AULA 09 - LEI DOS SENOS

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<p>Página | 1</p><p>PREPARATÓRIO ITEP/RN</p><p>PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>MATEMÁTICA – AULA 09</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>Conteúdos:</p><p> Lei dos Senos;</p><p> Lei dos Cossenos.</p><p>ALUNO(A):</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 1</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>Em qualquer triângulo ABC, as medidas dos lados são</p><p>proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:</p><p>Observação: Os valores dos senos de dois ângulos</p><p>suplementares são iguais, isto é:</p><p>Em qualquer triângulo ABC, o quadrado da medida de um</p><p>lado é igual á soma dos quadrados das medidas dos outros</p><p>dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses</p><p>lados pelo cosseno do ângulo que eles formam, ou seja:</p><p>Observação: Os valores dos cossenos de dois ângulos</p><p>suplementares diferem apenas no sinal, ou seja:</p><p>EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO</p><p>A água utilizada em uma residência é captada e bombeada</p><p>do rio para uma caixa d’água localizada a 60 m de distância</p><p>da bomba. Os ângulos formados pelas direções bomba –</p><p>caixa d’água – residência é de 60º e residência – bomba –</p><p>caixa d’água é de 75º, conforme mostra a figura abaixo. Para</p><p>bombear água do mesmo ponto de captação, diretamente</p><p>para a residência, quantos metros de tubulação são</p><p>necessários? Use √6 = 2,4.</p><p>A. 72 metros</p><p>B. 12,5 metros</p><p>C. 28 metros</p><p>D. 35,29 metros</p><p>E. 21,25 metros</p><p>Um geógrafo posicionado numa praia deseja determinar a</p><p>distância entre duas ilhas e para isso toma como referência</p><p>os pontos A e B das ilhas como mostra a figura. Na praia ele</p><p>marca dois pontos C e D distantes 70 m um do</p><p>outro. Usando um medidor de ângulos (teodolito), os</p><p>ângulos ACB = 38º, BCD = 37º, ADC = 60º e ADB =</p><p>53º. Dados sen 37º = 3/5, sen 75º = 19/20, cos 53º = 3/5</p><p>e √2 = 7/5</p><p>É correto afirmar que a distância entre os pontos A e B é:</p><p>A. maior do que 70 m e menor do que 75 m.</p><p>B. maior do que 75 m e menor do que 80 m.</p><p>C. maior do que 80 m e menor do que 85 m.</p><p>D. maior do que 85 m e menor do que 90 m.</p><p>E. maior do que 90 m e menor do que 95 m.</p><p>Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às</p><p>margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do</p><p>mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de</p><p>determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50</p><p>m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o</p><p>ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos</p><p>LEI DOS SENOS</p><p>QUESTÃO 01</p><p>QUESTÃO 02</p><p>QUESTÃO 03</p><p>LEI DOS COSSENOS</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 2</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>BÂC e BCD valem 30º, e o ângulo ACB vale 105º, como</p><p>mostra a figura.</p><p>A altura h do mastro da bandeira, em metros, é:</p><p>A. 12,5</p><p>B. 12,5√2</p><p>C. 25,0</p><p>D. 25,0√2</p><p>E. 35,0</p><p>Observando a ilustração abaixo, determinar a distância, d,</p><p>entre a ilha e a praia. (Dados: sen 84º = 0,99 , sen 75º = 0,97</p><p>e sen 21º = 0,36)</p><p>A. 74 m</p><p>B. 76 m</p><p>C. 198 m</p><p>D. 200 m</p><p>E. 220 m</p><p>A falta de oportunidade em algumas regiões de conflito</p><p>fazem com que uma parte da população recorra a</p><p>embarcações clandestinas para buscar uma vida melhor nos</p><p>países vizinhos. A figura a seguir mostra uma rota de</p><p>travessia entre as cidades A e B.</p><p>Com base na figura, qual é a distância entre as cidades A e</p><p>B?</p><p>A. 100</p><p>B. 100√3</p><p>C. 100√5</p><p>D. 100√7</p><p>E. 300</p><p>A figura mostra um artista pintando um quadro. O modelo é</p><p>uma árvore. Pode-se dizer que a altura da árvore é: (Use: √2</p><p>= 1,4)</p><p>A. Menor que 10 m</p><p>B. entre 10 m e 20 m</p><p>C. entre 20 m e 30 m</p><p>D. entre 30 m e 40 m</p><p>E. maior que 40 m</p><p>Dois botes estão no mar a uma distância d um do outro. Um</p><p>observador, situado na praia, observava-os, calculando</p><p>distâncias e ângulos em dois pontos de observação, como</p><p>no esboço abaixo.</p><p>QUESTÃO 04</p><p>QUESTÃO 06</p><p>QUESTÃO 05</p><p>QUESTÃO 07</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 3</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>A distância d entre os botes, em metros, é igual a Dado: sen</p><p>120° = cos 30°.</p><p>A. 10√5</p><p>B. 15(√6 + √2 )</p><p>C. 10(√3 + √2 )</p><p>D. 15(√6 - √2 )</p><p>E. 10(√3 - √2 )</p><p>A caminhada é uma das atividades físicas que, quando</p><p>realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de</p><p>doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a</p><p>prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A,</p><p>passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme</p><p>trajeto indicado na figura.</p><p>Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo</p><p>o trajeto?</p><p>A. 2,29.</p><p>B. 2,33.</p><p>C. 3,16.</p><p>D. 3,50.</p><p>E. 4,80.</p><p>No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por</p><p>terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o</p><p>epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido</p><p>de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de</p><p>Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13</p><p>minutos.</p><p>Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos α ≅</p><p>0,934, onde α é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28</p><p>· 32 · 93,4 ≅ 215 100, a velocidade média, em km/h, com</p><p>que a 1.ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi</p><p>de:</p><p>A. 10.</p><p>B. 50.</p><p>C. 100.</p><p>D. 250.</p><p>E. 600.</p><p>Paulo e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um</p><p>disco circular de centro O. Paulo joga um dardo, que atinge</p><p>o alvo num ponto que vamos denotar por P; em seguida,</p><p>Marta joga outro dardo, que atinge um ponto denotado por</p><p>M, conforme figura.</p><p>Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O do alvo</p><p>é PO = 10 cm, que a distância de P a M é PM = 14 cm e que</p><p>o ângulo POM mede 120º, a distância, em centímetros, do</p><p>ponto M ao centro O é</p><p>A. 12</p><p>B. 9</p><p>C. 8</p><p>D. 6</p><p>E. 5</p><p>Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida</p><p>por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende</p><p>construir um teleférico, ligando o terminal de transportes</p><p>coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.</p><p>QUESTÃO 08</p><p>QUESTÃO 09</p><p>QUESTÃO 10</p><p>QUESTÃO 11</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 4</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:</p><p> O ponto de partida ficar localizado no terminal de</p><p>transportes coletivos (ponto A), com uma parada</p><p>intermediária (ponto B), e o ponto de chegada</p><p>localizado no pico do morro (ponto C);</p><p> O ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de</p><p>chegada localizado no ponto C, sem parada</p><p>intermediária.</p><p>Supondo que AB = 300√3 m, BC = 200 m, BÂP = 20º e CBN</p><p>= 50, é correto afirmar que a distância entre os pontos A e</p><p>C é de:</p><p>A. 700 m</p><p>B. 702 m</p><p>C. 704 m</p><p>D. 706 m</p><p>E. 708 m</p><p>A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que</p><p>corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois</p><p>pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para</p><p>medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou</p><p>um terceiro ponto, C, distante 200 m do ponto A e na mesma</p><p>margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um</p><p>teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos</p><p>horizontais e ângulos verticais, muito empregado em</p><p>trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os</p><p>ângulos BCA e CAB mediam, respectivamente, 30º e 105º,</p><p>conforme ilustrado na figura a seguir.</p><p>Com base nessas informações, é correto afirmar que a</p><p>distância, em metros, do ponto A ao ponto B é de:</p><p>A. 200√2</p><p>B. 180√2</p><p>C. 150√2</p><p>D. 100√2</p><p>E. 50√2</p><p>SEÇÃO ENEM</p><p>Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de</p><p>panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela</p><p>dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo</p><p>comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma</p><p>folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o</p><p>desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso</p><p>de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120º. A</p><p>ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do</p><p>grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do</p><p>compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.</p><p>Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de</p><p>produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da</p><p>tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e</p><p>decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação,</p><p>de acordo com os dados.</p><p>O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será</p><p>A. I</p><p>B. II</p><p>C. III</p><p>D. IV</p><p>E. V</p><p>Em escolas infantis, é comum encontrar um brinquedo,</p><p>chamado escorregador, constituído de uma superfície plana</p><p>inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de</p><p>QUESTÃO 01</p><p>QUESTÃO 02</p><p>QUESTÃO 12</p><p>PREPARATÓRIO ENEM PORTUGUÊS</p><p>Prof. Chagas Queiroz</p><p>www.cpconcursos.com.br Página | 5</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Prof. Me. Arthur Lopes</p><p>uma escada. No pátio da escolinha Casa Feliz, há um</p><p>escorregador, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja</p><p>escada tem 8 degraus espaçados de 25 cm e forma um</p><p>ângulo de 60º com o piso.</p><p>.</p><p>O comprimento da rampa, sabendo-se que ela forma com o</p><p>chão um ângulo de 45º, é de</p><p>A. √3 m.</p><p>B. √6 m.</p><p>C. 2√2 m.</p><p>D. 2√3 m.</p><p>E. 2√6 m.</p><p>Uma empresa ao construir uma linha férrea acaba por</p><p>deparar-se com uma nascente de água e seu curso será</p><p>alterado para garantir um custo menor de construção, figuras</p><p>1 e 2.</p><p>Sabe-se que o aumento do custo de construção depende da</p><p>diferença entre a distância efetiva de construção (soma das</p><p>distâncias dos segmentos AC e BC) e a distância</p><p>inicialmente planejada (medida do segmento AB). O valor</p><p>encontrado pela construtora nessa diferença de percurso,</p><p>em km, é</p><p>A. 5(√3 − 1)</p><p>B. 5(2 − √3)</p><p>C. 10(√3 − 1)</p><p>D. 10(2 − √3)</p><p>E. 10(3 − √3)</p><p>Para se calcular a distância entre duas árvores,</p><p>representadas pelos pontos A e B, situados em margens</p><p>opostas de um rio, foi escolhido um ponto C arbitrário, na</p><p>margem onde se localiza a árvore A.</p><p>As medidas necessárias foram tomadas, e os resultados</p><p>obtidos foram os seguintes: AC = 70 m, BAC = 62º e ACB =</p><p>74º. Sendo cos 28º = 0,88, sen 74º = 0,96 e sen 44º = 0,70,</p><p>podemos afirmar que a distância entre as árvores é:</p><p>A. 48 m.</p><p>B. 78 m.</p><p>C. 85 m.</p><p>D. 96 m.</p><p>E. 102 m.</p><p>Gabarito Fixação:</p><p>1 – A, 2 – C, 3 – B, 4 – E, 5 – D, 6 – C, 7 – A, 8 – D, 9 – E, 10 – D, 11 – A, 12 - D.</p><p>Gabarito ENEM:</p><p>1 – D, 2 – B, 3 – E, 4 - D.</p><p>QUESTÃO 03</p><p>QUESTÃO 04</p>