Ficha de Exercicios - Aula 6

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<p>MATEMÁTICA COM VALDEMAR SANTOS 1</p><p>2 MATEMÁTICA COM VALDEMAR SANTOS</p><p>1. (Eear 2021) Considerando a figura e que é</p><p>igual a calcula-se que</p><p>2. (Ufg 2012) Observe a figura a seguir, em que estão</p><p>indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e</p><p>alguns dos ângulos.</p><p>O seno do ângulo indicado por na figura vale:</p><p>3. (Ufpa 2008) Considere as seguintes informações:</p><p>- De dois pontos A e B, localizados na mesma margem</p><p>de um rio, avista-se um ponto C, de difícil acesso,</p><p>localizado na margem oposta;</p><p>- Sabe-se que B está distante 1000 metros de A;</p><p>- Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado para</p><p>medir ângulos) foram obtidas as seguintes medidas:</p><p>BÂC=30° e A C= 80°.</p><p>Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o</p><p>ponto C a um ponto D entre A e B, de modo que seu</p><p>comprimento seja mínimo. Podemos afirmar que o</p><p>comprimento da ponte será de aproximadamente</p><p>Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos</p><p>80° = 0,174 e cos 70° = 0,340</p><p>a) 524 metros</p><p>b) 532 metros</p><p>c) 1048 metros</p><p>d) 500 metros</p><p>e) 477 metros</p><p>Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos</p><p>80° = 0,174 e cos 70° = 0,340</p><p>a) 524 metros</p><p>b) 532 metros</p><p>c) 1048 metros</p><p>d) 500 metros</p><p>e) 477 metros</p><p>Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos</p><p>80° = 0,174 e cos 70° = 0,340</p><p>4. (Ufsm 2005) Na instalação das lâmpadas de uma</p><p>praça de alimentação, a equipe necessitou calcular</p><p>corretamente a distância entre duas delas, colocadas</p><p>nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura.</p><p>Assim, a distância “d” é</p><p>MATEMÁTICA COM VALDEMAR SANTOS 3</p><p>5. (Uff 2004) A figura a seguir esquematiza uma</p><p>situação obtida por meio de um sistema de captação e</p><p>tratamento de imagens, durante uma partida de vôlei.</p><p>Nos pontos M e N da figura estão localizados dois</p><p>jogadores que estão olhando para a bola com um</p><p>ângulo de visada de 30°, em relação ao solo. Sabe-</p><p>se que a distância dos olhos (pontos P e Q) de cada</p><p>jogador até o solo é igual a 2,0 m (PM = QN = 2,0 m),</p><p>que a distância entre os jogadores é igual a 1,5 m (MN</p><p>= 1,5 m) e que cos α = .</p><p>A distância (h) da bola (representada pelo ponto R) até</p><p>o chão (h = RT) é:</p><p>a) 2,5 m</p><p>b) 3,0 m</p><p>c) 3,7 m</p><p>d) 4,5 m</p><p>e) 5,2 m</p><p>6. (Ufjf-pism 2 2019) Um terreno plano, em forma</p><p>de quadrilátero ABCD, possui um de seus lados</p><p>medindo 90 m, os lados AB e CD paralelos e dois</p><p>ângulos opostos medindo 30° e 60 .° Além disso, a</p><p>diagonal AC desse terreno forma 45° com o lado</p><p>CD.</p><p>A medida do menor lado desse terreno, em metros, é</p><p>a) 45 2</p><p>2</p><p>b) 45 6</p><p>2</p><p>c) 15 3</p><p>d) 30 3</p><p>e) 90 3</p><p>7. (Ufpr 2017) Considere o triângulo a seguir.</p><p>a) Quanto mede o ângulo α?</p><p>b) Quanto mede x?</p><p>8. (Uece 2015) Sejam x, y e z as medidas dos lados do</p><p>triângulo XYZ e R a medida do raio da circunferência</p><p>circunscrita ao triângulo. Se o produto dos senos dos</p><p>ângulos internos do triângulo é 3</p><p>k x y z ,</p><p>R</p><p>⋅ ⋅ ⋅ então o</p><p>valor de k é</p><p>a) 0,500.</p><p>b) 0,250.</p><p>c) 0,125.</p><p>d) 1,000.</p><p>4 MATEMÁTICA COM VALDEMAR SANTOS</p><p>9. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi</p><p>construída a partir da planta a seguir:</p><p>Os segmentos e simbolizam ciclovias</p><p>construídas no interior da praça, sendo que De acordo</p><p>com a planta e as informações dadas, é CORRETO</p><p>afirmar que a medida de R é igual a:</p><p>10. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende</p><p>escalar uma montanha ate o topo, representado na</p><p>figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40°</p><p>do acampamento B e de 60° do acampamento A.</p><p>Dado: sen 20º 0,342=</p><p>Considerando que o percurso de 160 m entre A e B</p><p>e realizado segundo um angulo de 30° em relação a</p><p>base da montanha, então, a distância entre B e D, em</p><p>m, e de, aproximadamente,</p><p>a) 190.</p><p>b) 234.</p><p>c) 260.</p><p>d) 320.</p><p>11. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A</p><p>de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro</p><p>lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto</p><p>B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro,</p><p>ela anda, em linha reta, 50m para a direita do ponto</p><p>em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o</p><p>pé do mastro, avalia que os ângulos ˆBAC e ˆBCD</p><p>valem 30 ,° e o ˆACB vale 105 ,° como mostra a</p><p>figura:</p><p>A altura do mastro da bandeira, em metros, é</p><p>a) 12,5.</p><p>b) 12,5 2.</p><p>c) 25,0.</p><p>d) 25,0 2.</p><p>e) 35,0.</p><p>12. (Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta</p><p>do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto</p><p>Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do</p><p>Jacuí, importante parque de preservação ambiental.</p><p>Sua proximidade com a região metropolitana torna-o</p><p>suscetível aos impactos ambientais causados pela</p><p>atividade humana.</p><p>MATEMÁTICA COM VALDEMAR SANTOS 5</p><p>A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo</p><p>A mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma maneira de</p><p>estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência</p><p>do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao</p><p>ponto C. Essa distância, em km, é</p><p>13. (Ufpb 2010) A prefeitura de certa cidade vai</p><p>construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma</p><p>ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B,</p><p>localizados nas margens opostas do rio. Para medir a</p><p>distância entre esses pontos, um topógrafo localizou</p><p>um terceiro ponto, C, distante 200m do ponto A e na</p><p>mesma margem do rio onde se encontra o ponto A.</p><p>Usando um teodolito (instrumento de precisão para</p><p>medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito</p><p>empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo</p><p>observou que os ângulos e mediam,</p><p>respectivamente, 30º e 105º, conforme ilustrado na</p><p>figura a seguir.</p><p>Com base nessas informações, é correto afirmar que a</p><p>distância, em metros, do ponto A ao ponto</p><p>B é de:</p><p>14. (Ufpe 2010) Na ilustração a seguir, a casa situada</p><p>no ponto B deve ser ligada com um cabo subterrâneo</p><p>de energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular</p><p>a distância AB, são medidos a distância e os ângulos</p><p>a partir de dois pontos O e P, situados na margem</p><p>oposta do rio, sendo O, A e B colineares. Se OPA = 30°,</p><p>POA = 30°, APB = 45° e OP = km, calcule AB em</p><p>hectômetros.</p><p>15. (Unicamp 2005) Sejam A, B, C e N quatro pontos</p><p>em um mesmo plano, conforme mostra a figura a</p><p>seguir.</p><p>a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos</p><p>pontos A, B e N.</p><p>b) Calcule o comprimento do segmento NB.</p><p>16. (Ufpe 2004) Uma ponte deve ser construída sobre</p><p>um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na</p><p>figura a seguir. Para calcular o comprimento AB,</p><p>6 MATEMÁTICA COM VALDEMAR SANTOS</p><p>escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B</p><p>está, e medem-se os ângulos CBA = 57° e ACB = 59°.</p><p>Sabendo que BC mede 30m, indique, em metros, a</p><p>distância AB. (Dado: use as aproximações sen(59°) ≈</p><p>0,87 e sen(64°) ≈ 0,90)</p><p>Gabarito:</p><p>Resposta da questão 1:</p><p>[B]</p><p>Aplicando a lei dos senos, chegamos a:</p><p>Resposta da questão 2:</p><p>[A]</p><p>Considere a figura, na qual AB 6, AC 10= = e BC 8.=</p><p>Do triângulo retângulo ABD, obtemos</p><p>Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue</p><p>que</p><p>MATEMÁTICA COM VALDEMAR SANTOS 7</p><p>Portanto, pela Lei dos Senos, vem</p><p>Resposta da questão 3:</p><p>[A]</p><p>Resposta da questão 4:</p><p>[A]</p><p>Resposta da questão 5:</p><p>[B]</p><p>Resposta da questão 6:</p><p>[D]</p><p>Calculando:</p><p>Resposta da questão 7:</p><p>a)</p><p>b) Aplicando o teorema dos senos no triângulo</p><p>assinalado e admitindo que temos:</p><p>Resposta da questão 8:</p><p>[C]</p><p>Pela Lei dos Senos, temos</p><p>Portanto, segue que</p><p>Resposta da questão 9:</p><p>[B]</p><p>Pela Lei dos Senos, segue que:</p><p>Resposta da questão 10:</p><p>[B]</p><p>Aplicando o teorema dos senos no triângulo</p><p>assinalado, temos:</p><p>Aproximadamente 234m.</p><p>Resposta da questão 11:</p><p>[B]</p><p>8 MATEMÁTICA COM VALDEMAR SANTOS</p><p>No triângulo ABC ABC 45 ,= ° aplicando o teorema dos</p><p>senos, temos:</p><p>50 BC BC 2 50 BC 25 2</p><p>sen45 sen30</p><p>= ⇔ ⋅ = ⇔ =</p><p>° °</p><p>No triângulo BDC, temos:</p><p>Resposta da questão 12:</p><p>[B]</p><p>Aplicando o teorema dos senos, temos:</p><p>Resposta da questão 13:</p><p>[D]</p><p>Resposta da questão 14:</p><p>De acordo com os dados do problema temos</p><p>a figura.</p><p>O triângulo POB é isósceles logo, OB 3 3= +</p><p>Portanto, ( )AB x 3 3 3 1 2km 20hm= = + − + = = .</p><p>Resposta da questão 15:</p><p>a) 1 km</p><p>MATEMÁTICA COM VALDEMAR SANTOS 9</p><p>b) 2 km</p><p>Resposta da questão 16:</p><p>29 metros.</p>