Apostila de Cálculo II

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Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
1/84 
 
Centro Universitário do Leste de Minas de Gerais 
UNILESTEMG 
Coronel Fabriciano - MG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO IICÁLCULO IICÁLCULO IICÁLCULO II 
INTEGRAÇÃO E DERIVADAS PARCIAISINTEGRAÇÃO E DERIVADAS PARCIAISINTEGRAÇÃO E DERIVADAS PARCIAISINTEGRAÇÃO E DERIVADAS PARCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. REGINALDO PINTO BARBOSA 
Janeiro / 2010 
Revisão 1 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
2/84 
Sumário 
 
1. INTEGRAL INDEFINIDA................................................................................4 
1.1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................. 4 
1.2. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO.......................... 5 
1.3. PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA............................................................. 6 
1.4. INTEGRAIS IMEDIATAS................................................................................................. 8 
1.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS............................................................................................ 10 
1.6. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL..................... 11 
1.6.1. Integrais envolvendo cbxax ++2 ............................................................................. 14 
1.6.2. Integrais em Produtos de Potências de Senos e Cossenos ........................................... 15 
1.7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS............................................................................................ 16 
 
2. INTEGRAL DEFINIDA ..................................................................................18 
2.1. DEFINIÇÃO .................................................................................................................... 18 
2.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA ............................................................................... 18 
2.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO............................................................... 19 
2.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS............................................................................................ 23 
2.5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO .................................................................................... 24 
2.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS............................................................................................ 26 
2.7. ÁREA DE REGIÕES ENTRE CURVAS ......................................................................... 26 
2.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS............................................................................................ 31 
2.9. VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO................................................................. 32 
2.9.1. Método dos discos circulares...................................................................................... 33 
2.9.2. O método dos anéis circulares .................................................................................... 36 
2.10. EXERCÍCIOS PROPOSTOS.......................................................................................... 41 
 
3. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO.....................................................................43 
3.1. INTEGRAÇÃO POR PARTES ........................................................................................ 43 
3.1.1 Exercícios Propostos ................................................................................................... 47 
3.2. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA ....................................... 48 
3.2.1 Exercícios Propostos ................................................................................................... 53 
3.3. INTEGRAÇÃO DE FUNÇOES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS .................... 54 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
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3.3.1. Integração de Funções Racionais Próprias................................................................. 54 
 
4. FUNÇÕES VÁRIAS VARIÁVEIS E DERIVADAS PARCIAIS ..................67 
4.1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS............................................................................. 67 
4.2. DOMÍNIO DE FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS .......................................................... 69 
4.2.1 Exercícios Propostos ................................................................................................... 70 
4.3. GRAFICO DE FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS .......................................................... 71 
4.4. CURVAS DE NÍVEL....................................................................................................... 72 
4.4.1 Definição..................................................................................................................... 72 
4.5. EXERCÍCIOS DE REVISÃO........................................................................................... 74 
4.6. DERIVADAS PARCIAIS DE 1ª ORDEM........................................................................ 76 
4.6.1 Definição de Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis ................................. 76 
4.6.2 Técnicas para o Cálculo de Derivadas Parciais........................................................... 78 
4.6.3 Regra da Cadeia.......................................................................................................... 79 
4.6.4 Exercícios propostos.................................................................................................... 81 
4.7. DERIVADAS PARCIAIS DE 2ª ORDEM........................................................................ 82 
4.7.1 Exercícios propostos.................................................................................................... 83 
 
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................84 
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1. INTEGRAL INDEFINIDA 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
O cálculo pode ser dividido em duas partes: 
a) Dada uma função f, deseja-se determinar f’ → Cálculo diferencial. 
b) Conhecida a derivada f’ de uma função, deseja-se determinar a função f → Cálculo 
integral. 
Em muitos problemas a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a própria 
função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma população é conhecida, pode-se desejar 
saber qual o tamanho da população em algum instante futuro; conhecendo-se a velocidade de 
um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição em um momento qualquer; ou 
podemos querer determinar o lucro de um produto quando conhecemos a margem de lucro. 
 
As soluções desses problemas necessitam que se “desfaça” a operação de diferenciação ou 
derivação, isto é, torna-se necessário antidiferenciar a função. O processo de obter uma função 
a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida. 
 
Primitiva ou Antiderivada: seja a função F(x) definida num intervalo I. Se )()(' xfxF = para 
todos os valores de x em I, dizemos que F(x) é uma antiderivada ou primitiva da função f(x). 
Exemplos: 
a) 25
3
)(
3
++= x
x
xF é uma primitiva de 5)( 2 += xxf , pois 5)(' 2 += xxF . 
b) 7)cos()ln()( −+= xxxF , com 0>x , é uma primitiva de )(
1
)( xsen
x
xf −= , pois 
)(
1
)(' xsen
x
xF −= . 
c) 2)( xxF = é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = . 
 
Observe que as funções 2)( xxF = e 3)( 2 += xxF são primitivas da função xxf 2)( = . Daí 
pode-se dizer que a função xxf 2)( = admite várias primitivas ou antiderivadas do tipo 
CxxF += 2)( , onde C é uma constante qualquer. 
 
Dessa forma podemos definir que: 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
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“Se F(x) é uma primitiva ou antiderivada de f(x), a expressão CxF +)( é chamada integral 
indefinida da função f(x) e é denotada por 
 
∫ += CxFdxxf )()( , 
onde 
[ ] )()( xfCxF
dx
d
=+ 
 
Na definição acima a constante C é chamada a constante de integração, o símbolo ∫ é 
chamado de sinal da integral, ea função f(x) é chamada integrando da expressão ∫ dxxf )( . O 
processo para calcular ∫ dxxf )( é chamado integração indefinida. O adjetivo “indefinida” é 
presumivelmente usado porque a constante C pode assumir qualquer valor e portanto não é 
decididamente determinada pela função f(x). 
 
1.2. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO 
 
Seja xxf 2)( = . Sabemos que [ ] dxxfxFdxF
dx
d
xf )()()()( =⇒= ou [ ] xdxxFd 2)( = . 
Integrando, temos ∫ += Cxxdx 22 . Geometricamente é fácil observar que o gráfico de 
Cxy += 2 é obtido pela translação do gráfico de y = x2 verticalmente de C unidades, e isso 
não muda a inclinação da reta tangente para um dado valor de x. Isso é demonstrado na figura 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Gráfico da função Cxy += 2 
 
 
 
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
2xy =
12 += xy
22 += xy
12 −= xy
22 −= xy
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1.3. PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA 
 
1. ∫ = )()( xfdxxfDx 
2. Cxfdxxf +=∫ )()(' 
3. Cxdx +=∫ 
4. Regra da potência: se “n” é um número racional diferente de -1, então 
C
n
x
dxx
n
n +
+
=∫
+
1
1
. 
5. Regra da homogeneidade: se “k” é uma constante, então: 
∫ ∫=⋅ dxxfkdxxfk )()( . 
6. Regra da adição: 
[ ] ∫∫ ∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
7. Regra da linearidade: 
[ ] ∫∫ ∫ +=+ dxxgkdxxfkdxxgkxfk )()()()( 2121 
 
Exemplos: 
Calcule as integrais pedidas: 
1. ∫ −+ dxxx )75( 
( )
321
2
3
2
321
2
3
2
32
2
3
1
2
32
1
2
1
1
11
2
1
75 ,7
3
2
2
5
757
3
2
2
5
77
2
3
5
2
5
7
1
2
111
5
7575)75(
cccCondeCxxxcccxxx
cxc
x
cxcxc
x
c
x
dxdxxxdxdxdxxxdxdxxx
−+=+−+=−++−+=
=−−+++=+⋅−












+
+
+





+
+
⋅=
=−+=−+=−+
++
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫
 
 
2. ∫
++
dx
x
xx
2
24 53
 
( )
C
x
x
x
C
x
x
x
dxxdxdxxdxxxdx
xx
x
x
x
dx
x
xx
+−+=+
−
++=
=++=++=





++=
++
−
−− ∫ ∫∫∫∫∫
5
3
31
5
3
3
5353
5353
313
2222
22
2
2
4
2
24
 
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3. ∫ + dyyy 23 )1( 
( )
Cy
yyyy
Cy
yy
Cy
yy
Cy
yy
Cy
yy
dydyydyy
dyyydyydyydyyy
+++=+++=++⋅+=
=++⋅+=++
+
⋅+
+
=++=
=



 ++=



 +=+=+
++
∫ ∫∫
∫∫∫ ∫
7
6
11
3
7
6
11
3
7
3
2
11
3
3
7
2
3
11
1
3
4
2
1
3
8
2
1211)1(
323 233 73 113
7
3
11
3
7
3
11
1
3
4
1
3
8
3
4
3
8
3
4
3
82
3
42
3 423
 
 
4. ∫ −
−
dx
x
x
1
13
 
Cx
xx
dxxdxdxxdxxxdx
x
xxx
dx
x
x
+++=
=++=++=
−
++−
=
−
−
∫∫ ∫∫∫∫
23
)1(
1
)1)(1(
1
1
23
22
23
 
 
5. Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taxa de 
3
2
54 t+ habitantes por mês. Se a população atual é 10.000 habitantes, qual será a população 
daqui a 8 meses? 
Solução: 
Seja p(t) a população da cidade no tempo t (medido em meses). A taxa de variação de uma 
função é dada pela sua derivada. Assim, temos 3
2
54)(' ttp += e, portanto, ∫= dttptp )(')( . 
Então: 
 
Ctttp
t
tdttdtdttdttptp
++=
+=+=+== ∫ ∫∫∫
3
5
3
5
3
2
3
2
34)(
3
5
.5454)54()(')(
 
Como 10000)0( =p , substituindo na equação de p(t), encontramos 10000=C . Logo, a 
função que representa a população num instante t qualquer é dada por 
1000034)( 3
5
++= tttp e, consequentemente, daqui a 8 meses a população será igual a 
( )
.tan 101281000096321000032332100002332)8(
100002332100008332100008384)8(
3 15
3 533 53
5
teshabip
p
=++=+⋅+=+⋅+=
=+⋅+=+⋅+=+⋅+⋅=
 
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6. Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é 
2341)( tttv ++= m/min. Que distância o corpo percorre no terceiro minuto? 
Solução: 
Seja s(t) a posição do corpo no tempo t. Como a velocidade é dada pela derivada da função 
posição, segue que )()(' tvts = , ou seja, ∫= dttvts )()( ou 
( ) Ctttdtttts +++=++= ∫ 322 2341)( . A distância que o corpo percorre no terceiro 
minuto é dada por 30842227923)2()3( =−−⋅−−++⋅+=− CCss . Portanto, o corpo 
percorre 30 m no terceiro minuto. 
 
1.4. INTEGRAIS IMEDIATAS 
 
1. ∫ += Cuduu ||ln
1
 ⇒ 
u
u
1
)'(ln = 
2. ∫ += Cedue uu ⇒ uu ee =)'( 
3. C
a
a
dua
u
u +=∫ ln ⇒ 
uu
u
aaa
aa
a
== ln
ln
1
)'
ln
( 
4. ∫ += Cusenudu cos ⇒ uusen cos)' ( = 
5. ∫ +−= Cuudusen cos ⇒ usenusenu ) ()1()' cos( =−⋅−=− 
6. ∫ += Cutgudu sec2 ⇒ utgu 2sec)'( = 
7. ∫ +−= Cuguduec cotcos 2 ⇒ uecuecug cos) cos()1()' cot( 22 =−⋅−=− 
8. ∫ +=⋅ Cudutguu sec sec ⇒ tguuu ⋅= sec)'(sec 
9. ∫ +−=⋅ Cuecduguecu cos cotcos 
⇒ guuecguuecuec cot cos)cot cos()1()' cos( ⋅=⋅−⋅−=− 
10. ∫ += Cuarcsen
-u
du
 
1 2
 ⇒ 
21
1
)'(
u
arcsenu
−
= 
11. ∫ +=+ Cuarctgu
du
 
1 2
 ⇒ 
21
1
)'(
u
arctgu
+
= 
12. ∫ +=
−⋅
Cuarc
uu
du
 sec 
12
 ⇒ 
1
1
)'sec(
2 −⋅
=
uu
uarc 
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Exemplos: 
Calcule as integrais indefinidas: 
1. ∫ +⋅ dxxectgxx )cossec3( 2 
Cgxxdxxecdxtgxxdxxectgxx +−=+⋅=+⋅ ∫ ∫∫ cotsec3 cos sec3)cossec3( 22 
 
2. ∫ + dx
x
x )
1
cos2( 
CxsenxC
x
senx
C
x
senxdxxsenx
x
dx
xdxdx
x
x
++=++=
=+
+−
+=+=+=+
+−
−
∫∫ ∫∫
22
2
1
2
1
2
1
22cos2)
1
cos2(
2
1
1
2
1
2
1
 
 
3. ∫ +− dxxx
senx
e x )
2
cos
2(
72
 
C
x
xeC
x
xe
x
tgxdxxe
dxxdx
x
senx
x
edx
x
dx
x
senx
dxedx
xx
senx
e
xxx
xxx
+−−=+−−=
+−
+⋅−=
=+⋅−=+−=+−
−+−
−
∫
∫∫∫∫∫∫
6
617
7
7272
3
1
sec2
3
sec2
17
2sec2
2
coscos
1
2
1
2
cos
2)
2
cos
2(
 
4. ∫ + dxxx )3
1
(3 2 
CxxCx
x
dx
x
dxxdx
x
dxxdx
x
x ++=++=+=+=+ ∫∫∫∫∫ ||ln3
1
5
3
||ln
3
1
3
5
1
3
1
3
1
)
3
1
( 3
53
5
3
2
3 23 2
 
5. ∫ − dxx 21
9
 
Carcsenxdx
x
dx
x
dx
x
+=
−
=
−
=
− ∫∫ ∫ 31
1
3
1
3
1
9
222
 
 
6. ∫ dxxx
x
2ln
ln
 
Cxdx
x
dx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
+===
⋅
= ∫∫∫∫ ||ln2
11
2
1
2
1
ln2
ln
ln
ln
2
 
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1.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Utilize as propriedades e as integrais imediatas para calcular as integrais indefinidas abaixo: 
a) ∫ +− dxxx )5)(12( 23 
b) dx
xx∫ − 
4
24
 
c) dx
x
x
 
53
1
∫
−
−
 
d) du
u
 
66
3
2∫ + 
e) dt
t
te t )
3
16(
3
4 +−∫ 
f) dx
x
x
∫ +
−
 
1
1
2
2
 
g) ∫ ⋅ xdxecxtg 22 cos 
h) dxxx )1(cossec 32 +⋅∫ 
i) dx
x
x
∫
−125 3
 
 
2. Encontre uma primitiva F, da função xxxf += 3
2
)( , que satisfaça 1)1( =F . 
3. Determinar a função f(x) tal que Cxxdxxf ++=∫ 2cos2
1
)( 2 . 
4. Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índice de 
monóxido de carbono no ar estará aumentando à razão de 1,01,0 +t partes por milhão (ppm) 
por ano. Se o índice atual de monóxido de carbono no ar é de 3,4 ppm, qual será o índice 
daqui a 3 anos? 
5. Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura h(t), após t 
anos, está variando a uma taxa de 2
1
3
2
3,006,0 tt + metros/ano. Se a árvore tinha 60 cm de 
altura quando foi plantada, que altura terá após 27 anos? 
 
Respostas: 
1. a) Cx
xxx
+−−+ 5
32
5
3
346
 b) Cxarc +sec2 c) Cx
x
+−− ||ln5
3
3
 
 d) Carctgu +
2
1
 e) C
t
tte t +−−
2
4
2
3
5
8
 f) Carctgxx +− 2 
 g) Ctgx + h) Ctgxsenx ++ i) Cx
xx
+− 2
7
50 3
 
2. 
10
1
25
3
)(
2
3
5
−+=
x
xxF 
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3. xsenxxf 22)( −= 
4. 4,15 partes por milhão 
5. 37,41 metros 
 
1.6. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL 
 
Para se calcular ∫ + dxxx 1002 )5( , somente as regras básicas de integração não são suficientes. 
Necessita-se, pois, de inserir uma variável auxiliar “u” para substituir uma parte do integrando 
e consequentemente da diferencial “du” para substituir o restante. Dessa forma tem-se: 
 
=+∫ dxxx 1002 )5( 
Fazendo 52 += xu , temos x
dx
du
2= ou 
x
du
dx
2
= . 
Substituindo u e dx na integral, vem: 
C
u
C
u
duuduu
x
du
ux +=+⋅==⋅=⋅⋅ ∫∫ ∫ 2021012
1
2
1
2
1
2
101101
100100100 
A substituição de 52 += xu na expressão anteriordá: 
 
C
x
dxxx +
+
=+∫ 202
)5(
)5(
1012
1002 
 
O método aqui ilustrado é chamado mudança de variável ou integração por substituição, no 
qual mudamos a variável x para u, calculamos a integral em relação a u e depois retornamos a 
resposta para x. 
 
Esse método de integração é executado de acordo com o seguinte processo: 
1. Determine a porção do integrando f(x) que pode ser trocada por uma nova variável “u” 
de forma a se obter )(xgu = . 
2. Usando a equação )(xgu = obtida na etapa 1, determine a diferencial “du”, a qual 
deverá ter a forma de dxxgdu )('= . 
3. Usando as duas equações )(xgu = e dxxgdu )('= obtidas nas etapas 1 e 2, reescreva 
todo o integrando, incluindo dx, em termos de u e du somente. 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
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4. Calcule a integral indefinida resultante em termos de u. 
5. Usando a equação )(xgu = da etapa 1, reescreva a resposta da integral da etapa 4, em 
termos da variável original x. 
 
Depois de as manipulações algébricas requeridas na etapa 3 terem sido executadas, pode 
acontecer de a integral resultante (envolvendo u) ser mais complicada do que a integral 
original (envolvendo x). Contudo, se o processo falha para uma escolha de u, ele pode ser 
eficaz para outra – tente novamente. 
O sucesso deste método, nos casos em que é aplicável, depende da escolha de uma adequada 
substituição e da experiência em vislumbrar qual parte do integrando é derivada de alguma 
outra parte. 
 
Exemplos: 
Use o método da mudança de variável (substituição) para calcular as integrais indefinidas 
dadas. 
1. dxx 27∫ + 
7
7
27
du
dx
dx
du
xu
=⇒=
+=
 
C
x
CuC
u
duu
du
udxx +
+
=+=+⋅==⋅=+ ∫∫∫ 21
)27(2
21
2
2
37
1
7
1
7
 27
3
3
2
3
2
1
 
 
C
xx
dxx +
++
=+∫ 21
27)414(
 27 
 
2. dx
x
x
 
1
2
2∫ + 
xdxdux
dx
du
xu
22
1 2
=⇒=
+=
 
CxCu
u
du
dx
x
x
++=+==
+ ∫∫ )1ln(ln 1
2 2
2
 
Cxdx
x
x
++=
+∫ |1|ln 1
2 2
2 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
13/84 
3. dx
x
x
 
)4( 53
2
∫ + 
3
33
4
222
3
du
dxxdxxdux
dx
du
xu
=⇒=⇒=
+=
 
C
u
C
u
duu
u
du
dx
x
x
+−=+
−
⋅===
+ ∫∫∫
−
−
4
4
5
553
2
12
1
43
1
3
1
3
 
)4(
 
 
C
x
dx
x
x
+
+⋅
−=
+∫ 4353
2
)4(12
1
 
)4(
 
 
4. dxx 2x-3 2∫ 
2
2
23
du
dx
dx
du
xu
−=⇒−=
−=
 
2
3
32
23
u
xux
xu
−
=⇒−=
−=
 
CuuuC
uuu
duuduuduudu
uuu
duu
uu
duu
uu
duu
uudu
u
u
dxx
+−+−=+⋅−⋅+⋅−=
−+−=








−+
−
=⋅





−+
−
=
⋅
−+−
=⋅
+−
⋅−=




−⋅⋅




 −=
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
2
7
2
5
2
32
7
2
5
2
3
2
5
2
3
2
12
5
2
3
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
22
2
56
2
40
12
24
18
2
78
1
2
58
6
2
38
9
8
1
8
6
8
9
88
6
8
9
88
6
8
9
8
69
4
69
2
1
22
3
 2x-3 
 
Cxxxdxx +−−−+−−=∫ 2
7
2
5
2
3
2 )23(
28
1
)23(
10
3
)23(
4
3
 2x-3 
 
5. dxxxsen cos2∫ 
xdxdux
dx
du
senxu
coscos =⇒=
=
 
C
u
duudxxxsen +== ∫∫ 3 cos
3
22 
C
xsen
dxxxsen +=∫ 3 cos
3
2 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
14/84 
6. ∫ tgxdx 
dx
x
senx
tgxdx ∫∫ = cos 
senxdxdusenx
dx
du
xu =−⇒−=⇒= cos 
Cu
u
du
u
du
tgxdx +−=−=
−
= ∫∫∫ ln 
Cxtgxdx +−=∫ |cos| ln 
 
7. ∫ + dxxx )3sec( 2 
∫∫ ∫∫ +=+=+ xdx
x
xdxxdxdxxx 3sec
2
3sec)3sec( 2
2
22 
Utilizamos o método da mudança de variável para resolver ∫ xdx3sec2 . 
3
3 3
du
dx
dx
du
xu =⇒=⇒= 
CxtgCtguduu
du
uxdx +=+==⋅= ∫∫∫ 33
1
3
1
 sec
3
1
3
sec3sec 222 
Logo: 
C
xtgx
dxxx ++=+∫ 3
3
2
)3sec(
2
2 
 
1.6.1. Integrais envolvendo cbxax ++2 
 
Para resolver integrais que envolvem a expressão cbxax ++2 deve-se completar os quadrados 
reescrevendo a expressão anterior como: 
 





 −
+




 +=++
a
bac
a
b
xacbxax
4
4
2
22
2 
Exemplo: 
Calcule a integral indefinida ∫ ++ 1362 xx
dx
 
( ) 43
4
361314
2
6
1136 2
2
2 ++=




 −⋅⋅+




 +⋅=++ xxxx 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
15/84 
∫∫ ++=++ 4)3(136 22 x
dx
xx
dx
 
dxdu
dx
du
xu =⇒=⇒+= 1 3 
C
u
arctg
u
dx
u
dx
u
dx
x
dx
xx
dx
+=





+
=






+⋅
=
+
=
++
=
++ ∫∫∫∫∫ 24
1
2
1
4
1
1
4
4
44)3(136 22222
 
C
x
arctg
xx
dx
+
+
=
++∫ 2
)3(
4
1
136
2
2
 
 
1.6.2. Integrais em Produtos de Potências de Senos e Cossenos 
 
Para calcularmos integrais da forma ∫ xdxxsen nm cos , onde “m” e “n” são expoentes 
constantes, devemos considerar dois casos distintos: 
 
1o Caso: No mínimo um expoente m ou n é um inteiro impar positivo. 
 
Neste caso devemos usar a identidade trigonométrica 1cos22 =+ xxsen para reescrever o 
integrando sob a forma senxxF )(cos ou sob a forma xsenxF cos)( . No primeiro caso a 
substituição xu cos= é utilizada, enquanto que no último caso a substituição senxu = é feita. 
 
Exemplos: 
1) ∫ xdxsen3 
∫ ∫ ⋅= senxdxxsenxdxsen 23 
De 1cos22 =+ xxsen , vem que xxsen 22 cos1−= . Podemos reescrever o integrando sob a 
forma senxxF )(cos . 
∫∫ ∫ ⋅−=⋅= senxdxxsenxdxxsenxdxsen )cos1( 223 
Fazendo xu cos= , temos que 
senx
du
dxsenxdxdu −=⇒−= 
C
u
uduududuu
senx
du
senxuxdxsen ++−=+−=−−=




−⋅⋅−= ∫ ∫ ∫∫∫ 3)1()1(
3
2223 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
16/84 
Logo C
x
xxdxsen ++−=∫ 3
cos
cos
3
3 
 
2) ∫ xdxxsen 35 cos 
∫∫∫ −== dxxsenxsendxxxsenxdxxsen cos)1(coscoscos 252535 
x
du
dxxdxdusenxu
cos
cos =⇒=⇒= 
CxsenxsenC
uu
C
uu
duuduuduuuduuu
x
du
xuuxdxxsen
+−=+
−
=+−=
−=−=−=−= ∫ ∫ ∫∫∫∫
)34(
24
1
24
34
86
)()1(
cos
cos)1(cos
86
8686
7575252535
 
 
2o Caso: Ambos os expoentes m ou n são inteiros pares positivos. 
 
Neste caso devemos usar as seguintes identidades trigonométricas, que são conseqüências da 
fórmula do arco metade. 
)2cos1(
2
1
2
2cos1
2
cos1
2
222
xxsen
x
xsen
xx
sen −=⇒
−
=⇒
−
=





 
)2cos1(
2
1
cos
2
2cos1
cos
2
cos1
2
cos 222 xx
x
x
xx
+=⇒
+
=⇒
+
=





 
 
Exemplos: 
1) ∫ kxdx2cos 
∫∫∫∫ ∫ +=+=+= kxdx
x
kxdxdxdxkxkxdx 2cos
2
1
2
2cos
2
1
2
1
)2cos1(
2
1
cos2 
k
du
dxkdxdukxu
2
22 =⇒=⇒= 
C
k
kxsenx
Csenu
k
x
udu
k
x
k
du
u
x
kxdx ++=++=+=⋅+= ∫∫∫ 4
2
24
1
2
cos
4
1
22
cos
2
1
2
cos2 
 
1.7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
17/84 
a) ∫ +−+ dxxxx )12()322( 102 
b) dx∫ 3x-45x 2 
c) dxxx 2 42∫ + 
d) dx
x
e x
 
2
2
1
∫
+
 
e) ∫
−
 
22 xa
dx
 
f) ∫
−
dx
x
xsenx
cos
cos52
 
g) ∫ − )2(cos2 x
x
e
dxe
 
h) dx
x
x
∫
− 249
 
i) dxex x∫ sen.cos 
j) dxxx .cos.sen 35∫ 
k) dxxxx 42 )65).(52( +−−∫ 
l) xdx∫ 3cos 
m) xdxtg∫ 
n) dx
xx
 
3
cos
1
2∫ ⋅ 
o) dxx sec∫ 
p) xdxxsen 2cos 2 24∫ 
q) dxxsen∫ 4 
r) dxxxsen∫ 52 cos 
 
Respostas: 
a) C
xx
+
−+
22
)322( 112
 b) ( ) Cx +−− 23234
9
5
 c) ( ) Cx ++ 23221
6
1
 
d) C
x
e x +−−
21
 e) C
a
x
arcsen + f) Cxx +−− 5cosln2 
g) Cetg x +− )2( h) Cx +−− 249
4
1
 i) .sen Ce x + 
j) .
8
sen
6
sen 86
C
xx
+− k) .
5
)65( 52
C
xx
+
+−
 i) .
3
3
C
xsen
senx +− 
m) .|cos|ln Cx +− n) .
3
3
1
C
x
sen +− o) Ctgxx |sec|ln ++ 
p) .
96
4
128
8
16
3
C
xsenxsenx
+−− q) C
xsenxsenx
++−
32
4
4
2
8
3
 
r) C
xsenxsenxsen
++− 
75
2
3
753
 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
18/84 
2. INTEGRAL DEFINIDA 
2.1. DEFINIÇÃO 
 
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. Suponha que este intervalo 
seja dividido em n partes iguais de largura 
n
ab
x
−
=∆ e seja jx um número pertencente ao j-
ésimo intervalo, para nj , ,2 ,1 K= . Neste caso a integral definida de f(x) em [a, b], denotada 
por ∫
b
a
dxxf )( , é um número real definido dado por xxfdxxf
n
j
j
b
a
n
∆⋅





= ∑∫
=
∞+→
1
 
)(lim)( , se este 
limite existir. 
 
2.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
 
Suponha que )(xfy = seja contínua e positiva em um intervalo [ ]ba, . Dividimos este 
intervaloem n sub-intervalos de comprimentos iguais, ou seja, de comprimento 
n
ab
x
−
=∆ , de 
modo que baaaaa n =<<<= L210 . Seja jx um ponto qualquer no sub-intervalo 
[ ] . , ,2 ,1 ,,1 nkaa kk K=− . Construímos em cada um desses sub-intervalos retângulos com 
base x∆ e altura )( jxf , conforme figura abaixo: 
 
A soma das áreas dos n retângulos construídos é dada pelo somatório das áreas de cada um 
deles, isto é: 
xxfA
n
j
jretângulos ∆⋅





= ∑
=1
)( 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
19/84 
Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce, ∆x diminui, e consequentemente 
o somatório anterior converge para a área A da região limitada pelo gráfico de f(x) e pelas retas 
0=y e bxeax == . Portanto a área desta região é dada por: 
xxfA
n
j
j
n
∆⋅





= ∑
=
∞+→
1
 
)(lim 
Mas esse limite é exatamente igual à definição de integral definida e com isso observamos que 
a integral definida de um função positiva, para x variando de a até b, fornece a área da região 
limitada pelo gráfico de f(x), pelo eixo x e pelas retas bxeax == . 
 
Observação: Na definição de integral definida consideramos uma função contínua qualquer, 
podendo assumir valores negativos. Nesse caso, o produto xxf j ∆⋅)( representa o 
negativo da área do retângulo. Portanto, se 0)( <xf para [ ]bax ,∈ , então a área da 
região limitada pelo gráfico de f(x), pelo eixo x e pelas retas bxeax == é dada por 
∫−=
b
a
dxxfA )( . 
 
2.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
O cálculo de uma integral definida através de sua definição pode ser extremamente complexo e 
até inviável para algumas funções. Portanto, não a utilizamos para calcular integrais definidas, 
e sim um teorema que é considerado um dos mais importantes do Cálculo, conhecido por 
Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
Se )(xfy = é uma função contínua definida no intervalo [ ]ba, e )()(' xfxF = , isto é, F(x) é 
uma primitiva ou antiderivada de f(x), então: 
 
)()(|)()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a −==∫ 
 
PROPRIEDADES: Se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo [ ]ba, , então: 
a) ∫∫ ⋅=⋅
b
a
b
a
dxxfcdxxfc )( )( , onde c é uma constante. 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
20/84 
b) ∫ =
a
a
dxxf 0)( pois 0)()(|)( =−= aFaFxF aa . 
c) ∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()( pois [ ] )()()()(|)( aFbFbFaFxF ab −=−−=− 
d) [ ] ∫∫ ∫ ±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()( 
e) ∫∫ ∫ +=
b
c
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )( )( )( , onde bca ≤≤ 
f) [ ]baxxf , ,0)( ∈∀≥ ⇒ ∫ ≥
b
a
dxxf 0 )( 
g) [ ]baxxgxf , ),()( ∈∀≥ ⇒ ∫ ∫≥
b
a
b
a
dxxgdxxf )( )( 
 
Exemplos: 
1. Calcular as integrais definidas 
a) ∫ ++
1
0
2 )32( dxxx 
3
13
31
3
1
)03()01(0
3
1
|3||
3
)32( 10
1
0
21
0
31
0
2 =++=−+−+




 −=++=++∫ xx
x
dxxx 
 
b) ∫
b
xdx
0
 
2
0
2
|
2
22
0
2
0
bbx
xdx
b
b
=





−==∫ 
 
c) ∫
4
0
cos
π
xdx 
2
2
)0(
4
|)(cos 40
4
0
=−




==∫ sensensenxxdx
ππ
π
 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
21/84 
d) ∫
2
1
2
1
dx
x
 
2
1
1
2
1
|
1
|
1
1 2
1
2
1
12
1
2
2
1
2
=




 +−=−=
−
==
−
−∫∫ x
x
dxxdx
x
 
 
e) ∫ 



 +
2
1
3
11
dx
xx
 
8
3
2ln
8
41
2ln
2
1
8
1
2ln
|
2
1
2ln|
2
)1ln2(ln|ln
1111 2
12
2
1
22
1
32
1
2
1
2
1
3
2
1
3
+=




 +−+=




 +−+=





−+=
−
+−=+=+=




 +
−
−∫∫ ∫∫ x
x
dxxxdx
x
dx
x
dx
xx
 
 
f) ∫
2
0
 2 
π
dxxsen 
2
2 2
du
dx
dx
du
xu =⇒=⇒= 
1
2
1
2
1
0cos
2
1
cos
2
1
|2cos
2
1
|cos
2
1
u 
2
1
2
 2 20
2
0
2
0
2
0
2
0
=+=+−=
−=−=== ∫∫∫
π
ππ
πππ
xudusen
du
usendxxsen
 
 
g) ∫ +
1
0
 x1 dx 
dudx
dx
du
xu =⇒=⇒+= 1 1 
3
224
3
2
2
3
4
1
3
2
2
3
2
|)1(
3
2
|)1(
3
2
|
3
2
 x1 3310
31
0
2
3
1
0
2
3
1
0
2
1
1
0
1
0
−
=−=
−=+=+====+ ∫∫∫ xxuduuduudx
 
 
h) ∫
e
dx
x
x
1
ln
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
22/84 
xdudx
xdx
du
xu =⇒=⇒=
1
 ln 
2
1
0
2
1
2
)1(ln
2
)(ln
|
2
)(ln
|
2
 
ln 22
1
2
1
2
111
=−=−====⋅= ∫∫∫
exu
duuxdu
x
u
dx
x
x ee
eee
 
 
2. Use a integração para calcular a área das regiões delimitadas pelo eixo x e pelas funções 
abaixo e esboce o seu gráfico: 
a) 12)( += xxf , no intervalo [1, 3] 
 
10)13()19(||)12( 31
3
1
2
3
1
=−+−=+=+= ∫ xxdxxA 
Geometricamente faríamos A = Aretângulo + Atriângulo = 2 x 3 + (2 x 4)/2 = 6 + 4 = 10. 
 
b) xxxf 4)( 2 −= , no intervalo [1, 3] 
 
Como ]3,1[ ,0)( ∈∀< xxf , segue que a área da região é dada por 
3
22
3
5
9)2
3
1
()189( |2
3
 )4( 31
2
33
1
2 =


 +−−=


 −−−−=





−−=−−= ∫ x
x
dxxxA . 
 
 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
23/84 
c) ]3,2[ ,652)( 23 −∈+−−= xxxxxf . 
 
12
253
12
64
12
189
12
372715237
12
37
4
9
3
38
12
37
12
723083
4
9081
3
36301612
12
723083
6
2
5
3
2
4
1
18
2
45
18
4
81
 1210
3
16
46
2
5
3
2
4
1
 
|6
2
5
3
2
4
 |6
2
5
3
2
4
 
)652()652(
3
1
234
1
2
234
3
1
23
1
2
23
=+=
+++
=+++=


 +−−−
−
−


 −−+−
+−−
=










 +−−−




 +−−−










 −−+−




 +−−
=





+−−−





+−−
=+−−−+−−=
−
−
∫∫
x
xxx
x
xxx
dxxxxdxxxxA
 
 
2.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Calcule as integrais definidas:
a) ∫
2
1
2 dxx 
b) ∫
+2
1
3
1
dx
x
x
 
c) ∫
−
1
1
3 dtt 
d) ∫
1
0
 dxe-x 
e) ∫
−
2
2
 2 cos
π
π
dxx 
f) ∫
−
−+−
0
1
25 )1233( dxxxx 
g) ∫ +−
1
0
34 )13( dxxx 
h) ∫ −
9
0
)
1
( dt
t
t 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
24/84 
i) ∫ −
2
0
2 )1( dxxx 
j) ∫
+1
2
2
1
dx
x
x
 
k) ∫ +
1
2
23
2
)1(
dx
x
x
 
l) ∫ +
4
0 16
1
dx
x
 
Respostas: 
a) 
3
7
 b) 
8
7
 c) 0 d) 
e
1
1− e) 0 f) 
2
7
− 
g) 
20
9
 h) 
3
40
 i) 
3
4
 j) 2ln
2
1
−− k) 
54
7
 l) 
3
4
 
 
2.5. TEOREMA DO VALOR MÉDIO 
Se f(x) é uma função contínua em [ ]b ,a , então existe [ ]baz ,∈ tal que: 
 )()()( abzfdxxf
b
a
−⋅=∫ 
ou seja, existe [ ]baz ,∈ tal que )(1)( ∫⋅−=
b
a
dxxf
ab
zf . 
 
Se ],[ ,0)( baxxf ∈∀≥ , então a área sob o gráfico de f(x) é igual à área do retângulo de 
lados )( ab − e f(z). 
 
O valor médio de f(x) em [ ]b ,a é dado por )(1 ∫⋅−=
b
a
dxxf
ab
VM 
 
Exemplo: 
1. Um pesquisador estima que t horas depois da meia noite, em um período típico de 24 horas, 
a temperatura em certa cidade é dada por 2)13(
3
2
3)( −−= ttT , 240 ≤≤ t graus Celsius. 
Qual é a temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde? 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
25/84 
Como 6 horas da manhã e 4 horas da tarde correspondem a 6=t e 16=t , 
respectivamente, estamos interessados em calcular a temperatura média, T(t), no intervalo 
166 ≤≤ t , o que corresponde à integral 
dtdu
tu
CTM
t
duutTM
dttdtdttdtdttTM
o
=
−=
−=−=
−
=
−=+−=
−
⋅−−=−=
−−=





−−=


 −−⋅
−
=
∫
∫∫∫∫∫
13
22,5
90
470
90
740270
90
740
3)34327(
90
2
3
6
16
3
)13(
30
2
)616(
10
3
30
2
6
16
10
3
)13(
30
2
10
3
)13(
3
2
3
10
1
 )13(
3
2
3
616
1
316
6
2
16
6
2
16
6
16
6
2
16
6
16
6
2
 
 
2. Encontre o valor médio de 13)( += xxf no intervalo, [ ]8 ,1− e determine o valor de x 
que corresponde ao valor médio de f(x). 
 )(
)(
1
∫⋅−=
b
a
dxxf
ab
VM 
dxdu
xu
xVM
u
u
duudxxdxxVM
=
+=
=⋅=−=
−
+=
−
=
−
⋅=⋅=+⋅=+⋅
+
= ∫∫∫
−−−
1
627
9
2
)0729(
9
2
1
8
)1(
9
2
1
8
9
2
1
8
3
2
3
1
 
9
3
 1
9
3
 13
18
1
3
3
2
38
1
8
1
8
1
 
 
Pelo teorema do valor médio, existe [ ]8 ,1−∈z tal que 6)( ==VMzf , ou seja: 
6)(
13)(
=
+=
zf
zzf
 
3
41
36)1(9
613
=
=+
=+⋅
=+⋅
z
z
z
z
 Portanto, quando 3=x , f(3) é igual ao valor médio de f(x) em [ ]8 ,1− . 
 
 
 
Cálculo II – Integração e DerivadasParciais 
26/84 
2.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Os registros mostram que t horas após a meia noite, a temperatura em um certo aeroporto 
foi 1043,0)( 2 ++−= tttT oC. Qual foi a temperatura média no aeroporto entre 9h e meio-
dia? 
2. . Os registros mostram que t meses após o início do ano, o preço da carne moída nos 
supermercados foi 6,12,009,0)( 2 +−= tttP reais o quilo. Qual foi o preço médio da carne 
moída nos 3 primeiros meses do ano? 
3. Com t meses de experiência um funcionário do correio é capaz de separar 
tetQ 5,0400700)( −−= cartas por hora. Qual é a velocidade média com que um funcionário 
consegue separar as correspondências durante os 3 primeiros meses de trabalho? 
4. Em um certo experimento, o número de bactérias presente em uma cultura após t minutos 
foi tetQ 05,02000)( = . Qual foi o número médio de bactérias presentes na cultura durante os 
primeiros 5 minutos do experimento? 
5. Calcule o valor médio da função f definida por 3)( xxf = no intervalo [ ]4 ,1 e determine o 
valor de x que corresponde ao valor médio de f(x). 
 
Respostas: 
1. -18,7oC 
2. R$ 1,57 
3. aprox. 648 cartas 
4. aprox. 2272 bactérias 
5. 
3
20
=VM e 3
3
20
=z 
 
2.7. ÁREA DE REGIÕES ENTRE CURVAS 
 
Suponha que f e g sejam definidas e contínuas em [a, b] e tais que ],[),()( baxxgxf ∈∀≥ . 
Então a área da região limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas bxeax == é dada por 
[ ]∫ −=
b
a
dxxgxfA )()( 
Independente de f e g serem positivas ou não. De fato, temos três possibilidades: 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
27/84 
 
1º caso: ],[ ),()( 0)( ,0)( baxxgxfexgxf ∈∀≥≥≥ 
 
Neste caso, [ ] )()()( )( ∫∫∫ −=−=
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxfA 
 
 
 
2º caso: ],[ ,0)( 0)( baxxgexf ∈∀≤≥ 
 
Neste caso, )( )( 





−+= ∫∫
b
a
b
a
dxxgdxxfA 
[ ] )()()( )( ∫∫∫ −=−=
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxfA 
3º caso: ],[ ),()( 0)( ,0)( baxxgxfexgxf ∈∀≥≤≤ 
 
Neste caso, )( )( 





−−−= ∫∫
b
a
b
a
dxxfdxxgA 
[ ] )()()( )( ∫∫∫ −=−=
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxfA 
 
Exemplos: 
Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas: 
a) xxxf 4)( 2 +−= e 2)( xxg = 
Para determinar os pontos de interseções entre as curvas basta resolver o sistema formado 
por sua equações. 




=
+−=
2
2 4
xy
xxy
 
( ) 042
042
04
4
2
22
22
=+−⋅
=+−
=+−−
=+−
xx
xx
xxx
xxx
 
2
42
042
0
=
−=−
=+−
=
x
x
x
x
 
As interseções ocorrem em x = 0 e x = 2. 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
28/84 
 
[ ] ( ) ( )
3
8
8
3
16
02
3
02
22
3
22
0
2
2
3
2
42424 )()(
2
3
2
3
2
3
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
22
2
0
=+−=





⋅+
⋅
−−





⋅+
⋅
−=





+−=
=+−=+−=−+−=−= ∫ ∫∫∫∫
x
x
A
xdxdxxdxxxdxxxxdxxgxfA
 
 
b) 22 −= xy e 5−= xy 
02712
251022
)5(22
522
2
2
2
=+−
+−=−
−=−
−=−
xx
xxx
xx
xx
 As interseções ocorrem em x = 3 e x = 9. 
 
( )[ ] ( )[ ]
18
18624
2
21
2
9
3
56
3
16
15
2
9
45
2
81
3
8
3
64
0
3
16
3
9
5
23
9
)22(
3
1
1
3
)22(
3
2
 )5( 22 222
 522 2222
2
2
3
2
3
9
3
9
3
3
1
9
3
3
1
=
=−=




 +−−+=










 −−




 −−




 −+




 −=






−−




 −+




 −=−−−+−=
−−−+−−−−=
∫∫∫
∫∫
A
A
x
x
xxdxxdxxdxxA
dxxxdxxxA
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
29/84 
c) senxy = e xy cos= , no intervalo 



4
9
,
4
ππ
 
 
As interseções ocorrem em 
4
π
=x , 
4
5π
=x e 
4
9π
=x . Porém, observe que para 





∈
4
5
,
4
ππ
x tem-se xsenx cos> , enquanto que para 




∈
4
9
,
4
5 ππ
x tem-se senxx >cos . 
Assim, 
[ ] [ ]
( ) ( )
24
242222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
9
cos
4
9
44
5
2
4
cos
4
5
cos2
4
5
cos
4
9
cos
4
5
4
9
44
5
4
cos
4
5
cos
4
5
4
9
cos
4
5
4
9
)(
4
4
5
)(
4
4
5
cos
cos cos
4
9
4
5
4
5
4
=
=+=+++







−⋅−+







−⋅−=
=+++−+−=
=




 −+




 −+




 −−




 +−=
=++−−=
=−+−= ∫∫
A
A
sensensenA
sensensensenA
xsenxsenxxA
dxsenxxdxxsenxA
ππππππ
ππππππππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
 
 
d) Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas 
x
y
1
= , xy 4= e 
4
x
y = . 
Pontos de interseções: 
2
1
4
1
144
1 22 ±=⇒=⇒=⇒= xxxx
x
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
30/84 
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
24
4
1 2 ±=⇒=⇒= xx
x
x
 
001516
4
4 =⇒=⇒=⇒= xxxx
x
x 
 
 
 
 
 
 
2ln42ln2ln
32
15
32
15
2
32
1
2
1
ln
2
1
2ln
32
15
2
5,0
2
8
ln
0
5,0
8
15
2
5,0
2
8
ln
0
5,0
8
22
4
1
4
42
22
22
2
2
5,0
5,0
0
=


 ++−⋅=
=










 +−−+⋅=











−+⋅=
=











−+





−⋅=













 −+




 −⋅= ∫∫
A
x
x
x
A
x
x
x
xdx
x
x
dx
x
xA
 
 
OBSERVAÇÃO: 
Se f e g são funções contínuas em ℜ , para calcular a área da região entre as curvas )(xfy = e 
)(xgy = , necessita-se apenas conhecer os pontos de intersecção entre as curvas e o sinal de 
)()( xgxf − . Não há necessidade de mais detalhes sobre o gráfico de f e g. 
 
Exemplo; 
Encontre a área limitada pelas curvas 25 xxy −= e xy 2= . 
x
y
1
=
xy 4=
4
x
y =
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
31/84 
3
0
0)3(
03
025
2
2
=
=
=−−
=+−
=−−
x
x
xx
xx
xxx
 sinal de )()( xgxf − : 
2
9
2
2718
0
2
27
9
0
3
2
3
3
 )3(
233
0
2 =
+−
−=−




 +−=





+−=+−= ∫
xx
dxxxA 
 
2.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Calcule a área sob o gráfico de cada função no intervalo indicado. Esboce o gráfico da 
função.
a) 3
3
1
xy = , no intervalo [ ]2 ,1− 
b) 21 xy −= , no intervalo [ ]1 ,1− 
c) 








≥−
<≤−−
<+
=
3 416
30 2
0 
4
2
2
3
xsex
xsexx
xse
x
y , no intervalo [ ]5 ,2− 
d) 3xy = , no intervalo [ ]2 ,2− 
e) 562 +−= xxy , no intervalo [ ]3 ,1 
 
2. Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule as respectivas áreas utilizando integral 
definida:
a) 1+= xy e 29 xy −= , no intervalo [ ]2 ,1− 
b) xy −= 2 e 2xy = 
c) xy =2 e 32 =− yx 
d) 32 235 +−+−= xxxxy e 32 234 +−++= xxxxy 
e) 2+= xy e 2xy = 
 
 
 
0 3
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
32/84 
Respostas: 
1. a) 
12
17
 b) 
3
4
 c) 
6
73
 d) 8 e) 
3
16
− 
2. a) 
3
16
 b) 
2
9
 c) 
3
32
 d) 
30
116
 e) 
2
9
 
 
2.9. VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 
 
Supondo que qualquer região tridimensional S, que tem uma “forma razoável”, tem um 
volume definido )(SV unidades cúbicas associado a ela. Referimos a esta região como um 
sólido. Em particular, entendemos que qualquer região tridimensional tendo as duas seguintes 
propriedades é um sólido: 
1. A fronteira de S consiste em número finito de superfícies lisas que se interceptam num 
número finito de arestas. Estas, por outro lado, podem se interceptar num número finito 
de vértices. 
2. S é limitada no sentido de que existe um limite superior para as distâncias entre os 
pontos de S. 
Por exemplo, uma esfera sólida, um cone circular reto sólido, um cubo sólido ou a região 
sólida entre dois cilindros retos coaxiais satisfazem as condições acima. 
 
 
Exemplos de sólidos 
Um sólido constituído de todos os pontos situados entre uma região plana admissível B1 e uma 
segunda região plana B2 obtida pela translação paralela de B1 é chamado cilindro sólido de 
bases B1 e B2. 
 
Sólido de bases B1 e B2 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
33/84 
Todos os segmentos da reta que unem pontos na base B1 a pontos correspondentes na base na 
base B2 são paralelos entre si. Se todos estes segmentos de reta são 
perpendicularesàs bases, então o cilindro sólido é chamado de cilindro 
sólido reto. A distância, medida perpendicularmente, entre as duas bases 
de um cilindro sólido é chamada altura. De agora em diante, suporemos 
que o volume de um cilindro sólido reto é a sua altura multiplicada pela 
área de uma das bases. 
Se um sólido S1 está contido num sólido ligeiramente maior S2, então a região tridimensional 
S3 constituída de todos os pontos em S2 que não estão em S1 é, às vezes, chamada de uma 
“casca”. Observe que )()()( 123 SVSVSV −= ; isto é, o volume da casca é igual à diferença 
entre os volumes dos sólidos maior e menor. Por exemplo, na figura abaixo, o volume da casca 
cilíndrica reta é dado por hrhrSVSVSV 21
2
2123 )()()( ⋅−⋅=−= ππ . 
 
 
2.9.1. Método dos discos circulares 
Seja R uma região plana admissível e seja l uma linha reta que esta no mesmo plano de R, mas 
sem tocar em R a não em pontos da fronteira de R (a). O sólido S gerado quando R é girado em 
torno da liha l como um eixo é chamado de sólido de revolução(b). 
 
Considere o caso especial em R é a região sob o gráfico de uma função contínua não negativa f 
entre ax = e bx = . Chame de S o sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno do 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
34/84 
eixo x. Na figura abaixo vemos uma porção “infinitesimal” dV do volume V de S consistindo 
num disco circular de espessura “infinitesimal” dx , perpendicular ao eixo de revolução e 
interceptando-o no ponto de coordenada x. Verifica-se que o raio r deste disco é dado por 
)(xfr = . 
 
 
O disco na figura pode ser considerado como um cilindro sólido reto cuja base é um círculo de 
raio r e cuja altura é dx . A área desta base é 2r⋅π , logo, seu volume dV é dado por 
[ ] dxxfdxrdV 22 )(ππ =⋅= . 
O volume total V do sólido S deve ser obtido pela “soma” – isto é, pela integração – de todos 
os volumes “infinitesimais” dV de tais discos, à medida que x varia de a até b. Assim, temos: 
[ ] [ ]∫∫∫ ===
=
=
b
a
b
a
bx
ax
dxxfdxxfdVV
22 )()( ππ . 
O cálculo de volumes pela fórmula acima é chamado de método dos discos circulares. 
 
Exemplos: 
Use o método dos discos circulares para determinar o volume V do sólido S gerado pela 
revolução da região R sob o gráfico da função f dada, no intervalo indicado [a, b], em torno do 
eixo x. Trace o gráfico de f e do sólido S. 
1. 2)( xxf = em [1, 2] 
[ ] [ ]
ππ
ππππ
7
127
7
1
7
128
1
2
7
)(
7
2
1
62
1
232
1
2
=


 −=






==== ∫∫∫
x
dxxdxxdxxfV
 
 
 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
35/84 
2. 22)( xaxf −= em [-a, a] 
[ ] [ ] ( )
3
333333
3
3
3
3
222
2
222
3
4
3
4
33
3
33
3
33
3
)(
a
aaaaaa
a
a
a
a
ax
xadxxadxxadxxfV
a
a
a
a
a
a
⋅==





−+−=











+−−





−=
−




−=−=−== ∫∫∫ −−−
ππππ
ππππ
 
Observe que o gráfico de 22)( xaxf −= em [-a, a] é um semicírculo e o sólido de 
revolução correspondente é uma esfera de raio “a”. Assim pelo método dos discos 
circulares, obteríamos a fórmula 3
3
4
aV ⋅= π para o volume de uma esfera de raio “a”. 
 
 
Obviamente, uma região plana pode ser girada em torno do eixo y ao invés do eixo x, e, 
novamente, um sólido de revolução será gerado. Por exemplo, suponhamos que R seja uma 
região plana limitada pelo eixo y, pelas linha horizontais ay = e by = com ba < , e pelo 
gráfico de )(ygx = , onde a função g é contínua e 0)( ≥yg para bya ≤≤ . A figura 
abaixo mostra o sólido de revolução S gerado pela revolução de R em torno do eixo y, onde 
[ ] dyygdyrdV 22 )(⋅=⋅= ππ , donde: 
[ ] [ ]∫∫∫ ===
=
=
b
a
b
a
by
ay
dyygdyygdVV
22 )()( ππ 
 
O uso da fórmula acima para determinar o volume S é ainda chamado de método dos discos 
circulares. 
 
Exemplo: 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
36/84 
Calcule o volume do sólido S gerado pela revolução da região R, pelo eixo y, pela linha 
4=y e pelo gráfico de 2xy = para 0≥x , em torno do eixo y. Use o método dos discos 
circulares e trace tanto R como S. 
Solução: 
Resolvendo a equação 2xy = para x em termos de y e usando o fato de que 0≥x , temos 
yx = . 
[ ] πππππ 8
2
0
2
4
0
4
2
22
4
0
4
0
2
=





−=





=== ∫∫
y
ydydyyV unidades cúbicas. 
 
 
 2.9.2. O método dos anéis circulares 
Os volumes dos sólidos de revolução mais gerais que aqueles considerados no item 2.9.1 
podem ser determinados pelo método dos anéis circulares. Suponha que )(xf e )(xg são 
funções contínuas não negativas no intervalo [a, b] tais que )()( xgxf ≥ para todos os valores 
de x em [a, b], e seja R a região plana limitada pelos gráficos de )(xf e )(xg entre ax = e 
bx = (figura a). Seja S o sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo x(figura b). 
 
Aqui consideramos uma porção “infinitesimal” dV do volume V de S constituída de uma anel 
circular de espessura “infinitesimal” dx, perpendicular ao eixo de revolução e centrado o ponto 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
37/84 
de coordenada x. A base deste anel circular é a região entre dois círculos concêntricos de raio 
)(xf e )(xg (figura c); logo, a área desta base é [ ] [ ]22 )()( xgxf ππ − unidades quadradas. 
Segue que 
[ ] [ ]{ }dxxgxfdV 22 )()( ππ −= 
De modo que 
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }∫∫∫ −=−==
=
=
b
a
b
a
bx
ax
dxxgxfdxxgxfdVV
2222 )()()()( πππ . 
Exemplo: 
Usando o método dos anéis circulares, determine o volume V do sólido S gerado pela 
revolução da região R em torn do eixo x, onde R é limitada pelas curvas 2xy = e 2+= xy . 
Solução: 
Os pontos de interseção das duas curvas são (2, 4) e (-1, 1) (figura a). Pelo método dos anéis 
circulares (figura b), temos 
[ ] [ ]
. 
5
72
15
216
15
32
15
184
15
3305
15
9624040
5
1
42
3
1
5
32
88
3
8
1
2
5
42
3
44)()2(
5
2
3
2
1
422
1
222
cúbicasunidadesV
V
x
xx
x
dxxxxdxxxV
π
ππ
ππ
πππ
=




=










−−




=











 +−−−




 −+=










 +−+−−




 −++=
−




−++=−++=−+= ∫∫ −−
 
 
 
Naturalmente, o método dos anéis circulares é aplicável aos sólidos S gerados pela revolução 
de regiões planas R em torno do eixo y, ao invés do eixo x. Assim, na figura (a) abaixo, a 
região planar R é limitada à direita pelo gráfico de )(yFx = e, à esquerda, pelo gráfico de 
)(yGx = , enquanto que os dois gráficos os interceptam nos pontos de ordenadas a e b. Se R 
gira em torno do eixo y, então um sólido de revolução S é gerado (figura b). O anel circular 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
38/84 
perpendicular ao eixo de revolução e centrado no ponto (0, y) tem um volume “infinitesimal” 
dV dado por [ ] [ ]{ }dyyGyFdV 22 )()( ππ −= , logo, 
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } .)()()()( 2222 ∫∫∫ −=−==
=
=
b
a
b
a
by
ay
dyyGyFdyyGyFdVV πππ 
 
Exemplo: 
Use o método dos anéis circulares para determinar o volume V do sólido de revolução S gerado 
pela revolução da região R em torno do eixo y, onde R é a região plana limitada à direita pelo 
gráfico de 2=x e à esquerda pelo gráfico de 3xy = e abaixo pelo eixo x. Trace R e S. 
Solução: 
A região R e o sólido S são mostrados nas figuras (a|) e (b) abaixo, respectivamente. Seja 
2)( =yF e 3)( yyG = . Pelo método dos anéis circulares, temos: 
[ ] [ ]{ } .)()( 22∫ −=
b
a
dyyGyFV π 
Então: 
 
[ ]{ }
. 
5
64
5
96160
5
96
328
5
3
32
0
8
5
3
4
44
3
5
3
5
8
0
3
28
0
2
3
cúbicasunidadesV
yyV
dyydyyV
π
π
πππ
ππ
=




 −=





 −=




 −=




 −=




 −=−= ∫∫
 
 
 
O método dos anéis circulares é também efetivo para sólidos gerados pela revolução de regiões 
planas em torno de eixos diferentes dos eixos x e y. Isto é ilustrado pelos exemplos seguintes. 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
39/84 
1. Use o método dos anéis circulares para determinaro volume do sólido S obtido pela 
revolução da região R em torno da linha 6=x , onde R é limitada pelos gráficos de xy 42 = 
e 4=x . 
Pela figura abaixo, o raio interno do anel circular ao nível y é 2 unidades e seu raio externo 
é ( )46 2y− unidades; logo dyydV








−





−= 2
22
2
4
6π . Integrando, obtemos: 
 
 
. 
5
768
5
384
5
384
5
64
64
5
64
64
80
1024
64128
80
1024
64128
4
4
80
32
16
3324
16
3362
4
6
5
3
4
4
4
24
4
4
24
4
2
22
cúbicasunidadesV
y
yyV
dy
y
ydy
y
ydy
y
V
π
ππ
ππ
πππ
=










−−=










 −−−




 +=











 −+−−




 +−=
−






+−=






+−=





−+−=








−





−= ∫∫∫ −−−
 
 
2. Na figura abaixo, a curva OP tem equação 3xy = . Determine o volume do sólido de 
revolução gerado pela rotação da região 
 
 
a) OBP em torno da linha 8=y 
b) OAP em torno da linha 2=x 
c) OAP em torno da linha 8=y 
 
 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
40/84 
Solução: 
a) Quando a região OBP é girada em torno do eixo 8=y , o retângulo “infinitesimal” de 
altura 38 x− e largura dx mostrado na figura produz um disco circular de espessura dx e 
raio 38 x− . Seu volume é dado por ( ) ( )dxxxdxxdV 6323 16648 +−=−= ππ . Logo 
 
( )
cúbicasunidadesV
V
x
xxV
dxxxdVV
x
x
 
7
576
7
128448
7
128
64128
0
2
7
464
1664
7
4
2
0
632
0
π
ππ
π
π
=





 +=




 +−=






+−=
+−== ∫∫
=
=
 
 
 
b) Quando a região OAP é girada em torno do eixo 2=x , o retângulo “infinitesimal” de altura 
dy e comprimento y−2 mostrado na figura produz um disco circular de espessura dy e 
raio y−2 . Seu volume é dado por ( ) dyyydyydV 



 +−=−= 3
2
3
12
3 442 ππ . Logo 
 
cúbicasunidadesV
V
yyyV
dyyydVV
y
y
 
5
16
5
9680
5
96
4832
0
8
5
3
34
44
3
5
3
4
8
0
3
2
3
18
0
π
ππ
π
π
=





 +−=




 +−=





 +−=




 +−== ∫∫
=
=
 
 
 
c) Quando a região OAP é girada em torno do eixo 8=y , o retângulo “infinitesimal” de altura 
3x e largura dx mostrado na figura abaixo produz um anel circular de espessura dx com raio 
interior 38 x− , raio externo 8 e volume “infinitesimal” 
( )[ ] ( )dxxxdxxdV 63232 1688 −=−−= ππ . 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
41/84 
Logo, 
( )
. 
7
320
7
128448
7
128
64
7
2
24
0
2
7
4
16
7
4
7
4
2
0
632
0
cúbicasunidadesV
V
x
xV
dxxxdVV
x
x
π
π
ππ
π
π
=




 −=





 −=





−⋅=






−=
−== ∫∫
=
=
 
 
2.10. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico de cada função 
dentro do intervalo indicado, em torno do eixo x. 
a) [ ]3 ,1 ;3)( 2 −= xxf 
b) [ ]3 ,1 ;9)( 2 −−= xxf 
c) [ ]2 ,0 ;2)( 2xxf += 
 
2. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das 
equações dadas em torno do eixo y. 
a) 0 ,8 ,3 === xeyxy 
b) 0 ,4 ,42 === xeyxy 
c) 0 ,8 ,32 === xeyxy 
 
3. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em 
torno do eixo indicado. Use o método dos discos circulares ou o método dos anéis 
circulares. 
a) 2xy = e xy 2= em torno do eixo x 
b) 212 xy −= , xy = e 0=x (primeiro quadrante) em torno do eixo y 
c) 24 xxy −= e xy = em torno da reta 3=x 
 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
42/84 
Respostas: 
1. a) .. 
5
2196
cu
π
 b) .. 
3
80
cu
π
 c) .. 
3
20
cu
π
 
2. a) .. 
5
96
cu
π
 b) .. 
5
64
cu
π
 c) .. 
7
384
cu
π
 
3. a) .. 
15
64
cu
π
 b) .. 
2
99
cu
π
 c) .. 
2
27
cu
π
 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
43/84 
3. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
3.1. INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Se u e v designam duas funções deriváveis de x, sabe-se que o diferencial do produto vu ⋅ é: 
vduuvdudv
udvvduvud
udvvduvud
−=
+=⋅
⋅+⋅=⋅
)(
)(
)(
 
Integrando ambos os membros, obtemos: 
∫∫
∫ ∫ ∫
−=
−=
vduuvudv
vduuvdudv )(
 
Esta é a fórmula da integral por partes. Esta técnica é muito utilizada nos casos quando se tem 
o produto de dois dos três tipos de funções: monômios em x, exponencial e senos ou cossenos. 
 
Exemplos: 
a) ∫ dxsenxx 
dxdu
xu
=
=
 
xv
senxdxdv
cos−=
=
 
∫ ∫ ++−=−−−⋅= Csenxxxxdxxxdxsenxx coscos)cos( 
 
b) ∫ dxxcx os 
dxdu
xu
=
=
 
senxv
xdxdv
=
= cos
 
∫ ∫ ++=−⋅= Cxxsenxsenxdxsenxxdxxcx cos os 
 
Ao aplicar a fórmula fizemos uma escolha que pode parecer bastante arbitrária. Por que não 
escolher xu cos= e xdxdv = ? 
Neste caso, temos: 
senxdxdu
xu
−=
= cos
 
2
2x
v
xdxdv
=
=
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
44/84 
senxdxxx
x
dxsenx
x
x
x
dxxcx ∫∫∫ +=−−= 2
222
2
1
cos
2
)(
2
cos
2
 os 
A escolha não é errada. Só não resolve o nosso problema. A nova integral produzida é mais 
difícil de resolver que a integral original. 
Portanto, o método da integração por partes pode ser uma técnica poderosa ou uma 
trapalhada total. Dependerá, principalmente, da nossa habilidade em escolher as partes. 
Algumas “regras” gerais podem nos orientar: 
1. dv tem que ser algo que sabemos integrar; 
2. Desejamos que ∫ vdu seja mais “fácil” do que ∫udv . Assim queremos du “mais 
simples” que u; 
3. Queremos também que v seja mais simples do que dv. 
 
c) ∫ dxxl n 
dx
x
du
xu
1
ln
=
=
 
xv
dxdv
=
=
 
∫∫ ∫ +−=−=⋅−= Cxxxdxxxdxxxxxdxxl lnln
1
ln n 
 
d) ∫ dxsenxe x 
dxedu
eu
x
x
=
=
 
xv
senxdxdv
cos−=
=
 
∫∫ ∫ +−=⋅−−−= dxxexedxexedxsenxe xxxxx coscoscoscos 
dxedt
et
x
x
=
=
 
senxz
xdxdz
=
= cos
 
Cxsenx
e
x
e
senx
e
dxsenxe
senxexedxsenxe
senxdxesenxexedxsenxe
xxx
x
xxx
xxxx
+−=−=
+−=
−+−=
∫
∫
∫∫
)cos(
2
cos
22
 
cos 2
cos 
 
 
e) ∫ dxxex 
dxdu
xu
=
=
 
x
x
ev
dxedv
=
=
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
45/84 
Cexedxexedxxe xxxxx +−=−=∫ ∫ 
f) ∫ arctgxdx 
dx
x
du
arctgxu
21
1
+
=
=
 
xv
dxdv
=
=
 
∫ ∫ +⋅−= 21 x
dx
xxarctgxarctgxdx 
x
dt
dx
xdxdt
xt
2
2
1 2
=
=
+=
 
CxxarctgxCtxarctgxarctgxdx
dt
t
xarctgx
x
dt
t
xxarctgxdx
x
xxarctgxarctgxdx
++−=+−=
=−=⋅⋅−=
+
⋅−=
∫
∫∫ ∫ ∫
)1ln(
2
1
ln
2
1
 
1
2
1
2
1
1
1
2
2
 
 
g) ∫ dxex x2 
xdxdu
xu
2
2
=
=
 
x
x
ev
dxedv
=
=
 
∫∫ ∫ −=−= xdxeexxdxeexdxex xxxxx 22 222 
dxdt
xt
=
=
 
x
x
ez
dxedz
=
=
 
( ) Cexeexdxexeexxdxeexdxex xxxxxxxxx ++−=−−=−= ∫∫∫ 2222 2222 
 
h) ∫ ∫ ⋅= dxsenxsenxdxxsen 2 
dxdu
senxu
cos=
=
 
xv
senxdxdv
cos−=
=
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
46/84 
C
x
xsenxdxsen
xxsenxdxsen
xxsenxdxsendxsen
xdxsendxxsenxdxsen
dxxsenxsenxxdxxxsenxdxsenxsenxdxxsen
++−=
+−=
+−=+
−+−=
=−+−=+−=⋅=
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
2
cos
2
1
cos2
cos
cos
)1(coscoscoscos 
2
2
22
22
22
 
 
i) Idxsenxxsendxxsen =⋅=∫ ∫ 23 
dxsenxdu
xsenu
cos2
2
=
=
 
xv
senxdxdv
cos−=
=
 
CxxsenxI
xxsenxI
IxxsenxI
xdxsensenxdxxsenxI
senxdxxsenxsenxI
xsenxdxxsenxI
+−⋅−=
−⋅−=
−−⋅−=
−+⋅−=
⋅−+⋅−=
+⋅−=
∫∫
∫
∫
cos
3
2
cos
3
1
cos2cos3
2cos2cos
22cos
)1(2cos
cos2cos
2
2
2
32
22
22
 
 
j) Idxsenxxsendxxsen nn =⋅=∫ ∫ − 1 
dxxsenndu
xsenu
n
n
cos)1( 2
1
−
−
−=
=
 
xv
senxdxdv
cos−=
=
 
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
+⋅−=
−+⋅−=−+
+−−+⋅−=
−−−+⋅−=
−⋅−+⋅−=
⋅−+⋅−=
xdxsen
n
n
xsenx
n
I
xdxsennxsenxInII
InIxdxsennxsenxI
xdxsennxdxsennxsenxI
dxxsenxsennxsenxI
xdxxsennxsenxI
nn
nn
nn
nnn
nn
nn
21
21
21
21
221
221
1
cos
1
)1(cos
)1(cos
)1()1(cos
)1()1(cos
cos)1(cos
 
 
k) Idxarcsenx =∫ 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
47/84 
dx
x
du
arcsenxu
21
1
−
=
=
 
xv
dxdv
=
=
 
dx
x
x
xarcsenxI ∫
−
−=
21
 
x
dt
dx
xdxdt
xt
2
2
12
−=
−=
−=
 
CxxarcsenxI
Ctxarcsenxdttxarcsenx
x
dt
t
x
xarcsenxI
+−+=
+⋅+=+=−⋅−= ∫∫
−
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2 
 
3.1.1 Exercícios Propostos 
Calcule as integrais abaixo pelo método da integração por partes: 
1. ∫ xdxx 2sec 
2. ∫ xdxx cos2 
3. ∫ xdxx ln2 
4. ∫ senxdxx 2 
5. ∫ xdx5ln 
6. ∫ dxxx 23 cos 
7. ∫
e
xdxx
1
2 ln 
8. ∫ dxex x22 
9. ∫ xdxarctg5 
10. ∫ xdxx 2ln 
11. ∫ dxxsen )(ln 2 
 
Respostas: 
1) Cxxtgx +− )ln(sec 2) Csenxxxsenxx +−+ 2cos22 
3) C
x
x
x
+−
9
ln
3
33
 4) Cxxsenxxx +++− cos22cos2 
5) Cxxx +−5ln 6) Cxsenxx ++ )cos(
2
1 222 
7) 
9
12 3 +e
 8) C
xx
e
x +





+−
4
1
22
2
2 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
48/84 
a
u
θ
 
22 u - a =E 
22 u a +=E 
a
u
θ
 
9) Cxxxarctg ++− )251ln(
10
1
5 2 10) C
x
x
x
x
x
++−
4
ln
2
ln
2
22
2
2
 
11) Cxxxsen
x
+− )cos(ln
5
2
)(ln
5
22 
 
 
 
 
 
3.2. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
Integrais envolvendo expressões como 22 ua − , 22 ua + e 22 au − , onde a é uma 
constante positiva, são resolvidas através de substituições trigonométricas sugeridas pelos 
triângulos retângulos abaixo: 
 
Caso 1: 
 
22
222
222
uaE
uaE
Eua
−=
−=
+=
 
θ
θ
senau
a
u
sen
⋅=
=
 
 
 
Se o integrando envolve 22 ua − , onde au <<0 , faça θsenau ⋅= com 
2
0
π
θ << , com 
θθdadu cos= . 
θθθθ coscos)1( 222222222 aasenasenaaua ==−=−=− 
 
Caso 2: 
 
22
222
uaE
uaE
+=
+=
 
θ
θ
tgau
a
u
tg
⋅=
=
 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
49/84 
u
a
θ
 
22 a - u =E 
a 
2
x
θ
 
2 x- 4 
Se o integrando envolve 22 ua + , onde 0>u e 0>a , faça θtgau ⋅= com 
2
0
π
θ << , 
com θθdadu 2sec= . 
θθθθ secsec)1( 222222222 aatgatgaaua ==+=−=+ 
 
Caso 3: 
 
22
222
222
auE
auE
Eau
−=
−=
+=
 
θ
θ
sec
sec
⋅=
=
au
a
u
 
 
Se o integrando envolve 22 au − , onde 0>> au , faça θsec⋅= au com 
2
0
π
θ << , com 
θθθ dtgadu sec= . 
θθθθ tgatgaaaaau )1(secsec 222222222 ==−=−=− 
 
Depois de a integral ser resolvida com relação à variável θ , a resposta pode ser escrita em 
termos da variável original referindo-se ao triângulo retângulo apropriado. Este método se 
chama “Substituição Trigonométrica”. 
 
Exemplos: 
a) I 
) x- 4 (
dxx
 
2
3
2
2
=∫ 
 
2
x
 sen =θ 
θθ
θ
d cos 2 dx 
sen 2 x 
=
=
 
 
( ) θθθ 2222 cos 4 )sen - (1 4 4sen-4 x- 4 === 
CtgI
dd
+−=
−===
⋅
⋅
=
⋅
= ∫∫∫∫∫
θθ
θθθθθ
θ
θ
θθ
θθθ
θ
θθθ
)1(secd tg 
cos
sen
 
 2coscos 4
d 2cossen 4
 
)(4cos
d 2cossen 4
 I 22
2
2
2
2
2
32
2
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
50/84 
1
x
θ
 
2 x- 1 
2 x 9 +
x
θ
 
3
2x-4
x
 tg =θ 
22
x
 sen
x
arcsen=⇒= θθ C
x
arcsen +−=
2x-4
x
 I
2
 
 
 
b) I dx x-1 2 =∫ 
 
θθ
θ
θ
d cos dx 
sen x 
xsen
=
=
=
 
θθθ coscos sen-1 x- 1 222 === 
∫∫ =⋅= θθθθθ d os d cosos 2ccI 
θθ
θ
dsendu
u
 
cos
−=
=
 
θ
θθ
senv
ddv
=
= cos
 
CsenI
senI
IsenI
ddsendsenI
dsensendsensensenI
++⋅=
+⋅=
−+⋅=
−+⋅=−+⋅=
+⋅=−−⋅=
∫ ∫∫
∫∫
θθθ
θθθ
θθθ
θθθθθθθθθ
θθθθθθθθθ
2
1
cos
2
1
cos2
cos
 coscos )cos1(cos
 cos) ( cos
22
2
 
arcsenx=⇒= θθ x sen 2
2
x-1cos
1
x-1
 cos =⇒= θθ 
Carcsenxxx ++−=
2
1
1
2
1
 I 2 
 
c) I 
9 x x
dx
 
22
=
+
∫ 
 
 
θθ
θ
θ
d 3sec dx 
3
 tg 
3
x
2=
=
=
tgx 
 
θθθθ 3sec 9sec )19(tg 99tg 9 x 2222 ==+=+=+ 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
51/84 
CCC
gg
ec
+−=+−=+=+⋅==
=====
∫
∫ ∫∫∫∫
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θθ
θθ
θθ
seccos
9
1
9sen
1
9u
1
-C 
u
1
9
1
 - du u
9
1
 I
 
cos
du
 . 
u
cos
 
9
1
 d 
sen
cos
9
1
 d 
cos
sen
 cos
1
 
9
1
 
9t
d sec
 
3sec . 9t
d 3s
 I
2-
22
2
222
2
 
 
θ
θ
θθ
θ
cos
du
 d
d cos du
 sen u 
=
=
=
 C cosec 
9
1
- I += θ 
x
os
2 x 9 
 secc
+
=θ 
 
 C 
x
x9
 
9
1
- I
2
+
+
⋅= 
 C 
9
 x 9
 - I
2
+
+
=
x
 
d) I 
25 x x
dx
 
23
=
−
∫ 
 
 
5
x
 sec =θ 
θθθ
θ
d tgsec 5 dx 
sec 5 x 
=
=
 
θθθθ tg5 25 1) (sec 25 25 25sec 25 x 2222 ==−=−=− tg 
( )
( ) CsenCsenCsenI
du
udddI
s
++=+




 ⋅+=+




 +=
=




 +=+=+=





 +====
∫∫∫∫
∫ ∫∫∫
θθθθθθθθ
θθθθθθ
θ
θ
θθ
θ
θ
θθ
θθθ
cos
250
1
cos2
2
1
250
1
2
2
1
250
1
2
 cos
250
1
 2cos
250
1
 )2cos1(
250
1
 d 
2
2cos
2
1
125
1
 d cos
125
1
 
ec
d 
125
1
 
 tg5 . sec 251
d tgsec 5
 I 2
23
 
2
du
 d
d 2 du
 2 u 
=
=
=
θ
θ
θ
 
25 x
 
2
x
sen
−
=θ 
5
 cos
x
=θ 
5
sec
5
x
 sec
x
arc=
=
θ
θ
 
C
x
xx
arcI +







 −
+=
2
2 255
5
sec
250
1
 
 
x
θ
 
5
252 −x
3x 
θ
 
2
49 2 −x
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
52/84 
3
u
θ
 
2u - 9 
e) I 
4 9x x 
dx
 
2
=
−
∫ 
 
 
2
3x
 sec =θ 
θθθ
θ
θ
d tgsec 
3
2
 dx 
sec
3
2
sec 2 3x 
=
=
=
x 
θθθθ 2tg 4 1) (sec 4 4 sec
9
4
9 4 9x 2222 ==−=−⋅=− tg 
∫∫∫ +==== Cθθ
θ
θθ
θθθ
2
1
 d 
2
1
 
2
d 
 
 tg2 . sec 
3
2
d tgsec 
3
2
 I 
2
3
sec
2
3x
 sec
x
arc=⇒= θθ C
x
arcI +=
2
3
sec
2
1
 
f) I 
)45(
dx
 
2
3
2
=
−−
∫
xx
 
22222 )2(9)44(9)444(5)4(545 +−=++−=−++−=+−=−− xxxxxxxxx 
Fazendo 2+= xu , com dxdu = , vem: 
 
I
uxx
=
−
=
−−
∫∫
2
3
22
3
2 )9(
du
 
)45(
dx
 
 
 
θθ
θ
ddu
senu
 cos3
3
=
=
 θθθ 2222 cos9)1( 9999 =−=−=− sensenu 
Ctgd
ddd
I +===== ∫∫∫ ∫ θθθθ
θ
θ
θθ
θ
θθ
9
1
 sec
9
1
cos9
1
27cos
 cos3
)(9cos
 cos3 2
23
2
3
2
 
29 u
u
tg
−
=θ 
C
x
x
I
C
u
u
I
+
+−
+
⋅=
+
−
⋅=
2
2
)2(9
2
9
1
99
1
 C
xx
x
I +
−−⋅
+
=
2459
2
 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
53/84 
3.2.1 Exercícios Propostos 
Calcule as integrais abaixo pelo método da integração por substituição trigonométrica: 
1. ∫
− 22 16 xx
dx
 
2. ∫
− 24 4 xx
dx
 
3. ∫
− 2
2
94 x
dxx
 
4. ∫
− 22 ax
xdx
 
5. ∫
+ 22 1 xx
dx
 
6. ∫
+ 52xx
dx
 
7. 
)94(
dx7x
 
2
3
2
3
∫
+x
 
8. ∫
− 422 xx
dx
 
9. ∫
− 49 2x
dx
 
10. 
)94(
dx
 
2
3
2∫ −x
 
11. ∫ −− )45(
dx
 
2xx
 
12. ∫
−− 222
xdx
 
xx
 
13. ∫
−+− 2483
dx
 
xx
 
14. ∫
+− 231
 
xx
xdx
 
 
Respostas: 
1) C
x
x
+
−
−
16
16 2
 2) C
x
xx
x
x
+







 −−
−
−
−−
3
222
3
4)4(4
16
1
 
3) Cx
xx
arcsen +−− 294
182
3
27
2
 4) Cax +− 22 
5) C
x
x
+
+
−
21
 6) C
x
x
+







 −+ 55
ln
5
1 2
 
7) C
x
x
+







+
+
94
92
8
7
2
2
 8) C
x
x
+
−
4
42
 
9) C
xx
+







 −+
2
493
ln
3
1 2
 10) C
x
x
+
−
−
949 2
 
11) Cxxxsen
x
+− )cos(ln
5
2
)(ln
5
22 12) C
x
arcsenxx +
+
−−−−
3
1
22 2 
13) Cxarcsen +− )22(
2
1
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
54/84 
14) Cxxxxx +−++−++−
6
3
313ln(
18
3
13
3
1 22 
 
 
3.3. INTEGRAÇÃO DE FUNÇOES RACIONAIS POR FRAÇÕES 
PARCIAIS 
 
Uma função racional é toda razão entre dois polinômios: 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf = 
Assim, são funções racionais: 
4
4232
)(
2
23
+
++−
=
x
xxx
xf ou 
32
75
)(
2 ++
+
=
xx
x
xg 
 
Sejam )(Pgr e )(Qgr os graus dos polinômios )( )( xQexP , respectivamente. As funções 
racionais se classificam em: 
∗ Impróprias: aquelas onde )()( QgrPgr ≥ 
∗ Próprias: aquelas onde )()( QgrPgr < 
 
3.3.1. Integração de Funções Racionais Próprias 
 
Neste caso devemos lembrar que: 
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xf
xQ
xP
+= , onde )(xR é o resto da divisão de )(xP por )(xQ 
 
Portanto: 
∫∫∫ += dxxQ
xR
xfdx
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
)(
. 
 
Como f(x) é um polinômio, não há dificuldades em calcularmos ∫ dxxf )( . O problema 
concentra-se no cálculo de ∫ dxxQ
xR
)(
)(
, onde a fração 
)(
)(
xQ
xR
 é própria. 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais55/84 
Pelo procedimento explicado acima, vamos nos concentrar no problema da integração de 
funções racionais próprias. 
 
Caso 1: O denominador é fatorável em fatores lineares distintos 
 
Se somarmos duas frações 
2
2
−x
 e 
1
3
+x
 obtém-se: 
)1)(2(
45
)1)(2(
6322
)1)(2(
)2(3)1(2
1
3
2
2
+−
−
=
+−
−++
=
+−
−++
=
+
+
− xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
 
Segue que: 
Cxxdx
x
dx
x
dx
xx
x
 |1|ln3|2|ln2
1
3
2
2
)1)(2(
45
+++−=
+
+
−
=
+−
−
∫∫ ∫ . 
 
Portanto é um problema fácil o de integrar 
)1)(2(
45
+−
−
xx
x
 desde que saibamos que esta 
expressão pode ser decomposta na soma 
1
3
2
2
+
+
− xx
. 
O método de frações parciais é simplesmente um procedimento para decompor frações 
racionais próprias na soma de funções racionais simples. As funções racionais simples são 
chamadas de frações parciais de 
)(
)(
xQ
xP
. 
A decomposição de uma fração racional em frações parciais é mais fácil de ser avaliada 
quando o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares. 
Neste caso podemos decompor a função racional 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf = em frações mais simples dadas 
por: 
nn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xf
+
++
+
+
+
= L
22
2
11
1)( 
Onde A1, A2, ..., An são constantes que devem ser determinadas. 
Exemplo: 
1. Calcular ∫ +−−
−
= dx
xxx
x
I
33
2
23
 
)3)(1)(1()3)(1()1(3)1(33 22223 −+−=−−=−−−=+−− xxxxxxxxxxx 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
56/84 
)33()42()(2
34322
)1()34()32(2
)3)(1)(1(
)1)(1()3)(1()3)(1(
33
2
311)3)(1)(1(
2
33
2
2
222
222
23
23
CBAxBAxCBAx
CCxBBxBxAAxAxx
xCxxBxxAx
xxx
xxCxxBxxA
xxx
x
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x
−+−+−−+++=−
−++−+−−=−
−++−+−−=−
−+−
+−+−−+−+
=
+−−
−
−
+
+
+
−
=
−+−
−
=
+−−
−
 






−=−+−
−−
=⇒−−=⇒=−−
−−=⇒=++
233
2
14
 142 142
 0
CBA
B
ABABA
CBACBA
 
2
12
 12C2 122C 2214
2
14
+
=⇒+=⇒−−=−⇒−−=−−
−−=
−−
−−=
B
CBBCBB
CB
B
CBA
 
8
3
 
16
6
B -616B
412B6B32B1 2
2
12
3
2
1-4B-
3 233
−=⇒−=⇒=
−=−−++⇒−=
+
−+⋅−⇒−=−+−
B
B
BCBA
 
4
1
 
2
2
1
2
1
2
3
2
1
8
3
4
2
14
=⇒=
−
=
−




−⋅−
=
−−
=
AA
A
B
A
 
8
1
8
32
8
3
4
1
0
=
+−
=
+−=
−−=
=++
C
C
C
BAC
CBA
 
)3(8
1
)1(8
3
)1(4
1
)3)(1)(1(
2
33
2
23 −
+
+
−
−
=
−+−
−
=
+−−
−
xxxxxx
x
xxx
x
 
∫∫∫ −++−−= 38
1
18
3
14
1
x
dx
x
dx
x
dx
I CxxxI +−++−−= )3ln(
8
1
)1ln(
8
3
)1ln(
4
1
 
 
Outra forma de determinar os coeficientes A, B e C 
311)3)(1)(1(
2
−
+
+
+
−
=
−+−
−
x
C
x
B
x
A
xxx
x
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
57/84 
A
xx
x
=
−+
−
)3)(1(
2
 e fazendo 1=x , temos: 
4
1
 
)2(2
1
)31)(11(
21
=⇒
−⋅
−
=
−+
−
= AA 
B
xx
x
=
−−
−
)3)(1(
2
 e fazendo 1−=x , temos: 
8
3
 
)4(2
3
)31)(11(
21
−=⇒
−⋅−
−
=
−−−−
−−
= BB 
C
xx
x
=
+−
−
)1)(1(
2
 e fazendo 3=x , temos: 
8
1
 
42
1
)13)(13(
23
=⇒
⋅
=
+−
−
= CC 
 
2. Calcular ∫ −−
−
= dx
xx
x
I
2
53
2
 
)1)(2(22 +−=−− xxxx 
12)1)(2(
53
2
53
2 +
+
−
=
+−
−
=
−−
−
x
B
x
A
xx
x
xx
x
 
Fazendo 2=x vem: 
3
1
 
3
1
12
523
A 
1
53
=⇒=
+
−⋅
=⇒
+
−
= A
x
x
A 
Fazendo 1−=x vem: 
3
8
 
3
8
21
5)1(3
B 
2
53
=⇒
−
−
=
−−
−−⋅
=⇒
−
−
= B
x
x
B 
∫∫ ++−= 13
8
23
1
x
dx
x
dx
I CxxI +++−= )1ln(
3
8
)2ln(
3
1
 
 
3. Calcular ∫ −−+
−−
= dx
xxx
xx
I
122
242
23
2
 
)12)(1)(1()12)(1()1()1(2122 22223 ++−=+−=−+−=−−+ xxxxxxxxxxx 
1211)12)(1)(1(
242
122
242 2
23
2
+
+
+
+
−
=
++−
−−
=
−−+
−−
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
xxx
xx
 
3
2
 
6
4
32
242
)112)(11(
214)1(2
 1
2
−=∴
−
=
⋅
−−
=
+⋅+
−⋅−⋅
=∴= AAx 
2 
2
4
)1(2
242
]1)1(2)[11(
2)1(4)1(2
 1
2
=∴=
−⋅−
−+
=
+−⋅−−
−−⋅−−⋅
=∴−= BBx 
3
2
 
4
3
2
1
2
1
2
3
22
2
1
)1
2
1
)(1
2
1
(
2)
2
1
(4)
2
1
(2
 
2
1
2
−=∴
−
=
⋅−
−+
=
+−−−
−−⋅−−⋅
=∴−= CCx 
∫∫∫ +−++−−= 123
2
1
2
13
2
x
dx
x
dx
x
dx
I 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
58/84 
2
2
12
du
dx
dxdu
xu
=
=
+=
 
CxxxI
CuxxI
du
u
xxI
x
dx
xxI
++−++−−=
+−++−−=
⋅−++−−=
+
−++−−=
∫
∫
)12ln(
3
1
)1ln(2)1ln(
3
2
ln
6
2
)1ln(2)1ln(
3
2
2
1
3
2
)1ln(2)1ln(
3
2
123
2
)1ln(2)1ln(
3
2
 
CxxxI ++−−−+= )12ln(
3
1
)1ln(
3
2
)1ln(2 
 
4. Calcular ∫ −−
−−−
= dx
xxx
xxx
I
82
166865
23
23
 
O integrando é uma fração imprópria. 
xxx
xx
xxx
xxx
82
16284
5
82
166865
23
2
23
23
−−
−−
+=
−−
−−−
 
∫∫ +=−−
−−
+= 123
2
5
82
16284
5 Ixdx
xxx
xx
dxI 
)2)(4()82(82 223 +−=−−=−− xxxxxxxxx 
24)2)(4(
16284
82
16284 2
23
2
+
+
−
+=
+−
−−
=
−−
−−
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
xxx
xx
 
2 2
8
16
)20)(40(
16028)0(4
 0
2
=∴=
−
−
=
+−
−⋅−⋅
=∴= AAx 
3
8
 
24
64
24
1610464
)24(4
16428)4(4
 4
2
−=∴
−
=
−−
=
+⋅
−⋅−⋅
=∴= BBx 
3
14
 
12
56
12
165616
)42)(2(
16)2(28)2(4
 2
2
=∴=
−+
=
−−−
−−⋅−−⋅
=∴−= CCx 
CxxxI
x
dx
x
dx
x
dx
I
+++−−=
+
+
−
−= ∫∫∫
)2ln(
3
14
)4ln(
3
8
ln2
23
14
43
8
2
1
1
 
15 IxI += CxxxxI +++−−+= )2ln(3
14
)4ln(
3
8
ln5 2 
 
Caso 2: O denominador possui fatores lineares repetidos 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
59/84 
Se o denominador contem um fator da forma kbax )( + onde 1>k , é necessário que tenhamos 
k frações parciais da forma: 
k
k
bax
A
bax
A
bax
A
bax
A
)()()( 3
3
2
21
+
++
+
+
+
+
+
L 
Onde A1, A2, A3, ..., Ak são constantes a ser determinadas. Fatores não repetidos são tratados 
como no caso 1. 
 
Exemplo: 
1. Calcular ∫ +
++
= dx
xx
xx
I
2
2
)1(
243
 
2
21
2
2
)1(1)1(
243
+
+
+
+=
+
++
x
B
x
B
x
A
xx
xx
 
2 2
1
2
)10(
204)0(3
 0
2
2
=∴==
+
+⋅+⋅
=∴= AAx 
1 
1
1
1
243
)1(
2)1(4)1(3
 1 2
2
2 −=∴−
=
−
+−
=
−
+−⋅+−⋅
=∴−= BBx 
Por esse procedimento não conseguimos determinar B1. Para determina-lo, multiplicamos 
ambos os lados da equação pelos denominador da função, ou seja: 
2)3()2(243
242243
)1()1(2243
)1(
1
1
2
)1(
243
1
2
1
2
1
2
1
22
1
22
2
1
2
2
++++=++
−++++=++
−+++=++
+
−
+
+=
+
++
xBxBxx
xxBxBxxxx
xxxBxxx
xx
B
xxx
xx
 
Igualando os coeficientes de potências de mesmo grau, temos: 
1 43
1 32
11
11
=⇒=+
=⇒=+
BB
BB
 
Portanto 11 =B , e 22
2
)1(
1
1
12
)1(
243
+
−
+
+=
+
++
xxxxx
xx
 
∫
∫∫∫
+
−++=
+
−
+
+=
2
2
)1(
)1ln(ln2
)1(1
2
x
dx
xxI
x
dx
x
dx
x
dx
I
 
dxdu
xu
=
+= 1
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
60/84 
C
u
xxI
duuxxI
u
du
xxI
++++=
−++=
−++=
∫
∫
−
1
)1ln(ln2
)1ln(ln2
)1ln(ln2
2
2
 C
x
xxI +
+
+++=
1
1
)1ln(ln 2 
 
2. Calcular ∫ −
−
= dx
xx
x
I
23
23
 
1)1(
2323
2
21
223 −
++=
−
−
=
−
−
x
B
x
A
x
A
xx
x
xx
x
 
2 2
1
2
)10(
203
 0 22 =∴=−
−
=
−
−⋅
=∴= AAx 
1 1
1
1
1
213
 1
2
=∴==
−⋅
=∴= BBx 
2)2()1(23
2223
)1(2)1(23
1
12
)1(
23
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−+−++=−
+−+−=−
+−+−=−
−
++=
−
−
xAxAx
xxxAxAx
xxxxAx
xxx
A
xx
x
 
1 32
1 01
11
11
−=⇒=+−
−=⇒=+
AA
AA
 
1
121
)1(
23
22 −
++−=
−
−
xxxxx
x
 
Cx
x
xI
xdxxxI
x
dx
x
dx
x
dx
I
+−+−−=
−++−=
−
++−=
∫
∫∫∫
−
)1ln(
2
ln
)1ln(2ln
1
2
2
2
 Cx
xx
I +−+−= )1ln(
21
ln 
 
3. Calcular ∫ +
+
= dx
xx
x
I
22 )1(
12
 
2
21
2
21
22 )1(1)1(
12
+
+
+
++=
+
+
x
B
x
B
x
A
x
A
xx
x
 
1 1
1
1
)10(
102
 0 222 =∴==+
+⋅
=∴= AAx 
1 1
1
1
)1(
1)1(2
 1 222 −=∴−=
−
=
−
+−⋅
=∴−= BBx 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
61/84 
1)2()2()(12
12212
12)12(12
)1()1()1(12
)1(
1
1
1
)1(
12
1
2
11
3
11
2
1
3
11
2
1
3
1
22
1
3
1
22
1
22
1
22
1
2
1
2
1
22
++++++=+
++++++=+
−+++++++=+
−+++++=+
+
−
+
++=
+
+
xAxBAxBAx
xBxBxxAxAxAx
xxBxBxxxxxAxxxxBxxxAx
xx
B
xx
A
xx
x
 





=⇒−=⇒=+
=+
=⇒−=⇒=+
0 22 22
02
0 0
111
11
11111
AAA
BA
BABBA
 
222222 )1(
11
)1(
1
1
010
)1(
12
+
−=
+
−
+
++=
+
+
xxxxxxxx
x
 
∫
∫∫
∫∫
+
−−=
+
−=
+
−=
−
2
2
2
22
)1(
1
)1(
)1(
x
dx
x
I
x
dx
dxxI
x
dx
x
dx
I
 
dxdu
xu
=
+= 1
 
C
ux
I
duu
xu
du
x
I
x
dx
x
I
++−=
−−=−−=
+
−−=
∫∫
∫
−
11
11
)1(
1
2
2
2
 
C
xx
I +
+
+−=
1
11
 
Caso 3: O denominador envolve fatores quadráticos irredutíveis diferentes 
 
Um polinômio quadrático cbxax ++2 é irredutível se, e somente se, o seu descriminante 
)4( 2 acb − é negativo, ou seja, o polinômio não pode ser fatorado em fatores lineares. Para 
cada fator irredutível não repetido cbxax ++2 no denominador de 
)(
)(
xQ
xP
, deverá 
corresponder uma fração parcial da forma: 
nnn
nn
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
++
+
++
++
+
+
++
+
2
22
2
2
22
11
2
1
11
L 
Exemplo: 
1. Calcular ∫ +++
++
= dx
xxx
xx
I
44
2038
23
2
 
)4)(1()1(4)1(44 2223 ++=+++=+++ xxxxxxxx 
14)4)(1(
2038
44
2038
22
2
23
2
+
+
+
+
=
++
++
=
+++
++
x
C
x
BAx
xx
xx
xxx
xx
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
62/84 
5 5
5
25
5
2038
4)1(
20)1(3)1(8
 1
2
2
=∴==
+−
=
+−
+−⋅+−⋅
=∴−= CCx 
)20()()5(2038
2052038
)4(5)1)((2038
1
5
4)4)(1(
2038
22
222
22
22
2
+++++=++
+++++=++
++++=++
+
+
+
+
=
++
++
BxBAxAxx
xBBxAxAxxx
xxBAxxx
xx
BAx
xx
xx
 





=⇒=+
=+
=⇒=+
0B 2020
3
3 85
B
BA
AA
 
1
5
4
3
)4)(1(
2038
22
2
+
+
+
=
++
++
xx
x
xx
xx
 
)1ln(5
4
3
1
1
5
4
3
2
2
++
+
=
+
+
+
=
∫
∫ ∫
xdx
x
x
I
dx
x
dx
x
x
I
 
2
2
42
du
dx
dxdu
xu
=
=
+=
 
Cxux
u
du
I
x
x
du
u
x
I
+++=++=
++⋅=
∫
∫
)1ln(5ln
2
3
)1ln(5
2
3
)1ln(5
2
3
 
CxxI ++++= 52 )1ln()4ln(
2
3
 
 
2. Calcular ∫ ++++= )54)(1( 22 xxxx
dx
I 
541)54)(1(
1
2
22
2
11
22 ++
+
+
++
+
=
++++ xx
BxA
xx
BxA
xxxx
 
( )
)5()45()4()(1
54541
)1)((54)(1
212211
2
2211
3
21
22
2
22
2
2
3
211
2
11
2
1
3
1
2
22
2
11
BBxBABAxBABAxAA
BxBxBxAxAxABxBxBxAxAxA
xxBxAxxBxA
+++++++++++=
+++++++++++=
+++++++=
 







−=⇒=+
=+++
=+++
−=⇒=+
1221
2211
2211
2121
51B 15
045
04
 0
BBB
BABA
BABA
AAAA
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
63/84 
143
143
051)(4
12
12
1212
=+
−=−−
=−+++−
BA
BA
BABA
 
21
12
12
1212
41
14
14
0514)(5
AB
BA
BA
BABA
−=
=+
−=−−
=−+++−
 
13
3
313
11643
1)41(43
2
2
22
22
=
−=−
=−+
=−+
A
A
AA
AA
 
13
3
1
21
−=
−=
A
AA
 
13
1
13
1213
13
3
41
41
1
1
21
=
−
=⋅−=
−=
B
B
AB
 
13
8
13
513
13
5
1
51
2
2
12
=
−
=−=
−=
B
B
BB
 
54
83
13
1
1
13
13
1
54
13
8
13
3
1
13
1
13
3
)54)(1(
1
222222 ++
+
⋅+
++
+−
⋅=
++
+
+
++
+−
=
++++ xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xxxx
 
∫∫ ++
+
+
++
+−
= dx
xx
x
dx
xx
x
I
54
83
13
1
1
13
13
1
22
 
1)2(1)44(445454
4
3
2
1
4
3
)
4
1
(
4
1
4
1
11
2222
2
222
++=+++=+−++=++
+




 +=+++=+−++=++
xxxxxxx
xxxxxxx
 














++
+
+
+




 +
+−
= ∫∫ dxx
x
dx
x
x
I
1)2(
83
4
3
2
1
13
13
1
22
 
∫
+




 +
+−
= dx
x
x
I
4
3
2
1
13
21
 
2
1
 
 
2
1
−=
⇓
=⇒+=
ux
dxduxu
 
∫∫
∫∫∫∫
+
+
+
−=
+
+−
=
+
++−
=
+
+




 −⋅−
=
+




 +
+−
=
du
u
du
u
u
I
du
u
u
du
u
u
du
u
u
dx
x
x
I
4
3
1
2
5
4
3
3
4
3
2
5
3
4
3
1
2
3
3
4
3
1
2
1
3
4
3
2
1
13
22
1
222
21
 
2u
dv
du 2 
4
32 =⇒=⇒+= ududvuv 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
64/84 
( ) ( ) CxarctgxxCxarctgxxI
CxarctguCxarctgvI
uarctg
u
dv
v
u
du
u
du
u
u
I
+
+
+++−=+




 ++++−=
+




 ++




 +−=+




 ++−=
⋅+⋅−=
+
+
+
−= ∫∫∫
3
12
3
5
1ln
2
3
2
1
3
2
3
5
1ln
2
3
2
1
3
2
3
5
4
3
ln
2
3
2
1
3
2
3
5
ln
2
3
3
2
3
2
2
5
2
3
4
3
1
2
5
4
3
3
22
1
2
1
22
1
 
∫ ++
+
= dx
x
x
I
1)2(
83
22
 
2
 
 2
−=
⇓
=⇒+=
ux
dxduxu
 
∫∫∫∫∫ +++=+
+
=
+
+−
=
++
+
= du
u
du
u
u
du
u
u
du
u
u
dx
x
x
I
1
1
2
1
3
1
23
1
8)2(3
1)2(
83
222222
 
2u
dv
du 2 12 =⇒=⇒+= ududvuv 
C1)(x2)54ln(
2
3
C1)(x2ln
2
3
 2
2
3
1
1
2
1
3
2
2
222
+++++=
+++=+⋅=
+
+
+
= ∫∫∫
arctgxxI
arctgvuarctg
u
dv
v
u
du
u
du
u
u
I
 
[ ]
Cxarctg
x
arctg
xx
xx
I
Cxarctgxx
x
arctgxxI
III
+





++
+
+
++
++
=
+





+++++
+
+++−=
+=
)2(2
3
12
3
5
1
54
ln
2
3
13
1
)2(2)54ln(
2
3
3
12
3
5
)1ln(
2
3
13
1
13
1
2
2
22
21
 
Cxarctg
x
arctg
xx
xx
I +++
+
+
++
++
= )2(
13
2
3
12
313
5
1
54
ln
26
3
2
2
 
 
Caso 4: O denominador envolve fatores quadráticos irredutíveis repetidos 
 
Se o denominador contem um fator da forma kcbxax )( 2 ++ onde 1>k , é necessário que 
tenhamos k frações parciais da forma: 
k
kk
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
)()()( 232
33
22
22
2
11
++
+
++
++
+
+
++
+
+
++
+
L 
Onde A1, B1, A2, B2, A3, B3, ..., Ak, Bk são constantes a ser determinadas. Fatores do tipo 
kbax )( + são tratados como no caso 2. 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
65/84 
1. Calcular ∫ +
++
= dx
xx
xx
I
22
3
)1(
2
 
( )22
22
2
11
22
3
11)1(
2
+
+
+
+
+
+=
+
++
x
CxB
x
CxB
x
A
xx
xx
 
( )
2 2
1
2
10
20)0(
 0
22
3
=∴==
+
++
=∴= AAx 
( )22
22
2
11
22
3
11
2
)1(
2
+
+
+
+
+
+=
+
++
x
CxB
x
CxB
xxx
xx
 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2422
2422
1222
1122
21
2
21
3
1
4
1
3
2
2
21
2
1
3
1
4
1
243
2
2
211
3243
2211
2223
++++++++=++
++++++++=++
+++++++=++
++++++=++
xCCxBBxCxBxx
xCxBxCxBxCxBxxxx
xCxBCxBxxxxxx
CxBxCxBxxxxx
 







=⇒=−=−=⇒=+
−=⇒+−=−−=⇒=++
=
−=⇒=+
0C 0111C 1
2B 244B 04
1
2 02
21221
21221
1
11
CCC
BBB
C
BB
 
( )222
1
22
3
1
2
1
122
)1(
2
+
−
+
−
−=
+
++
x
x
x
x
xxx
xx
 
( )
( )
( )∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
+
−+
+
−=
+
−
+
+
+
−=
+
−
+
−
−=
+
++
dx
x
x
arctgxdx
x
x
xI
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
I
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
222
2222
22222
3
1
2
1
2
ln2
1
2
1
1
1
21
2
1
2
1
122
)1(
2
 
x
du
dxxdxdu
xu
2
2
12
=⇒=
+=
 
( )
∫
∫∫
∫∫
−−+−=
⋅−+⋅−=
+
−+
+
−=
duuarctgxuxI
x
du
u
x
arctgx
x
du
u
x
xI
dx
x
x
arctgxdx
x
x
xI
2
2
222
lnln2
2
2
2
2
ln2
1
2
1
2
ln2
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
66/84 
( )
( ) C
x
arctgxxxI
C
u
arctgxxxI
+
+
+++−=
++++−=
1
1
1lnln2
1
1lnln2
2
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo II – Integração e Derivadas Parciais 
67/84 
4. FUNÇÕES VÁRIAS VARIÁVEIS E DERIVADAS PARCIAIS 
4.1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
Consideremos os seguintes enunciados: 
1. O volume V de um cilindro é dado por hrV 2 π= , onde r é o raio e h é a altura. 
2. A equação de estado de um gás ideal é dada por 
V
nRT
p = , 
onde p = pressão; 
V = volume 
n = massa gasosa em moles; 
R = constante molar do gás; 
T = temperatura 
3. O circuito abaixo tem cinco resistores. A corrente deste circuito é função das resistências 
( )5,,2,1 K=iRi . 
 
 
 
 
Analisando esses enunciados, verificamos que as funções envolvidas requerem o uso de duas 
ou mais variáveis independentes. 
No primeiro enunciado, podemos dizer que o volume de um cilindro, denotado por V, é uma 
função do raio r e da altura h. Assim, hrhrfV 2 ),( π== é uma função de duas variáveis. 
No segundo enunciado temos, a função 
V
nRT
nTVfp == ),,( que é uma função de três 
variáveis. 
Sobre o circuito do terceiro enunciado, podemos dizer que a corrente do circuito dado é uma 
função de cinco variáveis independentes. Temos 
54321 RRRRR
E
I
++++
= onde E representa 
a tensão