p><p>25480</p><p>15 308</p><p>1057910753</p><p>13117</p><p>10390</p><p>�3157 �1284</p><p>2651</p><p>24793</p><p>33662</p><p>40039</p><p>24805</p><p>38597</p><p>2066121041</p><p>7354573 084</p><p>96475</p><p>118309</p><p>140000</p><p>150000</p><p>160000</p><p>170000</p><p>180000</p><p>190000</p><p>200000</p><p>130000</p><p>120000</p><p>110000</p><p>100000</p><p>90000</p><p>80000</p><p>70000</p><p>60000</p><p>50000</p><p>40000</p><p>30000</p><p>20000</p><p>10000</p><p>0</p><p>�10000</p><p>�20000</p><p>19911990 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Anos</p><p>91396</p><p>120610</p><p>160649</p><p>137470</p><p>31620</p><p>49295</p><p>5776559734</p><p>24615</p><p>2009</p><p>127637</p><p>152252</p><p>35862</p><p>20554</p><p>�5567</p><p>�6740</p><p>�6625</p><p>13122</p><p>44764</p><p>46074</p><p>55837 60362</p><p>46501</p><p>52994</p><p>197953</p><p>173148</p><p>84 Matemática</p><p>Construção de gráficos de funções</p><p>Para construir o gráfico de uma função dada por y 5 f(x), com x  D(f), no plano cartesiano, devemos:</p><p>• construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente no domínio D e com valores correspondentes</p><p>para y 5 f(x);</p><p>• a cada par ordenado (x, y) da tabela associar um ponto do plano cartesiano;</p><p>• marcar um número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico da função.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Vamos construir o gráfico da função dada por f(x) 5 2x 1 1, sendo o domínio D 5 {0, 1, 2, 3, 4}.</p><p>y</p><p>x</p><p>0 1</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>2 3 4</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>x y 5 f(x) 5 2x 1 1</p><p>0 1</p><p>1 3</p><p>2 5</p><p>3 7</p><p>4 9</p><p>Neste caso, o gráfico da função é o conjunto dos pontos A, B, C, D e E.</p><p>2‚) Vamos construir o gráfico da função f: ® → ® dada por f(x) 5 2x 1 1.</p><p>Como, neste caso, D 5 ®, vamos escolher alguns valores arbitrários de x e determinar y:</p><p>x y 5 f(x) 5 2x 1 1</p><p>22 23</p><p>21 21</p><p>0 1</p><p>1 3</p><p>2 5</p><p>Agora, o gráfico é o conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y 5 2x 1 1, resultando na reta da figura abaixo.</p><p>y</p><p>x</p><p>0 1 2</p><p>1</p><p>3</p><p>5</p><p>Para refletir</p><p>• Você verá no próximo capítulo que, quando temos y igual a um polinômio</p><p>do 1‚ grau da forma ax 1 b, o gráfico é sempre uma reta. Como dois pontos</p><p>determinam uma reta, basta marcar apenas dois pontos para traçá-la.</p><p>• Por que os gráficos dos exemplos 1 e 2 são diferentes se a lei das duas funções</p><p>é f(x) 5 2x 1 1?</p><p>85Capítulo 3 | Funções</p><p>3‚) Vamos construir o gráfico da função ® f ® dada por f(x) 5 2x2.</p><p>y</p><p>x</p><p>�1 1 2</p><p>�1</p><p>�2</p><p>�3</p><p>�4</p><p>�2</p><p>f(x) � �x2</p><p>0</p><p>x y 5 f(x) 5 2x2 (x, y)</p><p>22 24 (22, 24)</p><p>21,5 22,25 (21,5; 22,25)</p><p>21 21 (21, 21)</p><p>0 0 (0, 0)</p><p>1 21 (1, 21)</p><p>1,5 22,25 (1,5; 22,25)</p><p>2 24 (2, 24)</p><p>A curva que contém todos os pontos obtidos com y 5 2x2 é o gráfico da função dada. Essa curva se chama</p><p>parábola.</p><p>co</p><p>m</p><p>st</p><p>o</p><p>ck</p><p>im</p><p>aG</p><p>es</p><p>/J</p><p>u</p><p>pi</p><p>te</p><p>ri</p><p>m</p><p>aG</p><p>es</p><p>Para refletir</p><p>Como saber que é uma curva e não um segmento de reta que liga</p><p>esses pontos?</p><p>Os matemáticos já provaram que, quando temos y igual a um</p><p>polinômio do 2º grau da forma ax2 1 bx 1 c, com a  0, o gráfico é</p><p>uma curva chamada parábola.</p><p>Veremos isso mais adiante, no capítulo 5, sobre função quadrática.</p><p>Monumento na cidade de Saint Louis,</p><p>Estados Unidos.</p><p>Exercício proposto</p><p>37. Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções</p><p>y 5 f(x), f: ® - ®:</p><p>a) f(x) 5 x 2 2</p><p>b) f(x) 5 x</p><p>c) y 5 2x</p><p>d) y 5 22x</p><p>e) f(x) 5 x2</p><p>f ) f(x) 5 2x</p><p>g) f(x) 5</p><p>1</p><p>x</p><p>, x ≠ 0</p><p>Determinação do domínio e da imagem de uma função, conhecendo o gráfico</p><p>Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano podemos, às vezes, determinar o domínio D e o</p><p>conjunto imagem Im da função, projetando o gráfico nos eixos:</p><p>1</p><p>0 2 4</p><p>5</p><p>x</p><p>y</p><p>domínio</p><p>imagem</p><p>gráfico</p><p>de f</p><p>D(f) 5 {x  ® | 2  x  4} 5 [2, 4]</p><p>Im(f) 5 {y  ® | 1  y  5} 5 [1, 5]</p><p>2</p><p>0,3</p><p>gráfico de g</p><p>0 1</p><p>x</p><p>y</p><p>D(g) 5 {x  ® | 21  x  1} 5 ]21, 1]</p><p>Im(g) 5 {y  ® | 0,3  y  2} 5 [0,3; 2[</p><p>86 Matemática</p><p>Exercício proposto</p><p>38. Os seguintes gráficos representam funções; determine o</p><p>domínio D e o conjunto imagem Im de cada uma delas.</p><p>a)</p><p>0</p><p>2</p><p>�3</p><p>�2</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>b)</p><p>0 1 2 3</p><p>1</p><p>3</p><p>�2</p><p>y</p><p>x</p><p>c)</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>4</p><p>1�2 �1</p><p>y</p><p>x</p><p>1</p><p>2</p><p>d)</p><p>0</p><p>2</p><p>4321</p><p>y</p><p>x</p><p>e)</p><p>0</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>f )</p><p>0 1 2 3</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>�1�2</p><p>y</p><p>x</p><p>Determinando se um conjunto de pontos é gráfico de uma função</p><p>Já vimos que, para ter uma função de A em B, a cada x  A deve corresponder um único y  B. Geometrica-</p><p>mente, isso significa que qualquer reta perpendicular</p><p>ao eixo x que intersecta o gráfico deve fazê-lo num único</p><p>ponto. Por exemplo:</p><p>x</p><p>y</p><p>0</p><p>0</p><p>x</p><p>yO gráfico à esquerda é de uma função, pois qual-</p><p>quer reta perpendicular ao eixo Ox intersecta-o em um</p><p>único ponto.</p><p>Assim, se essa reta intersectar o gráfico em mais de</p><p>um ponto, esse gráfico não é gráfico de uma função.</p><p>O gráfico à direita não é de uma função, pois exis-</p><p>tem retas perpendiculares ao eixo Ox intersectando-o</p><p>em mais de um ponto.</p><p>Exercício proposto</p><p>39. Determine se cada um dos gráficos abaixo representa uma função:</p><p>a)</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>b)</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>c)</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>d)</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>87Capítulo 3 | Funções</p><p>8.  Função par – Função ímpar</p><p>Função par</p><p>Consideremos a função f: ® → ®, definida por f(x) 5 x2. Veja ao lado</p><p>o gráfico correspondente.</p><p>Observe que:</p><p>•</p><p>f</p><p>f</p><p>( )</p><p>( )   ( )</p><p>1 1 1</p><p>1 1 1</p><p>2</p><p>2</p><p>= =</p><p>= =2 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>f(1) 5 f(21), ou seja, 1 e 21 têm a mesma imagem</p><p>•</p><p>f</p><p>f</p><p>( )</p><p>( )   ( )</p><p>2 2 4</p><p>2 2 4</p><p>2</p><p>2</p><p>= =</p><p>= =2 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>f(2) 5 f(22), ou seja, 2 e 22 têm a mesma imagem</p><p>O gráfico de f(x) 5 x2 é simétrico em relação ao eixo y. Para uma função qualquer, podemos escrever:</p><p>f é função par se, e somente se, f(x) 5 f(2x), para qualquer x  D, em que o domínio é simétrico em relação à</p><p>origem, isto é, x  D acarreta 2x  D.</p><p>O gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y.</p><p>Assim, f(x) 5 x2 é par, pois para qualquer x  D temos f(x) 5 x2 e f(2x) 5 (2x)2 5 x2, ou seja, f(x) 5 f(2x).</p><p>Função ímpar</p><p>Vamos considerar a função f: ® → ®, definida por f(x) 5 x3.</p><p>0 1 2</p><p>1</p><p>8</p><p>�1</p><p>�1</p><p>�8</p><p>�2</p><p>y</p><p>x</p><p>f(x) � x3</p><p>Pela análise do gráfico, observe que:</p><p>• f</p><p>f</p><p>( )</p><p>( )   ( )</p><p>1 1 1</p><p>1 1 1</p><p>3</p><p>3</p><p>= =</p><p>= =</p><p></p><p></p><p></p><p>2 2 2</p><p>f(1) 5 2f(21), ou seja, 1 e 21 têm imagens opostas</p><p>• f</p><p>f</p><p>( )</p><p>( )   ( )</p><p>2 2 8</p><p>2 2 8</p><p>3</p><p>3</p><p>= =</p><p>= =</p><p></p><p></p><p></p><p>2 2 2</p><p>f(2) 5 2f(22), ou seja, 2 e 22 têm imagens opostas</p><p>• Para qualquer x  ®, se f(x) 5 m, então f(2x) 5 2m, pois x3 5 2(2x)3.</p><p>Por isso, o gráfico de f(x) 5 x3 é simétrico em relação ao ponto O, origem do sistema cartesiano, e dizemos que</p><p>a função f é ímpar. De modo geral:</p><p>f é função ímpar se, e somente se, f(2x) 5 2f(x), para qualquer x  D.</p><p>O domínio é simétrico em relação à origem, isto é, x  D acarreta 2x  D.</p><p>O gráfico de f é simétrico em relação à origem O.</p><p>0</p><p>1</p><p>4</p><p>21�1�2</p><p>y</p><p>x</p><p>f(x) � x2</p><p>88 Matemática</p><p>No exemplo dado, f(x) 5 x3 é ímpar, pois para qualquer x  D temos f(x) 5 x3 e f(2x) 5 (2x)3 5 2x3, ou seja,</p><p>f(2x) 5 2f(x).</p><p>Observação: Existe função que não é par nem ímpar. Por exemplo, f: ® → ® tal que f(x) 5 2x 1 1. Veja que:</p><p>• f(3) 5 2  3 1 1 5 7 • f(23) 5 2(23) 1 1 5 25</p><p>Esse valor x 5 3 já é suficiente para afirmar que f não é função par nem ímpar.</p><p>Para refletir</p><p>Por que neste exemplo já se pode</p><p>tirar a conclusão analisando um dos</p><p>valores de x?</p><p>y</p><p>x</p><p>f(x) � 2x � 1 0</p><p>O gráfico da função f(x) 5 2x 1 1 não apresenta simetria em relação ao eixo y nem em relação ao ponto O.</p><p>Vamos analisar mais alguns gráficos para verificar se são pares ou ímpares.</p><p>1‚)</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>�1</p><p>0</p><p>O gráfico é simétrico em relação à origem, portan-</p><p>to a função é ímpar.</p><p>2‚)</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>�1</p><p>0</p><p>O gráfico é simétrico em relação ao eixo y, por-</p><p>tanto a função é par.</p><p>3‚)</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>Não há simetria em relação à origem nem em relação</p><p>ao eixo y, portanto a função não é par nem ímpar.</p><p>4‚) y</p><p>0 1</p><p>x</p><p>Não há simetria em relação à origem nem em relação</p><p>ao eixo y, portanto a função não é par nem ímpar.</p><p>Exercícios propostos</p><p>40. Verifique se os gráficos representam funções e, quando sim, se elas são pares ou ímpares.</p><p>a) y</p><p>x</p><p>0</p><p>b) y</p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>c) y</p><p>x</p><p>d) y</p><p>x</p><p>�4 �3</p><p>3</p><p>43</p><p>41. Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares:</p><p>a) f: ® → ® tal que f(x) 5</p><p>x 1 1</p><p>2</p><p>c) f: ®* → ® tal que f(x) 5</p><p>1</p><p>x</p><p>b) f: ® → ® tal que f(x) 5 x4 d) f: ® → ® tal que f(x) 5 2x2</p><p>89Capítulo 3 | Funções</p><p>9.  Função crescente e função decrescente</p><p>Vamos analisar as seguintes situações.</p><p>• O gráfico abaixo mostra a população brasileira de 1940 a 2000.</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>60</p><p>70</p><p>80</p><p>90</p><p>100</p><p>110</p><p>120</p><p>130</p><p>140</p><p>150</p><p>160</p><p>170</p><p>1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000</p><p>Milhões de habitantes</p><p>Anos</p><p>Fonte: www.ibge.gov.br. acesso em 22/11/2006.</p><p>Pelo gráfico notamos o aumento da população em função do aumento do tempo (dado em anos), ou seja, a curva</p><p>é crescente.</p><p>• Este gráfico mostra um tanque de água sendo esvaziado:</p><p>100</p><p>200</p><p>300</p><p>400</p><p>500</p><p>600</p><p>5 10 15 20 25 30 35</p><p>Volume (em �)</p><p>Tempo (em min)</p><p>Pelo gráfico notamos a diminuição do volume de água em função do aumento do tempo (dado em min), ou seja,</p><p>a curva é decrescente.</p><p>Analisando gráficos</p><p>Vamos analisar os gráficos que já construímos.</p><p>Observe o gráfico da função de ® em ® dada por f(x) 5 2x 1 1: é uma</p><p>reta.</p><p>Dizemos que essa função é crescente, pois, quanto maior o valor dado</p><p>a x, maior será o valor correspondente a y 5 f(x) 5 2x 1 1.</p><p>y</p><p>x</p><p>0 1�2 �1</p><p>�1</p><p>�3</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>5</p><p>cr</p><p>es</p><p>ce</p><p>nt</p><p>e</p><p>f(x) � 2x � 1</p><p>90 Matemática</p><p>Observe o gráfico da função de ® em ® dada por f(x) 5 2x2: é uma parábola.</p><p>Veja que:</p><p>• para x  0, essa função é crescente.</p><p>• para x  0, essa função é decrescente.</p><p>• para x 5 0, f(x) 5 0; para x  0, temos f(x)  0. Por isso, dizemos que x 5 0</p><p>é o ponto de máximo da função.</p><p>• o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (f é função par).</p><p>Observe o gráfico da função de ® em ® dada por f(x) 5</p><p>x se x</p><p>se x</p><p>,</p><p>,</p><p>.</p><p>�</p><p>�</p><p>3</p><p>3 3</p><p></p><p></p><p></p><p>Veja que:</p><p>• para x  3, essa função é crescente.</p><p>• para x  3, essa função é constante.</p><p>• para x  0, f(x)  0.</p><p>• para x 5 0, f(x) 5 0.</p><p>• para x  0, f(x)  0.</p><p>Conclusões: De modo geral, analisando o gráfico de uma função, podemos observar propriedades importantes</p><p>dela, como:</p><p>1·) Onde ela é positiva (f(x)  0), onde ela é negativa (f(x)  0) e</p><p>onde ela se anula (f(x) 5 0). Os valores x0 nos quais ela se anu-</p><p>la (f(x0) 5 0) são chamados zeros da função f.</p><p>2·) Onde ela é crescente (se x1  x2, então f(x1)  f(x2)), onde ela é</p><p>decrescente (se x1  x2, então f(x1)  f(x2)) e onde ela assume</p><p>um valor máximo ou um valor mínimo, se existirem. Por exem-</p><p>plo, considere o gráfico ao lado, que representa uma função</p><p>definida no intervalo ]26, 6[:</p><p>• f é positiva em ]25, 21[ e em ]5, 6[.</p><p>• f é negativa em ]26, 25[ e em ]21, 5[.</p><p>• f é nula em x 5 25, x 5 21 e x 5 5. Esses são os zeros ou raízes da função.</p><p>• f é crescente em ]26, 23] e em [2, 6[.</p><p>• f é decrescente em [23, 2].</p><p>• O ponto com x 5 23 é um ponto de máximo e f(x) 5 2 é o valor máximo de f.</p><p>• O ponto com x 5 2 é um ponto de mínimo e f(x) 5 23 é o valor mínimo de f.</p><p>y</p><p>x</p><p>�1 1 2</p><p>�1</p><p>�2</p><p>�3</p><p>�4</p><p>�2</p><p>f(x) � �x2</p><p>0</p><p>cr</p><p>es</p><p>ce</p><p>nt</p><p>e</p><p>decrescente</p><p>máxim</p><p>o</p><p>crescente</p><p>10</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>�1�2�3 2</p><p>constante</p><p>3 4 5 6 7</p><p>y</p><p>x</p><p>�4</p><p>�3</p><p>�2</p><p>�1</p><p>cre</p><p>sce</p><p>nte</p><p>decrescente</p><p>cre</p><p>sce</p><p>nte</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>�1�2�3 2</p><p>máximo</p><p>mínimo</p><p>3 4 5 6</p><p>y</p><p>x</p><p>�5 �4�6</p><p>0</p><p>�4</p><p>�3</p><p>�2</p><p>�1</p><p>91Capítulo 3 | Funções</p><p>Informações sobre uma função a partir do seu gráfico</p><p>Seja f: ® → ® a função cujo gráfico é este ao lado:</p><p>Observe algumas informações que podem ser obtidas pela leitura do gráfico.</p><p>• f(23) 5 21</p><p>• f(1) 5 1</p><p>• se f(x) 5 1, então x 5 1 ou x 5 21</p><p>• f(0,5)  f(1,5)</p><p>• e x  ® | f(x) 5 3</p><p>• D(f) 5 ® e Im(f) 5 {y  ® | y  2}</p><p>• O gráfico de f corta o eixo x em (2, 0) e (22, 0) e corta o eixo y em (0, 2)</p><p>• f é uma função par</p><p>• f é decrescente para x  0</p><p>Observação: No volume 3, estudaremos com mais profundidade o comportamento</p><p>de algumas funções.</p><p>Exemplo</p><p>y</p><p>x</p><p>1 2 3 4�1</p><p>�1</p><p>�2</p><p>�3</p><p>�2�3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>0</p><p>Para refletir</p><p>Para que valores de x</p><p>essa função é crescente?</p><p>** (Enem) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999.</p><p>Safra</p><p>1995 1996 1997 1998 1999</p><p>Produção (em mil toneladas) 30 40 50 60 80</p><p>Produtividade (em kg/hectare) 1 500 2 500 2 500 2 500 4 000</p><p>O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é:</p><p>a)</p><p>95 96 97 98 99</p><p>AP c)</p><p>95 96 97 98 99</p><p>AP e) AP</p><p>95 96 97 98 99</p><p>b)</p><p>95 96 97 98 99</p><p>AP d) AP</p><p>95 96 97 98 99</p><p>1. Lendo e compreendendo</p><p>a) O que é dado no problema?</p><p>São dadas</p><p>duas grandezas em cada ano considerado; a produção, em milhares de toneladas, e a</p><p>produtividade, em quilos por hectares.</p><p>b) O que se pede?</p><p>O melhor gráfico para representar a variação da área plantada ao longo dos cinco anos considerados.</p><p>ti</p><p>m</p><p>-t</p><p>im</p><p>p</p><p>o</p><p>r</p><p>ti</p><p>m</p><p>-t</p><p>im</p><p>92 Matemática</p><p>2. Planejando a solução</p><p>Devemos usar as informações da tabela para calcular a área plantada. Como temos a produção em</p><p>milhares de toneladas, e a produtividade em quilos por hectare, será possível obter a área plantada</p><p>em hectares.</p><p>Para fazer isso, precisamos compreender a relação entre as grandezas dadas: isso pode ser feito obser-</p><p>vando-se as unidades das grandezas. Assim, percebemos que a produtividade é a divisão da produção</p><p>pela área plantada. Dessa relação, obteremos a área plantada que precisamos para compor o traçado</p><p>do gráfico.</p><p>Primeiro vamos igualar as unidades, escrevendo a produção em quilos. Como uma tonelada equivale</p><p>a 1 000 quilos, então 1 000 toneladas equivalem a um milhão de quilos.</p><p>3. Executando o que foi planejado</p><p>De acordo com nossa estratégia, podemos pensar na relação produtividade 5</p><p>produção</p><p>área plantada</p><p>e, por-</p><p>tanto, área plantada 5</p><p>produção</p><p>produtividade</p><p>. Assim, vamos criar uma nova linha na tabela dada na qual</p><p>dividiremos os valores dados.</p><p>Vamos também escrever os valores da produção em quilos, lembrando que 1 000 toneladas 5 106 quilos.</p><p>Safra</p><p>1995 1996 1997 1998 1999</p><p>Produção</p><p>(em kg) 30 ? 106 40 ? 106 50 ? 106 60 ? 106 80 ? 106</p><p>Produtividade</p><p>(em kg/hectare) 1 500 2 500 2 500 2 500 4 000</p><p>Área plantada (AP)</p><p>(em hectares)</p><p>30 ? 106</p><p>1 500</p><p>5 20 mil 16 mil 20 mil 24 mil 20 mil</p><p>Analisando a nossa linha com valores da área plantada, percebemos que de 1995 a 1996 ela é decres-</p><p>cente, de 1996 a 1998 ela é crescente, e de 1998 a 1999 é novamente decrescente. De acordo com a</p><p>interpretação dos valores acima e observando as cinco alternativas de gráfico do problema, percebemos</p><p>que a melhor escolha é o item a.</p><p>4. Emitindo a resposta</p><p>A resposta é o item a.</p><p>5. Ampliando o problema</p><p>a) Calcule qual seria a área plantada em 1998 se a produtividade fosse 3 000 kg/hectare, 4 000 kg/hectare e</p><p>5 000 kg/hectare respectivamente.</p><p>b) Aproveitando os resultados do item a, analise o que ocorre com a área plantada de uma plantação quan-</p><p>do se aumenta a produtividade mantendo-se a mesma produção.</p><p>c) Se aumentarmos a produtividade mantendo a mesma área plantada, o que ocorrerá com a produção?</p><p>d) Discussão em equipe</p><p>Troque ideias com seus colegas sobre o esforço dos pequenos agricultores para aumentar a produtivi-</p><p>dade de uma lavoura. Isso seria bom? Ou não tem muita importância? Se for bom, quem poderia ajudá-</p><p>-los nessa tarefa?</p><p>93Capítulo 3 | Funções</p><p>Exercícios propostos</p><p>42. Os gráficos seguintes representam funções. Indique se cada função é crescente ou decrescente:</p><p>a) y</p><p>x</p><p>0</p><p>1</p><p>b) y</p><p>x</p><p>0</p><p>1</p><p>c) y</p><p>x</p><p>0</p><p>43. Considerando os gráficos a seguir, que representam fun ções, responda para que valores reais de x a função é cres-</p><p>cente e decrescente:</p><p>a) y</p><p>x</p><p>0 2</p><p>b) y</p><p>x</p><p>0 1 2</p><p>c) y</p><p>x</p><p>0</p><p>π π</p><p>π</p><p>2</p><p>π</p><p>2</p><p>44. Responda às questões a partir do grá fico da função f da do ao lado.</p><p>a) Qual é o domínio e qual é a imagem de f?</p><p>b) Em quantos pontos o gráfico corta o eixo x? E o eixo y?</p><p>c) f(1,7) é maior, menor ou igual a f(2,9)?</p><p>d) Qual é o valor máximo de f(x)? E o valor mínimo?</p><p>e) Qual ponto do gráfico tem abscissa 21?</p><p>f) O ponto (4, 21) pertence ao gráfico de f?</p><p>g) Qual é o valor de x, quando f(x) 5 3?</p><p>45. Analise o gráfico abaixo e responda:</p><p>jan./08 fev./08 mar./08 abr./08 maio/08 jun./08 jul./08 ago./08 set./08 out./08 nov./08 dez./08 jan./09 fev./09 mar./09</p><p>3</p><p>3,5</p><p>2,5</p><p>2</p><p>1,5</p><p>1</p><p>0,5</p><p>0</p><p>1,7714</p><p>1,7443</p><p>1,6808</p><p>1,7526</p><p>1,6498</p><p>Valor de compra do dólar comercial, em reais, no primeiro dia útil de cada mês</p><p>(entre janeiro/2008 e março/2009)</p><p>1,6312 1,6053</p><p>1,5585</p><p>1,6439</p><p>1,9205</p><p>2,981</p><p>2,3557</p><p>2,329</p><p>2,4367</p><p>2,4113</p><p>Fonte: www.bcb.gov.br. acesso em 8/6/2009.</p><p>a) Em que mês o dólar atingiu seu valor máximo? E seu valor mínimo?</p><p>b) De que mês para que mês houve valorização mais brusca do dólar? De quanto por cento foi essa valorização?</p><p>c) De quanto por cento foi a desvalorização do dólar entre abril e agosto de 2008?</p><p>46. Um rapaz desafia seu pai para uma corrida de 100 m. O pai per-</p><p>mite que o filho comece a corrida 30 m à sua frente. Um gráfico</p><p>bastante simplificado dessa corrida é dado ao lado.</p><p>a) Pelo gráfico, como é possível dizer quem ganhou a corrida e</p><p>qual foi a diferença de tempo?</p><p>b) A que distância do início o pai alcançou seu filho?</p><p>c) Em que momento depois do início da corrida ocorreu a ultra-</p><p>passagem?</p><p>y</p><p>x</p><p>10 2 3 4�1</p><p>�1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>50</p><p>40</p><p>60</p><p>20</p><p>80</p><p>100</p><p>Distância (m)</p><p>Tempo (s)</p><p>10 15</p><p>94 Matemática</p><p>10.  Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva</p><p>Função injetiva ou injetora</p><p>Uma função f: A → B é injetiva (ou injetora) quando elementos diferentes de A são transformados por f em</p><p>elementos diferentes de B, ou seja, não há elemento em B que seja imagem de mais de um elemento de A.</p><p>Assim, f é injetiva quando:</p><p>x1  x2 em A � f(x1)  f(x2) em B</p><p>ou equivalentemente usando a contrapositiva:</p><p>f(x1) 5 f(x2) em B � x1 5 x2 em A</p><p>A B A B A B</p><p>função injetiva função injetiva função não injetiva</p><p>(Não há elemento em B que seja imagem de mais de um elemento de A.) (Há um elemento em B que é imagem de</p><p>dois elementos distintos em A.)</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 x2 2 1 não é injetiva, pois:</p><p>• para x 5 1 corresponde f(1) 5 0;</p><p>• para x 5 21 corresponde f(21) 5 0.</p><p>Neste caso, para dois valores diferentes de x encontramos um mesmo valor para a função.</p><p>No diagrama:</p><p>1 •</p><p>® ®</p><p>�1 •</p><p>• 0</p><p>2‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 2x é injetiva, pois faz corresponder a cada número real x o seu dobro 2x</p><p>e não existem dois números reais diferentes que tenham o mesmo dobro. Simbolicamente:</p><p>Para quaisquer x1, x2  ®, x1  x2 � 2x1  2x2 � f(x1)  f(x2)</p><p>Observação: Podemos verificar se uma função é injetiva olhando seu gráfico. Sabemos que, se a função é</p><p>injetiva, não há elemento do conjunto imagem que seja imagem de mais de um elemento do domínio. Assim,</p><p>imaginando linhas horizontais cortando o gráfico, essas linhas só podem cruzar o gráfico uma única vez para</p><p>cada valor de y.</p><p>95Capítulo 3 | Funções</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>As linhas horizontais intersectam o gráfico mais de uma vez. As linhas horizontais nunca intersectam o gráfico mais de uma vez.</p><p>A função não é injetiva. Então a função é injetiva.</p><p>Exercícios propostos</p><p>47. Verifique se as seguintes funções são injetivas ou não:</p><p>a) f: A → B</p><p>2 •</p><p>3 •</p><p>1 • • 4</p><p>• 5</p><p>A B</p><p>b) f: A → B</p><p>6 •</p><p>9 •</p><p>3 •</p><p>A B</p><p>• 5</p><p>• 6</p><p>• 7</p><p>• 8</p><p>c) f: A → B</p><p>2 •</p><p>6 •</p><p>9 •</p><p>• 3</p><p>• 5</p><p>• 8</p><p>A B</p><p>d) f: ® → ® dada por f(x) 5 x 1 2</p><p>e) f: ® f ® dada por f(x) 5 x4</p><p>f )</p><p>3 •</p><p>4 •</p><p>7 •</p><p>1 •</p><p>A B</p><p>• 4 • 8</p><p>• 6</p><p>• 2</p><p>48. Analisando os gráficos abaixo identifique quais são</p><p>funções injetivas.</p><p>a) y</p><p>2</p><p>–2 2</p><p>x</p><p>b) y</p><p>x</p><p>c) y</p><p>1</p><p>x</p><p>d) y</p><p>1</p><p>x</p><p>96 Matemática</p><p>Função sobrejetiva (ou sobrejetora)</p><p>Uma função f: A → B é sobrejetiva (ou sobrejetora) quando, para qualquer elemento y  B, pode-se encontrar</p><p>um elemento x  A tal que f(x) 5 y. Ou seja, f é sobrejetiva quando todo elemento de B é imagem de pelo menos</p><p>um elemento de A, isto é, quando Im(f) 5 B.</p><p>A B</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>A B</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>A B</p><p>função sobrejetiva função sobrejetiva função não sobrejetiva</p><p>Im(f) 5 B Im(f) 5 B (Há elementos em B sem</p><p>correspondente em A, logo Im(f) ≠ B.)</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 x 1 2 é sobrejetiva, pois todo elemento de ® é imagem de um elemento de</p><p>® pela função [x 5 f(x) 2 2]. Veja:</p><p>• f(x) 5 5 é imagem de x 5 3, pois 5 2 2 5 3;</p><p>• f(x) 5 0 é imagem de x 5 22, pois 0 2 2 5 22.</p><p>2‚) A função f: ® → ®</p><p>1</p><p>dada por f(x) 5 x2 é sobrejetiva, pois todo elemento de ®</p><p>1</p><p>é imagem de pelo menos um</p><p>elemento de ® pela função x f x5  ( ) .±</p><p></p><p></p><p> Observe:</p><p>• f(x) 5 9 é imagem de x 5 3 e de x 5 − ±3 9</p><p>;( )</p><p>• f(x) 5 0 é imagem de x 5 0 0  ;( )±</p><p>• f(x) 5 2 é imagem de x 5 2 e de x 5 − ±2 2 ( ).</p><p>3‚) A função sucessora f: n → n definida por f(n) 5 n 1 1 não é sobrejetiva, pois Im(f) 5 n* e n*  n. Em outras</p><p>palavras, dado 0  n, não há natural algum que seja transformado em 0 pela função f, isto é, 0 não é sucessor</p><p>de nenhum número natural.</p><p>Exercícios propostos</p><p>49. Verifique se as seguintes funções são sobrejetivas ou não:</p><p>a) f: ® → ® dada por f(x) 5 2x 2 1</p><p>b) f: ® → ® dada por f(x) 5 x3</p><p>c) f: {21, 0, 1, 2} → ® dada por f(x) 5 x2 2 4</p><p>d) f: ®* → ®</p><p>1</p><p>dada por f(x) 5 x</p><p>e) ® f IR dada por f(x) 5 3 1 2x</p><p>50. Identifique quais das funções abaixo são sobrejetivas:</p><p>a)</p><p>A B</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>c)</p><p>A B</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>b)</p><p>A B</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>51. Analisando os gráficos abaixo verifique se as funções</p><p>são sobrejetivas ou não:</p><p>a) f: [0, 4] → [1, 5] c) f: ®</p><p>1</p><p>→ ®</p><p>1</p><p>1</p><p>0 4</p><p>5</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>10</p><p>y</p><p>x</p><p>b) g: [1, 7] → [0, 1[ d) f: ®</p><p>1</p><p>→ [0, 10]</p><p>0 1 7</p><p>19</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>10</p><p>y</p><p>x</p><p>97Capítulo 3 | Funções</p><p>Função bijetiva ou correspondência biunívoca</p><p>Uma função f: A → B é bijetiva se ela for, simultaneamente, injetiva e sobrejetiva. Quando isso ocorre dizemos</p><p>que há uma bijeção ou uma correspondência biunívoca entre A e B.</p><p>A B</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>••</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>A B</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>A B</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>•</p><p>A B</p><p>função bijetiva não é bijetiva não é bijetiva não é bijetiva</p><p>(É injetiva, mas não sobrejetiva.) (É sobrejetiva, mas não injetiva.) (Não é injetiva nem sobrejetiva.)</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 3x é bijetiva, pois ela é simultaneamente injetiva e sobrejetiva; cada número</p><p>real do contradomínio ® tem como correspondente no domínio a sua terça parte, que sempre existe e é única.</p><p>2‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 x 1 1 é bijetiva, pois é injetiva e sobrejetiva; cada número real do contrado-</p><p>mínio ® tem sempre um só correspondente no domínio ® (esse número menos 1).</p><p>3‚) A função f: ® → ®</p><p>1</p><p>dada por f(x) 5 x2 não é bijetiva, pois, embora seja sobrejetiva, ela não é injetiva: 3  23,</p><p>mas f(3) 5 f(23) 5 9.</p><p>4‚) A função f: ® → ® dada por f(x) 5 2x não é bijetiva; embora seja injetiva, ela não é sobrejetiva. Não existe x  ®</p><p>tal que f(x) 5 0 ou que f(x) seja negativo.</p><p>Exercícios propostos</p><p>52. Verifique se as funções abaixo são sobrejetivas, inje-</p><p>tivas ou bijetivas:</p><p>a) f: A → B c) f: A → B</p><p>A B</p><p>1 • • 5</p><p>4 •</p><p>6 • • 7</p><p>2 •</p><p>• 5</p><p>• 6</p><p>• 7</p><p>7 •</p><p>9 •</p><p>A B</p><p>b) f: A → B d) f: A → B</p><p>3 • • 2</p><p>4 • • 5</p><p>• 7</p><p>6 • • 8</p><p>A B</p><p>1 • • 2</p><p>6 • • 9</p><p>4 • • 5</p><p>A B</p><p>e) f: ® → ® tal que f(x) 5 x2</p><p>f ) f: {0, 1, 2, 3} → n dada por f(x) 5 x 1 2</p><p>g) f: ®</p><p>1</p><p>→ ®</p><p>1</p><p>tal que f(x) 5 x2</p><p>53. Analisando os gráficos a seguir identifique quais fun-</p><p>ções são injetivas, sobrejetivas ou bijetivas:</p><p>a) f: [0, 5] → [0, 8]</p><p>y</p><p>x</p><p>8</p><p>50</p><p>b) f: [0, 5] → [0, 8]</p><p>y</p><p>x</p><p>8</p><p>6</p><p>50</p><p>c) f: [0, 5] → [0, 8]</p><p>y</p><p>x</p><p>8</p><p>50</p><p>d) f: ® → ®</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>1</p><p>y = 2x</p><p>e) f: ® → ®</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>1</p><p>y = 2x</p><p>98 Matemática</p><p>Número cardinal</p><p>Dizemos que dois conjuntos A e B têm o mesmo número cardinal quando se pode definir uma bijeção ou</p><p>correspondência biunívoca f: A → B.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Sejam A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B 5 {3, 6, 9, 12, 15, 18}. Definindo f: A → B pela regra f(x) 5 3x, temos uma bijeção ou</p><p>uma correspondência biunívoca, em que f(1) 5 3, f(2) 5 6, f(3) 5 9, f(4) 5 12, f(5) 5 15 e f(6) 5 18.</p><p>Assim, dizemos que A e B têm o mesmo número cardinal.</p><p>A B</p><p>1 • • 3</p><p>2 • • 6</p><p>3 • • 9</p><p>4 • • 12</p><p>5 • • 15</p><p>6 • • 18</p><p>f(x) � 3x</p><p>2‚) Sejam n (conjunto dos números naturais) e P o conjunto dos números naturais pares: P 5 {0, 2, 4, 6, 8, …, 2x, …}.</p><p>A função f: n → P definida por f(x) 5 2x para todo x  n é bijetiva.</p><p>Assim, entre n e P existe uma correspondência biunívoca e, portanto, n e P têm o mesmo número cardinal,</p><p>embora P seja subconjunto de n e diferente de n.</p><p>0 •</p><p>1 •</p><p>2 •</p><p>3 •</p><p>4 •</p><p>5 •...</p><p>• 0</p><p>• 2</p><p>• 4</p><p>• 6</p><p>• 8</p><p>• 10...</p><p>Pf(x) � 2xIN</p><p>Esse exemplo é curioso, pois, além dos infinitos números pares, há os infinitos números ímpares incluídos nos</p><p>números naturais e, no entanto, n e P têm o mesmo número cardinal.</p><p>3‚) Sejam A 5 {0, 1, 2} e B 5 {0, 1, 2, 3, 4}. Não é possível definir uma função f: A → B que seja bijetiva. Portanto, não</p><p>existe uma correspondência biunívoca entre os conjuntos A e B. Logo, eles não têm o mesmo número cardinal.</p><p>Para refletir</p><p>Você sabia que quem descobriu essa</p><p>curiosa correspondência biunívoca,</p><p>há mais de quatrocentos anos, foi o</p><p>físico italiano Galileu Galilei?</p><p>Exercício proposto</p><p>54. Verifique em cada caso se os conjuntos têm o mesmo</p><p>número cardinal:</p><p>a) Sejam n (conjunto dos números naturais); I (con-</p><p>junto dos números naturais ímpares) e f: n → I</p><p>definida por f(x) 5 2x 1 1 para qualquer x  n.</p><p>b) Sejam A 5 {1, 3, 5, 7}; B 5 {1, 3, 5, 7, 9} e f: A → B</p><p>definida por f(x) 5 x para qualquer x  A.</p><p>c) Sejam A 5 {1, 2, 3}; B 5 {1, 4, 9} e f: A → B definida</p><p>por f(x) 5 x2 para qualquer x  A.</p><p>d) Sejam A 5 {1, 2, 3, 4}; B 5 {0, 7, 26, 63} e f: A → B</p><p>definida por f(x) 5 x3 2 1, para qualquer x  A.</p><p>e) Sejam n (conjunto dos números naturais); M (con-</p><p>junto dos múltiplos de 3): M 5 {0, 3, 6, 9, ..., 3x, ...} e</p><p>f: n → M definida por f(x) 5 3x para qualquer x  n.</p><p>Conjuntos finitos e conjuntos infinitos</p><p>Dado n  n*, vamos indicar por In o conjunto dos números naturais de 1 até n. Por exemplo, I1 5 {1},</p><p>I3 5 {1, 2, 3} e I6 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. De modo geral, In 5 {1, 2, 3, 4, ..., n}.</p><p>Dizemos que um conjunto A tem n elementos e é finito quando é possível estabelecer uma correspondência</p><p>biunívoca f: In → A. O número natural n chama-se então número cardinal do conjunto A, ou, simplesmente, número</p><p>de elementos de A.</p><p>Por exemplo, se A 5 {a, e, i, o, u}, é possível definir a bijeção ou correspondência biunívoca f: I5 → A. Logo, o número</p><p>cardinal de A é 5 ou, simplesmente, o número de elementos de A é 5. Assim, A é um conjunto finito, com 5 elementos.</p><p>99Capítulo 3 | Funções</p><p>Admite-se o conjunto vazio como sendo finito e dizemos que  tem zero</p><p>elemento. Assim, por definição, zero é o número cardinal do conjunto vazio.</p><p>Dizemos que um conjunto A é infinito quando ele não é finito, ou seja, A não</p><p>é vazio e para qualquer n  n* não existe correspondência biunívoca f: In → A.</p><p>O conjunto dos números naturais n 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} é infinito, pois não existe</p><p>correspondência biunívoca f: In → n, para qualquer n.</p><p>11.  Função composta</p><p>Introdução</p><p>Vamos considerar a seguinte situação:</p><p>Um terreno foi dividido em 20 lotes, todos de forma quadrada e de mesma área. Nessas condições, vamos</p><p>mostrar que a área do terreno é uma função da medida do lado de cada lote representando uma composição</p><p>de funções.</p><p>Para isso, indicaremos por:</p><p>• x 5 medida do lado de cada lote;</p><p>• y 5 área de cada lote;</p><p>• z 5 área do terreno.</p><p>① Área de cada lote 5 (medida do lado)2 � y 5 x2</p><p>Então, a área de cada lote é uma função da medida do lado, ou seja:</p><p>y 5 f(x) 5 x2</p><p>② Área do terreno 5 20 ? (área de cada lote) � z 5 20y</p><p>Então, a área do terreno é uma função da área de cada lote, ou seja:</p><p>z 5 g(y) 5 20y</p><p>Comparando ① e ②, temos:</p><p>Área do terreno 5 20 ? (medida do lado)2, ou seja, z 5 20x2, pois y 5 x2 e z 5 20y.</p><p>Então, a área do terreno é uma função da medida do lado de cada lote, ou seja: z 5 h(x) 5 20x2.</p><p>h</p><p>composta de g com f</p><p>f gx x2 20x2</p><p>A função h, assim obtida, denomina-se função composta de g com f e pode ser indicada por g  f.</p><p>A B C</p><p>x</p><p>y � x2 z � 20x2</p><p>h � g � f</p><p>f g</p><p>• • •</p><p>Para refletir</p><p>É verdade que todo número</p><p>natural n é o número cardinal</p><p>de algum conjunto finito?</p><p>100 Matemática</p><p>Vemos que:</p><p>• a cada x  A corresponde um único y  B tal que y 5 x2;</p><p>• a cada y  B corresponde um único z  C tal que z 5 20y;</p><p>• a cada x  A corresponde um único z  C tal que z 5 20y 5 20x2.</p><p>Logo, existe uma função h (composta de g e f) de A em C definida por h(x) 5 20x2.</p><p>Assim, h(x) 5 (g  f )(x) 5 g(f(x)), para todo x  D(f).</p><p>Definição de função composta</p><p>Dadas as funções f: A → B e g: B → C, denominamos</p><p>função composta de g e f a função g  f: A → C, que é definida</p><p>por (g  f)(x) 5 g(f(x)), x  A.</p><p>f(x) g(f(x))</p><p>A B C</p><p>x</p><p>g � f</p><p>f g</p><p>• • •</p><p>Dados os conjuntos A 5 {1, 2, 3, 4}, B 5 {2, 3, 4, 5} e C 5 {4, 9, 16, 25}, vamos considerar as funções:</p><p>f: A → B dada por f(x) 5 x 1 1</p><p>g: B → C dada por g(y) 5 y2</p><p>A B C</p><p>1 •</p><p>2 •</p><p>3 •</p><p>4 •</p><p>• 2</p><p>• 3</p><p>• 4</p><p>• 5</p><p>• 4</p><p>• 9</p><p>• 16</p><p>• 25</p><p>f g</p><p>Notamos que:</p><p>(g  f)(1) 5 g(f(1)) 5 g(2) 5 4 e que (1 1 1)2 5 4</p><p>(g  f)(2) 5 g(f(2)) 5 g(3) 5 9 e que (2 1 1)2 5 9</p><p>(g  f)(3) 5 g(f(3)) 5 g(4) 5 16 e que (3 1 1)2 5 16</p><p>(g  f)(4) 5 g(f(4)) 5 g(5) 5 25 e que (4 1 1)2 5 25</p><p>Percebemos que g(f(x)) 5 (x 1 1)2, ou seja, (g  f)(x) 5 g(f(x)) 5 g(x 1 1) 5 (x 1 1)2.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Dada f: A → B, vamos supor que exista g: B → A tal que exista g(f(x)), para todo x  A. Nestas condições, vamos</p><p>mostrar que f é injetiva.</p><p>Devemos mostrar, usando a contrapositiva, que</p><p>f(x1) 5 f(x2) ⇒ x1 5 x2</p><p>f(x1) 5 f(x2) ⇒ x1 5 g(f(x1))5 g(f(x2)) 5 x2</p><p>Logo, x1 5 x2.</p><p>Assim, f é injetiva.</p><p>g(f(x)): lê-se “g de f de x”.</p><p>101Capítulo 3 | Funções</p><p>2‚) Dadas as funções f(x) 5 2x 1 a e g(x) 5 3x 2 1, vamos determinar o valor de a para que se tenha (f  g)(x) 5 (g  f)(x)</p><p>(f  g)(x) 5 f(g(x)) 5 f(3x 2 1) 5 2(3x 2 1) 1 a 5 6x 2 2 1 a</p><p>(g  f )(x) 5 g(f(x)) 5 g(2x 1 a) 5 3(2x 1 a) 2 1 5 6x 1 3a 2 1</p><p>Como (f  g)(x) 5 (g  f )(x), temos:</p><p>6x 2 2 1 a 5 6x 1 3a 2 1 ⇒ a 2 3a 5 21 1 2 ⇒ 22a 5 1 ⇒ 2a 5 21 ⇒ a 5 2</p><p>1</p><p>2</p><p>Exercícios propostos</p><p>55. Sejam as funções f(x) 5 x2 2 2x 1 1 e g(x) 5 2x 1 1.</p><p>Calcule:</p><p>a) f(g(1)) b) g(f(2)) c) f(f(1))</p><p>56. (FGV-SP) Se f e g são funções tal que f(x) 5 3x 2 1 e</p><p>f(g(x)) 5 x, determine g(x).</p><p>57. (UFSC) Dadas as funções f(x) 5 5   2 x e g(x) 5 x2 2 1,</p><p>qual é o valor de (g  f )(4)?</p><p>58. (Unifor-CE) Sejam f e g funções de ® em ®. Calcule</p><p>g( )23 2 sabendo que f(x) 5 x 2 2 e f(g(x)) 5 x2 2 1.</p><p>59. (Mack-SP) Na figura, temos os esboços dos gráficos</p><p>das funções f e g. A soma f(g(1)) 1 g(f(21)) é igual a:</p><p>a) 21. d) 2.</p><p>b) 0. e) 3.</p><p>c) 1.</p><p>0 1</p><p>2</p><p>x</p><p>g</p><p>f</p><p>y</p><p>�2</p><p>12.  Função inversa</p><p>Introdução</p><p>Quando relacionamos o lado com o perímetro de um quadrado, podemos pensar em duas</p><p>funções bijetivas:</p><p>• uma, que a cada valor da medida do lado associa o perímetro (P 5 4,);</p><p>• outra, que a cada valor do perímetro associa a medida do lado [, 5</p><p>P</p><p>4</p><p>] .</p><p>Observe:</p><p>BA</p><p>1 •</p><p>2 •</p><p>2,5 •</p><p>3 •</p><p>7 •</p><p>• 4</p><p>• 8</p><p>• 10</p><p>• 12</p><p>• 28</p><p>AB</p><p>4 •</p><p>8 •</p><p>10 •</p><p>12 •</p><p>28 •</p><p>• 1</p><p>• 2</p><p>• 2,5</p><p>• 3</p><p>• 7</p><p>f: A → B g: B → A</p><p>f(x) 5 4x g(x) 5</p><p>x</p><p>4</p><p>D(f) 5 {1; 2; 2,5; 3; 7} D(g) 5 {4; 8; 10; 12; 28}</p><p>Im(f) 5 {4; 8; 10; 12; 28} Im(g) 5 {1; 2; 2,5; 3; 7}</p><p>Temos que:</p><p>• D(f) 5 Im(g) • D(g) 5 Im(f) • f e g são bijetivas</p><p>Em casos assim, dizemos que uma função é a inversa da outra. É costume indicar a função g, inversa de f,</p><p>por f 21:</p><p>f: A → B f21: B → A</p><p>f(x) 5 4x</p><p>e</p><p>f21(x) 5</p><p>x</p><p>4</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>102 Matemática</p><p>Definição de função inversa</p><p>Dada uma função f: A → B, bijetiva, denomina-se função inversa de f a função g: B → A tal que, se f(a) 5 b, então</p><p>g(b) 5 a, com a  A e b  B.</p><p>Como já vimos, representamos a função inversa de f com o símbolo f21.</p><p>Exemplificando no diagrama de flechas:</p><p>f: A → B g: B → A</p><p>BA</p><p>1 •</p><p>3 •</p><p>4 •</p><p>• 6</p><p>• 8</p><p>• 9</p><p>AB</p><p>6 •</p><p>8 •</p><p>9 •</p><p>• 1</p><p>• 3</p><p>• 4</p><p>De modo geral, se f é bijetiva, temos:</p><p>BA</p><p>• •x f(x) = y</p><p>f</p><p>g = f</p><p>g(y) = x</p><p>ou</p><p>f–1(y) = x</p><p>–1</p><p>em que g: B → A é a função inversa da função f: A → B, uma vez que se tem:</p><p>g(y) 5 g(f(x)) 5 x para todo x  A e f(g(y)) 5 y para todo y  B.</p><p>Processo para determinar a função inversa de uma função bijetiva dada</p><p>No exemplo dado anteriormente, a função bijetiva f: A → B, definida por f(x) 5 4x, tem como função inversa a</p><p>função g: B → A, definida por g(y) 5</p><p>y</p><p>4</p><p>, uma vez que:</p><p>g(y) 5 g(f(x)) 5 g(4x) 5</p><p>4</p><p>4</p><p>x</p><p>5 x, para todo x  A e f(g(y)) 5 f</p><p>y y</p><p>y</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>,5 5? para todo y  B</p><p>Vejamos um roteiro que nos permite, a partir da fórmula da função bijetiva f, chegar à fórmula de f21:</p><p>• escrevemos f(x) 5 4x na forma y 5 4x;</p><p>• em y 5 4x, trocamos y por x e x por y, obtendo x 5 4y;</p><p>• em x 5 4y, determinamos y em função de x, obtendo y 5</p><p>x</p><p>4</p><p>(pois não é comum, neste nível, considerar y como</p><p>variável independente);</p><p>• escrevemos y 5</p><p>x</p><p>4</p><p>na forma f21(x) 5</p><p>x</p><p>4</p><p>, que é a inversa de f.</p><p>Outro exemplo:</p><p>f: ® → ® é função bijetiva tal que f(x) 5 23x 1 5. Vamos determinar sua inversa f21(x).</p><p>y 5 23x 1 5</p><p>x 5 23y 1 5 � 3y 5 2x 1 5 � y 5 2x   + 5</p><p>3</p><p>�	f21(x) 5 2x   + 5</p><p>3</p><p>Testando valores:</p><p>Por f: x 5 1 → f(1) 5 23 1 5 5 2</p><p>Por f21: x 5 2 → f21(2) 5 22 5</p><p>3</p><p>+</p><p>5 1</p><p>Para refletir</p><p>Só existe função inversa</p><p>de uma função bijetiva.</p><p>Para refletir</p><p>Atenção!</p><p>f–1 não é</p><p>1</p><p>f</p><p>.</p><p>103Capítulo 3 | Funções</p><p>Observação: Sabemos que as funções f: A → B, definida por f(x) 5 8x e g: B → A, definida por g(y) 5</p><p>1</p><p>8</p><p>y, por exem-</p><p>plo, são inversas. Observe que:</p><p>(g  f)(x) 5 g(f(x)) 5 g(8x) 5</p><p>1</p><p>8</p><p>8( )x 5 x para todo x  A</p><p>(f  g)(y) 5 f(g(y)) 5 f y y</p><p>1</p><p>8</p><p>8</p><p>1</p><p>8</p><p></p><p></p><p></p><p> = </p><p></p><p></p><p></p><p>? 5 y para todo y  B</p><p>De modo geral dizemos que a função g: B → A é inversa da função f: A → B quando se tem:</p><p>(g  f)(x) 5 g(f(x)) 5 x para qualquer x  A</p><p>e</p><p>(f  g)(y) 5 f(g(y)) 5 y para qualquer y  B</p><p>Exercícios propostos</p><p>60. Determine a função inversa das seguintes funções</p><p>bijetivas de ® em ®:</p><p>a) f(x) 5 x 2 6 c) f(x) 5 3x 1 4</p><p>b) f(x) 5 1 2 2x d) f(x) 5 3x</p><p>61. Determine a função inversa f21(x) da função</p><p>f: ® 2 {2} → ® 2 {1} dada por f(x) 5</p><p>x</p><p>x</p><p>.</p><p>22</p><p>Para refletir</p><p>Observe as sentenças de f e de f –1 e os conjuntos</p><p>R – {2} e R – {1}. Tire conclusões.</p><p>62. Seja a função f(x) 5 3x 2 4 definida de ® em ®. De-</p><p>termine:</p><p>a) f21(x); b) f21(2).</p><p>63. Seja f: ® → ® a função bijetiva tal que f(x) 5 2x 1 5.</p><p>Determine:</p><p>a) a função g, inversa de f, isto é, g(x) 5 f21(x);</p><p>b) (f  g)(x) e (g  f)(x).</p><p>64. A função f: ® → ® é definida por f(x) 5</p><p>x</p><p>.</p><p>21</p><p>3</p><p>Use (f  g) e (g  f) para descobrir qual é a equa-</p><p>ção da função g, inversa de f: g(x) 5 3x 2 1 ou</p><p>g(x) 5 3x 1 1.</p><p>65.		Seja uma função injetiva f que passa pelo ponto</p><p>(2, 5). Sua inversa passa peloponto (5, y). Qual é o</p><p>valor de y?</p><p>Gráfico da função inversa</p><p>Vamos observar, através de exemplos, como ficam dispostos os gráficos de uma função f e da sua função</p><p>inversa f21 em um mesmo sistema de eixos.</p><p>1‚) Seja a função f dada por f(x) 5 x 1 2 e a sua função inversa dada por f21(x) 5 x 2 2.</p><p>f</p><p>0 1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>�1</p><p>�2</p><p>y</p><p>x</p><p>reta y � x</p><p>f</p><p>f�1</p><p>x y 5 f(x)</p><p>0 2</p><p>1 3</p><p>2 4</p><p>f21</p><p>x y 5 f(x)</p><p>0 22</p><p>1 21</p><p>2 0</p><p>Para refletir</p><p>Se (a, b) pertence ao gráfico</p><p>de f, então (b, a) pertence</p><p>ao gráfico de f–1.</p><p>104 Matemática</p><p>2‚) Seja a função bijetiva f: ®</p><p>1</p><p>→ ®</p><p>1</p><p>dada por f(x) 5 x2 e a sua função inversa f21: ®</p><p>1</p><p>→ ®</p><p>1</p><p>dada por f21(x) 5 x .</p><p>f</p><p>0 1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>f</p><p>f�1</p><p>4</p><p>reta y = x</p><p>2 3 4</p><p>y</p><p>x</p><p>x y 5 f(x)</p><p>0 0</p><p>1 1</p><p>2 4</p><p>f21</p><p>x y 5 f(x)</p><p>0 0</p><p>1 1</p><p>4 2</p><p>Os exemplos dados sugerem que o gráfico de uma função f e o gráfico da sua função inversa f21 são simétricos</p><p>em relação à reta y 5 x, que representa a bissetriz dos quadrantes ímpares. É possível provar que isso ocorre em todos os</p><p>casos de duas funções inversas.</p><p>Para refletir</p><p>(a, b) e (b, a) são pontos</p><p>simétricos em relação</p><p>à reta y 5 x.</p><p>Exercício proposto</p><p>66. Seja f: ® → ® a função definida por f(x) 5 26x 1 2.</p><p>a) Determine f21(x).</p><p>b) Construa os gráficos de f e f21 no mesmo sistema</p><p>de eixos.</p><p>13.  Função e sequências</p><p>Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto IN*, conjunto dos naturais excetuando-se o zero:</p><p>f: IN* → ®</p><p>A cada número natural diferente de zero corresponde um único número</p><p>real xn:</p><p>1 → x1; 2 → x2; 3 → x3; ...; n → xn; ...</p><p>Uma sequência é indicada por:</p><p>(x1, x2, ..., xn, ...) ou (xn)</p><p>Por exemplo, a função de IN* em ® dada por f(x) 5 3x determina a sequencia (3, 6, 9, 12, …) dos múltiplos</p><p>positivos de 3.</p><p>Dois importantes exemplos de sequências são as progressões aritmética e geométrica.</p><p>Progressão aritmética</p><p>A sequência 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, ... é uma progressão aritmética (PA). Observe que cada termo, a</p><p>389</p><p>Capítulo 12</p><p>Geometria plana ........................................................ 390</p><p>1. Propriedades de figuras geométricas .......... 392</p><p>2. Semelhança de triângulos .................................. 404</p><p>3. Relações métricas no</p><p>triângulo retângulo ................................................. 412</p><p>4. Polígonos regulares inscritos na</p><p>circunferência e comprimento</p><p>da circunferência ...................................................... 416</p><p>5. Áreas: medidas de superfícies .......................... 419</p><p>A Matemática e as práticas sociais ............................. 435</p><p>Atividades adicionais ........................................................ 437</p><p>Leitura ...................................................................................... 442</p><p>Questões do enem ................................................... 443</p><p>Glossário ............................................................................. 465</p><p>sugestões de leituras</p><p>complementares ...................................................... 470</p><p>significado das siglas</p><p>de vestibulares .......................................................... 470</p><p>referências bibliográficas ........................... 471</p><p>respostas ......................................................................... 472</p><p>BE</p><p>tt</p><p>M</p><p>AN</p><p>N</p><p>/</p><p>CO</p><p>RB</p><p>IS</p><p>/</p><p>LA</p><p>tI</p><p>N</p><p>St</p><p>O</p><p>Ck</p><p>FR</p><p>ED</p><p>ER</p><p>IC</p><p>k</p><p>FL</p><p>O</p><p>RI</p><p>N</p><p>/</p><p>AG</p><p>EN</p><p>CE</p><p>F</p><p>RA</p><p>N</p><p>CE</p><p>-P</p><p>RE</p><p>SS</p><p>E</p><p>8 Matemática</p><p>Revisão: pRodutos</p><p>notáveis e fatoRação</p><p>capítulo 1</p><p>Papiro Rhind, imagem com os</p><p>problemas 49 a 55 e final do 46.</p><p>Bridgeman art LiBrary/keystone</p><p>8</p><p>o conhecimento que temos hoje sobre a</p><p>matemática do antigo egito tem como base dois</p><p>grandes documentos, cujos textos estão escritos</p><p>em papiros. o mais antigo é conhecido por Papi-</p><p>ro Rhind, o outro é o Papiro de Moscou. eles são</p><p>compostos de problemas e resoluções, razão pe­</p><p>la qual se supõe que tenham sido destinados ao</p><p>ensino dos fun cio nários do estado e dos escribas</p><p>dos faraós.</p><p>o Papiro rhind é considerado o mais precioso</p><p>documento relativo aos conhecimentos mate­</p><p>máticos dos egíp cios e data, aproximadamente,</p><p>de 1650 a.C. em forma de manual prático, contém</p><p>uma coleção de 85 problemas de aritmética e</p><p>geometria, em sua maioria envolvendo assun­</p><p>tos do cotidiano, como o preço do pão e a</p><p>armazenagem de grãos de trigo. seu nome</p><p>se deve a um antiquário escocês,</p><p>alexander Henry rhind, que o com­</p><p>prou em 1808, no egito. após sua</p><p>morte, cinco anos depois, o papiro</p><p>foi adquirido pelo British museum</p><p>de Londres, onde se encontra atual­</p><p>mente.</p><p>o Papiro rhind é também deno­</p><p>minado Papiro Ahmes em homena­</p><p>gem ao escriba egípcio que o co­</p><p>piou, em escrita hierática (sagrada),</p><p>de um manuscrito mais antigo, de</p><p>cerca de duzentos anos antes.</p><p>9capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração</p><p>>atividades</p><p>os problemas apresentados nos papiros eram resolvidos por processos aritméticos comuns para</p><p>os egípcios. no Papiro rhind, ahmes utilizava um processo conhecido como método da falsa posição</p><p>para resolver problemas que envolviam equações lineares com uma incógnita (x + ax 5 b, por exem­</p><p>plo). nesse processo, um valor específico, provavelmente falso, é assumido para x, e as operações in­</p><p>dicadas à esquerda da igualdade são efetuadas para esse valor; o resultado é então comparado com</p><p>o resultado que se pretende e, usando­se proporções, chega­se à resposta correta. ahmes também</p><p>utilizava, às vezes, outro método chamado método da fatoração, que consistia em colocar o aha (a</p><p>incógnita) em evidência no lado esquerdo da igualdade e dividir ambos os membros da equação por</p><p>seu coeficiente. Certamente esse último processo é familiar a você, já que corresponde a um dos casos</p><p>de fatoração estudados anteriormente.</p><p>os conceitos e procedimentos algébricos serão aqui revistos e aprofundados a fim de prepará­lo</p><p>para novas aplicações.</p><p>1. experimente resolver a equação x 1</p><p>x</p><p>7</p><p>5 24</p><p>pelo método da falsa posição definido acima.</p><p>(Sugestão: dê um valor conveniente para x, por</p><p>exemplo, 7.)</p><p>2. no Papiro rhind, há problemas que parecem ter sido</p><p>formulados como enigmas, como no caso do proble­</p><p>ma 79, em que figuram apenas os seguintes dados:</p><p>“sete casas, 49 gatos, 343 ratos, 2 401 espigas de</p><p>trigo, 16 807 hectares”.</p><p>a) o que têm em comum os números indicados no</p><p>enunciado do problema 79?</p><p>b) segundo a interpretação do historiador moritz</p><p>Cantor, esse problema poderia ter a seguinte</p><p>formulação: “Uma relação de bens consistia em</p><p>sete casas, cada casa tinha sete gatos, cada</p><p>gato comeu sete ratos, cada rato comeu sete</p><p>espigas de trigo, e cada espiga de trigo produ­</p><p>zia sete hectares de grãos. Casas, gatos, ratos,</p><p>espigas de trigo e hectares de grãos, quanto</p><p>havia disso tudo?”</p><p>relacione esse possível enunciado com os valores</p><p>apresentados e encontre o resultado.</p><p>3. sabendo que a unidade fundamental de peso (no</p><p>sentido de massa) era o deben (equivalia a 91 g) e</p><p>que shaty era uma unidade só conhecida por meio</p><p>do Papiro rhind, resolva o seguinte problema (nú­</p><p>mero 62 no Papiro):</p><p>“Uma bolsa contém o mesmo peso de ouro, prata</p><p>e estanho. o valor total é 84 shaty. Um deben de</p><p>ouro é 12 shaty, o de prata, 6 shaty e o de estanho,</p><p>3 shaty. Calcular o valor de cada metal”.</p><p>ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.</p><p>10 Matemática</p><p>Quadrado de uma diferença indicada: (a 2 b)2 ou (a 2 b)(a 2 b)</p><p>(a 2 b)2 5 (a 2 b)(a 2 b) 5 a • a 2 a • b 2 b • a 1 b • b 5 a2 2 2ab 1 b2</p><p>22ab</p><p>Assim:</p><p>(a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2</p><p>Geometricamente, equivale a calcular a área da região quadrada de lado</p><p>(a 2 b).</p><p>1. Produtos notáveis</p><p>Alguns produtos que envolvem expressões algébricas apresentam um padrão, uma regularidade em seus resul-</p><p>tados. Por isso são conhecidos como produtos notáveis. Conhecendo-os, podemos economizar muitos cálculos.</p><p>Vamos estudar os produtos notáveis conhecidos por quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da</p><p>soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.</p><p>Quadrado de uma soma indicada: (a 1 b)2 ou (a 1 b)(a 1 b)</p><p>(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) 5 a • a 1 a • b 1 b • a 1 b • b 5 a2 1 2ab 1 b2</p><p>2ab</p><p>Assim:</p><p>(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2</p><p>Geometricamente, é o mesmo que calcular a área da região quadrada de lado (a 1 b).</p><p>a</p><p>ab</p><p>a2a</p><p>b</p><p>b</p><p>ab</p><p>b2</p><p>Para refletir</p><p>Tente descobrir, observan do</p><p>a figura, por que a ex pres são</p><p>a2 1 2ab 1 b2 é chamada de</p><p>trinômio qua drado perfeito.</p><p>Ao dividir o lado do quadrado em duas partes de medidas a e b, a região quadrada fica dividida em quatro</p><p>partes: duas retangulares de área ab cada uma, uma quadrada de área a2 e outra quadrada de área b2.</p><p>Veja alguns exemplos:</p><p>• (3x 1 5)2 5 9x2 1 30x 1 25 • (y 1 6)2 5 y2 1 12y 1 36</p><p>(3x)2 2 • (3x) • 5 52</p><p>a � b bE</p><p>F</p><p>I</p><p>BA</p><p>a � b</p><p>b</p><p>a</p><p>G H</p><p>D C</p><p>a</p><p>b2</p><p>Exercício proposto</p><p>1.	 Use a regularidade que você acabou de ver e calcule</p><p>o resultado dos quadrados da soma:</p><p>a) (a 1 5)2</p><p>b) (2x 1 4)2</p><p>c) 5</p><p>2</p><p>y   1</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>d) (x2 1 b)2</p><p>ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.</p><p>11Capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração</p><p>Veja alguns exemplos:</p><p>• (x 2 4)2 5 x2 2 8x 1 16 • (3x 2 y)2 5 9x2 2 6xy 1 y2</p><p>Exercício proposto</p><p>2.	 Use a regularidade do quadrado da diferença e calcule:</p><p>a) (a 2 3)2</p><p>b) (4x 2 7)2</p><p>c) y   2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>d) (x 2 2b)2</p><p>Produto de uma soma indicada por uma diferença indicada: (a + b)(a 2 b)</p><p>(a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 ab 1 ba 2 b2 5 a2 2 ab 1 ab 2 b2 5 a2 2 b2</p><p>Assim:</p><p>(a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2</p><p>Geometricamente, equivale a calcular a área da região retangular de lados</p><p>(a 1 b) e (a 2 b).</p><p>Veja alguns exemplos:</p><p>• (3x 1 7)(3x 2 7) 5 9x2 2 49 • (5x 1 y)(5x 2 y) 5 25x2 2 y2 • (x2 1 x)(x2 2 x) 5 x4 2 x2</p><p>a</p><p>a � b bB</p><p>CD</p><p>A</p><p>E F</p><p>a</p><p>b</p><p>Cubo de uma soma indicada: (a 1 b)3</p><p>(a 1 b)3 5 (a 1 b)(a 1 b)2 5 (a 1 b) • (a2 1 2ab 1 b2) 5 a3 1 2a2b 1 ab2 1 ba2 1 2ab2 1 b3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3</p><p>Assim:</p><p>(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3</p><p>Exercícios propostos</p><p>3.	 Use a regularidade que você acabou de ver e calcule</p><p>mais estes produtos notáveis:</p><p>a) (x 2 7)(x 1 7)</p><p>b) (a 1 20)(a</p><p>partir do</p><p>segundo, é a soma do termo anterior com 7. Neste caso, essa constante 7 chama-se razão da PA. A razão de uma PA</p><p>pode ser um número positivo, negativo ou igual a zero. Por exemplo:</p><p>3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ... é uma PA de razão 4 (crescente)</p><p>15, 12, 9, 6, 3, 0, 23, 26, ... é uma PA de razão 23 (decrescente)</p><p>8, 8, 8, 8, 8, ... é uma PA de razão 0 (constante)</p><p>Observe também que na PA:</p><p>1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, ...</p><p>temos</p><p>8 5 1 1 7; 15 5 8 1 7 5 1 1 2 ? 7; 22 5 15 1 7 5 1 1 3 ? 7; 29 5 22 1 7 5 1 1 4 ? 7; etc.</p><p>Para refletir</p><p>Podemos ter também sequên-</p><p>cias finitas. Neste caso, a função</p><p>é f: {1, 2, 3, …, n} → R e a sequên-</p><p>cia x1, x2, …, xn tem n termos.</p><p>105Capítulo 3 | Funções</p><p>De modo geral, em uma progressão aritmética como x1, x2, …, xn, … de razão r, temos:</p><p>xn 1 1 2 xn = r para todo n  n*</p><p>e x2 5 x1 1 r; x3 5 x2 1 r 5 x1 1 2r; x4 5 x1 1 3r; …;</p><p>xn 1 1 5 x1 1 nr ; etc.</p><p>Progressão geométrica</p><p>A sequência:</p><p>2, 6, 18, 54, 162, 486, ...</p><p>é uma progressão geométrica (PG). Observe que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por 3. Neste</p><p>caso, essa constante 3 chama-se razão da PG.</p><p>Observe que:</p><p>6 5 2 ? 3 ; 18 5 6 ? 3 5 2 ? 32;</p><p>54 5 18 ? 3 5 2 ? 33;</p><p>162 5 54 ? 3 5 2 ? 34; etc.</p><p>De modo geral, em uma progressão geométrica como x1, x2, …, xn, … de razão q  0, temos:</p><p>xn 1 1</p><p>xn</p><p>5 q para todo n  n* e x2 5 x1 ? q; x3 5 x2 ? q 5 x1 ? q2;</p><p>x4 5 x3 ? q 5 x1 ? q3; …; xn 1 1 5 x1 ? qn ; …</p><p>Retomaremos e aprofundaremos o estudo de sequências no capítulo 9.</p><p>Exercícios propostos</p><p>67. Escreva a sequência determinada pela função f de lN*</p><p>em ®, tal que f(x) 5 (x 2 1)2.</p><p>68. Qual é a lei da função f de n* em ® que determina a</p><p>sequência (1, 3, 5, 7, 9, ...)?</p><p>69. Quais das sequências abaixo são progressões aritmé-</p><p>ticas ou progressões geométricas? Nas que forem</p><p>progressões, indique qual é a razão.</p><p>a) 10, 5, 0, 25, 210, 215, ...</p><p>b) 3, 6, 12, 24, 48, 96, ...</p><p>c) 2, 5, 8, 10, 13, 15, 18, ...</p><p>d) 16, 8, 4, 2, 1, 1</p><p>2</p><p>, 1</p><p>4</p><p>, ...</p><p>70. O primeiro termo de uma PA é 6. A razão é 5. Qual é</p><p>o 10‚ termo dessa PA?</p><p>71. O primeiro termo de uma PG é 4. A razão é 3. Qual é</p><p>o 6‚ termo dessa PG?</p><p>72. Invente uma PA.</p><p>73. Invente uma PG.</p><p>Desafio em dupla</p><p>Tracem o gráfico da função definida por f(x) 5 n, se</p><p>n , x</p><p>que está 2 quilogramas acima do</p><p>seu peso ideal. Sabendo que Raquel pesa atualmente</p><p>62 kg, qual é a altura dela?</p><p>AMPLIANDO O CONTEÚDO MATEMÁTICO</p><p>5. O grupo vencedor da feira de ciências de uma escola de</p><p>ensino médio identificou uma fórmula que dá aproxi-</p><p>madamente a área da superfície do corpo humano dos</p><p>alunos em função da massa. A fórmula é S 5 0 12 23, ,m</p><p>onde S é a área da superfície do corpo em m2 e m é a</p><p>massa em kg. De acordo com a fórmula, qual é a área</p><p>da superfície do corpo de um aluno de 64 kg?</p><p>a) 1,17 m2 c) 1,92 m2 e) 2,34 m2</p><p>b) 1,63 m2 d) 2,00 m2</p><p>6. A academia Cia. do Corpo cobra uma taxa de inscrição</p><p>de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$ 50,00. A acade-</p><p>mia Energia e Saúde cobra uma taxa de inscrição de</p><p>R$ 70,00 e uma mensalidade de R$ 40,00. E a acade-</p><p>mia Oficina do Corpo não cobra taxa de inscrição, mas</p><p>cobra uma mensalidade de R$ 60,00. Qual academia</p><p>oferece o menor custo para um aluno que deseja “ma-</p><p>lhar” durante um ano? Por quê?</p><p>7. Existe uma fórmula que determina em média o tamanho</p><p>do calçado (T) brasileiro em função do comprimento do</p><p>pé (c) de uma pessoa. T = [x], onde x = 5</p><p>4</p><p>c + 7 e [x] é o</p><p>menor número inteiro maior ou igual a x. Por exemplo,</p><p>se x = 23,2, então [x] = 24 e, se x = 26, então [x] = 26.</p><p>Segundo o Livro dos recordes, o maior pé do mundo</p><p>foi o do ator americano Matthew McGrory (17/5/1973-</p><p>-9/8/2005). Seu calçado brasileiro seria de número 67.</p><p>Utilizando a fórmula acima determine o tamanho</p><p>aproximado do pé do ator Matthew McGrory.</p><p>PESQUISANDO E DISCUTINDO</p><p>8.	 Faça a seguinte experiência: Divida a medida da sua</p><p>altura pela medida da altura do seu umbigo. Peça aos</p><p>seus colegas que realizem o mesmo procedimento.</p><p>Compare os resultados. Você verá que o resultado é</p><p>um número próximo de 1,6.</p><p>Como você viu na abertura do capítulo 2, esse número</p><p>era conhecido pelos gregos como número de ouro.</p><p>Para muitos, o número de ouro representa a mais</p><p>agradável proporção entre dois segmentos e tem uma</p><p>forte presença na natureza e nas artes. Na natureza a</p><p>razão áurea pode ser encontrada por exemplo em</p><p>girassóis, colmeias e estrelas-do-mar. Nas artes a razão</p><p>áurea está presente, por exemplo, em pinturas de</p><p>Leonardo da Vinci e no Parthenon, na Grécia. O número</p><p>de ouro é irracional e vale aproximadamente 1,618.</p><p>Pesquise e discuta com seus colegas em quais outros</p><p>locais é possível encontrar a razão áurea.</p><p>VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO</p><p>Procure mais informações em jornais, revistas e nos</p><p>sites www.abeso.org.br/; http://portal.saude.gov.br/saude/</p><p>e www.youtube.com/watch?v=SUSyRUkFKHY.</p><p>108 Matemática</p><p>>Atividades adicionais</p><p>ATENÇÃO!</p><p>AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM</p><p>TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS</p><p>APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC.,</p><p>NÃO ESCREVA NO LIVRO.</p><p>TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.</p><p>A seguir, separadas por regiões geográficas, relaciona-</p><p>mos algumas questões de vestibular que envolvem o con-</p><p>teúdo deste capítulo.</p><p>Região Norte</p><p>1. (Ufam) Na figura abaixo têm-se os gráficos de uma</p><p>função f(x) 5 ax(a . 1) e de sua inversa g.</p><p>y</p><p>x</p><p>3</p><p>f</p><p>g</p><p>1</p><p>0 1�1</p><p>1</p><p>3</p><p>Se g(k) 5 2, então o valor de k é:</p><p>a) 8. b) 1. c) 2. d) 9. e) 6.</p><p>2. (Unifap) Seja a função f: ® → Ω, tal que para cada x  ®,</p><p>associamos a imagem f(x) 5 m, onde m  Ω, com a</p><p>propriedade que m 0, para qualquer x real.</p><p>c) f(0) 5 1.</p><p>d) f(1) 5 1.</p><p>e) f(2x) 5 f(x), para qualquer x real.</p><p>10. (UFMS) Seja f: ® → ® uma função real tal que f(1) 5 A,</p><p>f(e) 5 B e f(x 1 y) 5 f(x) ? f(y), para todo x e y perten-</p><p>cente a IR, então, f(2 1 e) é igual a:</p><p>a) A. c) A2B. e) A2 2 B.</p><p>b) B. d) AB2.</p><p>Região Sudeste</p><p>11. (UFMG) O gráfico da função f(x) 5 x3 1 (a 1 3)x2 2 5x 1 b</p><p>contém os pontos (21, 0) e (2, 0). Assim sendo, o valor</p><p>de f(0) é:</p><p>a) 1. b) 26. c) 21. d) 6.</p><p>12. (UFV-MG) Seja f a função real que f(2x 2 9) 5 x pa-</p><p>ra todo x real. A igualdade f(c) 5 f 21(c) se verifica</p><p>para c igual a:</p><p>a) 9. b) 1. c) 5. d) 3. e) 7.</p><p>13. (Unirio-RJ) Sob pressão constante, conclui-se que o</p><p>volume V, em litros, de um gás e a temperatura, em</p><p>graus Celsius, estão relacionados por meio da equação</p><p>V 5 V0 1 V0T</p><p>273</p><p>, onde V0 denota o volume do gás a 0 ºC.</p><p>Assim, a expressão que define a temperatura como</p><p>função do volume V é:</p><p>a) T 5 5V 2</p><p>V0T</p><p>273</p><p>6V0. d) T 5</p><p>V 2 273V0</p><p>V0</p><p>.</p><p>b) T 5</p><p>V 2 V0</p><p>273V0</p><p>. e) T 5 273 ?</p><p>V 2 V0</p><p>V0</p><p>.</p><p>c) T 5</p><p>273V 2 V0</p><p>V0</p><p>.</p><p>14. (ITA-SP) Seja D 5 ® 2 {1} e f: D → D uma função</p><p>dada por f(x) 5</p><p>x 1 1</p><p>x 2 1</p><p>.</p><p>Considere as afirmações:</p><p>I) f é injetiva e sobrejetiva.</p><p>II) f é injetiva, mas não sobrejetiva.</p><p>III) f(x) 1 f[ 1</p><p>x</p><p>] 5 0, para todo x  D, x  0.</p><p>IV) f(x) ? f(2x) 5 1, para todo x  D.</p><p>Então, são verdadeiras:</p><p>a) apenas I e III. d) apenas I, III e IV.</p><p>b) apenas I e IV. e) apenas II, III e IV.</p><p>c) apenas II e III.</p><p>Região Sul</p><p>15. (PUC-PR) Sejam f(x) 5 x2 2 2x e g(x) 5 x 2 1 duas</p><p>funções definidas em ®. Qual dos gráficos melhor</p><p>representa f(g(x))?</p><p>a) y</p><p>x</p><p>d) y</p><p>x</p><p>b) y</p><p>x</p><p>e) y</p><p>x</p><p>c) y</p><p>x</p><p>16. (UTFPR) Em uma indústria de sapatos, o número de</p><p>pares produzidos</p><p>mensalmente (Q) é função do núme-</p><p>ro de funcionários (n) e do número de horas diárias de</p><p>trabalho (t). A função que calcula Q é dada por</p><p>Q 5 20n 1 30t. No mês de novembro estavam traba-</p><p>lhando 20 funcionários com uma jornada diária de</p><p>8 horas. No mês de dezembro, para atender os pedidos,</p><p>decidiu-se aumentar a jornada diária de 8 horas para</p><p>10 horas e foi ainda necessária a contratação de mais</p><p>5 funcionários. Então, é correto afirmar que o número de</p><p>pares que serão produzidos a mais no mês de dezembro,</p><p>comparando-se com a produção em novembro, é de:</p><p>a) 100. b) 60. c) 250. d) 300. e) 160.</p><p>17. (UFSC) Considere as funções f: ® → ® e g: ® → ®</p><p>dadas por f(x) 5 x2 2 x 1 2 e g(x) 5 26x 1 3</p><p>5</p><p>. Calcule</p><p>f [ 1</p><p>2</p><p>] 1  5</p><p>4</p><p>g(21).</p><p>110 Matemática</p><p>edwin e. buzz aldrin / nasa</p><p>Era 20 de julho de 1969, quando</p><p>os tripulantes da Apollo 11</p><p>confirmaram o primeiro pouso</p><p>na Lua. Aí, onde a aceleração da</p><p>gravidade é menor que na Terra,</p><p>o peso dos corpos também fica</p><p>menor, embora a massa seja a</p><p>mesma.</p><p>a ideia de proporcionalidade é natural para</p><p>nós, pois desde criança assimilamos esse conheci-</p><p>mento aplicando-o nas ações mais simples. a no-</p><p>ção de que, quanto mais aumenta uma grandeza,</p><p>mais aumenta outra, parece ser inerente ao ser hu-</p><p>mano. está presente em nosso dia a dia na compra</p><p>de alimentos (quanto mais gramas, mais se paga),</p><p>ao abastecer o carro (o consumo de combustível é</p><p>diretamente proporcional à quantidade de quilô-</p><p>metros percorridos), no preparo de um bolo (para</p><p>dobrar uma receita, dobramos a quantidade dos</p><p>ingredientes) e em muitas outras situações. Gran-</p><p>dezas diretamente proporcionais são expressas por</p><p>meio de uma função chamada função linear.</p><p>capítulo 4</p><p>FunçÃO aFim</p><p>110</p><p>111capítulo 4 | Função afim</p><p>1. na Terra, a aceleração da gravidade é de aproximadamente 10 m/s², enquanto na lua é de 1,6 m/s². sabemos</p><p>que a massa de uma pessoa não se altera dependendo de sua localização, mas o peso sim. Verifique em qual</p><p>dos corpos, Terra ou lua, a força peso tem mais intensidade.</p><p>2. no cotidiano, massa e peso são usados como sinônimos. Observe a situação exposta na tirinha abaixo:</p><p>O conceito de peso foi usado corretamente por Garfield? Justifique.</p><p>>atividades</p><p>na Física, a lei fundamental da dinâmica afirma que “Força é igual ao produto da massa pela ace-</p><p>leração” e é representada por F = ma. Quando se trata de aceleração da gravidade , expressa por g, F é</p><p>a força da atração que a Terra exerce sobre um corpo, a força peso. nesse caso, sendo g constante, a</p><p>função acima fica expressa por P = mg, exemplo de função linear, indicando que o peso é diretamen-</p><p>te proporcional à massa de um corpo.</p><p>a função linear é um caso particular da função afim, que expressa algebricamente o conjunto de</p><p>pontos cujo gráfico é uma reta.</p><p>a função afim, suas particularidades e aplicações serão estudadas neste capítulo.</p><p>ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.</p><p>©</p><p>1</p><p>99</p><p>4</p><p>Pa</p><p>w</p><p>s,</p><p>in</p><p>C.</p><p>a</p><p>ll</p><p>r</p><p>iG</p><p>H</p><p>Ts</p><p>r</p><p>es</p><p>er</p><p>Ve</p><p>d</p><p>/d</p><p>is</p><p>T.</p><p>b</p><p>Y</p><p>aT</p><p>la</p><p>n</p><p>Ti</p><p>C-</p><p>sY</p><p>n</p><p>d</p><p>iC</p><p>aT</p><p>iO</p><p>n</p><p>/u</p><p>n</p><p>iV</p><p>er</p><p>sa</p><p>l</p><p>Pr</p><p>es</p><p>s</p><p>sY</p><p>n</p><p>d</p><p>iC</p><p>aT</p><p>e</p><p>112 Matemática</p><p>1.  Introdução</p><p>Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no</p><p>valor de R$ 1 500,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 6% (0,06) sobre o total das vendas</p><p>que ele faz durante o mês. Nessas condições, podemos dizer que:</p><p>salário mensal 5 1 500,00 1 0,06 ? (total das vendas do mês)</p><p>Observamos então que o salário mensal desse vendedor é dado em função do total de vendas que ele faz</p><p>durante o mês, ou seja:</p><p>s(x) 5 1 500,00 1 0,06x</p><p>ou s(x) 5 0,06x 1 1 500,00</p><p>ou y 5 0,06x 1 1 500,00</p><p>em que x é o total das vendas do mês.</p><p>Esse é um exemplo de função afim.</p><p>Observe outros exemplos:</p><p>• Uma pessoa tinha no banco um saldo positivo de R$ 230,00. Após um saque no caixa eletrônico que fornece</p><p>apenas notas de R$ 50,00, o novo saldo é dado em função do número x de notas retiradas. A lei da função é</p><p>dada por f(x) 5 230 2 50x ou f(x) 5 250x 1 230 ou y 5 250x 1 230.</p><p>• Em um reservatório havia 50  de água quando foi aberta uma torneira que</p><p>despeja 20  de água por minuto. A quantidade de água no tanque é dada em</p><p>função do número x de minutos em que a torneira fica aberta. A lei dessa função</p><p>é f(x) 5 20x 1 50 ou y 5 20x 1 50.</p><p>2.  Definição de função afim</p><p>Uma função f: ® → ® chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) 5 ax 1 b,</p><p>para todo x  ®.</p><p>Por exemplo:</p><p>• f(x) 5 2x 1 1 (a 5 2, b 5 1)</p><p>• f(x) 5 2x 1 4 (a 5 21, b 5 4)</p><p>• f(x) 5</p><p>1</p><p>3</p><p>x 1 5 [a 5</p><p>1</p><p>3</p><p>, b 5 5]</p><p>• f(x) 5 4x (a 5 4, b 5 0)</p><p>Observe outro exemplo:</p><p>Um motorista de táxi cobra uma taxa fixa de R$ 3,20 pela</p><p>“bandeirada” mais R$ 1,80 por quilômetro rodado. Assim, o</p><p>preço de uma corrida de x quilômetros é dado, em reais, por:</p><p>f(x) 5 1,80x 1 3,20</p><p>De modo geral, se o preço da bandeirada fosse b reais e o</p><p>preço do quilômetro rodado a reais, então o preço de uma cor-</p><p>rida de x quilômetros seria dado, em reais, por f(x) 5 ax 1 b .</p><p>H</p><p>el</p><p>Y</p><p>d</p><p>em</p><p>u</p><p>TT</p><p>i/a</p><p>rQ</p><p>u</p><p>iV</p><p>O</p><p>d</p><p>a</p><p>ed</p><p>iT</p><p>O</p><p>ra</p><p>Para refletir</p><p>Compare as leis dessas funções</p><p>e procure escrever a lei geral de</p><p>uma função afim.</p><p>113capítulo 4 | Função afim</p><p>3.  Casos particulares importantes da função afim f(x) = ax + b</p><p>1‚) Função identidade</p><p>f: ® → ® definida por f(x) 5 x para todo x  ®. Nesse caso, a 5 1 e b 5 0.</p><p>2‚) Função linear</p><p>f: ® → ® definida por f(x) 5 ax para todo x  ®. Nesse caso, b 5 0. Alguns exemplos:</p><p>• f(x) 5 22x (a 5 22)</p><p>• f(x) 5</p><p>1</p><p>5</p><p>x [a 5</p><p>1</p><p>5</p><p>]</p><p>• f(x) 5 3x (a 5 3 )</p><p>• f(x) 5 0, para todo x  ® (a 5 0). Esta é a chamada função identicamente nula.</p><p>3‚) Função constante</p><p>f: ® → ® definida por f(x) 5 b para todo x  ®. Nesse caso, a 5 0. Alguns exemplos:</p><p>• f(x) 5 3 • f(x) 5 22</p><p>• f(x) 5</p><p>3</p><p>4</p><p>• f(x) 5 2</p><p>4‚) Translação (da função identidade)</p><p>f: ® → ® definida por f(x) 5 x 1 b para todo x  ® e b  0. Nesse caso, a 5 1. Alguns exemplos:</p><p>• f(x) 5 x 1 2 • f(x) 5 x 2 3</p><p>• f(x) 5 x 1</p><p>1</p><p>2</p><p>• f(x) 5 x 2</p><p>3</p><p>5</p><p>4.  Valor de uma função afim</p><p>O valor de uma função afim f(x) 5 ax 1 b para x 5 x0 é dado por f(x0) 5 ax0 1 b. Por exemplo, na função afim</p><p>f(x) 5 5x 1 1, podemos determinar:</p><p>• f(1) 5 5 ? 1 1 1 5 5 1 1 5 6. Logo, f(1) 5 6.</p><p>• f(23) 5 5(23) 1 1 5 215 1 1 5 214. Logo, f(23) 5 214.</p><p>• f 1</p><p>5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 5 5 1</p><p>5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 1 1 5 1 1 1 5 2. Logo, f</p><p>1</p><p>5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 5 2.</p><p>• f(x 1 h) 5 5(x 1 h) 1 1 5 5x 1 5h 1 1. Logo, f(x 1 h) 5 5x 1 5h + 1.</p><p>Valor inicial</p><p>Numa função afim f(x) 5 ax 1 b, o número b 5 f(0) chama-se valor inicial da função f.</p><p>Por exemplo, o valor inicial da função f(x) 5 22x 1 3 é 3, pois f(0) 5 22 ? 0 1 3 5 3.</p><p>Exercícios propostos</p><p>1. Determine o valor da função afim f(x) 5 23x 1 4 para:</p><p>a) x 5 1; b) x 5</p><p>1</p><p>3</p><p>; c) x 5 0; d) x 5 k 1 1.</p><p>2. Qual função afim tem valor inicial maior:</p><p>f(x) 5 3x 1 2</p><p>3</p><p>ou g(x) 5 2x 1 3</p><p>4</p><p>?</p><p>3. Determine o valor de f(x 1 h) para cada uma das funções:</p><p>a) f(x) 5 5x 2 3</p><p>b) f(x) 5 2x 1 2</p><p>c) f(x) 5 1</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>x   +</p><p>ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.</p><p>114 Matemática</p><p>5.   Determinação de uma função afim conhecendo-se seus valores</p><p>em dois pontos distintos</p><p>Uma função afim f(x) 5 ax 1 b fica inteiramente determinada quando conhecemos dois dos seus valores f(x1)</p><p>e f(x2) para quaisquer x1 e x2 reais, com x1  x2. Ou seja, com esses dados determinamos os valores de a e de b.</p><p>Por exemplo:</p><p>• se f(2) 5 22, então para x 5 2 tem-se f(x) 5 22, ou seja, 22 5 2a 1 b;</p><p>• se f(1) 5 1, então para x 5 1 tem-se f(x) 5 1, ou seja, 1 5 a 1 b.</p><p>Determinamos os valores de a e b resolvendo o sistema de equações:</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>+</p><p>+</p><p>+��</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p>aa b� � �</p><p>2 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>� �� �b b4 4⇒</p><p>Como a 1 b 5 1, então:</p><p>a 1 4 5 1 � a 5 23</p><p>Logo, a função afim f(x) 5 ax 1 b tal que f(2) 5 22 e f(1) 5 1 é dada por f(x) 5 23x 1 4.</p><p>Generalização</p><p>De modo geral, conhecendo</p><p>y1 5 f(x1) e y2 5 f(x2) para x1 e x2 reais quaisquer, com x1  x2, podemos explicitar</p><p>os valores a e b da função f(x) 5 ax 1 b, determinando-a completamente.</p><p>Assim:</p><p>y f x ax b</p><p>y f x ax b</p><p>1 1 1</p><p>2 2 2</p><p>= = +</p><p>= = +</p><p>( )</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p>y2 2 y1 5 (ax2 1 b) 2 (ax1 1 b) 5 ax2 2 ax1 5 a(x2 2 x1) � a =</p><p>y y</p><p>x x</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>,</p><p>2</p><p>2</p><p>x1 ≠ x2</p><p>Substituindo esse valor de a em y1 5 f(x1) 5 ax1 1 b, obtemos o valor de b:</p><p>y1 5</p><p>y y</p><p>x x</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x1 1 b � y1(x2 2 x1) 5 y2x1 2 y1x1 1 b(x2 2 x1) � y1x2 2 y1x1 2 y2x1 1 y1x1 5 b(x2 2 x1) � b =</p><p>y x y x</p><p>x x</p><p>1 2 2 1</p><p>2 1</p><p>2</p><p>2</p><p>, x1 ≠ x2</p><p>Observação: Na resolução de exercícios fica a critério de cada um a determinação de a e b: memorizando essas</p><p>fórmulas ou repetindo o processo para o caso particular.</p><p>6.  Taxa de variação da função afim f(x) = ax + b</p><p>O parâmetro a de uma função afim f(x) 5 ax 1 b é chamado de taxa de variação (ou taxa de crescimento). Para</p><p>obtê-lo, bastam dois pontos quaisquer, porém distintos, (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)), da função considerada.</p><p>Assim, f(x1) 5 ax1 1 b e f(x2) 5 ax2 1 b, de onde obtemos que f(x2) 2 f(x1) 5 a(x2 2 x1) e, portanto,</p><p>a =</p><p>f x f x</p><p>x x</p><p>( )    ( )</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>−</p><p>− , x1 ≠ x2 .</p><p>A taxa de variação a é sempre constante para cada função afim, e isso é uma característica importante das</p><p>funções afins. Por exemplo, a taxa de variação da função afim f(x) 5 5x 1 2 é 5 e a da função g(x) 5 22x 1 3 é 22.</p><p>Observação: A taxa de variação de uma função afim f(x) 5 ax 1 b pode ser obtida fazendo f(1) 2 f(0). Note que</p><p>f(1) 5 a 1 b e f(0) 5 b. Logo, f(1) 2 f(0) 5 (a 1 b) 2 b 5 a. Assim, f(1) 2 f(0) 5 a. Voltaremos a esse assunto no volume 3.</p><p>Para refletir</p><p>Colocamos x1  x2 para que</p><p>no denominador (x2 2 x1) não</p><p>apareça o zero, pois não exis-</p><p>te divisão por zero. Esse pro-</p><p>cedimento é muito comum.</p><p>Sempre que colocamos x1  x2</p><p>é porque aparecerá x2 – x1 no</p><p>denominador.</p><p>115capítulo 4 | Função afim</p><p>7.  Caracterização da função afim</p><p>Recordamos que uma função f: A → ® com A  ® é:</p><p>• crescente: se x1 , x2, então f(x1) , f(x2); • decrescente: se x1 , x2, então f(x1) . f(x2).</p><p>É possível provar que:</p><p>Dada uma função f: ® → ®, crescente ou decrescente, se a diferença f(x 1 h) 2 f(x) depende apenas de h mas</p><p>não de x, então f é uma função afim.</p><p>Por exemplo, f(x) 5 3x 2 4 é crescente (x1 5 2; x2 5 3; 2 , 3 e f(2) 5 2; f(3) 5 5; f(2) , f(5) e para quaisquer x1 e x2,</p><p>se x1 , x2, então 3x1 2 4 , 3x2 2 4) e f(x 1 h) 2 f(x) 5 [3(x 1 h) 2 4] 2 (3x 2 4) 5 3 3 4 3 4 3x h x h+           � � �+ .</p><p>Logo, f(x 1 h) 2 f(x) 5 3h. A expressão 3h não depende de x, mas apenas de h. Então, a função f(x) 5 3x 2 4 é afim.</p><p>Exercícios propostos</p><p>4. Verifique quais funções são afins. Nelas, encontre a e</p><p>b, para f(x) 5 ax 1 b.</p><p>a) f(x) 5 3(x 1 1) 1 4(x 2 1)</p><p>b) f(x) 5 (x 1 2)2 1 (x 1 2)(x 2 2)</p><p>c) f(x) 5 (x 2 3)2 2 x(x 2 5)</p><p>d) f(x) 5 (x 2 3) 2 5(x 2 1)</p><p>5. Classifique as funções f: ® → ® abaixo em afim, linear,</p><p>identidade, constante e translação:</p><p>a) f(x) 5 5x 1 2 d) f(x) 5 x</p><p>b) f(x) 5 2x 1 3 e) f(x) 5 3x</p><p>c) f(x) 5 7 f ) f(x) 5 x 1 5</p><p>6. Escreva a função afim f(x) 5 ax 1 b, sabendo que:</p><p>a) f(1) 5 5 e f(23) 5 27</p><p>b) f(21) 5 7 e f(2) 5 1</p><p>7. Escreva a taxa de variação para cada uma das funções.</p><p>a) f(x) 5 4x 1 5 c) f(x) 5 3</p><p>b) f(x) 5 23x 1 7 d) f(x) 5</p><p>1</p><p>3</p><p>x 1 2</p><p>8. Verifique quais das funções abaixo são funções afins</p><p>usando f(x 1 h) 2 f(x).</p><p>a) f(x) 5 26x 1 1 b) g(x) 5 x2 2 5x</p><p>9. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo</p><p>de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade</p><p>produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:</p><p>a) escreva a lei da função que fornece o custo total</p><p>de x peças;</p><p>b) calcule o custo de 100 peças;</p><p>c) escreva a taxa de crescimento da função.</p><p>10. Em um retângulo, o comprimento é 5 cm. Nessas</p><p>condições:</p><p>a) calcule o perímetro do retângulo quando a largura</p><p>for 1 cm; 1,5 cm; 2 cm; 3 cm e 4 cm;</p><p>b) construa uma tabela associando cada largura ao</p><p>perímetro do retângulo;</p><p>c) se x representa a largura, qual é a lei da função que</p><p>expressa o perímetro nesse retângulo?</p><p>11. O preço do aluguel de um carro popular é dado pela</p><p>tabela abaixo.</p><p>100 km taxa fixa de R$ 50,00</p><p>300 km taxa fixa de R$ 63,00</p><p>500 km taxa fixa de R$ 75,00</p><p>Em todos os casos, paga-se R$ 0,37 por quilômetro</p><p>excedente rodado.</p><p>a) Escreva a lei da função para cada caso, chamando de</p><p>x o número de quilômetros excedentes rodados.</p><p>b) Qual é a taxa de variação de cada função?</p><p>12. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre</p><p>duas opções: A e B.</p><p>• O plano A cobra R$ 100,00 de inscrição e</p><p>R$ 50,00 por consulta num certo período.</p><p>• O plano B cobra R$ 180,00 de inscrição e</p><p>R$ 40,00 por consulta no mesmo período.</p><p>O gasto total de cada plano é dado em função do</p><p>número x de consultas.</p><p>Determine:</p><p>a) a equação da função correspondente a cada plano;</p><p>b) em que condições é possível afirmar que: o plano</p><p>A é mais econômico; o plano B é mais econômico;</p><p>os dois planos são equivalentes.</p><p>13. Após a correção das provas de uma classe, um pro-</p><p>fessor resolveu mudar o sistema de pontuação, de</p><p>modo que a nota máxima continuasse 100, mas a</p><p>média das notas, que havia sido 60, passasse a ser 80</p><p>e que a variação das notas da antiga para a nova pon-</p><p>tuação representasse uma função afim.</p><p>a) Determine a sentença que permite estabelecer a</p><p>mudança.</p><p>b) Se antes a nota mínima de aprovação era 50, qual</p><p>é na nova pontuação?</p><p>116 Matemática</p><p>14. (FGV-SP) Os gastos de consumo (C) de uma família e</p><p>sua renda (x) são tais que C 5 2 000 1 0,8x. Podemos</p><p>então afirmar que:</p><p>a) se a renda aumenta em 500, o consumo aumenta</p><p>em 500.</p><p>b) se a renda diminui em 500, o consumo diminui em</p><p>500.</p><p>c) se a renda aumenta em 1 000, o consumo aumenta</p><p>em 800.</p><p>d) se a renda diminui em 1 000, o consumo diminui</p><p>em 2 800.</p><p>e) se a renda dobra, o consumo dobra.</p><p>15. (Fuvest-SP) A função que representa o valor a ser pa-</p><p>go após um desconto de 3% sobre o valor x de uma</p><p>mercadoria é:</p><p>a) f(x) 5 x 2 3. d) f(x) 5 23x.</p><p>b) f(x) 5 0,97x. e) f(x) 5 1,03x.</p><p>c) f(x) 5 1,3x.</p><p>16. Sabe-se que 100 g de lentilha seca contêm 26 g de</p><p>proteína e 100 g de soja seca contêm 35 g de proteí-</p><p>na. Para um consumo diário de 70 g de proteína, ba-</p><p>seado somente no consumo de soja e lentilha:</p><p>a) quantos gramas de lentilha devem ser consumidos</p><p>se for consumido 1,8 g de soja?</p><p>b) quantos gramas de soja devem ser consumidos se</p><p>for consumido 1,8 g de lentilha?</p><p>c) Se o grama de lentilha custa R$ 0,07 e o grama de soja</p><p>custa R$ 0,09, em qual das situações gasta-se menos?</p><p>17. Um casal de namorados marca um encontro numa</p><p>ciclovia; ele vem do norte e ela do sul. O rapaz peda-</p><p>la a uma velocidade de 32 km/h e a moça pedala a</p><p>4 km/h. No instante em que a distância entre eles é</p><p>de 28 km, uma abelha, que voa a 20 km/h, parte de</p><p>um ponto entre os dois até encontrar um deles; então</p><p>ela volta em direção ao outro e continua nesse vaivém</p><p>até ser atingida pelas rodas das bicicletas no momen-</p><p>to em que o casal se encontra. Quantos quilômetros</p><p>voou a abelha?</p><p>18. Um grande poluente produzido pela queima de</p><p>combustíveis fósseis é o dióxido sulfídrico (SO2).</p><p>Uma pesquisa feita em Oslo, Noruega, demonstrou</p><p>que o número (N) aproximado de peixes mortos em</p><p>um certo rio, por semana, é dado por uma função</p><p>afim da concentração C de SO2. Foram feitas as se-</p><p>guintes medidas:</p><p>Concentração (em µg/m3) Mortes</p><p>401 106</p><p>500 109</p><p>Qual é a concentração máxima de SO2 que pode ser</p><p>despejada no rio para que o número de mortes não</p><p>ultrapasse 115, fato que poderia prejudicar a repro-</p><p>dução da espécie?</p><p>19. Devido ao desgaste, o valor (V) de uma mercadoria</p><p>decresce com o tempo (t). Por isso, a desvalorização</p><p>que o preço dessa mercadoria sofre em razão do tem-</p><p>po de uso é chamada de depreciação. A função de-</p><p>preciação pode ser uma função afim, como neste</p><p>caso: o valor de uma máquina é hoje R$ 1 000,00, e</p><p>estima-se que daqui a 5 anos será R$ 250,00.</p><p>a) Qual será o valor dessa máquina em t anos?</p><p>b) Qual será</p><p>o valor dessa máquina em 6 anos?</p><p>c) Qual será sua depreciação total após esse período</p><p>de 6 anos?</p><p>Função afim e graduações do termômetro</p><p>Entre as escalas termométricas conhecidas para a gra dua ção de um termômetro, as mais</p><p>utilizadas são a escala Fahrenheit, usada principalmente nos países de língua inglesa (como</p><p>Estados Unidos e Inglaterra), e a escala Celsius, usada no restante do mundo. Elas se baseiam</p><p>na altura de uma colu na de mercúrio, que au men ta ou diminui conforme a temperatura</p><p>sobe ou desce.</p><p>Para graduar um termômetro na escala Celsius escolhem-se duas temperaturas deter-</p><p>minadas: a da fusão do gelo, à qual se atribui o valor zero, e a da ebulição da água (à pres-</p><p>são do nível do mar), à qual se atribui o valor 100. Dividindo-se o intervalo entre os dois</p><p>pontos fixos (0 e 100) em 100 partes iguais, obtém-se o termômetro graduado na escala</p><p>Celsius ou centesimal.</p><p>Na escala Fahrenheit, divide-se o intervalo entre os pontos fixos em 180 partes iguais.</p><p>Atribui-se ao nível inferior o valor 32 e, ao superior, o valor 212; então, o zero dessa escala está</p><p>32 graus Fahrenheit abaixo da temperatura de fusão. Assim, 0 °C 5 32 °F e 100 °C 5 212 °F.</p><p>Como obter uma temperatura em graus Fahrenheit sendo a mesma dada em graus</p><p>Celsius?</p><p>r-</p><p>P/</p><p>Ki</p><p>n</p><p>O</p><p>.C</p><p>O</p><p>m</p><p>.b</p><p>r</p><p>117capítulo 4 | Função afim</p><p>Há duas maneiras:</p><p>1·) Examinando a figura ao lado, pode-se estabelecer entre as duas escalas a seguinte</p><p>relação:</p><p>C F C F</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>0</p><p>100 0</p><p>32</p><p>212 32 100</p><p>� 332</p><p>180 5</p><p>32</p><p>9</p><p>� �C F</p><p>�</p><p>�</p><p>� 5F 2 160 5 9C � 5F 5 9C + 160 � F 5 9</p><p>5</p><p>C + 32 � F 5 1,8C + 32</p><p>Observa-se, então, que a transformação de uma temperatura da escala Fahrenheit (F)</p><p>para a escala Celsius (C) é um importante exemplo de função afim:</p><p>F = 1,8C + 32 ou f(x) = 1,8x + 32</p><p>2·) A mudança de escala de Celsius para Fahrenheit é uma função f: ® → ®, que associa à medida x em C a medida</p><p>f(x) em F da mesma coluna de mercúrio. Essa função é crescente e a diferença f(x + h) 2 f(x) depende apenas de</p><p>h e não de x. Assim, f é uma função afim da forma f(x) 5 ax + b. Sabemos que f(0) 5 32 e f(100) 5 212. Como</p><p>f(0) 5 b, então b 5 32. Temos também que f(100) 5 100a + 32, ou seja, 100a + 32 5 212, donde a 5 1,8.</p><p>Portanto, f(x) 5 1,8x + 32.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Em que temperatura as escalas Celsius e Fahrenheit assinalam o mesmo valor?</p><p>Essa pergunta é equivalente a esta outra: Para qual valor de x tem-se f(x) 5 x?</p><p>f(x) 5 1,8x + 32</p><p>1,8x + 32 5 x � 0,8x 5 232 � x 5 240,</p><p>ou seja, 240 °C 5 240 °F (menos 40 graus Celsius é o mesmo que menos 40 graus Fahrenheit).</p><p>2‚) Qual é a temperatura em graus Fahrenheit que é a quarta parte do valor correspondente em graus Celsius?</p><p>A pergunta acima é equivalente a esta outra: Para qual valor de x tem-se f(x) 5</p><p>1</p><p>4</p><p>x?</p><p>f(x) 5 1,8x + 32</p><p>1,8x + 32 5</p><p>1</p><p>4</p><p>x � 1,8x 2 0,25x 5 232 � 1,55x 5 232 � x  220,6</p><p>Assim, 220,6 °C equivalem a 25,15 °F.</p><p>100</p><p>50</p><p>0</p><p>212</p><p>122</p><p>32</p><p>°C °F</p><p>Celsius Fahrenheit</p><p>C F</p><p>Exercícios propostos</p><p>20.		Qual é a temperatura Celsius que é a metade do valor</p><p>correspondente em graus Fahrenheit?</p><p>21. Qual é a temperatura Fahrenheit que é 5 vezes o valor</p><p>da temperatura em graus Celsius?</p><p>22. Se um termômetro indica 120 F, qual é essa tempe-</p><p>ratura em graus Celsius?</p><p>23. Se um termômetro indica 50 C, qual é essa tempera-</p><p>tura em graus Fahrenheit?</p><p>24. Formule um problema usando as escalas Fahrenheit</p><p>e Celsius. Depois, resolva-o.</p><p>25. Uma barra de cobre é exposta a várias temperatu-</p><p>ras. Seu comprimento  é dado em função da tem-</p><p>peratura C; essa função pode ser expressa por uma</p><p>função afim.</p><p>a) Determine  em função de C (medida em graus</p><p>Celsius), a partir dos dados:</p><p>• C1 5 15 °C e 1 5 76,45 cm;</p><p>• C2 5 100 °C e 2 5 76,56 cm.</p><p>b) Como ficaria a lei da função se, em vez de adotarmos</p><p>a escala Celsius, adotássemos a escala Fahrenheit?</p><p>FO</p><p>rm</p><p>aT</p><p>O</p><p>C</p><p>O</p><p>m</p><p>u</p><p>n</p><p>iC</p><p>aç</p><p>ãO</p><p>/a</p><p>rQ</p><p>u</p><p>iV</p><p>O</p><p>d</p><p>a</p><p>ed</p><p>iT</p><p>O</p><p>ra</p><p>118 Matemática</p><p>8.  Função afim e progressão aritmética</p><p>Há um relacionamento muito importante entre a função afim e uma progressão aritmética, que veremos agora.</p><p>Já vimos na página 104 que uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do se-</p><p>gundo, é o termo anterior mais uma constante, chamada razão da progressão aritmética. Por exemplo, a sequência:</p><p>1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ...</p><p>é uma progressão aritmética de razão 3.</p><p>Consideremos agora a função afim f: ® → ® definida por f(x) 5 2x 1 1.</p><p>Vamos constatar que:</p><p>f(1), f(4), f(7), f(10), f(13), f(16), f(19), ...</p><p>é também uma progressão aritmética.</p><p>Assim,</p><p>f(x) 5 2x 1 1</p><p>f(1) 5 3; f(4) 5 9; f(7) 5 15; f(10) 5 21; f(13) 5 27; f(16) 5 33; f(19) 5 39; etc.</p><p>Podemos observar que:</p><p>3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, ...</p><p>é uma progressão aritmética e sua razão é 6 (2 ? 3).</p><p>Observação: Esse resultado pode ser provado de modo geral: se f: ® → ® é uma função afim definida por</p><p>f(x) 5 ax 1 b e x1, x2, x3, ..., xi, ... é uma progressão aritmética de razão r, então f(x1), f(x2), f(x3), ..., f(xi), ... também é</p><p>uma progressão aritmética e sua razão é a ? r. E, reciprocamente, se uma função crescente ou decrescente, f: ® → ®,</p><p>transforma qualquer progressão aritmética x1, x2, x3, ..., xi, ... em uma outra progressão aritmé tica f(x1), f(x2), f(x3), ...,</p><p>f(xi), ..., então f é uma função afim.</p><p>Exercícios propostos</p><p>26. Dada a progressão aritmética 22, 3, 8, 13, 18, 23, ... e</p><p>a função afim f(x) 5 3x 2 1:</p><p>a) determine a razão dessa progressão aritmética;</p><p>b) verifique que f(22), f(3), f(8), f(13), f(18), f(23), ... é</p><p>também uma progressão aritmética (PA);</p><p>c) determine a razão dessa nova progressão aritmética.</p><p>27. Se tivermos uma PA x1, x2, ..., xi, ... de razão 3 que é</p><p>levada a outra PA y1, y2, ..., yi, ... pela função afim</p><p>f(x) 5 4x 1 1, qual é a razão desta segunda PA?</p><p>28. Se f: ® → ® é uma função afim que transforma a PA</p><p>2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... em outra PA 9, 17, 25, 33, 41,</p><p>49, 57, ..., qual é a lei dessa função afim?</p><p>9.  Gráfico da função afim f(x) 5 ax 1 b</p><p>Vamos provar que o gráfico de uma função afim f(x) 5 ax 1 b é uma reta. Para isso basta mostrar que três</p><p>pontos quaisquer do gráfico são colineares, ou seja, estão numa mesma reta:</p><p>ax3 � b</p><p>y</p><p>x</p><p>x1</p><p>ax2 � b</p><p>ax1 � b</p><p>x2 x3</p><p>P3</p><p>P2</p><p>P1</p><p>P1(x1, ax1 1 b)</p><p>P2(x2, ax2 1 b)</p><p>P3(x3, ax3 1 b)</p><p>Para que isso ocorra é necessário e suficiente que um dos três números d(P1, P2), d(P2, P3) e d(P1, P3) seja igual à</p><p>soma dos outros dois. Supomos x1 , x2 , x3 e mostramos então que:</p><p>d(P1, P3) 5 d(P1, P2) 1 d(P2, P3)</p><p>119capítulo 4 | Função afim</p><p>Usando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos:</p><p>d(P1, P2) 5 (     )    [(     )   (     )]x x ax b ax b2 1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>2� � � � � 5 (     )    (     )x x ax ax2 1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>2� � � 5 1 2 1</p><p>2 2</p><p>2 1</p><p>2(     )     (     )x x a x x� � � 5</p><p>5 (     )(     )1 2</p><p>2 1</p><p>2� �a x x 5 (     )    x x a2 1</p><p>21� �</p><p>De modo análogo, observamos que:</p><p>d(P2, P3) 5 (     )    x x a3 2</p><p>21� � e d(P1, P3) 5 (     )    x x a3 1</p><p>21� �</p><p>Portanto:</p><p>d(P1, P2) 1 d(P2, P3) 5 (             )    x x x x a2 1 3 2</p><p>21� � � � 5 (     )    x x a3 1</p><p>21� � 5 d(P1, P3), ou seja, d(P1, P2) 1 d(P2, P3) 5 d(P1, P3).</p><p>Logo, três pontos quaisquer do gráfico da função afim são colineares, o que significa que o gráfico é uma reta.</p><p>Geometricamente, b é a ordenada do ponto onde a reta, que é gráfico</p><p>da função f(x) 5 ax 1 b, intersecta o eixo Oy, pois para x 5 0 temos</p><p>f(0) 5 a ? 0 1 b 5 b.</p><p>O número a chama-se inclinação ou coeficiente angular dessa reta em</p><p>relação ao eixo horizontal Ox.</p><p>O número b chama-se valor inicial da função f ou coeficiente linear</p><p>dessa reta.</p><p>Traçado de gráficos de funções afins</p><p>Vamos construir os gráficos de algumas funções afins f(x) 5 ax 1 b no plano cartesiano.</p><p>Função afim com a  0 e b  0</p><p>f(x) 5 2x 1 1</p><p>x f(x)</p><p>22 23</p><p>21 21</p><p>0 1</p><p>1 3</p><p>2 5</p><p>(0, 1):</p><p>ponto em</p><p>que a reta</p><p>intersecta</p><p>o eixo y</p><p>x</p><p>y</p><p>0 2</p><p>3</p><p>5</p><p>1</p><p>1</p><p>�2 �1</p><p>�1</p><p>�3</p><p>f(x) � 2x � 1</p><p>b � 1</p><p>f(x) 5 23x 1 2</p><p>x f(x)</p><p>0 2</p><p>21 5</p><p>1 21</p><p>2 24</p><p>(0, 2):</p><p>ponto em</p><p>que a reta</p><p>intersecta</p><p>o eixo y</p><p>x</p><p>y</p><p>0 2</p><p>2b � 2</p><p>5</p><p>1</p><p>�1</p><p>�1</p><p>�4</p><p>f(x) � �3x � 2</p><p>Função linear (b 5 0)</p><p>f(x) 5 3x</p><p>x f(x)</p><p>22 26</p><p>21 23</p><p>0 0</p><p>1 3</p><p>2 6</p><p>y</p><p>x</p><p>10 2</p><p>3</p><p>b � 0</p><p>6</p><p>�3</p><p>�6</p><p>�1�2</p><p>f(x) � 3x</p><p>f(x) 5 22x</p><p>x f(x)</p><p>22 4</p><p>21 2</p><p>0 0</p><p>1 22</p><p>2 24</p><p>x</p><p>y</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>1</p><p>b � 0</p><p>�1�2</p><p>�2</p><p>�4</p><p>0</p><p>f(x) � �2x</p><p>O gráfico da função linear f(x) 5 ax é uma reta não vertical que passa pela origem (0, 0).</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>(0, b)</p><p>P3</p><p>P2</p><p>P1</p><p>120 Matemática</p><p>Função identidade (a 5 1 e b 5 0)</p><p>f(x) 5 x</p><p>x f(x)</p><p>22 22</p><p>21 21</p><p>0 0</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>Observe que o gráfico da função identidade f(x) 5 x é a bissetriz do 1‚ e 3‚ quadrantes.</p><p>Translação (a 5 1 e b  0)</p><p>A seguir temos a construção do gráfico da translação f(x) 5 x 1 2 no plano cartesiano:</p><p>f(x) 5 x 1 2</p><p>x f(x)</p><p>22 0</p><p>21 1</p><p>0 2</p><p>1 3</p><p>2 4</p><p>Observe que o gráfico da translação f(x) 5 x 1 b é uma reta paralela à bissetriz do 1‚ e 3‚ quadrantes.</p><p>Função constante (a 5 0)</p><p>Observe agora a construção do gráfico da função constante f(x) 5 2 para qualquer x  ®, no plano cartesiano.</p><p>f(x) 5 2</p><p>x f(x)</p><p>22 2</p><p>21 2</p><p>0 2</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>O gráfico da função constante f(x) 5 b é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto (0, b). Nesse caso,</p><p>Im(f) 5 {b}.</p><p>Observações sobre a função afim:</p><p>1·) O gráfico de uma função afim f(x) 5 ax 1 b é uma reta não vertical, isto é, não paralela ao eixo y.</p><p>2·) Como dois pontos determinam uma reta, basta considerarmos dois pontos do plano cartesiano para construir-</p><p>mos o gráfico (compare isso com o que foi dito na página 114 sobre a determinação de uma função afim conhe-</p><p>cendo-se seus valores em dois pontos distintos).</p><p>3·) Mais detalhes sobre a equação da reta você encontrará no volume 3.</p><p>Para refletir</p><p>O que é bissetriz de um</p><p>ângulo?</p><p>x</p><p>y</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>b � 0</p><p>�1</p><p>�1</p><p>�2</p><p>�2 0</p><p>f(x) � x</p><p>x</p><p>y</p><p>2</p><p>2</p><p>�2</p><p>4</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>�1 0</p><p>f(x</p><p>) �</p><p>x �</p><p>2</p><p>f(x</p><p>) �</p><p>x</p><p>b � 2</p><p>Para refletir</p><p>Por que a função f(x) = b</p><p>recebe o nome de função</p><p>constante?</p><p>x</p><p>y</p><p>2�2 1�1 0</p><p>1</p><p>2 f(x) � 2</p><p>b � 2</p><p>Para refletir</p><p>Examine o gráfico ao lado e</p><p>responda: Por que a função</p><p>f(x) = x + b recebe o nome</p><p>de translação?</p><p>121capítulo 4 | Função afim</p><p>Exercícios propostos</p><p>29. Construa, num sistema de eixos ortogonais, o gráfico</p><p>das seguintes funções:</p><p>a) f(x) 5 2x 1 3 d) f(x) 5 22x 1 5</p><p>b) f(x) 5 x 1 3 e) f(x) 5 22 2 2x</p><p>c) f(x) 5</p><p>1</p><p>2</p><p>x 1 4 f ) f(x) 5 3 1 3x</p><p>30. Em um mesmo sistema de eixos ortogonais, construa</p><p>os gráficos das seguintes funções:</p><p>a) f(x) 5</p><p>1</p><p>2</p><p>x d) s(x) 5 2x</p><p>b) g(x) 5 x e) t(x) 5 22x</p><p>c) h(x) 5 2x</p><p>31. O proprietário de uma fábrica de chinelos verificou que,</p><p>quando se produziam 600 pares de chinelos por mês,</p><p>o custo total da empresa era de R$ 14 000,00 e, quando</p><p>se produziam 900 pares, o custo mensal era de</p><p>R$ 15 800,00. O gráfico que representa a relação entre</p><p>o custo mensal (C) e o número de chinelos produzidos</p><p>por mês (x) é formado por pontos de uma reta.</p><p>a) Obtenha C em função de x.</p><p>b) Se a capacidade máxima de produção da empresa</p><p>é de 1 200 chinelos/mês, qual o valor do custo má-</p><p>ximo mensal?</p><p>32. Um corpo se movimenta em velocidade constante de</p><p>acordo com a fórmula matemática s 5 2t 2 3, em que s</p><p>indica a posição do corpo (em metros) no instante t (em</p><p>segundos). Construa o gráfico de s em função de t.</p><p>33. O custo de um produto é calculado pela fórmula</p><p>c 5 10 1 20q, na qual c indica o custo (em reais) e q,</p><p>a quantidade produzida (em unidades). Construa o</p><p>gráfico de c em função de q.</p><p>34. Obtenha, em cada caso, a função f(x) 5 ax 1 b, cuja</p><p>reta, que é seu gráfico, passa pelos pontos:</p><p>a) (21, 1) e (2, 0) b) (3, 0) e (0, 4)</p><p>35. Determine o valor de m para que o gráfico da função</p><p>f(x) 5 2x 1 m 2 3:</p><p>a) intersecte o eixo y no ponto (0, 5);</p><p>b) intersecte o eixo x no ponto (3, 0).</p><p>36. Sabendo que a função f(x) 5 ax 1 b é tal que f(1) 5 5</p><p>e f(22) 5 24, determine:</p><p>a) a taxa de variação da função;</p><p>b) os valores de a e b;</p><p>c) o gráfico de f;</p><p>d) o valor de x para o qual f(x) 5 0.</p><p>37. Dado o gráfico da função de ® em ®, escreva a função</p><p>f(x) 5 ax 1 b correspondente.</p><p>y</p><p>x</p><p>�2�3 �1</p><p>�1</p><p>�2</p><p>3 2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>0 4</p><p>38. Construa, num sistema de coordenadas cartesianas or-</p><p>togonais, o gráfico da função: f(x) 5</p><p>2 0</p><p>2 0</p><p>,</p><p>,</p><p>se x</p><p>x se x</p><p>�</p><p>� �</p><p></p><p></p><p></p><p>39. Dado o gráfico da função de IR em IR, escreva a função</p><p>f(x) 5 ax 1 b correspondente:</p><p>y</p><p>x</p><p>�2�3 �1</p><p>�1</p><p>�2</p><p>�3</p><p>3 2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>0 4</p><p>10.  Função afim e Geometria analítica</p><p>No estudo da Geometria analítica, que veremos no volume 3, os elementos geo-</p><p>métricos são descritos por equações. Entre eles, a reta, que particularmente nos inte-</p><p>ressa, pois a equação que descreve uma reta não vertical é uma função afim.</p><p>Na Geometria analítica podemos escrever a equação da reta de várias maneiras, e uma dessas maneiras, a</p><p>equação reduzida, é dada por y 5 mx 1 q. Note que não há diferença entre escrever f(x) 5 ax 1 b ou y 5 mx 1 q,</p><p>exceto as letras empregadas em cada caso.</p><p>Na Geometria analítica, chamamos o m de coeficiente angular e o q de coeficiente linear. O coeficiente angular</p><p>da reta é exatamente a taxa de variação da função afim, sendo dado por:</p><p>m 5</p><p>∆</p><p>∆</p><p>y</p><p>x</p><p>y y</p><p>x x</p><p>5 1 2</p><p>1 2</p><p>−</p><p>−</p><p>(x1  x2)</p><p>Para refletir</p><p>A reta vertical não é gráfico</p><p>de uma função. Por quê?</p><p>122 Matemática</p><p>enquanto você já viu que a taxa de variação a é dada por:</p><p>a 5</p><p>f x f x</p><p>x x</p><p>( )    ( )</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>−</p><p>−</p><p>São apenas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa: sabemos que y 5 f(x). Então, y1 5 f(x1) e y2 5 f(x2).</p><p>Compare e verifique que, nessas condições, m 5 a.</p><p>O nome coeficiente angular é dado pelo fato de m ser o responsável pela inclinação da reta. Sua relação com o</p><p>ângulo de inclinação α é dada por m 5 tg α. O nome taxa de variação é referente à relação entre a variação da</p><p>grandeza y e a variação da grandeza x.</p><p>A diferença de nomenclatura, coeficiente angular nas equações da reta e taxa de variação nas funções afins, é</p><p>fruto somente da interpretação que se pretende em cada caso. Numa equação da reta, é mais importante a informação</p><p>relativa ao ângulo de inclinação da reta do que sobre a variação de y em relação a x. Na função afim é o oposto, privi-</p><p>legiamos a informação relativa à variação de y em relação a x e não nos interessa tanto saber qual é o ângulo de incli-</p><p>nação da reta. Além disso, na função afim, a alteração das escalas dos eixos modificaria o ângulo da reta desenhada.</p><p>O importante é que você saiba que, a qualquer momento, é possível usar elementos de Geometria analítica no</p><p>estudo de funções, e vice-versa. Só depende da conveniência. Vamos, por exemplo, refazer o exemplo do item 5 da</p><p>página 114 usando o conceito de coeficiente angular.</p><p>Se f(2) 5 22 e f(1) 5 1, então montamos a tabela:</p><p>x y</p><p>2 22</p><p>1 1</p><p>De onde tiramos que y 5 22 2 1 5 23 e x 5 2 2 1 5 1. Portanto, a 5 m 5</p><p>∆</p><p>∆</p><p>y</p><p>x</p><p>5</p><p>−3</p><p>1</p><p>5 23.</p><p>Assim, y 5 23x 1 b.</p><p>Substituindo qualquer um dos pares (x, y) da tabela, obtemos o b.</p><p>1 5 23(1) 1 b � b 5 4</p><p>Então, y 5 23x 1 4, ou, se preferir, f(x) 5 23x 1 4.</p><p>11.  Uma propriedade característica da função afim f(x) = ax + b</p><p>Vimos que o gráfico de uma função afim f(x) 5 ax 1 b é uma reta.</p><p>As funções afins são as únicas funções (crescentes ou decrescentes) para as quais acréscimos iguais dados a</p><p>x e a x’ correspondem acréscimos iguais dados a f(x) e f(x’).</p><p>Analise o gráfico da função f(x) 5 2x 1 1:</p><p>y</p><p>x</p><p>32</p><p>2</p><p>3</p><p>4 2</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>10</p><p>1</p><p>1</p><p>f(x) � 2x � 1</p><p>1</p><p>1</p><p>0 4 5 6 7 8 9 10</p><p>2</p><p>123capítulo 4 | Função afim</p><p>Demos dois acréscimos iguais a 1 em x e obtivemos dois acréscimos iguais a 2 em y.</p><p>De modo geral, em qualquer função afim f(x) 5 ax 1 b, temos:</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>f(x� � h) � f(x�)</p><p>x x�x � h</p><p>h</p><p>b</p><p>h</p><p>x� � h</p><p>f(x � h) � f(x)</p><p>f(x) � ax � b</p><p>Demos dois acréscimos iguais a h em x e obtivemos dois acréscimos iguais em f(x):</p><p>f(x 1 h) 2 f(x) 5 f(x’ 1 h) 2 f(x’)</p><p>Exercícios propostos</p><p>40. Dada a função afim f(x) 5 3x 2 1, mostre que dando acréscimos iguais a 2 em x provocaremos acréscimos iguas a</p><p>6 em y 5 f(x).</p><p>41. Dada a função afim f(x) 5 4x 1 2 e acréscimos iguais a 3 em x, que acréscimos iguais</p><p>obteremos em y 5 f(x)?</p><p>42. Mostre que, numa função afim da forma f(x) 5 x 1 b, acréscimos iguais a h dados a x e a x’ provocam acréscimos</p><p>iguais a h em y 5 f(x).</p><p>12.  Função afim crescente e decrescente</p><p>Já vimos que uma função afim f(x) 5 ax 1 b tem como gráfico uma reta (que indicamos por y 5 ax 1 b) não</p><p>vertical, ou seja, não paralela ao eixo y.</p><p>A ordenada do ponto onde a reta intersecta o eixo y é sempre b.</p><p>Já vimos que o número a chama-se taxa de variação ou taxa de crescimento da função. Quanto maior o valor</p><p>absoluto de a, mais a reta se afasta da posição horizontal.</p><p>Para a  0 existem duas possibilidades:</p><p>0 x1 x2</p><p>�</p><p>(0, b)</p><p>x</p><p>y</p><p>f(x2)</p><p>f(x)</p><p>f(x1)</p><p>Se a . 0, f é crescente.</p><p>0 x1 x2</p><p>�</p><p>x</p><p>y</p><p>f(x1)</p><p>f(x2)</p><p>(0, b)</p><p>f(x)</p><p>a � 0</p><p>Se a , 0, f é decrescente.</p><p>Logo, f é crescente se a taxa de crescimento é positiva, e decrescente se a taxa de crescimento é negativa.</p><p>Assim, o que determina se a função afim f(x) 5 ax 1 b, com a ≠ 0, é crescente ou decrescente é o sinal de a. Se</p><p>a é positivo, ela é crescente; se a é negativo, ela é decrescente.</p><p>No caso de a 5 0, o valor de f(x) permanece constante [f(x) 5 b] e o gráfico de f é a reta paralela ao eixo x que</p><p>passa por (0, b), como já vimos.</p><p>124 Matemática</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Em cada um dos gráficos a seguir, que representam funções afins, vamos verificar se a e b são positivos (. 0), ne-</p><p>gativos (, 0) ou nulos (5 0) e se as funções são crescentes ou decrescentes.</p><p>a) y</p><p>x</p><p>c) y</p><p>x</p><p>e) y</p><p>x</p><p>b)</p><p>y</p><p>x</p><p>d) y</p><p>x</p><p>f) y</p><p>x</p><p>2‚) Consideremos a função f: ® → ® definida por f(x) 5 5x 2 3; sem construir o gráfico, responda:</p><p>a) Qual é a figura do gráfico de f ?</p><p>O gráfico de f é uma reta, pois f é função afim.</p><p>b) Em que ponto o gráfico de f intersecta o eixo x?</p><p>Todo ponto do eixo x tem ordenada 0: 5x 2 3 5 0 � 5x 5 3 � x 5</p><p>3</p><p>5</p><p>O gráfico de f intersecta o eixo x em [ 3</p><p>5 , 0].</p><p>c) Em que ponto o gráfico de f intersecta o eixo y?</p><p>Todo ponto do eixo y tem abscissa 0: f(0) 5 5 ? 0 2 3 � f(0) 5 23</p><p>O gráfico de f intersecta o eixo y em (0, 23).</p><p>d) f é função crescente ou decrescente?</p><p>f é crescente, pois a 5 5, isto é, a . 0.</p><p>3‚) Vamos construir o gráfico da função do exemplo anterior e localizar o ângulo de inclinação da reta, indicando-o por α.</p><p>Como o gráfico é uma reta, basta determinar dois de seus pontos:</p><p>1</p><p>x</p><p>y</p><p>2</p><p>�3</p><p>�x y</p><p>0 23</p><p>1 2</p><p>Para refletir</p><p>Justifique cada</p><p>resposta dada no</p><p>primeiro exemplo.</p><p>a 0 e b = 0</p><p>função crescente</p><p>a 0</p><p>função decrescente</p><p>a > 0 e b > 0</p><p>função crescente</p><p>a 0 e b</p><p>5 x 1 1 e g(x) 5 2x 2 1:</p><p>a) pelo gráfico:</p><p>Desenhando ambas as retas no mesmo plano cartesiano, temos:</p><p>f(x) 5 x 1 1</p><p>x y</p><p>1 2</p><p>2 3</p><p>0 1</p><p>g(x) 5 2x 2 1</p><p>x y</p><p>1 1</p><p>2 3</p><p>0 21</p><p>y</p><p>x</p><p>�2 �1</p><p>�1</p><p>3</p><p>g(x) � 2x � 1 f(x) � x � 1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>0</p><p>O ponto de intersecção é P(2, 3).</p><p>b) sem usar o gráfico:</p><p>Como y 5 f(x), então y 5 x 1 1.</p><p>Como y 5 g(x), então y 5 2x 2 1.</p><p>Igualando y, temos:</p><p>x 1 1 5 2x 2 1 � 2 5 x</p><p>Substituindo o valor de x encontrado em qualquer uma das funções acima, temos y 5 2 1 1 5 3.</p><p>Assim, o ponto de intersecção é P(2, 3).</p><p>Voltaremos a este assunto no volume 3.</p><p>128 Matemática</p><p>Exercícios propostos</p><p>43. Considere as funções afins dadas por</p><p>f(x) 5 23x 1 4, g(x) 5</p><p>x</p><p>3</p><p>e h(x) 5 x 2 2. Para cada</p><p>uma das funções, responda:</p><p>a) Em que pontos a reta correspondente corta os eixos</p><p>x e y?</p><p>b) A função é crescente ou decrescente?</p><p>c) Construa os gráficos e confira neles as respostas</p><p>dadas nos itens anteriores.</p><p>44. Determine a lei da função afim cuja reta intersecta os</p><p>eixos em (28, 0) e (0, 4). Essa função é crescente ou</p><p>decrescente?</p><p>45. Determine a fórmula matemática da função afim tal</p><p>que f(2) 5 5 e f(21) 5 4 e depois responda: Qual é a</p><p>taxa de variação dessa função?</p><p>46. As retas das funções afins f e g e da função constante</p><p>h determinam um triângulo.</p><p>a) Determine os vértices desse triângulo, saben-</p><p>do que as leis dessas funções são f(x) 5 x 1 3,</p><p>g(x) 5 2x 1 3 e h(x) 5 3.</p><p>b) Construa os três gráficos num mesmo sistema de</p><p>eixos.</p><p>47. A função f: ® → ® definida por f(x) 5 6x 2 5 é bijetiva.</p><p>a) Determine f21, função inversa de f.</p><p>b) Construa no mesmo sistema de eixos os gráficos</p><p>de f, f21 e y 5 x.</p><p>c) Que relação existe entre esses três gráficos?</p><p>48. Determine o ponto P:</p><p>y</p><p>x</p><p>�1�3</p><p>�2</p><p>2</p><p>P</p><p>0</p><p>Funções afins com a mesma taxa de variação</p><p>Vejamos os dois gráficos abaixo:</p><p>f(x) 5 2x</p><p>g(x) 5 2x 1 3</p><p>h(x) 5 2x 2 3</p><p>y</p><p>x</p><p>�3</p><p>3</p><p>0</p><p>f(x) � 2x</p><p>g(x) � 2x � 3</p><p>h(x) � 2x � 3</p><p>f(x) 5 23x</p><p>g(x) 5 23x 1 4</p><p>h(x) 5 23x 2 4</p><p>y</p><p>x</p><p>�4</p><p>4</p><p>0</p><p>h(x) � �3x � 4</p><p>g(x) � �3x � 4</p><p>f(x) � �3x</p><p>Para refletir</p><p>Dizer funções afins com a mesma taxa de</p><p>variação é equivalente a dizer equações da</p><p>reta com o mesmo coeficiente angular.</p><p>Para refletir</p><p>No gráfico acima, se f(a) 5 100, quanto</p><p>vale g(a)? E h(a)?</p><p>129capítulo 4 | Função afim</p><p>O gráfico da função afim f(x) 5 ax 1 b, com b  0, é o gráfico da função f(x) 5 ax, transladado para cima ou</p><p>para baixo, de acordo com o valor de b.</p><p>Se f: ® → ® é tal que f(x) 5 ax 1 b e tem como gráfico a reta r e g: ® → ® é tal que g(x) 5 a’x 1 b’ e tem como</p><p>gráfico a reta s, então:</p><p>• a 5 a’ e b 5 b’ ⇔ r e s são retas coincidentes</p><p>• a 5 a’ e b  b’ ⇔ r e s são retas paralelas</p><p>• a  a’ ⇔ r e s são retas concorrentes (têm um só ponto comum)</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) As retas de f(x) 5 9x 1 7 e g(x) 5 9x 1 7 são coincidentes.</p><p>2‚) As retas de f(x) 5 25x 1 2 e g(x) 5 25x 1 6 são paralelas.</p><p>3‚) As retas de f(x) 5 8x 2 1 e g(x) 5 4x 1 3 são concorrentes.</p><p>Vamos determinar a posição relativa das retas correspondentes às funções afins dadas. Se forem concorrentes,</p><p>vamos determinar o ponto de intersecção e construir o gráfico correspondente.</p><p>a) f(x) 5 3x 2 2 e g(x) 5 3x 2 7</p><p>As retas são paralelas (3 5 3 e 22  27).</p><p>b) f(x) 5 2x 2 9 e g(x) 5 24x 1 3</p><p>As retas são concorrentes (2  24). Nesse caso devemos descobrir o ponto (x, y) comum às duas retas. Para isso,</p><p>basta resolver o sistema:</p><p>y x</p><p>y x</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>2 9</p><p>4 3</p><p></p><p></p><p></p><p>� 2x 2 9 5 24x 1 3 � 6x 5 12 � x 5 2</p><p>Então, y 5 2(2) 2 9 5 25.</p><p>O ponto de intersecção é (2, 25).</p><p>Observe o gráfico abaixo.</p><p>y</p><p>x</p><p>�4</p><p>�5</p><p>�1</p><p>�2</p><p>�3</p><p>3 (0, 3)</p><p>(3, �3)</p><p>2</p><p>1</p><p>0 1 2 3 4</p><p>f(x) � 2x � 9</p><p>f(x) � �4x � 3</p><p>(2, �5)</p><p>Exercícios propostos</p><p>49. Qual é a posição relativa das retas, gráficos das se-</p><p>guintes funções afins?</p><p>a) f(x) 5 24x 1 1</p><p>g(x) 5 24x 1 3</p><p>b) f(x) 5 22x 1 5</p><p>g(x) 5 2x 1 5</p><p>c) f(x) 5 5x</p><p>g(x) 5 2x 2 6</p><p>50. Dadas as funções f(x) 5 4x e g(x) 5 2x 1 3:</p><p>a) construa no mesmo sistema de eixos as retas, grá-</p><p>ficos dessas funções;</p><p>b) descubra o ponto de intersecção dessas retas.</p><p>51. Seja f a função afim definida por f(x) 5 3x 2 2 e cujo</p><p>gráfico é a reta r. Determine a função afim g cuja reta</p><p>correspondente passa por (21, 2) e é paralela à reta r.</p><p>130 Matemática</p><p>13.  Estudo do sinal da função afim</p><p>Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maçãs. Como cada maçã será vendida a R$ 2,00,</p><p>ele deseja saber quantas maçãs devem ser vendidas para que haja lucro no final da venda.</p><p>Observe que o resultado final (receita menos despesa) é dado em função do número x de maçãs vendidas, e a</p><p>lei da função é f(x) 5 2x 2 300.</p><p>• Vendendo 150 maçãs não haverá lucro nem prejuízo.</p><p>Para x 5 150, temos f(x) 5 0.</p><p>• Vendendo mais de 150 maçãs haverá lucro.</p><p>Para x . 150, temos f(x) . 0.</p><p>• Vendendo menos de 150 maçãs haverá prejuízo.</p><p>Para x , 150, temos f(x) , 0.</p><p>Em situações como esta, dizemos que foi feito o estudo do sinal da função, que consiste em determinar os</p><p>valores de x do domínio para os quais f(x) 5 0, f(x) . 0 e f(x) , 0.</p><p>14.  Zero da função afim</p><p>O valor de x para o qual a função f(x) 5 ax 1 b se anula, ou seja, para o qual f(x) 5 0, denomina-se zero da</p><p>função afim.</p><p>Para determinar o zero de uma função afim basta resolver a equação ax 1 b 5 0.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) O zero da função f(x) 5 2x 1 5 é 2</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>2‚) O zero de f(x) 5 2x 2 4 é x 5 2.</p><p>3‚) O zero da função y 5 x 2 8 é 8.</p><p>Interpretação geométrica</p><p>Geometricamente, o zero da função afim f(x) 5 ax 1 b é a abscissa do ponto de intersecção do gráfico da</p><p>função com o eixo x.</p><p>Por exemplo, dada a função afim definida por f(x) 5 2x 2 5, temos:</p><p>2x 2 5 5 0 � 2x 5 5 � x 5</p><p>5</p><p>2</p><p>(zero da função)</p><p>x y</p><p>1 23</p><p>3 1</p><p>Logo, a reta dessa função intercepta o eixo x no ponto</p><p>5</p><p>2</p><p>0,  .</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>y</p><p>x</p><p>�1</p><p>�2</p><p>�3</p><p>0 1</p><p>1</p><p>2 3</p><p>5</p><p>2</p><p>, 0</p><p>f(x) � 2x�5</p><p>Para refletir</p><p>O que acontece com o valor</p><p>de f(x) quando x .</p><p>5</p><p>2</p><p>?</p><p>E quando x ,</p><p>5</p><p>2</p><p>?</p><p>131capítulo 4 | Função afim</p><p>15.  Estudo do sinal da função afim pela análise do gráfico</p><p>Vejamos agora como fazer o estudo do sinal da função analisando o gráfico.</p><p>a . 0 → função crescente a , 0 → função decrescente</p><p>y</p><p>x</p><p>(r, 0)</p><p>r é o zero da função</p><p>y</p><p>x</p><p>(r, 0)</p><p>r é o zero da função</p><p>x 5 r � f(x) 5 0 x 5 r � f(x) 5 0</p><p>x . r � f(x) . 0 x . r � f(x) , 0</p><p>x , r � f(x) , 0 x , r � f(x) . 0</p><p>Dispositivo prático: Dispositivo prático:</p><p>x</p><p>r</p><p>�</p><p>�</p><p>x</p><p>r</p><p>�</p><p>�</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Dada a função f: ® → ® tal que f(x) 5 24x 1 1.</p><p>a) Vamos determinar o zero dessa função f e interpretá-lo geometricamente.</p><p>24x 1 1 5 0 � 24x 5 21 � 4x 5 1 � x 5</p><p>1</p><p>4</p><p>(raiz de f)</p><p>Se</p><p>1</p><p>4</p><p>é o zero de f , então o gráfico de f intersecta o eixo x em</p><p>1</p><p>4</p><p>0,  .</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b) Vamos construir o gráfico de f .</p><p>y</p><p>x</p><p>�1</p><p>�2</p><p>�3</p><p>1</p><p>1</p><p>Para refletir</p><p>Localize no gráfico</p><p>o zero da função.</p><p>x y</p><p>0 1</p><p>1 23</p><p>c) Vamos fazer o estudo do sinal da função f.</p><p>f(x) 5 24x 1 1</p><p>a 5 24 , 0 (função decrescente)</p><p>x 5</p><p>1</p><p>4</p><p>� f(x) 5 0</p><p>x .</p><p>1</p><p>4</p><p>� f(x) , 0</p><p>x ,</p><p>1</p><p>4</p><p>� f(x) . 0</p><p>2‚) Vamos estudar o sinal da função f(x) 5 3x 2 1.</p><p>Zero da função: 3x 2 1 5 0 � 3x 5 1 � x 5</p><p>1</p><p>3</p><p>Sinal de a: a 5 3 . 0 � f(x) é crescente</p><p>f(x) 5 0 para x 5</p><p>1</p><p>3</p><p>f(x) . 0 para x .</p><p>1</p><p>3</p><p>f(x) , 0 para x ,</p><p>1</p><p>3</p><p>x�</p><p>�1</p><p>4</p><p>x�</p><p>� 1</p><p>3</p><p>Para refletir</p><p>Qual o significado dos sinais</p><p>+ e – nesse dispositivo?</p><p>132 Matemática</p><p>Exercícios propostos</p><p>52. Sem construir gráficos, descubra os pontos em que as</p><p>retas, gráficos das funções abaixo, cortam os eixos x e y:</p><p>a) f(x) 5 x 2 5 d) f(x) 5 22x</p><p>b) f(x) 5 2x 1 4 e) f(x) 5</p><p>1</p><p>2</p><p>x 2 1</p><p>c) f(x) 5 1 1 4x f ) f(x) 5 2 2</p><p>3</p><p>4</p><p>x</p><p>53. Estude a variação do sinal das seguintes funções afins:</p><p>a) f(x) 5 x 1 4 b) f(x) 5 22x 1 1</p><p>c) f(x) 5 3x 2 5 d) f(x) 5 21 1</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>54. Para que valores reais de x a função:</p><p>a) f(x) 5 1 2 x é positiva?</p><p>b) f(x) 5 3x 1 12 é negativa?</p><p>55. Determine os valores reais de x para que ambas as fun-</p><p>ções f(x) 5 22x 1 8 e g(x) 5 3x 2 6 sejam negativas.</p><p>56. Qual é o zero da função afim cujo gráfico, que é uma</p><p>reta, passa pelos pontos (2, 5) e (21, 6)?</p><p>16.  Inequações do 1‚ grau</p><p>Na resolução de inequações devemos usar adequadamente as propriedades das desigualdades entre números</p><p>reais e das desigualdades que envolvem adição e multiplicação de números reais. Algumas dessas propriedades são:</p><p>1·) Dados x, y  ®, vale uma e somente uma das possibilidades: x , y, x 5 y ou y , x.</p><p>2·) Se x , y e y , z, então x , z (transitiva).</p><p>3·) Se x , y, então, para qualquer z  ® tem-se x 1 z , y 1 z, ou, de outra forma, se x , y e x’ , y’,</p><p>então x 1 x’ , y 1 y’ (soma membro a membro).</p><p>4·) Se x , y e z é positivo, então xz , yz, ou, de outra forma, dados x, y, x’, y’ positivos, se x , y e x’ , y’, então</p><p>xx’ , yy’ (produto membro a membro).</p><p>5·) Se x , y e z é negativo, então xz . yz (quando multiplicamos os dois membros de uma desigualdade por um</p><p>número negativo, o sentido dessa desigualdade se inverte). Isso pode ser demonstrado assim:</p><p>O produto dos números positivos y 2 x e 2z é positivo, ou seja, (y 2 x)(2z) . 0.</p><p>Efetuando a multiplicação obtemos xz 2 yz . 0 e, assim, xz . yz.</p><p>6·) Se x  0, então x2 . 0 (exceto zero, todo quadrado é positivo).</p><p>7·) Se 0 , x , y, então 0 ,</p><p>1</p><p>y</p><p>,</p><p>1</p><p>x</p><p>(quanto maior for um número positivo,</p><p>menor será seu inverso).</p><p>Resolução de inequações</p><p>No ensino fundamental vimos como resolver inequações do 1‚ grau.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) 2x 2 5 . 0 em ®</p><p>2x . 5 � x .</p><p>5</p><p>2</p><p>S 5 { ® }x x</p><p>5</p><p>2</p><p>| .</p><p>Podemos também resolver essa inequação por meio do estudo do sinal da função afim.</p><p>2 5 0x</p><p>f x</p><p>( )</p><p>� ���� 2x 2 5 5 0 � 2x 5 5 � x 5 5</p><p>2</p><p>(zero)</p><p>x�</p><p>� 5</p><p>2</p><p>x . 5</p><p>2</p><p>� f(x) . 0 � x .</p><p>5</p><p>2</p><p>S 5 { ® }x x         | .</p><p>5</p><p>2</p><p>Para refletir</p><p>A notação x  y significa negar</p><p>x . y. Logo, x  y significa</p><p>x , y ou x 5 y.</p><p>Por exemplo, são verdadeiras as</p><p>afirmações 2  2 e 6  8.</p><p>133capítulo 4 | Função afim</p><p>2‚) Observe a seguinte inequação resolvida de dois modos:</p><p>• 3 2 2x  x 2 12 em ®</p><p>22x 2 x  212 2 3 � 23x  215 � 3x  15 � x </p><p>15</p><p>3</p><p>� x  5</p><p>S 5 {x  ® | x  5}</p><p>ou</p><p>• 3 2 2x  x 2 12 � 22x 2 x 1 3 1 12  0 � 23 15x</p><p>f x</p><p>( )</p><p>+� �� ��  0</p><p>23x 1 15 5 0 � 23x 5 215 � 3x 5 15 � x 5 5 (zero)</p><p>x  5 � f(x)  0</p><p>S 5 {x  ® | x  5}</p><p>Sistemas de inequações do 1‚ grau</p><p>Utilizamos o estudo do sinal para resolver sistemas de inequações do 1‚ grau em ®.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚)</p><p>3 4 0</p><p>5 0</p><p>x</p><p>x</p><p>� �</p><p>� �+</p><p></p><p></p><p></p><p>para x  ® (A solução do sistema será dada pela intersecção das soluções das duas inequações.)</p><p>3x 2 4 . 0 � S1 5 { ® }x x           | .</p><p>4</p><p>3</p><p>2x 1 5  0 � S2 5 {x  ® | x  5}</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>S1</p><p>S2</p><p>S</p><p>5</p><p>5</p><p>S1  S2 5 S 5 { ® }x x               |</p><p>4</p><p>3</p><p>5� � ou</p><p>4</p><p>3</p><p>5, </p><p></p><p></p><p></p><p>2‚) 23 x 1 2  5 para x  ®</p><p>Essas desigualdades equivalem ao sistema</p><p>x</p><p>x</p><p>+</p><p>+</p><p>2 3</p><p>2 5</p><p>� �</p><p>�</p><p></p><p></p><p></p><p>�</p><p>x</p><p>x</p><p>,+ 5 0</p><p>3 0</p><p>�</p><p>� �</p><p></p><p></p><p></p><p>que pode ser resolvido como no exem-</p><p>plo anterior.</p><p>Outra forma de resolução:</p><p>23  x 1 2  5 � 23 2 2  x  5 2 2 � 25  x  3</p><p>S 5 {x  ® | 25  x  3} ou [25, 3]</p><p>3‚) 22x 1 3  x 1 6 , 2x para x  ®</p><p>Devemos resolver o sistema</p><p>x x</p><p>x x</p><p>+ +</p><p>+</p><p>6 2 3</p><p>6 2</p><p>� �</p><p>�</p><p></p><p></p><p></p><p>� 3 3 0</p><p>6 0</p><p>x</p><p>x</p><p>.+</p><p>+</p><p>�</p><p>� �</p><p></p><p></p><p></p><p>S 5 {x  ® | x . 6}</p><p>x�</p><p>�5</p><p>Para refletir</p><p>Resolva o sistema do</p><p>exemplo 3.</p><p>134 Matemática</p><p>Inequações-produto e inequações-quociente</p><p>1·) Vamos resolver a inequação-produto (x 2 2)(1 2 2x)  0, para x  ®.</p><p>Primeiro, estudamos os sinais das funções separadamente. Então, se (x 2 2) for positivo, (1 2 2x) deverá ser</p><p>negativo. Se (x 2 2) for negativo, (1 2 2x) deverá ser positivo.</p><p>Podemos verificar isso estudando os sinais de cada função separadamente:</p><p>f(x) 5 x 2 2 g(x) 5 1 2 2x</p><p>x�</p><p>�1</p><p>2</p><p>precisam ocorrer simultaneamente</p><p>f(x)  0 para x  2 g(x)  0 para x </p><p>1</p><p>2</p><p>precisam ocorrer simultaneamente</p><p>f(x)  0 para x  2 g(x)  0 para x </p><p>1</p><p>2</p><p>Assim, para ocorrer x 2 2  0 e 1 2 2x  0, devemos ter x  2. Para ocorrer x 2 2  0 e 1 2 2x  0, devemos</p><p>ter x </p><p>1</p><p>2</p><p>. Portanto, S 5 { ® }x x ou x                    .| � �</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>Podemos determinar o conjunto solução usando um quadro dos sinais. Veja:</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>f(x) � g(x)</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>Logo, S 5 x x ou x      |              . ® � �</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2·) Vamos resolver a inequação-quociente x</p><p>x</p><p>+ 4</p><p>12</p><p> 0, com x  ® e x  1:</p><p>f(x) 5 x 1 4 g(x) 5 x 2 1</p><p>• zero da função: x 5 24 • zero da função: x 5 1</p><p>• sinal de a: a 5 1 . 0 • sinal de a: a 5 1 . 0</p><p>x�</p><p>� �4</p><p>x�</p><p>� 1</p><p>Quadro dos sinais:</p><p>�</p><p>� �</p><p>1</p><p>1</p><p>�4</p><p>�4</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>x�</p><p>� 2</p><p>Logo, S 5 {x  ® | x  24 ou x . 1}.</p><p>135capítulo 4 | Função afim</p><p>3·) Vamos explicitar o domínio da função f: ® → ® definida por f(x) 5 x</p><p>x</p><p>.</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>Sabemos que x</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>só é possível em ® se x</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p> 0 e x  1.</p><p>Portanto, vamos resolver a inequação</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p> 0:</p><p>g(x) 5 x 2 2 h(x) 5 1 2 x</p><p>• zero: x 5 2 • zero: x 5 1</p><p>• a 5 1 . 0 • a 5 21 , 0</p><p>x�</p><p>� 2</p><p>x�</p><p>�1</p><p>Quadro dos sinais:</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>g(x)</p><p>h(x)</p><p>g(x)</p><p>h(x)</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Logo, D 5 {x  ® | 1 , x  2}.</p><p>Exercícios propostos</p><p>57. Resolva em ® as seguintes inequações usando o pro-</p><p>cesso que julgar mais conveniente:</p><p>a) 3 2 4x . x 2 7</p><p>b)</p><p>x x</p><p>4</p><p>3 1</p><p>10</p><p>(   )</p><p>2</p><p>2</p><p> 1</p><p>58. Resolva os sistemas de inequações, em ®:</p><p>a) 1  x 1 1 , 5</p><p>b) 2x , x 1 4 , 3x</p><p>c)</p><p>5 2 4</p><p>5 1</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>x</p><p>x x</p><p></p><p></p><p></p><p>59. Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na</p><p>compra de certa mercadoria. Como vai vender cada</p><p>unidade por R$ 5,00, o lucro final será dado em função</p><p>das x unidades vendidas. Responda:</p><p>a) Qual a lei dessa função f?</p><p>b) Para que valores de x temos f(x) , 0? Como pode</p><p>ser interpretado esse caso?</p><p>c) Para que valor de x haverá um lucro de R$ 315,00?</p><p>d) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00?</p><p>e) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00</p><p>e R$ 180,00?</p><p>60. Resolva, em ®, as seguintes inequações:</p><p>a) (2x 1 1)(x 1 2)  0</p><p>b) (x 2 1)(2 2 x)(2x 1 4) , 0</p><p>61. Resolva, em IR, as seguintes inequações:</p><p>a)</p><p>2 3</p><p>1</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p> 0</p><p>b)</p><p>(     )(     )</p><p>(     )</p><p>x x</p><p>x</p><p>+ +1 4</p><p>22</p><p>. 0</p><p>62. Explicite o domínio D das seguintes funções:</p><p>a) f(x) 5 (     )(     )x x2 1 3 5+</p><p>b) f(x) 5</p><p>2 3</p><p>1</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>c) f(x) 5</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>5</p><p>63. Um rapaz, ao pesquisar na internet o preço de alguns</p><p>livros, encontrou os produtos que queria em duas</p><p>lojas virtuais distintas. O valor dos livros era o mesmo,</p><p>porém em cada loja o cálculo do valor do frete era</p><p>diferente. Na loja A, pagava-se um fixo de R$ 5,00 mais</p><p>R$ 3,00 por livro comprado. Na loja B pagava-se um</p><p>fixo de R$ 10,00 mais R$ 2,00 por livro.</p><p>a) Para comprar 4 livros, qual preço do frete era mais</p><p>barato: na loja A ou na loja B?</p><p>136 Matemática</p><p>b) Qual é a função que relaciona o preço do frete, em</p><p>reais, com o número de livros adquiridos em cada</p><p>uma das lojas?</p><p>c) Faça o gráfico das duas funções num mesmo plano</p><p>cartesiano e interprete o significado do ponto de</p><p>intersecção dessas duas retas, conforme o contexto</p><p>do enunciado.</p><p>64. Atividade em dupla</p><p>(Unicamp-SP) Três planos de telefonia celular são</p><p>apresentados na tabela abaixo:</p><p>Plano Custo fixo</p><p>mensal</p><p>Custo adicional</p><p>por minuto</p><p>A R$ 35,00 R$ 0,50</p><p>B R$ 20,00 R$ 0,80</p><p>C 0 R$ 1,20</p><p>a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que</p><p>utilize 25 minutos por mês?</p><p>b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano</p><p>A é mais vantajoso que os outros dois?</p><p>65. Atividade em dupla</p><p>(UFC-CE) Uma cidade é servida por duas empresas</p><p>de telefonia. A empresa X cobra, por mês, uma assi-</p><p>natura de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utiliza-</p><p>do. A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de</p><p>R$ 26,00 mais R$ 0,65 por minuto utilizado. A partir de</p><p>quantos minutos de utilização o plano da empresa X</p><p>passa a ser mais vantajoso para os clientes do que o</p><p>plano da empresa Y?</p><p>66. (EEM-SP) Uma empresa produz trufas de chocolate,</p><p>cujo custo de fabricação pode ser dividido em duas</p><p>partes: uma, independente da quantidade vendida,</p><p>de</p><p>R$ 1 500,00 mensais; outra, dependente da quan-</p><p>tidade fabricada, de R$ 0,50 por unidade.</p><p>Escreva a(s) expressão(ões) que permita(m) determinar</p><p>o número de trufas que devam ser vendidas num mês</p><p>para que a empresa não tenha prejuízo nesse mês,</p><p>sabendo-se que o preço de venda de cada unidade é</p><p>de R$ 1,50.</p><p>67. (Vunesp) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B,</p><p>têm fabricado, respectivamente, 3 000 e 1100 pares</p><p>de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica</p><p>A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares</p><p>por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a</p><p>produção em 290 pares por mês, a produção da fá-</p><p>brica B superará a produção de A a partir de:</p><p>a) março. d) setembro.</p><p>b) maio. e) novembro.</p><p>c) julho.</p><p>17.  Função afim e movimento uniforme</p><p>Consideremos um ponto que se movimenta sobre um eixo. Em cada instante t, sua posição é dada por S(t). Um mo-</p><p>vimento é chamado movimento uniforme quando o ponto se desloca sempre no mesmo sentido e, além disso, em tempos</p><p>iguais percorre espaços iguais. Logo, S é uma função afim dada por S(t) 5 vt 1 b, em que a constante v 5 S(t 1 1) 2 S(t),</p><p>espaço percorrido na unidade de tempo, chama-se velocidade do ponto móvel e b 5 S(0) é a posição inicial.</p><p>A posição do ponto no eixo é dada por S(t) 5 vt 1 b, mas o espaço (S) que ele percorreu é dado por S 5 vt.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Um motociclista percorre uma estrada movimentando-se de acordo com a função horária S(t) 5 100t 2 50, em</p><p>que S(t) representa sua posição (em km) e t representa o tempo (em h). Depois de quanto tempo o motociclista</p><p>passa pelo marco quilômetro zero (km 0)?</p><p>Para que o motociclista passe pelo marco km 0, temos que S(t) 5 0 km. Logo:</p><p>0 5 100t 2 50 � 100t 5 50 � t 5</p><p>50</p><p>100 � t 5 0,5 h</p><p>Interpretação:</p><p>A função S(t) 5 100t 2 50 é uma função afim do tipo S(t) 5 vt 1 S(0).</p><p>Quando t 5 0, temos S(0) 5 250 km, que representa a posição inicial que o motociclista ocupava no início do</p><p>movimento (estava 50 km antes do marco km 0). Ele movimentava-se com velocidade constante de 100 km/h</p><p>para a frente (velocidade positiva), isto é, v 5 100 km/h.</p><p>Para que ele chegue ao marco 0 km partindo do marco 250 km, ele precisa percorrer uma distância de 50 km.</p><p>Como se desloca com velocidade constante de 100 km/h, temos:</p><p>100 km</p><p>50 km</p><p>1 h</p><p>t</p><p>Assim, t 5 0,5 h.</p><p>137capítulo 4 | Função afim</p><p>Graficamente, temos:</p><p>0 0,5</p><p>Tempo em que ele passa pelo marco S = 0 km</p><p>1 1,5</p><p>t (h)</p><p>S (km)</p><p>50</p><p>�50</p><p>100</p><p>2‚) A tabela abaixo fornece a posição S(t), em km, ocupada por um veículo, em relação ao km 0 da estrada em que</p><p>se movimenta, para vários instantes t (em h).</p><p>CO</p><p>m</p><p>sT</p><p>O</p><p>CK</p><p>im</p><p>aG</p><p>es</p><p>/J</p><p>u</p><p>Pi</p><p>Te</p><p>ri</p><p>m</p><p>aG</p><p>es</p><p>t (h) 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0</p><p>S(t) (km) 50 100 150 200 250 300</p><p>a) Qual é a função horária que descreve a posição desse veículo em função do tempo?</p><p>Ao analisarmos a tabela, podemos perceber que a velocidade do veículo é constante, pois ele percorre 50 km</p><p>a cada 2 h, aumentando o espaço (velocidade positiva). Como v 5</p><p>S</p><p>t , temos v 5</p><p>50 km</p><p>2 h 5 25 km/h.</p><p>No início (t 5 0), o veículo ocupa a posição inicial S(0) 5 50 km.</p><p>Como a velocidade é constante (movimento uniforme), podemos descrever o movimento por uma função</p><p>afim S(t) 5 vt 1 S(0). Assim, S(t) 5 25t 1 50.</p><p>Para conferir basta substituir t por alguns valores da tabela e verificar se a posição S corresponde ao valor</p><p>calculado.</p><p>b) Em que instante o veículo ocupará a posição S 5 500 km?</p><p>Para encontrarmos o instante em que o veículo ocupa a posição S 5 500 km, fazemos:</p><p>S(t) 5 25t 1 50 � 500 5 25t 1 50 � 25t 5 450 � t 5</p><p>450</p><p>25 5 18 h</p><p>Logo, o veículo alcançará a posição S 5 500 km após 18 h do início do movimento.</p><p>Graficamente, temos:</p><p>S (km)</p><p>t (h)</p><p>50</p><p>100</p><p>150</p><p>200</p><p>250</p><p>300</p><p>350</p><p>400</p><p>450</p><p>500</p><p>550</p><p>600</p><p>0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34</p><p>O gráfico da função afim S(t) 5 vt 1 S(0) é uma reta que intersecta o eixo S em (0, S(0)) 5 (0, 50):</p><p>S(t) 5 25t 1 50. Prolongando a reta até a posição S 5 500 km, obtemos t 5 18 h.</p><p>138 Matemática</p><p>Exercícios propostos</p><p>68. Um ponto material percorre um trajeto retilíneo</p><p>com velocidade constante. A posição desse ponto</p><p>material no instante t0 5 0 é S0 5 100 m e, no instan-</p><p>te t 5 5,0 s, é S 5 400 m.</p><p>S (m)t0 � 0 t � 5,0 s</p><p>0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550</p><p>Nessas condições, determine:</p><p>a) a velocidade desse ponto material;</p><p>b) a função da posição em relação ao tempo;</p><p>c) a posição no instante t 5 10 s;</p><p>d) o instante em que a posição é S 5 1 000 m.</p><p>69. Analise o gráfico da posição (S) de um ponto material</p><p>dada em função do tempo (t) e determine:</p><p>S (m)</p><p>t (s)</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0</p><p>a) a velocidade desse ponto material;</p><p>b) a função do movimento desse ponto material;</p><p>c) a posição desse ponto material no instante t 5 3,0 s.</p><p>70. A função da posição em relação ao tempo do movimen-</p><p>to de um ponto material é S 5 50 2 10t. Determine:</p><p>a) a velocidade e a posição inicial desse ponto material.</p><p>b) o gráfico da posição (S) em função do tempo (t).</p><p>c) o gráfico da velocidade (v) em função do tempo (t).</p><p>18.  Proporcionalidade e função linear</p><p>Um motorista mantém seu carro numa rodovia a uma velocidade constante de 90 km/h.</p><p>a) Em quanto tempo ele percorrerá 225 km?</p><p>b) Quantos quilômetros ele percorrerá em 3,5 horas?</p><p>Essa é uma situação que envolve os conceitos de proporcionalidade e de função linear.</p><p>Proporcionalidade</p><p>Analisando a tabela abaixo, que representa a situação anterior, observe que:</p><p>a) quanto maior o tempo, maior será a distância percorrida;</p><p>b) se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor do tempo (t), então o valor correspondente da distância (d) fica dobrado,</p><p>triplicado, etc.</p><p>t (em horas)</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2 3 4 t</p><p>d (em km) 30 45 90 180 270 360 d 5 90t</p><p>Quando isso ocorre entre duas grandezas, dizemos que elas são proporcionais (ou diretamente proporcionais).</p><p>Logo, tempo e distância percorrida são grandezas proporcionais, quando se tem velocidade constante.</p><p>Linguagem matemática</p><p>Na linguagem matemática, essa noção de proporcionalidade pode ser assim expressa:</p><p>Duas grandezas são diretamente proporcionais se para cada valor x de uma delas corresponde um valor y bem</p><p>definido na outra (x → y), satisfazendo:</p><p>a) Quanto maior for x, maior será y, ou seja:</p><p>se x → y e x’ → y’, então x , x’ implica y , y’.</p><p>b) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x, então o valor correspondente de y será dobrado, triplicado, etc.,</p><p>ou seja:</p><p>se x → y, então nx → ny para todo n  n*.</p><p>A correspondência x → y que satisfaz essas duas condições chama-se proporcionalidade.</p><p>139Capítulo 4 | Função afim</p><p>Exemplos:</p><p>1‚)		Consideremos	r	e	s	retas	paralelas.	Dado	qualquer	triân	gulo	que	tenha	um	vértice	em	uma	dessas	retas	e	o	lado</p><p>oposto	contido	na	outra,	vamos	verificar	se	a	correspondência	x	(medida	desse	lado)	e	A	(área	da	região	trian-</p><p>gular)	é	uma	proporcionalidade.</p><p>A	correspondência	x	→	A	é	uma	proporcionalidade,	ou	seja,	quando	a	altura	relativa	a	um	lado	de	uma	região</p><p>triangular	é	fixada,	sua	área	(A)	é	proporcional	a	esse	lado	(x).</p><p>x</p><p>r</p><p>s</p><p>2x</p><p>h h</p><p>A 2A</p><p>As	duas	condições	da	proporcionalidade	estão	satisfeitas:	Quanto	maior	o	valor	de	x,	maior	será	o	valor	da	área,</p><p>e	dobrando-se,	triplicando-se,	etc.	x,	duplica-se,	triplica-se,	etc.	a	área	A.</p><p>2‚)		Ao	ser	aplicada	uma	quantia	de	dinheiro	x	em	uma	caderneta	de	poupança,	após	1	mês	é	obtido	um	montante	y.</p><p>Vamos	verificar	se	a	correspondência	x	→	y	é	uma	proporcionalidade,	isto	é,	se	o	montante	no	final	do	mês	é</p><p>proporcional	à	quantia	aplicada.</p><p>Podemos	notar	que	as	duas	condições	da	proporcionalidade	estão	satisfeitas:</p><p>a)	 Quanto	maior	a	quantia	investida,	maior	será	o	montante.</p><p>b)	 Ao	ser	dobrada,	triplicada,	etc.	a	quantia x,	duplicado,	triplicado,	etc.	será	o	montante.</p><p>Por	exemplo,	uma	aplicação	de	R$	1	000,00	que	rende	0,7%	ao	mês	dá	um	montante	de	R$	1	007,00	no	fim	de</p><p>um	mês:</p><p>Capital inicial</p><p>(C)</p><p>Juros</p><p>( j)</p><p>Montante</p><p>(M 5 C + j)</p><p>R$	1	000,00 R$	7,00 R$	1	007,00</p><p>R$	2		000,00 R$	14,00 R$	2		014,00</p><p>Observemos,	porém,	que	no	segundo	mês	calculamos</p><p>2 20)</p><p>c) (x 1 4y)(x 2 4y)</p><p>d) (5x 1 8)(5x 2 8)</p><p>4.	 Pratique um pouco mais os produtos notáveis vistos</p><p>até aqui:</p><p>a) (4x 2 9)2 c) (3a 1 8b)2</p><p>b) (5x 1 y)(5x 2 y) d) x   2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>12 Matemática</p><p>Exercício proposto</p><p>5.	Efetue:</p><p>a) (x 1 2)3</p><p>b) (a 2 4b)3</p><p>c) (1 2 10x)3</p><p>d) (x 1 y)3</p><p>2. Fatoração de expressões algébricas</p><p>Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em um produto.</p><p>Existem vários casos de fatoração que devem ser utilizados de acordo com as características da expressão</p><p>algébrica a ser fatorada.</p><p>1‚‚ caso de fatoração: colocação de um termo em evidência</p><p>Vamos fatorar 3a2 1 3ab.</p><p>3a é o fator comum às duas parcelas de 3a2 1 3ab. Assim:</p><p>3a2 1 3ab 5 3a(a 1 b)</p><p>forma fatorada</p><p>Em 4x 1 6, o 2 é o fator comum das duas parcelas. Então, 4x 1 6 5 2(2x 1 3).</p><p>Geometricamente, (a 1 b)3 indica o volume de um cubo com arestas que medem a 1 b. Esse cubo pode ser</p><p>dividido em: um cubo de arestas a (a3), três paralelepípedos de arestas a, a e b (3a2b), três paralelepípedos de</p><p>arestas a, b e b (3ab2) e um cubo de arestas b (b3).</p><p>ba</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>ba</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>Veja alguns exemplos:</p><p>• (x 1 3)3 5 x3 1 3 • x2 • 3 1 3 • x • 32 1 33 5 x3 1 9x2 1 27x 1 27</p><p>• (2a 1 b)3 5 (2a)3 1 3 • (2a)2 • b 1 3 • 2a • b2 1 b3 5 8a3 1 12a2b 1 6ab2 1 b3</p><p>Cubo de uma diferença indicada: (a 2 b)3</p><p>(a 2 b)3 5 (a 2 b) • (a 2 b)2 5 (a 2 b)(a2 2 2ab 1 b2) 5 a3 2 2a2b 1 ab2 2 a2b 1 2ab2 2 b3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3</p><p>Assim:</p><p>(a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3</p><p>Veja alguns exemplos:</p><p>• (x 2 4)3 5 x3 2 3 • x2 • 4 1 3 • x • 42 2 43 5 x3 2 12x2 1 48x 2 64</p><p>• (3x 2 y)3 5 (3x)3 2 3 • (3x)2 • y 1 3 • (3x) • y2 2 y3 5 27x3 2 27x2y 1 9xy2 2 y3</p><p>13Capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração</p><p>Exercício proposto</p><p>6.	 Fatore as expressões, colocando em evidência o fator</p><p>comum em cada uma delas:</p><p>a) 6x2y2 2 9x2y 1 15xy2</p><p>b) x(x 2 4) 1 6(x 2 4)</p><p>c) 2x2 1 4xy</p><p>d) 7a3 1 14ab</p><p>2‚‚ caso de fatoração: agrupamento</p><p>Analise com atenção a expressão algébrica de quatro termos ax + 2a + 5x + 10. Não existe um fator comum</p><p>aos quatro termos. Mas, agrupando-os de forma conveniente, podemos fazer a sua fatoração aplicando duas vezes</p><p>o 1‚ caso de fatoração. Veja:</p><p>ax + 2a + 5x + 10</p><p>a(x + 2) + 5(x + 2)</p><p>(x + 2) • (a + 5)</p><p>Para refletir</p><p>A fatoração de dois gru-</p><p>pos, separadamente, de-</p><p>ve “gerar” um fator co-</p><p>mum pa ra uma nova</p><p>fatoração.</p><p>Veja outros exemplos:</p><p>• ab 1 a 2 bx 2 x • a2 2 5a 1 a 2 5 • x3 2 2x2 1 x 1 x2y 2 2xy 1 y</p><p>a(b 1 1) 2 x(b 1 1) a(a 2 5) 1 1(a 2 5) x(x2 2 2x 1 1) 1 y(x2 2 2x 1 1)</p><p>(b 1 1)(a 2 x) (a 2 5)(a 1 1) (x2 2 2x 1 1)(x 1 y)</p><p>3‚‚ caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito</p><p>No estudo dos produtos notáveis você viu que o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois termos</p><p>nos dão trinômios como resultados. Por exemplo:</p><p>• (x 1 5)2 5 x2 1 10x 1 25 • (a 2 7)2 5 a2 2 14a 1 49</p><p>• (3x 1 10)2 5 9x2 1 60x 1 100 •	 (4x 2 9y)2 5 16x2 2 72xy 1 81y2</p><p>Cada um dos trinômios obtidos é conhecido por trinômio quadrado perfeito. O caminho inverso do que apare-</p><p>ce acima é a fatoração do trinômio. Veja:</p><p>• x2 1 10x 1 25 5 (x 1 5)2 • 16x2 2 72xy 1 81y2 5 (4x 2 9y)2</p><p>quadrado quadrado (4x)2 (9y)2</p><p>de x de 5 22 • (4x) • (9y)</p><p>o dobro</p><p>do produto</p><p>de x e 5</p><p>Exercícios propostos</p><p>7.	 Fatore as expressões seguintes usando a fatoração</p><p>por agrupamento:</p><p>a) 2x2 2 4x 1 3xy 2 6y</p><p>b) a2 2 a 2 ab 1 b</p><p>c) x2 1 xy 1 x 1 y</p><p>d) ab 1 3b 2 7a 2 21</p><p>8.	 Fatore a expressão algébrica</p><p>(3x 1 5)(x 2 2) 1 (3x 1 5)2.</p><p>14 Matemática</p><p>4‚‚ caso de fatoração: diferença de dois quadrados</p><p>Você já viu que o produto da soma pela diferença dos mesmos termos é um produto notável e que seu resul-</p><p>tado é igual à diferença entre o quadrado do 1‚ termo e o quadrado do 2‚ termo. Por exemplo:</p><p>• (x 1 8)(x 2 8) 5 x2 2 64 • (7x 1 y)(7x 2 y) 5 49x2 2 y2</p><p>• (5x 1 9)(5x 2 9) 5 25x2 2 81 • (10 1 a)(10 2 a) 5 100 2 a2</p><p>O caminho inverso do que aparece acima é a fatoração da diferença de dois quadrados. Veja:</p><p>• x2 2 64 5 (x 1 8)(x 2 8) • 25x2 2 81 5 (5x 1 9)(5x 2 9) • 100 2 a2 5 (10 1 a)(10 2 a)</p><p>quadrado quadrado de 8 (5x)2 92 102 a2</p><p>de x</p><p>Exercício proposto</p><p>9.	Fatore completamente:</p><p>a) x2 1 16x 1 64</p><p>b) 49x2 2 14x 1 1</p><p>c) 9x2 1 12xy 1 4y2</p><p>d) a2 2 2ab 1 b2</p><p>Exemplo:</p><p>** (Ibmec-SP) No bolso de uma pessoa havia X cédulas de Y reais e Y cédulas de X reais. Se esta pessoa colocar</p><p>neste bolso mais X cédulas de X reais e Y cédulas de Y reais, então esta pessoa terá no bolso:</p><p>a) (X 1 Y )2 reais. c) (X2 1 Y2) reais. e) (X2 1 Y2)2 reais.</p><p>b) (X 2 Y )2 reais. d) (X2 2 Y2) reais.</p><p>1. Lendo e compreendendo</p><p>a) O que é dado no problema?</p><p>São dadas as quantidades de cédulas de X reais e a quantidade de cédulas de Y reais.</p><p>b) O que se pede?</p><p>Pede-se que se estabeleça a quantidade de dinheiro que a pessoa tem no bolso.</p><p>2. Planejando a solução</p><p>Como sabemos a quantidade de cédulas de X e de Y reais que a pessoa tinha no bolso, basta multipli-</p><p>car a quantidade de cédulas pelo seu valor para ter o total de dinheiro. Depois, somaremos todos esses</p><p>valores e, se necessário, manipularemos a expressão obtida para chegar à resposta correta.</p><p>3. Executando o que foi planejado</p><p>Antes, havia no bolso X cédulas de Y reais, totalizando X ? Y reais;</p><p>e havia Y cédulas de X reais, totalizando mais X ? Y reais.</p><p>Assim, inicialmente, ela tinha XY 1 XY, ou seja, 2XY reais no bolso.</p><p>Depois, ela colocou mais X cédulas de X reais, totalizando X ? X, ou seja, X2 reais;</p><p>e colocou também Y cédulas de Y reais, totalizando mais Y ? Y, ou seja, Y2 reais.</p><p>Assim, ela terá no bolso X2 1 2XY 1 Y2.</p><p>4. Emitindo a resposta</p><p>Para chegar à resposta, é necessário fatorar a expressão inicialmente obtida. Devemos perceber então</p><p>que se trata de um trinômio quadrado perfeito:</p><p>X2 1 2XY 1 Y2 5 (X 1 Y)2</p><p>A resposta é o item a.</p><p>5. Ampliando o problema</p><p>Discussão	em	equipe</p><p>Troque ideias com seus colegas sobre como alterar o enunciado para que o resultado seja o item b das</p><p>alternativas.</p><p>ti</p><p>m</p><p>-t</p><p>im</p><p>p</p><p>o</p><p>r</p><p>ti</p><p>m</p><p>-t</p><p>im</p><p>15Capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração</p><p>5‚‚ caso de fatoração: soma de dois cubos</p><p>Veja o que acontece quando multiplicamos a soma de dois termos por um trinômio formado pelo quadrado</p><p>do 1‚ termo, menos o produto do 1‚ pelo 2‚ e mais o quadrado do 2‚ termo:</p><p>• (x 1 y)(x2 2 xy 1 y2) 5 x3 2 x2y 1 xy2 1 yx2 2 xy2 1 y3 5 x3 1 y3</p><p>cubo de x cubo de y</p><p>• (5x 1 2)(25x2 2 10x 1 4) 5 125x3 2 50x2 1 20x 1 50x2 2 20x 1 8 5 125x3 1 8</p><p>cubo de 5x cubo de 2</p><p>O caminho inverso do que aparece acima é mais um caso de fatoração (soma de dois cubos). Veja:</p><p>• x3 1 y3 5 (x 1 y)(x2 2 xy 1 y2) • 125x3 1 8 5 (5x 1 2)(25x2 2 10x 1 4)</p><p>cubo de x cubo de y (5x)3 23</p><p>6‚‚ caso de fatoração: diferença de dois cubos</p><p>O raciocínio é o mesmo do caso anterior:</p><p>• (x 2 y)(x2 1 xy 1 y2) 5 x3 1 x2y 1 xy2 2 yx2 2 xy2 2 y3 5 x3 2 y3</p><p>cubo de x cubo de y</p><p>• (3x 2 5)(9x2 1 15x 1 25) 5 27x3 1 45x2 1 75x 2 45x2 2 75x 2 125 5 27x3 2 125</p><p>(3x)3 53</p><p>Fazendo o caminho inverso temos o caso de fatoração para expressões que indicam a diferença de dois</p><p>cubos:</p><p>• x3 2 y3 5 (x 2 y)(x2 1 xy 1 y2) • 27x3 2 125 5 (3x 2 5)(9x2 1 15x 1 25)</p><p>cubo de x cubo de y (3x)3 53</p><p>Exercícios propostos</p><p>10. Escreva as diferenças como produto de uma soma por</p><p>uma diferença dos mesmos termos:</p><p>a) 9x2 2 16y2 c) x2 2</p><p>1</p><p>36</p><p>b) 4a2b2 2 9x2y2 d)</p><p>1</p><p>4</p><p>2 4a2b2</p><p>11. Fatore a expressão (3x 1 4)2 2 (2x 2 1)2.</p><p>12. Faça a fatoração das expressões abaixo:</p><p>a) 3x2 2 15x d) x2 1 40x 1 400</p><p>b) 9x2 2 25 e) y2 2 81</p><p>c) 5a2 2 a 1 10ab 2 2b f) 2a2 2 6ab 1 4a</p><p>Exercício proposto</p><p>13. Fatore as expressões que indicam soma de dois cubos:</p><p>a) a3 1 1 000</p><p>b) 27x3 1 1</p><p>c) 8x3 1 y3</p><p>d) 27 1 8a3b3</p><p>Exercício proposto</p><p>14. Faça a fatoração das diferenças entre dois cubos:</p><p>a) x3 2 64</p><p>b) 8a3 2 1</p><p>c) 27a3 2 125y3</p><p>d) 64 2 8x3y3</p><p>16 Matemática</p><p>• x4 2 81 5 (x2 1 9)(x2 2 9) 5 (x2 1 9)(x 1 3)(x 2 3)</p><p>• x2 2 y2 1 3x 1 3y 5 (x 1 y)(x 2 y 1 3)</p><p>(x 1 y)(x 2 y) 1 3(x 1 y)</p><p>• 3x2 2 75 5</p><p>0,7%	de	R$	1	007,00	(e	não	de	R$	1	000,00),	sendo	obtido</p><p>um	montante	de	R$	1	014,05:</p><p>Tempo</p><p>(em	meses) Capital Juros Montante</p><p>1 R$	1	000,00 R$	7,00 R$	1	007,00</p><p>2 R$	1	007,00 R$	7,05 R$	1	014,05</p><p>Conclusão:	Num	período	fixo,	o	retorno	é	proporcional	ao	capital	inicial	investido	mas	não	é	proporcional	ao</p><p>tempo	de	investimento.</p><p>Dobrando-se o</p><p>capital, dobra-se o montante</p><p>no final de um mês.</p><p>Exercícios propostos</p><p>71.		Sejam		a	medida	do	lado	e	P	o	perímetro	de	um</p><p>quadrado.	Verifique	se	a	correspondência	,	→	P	é	uma</p><p>proporcionalidade.</p><p>72.		Consideremos	x	a	medida	do	lado	e	A	a	área	de	uma</p><p>região	quadrada.	A	correspondência	x	→	A	é	uma</p><p>proporcionalidade?	Justifique.</p><p>73.		Se	x	é	o	volume	e	y	é	o	peso	de	uma	porção	de	um</p><p>líquido	homogêneo,	a	correspondência	x	→	y	é	uma</p><p>proporcionalidade?	Justifique.</p><p>74.		Consideremos	as	retas	r	e	s	paralelas.	Dado	qualquer</p><p>retângulo	que	tenha	dois	lados	contidos	nessas	retas,</p><p>vamos	chamar	de	x	a	medida	de	um	desses	lados	e	A</p><p>a	área	da	região	retangular.	Verifique	se	a	correspon-</p><p>dência	x	→	A	é	uma	proporcionalidade.</p><p>x</p><p>r</p><p>s</p><p>h A</p><p>Quando</p><p>se dobra o tempo do</p><p>investimento não se dobra o juro,</p><p>pois a cada mês aplica-se uma</p><p>quantia maior.</p><p>il</p><p>u</p><p>st</p><p>ra</p><p>çõ</p><p>es</p><p>: f</p><p>o</p><p>rm</p><p>at</p><p>o</p><p>c</p><p>o</p><p>m</p><p>u</p><p>n</p><p>ic</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>/</p><p>ar</p><p>q</p><p>u</p><p>iv</p><p>o</p><p>d</p><p>a</p><p>ed</p><p>it</p><p>o</p><p>ra</p><p>140 Matemática</p><p>Função linear</p><p>É	possível	provar	que,	se	uma	função	f:	®+	→	®+	é	uma	proporcionalidade,	então	f(x)	5	ax,	em	que	a	5	f(1),</p><p>para	todo	x	positivo.</p><p>Por	outro	lado,	já	vimos	que	a	função linear	f:	®	→	®	é	definida	por	f(x)	5	ax,	em	que	a		®	é	uma	constante.</p><p>Quando	a	.	0,	a	função	linear	f(x)	5	ax	transforma	um	número	real	positivo	x	no	número	positivo	ax.	Portanto,</p><p>define,	com	essa	restrição,	uma	proporcionalidade	f:	®+	→	®+.	O	coeficiente	a	chama-se	fator de proporcionalidade</p><p>ou	constante de proporcionalidade.</p><p>É	por	isso	que	dizemos	que	a	função	linear	é	o	modelo	matemático	para	os	problemas	de	proporcionalidade.</p><p>Gráfico</p><p>Já	vimos	também	que	o	gráfico	de	uma	função	linear	é	uma	reta	que	passa	pela	origem	(0,	0).</p><p>Vamos	representar	a	situação	da	introdução	do	item	18	(página	138)	por	um	gráfico:</p><p>d (em km)</p><p>t (em horas)</p><p>0</p><p>30</p><p>45</p><p>90</p><p>11</p><p>2</p><p>21</p><p>3</p><p>d � 90t ou f(t) � 90t</p><p>Observe	que:</p><p>f(1)	5	90		1	5	90 f(2)	5	180	5	2		f(1) f(3)	5	270	5	3		f(1) f(4)	5	360	5	4		f(1)</p><p>e	que	a	5	f(1)	5	90.	Nesse	caso,	a	5	90	é	o	fator	de	proporcionalidade.	Observe	que:</p><p>30	:	 1</p><p>3</p><p>5	90	 45	:	 1</p><p>2</p><p>5	90	 90	:	1	5	90	 180	:	2	5	90	 270	:	3	5	90	 360	:	4	5	90</p><p>Regra de três</p><p>Quando	temos	uma	proporcionalidade	f:	®+	→ ®+,	para	quaisquer	x1,	x2	com	f(x1)	5	y1	e	f(x2)	5	y2,	obtemos</p><p>y</p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>5	 y</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>5	a.	A	igualdade	 y</p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>5	 y</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>chama-se	proporção.	Ao	procedimento	que	permite,	conhecendo	três	dos</p><p>números	x1,	y1,	x2,	y2,	determinar	o	quarto	número	damos	o	nome	de	regra de três.</p><p>Usando	uma	regra	de	três	podemos	resolver	as	questões	do	item	18	(página	138).</p><p>a)	 Em	quanto	tempo	o	carro	percorrerá	225	km?</p><p>90</p><p>1</p><p>5	 225</p><p>x</p><p>⇒	x	5</p><p>1 225</p><p>90</p><p></p><p>5	2,5	horas</p><p>O	carro	percorrerá	225	km	em	2	horas	e	30	minutos.</p><p>b)	Quantos	quilômetros	ele	percorrerá	em	3,5	horas?</p><p>90</p><p>1</p><p>5	 x</p><p>3 5,</p><p>⇒	x	5</p><p>3 5 90</p><p>1</p><p>,    </p><p>5	315	km</p><p>Em	3,5	horas	o	carro	percorrerá	315	km.</p><p>Observação:	Grandezas	inversamente	proporcionais</p><p>Existem	também	grandezas	chamadas	de	inversamente	proporcionais,	pois,	quando	uma	aumenta,	a	outra	di-</p><p>minui	na	mesma	proporção,	e	vice-versa.	Por	exemplo,	se	uma	grandeza	dobrar,	a	inversamente	proporcional	a	ela</p><p>cai	à	metade.	Dizer	que	y	é	inversamente	proporcional	a	x	equivale	a	dizer	que	y	é	proporcional	a</p><p>1</p><p>x 	.	Exemplos:</p><p>•	 	Altura	e	base	de	uma	região	retangular	de	área	A	5	5	são	inversamente	proporcionais	(quanto	maior	a	base,</p><p>menor	a	altura).</p><p>•	 	Tempo	de	percurso	e	velocidade	de	um	móvel	que	percorre	um	trajeto	de	100	km	são	inversamente	proporcionais</p><p>(quanto	maior	a	velocidade,	menor	o	tempo	de	percurso).</p><p>•	 A	relação	entre	duas	grandezas	inversamente	proporcionais	não	é	descrita	por	uma	função	afim.</p><p>141Capítulo 4 | Função afim</p><p>Exercícios propostos</p><p>75.		Em	um	tanque	há	100	litros	de	água.	Ao	destampar-se</p><p>o	ralo,	escorrem	por	ele	x	litros	de	água	por	minuto,</p><p>esvaziando	o	tanque	em	t	minutos;	ou	seja,	para	cada</p><p>valor	de	x	corresponde	um	valor	de	t.</p><p>a)		Faça	uma	tabela	com	valores	para	as	grandezas	x</p><p>(litros/minutos)	e	t	(minutos).</p><p>b)		Escreva	o	produto	xt	para	todos	os	valores	x	e	t	e,</p><p>depois,	o	valor	de	t	em	função	de	x.</p><p>c)	 	Construa	o	gráfico	dessa	função	(x	e	t	só	podem</p><p>assumir	valores	reais	positivos).</p><p>d)		Essa	função	caracteriza	uma	proporcionalidade?</p><p>Direta	ou	inversa?</p><p>76.		A	distância	entre	duas	cidades	é	de	400	km.	O	tempo</p><p>gasto	para	um	veículo	percorrer	essa	distância	depen-</p><p>de	da	sua	velocidade	média.</p><p>a)		Faça	 uma	 tabela	 com	 valores	 para	 velocidade</p><p>(km/h)	e	tempo	(h).</p><p>b)	Construa	o	gráfico	com	os	valores	da	tabela.</p><p>c)	 	Verifique	se	essa	é	uma	função	com	proporciona-</p><p>lidade	direta	ou	inversa.</p><p>77.	Escreva	a	expressão	matemática	correspondente:</p><p>A	resistência	de	um	fio	condutor	é	diretamente	pro-</p><p>porcional	ao	seu	comprimento	e	inversamente	propor-</p><p>cional	à	área	de	sua	seção	reta	(resistência	elétrica).</p><p>78.		As	grandezas	X	e	Y	são	diretamente	proporcionais.	Se</p><p>X	sofre	um	acréscimo	de	10%,	o	que	ocorre	com	Y?</p><p>79.		As	grandezas	X	e	Y	são	inversamente	proporcionais.	Se</p><p>X	sofre	um	acréscimo	de	15%,	o	que	ocorre	com	Y?</p><p>80.		O	comprimento	C	de	uma	circunferência	é	dado	em</p><p>função	da	medida	D	do	diâmetro,	pois	C	5	p		D,	que</p><p>é	uma	função	linear.	Então	o	comprimento	C	é	pro-</p><p>porcional	à	medida	D	do	diâmetro.	Determine	o	coe-</p><p>ficiente	de	proporcionalidade.</p><p>81.		O	preço	de	venda	de	um	livro	é	de	R$	15,00	por	uni-</p><p>dade.	A	receita	total	obtida	pela	venda	desse	livro</p><p>pode	ser	calculada	pela	fórmula:</p><p>receita	total	5	preço	de	venda	por	unidade	vezes</p><p>quantidade	de	livros	vendidos.</p><p>a)		Indicando	por	x	a	quantidade	de	livros	vendidos,</p><p>escreva	a	lei	dessa	função.</p><p>b)	Essa	função	é	linear?</p><p>c)	 	A	receita	total	é	diretamente	proporcional	ao	nú-</p><p>mero	de	livros	vendidos?</p><p>Proporcionalidade e escalas</p><p>Um	arquiteto	ou	um	engenheiro,	antes	de	executarem	um	projeto	de	casa,	prédio,	usina,	etc.,	frequentemente</p><p>costumam	desenhar	plantas,	nas	quais	reproduzem	a	forma	que	essas	construções	vão	ter	na	realidade,	mas	em</p><p>dimensões	reduzidas.	Para	isso	utilizam	escalas.</p><p>Um	cartógrafo,	quando	traça	mapas	geográficos,	também	usa	escalas	para	representar	as	dimensões	de	um</p><p>país	ou	de	uma	cidade,	por	exemplo.</p><p>Tanto	em	plantas	como	em	mapas	aparecem	expressões	como	“escala	1	:	100”	ou	“escala	1	:	12	500”,	que	devem</p><p>ser	lidas	assim:	“escala	1	por	100”	ou	“escala	1	por	12	500”.	Veja:</p><p>MATEMÁTICA PNLEM - VOL. 1</p><p>Dante</p><p>04_m01_PNLEMdA</p><p>Fonte: Adaptado de www.guia4rodas.com.br (Acesso em 24 nov 2009).</p><p>AE</p><p>3 m1,5 m</p><p>4 m</p><p>3 m</p><p>Escala 1 : 100</p><p>O	que	isso	representa?</p><p>Dizemos	que	um	mapa	foi	feito	na	escala	1	:	12	500	quando	12	500	unidades	de	comprimento	(que	pode	ser	o</p><p>milímetro,	o	centímetro,	o	metro,	etc.)	do	real	foram	representadas,	no	mapa,	por	1	unidade	(milímetro,	centímetro,</p><p>metro,	etc.).	Se	escolhermos	como	unidade	de	comprimento	o	centímetro,	então	essa	escala	indica	que	cada	com-</p><p>primento	de	12	500	cm	foi	representado	por	1	cm.</p><p>Fonte: adaptado de www.guia4rodas.com.br</p><p>(acesso em 24/11/2009).</p><p>142 Matemática</p><p>Exercícios propostos</p><p>82.	Atividade em dupla</p><p>Converse	com	um	colega	sobre	a	seguinte	questão:</p><p>como	descobrir	a	distância	real	entre	duas	cidades</p><p>tendo	o	mapa	e	sua	escala?</p><p>83.		O	que	significa	dizer:	“esta	planta	de	casa	foi	construí-</p><p>da	na	escala	1	por	10	000”?</p><p>84.		No	mapa	da	figura	abaixo,	qual	é	a	distância	entre	as</p><p>cidades	A	e	B?</p><p>A</p><p>B</p><p>OCEANO</p><p>ATLÂNTICO</p><p>N</p><p>Fonte: adaptado de Atlas geográfico escolar.</p><p>rio de Janeiro: iBGe, 2007.</p><p>85.		Davi	e	Míriam	têm	mapas	do	Brasil	em	tamanhos	di-</p><p>ferentes.	Cada	um	mediu	em	seu	mapa	a	distância	de</p><p>Maceió	a	Recife,	em	linha	reta.</p><p>Exercícios propostos</p><p>86.		(UFRN)	A	academia	Fique	em	Forma	cobra	uma	taxa	de</p><p>inscrição	de	R$	80,00	e	uma	mensalidade	de</p><p>R$	50,00.</p><p>A	academia	Corpo	e	Saúde	cobra	uma	taxa	de	inscrição</p><p>de	R$	60,00	e	uma	mensalidade	de	R$	55,00.</p><p>a)		Determine	as	expressões	algébricas	das	funções</p><p>que	representam	os	gastos	acumulados	em	relação</p><p>aos	meses	de	aulas,	em	cada	academia.</p><p>b)		Qual	 academia	 oferece	 menor	 custo	 para	 uma</p><p>pessoa	que	pretende	“malhar”	durante	um	ano?</p><p>Justifique,	explicitando	seu	raciocínio.</p><p>87.		(Vunesp)	 Apresenta-</p><p>mos	a	seguir	o	gráfico</p><p>do	volume	do	álcool</p><p>em	 função	 de	 sua</p><p>massa,	a	uma	tempe-</p><p>ratura	fixa	de	0	°C.</p><p>Baseado	nos	dados	do</p><p>gráfico,	determine:</p><p>a)	a	lei	da	função	apresentada	no	gráfico;</p><p>b)	a	massa	(em	gramas)	de	30	cm3	de	álcool.</p><p>88.		(PUCC-SP)	Durante	um	percurso	de	x	km,	um	veículo</p><p>faz	5	paradas	de	10	minutos	cada	uma.	Se	a	velocida-</p><p>de	média	desse	veículo	em	movimento	é	de	60	km/h,</p><p>a	expressão	que	permite	calcular	o	tempo,	em	horas,</p><p>que	ele	leva	para	percorrer	os	x	km	é:</p><p>a)</p><p>6x	1	5</p><p>6</p><p>.	 c)</p><p>6x	1	5</p><p>120</p><p>.	 e)	 x	1</p><p>50</p><p>6</p><p>.</p><p>b)</p><p>x	1	50</p><p>60</p><p>.	 d)</p><p>x</p><p>60</p><p>1	50.</p><p>89.	Observe	a	sequência	de	figuras	formadas	com	palitos:</p><p>1 quadrado</p><p>4 palitos</p><p>2 quadrados</p><p>7 palitos</p><p>3 quadrados</p><p>10 palitos</p><p>Continuando	a	sequência	de	figuras,	determine:</p><p>a)		a	expressão	que	indica	o	número	P	de	palitos	em</p><p>função	do	número	x	de	quadrados;</p><p>b)		quantos	palitos	são	necessários	para	formar	9	qua-</p><p>drados;</p><p>c)	quantos	quadrados	são	formados	com	16	palitos;</p><p>d)	a	expressão	de	x	em	função	de	P.</p><p>19. Outras aplicações da função afim</p><p>Escala:	1	:	630	000	000</p><p>Volume (cm3)</p><p>Massa (g)</p><p>50</p><p>(0, 0) 40</p><p>(40, 50)</p><p>Davi	obteve	8	mm.</p><p>Míriam	obteve	2	cm.</p><p>a)		Qual	é	a	escala	no	mapa	de	Míriam?</p><p>b)		Qual	é	a	distância	real	de	Recife	a	João	Pessoa	em</p><p>linha	reta?</p><p>JOÃO</p><p>PESSOAPB</p><p>PE</p><p>AL</p><p>RECIFE</p><p>MACEIÓ</p><p>ESCALA</p><p>0 250</p><p>km</p><p>500 750</p><p>Maceió</p><p>Recife</p><p>João</p><p>Pessoa</p><p>PE</p><p>PB</p><p>AL OCEANO</p><p>ATLÂNTICO</p><p>N</p><p>Fonte:</p><p>adaptado</p><p>de Atlas</p><p>geográfico</p><p>escolar.</p><p>rio de</p><p>Janeiro:</p><p>iBGe, 2007.</p><p>143Capítulo 4 | Função afim</p><p>90.		(PUC-RJ)	Uma	encomenda,	para	ser	enviada	pelo	cor-</p><p>reio,	tem	um	custo	C	de	10	reais	para	um	peso	P	de</p><p>até	1	kg.	Para	cada	quilograma	adicional	ou	fração	de</p><p>quilograma	o	custo	aumenta	30	centavos.	A	função</p><p>que	representa	o	custo	de	uma	encomenda	de	peso</p><p>P	>	1	kg	é:</p><p>a)	C	5	10	1	3P.</p><p>b)	C	5	10P	1	0,3.</p><p>c)	C	5	10	1	0,3(P	2	1).</p><p>d)	C	5	9	1	3P.</p><p>e)	C	5	10P	2	7.</p><p>91.		Se	um	peso	estica	uma	mola,	o	comprimento	c	da</p><p>mola	está	relacionado	linearmente	com	o	valor	do</p><p>peso	p	(para	pequenos	pesos).	Suponha	que	uma</p><p>mola	em	repouso	tem	50	mm	de	comprimento,	e	um</p><p>peso	de	400	g	causa	um	estiramento	de	30	mm	na</p><p>mola.	Qual	é	a	relação	entre	p	e	c?</p><p>92.		Biólogos	descobriram	que	o	número	de	sons	emitidos</p><p>por	minuto	por	certa	espécie	de	grilos	está	relacionado</p><p>com	a	temperatura.	A	relação	é	quase	linear.	A	68	°F,</p><p>os	grilos	emitem	cerca	de	124	sons	por	minuto.	A	80	°F,</p><p>emitem	172	sons	por	minuto.	Encontre	a	equação	que</p><p>relaciona	a	temperatura	em	Fahrenheit	F	e	o	número</p><p>de	sons	n.</p><p>93.		(UFPE)	Sabendo	que	os	pontos	(2,	23)	e	(21,	6)	per-</p><p>tencem	ao	gráfico	da	função	f:	IR	→	IR	definida	por</p><p>f(x)	5	ax	1	b,	determine	o	valor	de	b	2	a.</p><p>94.		(UFMG)	Observe	o	gráfico,	em	que	o	segmento	AB	é</p><p>paralelo	ao	eixo	das	abscissas.</p><p>Absorção (mg/dia)</p><p>Ingestão (mg/dia)</p><p>A B</p><p>20</p><p>18</p><p>Esse	gráfico	representa	a	relação	entre	a	ingestão	de</p><p>certo	 composto,	 em	 mg/dia,	 e	 sua	 absorção	 pelo</p><p>organismo,	também	em	mg/dia.</p><p>A	única	afirmativa	falsa	relativa	ao	gráfico	é:</p><p>a)		Para	ingestões	de	até	20	mg/dia,	a	absorção	é	pro-</p><p>porcional	à	quantidade	ingerida.</p><p>b)		A	razão	entre	a	quantidade	absorvida	e	a	quanti-</p><p>dade	ingerida	é	constante.</p><p>c)	 	Para	a	ingestão	acima	de	20	mg/dia,	quanto	maior</p><p>a	ingestão,	menor	a	porcentagem	absorvida	do</p><p>composto	ingerido.</p><p>d)		A	 absorção	 resultante	 da	 ingestão	 de	 mais	 de</p><p>20	mg/dia	é	igual	à	absorção	resultante	da	ingestão</p><p>de	20	mg/dia.</p><p>95.		(Vunesp)	Uma	pessoa	obesa,	pesando	em	certo	mo-</p><p>mento	156	kg,	recolhe-se	a	um	spa	onde	se	anunciam</p><p>perdas	de	peso	de	até	2,5	kg	por	semana.	Suponha-</p><p>mos	que	isso	realmente	ocorra.	Nessas	condições:</p><p>a)		encontre	uma	fórmula	que	expresse	o	peso	mí-</p><p>nimo,	P,	que	essa	pessoa	poderá	atingir	após	n</p><p>semanas;</p><p>b)		calcule	o	número	mínimo	de	semanas	completas</p><p>que	a	pessoa	deverá	permanecer	no	spa	para	sair</p><p>de	lá	com	menos	de	120	kg	de	peso.</p><p>96.		(Ufam)	O	excesso	de	peso	pode	prejudicar	o	desem-</p><p>penho	de	um	atleta	profissional	em	corridas	de	longa</p><p>distância	como	a	maratona	(42,2	km),	a	meia	marato-</p><p>na	(21,1	km)	ou	uma	prova	de	10	km.	Para	saber	uma</p><p>aproximação	do	intervalo	de	tempo	a	mais	perdido</p><p>para	completar	uma	corrida	devido	ao	excesso	de</p><p>peso,	muitos	atletas	utilizam	os	dados	apresentados</p><p>na	tabela	e	no	gráfico:</p><p>Altura (m)</p><p>Peso ideal para atleta masculino</p><p>de ossatura grande, corredor de</p><p>longa distância (kg)</p><p>1,57 56,90</p><p>1,58 57,40</p><p>1,59 58,00</p><p>1,60 58,50</p><p>Tempo perdido (minutos)</p><p>Peso acima do ideal (kg)</p><p>Prova de 10 km</p><p>Meia maratona</p><p>Maratona</p><p>1</p><p>1,33</p><p>0,67</p><p>0,32</p><p>Usando	 essas	 informações,	 um	 atleta	 de	 ossatura</p><p>grande,	pesando	61,4	kg	e	com	altura	igual	a	1,58	m,</p><p>que	tenha	corrido	uma	prova	de	10	km,	pode	estimar</p><p>que,	em	condições	de	peso	ideal,	teria	melhorado	seu</p><p>tempo	na	prova	em:</p><p>a)	5,32	minutos.	 d)	0,96	minuto.</p><p>b)	2,68	minutos.	 e)	2,01	minutos.</p><p>c)	1,28	minuto.</p><p>Desafio em equipe</p><p>(Unicamp-SP)	A	troposfera,	que	é	a	primeira	camada</p><p>da	atmosfera,	estende-se	do	nível	do	mar	até	a	altitude</p><p>de	40	000	pés;	nela,	a	temperatura	diminui	2	°C	a	cada</p><p>aumento	de	1	000	pés	na	altitude.	Suponha	que	em	um</p><p>ponto	A,	situado	ao	nível	do	mar,	a	temperatura	seja</p><p>de	20	°C.	Pergunta-se:</p><p>a) 	Em	que	altitude,	acima	do	ponto	A,	a	temperatura	é</p><p>de	0	°C?</p><p>b) 	Qual	é	a	temperatura	a	35	000	pés	acima	do	mesmo</p><p>ponto	A?</p><p>144 Matemática</p><p>PNLEM – Matemática – Dante – Vol.1 – Cap. 04 – 3.ª Prova (FORMATO ☎ 2618-1009 • 3569-1878)</p><p>A MATEMÁTICA E AS PRÁTICAS SOCIAIS</p><p>Redução da população vai começar em 2030</p><p>Com base nos dados da última pesquisa por amostra de domicílios, o Ipea (Instituto de Pesquisas Econômicas</p><p>Aplicadas) alerta que o cenário para daqui a 20 anos é de um país envelhecido, com 204,3 milhões de moradores.</p><p>O mercado de trabalho sofrerá mudanças.</p><p>Um país cada vez mais envelhecido e, num futuro não muito distante, com redução de população. Essa</p><p>será a nova cara do Brasil a partir de 2030. A partir daí, o país se igualará ao Japão, com queda no número de</p><p>habitantes e predominância de adultos e idosos. Por isso a urgência na elaboração de políticas públicas que</p><p>favoreçam, cada vez mais, os brasileiros com idade superior a 45 anos. O alerta foi feito pelo diretor de estudos</p><p>sociais do Ipea, Jorge Abrahão de Castro, que apresentou uma análise sobre demografia e gênero a partir dos</p><p>dados da última Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (Pnad).</p><p>“Quatro são as políticas mais importantes para a população idosa: renda para compensar a perda da capa-</p><p>cidade laborativa (previdência e assistência social), saúde, cuidados de longa duração e a criação de um entorno</p><p>favorável (habitação, infraestrutura, acessibilidade)”, enumera o estudo divulgado pelo Ipea. Quanto à renda, a</p><p>Pnad mostrou que 76% dos idosos já recebem algum benefício. Graças à seguridade social, ressaltam os pesqui-</p><p>sadores do instituto, os brasileiros com mais de 60 anos já não dependem mais das famílias. Muitas vezes, são</p><p>até mesmo os principais provedores.</p><p>Queda acelerada</p><p>A pesquisadora Ana Amélia Camarano explica que a grande transformação que acontece no Brasil é a queda</p><p>acelerada da taxa de fecundidade, que decresce desde a década de 1960, quando a mulher chegava ao final da vida</p><p>reprodutiva com uma média de 6 filhos. Em 2007, a taxa era de apenas 1,8, e estava abaixo do nível de reposição</p><p>da população, calculado em 2,1. Esse seria o número de nascimentos por mulher necessário para que a população</p><p>não crescesse nem diminuísse. Desde 2004, porém, a fecundidade vem caindo em um ritmo muito rápido.</p><p>“Hoje, a população que mais cresce é a de adultos com mais de 30 anos. A faixa de até 29 está diminuindo.</p><p>Isso já</p><p>é uma estrutura envelhecida. O que podemos esperar a médio prazo é uma estrutura superenvelhecida,</p><p>com poucas pessoas com idade para trabalhar”, constata. Ela acredita que a desaceleração da taxa de fecundi-</p><p>dade tem relação com mudanças comportamentais da sociedade. “Há 30 anos, o papel social da mulher era o</p><p>casamento. Hoje, não casar nem ter filhos é uma opção da mulher, que valoriza mais a carreira”, aponta.</p><p>A Pnad comprova o que diz a pesquisadora. As estruturas familiares brasileiras passam por uma revolução,</p><p>de acordo com a análise dos dados. Apesar de a família formada por casal e filhos ainda predominar, ela está</p><p>diminuindo em detrimento das estruturas monoparentais, principalmente as chefiadas por mulheres.</p><p>Fonte:	Paloma oliveto, Correio Braziliense, 8/10/2008.</p><p>Expectativa de vida</p><p>Numa dada população, a expectativa de vida ao nascer, ou esperança de vida, é o número médio de anos que</p><p>um indivíduo pode esperar viver se submetido, desde o nascimento, às taxas de mortalidade observadas no ano de</p><p>observação. Essa taxa é calculada tendo em conta, além dos nascimentos e obituários, o acesso a saúde, educação,</p><p>cultura e lazer, bem como a violência, criminalidade, poluição e situação econômica do lugar em questão.</p><p>Expectativa de vida ao nascer – Brasil 1990-2008</p><p>78</p><p>E(</p><p>0)</p><p>76</p><p>74</p><p>72</p><p>70</p><p>68</p><p>66</p><p>64</p><p>62</p><p>1990 1995 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Ano2008</p><p>Fonte:	iBGe, tábuas completas de mortalidade.</p><p>145Capítulo 4 | Função afim</p><p>PNLEM – Matemática – Dante – Vol.1 – Cap. 04 – 3.ª Prova (FORMATO ☎ 2618-1009 • 3569-1878)</p><p>Expectativa de vida em alguns países</p><p>Países Idade</p><p>Japão 83</p><p>Suíça 82</p><p>Islândia 81</p><p>Hong	Kong	(China) 82</p><p>Austrália 81</p><p>Espanha 81</p><p>Suécia 81</p><p>Israel 81</p><p>Macau	(China) 81</p><p>França 81</p><p>Canadá 81</p><p>Itália 81</p><p>Nova	Zelândia 80</p><p>Noruega 80</p><p>Cingapura 80</p><p>Brasil 73</p><p>Serra	Leoa 48</p><p>Zâmbia 46</p><p>Moçambique 42</p><p>Suazilândia 46</p><p>Fonte: The World Bank, Data & Statistic, acesso em 9/11/2009.</p><p>CALCULANDO E COMPREENDENDO MELHOR O TEXTO</p><p>1. Em	2007	a	taxa	de	fecundidade	era	de	1,8.	Admitindo</p><p>que	a	taxa	continue	caindo	0,01	a	cada	ano	durante</p><p>os	próximos	10	anos,	qual	será	a	taxa	de	fecundidade</p><p>em	2017?</p><p>2. Considere	que	a	expectativa	de	vida	do	brasileiro	aumen-</p><p>te	linearmente.	Se	no	ano	2000	a	expectativa	de	vida	era</p><p>de	70	anos	e	em	2007	era	de	73	anos,	o	que	se	pode</p><p>esperar	a	respeito	da	expectativa	de	vida	em	2020?</p><p>3. Supondo	que	não	haja	melhora	na	expectativa	de</p><p>vida	dos	japoneses,	em	que	ano	o	Brasil	alcançará	o</p><p>Japão	nesse	quesito	se	mantiver	o	aumento	linear</p><p>igual	ao	da	questão	2?</p><p>4. O	fumo	é	um	dos	principais	fatores	que	diminui	a</p><p>expectativa	de	vida.	Cada	cigarro	fumado	pode	dimi-</p><p>nuir	em	10	minutos	a	vida	de	um	indivíduo.	Com	o</p><p>auxílio	de	uma	calculadora,	determine	qual	a	dimi-</p><p>nuição	da	expectativa	de	vida	de	um	fumante	que</p><p>fuma	20	cigarros	por	dia	durante	36	anos.</p><p>PESQUISANDO E DISCUTINDO</p><p>5. Pesquise	e	discuta	com	seus	colegas:</p><p>a)		Por	que	a	taxa	de	fecundidade	de	2,1	é	necessária</p><p>para	a	reposição	da	população?</p><p>b)		O	que	acontece	geralmente	com	a	taxa	de	fecun-</p><p>didade	de	países	menos	desenvolvidos?</p><p>c)	 	Quais	hábitos	podem	e	devem	ser	praticados	para</p><p>se	ter	uma	vida	mais	longa	e	saudável?</p><p>VEJA MAIS SOBRE O ASSUNTO</p><p>Procure	mais	 informações	em	 jornais,	 revistas	e	nos</p><p>sites	 www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/noti-</p><p>cia_visualiza.php?id_noticia5266&id_pagina51,	 www.</p><p>pnud.org.br/idh/	,	http://veja.abril.com.br/noticia/saude/</p><p>descontracao-segredos-longevidade-478409.shtml,</p><p>www.ipea.gov.br/003/00301009.jsp?ttCD_CHAVE56407	e</p><p>www.tc.df.gov.br/portal/index.php?option5com_content</p><p>&task5view&id5968&Itemid5123.</p><p>SWITZERLAND</p><p>AUSTRALIA</p><p>SWEDEN</p><p>ISRAEL</p><p>CHINA</p><p>FRANCE</p><p>CANADA</p><p>ITALIA</p><p>NEW ZEALAND</p><p>CHINA COMMUNISTA</p><p>146 Matemática</p><p>>Atividades adicionais</p><p>ATENÇÃO!</p><p>AS	QUESTÕES	DE	VESTIBULAR	FORAM</p><p>TRANSCRITAS	LITERALMENTE.	EMBORA	EM	ALGUMAS</p><p>APAREÇA:	“ASSINALE”,	“INDIQUE”,	ETC.,</p><p>NÃO ESCREVA NO LIVRO.</p><p>TODAS	AS	RESPOSTAS	DEVEM	SER	DADAS	NO	CADERNO.</p><p>A	seguir,	separadas	por	regiões	geográficas,	relaciona-</p><p>mos	algumas	questões	de	vestibular	que	envolvem	o	con-</p><p>teúdo	deste	capítulo.</p><p>Região Norte</p><p>1.		(Uepa)	O	uso	do	petróleo	como	fonte	energética	re-</p><p>presenta	uma	das	maiores	causas	de	poluição	do	ar.</p><p>Sua	queima	ocasiona	a	formação	de	gases	responsá-</p><p>veis	pelo	efeito	estufa,	que	favorece	o	aquecimento</p><p>global.	O	Instituto	Krupa	(1997),	em	suas	pesquisas,</p><p>registrou	a	presença	desses	gases,	juntamente	com</p><p>suas	respectivas	contribuições	percentuais	ao	efeito</p><p>estufa,	segundo	a	tabela	abaixo:</p><p>Gases CO2 Ozônio CFCs</p><p>Óxido</p><p>nitroso</p><p>Metano</p><p>Percentuais (%) 60 8 12 5 15</p><p>Diversas	 alternativas	 estão	 sendo	 testadas	 como</p><p>combustíveis	em	substituição	ao	petróleo,	que	se</p><p>acumulou	no	subsolo	há	milhares	de	anos	e	que,	num</p><p>período	não	muito	distante,	se	esgotará.	Uma	dessas</p><p>alternativas	está	na	utilização	dos	biocombustíveis,</p><p>obtidos	 de	 plantas	 que	 produzem	 álcool	 ou	 de</p><p>palmeiras	que	produzem	o	óleo	e	reduzem	o	efeito</p><p>estufa.	A	cana-de-açúcar	é	uma	das	plantas	promisso-</p><p>ras	para	a	produção	desses	combustíveis,	principal-</p><p>mente	 no	 Brasil,	 devido	 à	 área	 de	 4	 milhões	 de</p><p>hectares	 ocupada	 em	 terras	 agriculturáveis,	 re-</p><p>presentando	cerca	de	8%	do	território	brasileiro.	Essa</p><p>fartura	ocasionou	a	 implantação,	nos	anos	80,	do</p><p>objeto	 Proálcool,	 gerando	 a	 fabricação	 de	 carros</p><p>movidos	 também	 a	 álcool.	 Atualmente,	 nossas</p><p>montadoras	já	fabricam	os	carros	flex	(movidos	aos</p><p>dois	combustíveis:	gasolina	e	álcool).</p><p>Numa	concessionária,	o	departamento	de	vendas</p><p>procurou	relacionar	linearmente	a	quantidade	x	de</p><p>carros	a	álcool	vendidos	com	o	preço	y	de	cada	um.</p><p>Para	tanto,	verificou	que:	quando	o	carro	a	álcool	era</p><p>oferecido	a	R$	25	000,00,	nenhum	era	vendido,	po-</p><p>rém,	quando	o	preço	passava	a	ser	de	R$ 20	000,00,</p><p>10	carros	a	álcool	eram	vendidos.	Nessas	condições,</p><p>a	relação	encontrada	entre	x	e	y	foi:</p><p>a)	x	1	500y	1	50	000	5	0.</p><p>b)	500x	2	2y	2	50	000	5	0.</p><p>c)	500x	1	y	2	25	000	5	0.</p><p>d)	x	1	500y	2	25	000	5	0.</p><p>e)	x	1	2y	2	50	000	5	0.</p><p>2.		(Ufam)	 Qual	 das	 representações	 gráficas	 abaixo</p><p>melhor	representa	a	aplicação	f	:	Ω	→	®	definida	por</p><p>f(x)	5	x	2	2?</p><p>a)	 y</p><p>x2</p><p>2</p><p>d)	 y</p><p>x2</p><p>�2</p><p>b)	 y</p><p>x2</p><p>�2</p><p>e)	 y</p><p>x2</p><p>2</p><p>c)	 y</p><p>x2</p><p>2</p><p>3.		(Ufac)	Um	agiota	empresta	R$	500,00	a	uma	taxa	de</p><p>8%	ao	mês,	a	juros	simples.	A	função	J(t)	que	dá	o</p><p>valor	dos	juros	no	tempo	t,	é:</p><p>a)	J(t)	5	5t.	 d)	J(t)	5	40t.</p><p>b)	J(t)	5	100	1	7,5	t.	 e)	J(t)	5	500	1	40t.</p><p>c)	 J(t)	5	150	1	5t.</p><p>Região Nordeste</p><p>4.		(UFPB/PSS)	Considere	a	função	invertível	f:	IR	→	 IR</p><p>definida	por	f(x)	5	2x	1	b,	onde	b	é	uma	constante.</p><p>Sendo	f 21	a	sua	inversa,	qual	o	valor	de	b,	sabendo</p><p>que	o	gráfico	de	f 21	passa	pelo	ponto	A(1,	22)?</p><p>a)	22	 	 	 b) 21	 	 	 c) 2	 	 	 d) 3	 	 	 e) 5</p><p>5.		(Uece)	Se	f:	®	→	®	é	a	função	dada	por	f(x)	5	100x	2	5,</p><p>então	o	valor	de</p><p>f(1025)	2	f(105)</p><p>1025	2	105 	é:</p><p>a)	1021.	 	 	 b) 1.	 	 	 c) 10.	 	 	 d) 102.</p><p>6.		(UFC-CE)	O	conjunto	solução,	nos	números	reais,	da</p><p>inequação</p><p>1	2	x</p><p>1	1	x</p><p>.	21	é	igual	a:</p><p>a)	{x		®;	x	.	21}.	 d)	{x		®;	x	.	2}.</p><p>b)	{x		®;	x	.	0}.	 e)	{x		®;	x	.	3}.</p><p>c)	 {x		®;	x	.	1}.</p><p>147Capítulo 4 | Função afim</p><p>Região Centro-Oeste</p><p>7.		(UEG-GO)	Em	uma	fábrica,	o	custo	de	produção	de</p><p>500	unidades	de	camisetas	é	de	R$	2	700,00,	enquan-</p><p>to	 o	 custo	 para	 produzir	 1	000	 unidades	 é	 de</p><p>R$	3	000,00.	Sabendo	que	o	custo	das	camisetas	é</p><p>dado	em	função	do	número	produzido	através	da	ex-</p><p>pressão	c(x)	5	qx	1	b,	em	que	x	é	a	quantidade	pro-</p><p>duzida	e	b	é	o	custo	fixo,	determine:</p><p>a)	os	valores	de	b	e	de	q;</p><p>b)	o	custo	de	produção	de	800	camisetas.</p><p>8.		(UFG-GO)	A	função,	definida	para	todo	número	real</p><p>x,	cujo	gráfico	é:</p><p>6</p><p>5</p><p>5 10</p><p>4</p><p>1</p><p>tem	a	seguinte	lei	de	formação:</p><p>a)	f(x)	5</p><p>2</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>x x</p><p>x x</p><p>,</p><p>,</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>4 5</p><p>9 5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b)	f(x)	5</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>2</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>x x</p><p>x x</p><p>,</p><p>,</p><p>4 5</p><p>9 5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>c)	 f(x)	5</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>4</p><p>x x</p><p>x x</p><p>,</p><p>,</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>4 5</p><p>9 5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>d)	f(x)</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>x x</p><p>x x</p><p>,</p><p>,</p><p>� �</p><p>� �</p><p>4 5</p><p>9 5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>e)	f(x)	5</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>4</p><p>x x</p><p>x x</p><p>,</p><p>,</p><p>� �</p><p>� �</p><p>4 5</p><p>9 5</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Região Sudeste</p><p>9.		(UFMG)	Em	2000,	a	porcentagem	de	indivíduos	brancos</p><p>na	população	dos	Estados	Unidos	era	de	70%	e	outras</p><p>etnias	—	latinos,	negros,	asiáticos	e	outros	—	constituíam</p><p>os	30%	restantes.	Projeções	do	órgão	do	governo	norte-</p><p>-americano	encarregado	do	censo	indicam	que,	em	2020,</p><p>a	porcentagem	de	brancos	deverá	ser	de	62%.</p><p>Fonte:	Newsweek International,	29	de	abr.	2004.</p><p>Admite-se	que	essas	porcentagens	variam	linearmente</p><p>com	o	tempo.</p><p>Com	base	nessas	informações,	é	correto	afirmar	que</p><p>os	 brancos	 serão	 a	 minoria	 na	 população	 norte-</p><p>-americana	a	partir	de:</p><p>a)	 2050.	 	 b)	 2060.	 	 c)	 2070.	 	 d)	 2040.</p><p>10.		(Ufes)	O	banco	Mutreta	&	Cambalacho	cobra	uma	ta-</p><p>rifa	para	manutenção	de	conta	(TMC)	da	seguinte	for-</p><p>ma:	uma	taxa	de	R$	10,00	mensais	e	mais	uma	taxa	de</p><p>R$	0,15	por	cheque	emitido.	O	banco	Dakah	Tom	Ma-</p><p>lah	cobra	de	TMC	uma	taxa	de	R$	20,00	mensais	e	mais</p><p>uma	taxa	de	R$	0,12	por	cheque	emitido.	O	Sr.	Zé	Dou-</p><p>lar	é	correntista	dos	dois	bancos	e	emite,	mensalmen-</p><p>te,	20	cheques	de	cada	banco.	A	soma	das	TMCs,	em</p><p>reais,	pagas	mensalmente	por	ele	aos	bancos	é:</p><p>a)	10,15.	 b) 20,12.	 c) 30,27.	 d) 35,40.	 e) 50,27.</p><p>Região Sul</p><p>11.		(UEL-PR)	Um	camponês	adquire	um	moinho	ao	preço</p><p>de	R$	860,00.	Com	o	passar	do	tempo,	ocorre	uma	de-</p><p>preciação	linear	no	preço	desse	equipamento.	Conside-</p><p>re	que,	em	6	anos,	o	preço	do	moinho	será	de	R$	500,00.</p><p>Com	base	nessas	informações	é	correto	afirmar:</p><p>a)		Em	três	anos,	o	moinho	valerá	50%	do	preço	de</p><p>compra.</p><p>b)		Em	nove	anos,	o	preço	do	moinho	será	múltiplo</p><p>de	9.</p><p>c)	 	É	necessário	um	investimento	maior	que	R$	450,00</p><p>para	comprar	esse	equipamento	após	sete	anos.</p><p>d)		Serão	necessários	dez	anos	para	que	o	valor	desse</p><p>equipamento	seja	inferior	a	R$	200,00.</p><p>e)		O	moinho	terá	o	valor	de	venda	ainda	que	tenham</p><p>decorrido	treze	anos.</p><p>12.		(UFSC)	Dois	líquidos	diferentes	encontram-se	em	re-</p><p>cipientes	idênticos	e	têm	taxas	de	evaporação	cons-</p><p>tantes.	O	líquido	I	encontra-se	inicialmente	em	um</p><p>nível	de	100	mm	e	evapora-se	completamente	no</p><p>quadragésimo	dia.	O	líquido	II,	inicialmente	com	nível</p><p>80	mm,	evapora-se	completamente	no	quadragésimo</p><p>oitavo	dia.	Determine,	antes	da	evaporação	comple-</p><p>ta	de	ambos,	ao	final	de	que	dia	os	líquidos	terão	o</p><p>mesmo	nível	(em	mm)	nesses	mesmos	recipientes.</p><p>148 Matemática</p><p>Parte da montanha-russa principal do parque de</p><p>diversões Hopi Hari, em Vinhedo, São Paulo.</p><p>Nos parques de diversão, a mon tanha-russa é</p><p>um brin que do que chama a atenção não só</p><p>por seu tamanho, mas também pela sen sação</p><p>de perigo, que para uns é divertida e para ou tros</p><p>aterrorizante. Em sua forma carac te rís tica</p><p>apresenta aclives e declives que resultam em</p><p>arcos de vários tipos. Originárias da Rússia</p><p>(séc. XV e XVI), no início eram compostas de</p><p>rampas de gelo sus tentadas por estruturas</p><p>de madeira. Com o tempo, foram aperfeiçoadas</p><p>e hoje podem ser encontradas em todo o mun-</p><p>do, apre sentando, quase sempre, estrutura me-</p><p>tálica.</p><p>Uma montanha-russa geral mente é projetada</p><p>para dar a sensação de de safiar a lei da gravidade.</p><p>Por isso, seus projetistas estudam a relação en tre</p><p>a energia e a altura de um corpo que nela viaja.</p><p>Para tanto, é necessário co nhecer muito bem os</p><p>efeitos que a incli nação, a massa e a altura causam</p><p>no carro que a percorre. A inclinação de pende</p><p>da forma da curva, que pode ser a do arco de uma</p><p>parábola, como na foto abaixo.</p><p>capítulo 5</p><p>FunçÃO quadrática</p><p>ANdRE PENNER/EdItORA AbRIl</p><p>149capítulo 5 | Função quadrática</p><p>A parábola aparece como padrão de comportamento de muitos fenô me nos, como, por exemplo,</p><p>a trajetória de um projétil ao ser lançado, a linha des crita pela água numa fonte e a estru tura que susten-</p><p>ta o farol de um auto móvel. As antenas parabólicas, por seu próprio nome, sugerem a aplicação do</p><p>formato da parábola na sua estrutura. de fato, basta imaginarmos uma curva em forma de parábola</p><p>girando em torno de um eixo. Seu funcionamento se apoia no seguinte: um satélite arti ficial, colocado</p><p>em uma órbita geoesta cionária, emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, formando um feixe de</p><p>raios. Estes, ao atingirem a antena de formato parabólico, são refletidos para um único ponto, chamado</p><p>foco, que é um componente de parábola.</p><p>A função quadrática expressa alge bricamente o comportamento dos pon tos do gráfico que des-</p><p>crevem uma parábola e será objeto de estudo deste capítulo.</p><p>1. Existem modelos de montanha-russa bastante sofisticados: há os mais radicais, os que têm trecho co-</p><p>berto, os que são exageradamente longos. Pesquise esses modelos e identifique neles curvas em forma</p><p>de parábola.</p><p>2.	 Observe a sequência de figuras:</p><p>1a f igura 2a f igura 3a f igura 4a f igura</p><p>e assim por diante...</p><p>a) Que lugar ocupa a figura que tem 32 quadradinhos verdes? E a que tem 121 quadradinhos no total?</p><p>b) Expresse o enésimo termo (termo de ordem n) dessa se quência em função do número de quadradinhos</p><p>brancos (indique-os por b).</p><p>>atividades</p><p>ATENÇÃO! NÃO	ESCREVA	NO	LIVRO.</p><p>150 Matemática</p><p>1.	 Introdução</p><p>Os diretores de um centro esportivo desejam cercar com tela de alambrado	o espaço em volta de uma quadra</p><p>de basquete retangular. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as</p><p>dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível.</p><p>A B</p><p>D C</p><p>x x</p><p>100 � x</p><p>100 � x</p><p>Realidade Modelo matemático</p><p>Podemos ilustrar o problema com o retângulo ABCD, com dimensões x por 100 2 x, pois o perímetro é de 200 m.</p><p>Observe que a área do terreno a cercar é dada em função da medida x, ou seja:</p><p>f(x) 5 (100 2 x)x 5 100x 2 x2 ou f(x) 5 2x2 1 100x → lei da função</p><p>Esse é um caso particular de função quadrática. A situação-problema que desencadeou essa função quadrática</p><p>será resolvida adiante.</p><p>2.	 Definição	de	função	quadrática</p><p>Uma função f: ® → ® chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a  0, tal que</p><p>f(x) 5 ax2 1 bx 1 c para todo x  ®.</p><p>f: ® → ®</p><p>x → ax2 1 bx 1 c</p><p>Vamos identificar a função quadrática com o trinômio do 2‚ grau a ela associado e a escreveremos simples-</p><p>mente como f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) f(x) 5 2x2 1 100x, em que a 5 21, b 5 100 e c 5 0 4‚) f(x) 5 x2 2 4, em que a 5 1, b 5 0 e c 5 24</p><p>2‚) f(x) 5 3x2 2 2x 1 1, em que a 5 3, b 5 22 e c 5 1 5‚) f(x) 5 20x2, em que a 5 20, b 5 0 e c 5 0.</p><p>3‚) f(x) 5 24x2 1 4x 2 1, em que a 5 24, b 5 4 e c 5 21</p><p>Observe que não são funções quadráticas:</p><p>• f(x) 5 2x • f(x) 5 2x • f(x) 5 x3 1 2x2 1 x 1 1</p><p>Para	refletir</p><p>Por que essas três funções</p><p>não são quadráticas?</p><p>IA</p><p>RA</p><p>V</p><p>EN</p><p>AN</p><p>ZI</p><p>/K</p><p>IN</p><p>O</p><p>.C</p><p>O</p><p>M</p><p>.b</p><p>R</p><p>Exercícios propostos</p><p>1. Quais das seguintes funções são quadráticas?</p><p>a) f(x) 5 2x2 d) f(x) 5 x2 1 x</p><p>b) f(x) 5</p><p>2</p><p>2x</p><p>e) f(x) 5 x(x 2 1)(x 2 2)</p><p>c) f(x) 5 2x 1 1 f) f(x) 5 3x(x 2 1)</p><p>2. Para que valores de t as seguintes funções são qua-</p><p>dráticas?</p><p>a) f(x) 5 tx2 1 2x 1 5 d) f(x) 5</p><p>1</p><p>t</p><p>x2 1 2x 1 5</p><p>b) f(x) 5 x2 1 tx 1 3 e) f(x) 5 25xt 1 2x 1 5</p><p>c) f(x) 5 (t 2 2)x2 1 3 f) f(x) 5 (t 1 1)x2 1 2</p><p>3. As funções abaixo são equivalentes à função</p><p>f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. Determine, em cada uma delas,</p><p>os valores de a, b e c.</p><p>a) f(x) 5 2x2</p><p>b) f(x) 5 2(x 2 3)2</p><p>c) f(x) 5 2(x 2 3)2 1 5</p><p>d) f(x) 5 (x 1 2)(x 2 3)</p><p>e) f(x) 5 (4x 1 7)(3x 2 2)</p><p>f) f(x) 5 (2x 1 3)(5x 2 1)</p><p>ATENÇÃO! NÃO	ESCREVA	NO	LIVRO.</p><p>151capítulo 5 | Função quadrática</p><p>3.	 Situações	em	que	aparece	a	função	quadrática</p><p>Na	Geometria</p><p>O número de diagonais (d) em um polígono convexo de n lados é dado por uma função quadrática. Observe:</p><p>n 5 3 d 5 0 n 5 4 d 5 2 n 5 5 d 5 5 n 5 6 d 5 9</p><p>Um polígono de n lados tem n vértices. De cada vértice partem (n 2 3) diagonais e, para não considerarmos</p><p>duas vezes a mesma diagonal, dividimos n(n 2 3) por 2. Assim, temos d em função de n dado por:</p><p>d(n) 5</p><p>n n n n(     )</p><p>�</p><p>�</p><p>�3 3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>ou</p><p>d(n) 5</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2n n   2</p><p>Nos	fenômenos	físicos</p><p>Na queda livre dos corpos, o espaço (s) percorrido é dado em função do tempo (t) por uma função quadrática</p><p>s(t) 5 4,9t2, em que a constante 4,9 é a metade da aceleração da gravidade, que é 9,8 m/s2.</p><p>No	esporte</p><p>Num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número</p><p>p de partidas do campeonato é dado em função do número n de clubes participantes, conforme vemos na tabela</p><p>seguinte:</p><p>Número	de	clubes Número	de	partidas</p><p>2 2(2 2 1) 5 2</p><p>3 3(3 2 1) 5 6</p><p>4 4(4 2 1) 5 12</p><p>5 5(5 2 1) 5 20</p><p>… …</p><p>n n(n 2 1)</p><p>Pela tabela, vemos que o número p de partidas é dado por p(n) 5 n(n 2 1) 5 n2 2 n. Observe que n2 2 n</p><p>é o número de pares ordenados (pois há o “mando de campo”) menos os jogos de cada time com ele próprio, que</p><p>não existem.</p><p>4.	 Valor	da	função	quadrática	em	um	ponto</p><p>Se f: ® → ® é dada por f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, dois problemas são importantes:</p><p>• dado x0  ®, calcular f(x0); • dada f(x0), calcular x0 .</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Se f(x) 5 x2 2 5x 1 6, vamos calcular o valor dessa função no ponto x 5 2, ou seja, f(2).</p><p>f(2) 5 22 2 5 ? 2 1 6 5 0</p><p>2‚) Se f(x) 5 1 e f(x) 5 x2 2 5x 1 7, qual é o valor de x?</p><p>x2 2 5x 1 7 5 1 ou x2 2 5x 1 6 5 0, que é uma equação de 2‚ grau.</p><p>Os valores que satisfazem essa equação do 2‚ grau, ou seja, as raízes dessa equação, são 2 e 3.</p><p>Logo, x 5 2 ou x 5 3.</p><p>Para	refletir</p><p>Quais são os coeficientes</p><p>a, b e c nessas funções</p><p>s(t) e p(n)?</p><p>152 Matemática</p><p>Vejamos alguns exemplos de valores que a função quadrática assume em determinados pontos.</p><p>1‚) Vamos calcular o número de diagonais de um heptágono convexo.</p><p>Nesse caso, n 5 7:</p><p>d(n) 5</p><p>n2 2 3n</p><p>2 ⇒ d(7) 5</p><p>72 2 3 ? 7</p><p>2 5 14</p><p>Logo, o heptágono convexo possui 14 diagonais.</p><p>2‚) Em um campeonato de futebol, cada time vai jogar duas vezes com outro. Se o número de clubes é 10, qual é o</p><p>número de jogos?</p><p>Nesse caso, n 5 10:</p><p>p(n) 5 n2 2 n ⇒ p(10) 5 102 2 10 5 90</p><p>Logo, teremos 90 jogos.</p><p>3‚) Sobre uma circunferência marcamos pontos distintos e traçamos todos os segmentos possíveis com extremidades</p><p>nesses pontos. O número de segmentos (s) é dado em função do número x de pontos marcados. Por exemplo:</p><p>x 5 2, s 5 1</p><p>s 5</p><p>2 2 1</p><p>2</p><p>(     )2</p><p>5 1</p><p>x 5 3, s 5 3</p><p>s 5</p><p>3 3 1</p><p>2</p><p>(     )2</p><p>5 3</p><p>x 5 4, s 5 6</p><p>s 5</p><p>4 4 1</p><p>2</p><p>(     )2</p><p>5 6</p><p>a) Vamos escrever a lei dessa função quadrática e determinar os coeficientes a, b e c.</p><p>A lei dessa função é s(x) 5</p><p>x x x x</p><p>x x</p><p>(     )</p><p>.</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>Os coeficientes são a 5</p><p>1</p><p>2</p><p>, b 5 2</p><p>1</p><p>2</p><p>e c 5 0.</p><p>b) Quantos são os segmentos quando são marcados 5 pontos?</p><p>s(5) 5</p><p>5 5</p><p>2</p><p>20</p><p>2</p><p>2 �</p><p>�</p><p>5 10 segmentos</p><p>c) Quantos pontos precisam ser marcados para que o número de segmentos seja 21?</p><p>x x2</p><p>2</p><p>2</p><p>5 21 ⇒ x2 2 x 2 42 5 0</p><p>∆ 5 1 1 168 5 169</p><p>x 5</p><p>1 13</p><p>2</p><p>±</p><p>⇒ x’ 5 7 e x” 5 26 (não serve)</p><p>Precisam ser marcados 7 pontos.</p><p>4‚) Dada a função quadrática f: ® → ® definida por f(x) 5 x2 2 6x 1 8.</p><p>a) Vamos determinar os coeficientes a, b e c.</p><p>Em f(x) 5 x2 2 6x 1 8, temos a 5 1, b 5 26 e c 5 8.</p><p>b) Vamos encontrar f(1), f(0), f(22) e f</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>;.</p><p>f(1) 5 12 2 6(1) 1 8 5 1 2 6 1 8 5 3</p><p>f(0) 5 0 2 0 1 8 5 8</p><p>f(22) 5 4 1 12 1 8 5 24</p><p>f</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5</p><p>1</p><p>4</p><p>2 3 1 8 5</p><p>1 12 32</p><p>4</p><p>21</p><p>4</p><p>� �</p><p>�</p><p>Para	refletir</p><p>Por que o valor x 5 26</p><p>não serve?</p><p>153capítulo 5 | Função quadrática</p><p>c) Se existir x  ® tal que f(x) 5 3, vamos calcular x; se existir.</p><p>f(x) 5 3 ⇒ x2 2 6x 1 8 5 3 ⇒ x2 2 6x 1 5 5 0</p><p>∆ 5 36 2 20 5 16</p><p>x 5</p><p>6 4</p><p>2</p><p>±</p><p>⇒ x’ 5 5 e x” 5 1</p><p>Existem dois valores de x para os quais f(x) 5 3: x 5 5 ou x 5 1.</p><p>d) Se existir x  ® para o qual f(x) 5 21, vamos calcular x; se existir.</p><p>f(x) 5 21 ⇒ x2 2 6x 1 8 5 21 ⇒ x2 2 6x 1 9 5 0</p><p>∆ 5 36 2 36 5 0</p><p>x 5</p><p>6 0</p><p>2</p><p>±</p><p>5 3</p><p>Existe um único x  ® tal que f(x) 5 21: x 5 3.</p><p>e) Se existir x  ® para que se tenha f(x) 5 23, vamos calcular x; se houver.</p><p>f(x) 5 23 ⇒ x2 2 6x 1 8 523 ⇒ x2 2 6x 1 11 5 0</p><p>∆ 5 36 2 44 5 28</p><p>Não existe x  ® tal que f(x) 5 23.</p><p>f) Se existir x  ® para que se tenha f(x) 5 0, vamos calcular x; se existir.</p><p>f(x) 5 0 ⇒ x2 2 6x 1 8 5 0</p><p>∆ 5 36 2 32 5 4</p><p>x 5</p><p>6 2</p><p>2</p><p>±</p><p>⇒ x’ 5 4 e x” 5 2</p><p>Existem dois valores para x: x’ 5 4 ou x” 5 2.</p><p>5‚) Vamos determinar a lei da função quadrática f, sabendo que f(0) 5 1, f(1) 5 3 e f(21) 5 1.</p><p>f(x) 5 ax2 1 bx 1 c</p><p>f(0) 5 1: a ? 02 1 b ? 0 1 c 5 1 → c 5 1</p><p>Então, f(x) 5 ax2 1 bx 1 1.</p><p>f(1) 5 3: a ? 12 1 b ? 1 1 1 5 3 → a 1 b 5 2</p><p>f(21) 5 1: a ? (21)2 1 b ? (21) 1 1 5 1 → a 2 b 5 0</p><p>Resolvendo o sistema</p><p>a b</p><p>a b</p><p>,</p><p>� �</p><p>� �</p><p>2</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p>encontramos a 5 1 e b 5 1.</p><p>Portanto, f(x) 5 x2 1 x 1 1.</p><p>Para	refletir</p><p>Analise os itens c e</p><p>e para responder se</p><p>f(x) 5 x2 2 6x 1 8</p><p>é injetiva e sobre-</p><p>jetiva.</p><p>Exercícios propostos</p><p>4. As seguintes funções são definidas em ®. Verifique</p><p>quais delas são funções quadráticas e identifique em</p><p>cada uma os valores de a, b e c:</p><p>a) f(x) 5 2x(3x 2 1)</p><p>b) f(x) 5 (x 1 2)(x 2 2) 2 4</p><p>c) f(x) 5 (1 1 x)(1 2 x) 1 x2</p><p>d) f(x) 5 (x 1 2)2 2 x(x 1 1)</p><p>5. Dada a função quadrática f(x) 5 3x2 2 4x 1 1, determine:</p><p>a) f(1) e) f(22)</p><p>b) f(2) f ) f(h 1 1)</p><p>c) f (0) g) x de modo que f(x) 5 1</p><p>d) f ( )2 h) x de modo que f(x) 5 21</p><p>6. (Fuvest-SP) Seja f(x) 5 2x2 2 3x 1 1.</p><p>Calcule f</p><p>2</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> .</p><p>7. Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo</p><p>de energia em energia elétrica. Se a potência 3 (em</p><p>watts) que certo gerador lança num circuito elétrico</p><p>é dada pela relação 3(i) 5 20i 2 5i2, em que i é a in-</p><p>tensidade da corrente elétrica que atravessa o gera-</p><p>dor, determine o número de watts que expressa a</p><p>potência 3 quando i 5 3 ampères.</p><p>8. A área de um círculo é dada em função da medida r</p><p>do raio, ou seja, S 5 f(r) 5 pr2, que é uma função qua-</p><p>drática. Considerando p 5 3,14, calcule:</p><p>a) S quando r 5 5 cm;</p><p>b) r quando S 5 200,96 m2.</p><p>9. Quando variamos a medida , do lado de um quadra-</p><p>do, a área da região quadrada também varia. Então,</p><p>a área é dada em função da medida , do lado, ou seja,</p><p>f(,) 5 ,2. Faça então o que se pede:</p><p>154 Matemática</p><p>a) calcule f(10), f(1,5) e f( );2 3</p><p>b) calcule , tal que f(,) 5 256;</p><p>c) determine qual é o domínio e qual é a imagem</p><p>dessa função.</p><p>10. Um corpo está em queda livre.</p><p>a) Qual é o espaço, em metros, que ele percorre</p><p>após 3 s?</p><p>b) Em quanto tempo ele percorre 122,5 m?</p><p>11. O impacto de colisão I (energia cinética) de um auto-</p><p>móvel com massa m e velocidade v é dado pela fór-</p><p>mula I 5 kmv2. Se a velocidade triplica, o que acon-</p><p>tece ao impacto de colisão de um carro de 1 000 kg?</p><p>12. De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm</p><p>são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de</p><p>lado x. Determine a expressão que indica a área da</p><p>parte que sobrou em função de x.</p><p>13. Em um campeonato de futebol, cada time vai jogar</p><p>duas vezes com outro. Se o número de jogos for 42,</p><p>qual é o número de times?</p><p>14. Seja f: ® → ® a função definida por f(x) 5 4x2 2 4x 1 3.</p><p>Determine x, se houver, para que se tenha:</p><p>a) f(x) 5 2; c) f(x) 5 21.</p><p>b) f(x) 5 3;</p><p>15. Determine a lei da função quadrática f, sabendo que</p><p>f(1) 5 2, f(0) 5 3 e f(21) 5 6.</p><p>16. f e g são funções de ® em ® definidas por f(x) 5 2x 2 1</p><p>e g(x) 5 x2 2 1. Determine (f  g)(x) e (g  f)(x).</p><p>17. A área da região em forma de trapézio é dada por</p><p>A 5</p><p>(     )</p><p>,</p><p>B b h1</p><p>2</p><p>em que B é a base maior, b é a base</p><p>menor e h é a altura.</p><p>x � 2</p><p>x</p><p>6</p><p>Nesse trapézio a área pode ser dada em função da</p><p>base menor por uma lei do tipo f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.</p><p>a) Determine a lei dessa função.</p><p>b) Identifique os coeficientes a, b e c.</p><p>18. Dada a função f: ® → ® tal que</p><p>f(x) 5</p><p>x x para x</p><p>x para x</p><p>2 2 5</p><p>3 20 5 9</p><p>,</p><p>,</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>�xx x para x2 4 2 9        ,</p><p>,</p><p>� � �</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>determine:</p><p>a) f(6); e) f(5);</p><p>b) f(21); f) f(0);</p><p>c) f(10); g) f(4).</p><p>d) f(9);</p><p>19.		Na função f do exercício anterior, determine x para o</p><p>qual f(x) 5 22.</p><p>5.	 Zeros	da	função	quadrática</p><p>O estudo da função quadrática</p><p>tem sua origem na resolução da equação do 2‚ grau.</p><p>Um problema muito antigo que recai numa equação do 2‚ grau é este:</p><p>“Determinar dois números conhecendo sua soma s e seu produto p”.</p><p>Chamando de x um dos números, o outro será s 2 x. Assim, p 5 x(s 2 x)</p><p>ou p 5 sx 2 x2, ou, ainda,</p><p>x2 2 sx 1 p 5 0</p><p>Para encontrar x (e, portanto, s 2 x), basta resolver a equação do 2‚ grau x2 2 sx 1 p 5 0, ou seja, basta deter-</p><p>minar os valores de x para os quais a função quadrática f(x) 5 x2 2 sx 1 p se anula. Esses valores são chamados zeros</p><p>da função quadrática ou raízes da equação do 2‚ grau correspondente a f(x) 5 0. Por exemplo, os dois números cuja</p><p>soma é 7 e cujo produto é 12 são 3 e 4, que são as raízes da equação x2 2 7x 1 12 5 0 ou zeros da função quadrática</p><p>f(x) 5 x2 2 7x 1 12.</p><p>Observação: Dados quaisquer s e p, nem sempre existem dois números cuja</p><p>soma seja s e cujo produto seja p. Por exemplo, não existem dois números reais</p><p>cuja soma seja 3 e cujo produto seja 7.</p><p>Para	refletir</p><p>Este problema aparece em registros</p><p>cuneiformes escritos pelos babilônios</p><p>há quase quatro mil anos.</p><p>Para	refletir</p><p>Justifique por que não existem</p><p>dois números reais cuja soma</p><p>seja 3 e cujo produto seja 7.</p><p>155capítulo 5 | Função quadrática</p><p>Determinação	dos	zeros	por	fatoração</p><p>Vamos determinar os zeros de algumas funções quadráticas usando fatoração, assunto já retomado no capítu-</p><p>lo 1 deste volume.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Vamos determinar os zeros das seguintes funções quadráticas:</p><p>a)	 f(x) 5 x2 2 4</p><p>A equação do 2‚ grau correspondente é x2 2 4 5 0.</p><p>Fatorando o 1‚ membro da equação, temos: x2 2 4 5 0 ⇔ (x 2 2)(x 1 2) 5 0</p><p>Para que um produto seja zero, pelo menos um dos fatores precisa ser zero.</p><p>Logo, (x 2 2) 5 0 ou (x 1 2) 5 0.</p><p>Se x 2 2 5 0, então x 5 2.</p><p>Se x 1 2 5 0, então x 5 22.</p><p>Assim, as raízes da equação x2 2 4 5 0 são 22 e 2 ou os zeros da função quadrática f(x) 5 x2 2 4 são 22 e 2.</p><p>Verificação:</p><p>f(x) 5 x2 2 4</p><p>f(22) 5 (22)2 2 4 5 4 2 4 5 0</p><p>f(2) 5 22 2 4 5 4 2 4 5 0</p><p>Geometricamente, podemos representar essa fatoração assim:</p><p>x � 2</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>24</p><p>x2</p><p>x � 2</p><p>x � 2</p><p>x</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>x � 2 x � 2</p><p>x 2</p><p>x 2</p><p>A área dada por x2 2 4 é a mesma que a dada por (x 2 2)(x 1 2). Logo, x2 2 4 5 (x 2 2)(x 1 2). Constate isso</p><p>recortando adequadamente uma folha de papel.</p><p>b) f(x) 5 x2 1 2x</p><p>A equação do 2‚ grau correspondente é x2 1 2x 5 0.</p><p>Fatorando o 1‚ membro da equação, temos: x2 1 2x 5 0 ⇔ x(x 1 2) 5 0</p><p>Logo: x 5 0 ou x 1 2 5 0 ⇒ x 5 22</p><p>Assim, os zeros da função são 0 e 22.</p><p>Verificação:</p><p>f(x) 5 x2 1 2x</p><p>f(0) 5 02 1 2 ? 0 5 0</p><p>f(22) 5 (22)2 1 2(22) 5 4 2 4 5 0</p><p>Geometricamente, temos:</p><p>x</p><p>x</p><p>x2</p><p>x2 � 2x</p><p>x</p><p>1 1</p><p>xx x x</p><p>x</p><p>x 1 1</p><p>x2</p><p>1 1</p><p>x</p><p>x(x � 2)</p><p>156 Matemática</p><p>A área dada por x2 1 2x é a mesma que a dada por x(x 1 2). Constate isso recortando adequadamente uma</p><p>folha de papel.</p><p>Portanto, x2 1 2x 5 x(x 1 2).</p><p>c) f(x) 5 x2 2 6x 1 9</p><p>Equação do 2‚ grau: x2 2 6x 1 9 5 0.</p><p>Fatorando o 1‚ membro, temos:</p><p>x x x x x2 26 9 0 3 0 3            (     )        (     )(    � � � � � � �⇔ ⇔ 33 0</p><p>22</p><p>)</p><p>�</p><p>↓ ↓ ↘</p><p>x ?? ?</p><p>3 32x</p><p>Logo:</p><p>x 2 3 5 0 ⇒ x 5 3</p><p>ou</p><p>x 2 3 5 0 ⇒ x 5 3</p><p>Neste caso, x 5 3 é um zero “duplo” da função quadrática f(x) 5 x2 2 6x 1 9.</p><p>Verificação:</p><p>f(x) 5 x2 2 6x 1 9</p><p>f(3) 5 32 2 6 ? 3 1 9 5 9 2 18 1 9 5 0</p><p>Geometricamente, temos:</p><p>3 3</p><p>x2 � 6x � 9 x � 3</p><p>x � 3</p><p>x � 3</p><p>3</p><p>x � 3 3</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x2</p><p>1 1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>x2 � 6x</p><p>A área dada por x2 2 6x 1 9 é a mesma que a dada por (x 2 3)2 5 (x 2 3)(x 2 3).</p><p>Portanto, x2 2 6x 1 9 5 (x 2 3)2 5 (x 2 3)(x 2 3).</p><p>d) f(x) 5 (x 2 3)2 2 4</p><p>Equação do 2‚ grau: (x 2 3)2 2 4 5 0.</p><p>Fatorando, temos:</p><p>(x 2 3)2 2 4 5 0 ⇒ [(x 2 3) 2 2][(x 2 3) 1 2] 5 0 ⇒	(x 2 5)(x 2 1) 5 0</p><p>Logo:</p><p>x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5 ou x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1</p><p>Zeros da função: 1 e 5.</p><p>Verificação:</p><p>f(x) 5 (x 2 3)2 2 4</p><p>f(1) 5 (1 2 3)2 2 4 5 4 2 4 5 0</p><p>f(5) 5 (5 2 3)2 2 4 5 4 2 4 5 0</p><p>Exercício proposto</p><p>20. Usando fatoração, determine os zeros das seguintes</p><p>funções quadráticas:</p><p>a) f(x) 5 x2 2 9</p><p>b) f(x) 5 x2 2 2x 1 1</p><p>c) f(x) 5 (x 2 1)2 2 9</p><p>d) f(x) 5 x2 1 6x</p><p>e) f(x) 5 x2 1 6x 1 9</p><p>f) f(x) 5 (x 1 4)2 2 1</p><p>157capítulo 5 | Função quadrática</p><p>Determinação	dos	zeros	por	completamento	de	quadrado</p><p>O completamento de quadrado é um procedimento muito útil no estudo da função quadrática. Analise alguns</p><p>exemplos:</p><p>• x2 1 6x 5 x x</p><p>x</p><p>2 2</p><p>3</p><p>2 3 3</p><p>2</p><p>(     )</p><p>1 1</p><p>1</p><p>? ? 2 32 5 (x 1 3)2 2 9</p><p>Logo, x2 1 6x 5 (x 1 3)2 2 9. (Veja a figura ao lado.)</p><p>• x2 2 10x 5 x x</p><p>x</p><p>2 2</p><p>5</p><p>2 5 5</p><p>2</p><p>(     )</p><p>� �</p><p>�</p><p>? ? 2 52 5 (x 2 5)2 2 25</p><p>Assim, x2 2 10x 5 (x 2 5)2 2 25.</p><p>• x2 2</p><p>5</p><p>2</p><p>x 5 x2 2 2 ?</p><p>5</p><p>4</p><p>? x 1</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>4</p><p>25</p><p>16</p><p>2 2 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>� � � �           x</p><p>De modo geral, temos que:</p><p>x2 1 px 5 x</p><p>p p</p><p>� �</p><p>2 4</p><p>2 2</p><p></p><p></p><p></p><p>• x2 1 8x 5 (x 1 4)2 2 16</p><p>• x2 2</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>6</p><p>16</p><p>36</p><p>2</p><p>3</p><p>2 2</p><p>x x x                   � � � � � �</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>44</p><p>9</p><p>• 2x2 1 8x 1 3 5 2(x2 1 4x) 1 3 5 2[(x 1 2)2 2 4] 1 3 5 2(x 1 2)2 2 8 1 3 5 2(x 1 2)2 2 5</p><p>Acompanhe os exemplos de como determinar os zeros de algumas funções quadráticas usando o completa-</p><p>mento de quadrado.</p><p>1‚) f(x) 5 x2 1 6x 1 5</p><p>Equação do 2‚ grau correspondente: x2 1 6x 1 5 5 0.</p><p>x2 1 6x 5 25</p><p>Completando o quadrado, temos: x2 1 6x 1 9 5 25 1 9 ⇒ (x 1 3)2 5 4</p><p>Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros, temos: (x 1 3) 5 ±2 ⇒</p><p>x x</p><p>ou</p><p>x x</p><p>� � � �</p><p>� � � � �</p><p>3 2 1</p><p>3 2 5</p><p>⇒</p><p>⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Zeros da função: 21 e 25.</p><p>Verificação:</p><p>f(x) 5 x2 1 6x 1 5</p><p>f(21) 5 (21)2 1 6(21) 1 5 5 1 2 6 1 5 5 0</p><p>f(25) 5 (25)2 1 6(25) 1 5 5 25 2 30 1 5 5 0</p><p>2‚) f(x) 5 x2 2 10x 1 16</p><p>Equação do 2‚ grau correspondente:</p><p>x2 2 10x 1 16 5 0.</p><p>x2 2 10x 5 216</p><p>Completando o quadrado, temos:</p><p>x2 2 10x 1 25 5 216 1 25 ⇒ (x 2 5)2 5 9 ⇒	(x 2 5) 5 ±3 ⇒</p><p>x x</p><p>ou</p><p>x x</p><p>� � �</p><p>� � � �</p><p>5 3 8</p><p>5 3 2</p><p>⇒</p><p>⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Zeros da função: 2 e 8.</p><p>Verificação:</p><p>f(x) 5 x2 2 10x 1 16</p><p>f(2) 5 22 2 10(2) 1 16 5 4 2 20 1 16 5 0</p><p>f(8) 5 82 2 10(8) 1 16 5 64 2 80 1 16 5 0</p><p>x2 3x</p><p>93x</p><p>Faltam 9 regiões quadradas de área 1.</p><p>Por isso somamos e subtraímos 9 para</p><p>“completar o quadrado”.</p><p>158 Matemática</p><p>3‚) f(x) 5 2x2 2 5x 1 3</p><p>Equação do 2‚ grau correspondente:</p><p>2x2 2 5x 1 3 5 0.</p><p>Essa equação é equivalente a uma outra em que dividimos todos os termos por 2:</p><p>x2 2</p><p>5</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>x   1 5 0 ⇒ x2 2</p><p>5</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>x   � �</p><p>Completando o quadrado, temos:</p><p>x2 2</p><p>5</p><p>2</p><p>25</p><p>16</p><p>3</p><p>2</p><p>25</p><p>16</p><p>5</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>x x                       � � � � � �⇒</p><p></p><p></p><p></p><p> 116</p><p>⇒⇒ ± ⇒         x � �</p><p>5</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>⇒</p><p>⇒</p><p>⇒</p><p>x x</p><p>ou</p><p>x</p><p>� � � �</p><p>� � �</p><p>5</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>6</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>5</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>xx</p><p>� �</p><p>4</p><p>4</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Zeros da função:</p><p>3</p><p>2</p><p>e 1.</p><p>Verificação:</p><p>f(x) 5 2x2 2 5x 1 3</p><p>f</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>9</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>� � � � ��</p><p>15</p><p>2</p><p>1 3 5 0</p><p>f(1) 5 2 ? 12 2 5 ? 1 1 3 5 2 2 5 1 3 5 0</p><p>Exercícios propostos</p><p>21. Faça o completamento de quadrado em:</p><p>a) x2 2 2x; b) x2 1 6x 2 16.</p><p>22. Usando o completamento de quadrado, determine os zeros das seguintes funções quadráticas:</p><p>a) f(x) 5 x2 2 6x 1 5 c) f(x) 5 x2 2 2x 2 3 e) f(x) 5 x2 2 8x 1 12</p><p>b) f(x) 5 x2 1 10x 1 21 d) f(x) 5 x2 1 4x 1 3 f) f(x) 5 3x2 2 8x 2 3</p><p>6.	 Forma	canônica	da	função	quadrática</p><p>Dada a função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, podemos escrever:</p><p>f(x) 5 ax2 1 bx 1 c 5 a x</p><p>b</p><p>a</p><p>x</p><p>c</p><p>a</p><p>2 1 1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>As duas primeiras parcelas dentro dos colchetes são as mesmas do desenvolvimento do quadrado</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>x x</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>� � � � �</p><p>2</p><p>2</p><p>2 4</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>? ? xx</p><p>b</p><p>a</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>2</p><p>2</p><p>24</p><p>.� �</p><p>Completando o quadrado, temos:</p><p>f(x) 5 ax2 1 bx 1 c 5 a x</p><p>b</p><p>a</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>c</p><p>a</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 4 4</p><p>� � � �                 ?</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ou seja,</p><p>(forma canônica)</p><p>ou ainda:</p><p>f(x) 5 a x b</p><p>a</p><p>ac b</p><p>a</p><p>� �</p><p>�</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2 2</p><p></p><p></p><p></p><p>f(x) 5 ax2 1 bx 1 c 5 a x</p><p>b</p><p>a</p><p>ac b</p><p>a</p><p>� �</p><p>�</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2 2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>159capítulo 5 |</p><p>Função quadrática</p><p>Chamando de:</p><p>m 5 2</p><p>b</p><p>a2</p><p>e k 5</p><p>4</p><p>4</p><p>2ac b</p><p>a</p><p>2</p><p>concluímos que k 5 f(m).</p><p>Assim, para todo x  ® e a  0 podemos escrever qualquer função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c da seguinte</p><p>maneira:</p><p>f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k, em que m 5 2</p><p>b</p><p>a2</p><p>e k 5 f(m) (outra maneira de escrever a forma canônica)</p><p>Por exemplo, vamos escrever a função f(x) 5 x2 2 4x 2 6 na forma canônica.</p><p>1a maneira</p><p>Completando o quadrado:</p><p>x2 2 4x 2 6 5 (x2 2 4x) 2 6</p><p>5 (x2 2 4x 1 4) 2 4 2 6</p><p>5 (x 2 2)2 2 10</p><p>Logo, f(x) 5 x2 2 4x 2 6 5 (x 2 2)2 2 10.</p><p>2a maneira</p><p>Calculando m 5 2</p><p>b</p><p>a2</p><p>, k 5 f(m) e substituindo em f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k:</p><p>f(x) 5 x2 2 4x 2 6</p><p>a 5 1; b 5 24; c 5 26</p><p>m 5</p><p>4</p><p>2</p><p>5 2</p><p>k 5 f(2) 5 22 2 4 ? 2 2 6 5 4 2 8 2 6 5 210 ⇒ k 5 210</p><p>Portanto, f(x) 5 (x 2 2)2 2 10.</p><p>Exercício proposto</p><p>23. Escreva na forma canônica as seguintes funções qua-</p><p>dráticas:</p><p>a) f(x) 5 x2 1 2x 2 3</p><p>b) f(x) 5 2x2 1 8x 2 5</p><p>c) f(x) 5 2x2 1 6x 1 7</p><p>d) f(x) 5 x2 1 2x 2 24</p><p>e) f(x) 5 10 1 5x 2 5x2</p><p>f) f(x) 5 22x2 1 5x 2 1</p><p>Decorrências	da	forma	canônica</p><p>1·) Valor mínimo e valor máximo da função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c</p><p>Consideremos a função quadrática f(x) 5 3x2 2 5x 1 2.</p><p>Nesse caso, temos: m 5</p><p>5</p><p>6</p><p>e k 5 f</p><p>5</p><p>6</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5 3</p><p>5</p><p>6</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 5</p><p>5</p><p>6</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 2 5 2</p><p>1</p><p>12</p><p>e a forma canônica é dada por:</p><p>f(x) 5 3 x     2 2</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>12</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Analisando essa forma canônica, podemos concluir que o menor valor de f(x)</p><p>para todo x  ® é 2</p><p>1</p><p>12</p><p>. Isso ocorre quando x 5</p><p>5</p><p>6</p><p>.</p><p>De modo geral, da forma canônica f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k, concluímos que, para</p><p>qualquer x  ®:</p><p>a) se a  0, o menor valor de f(x) é k 5 f(m);</p><p>b) se a  0, o maior valor de f(x) é k 5 f(m).</p><p>Para	refletir</p><p>Por que para todo x </p><p>5</p><p>6</p><p>temos f(x)  2</p><p>1</p><p>12</p><p>?</p><p>160 Matemática</p><p>2·) Zeros da função quadrática e raízes da equação correspondente</p><p>f(x) 5 3x2 2 5x 1 2 ⇒ f(x) 5 3</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>12</p><p>2</p><p>x       2 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(forma canônica)</p><p>3</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>12</p><p>2</p><p>x     2 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5 0 ⇒ 3</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>12</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>36</p><p>2 2</p><p>x x                   � � � �</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒        x � � �</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>x x</p><p>x x</p><p>� � �</p><p>� � � � �</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>4</p><p>6</p><p>⇒</p><p>⇒ 22</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Logo, os zeros de f(x) 5 3x2 2 5x 1 2 são 1 e</p><p>2</p><p>3</p><p>, que são também as raízes da equação 3x2 2 5x 1 2 5 0.</p><p>De modo geral, da forma canônica de f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a  0, que é a(x 2 m)2 1 k, com m 5 2</p><p>b</p><p>a2</p><p>e</p><p>k 5 f(m), podemos chegar à fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2‚ grau</p><p>ax2 1 bx 1 c 5 0. Acompanhe as equivalências:</p><p>ax2 1 bx 1 c 5 0 ⇔ a(x 2 m)2 1 k 5 0</p><p>⇔ a(x 2 m)2 5 2k</p><p>⇔ (x 2 m)2 5 2</p><p>k</p><p>a</p><p>⇔ (x 2 m)2 5</p><p>b ac</p><p>a</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>⇔ x 2 m 5 ±</p><p>b ac</p><p>a</p><p>2 4</p><p>2</p><p>2</p><p>⇔ x 5 m ±</p><p>b ac</p><p>a</p><p>2 4</p><p>2</p><p>2</p><p>⇔ x 5 2</p><p>2b</p><p>a</p><p>b ac</p><p>a2</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>±</p><p>⇔ x 5 2</p><p>2b b ac</p><p>a</p><p>± 2 4</p><p>2</p><p>(fórmula que fornece as raízes da equação do 2‚ grau ax2 1 bx 1 c 5 0)</p><p>Observações:</p><p>1·) O número ∆ 5 b2 2 4ac é chamado discriminante da função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.</p><p>2·) Quando ∆  0, a função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c tem dois zeros reais diferentes.</p><p>Quando ∆ 5 0, a função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c tem um zero real duplo.</p><p>Quando ∆  0, a função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c não tem zeros reais.</p><p>3·) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax2 1 bx 1 c 5 0, com a  0</p><p>Existindo zeros reais tais que:</p><p>x’ 5 �</p><p>� �b</p><p>a</p><p>2</p><p>e x” 5</p><p>� � �b</p><p>a</p><p>,</p><p>2</p><p>obtemos:</p><p>x’ 1 x” 5 �</p><p>� �b</p><p>a</p><p>2</p><p>1 � � �b</p><p>a</p><p>2</p><p>5</p><p>� � � � �</p><p>� �</p><p>2</p><p>2</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>Logo, x’ 1 x” 5 2</p><p>b</p><p>a</p><p>.</p><p>x x</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>’ ”</p><p>? ?�</p><p>� � � � � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>2 2 4</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>( )</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>b b ac</p><p>a</p><p>ac</p><p>a</p><p>c</p><p>a</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>Logo, x’ ? x” 5</p><p>c</p><p>a</p><p>.</p><p>Para	refletir</p><p>Justifique a passagem que</p><p>substitui 2</p><p>k</p><p>a</p><p>por</p><p>b ac</p><p>a</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>.</p><p>2</p><p>Para	refletir</p><p>Observe que x9 1 x0</p><p>2</p><p>5 2</p><p>b</p><p>2a</p><p>, ou seja, a média</p><p>aritmética das raízes é 2 b</p><p>2a</p><p>, o que significa que as</p><p>raízes são equidistantes do ponto 2 b</p><p>2a</p><p>. Disso decorre</p><p>que f(x1) 5 f(x2), para x1  x2 se, e somente se, os</p><p>pontos x1 e x2 são equidistantes de 2 b</p><p>2a</p><p>.</p><p>161capítulo 5 | Função quadrática</p><p>4·) Forma fatorada do trinômio ax2 1 bx 1 c, com a  0</p><p>Quando   0, ou seja, quando a equação ax2 1 bx 1 c 5 0 possui as raízes reais x’ e x”, podemos escrever:</p><p>ax2 1 bx 1 c 5 a x</p><p>b</p><p>a</p><p>x</p><p>c</p><p>a</p><p>2        + +</p><p></p><p></p><p> 5 a[x2 2 (x’ 1 x”)x 1 x’x”] 5 a[x2 2 x’x 2 x”x 1 x’x”] 5 a[x(x 2 x’) 2 x”(x 2 x’)] 5</p><p>5 a(x 2 x’)(x 2 x”)</p><p>Logo, ax2 1 bx 1 c 5 a(x 2 x’)(x 2 x”) (forma fatorada).</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Vamos determinar, se existirem, os zeros da função quadrática f(x) 5 x2 2 2x 2 3.</p><p>1a maneira</p><p>Usando a forma canônica:</p><p>x2 2 2x 2 3 5 0</p><p>ax2 1 bx 1 c 5 a(x 2 m)2 1 k, em que m 5 2</p><p>b</p><p>a2</p><p>e k 5 f(m)</p><p>m 5 1</p><p>k 5 f(1) 5 12 2 2 ? 1 2 3 5 1 2 2 2 3 5 24</p><p>x2 2 2x 2 3 5 1(x 2 1)2 2 4 5 0 ⇔ (x 2 1)2 5 4 ⇔	x 2 1 5 ±2</p><p>x x</p><p>ou</p><p>x x</p><p>� � �</p><p>� � � � �</p><p>1 2 3</p><p>1 2 1</p><p>⇒</p><p>⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Zeros da função: 3 e 21.</p><p>2a maneira</p><p>Usando a fórmula:</p><p>x2 2 2x 2 3 5 0</p><p>a 5 1, b 5 22 e c 5 23</p><p> 5 b2 2 4ac 5 (22)2 2 4(1)(23) 5 4 1 12 5 16 ⇒	  0 (a equação tem duas raízes reais diferentes)</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>x</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �± ∆ ± ±</p><p>2</p><p>2 16</p><p>2</p><p>2 4</p><p>2</p><p>22 4</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>3</p><p>2 4</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �x</p><p>Raízes da equação: 3 e 21.</p><p>Zeros da função: 3 e 21.</p><p>2‚) Vamos determinar, se existirem, os zeros da função quadrática f(x) 5 2x2 2 3x 1 5.</p><p>2x2 2 3x 1 5 5 0</p><p>a 5 2, b 5 23 e c 5 5</p><p> 5 b2 2 4ac 5 (23)2 2 4(2)(5) 5 9 2 40 5 231 ⇒   0</p><p>Logo, a equação não tem raízes reais; consequentemente a função f(x) 5 2x2 2 3x 1 5 não tem zeros reais.</p><p>3‚) Para que valores de k	a função f(x) 5 x2 2 2x 1 k tem zeros reais e diferentes?</p><p>• Condição:   0 •  5 b2 2 4ac 5 (22)2 2 4(1)(k) 5 4 2 4k</p><p>Assim: 4 2 4k  0 ⇔ 24k  24 ⇔ 4k  4 ⇔ k  1</p><p>Portanto, a função f(x) 5 x2 2 2x 1 k terá zeros reais e diferentes para quaisquer k  ® tal que k  1.</p><p>4‚) Vamos determinar o valor de k positivo para que a equação x2 2 2kx 1 (k 1 1) 5 0 tenha uma raiz igual ao triplo</p><p>da outra.</p><p>x x</p><p>x x</p><p>b</p><p>a</p><p>k</p><p>x x</p><p>c</p><p>a</p><p>k</p><p>� � �</p><p>� � � � � �</p><p>� � � �</p><p>3</p><p>2</p><p>? �� 1</p><p>3x” 1 x” 5 2k ⇒ 4x” 5 2k ⇒ x” 5</p><p>1</p><p>2</p><p>k</p><p>x’ 1</p><p>1</p><p>2</p><p>k 5 2k ⇒ x’ 5 2k 2</p><p>1</p><p>2</p><p>k ⇒ x’ 5</p><p>3</p><p>2</p><p>k</p><p>162 Matemática</p><p>Assim:</p><p>x’ ? x” 5 k 1 1 ⇒</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>k k   ? 5 k 1 1 ⇔</p><p>3</p><p>4</p><p>2k</p><p>5 k 1 1 ⇔ 3k2 2 4k 2 4 5 0</p><p>a 5 3, b 5 24 e c 5 24</p><p>k</p><p>b b ac</p><p>a</p><p>k</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>± ⇒ ± ±2 4</p><p>2</p><p>4 16 48</p><p>6</p><p>4</p><p>64</p><p>6</p><p>4 8</p><p>6</p><p>4 8</p><p>6</p><p>2</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>±</p><p>k</p><p>ou</p><p>k</p><p>(   )</p><p>4 8</p><p>6</p><p>2</p><p>3</p><p>�</p><p>� � não serve</p><p>Portanto, quando k 5 2, a equação x2 2 2kx 1 (k 1 1) 5 0 se transforma na equação x2 2 4x 1 3 5 0.</p><p>5‚) Vamos escrever na forma fatorada as funções:</p><p>a) f(x) 5 x2 2 5x 1 6</p><p>A forma fatorada é f(x) 5 a(x 2 x’)(x 2 x’’), em que x’ e x’’ são as raízes da equação f(x) 5 0. Assim:</p><p>x2 2 5x 1 6 5 0</p><p> 5 b2 2 4ac 5 (25)2 2 4 ? 1 ? 6 5 1</p><p>x 5 �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>b</p><p>a</p><p>( )</p><p>± ∆ ± ±</p><p>2</p><p>5 1</p><p>2 1</p><p>5 1</p><p>2?</p><p>⇒ x’ 5 3 e x’’ 5 2</p><p>Então, f(x) 5 (x 2 3)(x 2 2). (Note que a 5 1 não precisa ser escrito.)</p><p>b) g(x) 5 5x2 1 10x 1 5</p><p>Fazendo g(x) 5 0, vem:</p><p>5x2 1 10x 1 5 5 0</p><p> 5 b2 2 4ac 5 102 2 4 ? 5 ? 5 5 0</p><p>x 5 � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�b</p><p>a</p><p>± ±</p><p>2</p><p>10 0</p><p>2 5</p><p>10</p><p>10?</p><p>⇒ x’ 5 21 e x’’ 5 21</p><p>Então, g(x) 5 5(x 1 1)(x 1 1) 5 5(x 1 1)2.</p><p>Para	refletir</p><p>Se  5 0, a função</p><p>quadrática é um</p><p>trinômio quadrado</p><p>perfeito.</p><p>Para	refletir</p><p>Comprove que</p><p>a equação</p><p>x2 – 4x + 3 = 0</p><p>tem uma raiz</p><p>igual ao triplo</p><p>da outra.</p><p>Exercícios propostos</p><p>24. Determine, se existirem, os zeros das funções quadrá-</p><p>ticas usando a forma canônica:</p><p>a) f(x) 5 x2 2 x 2 2</p><p>b) f(x) 5 3x2 1 x 2 2</p><p>c) f(x) 5 x2 2 2x 1 1</p><p>25. Determine, se existirem, os zeros das funções quadrá-</p><p>ticas usando a fórmula:</p><p>a) f(x) 5 x2 2 3x c) f(x) 5 2x2 1 2x 1 8</p><p>b) f(x) 5 x2 1 4x 1 5 d) f(x) 5 x2 1 10x 1 25</p><p>26. Para que valores reais de m a função</p><p>f(x) 5 (m 2 1)x2</p><p>2 4x 2 1 não admite zeros reais?</p><p>27. Para que valores reais de k a função f(x) 5 kx2 2 6x 1 1</p><p>admite zeros reais e diferentes?</p><p>28. Para que valores de m a função f(x) 5 (m 2 2)x2 2 2x 1 6</p><p>admite zeros reais?</p><p>29. Determine o valor de k para que a equação</p><p>x2 2 (k 1 1)x 1 (10 1 k) 5 0 tenha uma raiz igual ao</p><p>dobro da outra.</p><p>30. Use a forma canônica e determine o menor valor que a</p><p>função f(x) 5 2x2 2 3x 1 4 pode assumir para todo x  ®.</p><p>31. Qual é o maior valor que a função f(x) 5 23x2 2 x 1 1</p><p>pode assumir para qualquer x  ®?</p><p>32. Prove que não existe um número real, x, x  0, tal que</p><p>a soma dele com seu inverso seja 1.</p><p>33. Determine o valor de m para que a função</p><p>f(x) 5 4x2 2 4x 2 m tenha zero real duplo.</p><p>34. Para que valores reais de k a função</p><p>f(x) 5 (k 2 1)x2 2 2x 1 4 não admite zeros reais?</p><p>35. Para que valores de m a função f(x) 5 x2 2 mx 1 49</p><p>admite um zero duplo?</p><p>36. Determine o valor positivo de m para que a equação</p><p>mx2 2 (m 1 1)x 1 1 5 0 tenha uma raiz igual à quar-</p><p>ta parte da outra.</p><p>37. Escreva na forma fatorada as seguintes equações do</p><p>2‚ grau:</p><p>a) x2 2 7x 1 12 5 0 c) 6x2 2 5x 1 1 5 0</p><p>b) x2 2 x 2 2 5 0 d) 10x2 2 3x 2 1 5 0</p><p>163capítulo 5 | Função quadrática</p><p>38. Prove que, se a soma de dois números positivos é</p><p>constante, seu produto é o maior possível (máximo)</p><p>quando eles são iguais.</p><p>39. Gustavo tem um alambrado suficiente para fazer</p><p>24 m de cerca. Ele pretende cercar um terreno retan-</p><p>gular de 40 m2 de área. Isso é possível? (Use o mesmo</p><p>procedimento do exercício anterior.)</p><p>40. Um campeonato é disputado em dois turnos, ou seja,</p><p>cada time joga duas vezes com cada um dos outros.</p><p>O total de partidas é 380. Quantos times disputam</p><p>esse campeonato?</p><p>41. Quantos lados tem um polígono convexo que possui</p><p>170 diagonais? Qual é o nome dele?</p><p>42. O retângulo áureo ou de ouro dos gregos é um retân-</p><p>gulo especial em que valem as relações entre o com-</p><p>primento (c) e a largura ():</p><p>c</p><p>c,</p><p>,</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>← proporção áurea</p><p>c</p><p>�</p><p>A proporção áurea pode ser observada na natureza,</p><p>nas obras de arte e nas construções. Por exemplo, o</p><p>templo grego Partenon tem suas medidas apoiadas</p><p>na proporção áurea.</p><p>Vista do Partenon em Atenas, Grécia.</p><p>Se considerarmos c 5 1, a proporção será:</p><p>1</p><p>1,</p><p>,</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>→ ,2 1 , 2 1 5 0</p><p>A raiz positiva dessa equação é chamada número de</p><p>ouro. Qual é esse número?</p><p>43. Uma caixa sem tampa tem a base</p><p>quadrada com lado medindo x dm</p><p>e altura 1 dm. Sabendo que a área</p><p>total de sua superfície é de 5 dm2,</p><p>calcule a medida x.</p><p>Ab</p><p>lE</p><p>St</p><p>O</p><p>CK</p><p>.C</p><p>O</p><p>M</p><p>/j</p><p>U</p><p>PI</p><p>tE</p><p>RI</p><p>M</p><p>Ag</p><p>ES</p><p>44. Renata tem 18 anos e Lígia, 15. Daqui a quantos anos</p><p>o produto de suas idades será igual a 378?</p><p>45. Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Para</p><p>percorrer essa distância em uma hora a menos, a</p><p>velocidade deveria ser de 10 km/h a mais. Qual</p><p>a velocidade do trem?</p><p>46. Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma</p><p>retangular, em filas, de tal modo que o número de</p><p>alunos de cada fila supera em 8 o número de filas.</p><p>Quantos alunos há em cada fila?</p><p>47. O número máximo de intersecções possíveis (I) com</p><p>n retas distintas em um plano é dado pela expressão</p><p>I 5</p><p>n2 2 n</p><p>2</p><p>. Examine alguns casos:</p><p>n � 2</p><p>I � 1 n � 3</p><p>I � 3</p><p>n � 4</p><p>I � 6</p><p>Qual é o número de retas distintas de um plano</p><p>sabendo que o número máximo possível de inter-</p><p>secções entre elas é 15?</p><p>48. Em um trapézio, a base maior mede 10 cm e a base</p><p>menor tem o dobro da altura. Calcule a medida da</p><p>base menor sabendo que a área da região determi-</p><p>nada por esse trapézio é de 36 cm2.</p><p>49. A distância entre duas cidades A e B é de aproxima-</p><p>damente 240 km. Aline percorreu essa distância em</p><p>determinado tempo. Ela disse a um colega que dirigiu</p><p>com muita cautela devido à chuva que havia caído</p><p>durante o percurso. Como professora de Matemática,</p><p>ela disse também que, se tivesse aumentado sua ve-</p><p>locidade média em 20 km/h, teria feito o mesmo per-</p><p>curso em 1 hora a menos.</p><p>a) Qual foi o tempo que a professora Aline gastou</p><p>para fazer o percurso entre as cidades A e B?</p><p>b) Qual foi a velocidade média com a qual Aline fez</p><p>esse percurso?</p><p>1</p><p>x x</p><p>164 Matemática</p><p>7.	 Gráfico	da	função	quadrática</p><p>Consideremos um ponto F e uma reta d que não o contém. Chamamos parábola de</p><p>foco F e diretriz d o conjunto dos pontos do plano que distam igualmente de F e de d.</p><p>eixo da parábola</p><p>d</p><p>D Q</p><p>P PF = PQ</p><p>V</p><p>F</p><p>A reta perpendicular à diretriz que contém o foco chama-se eixo da parábola. O ponto (V) da parábola mais</p><p>próximo da diretriz chama-se vértice dessa parábola. O vértice (V) é o ponto médio do segmento cujos extremos são</p><p>o foco e a intersecção do eixo com a diretriz.</p><p>O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Veja alguns exemplos:</p><p>Gráfico	da	função	definida	por	f(x)	5	x2</p><p>Para construir o gráfico, fazemos uma tabela com um número suficiente de valores:</p><p>x 23 22 21 0 1 2 3</p><p>f(x)	5	x2 9 4 1 0 1 4 9</p><p>Marcamos esses pontos e desenhamos uma linha contínua passando por eles, pois estamos trabalhando com</p><p>números reais.</p><p>f(x)</p><p>x</p><p>0�2�3 �1</p><p>(�1, 1) (1, 1)</p><p>(2, 4)</p><p>(3, 9)</p><p>(�2, 4)</p><p>(�3, 9)</p><p>1 2 3</p><p>Observe que, por exemplo, os pontos</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>5</p><p>2</p><p>6</p><p>1</p><p>4</p><p>,  ,   ,  ,  ,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2  também pertencem à parábola.</p><p>Prova de que o gráfico de f(x) 5 x2 é uma parábola</p><p>• O gráfico da função quadrática f(x) 5 x2 é a parábola cujo foco é F[0, 1</p><p>4</p><p>] e cuja diretriz é a reta horizontal</p><p>y 5 2</p><p>1</p><p>4 . Veja como podemos provar isso.</p><p>x</p><p>y</p><p>d</p><p>Q</p><p>P(x, x2)</p><p>y � � 1</p><p>4</p><p>V</p><p>F</p><p>x, � 1</p><p>4[ ]</p><p>Para	refletir</p><p>A distância de um ponto</p><p>a uma reta é a medida do</p><p>segmento perpendicular</p><p>baixado do ponto sobre</p><p>essa reta.</p><p>r</p><p>P</p><p>A</p><p>A distância de P a r é</p><p>igual à medida de tPA.</p><p>165capítulo 5 | Função quadrática</p><p>• P(x, x2) são as coordenadas de um ponto qualquer do gráfico de f(x) 5 x2.</p><p>• A distância de P ao ponto F[0, 1</p><p>4</p><p>] é dada por:</p><p>d(P, F) 5 (     )                    x x x x� � � � � �0</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>• A distância do mesmo ponto P(x, x2) à reta y 5 2</p><p>1</p><p>4 é dada por x2 1</p><p>1</p><p>4 .</p><p>Pela definição, basta agora verificar que x x x2 2</p><p>2</p><p>21</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>.� � � �</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Como são números positivos, basta verificar</p><p>que seus quadrados são iguais. Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:</p><p>x2 1 [x2 2 1</p><p>4</p><p>]</p><p>2</p><p>5 [x2 1 1</p><p>4</p><p>]</p><p>2</p><p>x2 1 [x4 2 1</p><p>2</p><p>x2 1 1</p><p>16</p><p>] 5 x4 1 1</p><p>2</p><p>x2 1 1</p><p>16</p><p>x4 1 1</p><p>2</p><p>x2 1 1</p><p>16</p><p>5 x4 1 1</p><p>2</p><p>x2 1 1</p><p>16</p><p>Logo, d(P, F) 5 d(P, Q), ou seja, o gráfico é uma parábola de foco [0, 1</p><p>4</p><p>] e diretriz y 5 2</p><p>1</p><p>4 .</p><p>Exercícios propostos</p><p>50. Trace o gráfico de f(x) 5 x2 e determine os valores f(x)</p><p>para x igual a:</p><p>a) 2</p><p>1</p><p>2</p><p>; b)</p><p>5</p><p>2</p><p>; c) 2</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>Verifique esses valores no gráfico.</p><p>51. Como seria o gráfico de f(x) 5 x2 se considerarmos:</p><p>a) somente os pontos cujas coordenadas são núme-</p><p>ros inteiros?</p><p>b) somente os pontos cujas coordenadas são nú-</p><p>meros racionais?</p><p>Gráfico	da	função	definida	por	f(x)	5	ax2,	a		0</p><p>Examine os gráficos da função definida por f(x) 5 ax2, para a 5</p><p>1</p><p>10</p><p>, a 5</p><p>1</p><p>2</p><p>, a 5 1, a 5 2 e a 5 5, e para a 5 25,</p><p>a 5 22, a 5 21, a 5 2</p><p>1</p><p>2</p><p>e a 5 2</p><p>1</p><p>10</p><p>.</p><p>a  0 a  0</p><p>y</p><p>x</p><p>y = 5x2</p><p>y � 2x2</p><p>y � x2</p><p>0</p><p>y � x21</p><p>2</p><p>y � x21</p><p>10</p><p>x</p><p>0</p><p>y = – x21</p><p>10</p><p>y = – x21</p><p>2</p><p>y = –x2</p><p>y = –2x2</p><p>y = –5x2</p><p>y</p><p>Observe que:</p><p>• quando a  0, a concavidade está voltada para cima;</p><p>• quando a  0, a concavidade está voltada para baixo;</p><p>• todas as parábolas têm o mesmo vértice (0, 0) e o mesmo eixo x 5 0;</p><p>• quanto menor o valor absoluto de a, maior será a abertura da parábola;</p><p>166 Matemática</p><p>• quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola;</p><p>• os gráficos das funções quadráticas f(x) 5 ax2 e g(x) 5 a’x2, em que a e a’ são números simétricos, são simétricos</p><p>em relação ao eixo x. Veja, por exemplo, os gráficos de f(x) 5 4x2 e g(x) 5 24x2:</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>[� , 1]1</p><p>2</p><p>(x, y)</p><p>(�x, �y)</p><p>(1, 4)</p><p>(�1, �4)</p><p>f(x) � 4x2</p><p>g(x) � �4x2</p><p>[� , �1]1</p><p>2</p><p>Generalização:</p><p>É possível demonstrar que</p><p>o gráfico da função quadrática f(x) 5 ax2, a  0, é a parábola cujo foco é	F 0</p><p>1</p><p>4</p><p>,</p><p>a</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>e</p><p>cuja diretriz é a reta horizontal y 5 2</p><p>1</p><p>4a</p><p>.</p><p>Para	refletir</p><p>Se a 5 1, temos a parábola de foco</p><p>F[0, 1</p><p>4</p><p>] e de diretriz y 5 21</p><p>4</p><p>, como</p><p>vimos na página 164.</p><p>x</p><p>y</p><p>d</p><p>y � �</p><p>1</p><p>4a</p><p>V</p><p>F</p><p>x</p><p>y</p><p>d</p><p>y � �</p><p>1</p><p>4a</p><p>V</p><p>F</p><p>a  0 a  0</p><p>Concavidade da parábola</p><p>voltada para cima</p><p>Concavidade da parábola</p><p>voltada para baixo</p><p>Equação da parábola que tem vértice na origem</p><p>Consideremos a parábola que tem como diretriz a reta de equação</p><p>y 5 2c e como foco o ponto F(0, c). Vamos demonstrar que a equa-</p><p>ção dessa parábola é dada por x2 5 4cy.</p><p>Pela definição, temos: d(P, F) 5 d(P, Q)</p><p>(     )    (     )     (     )    (     )x y c x x y c� � � � � � �0 2 2 2 2</p><p>x2 1 (y 2 c)2 5 (y 1 c)2</p><p>x2 1 y2 2 2cy 1 c2 5 y2 1 2cy 1 c2</p><p>x2 5 4cy, em que c é a distância focal.</p><p>Neste caso, o vértice está na origem O(0, 0) e a parábola é simétrica em relação ao</p><p>eixo y, que é o eixo da parábola.</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>d</p><p>y � �cQ(x, �c)</p><p>P(x, y)F(0, c)</p><p>Para	refletir</p><p>Parábolas com eixo de</p><p>simetria horizontal são</p><p>funções? Por quê?</p><p>167capítulo 5 | Função quadrática</p><p>Função quadrática e a equação da parábola</p><p>A mesma parábola do item anterior, cuja equação é x2 5 4cy, é gráfico da função quadrática y 5 f(x) 5 ax2, em</p><p>que a, como vimos, determina se a parábola é mais “fechada” ou mais “aberta”. Quanto maior for o a, mais “fechada”</p><p>é a parábola, ou seja, os valores de y crescem mais rapidamente em relação aos de x.</p><p>E qual é a relação entre a distância focal c e o a?</p><p>Substituindo y 5 ax2 em x2 5 4cy, temos que:</p><p>x2 5 4cy ⇒ x2 5 4c ? ax2 ⇒ ca 5</p><p>1</p><p>4</p><p>Isso significa que c e a são inversamente proporcionais. Assim, quanto menor for a distância focal c, maior será</p><p>o a e, portanto, mais fechada será a parábola, e vice-versa.</p><p>A equação da parábola será retomada e aprofundaremos seu estudo no volume 3 desta coleção.</p><p>curiosidade</p><p>As antenas parabólicas geralmente têm um grande diâme-</p><p>tro (parábola mais aberta, a pequeno) para captar uma</p><p>quantidade maior de sinais do satélite, portanto a distância</p><p>focal é em geral grande (c grande) por causa disso. Veja na</p><p>foto ao lado onde está o foco: é nele que fica o captador dos</p><p>sinais de TV.</p><p>IA</p><p>RA</p><p>V</p><p>EN</p><p>AN</p><p>ZI</p><p>/K</p><p>IN</p><p>O</p><p>.C</p><p>O</p><p>M</p><p>.b</p><p>R</p><p>foco</p><p>Exercício proposto</p><p>52. Trace o gráfico de cada uma das seguintes funções</p><p>qua dráticas em um mesmo sistema de eixos:</p><p>a) f(x) 5 2x2</p><p>b) f(x) 5 22x2</p><p>c) f(x) 5</p><p>1</p><p>2</p><p>2x</p><p>d) f(x) 5 2</p><p>1</p><p>2</p><p>2x</p><p>Gráfico	da	função	definida	por	f(x)	5	ax2	1	k,	com	a		0</p><p>Examine os gráficos das funções quadráticas definidas por:</p><p>• f(x) 5 x2 1 2</p><p>• g(x) 5 x2 1 1</p><p>• h(x) 5 x2 2 1</p><p>• ϕ(x) 5 x2 2 2</p><p>Compare-os com o gráfico da função γ(x) 5 x2 que está tracejado. O eixo</p><p>de todas as parábolas é x 5 0. O ponto mínimo de f(x) 5 x2 1 2 é (0, 2); o de</p><p>g(x) 5 x2 1 1 é (0, 1); o de h(x) 5 x2 2 1 é (0, 21) e o de ϕ(x) 5 x2 2 2 é (0, 22).</p><p>De modo geral, para a  0, o ponto mínimo de f(x) 5 ax2 1 k é (0, k).</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>y �x2 � 2</p><p>y � x2 � 1</p><p>y � x2 � 2</p><p>y � x2 � 1</p><p>y � x2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>�2</p><p>1 2 3�2�3 �1</p><p>�1</p><p>168 Matemática</p><p>Observe agora os gráficos das funções quadráticas definidas por:</p><p>• f(x) 5 2x2 1 2</p><p>• g(x) 5 2x2 1 1</p><p>• h(x) 5 2x2 2 1</p><p>• ϕ(x) 5 2x2 2 2</p><p>Compare-os com o gráfico de γ(x) 5 2x2 que está tracejado. O ponto máxi-</p><p>mo de f(x) 5 2x2 1 2 é (0, 2); o de g(x) 5 2x2 1 1 é (0, 1); o de h(x) 5 2x2 2 1 é</p><p>(0, 21) e o de ϕ(x) 5 2x2 2 2 é (0, 22).</p><p>Repare que o gráfico de f(x) 5 ax2 1 k é congruente ao gráfico de f(x) 5 ax2,</p><p>porém sua posição é, em valores abso lutos, k unidades acima ou abaixo, conforme k seja positivo ou negativo. Dizemos</p><p>que o gráfico de f(x) 5 ax2 1 k é o gráfico de f(x) 5 ax2 transladado de k unidades, segundo o eixo y. A parábola inter-</p><p>secta o eixo y no ponto (0, k).</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>y � �x2 � 2</p><p>y � �x2 � 1</p><p>y � �x2 � 2</p><p>y � �x2 � 1</p><p>y � �x2</p><p>�5</p><p>�3</p><p>�2</p><p>�1</p><p>�4</p><p>1</p><p>2</p><p>�6</p><p>1 2 3�2�3 �1</p><p>De modo geral, para a  0, o ponto máximo de f(x) 5 ax2 1 k é (0, k).</p><p>Exercícios propostos</p><p>53. Escreva as coordenadas do vértice e o eixo da pará-</p><p>bola para cada uma das funções quadráticas:</p><p>a) f(x) 5 3x2 1 1 c) h(x) 5</p><p>1</p><p>3</p><p>2x 2 1</p><p>b) g(x) 5 23x2 1 2 d) φ(x) 5 3x2 2 1</p><p>54. Quais das funções do exercício anterior possuem um</p><p>valor mínimo e quais têm um valor máximo? Quais</p><p>são esses valores?</p><p>Gráfico	da	função	definida	por	f(x)	5	a(x	2	m)2,	com	a		0</p><p>Observe a tabela e os gráficos das funções definidas por f(x) 5 2x2 e</p><p>g(x) 5 2(x 2 3)2 traçados em um mesmo sistema de eixos:</p><p>x ... 22 21 0 1 2 3 4 5 ...</p><p>f(x)	5	2x2 ... 8 2 0 2 8 18 ... ... ...</p><p>g(x)	5	2(x	2	3)2 ... ... ... 18 8 2 0 2 8 ...</p><p>O eixo da parábola f(x) 5 2x2 é x 5 0 e o eixo da parábola g(x) 5 2(x 2 3)2 é x 5 3. A parábola é simétrica em</p><p>relação a esse eixo. A parábola g(x) 5 2(x 2 3)2 é congruente à parábola f(x) 5 2x2, mas sua posição é 3 unidades à</p><p>direita do gráfico de f(x) 5 2x2.</p><p>De modo geral:</p><p>• o gráfico de f(x) 5 a(x 2 m)2 é congruente ao gráfico de g(x) 5 ax2,</p><p>porém sua posição, em valores absolutos, é m unidades à direita</p><p>ou à esquerda do gráfico de g(x) 5 ax2, conforme m seja positivo</p><p>(m  0) ou negativo (m  0), respectivamente. Dizemos que o</p><p>gráfico de f(x) 5 a(x 2 m)2 é o gráfico de f(x) 5 ax2 transladado</p><p>de m unidades, segundo o eixo x.</p><p>• se a  0, a concavidade da parábola é para cima e ela tem um</p><p>ponto mínimo (m, 0); se a  0, a concavidade é para baixo e a</p><p>parábola tem um ponto máximo (m, 0).</p><p>• o gráfico é simétrico em relação à reta x 5 m e essa reta é o eixo da parábola.</p><p>• é possível provar que o gráfico da função quadrática f(x) 5 a(x 2 m)2, a  0 e m  ® é uma parábola cujo foco</p><p>é o ponto F m</p><p>a</p><p>,</p><p>1</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>e cuja diretriz é a reta horizontal y 5 2</p><p>1</p><p>4a</p><p>.</p><p>x</p><p>d</p><p>y � ax2 y � a(x � m)2</p><p>(x, a(x � m)2)</p><p>y � � 1</p><p>4a</p><p>m</p><p>F</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>(0, 0) (3, 0)</p><p>(�1, 2) (4, 2)(2, 2)</p><p>(1, 2)</p><p>(�2, 8) (5, 8)(2, 8)</p><p>(1, 8)</p><p>169capítulo 5 | Função quadrática</p><p>Exercícios propostos</p><p>55. Determine o eixo, o vértice, o foco e a diretriz de cada</p><p>uma das parábolas dadas pelas funções quadráticas:</p><p>a) f(x) 5 (x 2 2)2 c) f(x) 5</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2(     )x 2</p><p>b) f(x) 5 22(x 1 1)2 d) f(x) 5 � �</p><p>1</p><p>3</p><p>2 2(     )x</p><p>e) f(x) 5 3(x 2 2)2</p><p>f ) f(x) 5 25(x 2 1)2</p><p>56.		Quais das funções quadráticas do exercício anterior</p><p>possuem um ponto máximo e quais têm um ponto</p><p>mínimo? Quais são esses pontos?</p><p>Gráfico	da	função	definida	por	f(x)	5	a(x	2	m)2	1	k,	com	a		0</p><p>Já vimos que o gráfico de f(x) 5 ax2 1 k tem uma posição que está, em valores absolutos, k unidades acima ou</p><p>abaixo do gráfico de f(x) 5 ax2. Vimos também que o gráfico de f(x) 5 a(x 2 m)2 tem uma posição que está, em valo-</p><p>res absolutos, m unidades à direita ou à esquerda do gráfico de f(x) 5 ax2. Portanto, o gráfico de f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k</p><p>é congruente ao gráfico de f(x) 5 ax2, tendo uma posição que está, em valores absolutos, m unidades à direita (m  0)</p><p>ou à esquerda (m  0) do gráfico de f(x) 5 ax2 e k unidades acima (k  0) ou abaixo (k  0) do gráfico de f(x) 5 ax2.</p><p>O eixo de simetria da parábola dada por f(x) 5 (x 2 m)2 1 k é x 5 m.</p><p>Observe, por exemplo, os gráficos das funções quadráticas f(x) 5 2x2, g(x) 5 2(x 2 3)2 1 1 e h(x) 5 2(x 1 3)2 1 1.</p><p>y</p><p>x</p><p>x � �3</p><p>(�3, 1) (3, 1)</p><p>x � 3</p><p>h(</p><p>x)</p><p>�</p><p>2</p><p>(x</p><p>�</p><p>3</p><p>)2 �</p><p>1</p><p>g(</p><p>x)</p><p>�</p><p>2</p><p>(x</p><p>�</p><p>3</p><p>)2 �</p><p>1</p><p>f(x</p><p>) �</p><p>2</p><p>x2</p><p>A parábola dada por g(x) 5 2(x 2 3)2 1 1 está 3 unidades à direita e 1 unidade acima da parábola dada por</p><p>f(x) 5 2x2 e é simétrica em relação ao eixo x 5 3.</p><p>A parábola dada por h(x) 5 2(x 1 3)2 1 1 está 3 unidades à esquerda e 1 unidade acima da parábola dada por</p><p>f(x) 5 2x2 e é simétrica ao eixo x 5 23. O vértice da parábola g(x) 5 2(x 2 3)2 1 1 é V (3, 1) e o vértice da</p><p>parábola h(x) 5 2(x 1 3)2 1 1 é V(23, 1).</p><p>Generalização:</p><p>De modo geral é possível provar que dados a, m, k  ®, com a ≠ 0, o gráfico da função quadrática f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k</p><p>é a parábola cujo foco é o ponto F m k</p><p>a</p><p>,     1</p><p>1</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>e cuja diretriz é a reta horizontal y 5 k 2</p><p>1</p><p>4a</p><p>. O vértice da</p><p>parábola é V(m, k).</p><p>x</p><p>m0</p><p>y</p><p>y � k �d</p><p>k</p><p>y � ax2 y � a(x � m)2</p><p>y � a(x � m)2 � k</p><p>1</p><p>4a</p><p>V</p><p>F</p><p>f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k; F m k</p><p>a</p><p>,     1</p><p>1</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>; V(m, k)</p><p>170 Matemática</p><p>Observação: A função f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k, com a  0, é equivalente à função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c (a  0), em que</p><p>b 5 22am e c 5 am2 1 k. Basta ver que:</p><p>a(x 2 m)2 1 k 5 a(x2 2 2xm 1 m2) 1 k 5 ax2 2 2axm 1 am2 1 k 5 ax2 1 ( )22am x</p><p>b</p><p>��� �� 1 am k</p><p>c</p><p>2 1 ��� �� 5 ax2 1 bx 1 c</p><p>Gráfico	da	função	definida	por	f(x)	5	ax2	1	bx	1	c</p><p>Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.</p><p>y</p><p>x</p><p>O</p><p>x1</p><p>V</p><p>vértice</p><p>parábola</p><p>eixo de simetria</p><p>x2</p><p>c</p><p>Parâmetro a</p><p>Responsável pela concavidade e abertura da parábola.</p><p>• Se a  0, a concavidade é para cima. • Se a  0, a concavidade é para baixo.</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais “fechada”),</p><p>independentemente da concavidade.</p><p>a  0 a  0</p><p>Parâmetro b</p><p>Indica se a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola.</p><p>• Se b  0, a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente.</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>• Se b  0, a parábola intersecta o eixo y no ramo decrescente.</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>y � 5x2</p><p>y � 2x2</p><p>y � x2</p><p>0</p><p>y � x21</p><p>2</p><p>y � x21</p><p>10</p><p>x</p><p>0</p><p>y � � x21</p><p>10</p><p>y � � x21</p><p>2</p><p>y � �x2</p><p>y � �2x2</p><p>y � �5x2</p><p>y</p><p>171capítulo 5 | Função quadrática</p><p>• Se b 5 0, a parábola intersecta o eixo y no vértice.</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>Parâmetro c</p><p>Indica o ponto onde a parábola intersecta o eixo y.</p><p>x</p><p>y</p><p>c</p><p>A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).</p><p>Além disso, a parábola pode intersectar o eixo x em um, dois ou nenhum ponto, dependendo do valor de</p><p> 5 b2 2 4ac da equação correspondente.</p><p>f(x) 5 0 ⇒ ax2 1 bx 1 c 5 0</p><p> 5 0 ⇒ uma raiz real dupla (a parábola intersecta o eixo x em um só ponto)</p><p>  0 ⇒ duas raízes reais distintas (a parábola intersecta o eixo x em dois pontos)</p><p>  0 ⇒ nenhuma raiz real (a parábola não intersecta o eixo x)</p><p>Exercícios propostos</p><p>57. Determine o eixo, o vértice, o foco e a diretriz de cada</p><p>uma das parábolas dadas pelas funções quadráticas:</p><p>a) f(x) 5 2(x 2 3)2 1 4 d) f(x) 5 2</p><p>1</p><p>2</p><p>(x 2 1)2 2 1</p><p>b) f(x) 5 22(x 2 3)2 1 4 e) f(x) 5 3(x 1 1)2 1 2</p><p>c) f(x) 5 (x 1 3)2 f ) f(x) 5</p><p>1</p><p>5</p><p>(x 2 2)2 2 3</p><p>58. Quais das funções quadráticas do exercício anterior</p><p>possuem um ponto máximo e quais têm um ponto</p><p>mínimo? Quais são esses pontos?</p><p>59. Transforme cada função quadrática na forma canôni-</p><p>ca e determine o eixo, o vértice, o foco e a diretriz de</p><p>cada uma das parábolas dadas pelas funções quadrá-</p><p>ticas abaixo.</p><p>a) f(x) 5 4x2 1 x 2 3</p><p>b) f(x) 5 22x2 1 5x 2 1</p><p>c) f(x) 5 23x2 1 2x 2 2</p><p>d) f(x) 5 x2 2</p><p>7</p><p>2</p><p>x 1 3</p><p>60. Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábo-</p><p>la passa pelos pontos (3, 22) e (0, 4) e tem vértice no</p><p>ponto (2, 24); em seguida, verifique qual das seguin-</p><p>tes sentenças corresponde a essa função:</p><p>a) f(x) 5 22x2 2 8x 1 4</p><p>b) f(x) 5 2x2 2 8x 1 4</p><p>c) f(x) 5 2x2 1 8x 1 4</p><p>61. Verifique quais dos seguintes pontos pertencem à</p><p>parábola que representa graficamente a função</p><p>f(x) 5 x2 2 5x 1 6:</p><p>a) A(2, 0)</p><p>b) B(4, 2)</p><p>c) C(21, 10)</p><p>62. Determine o valor de m para que o ponto A(2, 1) per-</p><p>tença à parábola que representa graficamente a fun-</p><p>ção dada por f(x) 5 (m 1 1)x2 2 1.</p><p>63. Qual deve ser o valor de k para que a parábola que</p><p>representa graficamente a função f(x) 5 x2 2 2x 1 k</p><p>passe pelo ponto P(2, 5)?</p><p>172 Matemática</p><p>8.	 A	parábola	e	suas	intersecções	com	os	eixos</p><p>Nos gráficos seguintes estão indicados os pontos de intersecção da parábola com os eixos; veja como são</p><p>determinados algebricamente esses pontos de intersecção a partir da lei da função quadrática:</p><p>a) f(x) 5 x2 2 2x 1 1</p><p>Intersecção com o eixo y:</p><p>x 5 0 ⇒ f(0) 5 02 2 2 ? 0 1 1 5 1</p><p>A parábola intersecta o eixo y em (0, 1).</p><p>Intersecção com o eixo x:</p><p>f(x) 5 0 ⇒ x2 2 2x 1 1 5 0</p><p> 5 4 2 4 5 0 ⇒  5 0 (a equação admite uma raiz dupla)</p><p>x 5</p><p>2 0</p><p>2</p><p>±</p><p>5 1</p><p>A parábola intersecta o eixo x em um só ponto: (1, 0). Isso significa que a função possui um zero duplo: 1.</p><p>b) f(x) 5 24x2 1 1</p><p>Intersecção com o eixo y:</p><p>x 5 0 ⇒ f(0) 5 24 ? 02 1 1 5 1</p><p>A parábola intersecta o eixo y em (0, 1).</p><p>Intersecção com o eixo x:</p><p>f(x) 5 0 ⇒ 24x2 1 1 5 0 ⇒ 24x2 5 21 ⇒ 4x2 5 1 ⇒ x2 5</p><p>1</p><p>4</p><p>⇒ x 5 ±</p><p>1</p><p>2</p><p>(a equação admite duas raízes distintas)</p><p>Observe que, neste caso,  5 0 1 16 5 16, ou seja,   0.</p><p>A parábola intersecta o eixo x em dois pontos:</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>0,      ,  .</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>e 2</p><p>Isso significa que os zeros da função f(x) 5 24x2 1 1 são 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>.e</p><p>c) f(x) 5 x2 1 2x 1 3</p><p>Intersecção com o eixo y:</p><p>x 5 0 ⇒ f(0) 5 02 1 2 ? 0 1 3 5 3</p><p>A parábola intersecta o eixo y em (0, 3).</p><p>Intersecção com o eixo x:</p><p>f(x) 5 0 ⇒ x2 1 2x 1 3 5 0</p><p> 5 4 2 12 5 28 ou   0 (a equação não tem raízes reais)</p><p>A parábola não intersecta o eixo x.</p><p>A função f(x) 5 x2 1 2x 1 3 não admite zeros reais.</p><p>Conclusão:</p><p>• A parábola da função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c intersecta o eixo y sempre no ponto (0, c), pois</p><p>f(0) 5 a ? 02 1 b ? 0 1 c 5 c.</p><p>y</p><p>x</p><p>(0, 1)</p><p>(1, 0)</p><p>y</p><p>x</p><p>[� , 0]1</p><p>2</p><p>[ , 0]1</p><p>2</p><p>(0, 1)</p><p>y</p><p>x</p><p>(0, 3)</p><p>Para	refletir</p><p>Por que o gráfico de</p><p>f(x) = ax2 + bx + c</p><p>sempre intersecta</p><p>o eixo y em um só</p><p>ponto ?</p><p>173capítulo 5 | Função quadrática</p><p>• Essa parábola pode intersectar o eixo x em um ou dois pontos ou pode não intersectar o eixo x, dependendo do</p><p>valor de  5 b2 2 4ac da equação correspondente. Veja:</p><p>f(x) 5 0 ⇒	ax2 1 bx 1 c 5 0</p><p>∆                (     int� 0 ⇒ uma raiz real dupla a parábola eer ta o eixo em um só ponto</p><p>du</p><p>sec               )</p><p>x</p><p>∆ � 0 ⇒ aas raízes reais dist as a parábola e      int  (     int rr ta o eixo em dois pontos</p><p>nen</p><p>sec             )</p><p>x</p><p>∆ � 0 ⇒ hhuma raiz real a parábola não er ta     (       int sec  oo eixo    ) x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Graficamente, temos:</p><p>a  0 a  0</p><p>y</p><p>x</p><p>� � 0</p><p>� � 0</p><p>� � 0</p><p>y</p><p>x</p><p>� � 0</p><p>� � 0</p><p>� � 0</p><p>Exercícios propostos</p><p>64. Determine os zeros das seguintes funções quadráticas:</p><p>a) f(x) 5 x2 2 11x 1 30 c) f(x) 5 x2 2 36</p><p>b) f(x) 5 x2 1 4x 2 21 d) f(x) 5 6x2 2 5x 1 1</p><p>65. Em que pontos a parábola de cada função do exercí-</p><p>cio anterior intersecta os eixos x e y?</p><p>66. Em cada gráfico da função quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c,</p><p>com  5 b2 2 4ac, descubra se a  0 ou a  0 e se</p><p>  0,   0 ou  5 0.</p><p>a) y</p><p>x</p><p>d) y</p><p>x</p><p>b) y</p><p>x</p><p>e) y</p><p>x</p><p>c) y</p><p>x</p><p>f) y</p><p>x</p><p>67. O gráfico abaixo representa uma função do tipo</p><p>y 5 ax2 1 bx 1 c, a  0:</p><p>y</p><p>x</p><p>0</p><p>Então, podemos afirmar que:</p><p>a) a  0, b2 5 4ac, c  0 e b  0.</p><p>b) a  0, b2  4ac, c  0 e b  0.</p><p>c) a  0, b2  4ac, c  0 e b  0.</p><p>d) a  0, b2  4ac, c  0 e b  0.</p><p>e) a  0, b2  4ac, c  0 e b  0.</p><p>174 Matemática</p><p>9.	 Vértice	da	parábola,	imagem	e	valor	máximo	ou	mínimo</p><p>da	função	quadrática</p><p>A determinação do vértice da parábola ajuda a elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função,</p><p>bem como seu valor máximo ou mínimo.</p><p>Uma das maneiras de determinar o vértice é lembrar que a parábola é simétrica em relação a um eixo vertical.</p><p>Determinando a posição desse eixo, encontraremos a abscissa do vértice, e com a abscissa do vértice obteremos a</p><p>ordenada, que é função da abscissa.</p><p>Outra maneira é lembrar que na forma canônica (página 158) o vértice é dado por (m, k) sendo m 5 2</p><p>b</p><p>2a e</p><p>k 5 f(m) 5</p><p>4ac 2 b2</p><p>4a 5 2</p><p></p><p>4a</p><p>.</p><p>Examine os exemplos:</p><p>1‚) f(x) 5 2x2 2 8x</p><p>Obtendo as raízes, teremos x’ 5 0 e x” 5 4. Dada a simetria das parábolas, o eixo de simetria terá abscissa</p><p>xV 5</p><p>x’ 1 x”</p><p>2 5</p><p>0 1 4</p><p>2 5 2.</p><p>Substituindo x 5 2 na função, obtemos a ordenada do vértice f(2) 5 2 ? 22 2 8 ? 2 5 28.</p><p>Valor mínimo da função: 28</p><p>Im(f) 5 {y  ® | y  28}</p><p>Essa função não tem valor máximo.</p><p>y</p><p>x</p><p>�8</p><p>�6</p><p>(2, �8)</p><p>0 1 2 3 4</p><p>Im(f)</p><p>Para	refletir</p><p>Se 2 é a abscissa do vértice, os</p><p>pontos de abscissas 1 e 3 são</p><p>simétricos na parábola. Os de</p><p>abscissas 0 e 4 também.</p><p>Então, o vértice é o ponto (2, 28).</p><p>A função assume valor mínimo 28 quando x 5 2. Logo, Im(f) 5 {y  ® | y  28}.</p><p>2‚) f(x) 5 24x2 1 4x 1 5</p><p>O vértice de uma parábola</p><p>3(x2 2 25) 5 3(x 1 5)(x 2 5)</p><p>colocando o 3 fatorando a diferença</p><p>em evidência entre dois quadrados</p><p>• 4x3 1 4x2 1 x 5 x(4x2 1 4x 1 1) 5 x(2x 1 1)2</p><p>7‚‚ caso de fatoração: fatoração de expressões quadráticas</p><p>Quando multiplicamos (x 1 3) por (x 1 2) obtemos x2 1 5x 1 6, ou seja:</p><p>(x 1 3)(x 1 2) 5 x2 1 5x 1 6</p><p>O processo inverso, ou seja, partindo de x2 1 5x 1 6 para chegar a (x 1 3)(x 1 2), é chamado de fatoração da</p><p>expressão quadrática x2 1 5x 1 6.</p><p>Veja alguns exemplos de fatoração de expressões quadráticas:</p><p>• x2 1 6x 1 8</p><p>Devemos encontrar dois números cujo produto é 8 e cuja soma é 6. Esses números são 4 e 2. Então,</p><p>x2 1 6x 1 8 5 (x 1 4)(x 1 2).</p><p>• x2 2 6x 1 8</p><p>Devemos encontrar dois números cujo produto é 8 e cuja soma é 26. Esses números são 22 e 24. Então,</p><p>x2 2 6x 1 8 5 (x 2 2)(x 2 4).</p><p>Resolução da equação do 2‚ grau usando fatoração de expressões quadráticas</p><p>Vamos resolver a equação do 2‚ grau x2 1 x 2 12 5 0.</p><p>Fatorando, temos:</p><p>x 2 3 5 0 ⇒ x 5 3</p><p>x2 1 x 2 12 5 0 ⇒	(x 2 3)(x 1 4) 5 0 ⇒		 ou</p><p>x 1 4 5 0 ⇒ x 5 24</p><p>Assim, as raízes da equação x2 1 x 2 12 5 0 são x 5 3 ou x 5 24.</p><p>Exercício proposto</p><p>15. Fatore as expressões quadráticas:</p><p>a) x2 1 7x 1 10</p><p>b) x2 1 3x 2 10</p><p>c) x2 2 2x 2 35</p><p>d) x2 2 6x 1 8</p><p>e) b2 2 4b 2 21</p><p>f) a2 1 14a 1 45</p><p>d) y2 2 15y 1 56 5 0</p><p>e) x2 2 14x 1 49 5 0</p><p>f) x2 1 9x 1 18 5 0</p><p>Exercício proposto</p><p>16. Resolva as equações do 2‚ grau usando fatoração:</p><p>a) x2 1 7x 1 12 5 0</p><p>b) x2 1 5x 2 14 5 0</p><p>c) x2 2 x 2 12 5 0</p><p>Fatorações sucessivas</p><p>Há expressões nas quais podemos fatorar duas ou mais vezes até chegar ao resultado final. Veja alguns exemplos:</p><p>Exercício proposto</p><p>17. Fatore as expressões completamente:</p><p>a) 45x3 2 5xy2</p><p>b) a4 2 b4</p><p>c) xy 2 5x 1 4y 2 20</p><p>d) x2 1 2xy 1 y2 1 5x 1 5y</p><p>17Capítulo 1 | Revisão: produtos notáveis e fatoração</p><p>ATENÇÃO!</p><p>A seguir, separadas por regiões geográficas, relaciona-</p><p>mos algumas questões de vestibular que envolvem o con-</p><p>teúdo deste capítulo.</p><p>Região Norte</p><p>1.	(Ufam) Se x 2</p><p>1</p><p>x</p><p>5 3, então o valor de</p><p>x2 2</p><p>1</p><p>3x</p><p>1 x3 1</p><p>1</p><p>2x</p><p>é:</p><p>a) 27. d) 11.</p><p>b) 47. e) 63.</p><p>c) 36.</p><p>2. (Ufam) Se (x 1 y)2 2 (x 2 y)2 5 30, então 2xy é igual a:</p><p>a) 0. d)</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>b) 15. e)</p><p>5</p><p>3</p><p>.</p><p>c) 6.</p><p>3. (UFRR) O valor da expressão (a 1 b)2 2 (a 2 b)2 para</p><p>a 5 25 e b 5 b0 é 1 000. Podemos afirmar que o valor</p><p>de b0 é:</p><p>a) 12. d) 40.</p><p>b) 0. e) 10.</p><p>c) 5.</p><p>Região Nordeste</p><p>4. (Unit-SE) Se x é um número real estritamente positivo,</p><p>a expressão x x2 2 2 2           � � �� é equivalente a:</p><p>a) x2 2 1. d)</p><p>(     )</p><p>.</p><p>x 1 1 2</p><p>x</p><p>b)</p><p>(     )</p><p>.</p><p>x 2 1 2</p><p>x</p><p>e) (x 2 1)2 2 2 .</p><p>c)</p><p>x2 1</p><p>.</p><p>2</p><p>x</p><p>5. (Unifor-CE) Se a e b são números reais, tais que |a|  |b| e</p><p>ab 5</p><p>1</p><p>2</p><p>, o valor da expressão</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>3 3 3 3</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>é:</p><p>a) 2. d) 21.</p><p>b) 1. e) 22.</p><p>c) 0.</p><p>6. (Uece) Considerando os números a 5</p><p>5 3   1</p><p>2</p><p>e</p><p>b 5</p><p>5 3</p><p>,</p><p>2</p><p>2</p><p>o valor de a2 2 b2 é:</p><p>a) 5 3 . b)  2 3 . c)</p><p>3</p><p>2</p><p>. d)</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>7.	(UFC-CE) O valor exato de</p><p>32 10 7 32 10 7           � � � é:</p><p>a) 12. b) 11. c) 10. d) 9. e) 8.</p><p>Região Centro-Oeste</p><p>8. (UFMT) Sobre o número natural n 5 240 2 1, conside-</p><p>re as seguintes afirmativas:</p><p>I) n é um múltiplo de 31.</p><p>II) n é um múltiplo de 5.</p><p>III) n é um número primo.</p><p>IV) n é um número par.</p><p>Estão corretas as afirmativas:</p><p>a) III e IV. c) II e IV. e) I e II.</p><p>b) II e III. d) I e III.</p><p>Região Sudeste</p><p>9. (UFMG) Sejam x e y números reais não nulos tais que</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>x</p><p>5 22. Então, é correto afirmar que:</p><p>a) x2 2 y 5 0. c) x2 1 y 5 0.</p><p>b) x 1 y2 5 0. d) x 2 y2 5 0.</p><p>10. (PUC-RJ) O produto (x 1 1)(x2 2 x 1 1) é igual a:</p><p>a) x3 2 1. d) x3 2 3x2 1 3x 2 1.</p><p>b) x3 1 3x2 2 3x 1 1. e) x2 1 2.</p><p>c) x3 1 1.</p><p>11. (Fatec-SP) O valor da expressão y 5</p><p>x</p><p>x x</p><p>3</p><p>2</p><p>8</p><p>2 4</p><p>,</p><p>�</p><p>� �</p><p>para x 5 2 , é:</p><p>a) 2 2    .2 d) 20,75.</p><p>b) 2 2    .2 1 2. e) 2</p><p>4</p><p>3</p><p>.</p><p>c) 2.</p><p>Região Sul</p><p>12. (UFRGS-RS) Se a 5 x</p><p>,</p><p>1 y</p><p>2</p><p>b 5</p><p>x y   2</p><p>2</p><p>e c 5 xy ,</p><p>em que x e y são números reais tais que xy . 0, então</p><p>uma relação entre a2, b2 e c2 é:</p><p>a) a2 1 b2 2 c2 5 0. d) a2 2 b2 1 c2 5 0.</p><p>b) a2 2 b2 2 c2 5 0. e) a2 5 b2 5 c2.</p><p>c) a2 1 b2 1 c2 5 0.</p><p>>Atividades adicionais</p><p>AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM</p><p>TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS</p><p>APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC.,</p><p>NÃO ESCREVA NO LIVRO.</p><p>TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DADAS NO CADERNO.</p><p>18 Matemática</p><p>capítulo 2</p><p>Conjuntos e</p><p>Conjuntos numériCos</p><p>A obra 1,618, de Antonio Peticov</p><p>(1946-), artista plástico</p><p>paulista, reproduz a</p><p>formação do caramujo</p><p>Nautilus marinho.</p><p>A constituição da</p><p>espiral do caramujo</p><p>segue exatamente</p><p>a sequência do</p><p>retângulo de ouro</p><p>(um retângulo é</p><p>áureo quando a</p><p>razão entre seu</p><p>comprimento</p><p>e sua largura é</p><p>o “número de</p><p>ouro”).</p><p>Os gregos, na Antiguidade, só trabalhavam</p><p>com números naturais (os inteiros positivos) e as</p><p>razões entre eles (os racionais). Até o século V a.C.</p><p>acreditavam que esses números fossem suficien-</p><p>tes para comparar duas grandezas quaisquer de</p><p>mesma espécie — segmentos de reta, áreas,</p><p>volumes, etc.</p><p>A primeira grande crise no desenvolvimento</p><p>da Matemática ocorreu quando se percebeu que</p><p>havia segmentos de reta cuja medida não corres-</p><p>pondia a nenhuma razão entre dois números na-</p><p>turais, o que significava que a reta numerada con-</p><p>tinha pontos que não correspondiam a nenhum</p><p>número conhecido. E esses novos números foram</p><p>chamados irracionais. Assim, a construção dos</p><p>conjuntos numéricos permaneceu por séculos</p><p>como uma grande questão entre os matemáticos,</p><p>sendo amplamente pesquisada, cul minando, no</p><p>século XIX, com a teoria dos conjuntos de Georg</p><p>Cantor (1845-1918).</p><p>O “número de ouro” dos gregos, símbolo da</p><p>harmonia e da beleza, é um dos mais famosos</p><p>exemplares desse novo tipo de número. Repre-</p><p>sentado por 1    ,� 5</p><p>2</p><p>corresponde, na forma de-</p><p>cimal, ao número 1,61803398... Está presente em</p><p>diversos elementos da Natureza — forma de cres-</p><p>cimento das plantas e dos demais seres vivos,</p><p>presas dos elefantes, escamas dos peixes, cauda</p><p>do pavão, corpo humano — e em vários campos do</p><p>conhecimento — Arte, Arquitetura, Música, Litera-</p><p>tura. Podemos citar alguns exemplos:</p><p>AN</p><p>tO</p><p>N</p><p>IO</p><p>P</p><p>Et</p><p>IC</p><p>O</p><p>V/</p><p>AC</p><p>ER</p><p>VO</p><p>d</p><p>O</p><p>A</p><p>Rt</p><p>Is</p><p>tA</p><p>Conjuntos e</p><p>Conjuntos numériCos</p><p>18</p><p>capítulo 2</p><p>19capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>>atividades</p><p>st</p><p>EV</p><p>EN</p><p>P</p><p>u</p><p>Et</p><p>zE</p><p>R/</p><p>CO</p><p>Rb</p><p>Is</p><p>/L</p><p>At</p><p>IN</p><p>st</p><p>O</p><p>Ck</p><p>19</p><p>1. Observe a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,</p><p>89, 144, ... Ela é chamada de sequência de Fibonacci</p><p>(esse assunto será retomado na abertura do ca-</p><p>pítulo 9).</p><p>a) descubra o padrão de formação dessa sequência.</p><p>b) Efetue sucessivas divisões entre um número da</p><p>sequência, a partir do quinto, e o que o antecede.</p><p>O que você observa?</p><p>c) são dados: o corte da concha de um Nautilus, no</p><p>qual se veem as câmaras formando a espiral de</p><p>ouro, e a sequên cia de retângulos áureos que dão</p><p>origem a essa espiral. Que relação existe entre a</p><p>sequência de retângulos e a de Fibonacci?</p><p>13</p><p>8 5</p><p>32</p><p>8 5</p><p>32</p><p>5</p><p>32322</p><p>2.	 Calcule a razão entre a sua altura e a distância de seu</p><p>umbigo até o chão. Compare o valor obtido com o</p><p>número de ouro. O que se pode observar? Repita a</p><p>experiência com outras pessoas e compare.</p><p>>atividades</p><p>• A fachada do templo grego Partenon é toda organizada segundo a razão áurea.</p><p>• Na grande pirâmide de Gizé, no Egito, o quociente entre a altura de uma face e a metade do lado</p><p>da base vale quase 1,618.</p><p>• A obra Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, apresenta a razão áurea em várias partes.</p><p>• A proporção entre fêmeas e machos na população das abelhas, em qualquer colmeia, é áurea.</p><p>• O pentagrama — estrela regular de cinco pontas — contém uma inumerável quantidade de</p><p>relações douradas.</p><p>• O caramujo Nautilus marinho apresenta a razão áurea em seu corpo segmentado em forma de espiral,</p><p>cha mada espiral de ouro. Pode-se cons truí-la a partir de retângulos cujos lados estão na razão áurea.</p><p>O conceito de conjunto e os conjuntos numéricos serão revistos e aprofundados neste capítulo.</p><p>Ed</p><p>w</p><p>AR</p><p>d</p><p>dada por f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, a  0, também pode ser calculado assim:</p><p>V [2</p><p>b</p><p>2a , 2</p><p></p><p>4a ] .</p><p>Neste caso, temos:</p><p>f(x) 5 24x2 1 4x 1 5</p><p>xV 5</p><p>2b</p><p>2a 5</p><p>24</p><p>28 5</p><p>1</p><p>2</p><p>yV 5</p><p>2</p><p>4a 5</p><p>2(16 1 80)</p><p>216 5</p><p>296</p><p>216 5 6</p><p>V[ 1</p><p>2 , 6]</p><p>Para	refletir</p><p>xV é a média aritmética dos</p><p>zeros da função quadrática,</p><p>se existirem. Comprove!</p><p>175capítulo 5 | Função quadrática</p><p>A função assume valor máximo 6 quando x 5</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Logo, Im(f) 5 {y  ® | y  6}.</p><p>Poderíamos ter transformado a função quadrática f(x) 5 24x2 1 4x 1 5 na</p><p>forma canônica f(x) 5 a(x 2 m)2 1 k, em que m 5 2</p><p>b</p><p>a2</p><p>e k 5 f(m), e</p><p>obtido a mesma solução:</p><p>m 5 2</p><p>b</p><p>a2</p><p>⇒ m 5</p><p>1</p><p>2</p><p>k 5 f(m) ⇒ k 5 f</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5 24</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 4 </p><p>1</p><p>2</p><p>1 5 5 21 1 2 1 5 5 6 ⇒ k 5 6</p><p>Assim, f(x) 5 2 24 x</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p> 1 6 e o vértice é dado por V</p><p>1</p><p>2</p><p>6,  .</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Logo, a função tem seu valor máximo 6 quando x 5</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Portanto, Im(f) 5 {y  ® | y  6}.</p><p>De modo geral, dada a função f: ® → ® tal que f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a  0, se V(xV, yV) é o vértice da parábola</p><p>correspondente, temos então:</p><p>a  0 ⇔ yV é o valor mínimo de f ⇔ Im(f) 5 {y  ® | y  yV}</p><p>a  0 ⇔ yV é o valor máximo de f ⇔ Im(f) 5 {y  ® | y  yV}</p><p>Examine os exemplos:</p><p>1‚) Vamos determinar Im(f) e o valor máximo ou mínimo da função quadrática f(x) 5 x2 1 4x 2 2.</p><p>1a maneira</p><p>f(x) 5 x2 1 4x 2 2</p><p>yV 5</p><p>��</p><p>�</p><p>� �</p><p>4</p><p>16 8</p><p>4a</p><p>(     )</p><p>5 26</p><p>a  0, então a concavidade é para cima.</p><p>Im(f) 5 {y  ® | y  26}</p><p>Valor mínimo de f: 26</p><p>2a maneira</p><p>f(x) 5 x2 1 4x 2 2</p><p>f(x) 5 x2 1 4x 1 4 2 4 2 2</p><p>f(x) 5 (x 1 2)2 2 6 (forma canônica)</p><p>V(22, 26)</p><p>Valor mínimo (pois a  0) de f: 26 (ocorre quando x 5 22).</p><p>Im(f) 5 {y  ® | y  26}</p><p>2‚) Vamos determinar m de modo que a função f(x) 5 (3m 2 1)x2 2 5x 1 2 admita valor máximo.</p><p>Para que a função f(x) 5 (3m 2 1)x2 2 5x 1 2 admita valor máximo, devemos ter a  0 (concavidade para cima).</p><p>Condição: a  0 ⇔ 3m 2 1  0</p><p>3m 2 1  0 ⇒ 3m  1 ⇒ m </p><p>1</p><p>3</p><p>Logo, m pode ser qualquer número real menor do que 1</p><p>3</p><p>.</p><p>y</p><p>x</p><p>6</p><p>5</p><p>�3</p><p>�1 0 1 21</p><p>2</p><p>Im(f)</p><p>[ , 6]1</p><p>2</p><p>Valor máximo da função: 6</p><p>Im(f) 5 {y  ® | y  6}.</p><p>176 Matemática</p><p>3‚) Vamos determinar k de modo que o valor mínimo da função f(x) 5 (k 2 1)x2 1 6x 2 2 seja 25.</p><p>Condições: k</p><p>a</p><p>2 1�  0 ⇒ k  1 e yV 5</p><p>��</p><p>4a</p><p>5 25</p><p> 5 (6)2 2 4(k 2 1)(22) 5 36 1 8k 2 8 5 8k 1 28</p><p>��</p><p>4a</p><p>5 25 ⇒</p><p>(     )</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>8 28</p><p>4 1</p><p>k</p><p>k</p><p>5 25 ⇒</p><p>8 28</p><p>4 4</p><p>k</p><p>k</p><p>�</p><p>�</p><p>5 5</p><p>Resolvendo a equação em k, temos:</p><p>5(4k 2 4) 5 8k 1 28 ⇒ 20k 2 20 5 8k 1 28 ⇒	20k 2 8k 5 28 1 20 ⇒ 12k 5 48 ⇒ k 5</p><p>48</p><p>12</p><p>⇒	k 5 4 (satisfaz a</p><p>condição k  1)</p><p>Portanto, para que o valor mínimo de f(x) seja 25, temos de ter k 5 4.</p><p>Vamos determinar m de modo que a função f(x) 5 24x2 1 (m 1 1)x 1 2 tenha valor máximo para x 5 2.</p><p>Condição: xV 5</p><p>2b</p><p>a2</p><p>5 2 ⇒</p><p>(     )</p><p>( )</p><p>� �</p><p>�</p><p>m</p><p>b</p><p>1</p><p>2 4</p><p>��� ��</p><p>5 2 ⇒</p><p>m   1 1</p><p>8</p><p>5 2</p><p>Resolvendo a equação em m, temos: m 1 1 5 16 ⇒ m 5 15</p><p>Logo, a função f(x) tem valor máximo para x 5 2 quando m 5 15.</p><p>* 4‚) (Enem) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez</p><p>é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamen-</p><p>te proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a</p><p>rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:</p><p>R(x) 5 k ? x ? (P 2 x)</p><p>onde k é uma constante positiva característica do boato.</p><p>Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44 000 pessoas, então a máxima rapidez</p><p>de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:</p><p>a) 11 000. b) 22 000. c) 33 000. d) 38 000. e) 44 000.</p><p>1.	 Lendo	e	compreendendo</p><p>a)	 O	que	é	dado	no	problema?</p><p>É dada uma fórmula que relaciona a rapidez de propagação do boato com o número de pes-</p><p>soas que o conhecem, para determinado público-alvo.</p><p>b)	O	que	se	pede?</p><p>Um boato se espalha de forma devagar quando poucos o conhecem, e a velocidade de propagação</p><p>do boato vai aumentando conforme mais gente o conheça e passe a propagá-lo. Entretanto, se</p><p>muitas pessoas já sabem do boato, a sua velocidade de propagação também vai ser baixa, pois</p><p>tanta gente sabe dele que fica mais raro encontrar quem não saiba. Assim, existe determinado</p><p>número de pessoas que torna a velocidade de propagação máxima. Queremos determinar qual é</p><p>esse número de pessoas.</p><p>2.	 Planejando	a	solução</p><p>Observando a fórmula dada, verificamos que ela é uma função quadrática:</p><p>R(x) 5 k ? x ? (P 2 x) ⇒ R(x) 5 2kx2 1 kPx</p><p>Sabemos que, em funções quadráticas, o máximo (ou o mínimo) valor ocorre no vértice. Assim,</p><p>para obter o valor que maximiza a rapidez de propagação do boato, basta obter o valor da abscis-</p><p>sa do vértice, ou seja, de xv.</p><p>3.	Executando	o	que	foi	planejado</p><p>Para um público-alvo de 44 000 pessoas, a função quadrática será:</p><p>R(x) 5 kx(44 000 2 x) 5 2kx2 1 44 000kx</p><p>então temos a 5 2 k e b 5 44 000k. O xv é dado por xv 5 2</p><p>b</p><p>2a . Assim:</p><p>xv 5 2</p><p>44 000k</p><p>2(2k) 5 22 000</p><p>Então, a quantidade de pessoas que maximiza a propagação de boato, neste caso, é 22 000.</p><p>ti</p><p>m</p><p>-t</p><p>im</p><p>p</p><p>o</p><p>r</p><p>ti</p><p>m</p><p>-t</p><p>im</p><p>177capítulo 5 | Função quadrática</p><p>4.	Emitindo	a	resposta</p><p>A resposta é o item b.</p><p>5.	Ampliando	o	problema</p><p>a) Para este modelo de propagação de boato, generalize o resultado para um público-alvo P, ob-</p><p>tendo o número de pessoas, em função de P, que deve conhecer um boato para que tenhamos</p><p>a máxima rapidez de propagação.</p><p>b) Discussão	em	equipe</p><p>Troque ideias com seus colegas sobre o que seria essa constante k presente no modelo de propa-</p><p>gação de boatos apresentada. Em que situação o valor de k será maior ou menor: um boato sobre</p><p>a morte de um artista famoso (que faltou no show de ontem à noite e ninguém sabe seu paradeiro),</p><p>ou um boato sobre a morte do seu Zé que mora na esquina (e que não abre a janela há dois dias)?</p><p>5‚) Resolução da situação-problema da introdução do capítulo</p><p>Os diretores de um centro esportivo desejam cercar com tela de alambrado o espaço em volta de uma quadra</p><p>de basquete retangular. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as di-</p><p>mensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível.</p><p>área do terreno: (100 2 x)x 5 2x2 1 100x</p><p>A área máxima procurada é o valor máximo da função f(x) 5 2x2 1 100x.</p><p>100 � x</p><p>x</p><p>A área assume o valor máximo no vértice da parábola, ou seja, quando:</p><p>xV 5</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>b</p><p>a2</p><p>100</p><p>2 1</p><p>100</p><p>2</p><p>( )</p><p>5 50 (largura)</p><p>Observamos então que a área máxima a ser cercada é uma região quadrada</p><p>cujo lado mede 50 m. (Lembre-se de que quadrado é um caso particular de</p><p>retângulo.)</p><p>6‚) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos</p><p>após o chute, seja dada por h 5 2t2 1 6t.</p><p>a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?</p><p>h 5 2t2 1 6t</p><p>Ponto de máximo: V(tV, hV)</p><p>A bola atinge a sua altura máxima quando:</p><p>tV 5 � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>b</p><p>a2</p><p>6</p><p>2 1</p><p>6</p><p>2</p><p>( )</p><p>5 3 s</p><p>Logo, a bola atinge a altura máxima 3 segundos após</p><p>o chute.</p><p>b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?</p><p>A altura máxima atingida pela bola é:</p><p>hV 5 � � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>∆</p><p>4</p><p>36</p><p>4 1</p><p>36</p><p>4a</p><p>( )</p><p>5 9 m ou h(3) 5 232 1 6 ? 3 5 29 1 18 5 9 m</p><p>A altura máxima atingida pela bola é 9 metros.</p><p>Para	refletir</p><p>Qual é o fato que garante a</p><p>existência do valor máximo</p><p>dessa função?</p><p>Para	refletir</p><p>Por que o quadrado é um caso</p><p>particular de retângulo?</p><p>d</p><p>AR</p><p>tF</p><p>IS</p><p>H</p><p>S</p><p>O</p><p>lU</p><p>tI</p><p>O</p><p>N</p><p>S/</p><p>AR</p><p>Q</p><p>U</p><p>IV</p><p>O</p><p>d</p><p>A</p><p>Ed</p><p>It</p><p>O</p><p>RA</p><p>178 Matemática</p><p>7‚) Dada a função quadrática f(x) 5 3x2 2 10x 1 3, vamos determinar:</p><p>a) se a concavidade da parábola definida pela função está voltada para cima ou para baixo:</p><p>Concavidade: voltada para cima, pois a 5 3 e, portanto, a  0.</p><p>b) os zeros da função:</p><p>3x2 2 10x 1 3 5 0 ⇒	x’ 5 3 e x’’ 5</p><p>1</p><p>3</p><p>c) o vértice da parábola definida pela função:</p><p>V � �</p><p>�b</p><p>a a2 4</p><p>,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒	V</p><p>10</p><p>6</p><p>64</p><p>12</p><p>, 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ V</p><p>5</p><p>3</p><p>16</p><p>3</p><p>, 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⇒ V</p><p>k</p><p>IN</p><p>sM</p><p>AN</p><p>/P</p><p>h</p><p>O</p><p>tO</p><p>R</p><p>Es</p><p>EA</p><p>RC</p><p>h</p><p>ER</p><p>s,</p><p>IN</p><p>C.</p><p>/L</p><p>At</p><p>IN</p><p>st</p><p>O</p><p>Ck</p><p>ATENÇÃO! NÃO	ESCREVA	NO	LIVRO.</p><p>20 Matemática</p><p>Região Sudeste</p><p>Brasil 3 França, 1/7/2006. Brasil 3 EUA, 23/9/2006. Brasil 3 Polônia, 3/12/2006.</p><p>Para resolver questões desse tipo, devemos utilizar conhecimentos de conjuntos.</p><p>2.  A noção de conjunto</p><p>A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Mate-</p><p>mática, pois a partir dela podem ser expressos todos os conceitos ma-</p><p>temáticos.</p><p>Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo:</p><p>• conjunto dos estados da região Sudeste: S 5 {São Paulo, Rio de Janeiro,</p><p>Minas Gerais, Espírito Santo}</p><p>• conjunto dos números primos: B 5 {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}</p><p>• conjunto dos quadriláteros: C 5 {quadriláteros}</p><p>Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser</p><p>elemento de um determinado conjunto A. Quando for, dizemos que:</p><p>a pertence a A e escrevemos a  A.</p><p>Caso contrário, dizemos que:</p><p>a não pertence a A e escrevemos a  A.</p><p>Nos exemplos acima, temos:</p><p>• Minas Gerais  S e Paraná  S</p><p>• 2  B e 9  B</p><p>• retângulo  C e triângulo  C</p><p>1.  Introdução</p><p>Analise a seguinte situação-problema:</p><p>Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e</p><p>vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de</p><p>basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades.</p><p>a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?</p><p>b) Quantas gostam somente de futebol?</p><p>c) Quantas gostam só de basquete?</p><p>d) Quantas gostam apenas de vôlei?</p><p>e) Quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei?</p><p>f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos?</p><p>MATEMÁTICA PNLEM - VOL. 1</p><p>Dante</p><p>MG</p><p>ES</p><p>OCEANO</p><p>ATLÂNTICO</p><p>RJ</p><p>SP</p><p>0 330 km</p><p>TRÓPICO DE CAPRICÓRNION</p><p>Fonte: Adaptado de Atlas geográfico escolar.</p><p>Rio de Janeiro: IBGE, 2007.</p><p>Para refletir</p><p>Todo número primo maior</p><p>do que 2 é ímpar?</p><p>Todo número ímpar maior</p><p>do que 2 é primo?</p><p>pA</p><p>u</p><p>lo</p><p>p</p><p>In</p><p>to</p><p>/A</p><p>G</p><p>ên</p><p>cI</p><p>A</p><p>Es</p><p>tA</p><p>d</p><p>o</p><p>Jo</p><p>n</p><p>At</p><p>h</p><p>An</p><p>c</p><p>Am</p><p>po</p><p>s/</p><p>AG</p><p>ên</p><p>cI</p><p>A</p><p>Es</p><p>tA</p><p>d</p><p>o</p><p>JE</p><p>ff</p><p>ER</p><p>so</p><p>n</p><p>B</p><p>ER</p><p>n</p><p>AR</p><p>d</p><p>Es</p><p>/A</p><p>G</p><p>En</p><p>cE</p><p>f</p><p>RA</p><p>n</p><p>cE</p><p>-p</p><p>RE</p><p>ss</p><p>E</p><p>21Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Exercícios propostos</p><p>3. Escreva o conjunto expresso pela propriedade:</p><p>a) x é um número natural par;</p><p>b) �x é um número natural múltiplo de 5 e menor do</p><p>que 31;</p><p>c) �x é um quadrilátero que pos sui 4 ângulos retos.</p><p>Para refletir</p><p>Todo quadrado é um retângulo?</p><p>4. Escreva o conjunto dado pela condição:</p><p>a) y é um número tal que y2 2 25 5 0;</p><p>b) y é um número tal que y2 2 5y 1 6 5 0;</p><p>c) y é um número divisor de 16 tal que y3 5 8;</p><p>d) �y é um número inteiro menor do que 6 e maior do</p><p>que 22.</p><p>5. Escreva uma propriedade que define o conjunto:</p><p>a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};</p><p>b) {0, 2, 4, 6}.</p><p>6. Escreva uma condição que define o conjunto:</p><p>a) {23, 3};</p><p>b) {5}.</p><p>3.  Propriedades, condições e conjuntos</p><p>Consideremos a propriedade p:</p><p>p: x é um número natural ímpar</p><p>Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto I 5 {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}.</p><p>Assim, é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou que x  I.</p><p>Consideremos agora a condição c:</p><p>c: x é um número inteiro que satisfaz a condição x2 2 4 5 0</p><p>Essa condição pode ser expressa pelo conjunto A 5 {22, 2}.</p><p>Nesse caso, também é indiferente dizer que x satisfaz a condição c ou que x  A.</p><p>É mais simples trabalhar com conjuntos do que com propriedades e condições. Além disso, podemos definir</p><p>relações e operações entre conjuntos. Já com propriedades e condições isso seria muito difícil.</p><p>4.  Igualdade de conjuntos</p><p>Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por exemplo, se</p><p>A 5 {números naturais pares} e B 5 {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …}, então A 5 B.</p><p>Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A  B.</p><p>Observação: {1, 2} 5 {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2}, pois possuem os mesmos elementos. A quantidade de vezes que eles</p><p>aparecem não é importante.</p><p>Exercícios propostos</p><p>Para resolver os exercícios 1 e 2 a seguir, use as conven-</p><p>ções dadas na página ao lado.</p><p>1. Escreva com símbolos:</p><p>a) Espírito Santo pertence ao conjunto dos estados</p><p>da região Sudeste.</p><p>b) Bahia não pertence ao conjunto dos estados da</p><p>região Sudeste.</p><p>c) 17 pertence ao conjunto dos números primos.</p><p>d) 15 não pertence ao conjunto dos números primos.</p><p>e) Pentágono não pertence ao conjunto dos quadri-</p><p>láteros.</p><p>f ) Losango pertence ao conjunto dos quadriláteros.</p><p>2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):</p><p>a) São Paulo  S f) paralelogramo  C</p><p>b) Piauí  S g) trapézio  C</p><p>c) Rio de Janeiro  S h) hexágono  C</p><p>d) 21  B i) 29  B</p><p>e) 2  B j) Venezuela  S</p><p>ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.</p><p>22 Matemática</p><p>5.  Conjuntos vazio, unitário e universo</p><p>Um conjunto interessante é o conjunto vazio, cuja notação é ∅. Uma propriedade contraditória qualquer pode</p><p>ser usada para definir o conjunto vazio. Por exemplo:</p><p>{números naturais ímpares menores do que 1} 5 {x | x é um número natural ímpar menor do que 1} 5 ∅,</p><p>lê-se "tal que"</p><p>pois não há número natural ímpar menor do que 1.</p><p>Assim, o conjunto vazio não possui elementos. Ele pode ser representado também por { }.</p><p>Outro conjunto interessante é o conjunto unitário, formado por um único elemento.</p><p>Exemplo:</p><p>{números naturais pares e primos} 5 {x | x é um número natural par e primo} 5 {2},</p><p>pois o único número natural par e primo é o 2.</p><p>Como curiosidade, observe que ∅ é diferente de {∅}, pois {∅} é um conjunto unitário que tem como único</p><p>elemento o conjunto vazio.</p><p>Um conjunto importante é o conjunto universo, cuja notação é U. É o conjunto formado por todos os elementos</p><p>com os quais estamos trabalhando num determinado assunto. Fixado o universo U, todos os elementos pertencem</p><p>a U e todos os conjuntos são partes de U.</p><p>É muito importante saber em qual universo estamos trabalhando. Por exemplo, se U é o conjunto dos números</p><p>naturais, então a equação x 1 5 5 2 não tem solução; porém, se U é o conjunto dos números inteiros, então a equa-</p><p>ção x 1 5 5 2 tem como solução x 5 23.</p><p>Para refletir</p><p>O correto é escrever</p><p>A 5 {números</p><p>ímpares}, e não</p><p>A 5 {conjunto dos</p><p>números ímpares}.</p><p>6.  Subconjuntos e a relação de inclusão</p><p>Consideremos dois conjuntos, A e B. Se todos os elementos de A forem também elementos de B, dizemos que A</p><p>é um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que A é parte de B. Indicamos esse fato por A , B.</p><p>A é subconjunto de B</p><p>ou</p><p>A , B lê-se A está contido em B</p><p>ou</p><p>A é parte de B</p><p>No diagrama, temos:</p><p>B</p><p>A</p><p>U</p><p>Para refletir</p><p>Quando A , B podemos</p><p>também escrever B  A</p><p>(lê-se B contém A).</p><p>Exercícios propostos</p><p>7. Classifique como conjunto vazio ou conjunto unitário</p><p>considerando o universo dos números naturais:</p><p>a) A 5 {x | x é menor do que 1}</p><p>b) B 5 {x | x é maior do que 10 e menor do que 11}</p><p>c) C 5 {x | x é par maior do que 3 e menor do que 5}</p><p>d) D 5 {x | x é primo maior do que 7 e menor do que 11}</p><p>e) E 5 {x | x 1 7 5 4}</p><p>f ) F 5 {x | x , 0}</p><p>g) G 5 {x | 5x 5 60}</p><p>8. Escreva qual é o conjunto universo em cada caso:</p><p>a) O triângulo é um polígono de três lados, o quadrilá-</p><p>tero é um polígono de quatro lados e o pentágono,</p><p>um polígono de cinco lados.</p><p>b) A adição de dois números naturais é comutativa.</p><p>c) No conjunto dos números inteiros as soluções da</p><p>equação x2 2 16 5 0 são 24 e 4.</p><p>d) No conjunto dos números naturais a solução da</p><p>equação x2 2 16 5 0 é 4.</p><p>23Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Se A não for subconjunto de B, escrevemos A  B. Nesse caso, existe pelo menos um elemento de A que não</p><p>pertence a B.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) Considerando P o conjunto dos números naturais pares e n o conjunto dos números naturais, temos:</p><p>P 5 {0, 2, 4, 6, 8, 10, …} e n 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}</p><p>Nesse caso, P , n, pois todos os elementos de P pertencem a n.</p><p>2‚) Se A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos quadriláteros, então A , B, pois todo retângulo é um</p><p>quadrilátero.</p><p>3‚) Se A 5 {1, 2, 3} e B 5 {1, 2, 4},</p><p>então A  B, pois 3  A e 3  B. Nesse caso, também B  A.</p><p>Relação de inclusão</p><p>A relação A , B chama-se relação de inclusão. São casos particulares extremos de inclusão:</p><p>• A , A, pois é claro que qualquer elemento de A pertence a A.</p><p>•		∅ , A, qualquer que seja o conjunto A, pois, se admitíssemos que ∅  A, teríamos um elemento x tal que x  ∅</p><p>e x  A. Mas x  ∅ é impossível. Logo, ∅ , A.</p><p>A relação de inclusão possui três propriedades básicas. Dados os conjuntos A, B e C quaisquer de um determi-</p><p>nado universo U, temos:</p><p>• A , A (propriedade reflexiva).</p><p>• Se A , B e B , A, então A 5 B (propriedade antissimétrica).</p><p>• Se A , B e B , C, então A , C (propriedade transitiva).</p><p>A propriedade antissimétrica é sempre usada quando se quer provar que dois conjuntos são iguais. Para provar que</p><p>A 5 B basta provar que A , B (todo elemento de A pertence a B) e que B , A (todo elemento de B pertence a A).</p><p>A propriedade transitiva é fundamental nas deduções. Na lógica, ela é conhecida como uma forma de raciocí-</p><p>nio chamada silogismo. Por exemplo:</p><p>• P: conjunto dos paulistas</p><p>• B: conjunto dos brasileiros</p><p>• S: conjunto dos sul-americanos</p><p>Todo paulista é brasileiro.</p><p>Todo brasileiro é sul-americano.</p><p>Então, todo paulista é sul-americano.</p><p>Se P , B e B , S, então P , S.</p><p>Veja outro exemplo:</p><p>• n: conjunto dos números naturais</p><p>• œ: conjunto dos números racionais</p><p>• ®: conjunto dos números reais</p><p>Para refletir</p><p>A é subconjunto próprio de B quando</p><p>A , B com A  ∅ e A  B.</p><p>S</p><p>B</p><p>P</p><p>œ</p><p>n</p><p>®</p><p>P</p><p>n</p><p>B</p><p>A</p><p>24 Matemática</p><p>Todo número natural é racional.</p><p>Todo número racional é real.</p><p>Então, todo número natural é real.</p><p>Se n , œ e œ , ®, então n , ®.</p><p>Observação:  e  são relações entre elemento e conjunto. , e ,  e  são relações entre conjunto e</p><p>conjunto.</p><p>Por exemplo, 2  n pode ser escrito também como {2} , n, mas não podemos escrever 2 , n nem {2}  n.</p><p>Exemplo:</p><p>Dado o conjunto A 5 {1, 2, {3, 4}, {5}}, vamos verificar se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos:</p><p>a) O conjunto A tem 4 elementos.</p><p>Verdadeiro, pois os elementos são 1, 2, {3, 4} e {5}. É importante notar que conjuntos podem ser elementos de</p><p>outro conjunto.</p><p>b) 1  A</p><p>Verdadeiro, pois 1 é elemento de A.</p><p>c) 1 , A</p><p>Falso, pois 1 é elemento e o símbolo , relaciona conjuntos.</p><p>d) {1}  A</p><p>Falso, pois {1} é conjunto e o símbolo  relaciona elemento e conjunto.</p><p>e) {1} , A</p><p>Verdadeiro, pois {1} é subconjunto de A ( já que 1 é elemento de A).</p><p>f) 5  A</p><p>Falso, pois 5 não é elemento de A. Não devemos confundir 5 com {5}.</p><p>g) 5 , A</p><p>Falso, pois 5 é elemento e o símbolo , relaciona con juntos.</p><p>h) {5}  A</p><p>Verdadeiro, pois {5} é elemento de A.</p><p>i) {5} , A</p><p>Falso, pois {5} não é subconjunto de A ( já que 5 não é elemento de A).</p><p>j) {{5}} , A</p><p>Verdadeiro, pois {{5}} é subconjunto de A ( já que {5} é elemento de A).</p><p>k) 2  A</p><p>Verdadeiro, pois 2 é elemento de A.</p><p>l) {3, 4}  A</p><p>Verdadeiro, pois {3, 4} é elemento de A.</p><p>m) {2} , A</p><p>Verdadeiro, pois {2} é subconjunto de A ( já que 2 é elemento de A).</p><p>n) {3, 4} , A</p><p>Falso, pois {3, 4} não é subconjunto de A ( já que 3 e 4 não são elementos de A).</p><p>Relação de inclusão e implicação lógica</p><p>Vimos que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. Vamos considerar A o conjunto dos elemen-</p><p>tos de um certo universo U que possuem a propriedade p, e B o conjunto dos elementos desse mesmo universo</p><p>que possuem a propriedade q. Quando dizemos que:</p><p>p ⇒ q (p implica q ou p acarreta q),</p><p>estamos dizendo que A , B.</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) No universo dos números naturais, vamos considerar as propriedades:</p><p>•	p: n é um número natural que termina com 3;</p><p>• q: n é um número natural ímpar.</p><p>Então A 5 {3, 13, 23, 33, …},</p><p>B 5 {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} e p ⇒ q ou A , B.</p><p>2‚) Consideremos, no universo dos quadriláteros, as propriedades:</p><p>•	p: ser quadrilátero com quatro lados de mesma medida;</p><p>•	q: ser quadrilátero com lados opostos paralelos.</p><p>Nesse caso, A é o conjunto dos losangos e B é o conjunto dos paralelogramos e, portanto, A , B. Logo, p ⇒ q, ou</p><p>seja, ser losango implica ser paralelogramo, ou, ainda, se um quadrilátero é losango, então ele é paralelogramo.</p><p>Para refletir</p><p>A implicação p ⇒ q também pode</p><p>ser lida assim:</p><p>• se p, então q;</p><p>• p é condição suficiente para q;</p><p>• q é condição necessária para p.</p><p>25Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Recíproca de uma implicação lógica e equivalência</p><p>Dada a implicação p ⇒ q, chamamos de sua recíproca a implicação q ⇒ p. Observe que nem sempre a recí-</p><p>proca de uma implicação verdadeira é também verdadeira. No 2‚ exemplo dado anteriormente, temos que p ⇒ q</p><p>é verdadeira, pois todo losango é um paralelogramo, mas sua recíproca q ⇒ p é falsa, pois nem todo paralelogra-</p><p>mo é losango.</p><p>Quando a implicação p ⇒ q e sua recíproca q ⇒ p são ambas verdadeiras, escrevemos p ⇔ q e lemos:</p><p>p é equivalente a q ou p se e somente se q ou p é condição necessária e suficiente para q</p><p>Exemplo:</p><p>•	p: a propriedade de um número natural x ser igual a 2 (x 5 2)</p><p>•	q: a propriedade de o dobro deste x ser igual a 4 (2x 5 4)</p><p>p ⇒ q, pois, se x 5 2, multiplicamos ambos os membros da igualdade por 2 e obtemos 2x 5 4.</p><p>q ⇒ p, pois, se 2x 5 4, dividimos ambos os membros da igualdade por 2 e obtemos x 5 2.</p><p>Assim, p ⇒ q e q ⇒ p são verdadeiras. Logo, p ⇔ q e podemos escrever x 5 2 ⇔ 2x 5 4.</p><p>Exercícios propostos</p><p>9. Dados os conjuntos A 5 {1, 2}, B 5 {1, 2, 3, 4, 5},</p><p>C 5 {3, 4, 5} e D 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em ver-</p><p>dadeiro (V) ou falso (F):</p><p>a) A , B g) B , C</p><p>b) C , A h) B , B</p><p>c) B , D i) [  A</p><p>d) D , B j) D  A</p><p>e) C  A k) [ , B</p><p>f ) A , D l) C  D</p><p>10. Considerando que:</p><p>• A é o conjunto dos números naturais ímpares me-</p><p>nores do que 10;</p><p>• B é o conjunto dos dez primeiros números naturais;</p><p>• C é o conjunto dos números primos menores do</p><p>que 9;</p><p>use os símbolos , ou  e relacione esses conjuntos</p><p>na ordem dada:</p><p>a) A e B b) C e A c) C e B d) A e C</p><p>11. Escreva três conjuntos X tal que A , X, sendo</p><p>A 5 {2, 4, 6}.</p><p>12. Observe o diagrama a seguir. Os conjuntos X, Y e Z</p><p>não são vazios. Escreva algumas relações verdadeiras</p><p>entre eles usando os símbolos , ou .</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>13. Escreva, na forma de conjuntos, os silogismos:</p><p>a) Todo retângulo é paralelogramo.</p><p>Todo paralelogramo é quadrilátero.</p><p>Então, todo retângulo é quadrilátero.</p><p>b) Todo aluno pertence a uma classe.</p><p>Toda classe pertence a uma escola.</p><p>Então, todo aluno pertence a uma escola.</p><p>c) Todo recifense é pernambucano.</p><p>Todo pernambucano é brasileiro.</p><p>Então, todo recifense é brasileiro.</p><p>14. Escreva os conjuntos definidos pelas propriedades, a</p><p>implicação lógica e a inclusão de conjuntos:</p><p>a) Considerando o universo dos números reais:</p><p>p: n é um número natural par;</p><p>q: n é um número natural.</p><p>b) Considerando o universo dos polígonos:</p><p>p: x é um trapézio;</p><p>q: x é um quadrilátero.</p><p>15. Escreva como se lê a implicação p ⇒ q, sabendo que:</p><p>p: n é um número natural par;</p><p>q: n é um número escrito na forma n 5 2m, com</p><p>m  lN.</p><p>16. No exercício anterior, a recíproca q ⇒ p é verdadeira?</p><p>Em caso positivo, como se escreve a equivalência das</p><p>duas propriedades?</p><p>26 Matemática</p><p>8.  Complementar de um conjunto</p><p>Dado o universo U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e o conjunto A 5 {1, 3, 5, 7}, dizemos</p><p>que o complementar de A em relação a U é {0, 2, 4, 6, 8, 9}, ou seja, é o conjunto for-</p><p>mado pelos elementos de U que não pertencem a A.</p><p>De modo geral, dado um conjunto A, subconjunto de um certo universo U,</p><p>chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos</p><p>de U que não pertencem a A; indica-se �U</p><p>A</p><p>ou Ac ou A (lê-se complementar de A em</p><p>relação a U).</p><p>Logo, Ac 5 {x | x  U e x  A} .</p><p>Propriedades</p><p>É possível demonstrar a validade das seguintes propriedades:</p><p>1·) (Ac )c 5 A para todo A , U (o complementar do complementar de um conjunto A é o próprio conjunto A).</p><p>2·) Se A , B, então Ac  Bc (se um conjunto está contido em outro, seu complementar contém o complementar</p><p>desse outro). Escrevendo de outra forma:</p><p>A , B ⇒ Bc , Ac</p><p>Para refletir</p><p>De modo geral, podemos considerar � B</p><p>A sempre que A , B. Você</p><p>sabia que o diagrama do exercício 22 é chamado diagrama de Venn?</p><p>Para refletir</p><p>O complementar de um</p><p>conjunto só tem senti-</p><p>do quando fixamos um</p><p>conjunto universo U.</p><p>7.  Conjunto das partes</p><p>Dado o conjunto A 5 {a, e, i}, é possível escrever todos os subconjuntos (ou todas as partes) de A. Esse conjunto</p><p>formado por todos os subconjuntos de A é chamado de conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, temos:</p><p>P(A) 5 {∅, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}</p><p>Observe que {a}, {a, e} e {a, e, i}, por exemplo, são elementos de P(A). Portanto, escrevemos {a}  P(A),</p><p>{a, e}  P(A) e {a, e, i}  P(A), e não {a} , P(A), {a, e} , P(A) e {a, e, i} , P(A). Veja que ∅ , P(A) e ∅  P(A).</p><p>Observe também que há uma relação entre o número de elementos de P(A) e o número de elementos de A:</p><p>• ∅ tem 0 elemento e P(∅) 5 {∅} tem 1 elemento.</p><p>• A 5 {a} tem 1 elemento e P(A) 5 {∅, {a}} tem 2 elementos.</p><p>• A 5 {a, e} tem 2 elementos e P(A) 5 {∅, {a}, {e}, {a, e}} tem 4 elementos.</p><p>• A 5 {a, e, i} tem 3 elementos e P(A) 5 {∅, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}} tem</p><p>8 ele mentos.</p><p>Lembre-se de que 20 5 1; 21 5 2; 22 5 4; 23 5 8. É possível conjecturar então que, se A</p><p>tem n elementos, P(A) tem 2n elementos.</p><p>Essa conjectura é verdadeira e será demonstrada no volume 2.</p><p>Para refletir</p><p>O que significa</p><p>conjecturar ? Dê</p><p>um exemplo.</p><p>Exercícios propostos</p><p>17. Dados A 5 {0, 1} e B 5 {1, 3, 5}, determine:</p><p>a) P(A);</p><p>b) P(B);</p><p>c) o número de elementos de P(A);</p><p>d) o número de elementos de P(B).</p><p>18. Se P(A) tem 64 elementos, quantos elementos tem o</p><p>conjunto A?</p><p>19. Escreva um subconjunto A dos números naturais tal</p><p>que P(A) tenha 16 elementos.</p><p>U</p><p>A</p><p>A</p><p>27Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>9.  Contrapositiva</p><p>Já vimos que, se p é a propriedade que define o conjunto A e q é a propriedade que define o conjunto B, dizer</p><p>que A , B é o mesmo que dizer que p ⇒ q (p implica q).</p><p>Vamos representar por p’ a negação de p e por q’ a negação de q. Assim, dizer que um objeto x goza da pro-</p><p>priedade p’ significa afirmar que x não goza da propriedade p (isso vale também para q’ em relação a q). Dessa</p><p>forma, podemos escrever a equivalência:</p><p>A , B ⇔ Bc , Ac</p><p>da seguinte maneira:</p><p>p ⇒ q se, e somente se, q’ ⇒ p’</p><p>ou seja, a implicação p ⇒ q (p implica q) é equivalente a esta outra implicação: q’ ⇒ p’ (a negação de q implica a</p><p>negação de p).</p><p>A implicação q’ ⇒ p’ chama-se contrapositiva da implicação p ⇒ q.</p><p>Exemplo:</p><p>Consideremos o universo U o conjunto dos quadriláteros convexos, p a propriedade de um</p><p>quadrilátero x ser losango, e q a propriedade de ser paralelogramo. Assim, p’ é a propriedade</p><p>que tem um quadrilátero convexo de não ser losango, e q’ a de não ser paralelogramo.</p><p>Logo:</p><p>(1) p ⇒ q: Se x é losango, então x é paralelogramo.</p><p>(2) q’ ⇒ p’: Se x não é paralelogramo, então x não é losango.</p><p>As afirmações (1) e (2) são equivalentes, isto é, são duas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa.</p><p>Exercícios propostos</p><p>20. Dados U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},</p><p>A 5 {0, 2, 4, 6, 8}, B 5 {1, 3, 5, 7, 9} e C 5 {2, 4},</p><p>determine:</p><p>a) c</p><p>A</p><p>U b) c</p><p>B</p><p>U c) cC</p><p>U d) c</p><p>C</p><p>A</p><p>21. Verifique com um exemplo a equivalência já citada:</p><p>A , B ⇔ Bc , Ac.</p><p>22. Copie o diagrama ao lado</p><p>no caderno e hachure os</p><p>conjuntos fazendo uma</p><p>figura para cada item:</p><p>a) c</p><p>A</p><p>U c) c</p><p>C</p><p>U</p><p>b) Bc</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>U</p><p>Para refletir</p><p>O que é um polígo-</p><p>no convexo?</p><p>Exercícios propostos</p><p>23. Escreva a contrapositiva da implicação p ⇒ q em que:</p><p>p: número natural maior do que 2 primo.</p><p>q: número natural maior do que 2 ímpar.</p><p>p ⇒ q: se um número natural maior do que 2 é primo,</p><p>então ele é ímpar.</p><p>24. Escreva a contrapositiva das implicações:</p><p>a) “Se um número quadrado perfeito é par, então sua</p><p>raiz quadrada é par.”</p><p>b) “Se um número é par, então esse número é divisível</p><p>por 2.”</p><p>25. Escreva a contrapositiva da implicação:</p><p></p><p>r s</p><p>t</p><p>“Se duas retas distintas (r e s) de um plano a são per-</p><p>pendiculares a uma terceira reta (t) desse plano, então</p><p>elas (r e s) são paralelas.”</p><p>28 Matemática</p><p>10.  Operações entre conjuntos</p><p>Diferença</p><p>Dados os conjuntos A 5 {0, 1, 3, 6, 8, 9} e B 5 {1, 4, 9, 90}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elemen-</p><p>tos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Assim, C 5 {0, 3, 6, 8}.</p><p>O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A 2 B (lê-se A menos B).</p><p>De modo geral, escrevemos:</p><p>B</p><p>A</p><p>A  B</p><p>A 2 B 5 {x | x  A e x  B}</p><p>Observe que, se B , A, a diferença A 2 B é igual a c</p><p>B</p><p>A .</p><p>Por exemplo, se A 5 {0, 2, 4, 6, 8} e B 5 {0, 4}, então A 2 B 5 {2, 6, 8} 5 c</p><p>B</p><p>A .</p><p>Reunião ou união</p><p>Dados os conjuntos A 5 {0, 10, 20, 30, 50} e B 5 {0, 30, 40, 50, 60}, podemos escrever o conjunto C formado pelos</p><p>elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. Assim, C 5 {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60}. O conjunto C é</p><p>chamado reunião ou união de A e B e é indicado por A  B (lê-se A reunião B ou A união B).</p><p>De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a reunião A  B é o conjunto formado pelos elementos de A mais</p><p>os elementos de B:</p><p>A  B 5 {x | x  A ou x  B}</p><p>Por exemplo, se A 5 {3, 6} e B 5 {5, 6}, então A  B 5 {3, 5, 6}.</p><p>Nos diagramas abaixo, a reunião A  B está colorida:</p><p>A</p><p>U</p><p>B</p><p>BA</p><p>U</p><p>B</p><p>A</p><p>U</p><p>A</p><p>B</p><p>U</p><p>Observação: Este “ou” da reunião não é o “ou” de exclusão da linguagem usual “vamos ao cinema ou ao teatro”.</p><p>Ele significa: se x  A  B, então x  A ou x  B ou x pertence a ambos, isto é, x  A  B quando pelo menos uma</p><p>das afirmações, x  A ou x  B, é verdadeira.</p><p>Intersecção</p><p>Dados os conjuntos A 5 {a, e, i, o, u} e B 5 {a, e, u, b}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos</p><p>que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos elementos comuns a A e B. Assim, C 5 {a, e, u}.</p><p>O conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indicado por A  B (lê-se A intersecção B ou, simplesmente,</p><p>A inter B).</p><p>De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a intersecção A  B é o conjunto formado pelos elementos que</p><p>pertencem simultaneamente a A e a B:</p><p>A  B 5 {x | x  A e x  B}</p><p>Por exemplo, se A 5 {2, 4, 6} e B 5 {2, 3, 4, 5}, então A  B 5 {2, 4}.</p><p>A</p><p>B</p><p>A  B  c B</p><p>A</p><p>29Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>Nos diagramas abaixo, a intersecção A  B está colorida:</p><p>A B</p><p>U</p><p>A B</p><p>U</p><p>B</p><p>A</p><p>U</p><p>A</p><p>B</p><p>U</p><p>Observações:</p><p>1·) x  A  B quando as duas afirmações, x  A e x  B, são simultaneamente verdadeiras.</p><p>2·) Se A  B 5 ∅, então os conjuntos A e B são chamados disjuntos.</p><p>Propriedades da reunião e da intersecção</p><p>Dados três conjuntos, A, B e C, valem as propriedades:</p><p>1·) A  B 5 B  A</p><p>A  B 5 B  A</p><p>(comutativa)</p><p>2·) (A  B)  C 5 A  (B  C)</p><p>(A  B)  C 5 A  (B  C)</p><p>(associativa)</p><p>3·) A  (B  C) 5 (A  B)  (A  C)</p><p>A  (B  C) 5 (A  B)  (A  C)</p><p>(distributiva)</p><p>U</p><p>A B</p><p>C</p><p>U</p><p>A B</p><p>C</p><p>A  (B  C) (A  B)  (A  C)</p><p>4·) A , B ⇔ A  B 5 B ⇔ A  B 5 A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>A  B 5 B A  B 5 A</p><p>5·) A , B ⇒ (A  C) , (B  C)</p><p>A , B ⇒ (A  C) , (B  C)</p><p>6·) Leis de De Morgan</p><p>Dados A e B subconjuntos de um universo U, tem-se:</p><p>( )A B A B     � �� � �5 (O complementar da reunião é igual à intersecção dos complementares.)</p><p>(A B A B   )� �� � �5 (O complementar da intersecção é igual à reunião dos complementares.)</p><p>Por exemplo, se U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A 5 {1, 3, 5, 7} e B 5 {2, 4, 6}, temos:</p><p>A  B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}</p><p>( )   A B � 5 {0, 8, 9}</p><p>A� 5 {0, 2, 4, 6, 8, 9}</p><p>B� 5 {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}</p><p>A B� �  5 {0, 8, 9}</p><p>Observe que ( )A   � �B A B� � �5 5 {0, 8, 9}. Nesse caso, A  B 5 ∅, ( )A B  � 5 U e A B� �  5 U.</p><p>Logo, ( )A B A B     � �� � �5 .</p><p>Você pode constatar a veracidade dessas propriedades, de um modo geral, representando os conjuntos por</p><p>diagramas, como foi feito com a 3· e a 4· propriedade.</p><p>30 Matemática</p><p>Exemplo:</p><p>Dados os conjuntos</p><p>A 5 {x | x é natural ímpar menor do que 10}, B 5 {x | x é par entre 3 e 11} e C 5 {x | x é um número natural menor</p><p>do que 5}, vamos determinar:</p><p>a) A  B f ) B  C</p><p>A 5 {1, 3, 5, 7, 9}; B 5 {4, 6, 8, 10}; C 5</p><p>{0, 1, 2, 3, 4} B  C 5 {4}</p><p>A  B 5 {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} g) (A  B)  C</p><p>b) A  C (A  B)  C 5 ∅  C 5 ∅</p><p>A  C 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} h) (A  C)  B</p><p>c) B  C (A  C)  B 5 {1, 3}  {4, 6, 8, 10} 5 {1, 3, 4, 6, 8, 10}</p><p>B  C 5 {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10} i) (A  B)  C</p><p>d) A  C (A  B)  C 5 ∅  C 5 C 5 {0, 1, 2, 3, 4}</p><p>A  C 5 {1, 3}</p><p>e) A  B</p><p>A  B 5 ∅</p><p>Exercícios propostos</p><p>26. Copie o diagrama abaixo no caderno e hachure os</p><p>conjuntos, fazendo uma figura para cada item:</p><p>A B</p><p>C U</p><p>a) A 2 B b) A 2 C c) B 2 C d) B 2 A</p><p>27. Dados os conjuntos A 5 {a, b, c, d, e, f, g},</p><p>B 5 {b, d, g, h, i} e C 5 {e, f, m, n}, determine:</p><p>a) A 2 B</p><p>b) B 2 C</p><p>c) B 2 A</p><p>d) (A 2 B)  (B 2 A)</p><p>28. Dados os conjuntos A 5 {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8},</p><p>B 5 {2, 4, 5, 6, 9} e C 5 {0, 3, 6, 9, 10}, determine:</p><p>a) A  B g) (A  C)  B</p><p>b) A  B h) (A  B)  C</p><p>c) A  C i) (A  B)  C</p><p>d) A  C j) (A  C)  B</p><p>e) B  C k) A  (B  C)</p><p>f) (A  B)  C l) A  (B  C)</p><p>29. Copie o diagrama a seguir no caderno e hachure os</p><p>conjuntos fazendo uma figura para cada item:</p><p>A B</p><p>C U</p><p>a) A  B d) (B  C)  A</p><p>b) B  C e) A  (B  C)</p><p>c) (A  B)  C f ) (A  B)  (A  C)</p><p>Compare os diagramas obtidos nos itens e e f. O que</p><p>você pode concluir?</p><p>30. Indique simbolicamente a parte colorida no diagrama:</p><p>a) A B</p><p>CU</p><p>b)</p><p>A B</p><p>C U</p><p>31. Sejam os conjuntos A, B e C dados pelas condições:</p><p>• A 5 {x | x é um número inteiro que satisfaz</p><p>x2 2 5x 1 6 5 0};</p><p>•	 B 5 {x | x é um número inteiro que satisfaz</p><p>x2 2 2x 5 0};</p><p>Para refletir</p><p>A negação de “p ou q” é “nem p nem q” e a negação</p><p>de “p e q” é “não p ou não q”.</p><p>31Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>•	 C 5 {x | x é um número inteiro que satisfaz</p><p>x2 2 9 5 0}.</p><p>Determine:</p><p>a) A  B</p><p>b) A  B</p><p>c) B  C</p><p>d) A  C</p><p>e) A  B  C</p><p>32. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique:</p><p>a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, então</p><p>A  B tem 7 elementos.</p><p>b) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, então</p><p>A  B tem 2 elementos.</p><p>c) Se A  B 5 [, A tem 5 elementos e B tem 4 ele-</p><p>mentos, então A  B tem 9 elementos.</p><p>33. Escreva a negação de “p ou q” e a negação de “p e q”</p><p>sabendo que:</p><p>p: x é um quadrilátero que tem os quatro ângulos retos;</p><p>q: x é um quadrilátero que tem os quatro lados com</p><p>a mesma medida.</p><p>34. Dados os conjuntos:</p><p>P: conjunto dos polígonos</p><p>G: conjunto dos paralelogramos</p><p>L: conjunto dos losangos</p><p>R: conjunto dos retângulos</p><p>Q: conjunto dos quadrados</p><p>faça um diagrama e determine:</p><p>a) L  R d) R  Q</p><p>b) L  G e) G  P</p><p>c) Q  L f) P  R</p><p>35. Na internet, sites de busca permitem que o inter-</p><p>nauta faça combinações entre as palavras que</p><p>devem ser pesquisadas para obter os resultados</p><p>desejados. Em geral, as regras de procura são as</p><p>seguintes:</p><p>• Quando as palavras são digitadas com um espaço</p><p>en tre elas, a busca é feita por uma palavra e a ou-</p><p>tra pa lavra. Por exemplo, digitando amor esperan-</p><p>ça serão pro cu rados apenas os sites que conte-</p><p>nham, ao mesmo tem po, as palavras “amor” e</p><p>“espe rança”.</p><p>• Quando se usa um sinal de 2 (menos) na frente</p><p>de uma de ter minada palavra, a busca é feita ex-</p><p>cluindo-se os sites que contenham tal palavra. Por</p><p>exemplo, digitando amor-esperança serão procu-</p><p>rados sites que con tenham a palavra “amor”, mas</p><p>que não contenham a palavra “esperança”.</p><p>Com base nessas regras, considere que um ra-</p><p>paz tenha feito a seguinte pesquisa: amor bele-</p><p>za-desespero.</p><p>No diagrama de Venn abaixo, considere que os sites</p><p>com as palavras Amor, Beleza e Desespero estão re pre-</p><p>sentados como conjuntos com a inicial da palavra, ou</p><p>seja, ao conjunto A pertencem todos os sites que</p><p>contêm a palavra Amor, e assim por diante. Pinte as</p><p>re giões que representam corretamente o resultado</p><p>da busca feita pelo rapaz.</p><p>A</p><p>D</p><p>B</p><p>Número de elementos da reunião de conjuntos</p><p>Consideremos A o conjunto dos números ímpares de 0 a 10, e B o conjunto dos números primos de 0 a 10.</p><p>Então, se n(A) representa o número de elementos de A, temos:</p><p>A 5 {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(A) 5 5</p><p>B 5 {2, 3, 5, 7} ⇒ n(B) 5 4</p><p>A  B 5 {3, 5, 7}  [ ⇒ n(A  B) 5 3</p><p>A  B 5 {1, 2, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(A  B) 5 6</p><p>Observe que n(A  B)  n(A) 1 n(B), pois há três elementos comuns a ambos os conjuntos [n(A  B) 5 3].</p><p>Assim:</p><p>6 5 5 1 4 2 3</p><p>↓ ↓ ↓ ↓</p><p>n(A  B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B)</p><p>De modo geral, quando A e B são conjuntos finitos, tem-se:</p><p>n(A  B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B), quando A  B  [</p><p>32 Matemática</p><p>Demonstração:</p><p>Observe que n(A) inclui n(A  B) e n(B) também inclui n(A  B):</p><p>A B</p><p>A  B</p><p>n(A  B) 5 [n(A) 2 n(A  B)] 1 n(A  B) 1 [n(B) 2 n(A  B)]</p><p>n(A  B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B)</p><p>No caso particular de A  B 5 [, temos:</p><p>n(A  B) 5 n(A) 1 n(B), pois n(A  B) 5 0</p><p>Exemplos:</p><p>1‚) No lançamento de um dado perfeito, vamos ver de quantas maneiras diferentes podemos obter número ímpar</p><p>ou número primo.</p><p>Conjunto dos números ímpares do dado:</p><p>A 5 {1, 3, 5} ⇒ n(A) 5 3</p><p>Conjunto dos números primos do dado:</p><p>B 5 {2, 3, 5} ⇒ n(B) 5 3</p><p>A  B 5 {3, 5} ⇒ n(A  B) 5 2</p><p>n(A  B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B) ⇒ n(A  B) 5 3 1 3 2 2 5 4</p><p>Portanto, podemos obter número ímpar ou número primo de quatro maneiras diferentes.</p><p>** 2‚) (Enem) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos,</p><p>visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e</p><p>ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais</p><p>de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.</p><p>Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3</p><p>terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1.</p><p>Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante conclui que, para a montagem dos três catálogos,</p><p>necessitará de um total de originais de impressão igual a:</p><p>a) 135. b) 126. c) 118. d) 114. e) 110.</p><p>1. Lendo e compreendendo</p><p>a) O que é dado no problema?</p><p>É dado o número de páginas de cada catálogo, destacando-se quantas páginas serão comuns</p><p>nos três catálogos.</p><p>b) O que se pede?</p><p>Pede-se a quantidade mínima de originais de impressão necessária para imprimir completamente</p><p>os três catálogos.</p><p>2. Planejando a solução</p><p>Devemos fazer uma nova leitura do problema, com muita atenção, para saber qual é a quantidade</p><p>de páginas em comum entre os catálogos. O uso do diagrama de Venn ajuda muito nessa leitura e na</p><p>obtenção de informações.</p><p>ti</p><p>m</p><p>-t</p><p>im</p><p>p</p><p>o</p><p>r</p><p>ti</p><p>m</p><p>-t</p><p>im</p><p>33Capítulo 2 | Conjuntos e conjuntos numéricos</p><p>3. Executando o que foi planejado</p><p>Como são três catálogos, desenhamos um diagrama de Venn com três círculos, que representarão os</p><p>catálogos C1, C2 e C3. As regiões comuns entre os círculos representam as páginas em comum entre</p><p>os catálogos. Dessa forma, teremos sete regiões distintas, conforme mostrado abaixo:</p><p>Páginas exclusivas</p><p>do catálogo C1.</p><p>Páginas exclusivas</p><p>do catálogo C3.</p><p>Páginas exclusivas</p><p>do catálogo C2.</p><p>Páginas iguais</p><p>nos três catálogos.</p><p>Páginas iguais nos catálogos C1 e</p><p>C3 e que não estão em C2.</p><p>Páginas iguais nos catálogos C2 e</p><p>C3 e que não estão em C1.</p><p>Páginas iguais nos catálogos C1 e</p><p>C2 e que não estão em C3.</p><p>C1 C2</p><p>C3</p><p>Começamos a preencher o diagrama pela parte central, que corresponde às páginas iguais nos</p><p>três catálogos. Do enunciado, descobrimos que são 4. A partir daí, preenchemos cada região de</p><p>páginas iguais tomando dois catálogos por vez. Por exemplo, se no enunciado lemos que C2 e C3</p><p>terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1, então apenas 1 página é comum</p><p>a C2 e C3, não estando em C1.</p><p>Portanto, o diagrama preenchido fica assim:</p><p>C1 C2</p><p>6</p><p>4</p><p>2 1</p><p>33</p><p>3438</p><p>C3</p><p>A soma de todos os números das sete regiões nos dará a quantidade de originais de impressão</p><p>necessária:</p><p>38 1 6 1 4 1 2 1 34 1 1 1 33 5 118 originais distintos.</p><p>4. Emitindo a resposta</p><p>A resposta é o item c.</p><p>5. Ampliando o problema</p><p>a) Se a tiragem de cada catálogo C1, C2 e C3 for, respectivamente, 3 000, 4 000 e 6 000 impressões,</p>