Aula 05 - Vetores

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Mecânica dos Sólidos
CONCEITOS BÁSICOS USADOS NA MECANICA
-ESPAÇO
-TEMPO
-MASSA
-FORÇA
(intensidade, aplicação, direção e sentido)
GRANDEZAS VETORIAIS E GRANDEZAS ESCALARES
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PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
1 – LEI DO PARALELOGRAMO PARA A ADIÇÃO DE FORÇAS
2 – PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE
3 – LEIS DE NEWTON:
3.1 – LEI DA INÉRCIA (força resultante 0 = repouso)
3.2 – LEI FUNDAMENTAL DA MECANICA NEWTONIANA (resultante diferente de 0) F = m.a
3.3 – LEI DA AÇÃO E REAÇÃO
A
B
A+B
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4 – LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON
CONVERSÕES NO SISTEMAS INTERNACIONAL DE UNIDADES
1 KM = 1000 m = 100000 cm = 1000000 mm
1 KN = 1000 N
1 Kg = 1000g
G = constante de gravitação
M = massa 1
m = massa 2
r = distancia entre as massas
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CONVERSÕES NO SISTEMAS INTERNACIONAL DE UNIDADES
Áreas e Volumes
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ESTATICA DOS PONTOS MATERIAIS
FORÇAS NO PLANO
• Intensidade
• Direção
• Sentido
• Vetores
– Entes matemáticos que possuem intensidade, direção e sentido
– São somados de acordo com a Lei do Paralelogramo
– Ex: duas forças A (3 N) e B (4 N) perpendiculares tem resultante igual a 5 N e não 7 N.
3 N
4 N
5 N
A
B
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• Dois vetores de mesma intensidade, direção e sentido são ditos iguais, quer tenham ou não o mesmo ponto de aplicação – vetores livres
• Podem ser identificados pela mesma letra
P
P
• O vetor oposto de um dado vetor P é definido como sendo um vetor que tem a mesma intensidade e direção e sentido oposto ao de P
P = - P
P
- P
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 DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA EM COMPONENTES
• Da mesma forma que as forças atuantes em um ponto material pode ser substituída por uma única força F, uma força F pode ser substituída por 2 ou mais forças que, juntas, tem o mesmo efeito sobre o ponto material
• Essas forças são chamadas de componentes da força original F
• Para força F existe um número infinito de conjuntos possíveis de componentes
F
F
F
Q
P
Q
P
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onde:
Fx e Fy: componentes vetoriais de F
CONSIDERANDO O SISTEMA DE FORÇAS COMO TRIANGULO RETANGULO, TEMOS:
• Relação entre F, Fx, Fy e θ
Fx = F cosθ
Fy = F senθ
F
Fx
Fy
Eixo x
Eixo y
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ADIÇÃO DE VETORES
Obs.: Não é igual à soma numérica das intensidades dos vetores a + v
ou REGRA DO TRIANGULO
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 RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES
• Forças concorrentes
– É um conjunto de forças coplanares que atuam sobre o mesmo ponto
P
A
S
Q
P
A
S
Q
R
Forças concorrente no ponto A
Força Resultante R = P + Q + R
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ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DAS COMPONENTES
S
P
Q
Ry = Py+Sy+Qy
Rx = Rx+Sx =Qx
R
A
A
A
EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL
• Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero, este ponto está em equilíbrio
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EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL
• Primeira Lei de Newton
– Se a força resultante que atua sobre um ponto material tem intensidade igual a zero, esse ponto permanece em repouso ou se move em movimento retilíneo uniforme
R
S
P
R
S
P
Rx
Ry
Sy
Sx
Equilíbrio no eixo X: 
Equilíbrio no eixo Y: 
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Representação de um VETOR
- Todo VETOR pode ser representado através do seu valor numérico ou pelo valor de suas componentes.
Eixo x
Eixo y
F
Fx
Fy
Sabemos que:
 O vetor Fx possui intensidade, direção e sentido
 O vetor Fy possui intensidade, direção e sentido
 O vetor F possui intensidade, direção e sentido
 O vetor F pode ser representado pelos vetores Fx e Fy
Eixo x
Eixo y
Fx
Fy
*
Eixo x
Eixo y
F
Fx
Fy
Sendo F = 200 N e 50 graus o ângulo da força F com a horizontal, determine as componentes vetoriais de F.
sen 
= Fy / F
sen50 = Fy / 200 N
Fy = 153,2 N
cos 
= Fx / F
cos50 = Fx / 200 N
Fx = 128,55 N
Portanto, a Força F pode ser decomposta por uma força no eixo X de intensidade 128,55 N e outra no eixo Y de intensidade 153,2 N.
Podemos representar a Força F através de suas componentes vetoriais. Assim temos:
F = 128,55 no eixo X + 153,3 no eixo Y
adotaremos : eixo X = i
 eixo Y = j
RESPOSTA FINAL: F = (128,55)i + (153,3)j
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Eixo x
Eixo y
F
Fx
Fy
Sendo a força F = (3,5 kN)i + (7,5 kN)j, determine a intensidade da força F e o ângulo que ela forma com a horizontal.
Resolução
Através do enunciado temos que Fx = 3,5 kN e Fy = 7,5 kN
Podemos então, entender o gráfico como:
Eixo x
Eixo y
F
3,5 kN
7,5 kN
Assim: tg 
= Fy / Fx
= 7,5 kN / 3,5 kN
= 65 graus
Portanto: sen 
= Fy / F
F = Fy / sen
F = 7,5 kN / sen65
F = 8,28 kN
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EXERCÍCIOS
F1 = 200 N
F2 = 300 N
60,26
20,56
o
o
Determine os valores das forças F3 e F4, sendo que o corpo abaixo permanece em equilíbrio.
F3
F4
*
75º
200 N
120 N
20º
Ache o valor, a direção e o sentido da força resultante
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120 N
20º
75º
200 N
Fx
Fy
Sen 20 = CO / HIP
Sen 20 = Fy / 120 N
Fx
Fy
0,342 = Fy / 120 N
Fy = 41,04 N
Cos 20 = CA / HIP
Cos 20 = Fx / 120 N
0,939 = Fx / 120 N
Fx = 112,76 N
Sen 75 = CO / HIP
Fx
Fy
Sen 75 = Fy / 200 N
0,966 = Fy / 200 N
Fy = 193,18 N
Cos 75 = CA / HIP
Cos 75 = Fx / 200 N
0,258 = Fx / 200 N
Fx = 51,76 N
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Para Força de 120 N, temos:
112,76 N
41,04 N
Para Força de 200 N, temos:
51,76 N
193,18 N
Juntando temos:
112,76 N
41,04 N
51,76 N
193,18 N
Resultante das forças
164,52 N
152,14 N
Resultante do sistema
H² = C² + C²
H² = (164,52)² + (152,14)²
H = 224,08 N
K
Tan K = CO / CA
Tan K = 152,14 / 164,52
Tan K = 0,924
K = 42,76°
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Exercícios
Uma barcaça é puxada por 2 rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é de 5,00 kN e tem a direção do eixo da barcaça, determine:
a) a tração em cada corda, sabendo-se que α = 45 graus
b) o valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima
2) Quatro forças atuam no parafuso A. Determine a resultante das forças que agem no parafuso.