prova_p1_calc3_2013_1_mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
1a Prova de Ca´lculo III - Matema´tica - Monica
10/05/2013
1a Questa˜o: (2,5 pontos) Calcule a integral dupla∫ ∫
D
y
x
exy dydx,
onde D e´ a regia˜o do plano, limitada pelas hipe´rboles y = 1/x, y = 16/x e as retas y = 4x
e y = 9x.
2a Questa˜o: (2,5 pontos) Usando coordenadas polares, reescreva em uma u´nica integral dupla
a soma das integrais∫ 1
1/
√
2
∫ x
√
1−x2
xy dydx+
∫ √2
1
∫ x
0
xy dydx+
∫ 2
√
2
∫ √4−x2
0
xy dydx .
1. Primeiro esboce a regia˜o coberta pela soma das integrais duplas.
2. Reescreva em coordenadas polares.
3. Calcule essa integral dupla.
3a Questa˜o: (2,5 pontos) Use coordenadas esfe´ricas para calcular a integral∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ √2−x2−y2
√
x2+y2
xy dzdydx .
4a Questa˜o: (2,5 pontos) Calcule o volume do so´lido abaixo da superf´ıcie z = x2 + y2, acima
do plano xy e dentro da superf´ıcie x2 + y2 = 2x.
JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS !
Boa Sorte!!!