prova_p2_calc3_2013_1_mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
2a Prova de Ca´lculo III - Matema´tica - Monica
05/06/2013
1a Questa˜o: (2 pontos)
Para que valores de n, a integral∫ ∫ ∫
Ω
1
(x2 + y2 + z2)n/2
dxdydz,
onde Ω e´ a esfera so´lida centrada na origem e de raio 1, e´ convergente, e para que valor?
(dica: separe em casos, de acordo com valores de n.)
2a Questa˜o: (2 pontos)
Calcule
∫
C
xy ds, onde C e´ a parte da curva dada por 4x2 + 9y2 = 36, contida no primeiro
quadrante.
3a Questa˜o: (2 pontos)
Calcule a a´rea da porc¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 1 que esta´ dentro do cone x2 + y2 = z2,
z ≥ 0.
4a Questa˜o: (2 pontos)
Calcule
∫ ∫
S
(
−→
F ◦ η) dS, onde −→F (x, y, z) = (0,√y, 0), S e´ a superf´ıcie dada por
x2 + z2 = y, 0 ≤ y ≤ 1 e η e´ a normal unita´ria apontando para fora de S.
5a Questa˜o: (2 pontos)
Seja C = C1 ∪ C2, a curva fechada onde C1 e´ o arco da cicloide
x(t) = a(t− sen t) , y(t) = a(1− cos t) , a > 0 , 0 ≤ t ≤ 2pi
e C2 o segmento de reta que e´ a projec¸a˜o da cicloide sobre o eixo x. Calcule a a´rea
delimitada por C, USANDO TEOREMA DE GREEN.
JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS !
Boa Sorte!!!