2ªLista_Limites

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2a Lista de Exerc´ıcios - Limites e Continuidade
Matema´tica para Engenharia I
01- Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule:
a) lim
x→2
3
√
x b) lim
x→2
x2 − 4
x− 2 c) limx→0
x2 + x
x
d) lim
x→0
√
x− 1
x− 1
e) lim
x→2
x2 − 4x+ 4
x− 2 f) limx→−1
x2 − 1
x+ 1
g) lim
x→0
sen(x)
02- Calcule os limites:
a) lim
x→10
5 b) lim
x→2
x2
c) lim
x→−1
−x2 − 2x+ 3 d) lim
x→3
x2 − 9
x+ 3
e) lim
x→−0,5−
√
x+ 2
x+ 1
f) lim
x→−2+
(
x
x+ 1
)(
2x+ 5
x2 + x
)
g) lim
x→3+
x
x− 3 h) limx→3−
x
x− 3
i) lim
x→3
x
x− 3 j) limx→ 12
4x2 − 1
2x− 1
k) lim
x→3
x2 − 9
x− 3 l) limh→0−
√
6−√5h2 + 11h+ 6
h
m) lim
h→0+
√
h2 + 4h+ 5−√5
h
n) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5
o) lim
x→3
3
√
x− 3√3
x− 3 p) limx→7
√
x−√7√
x+ 7−√14
q) lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
, onde f(x) = x2 − 3x.
03- Determine os limites abaixo:
a) lim
x→0+
1
3x
b) lim
x→0−
5
2x
c) lim
x→2−
3
x− 2 d) limx→3+
1
x− 3
e) lim
x→−8+
2x
x+ 8
f) lim
x→−5−
3x
2x+ 10
g) lim
x→0+
2
3x
1
3
h) lim
x→0−
2
3x
1
3
04- Em cada alternativa abaixo e´ dado uma func¸a˜o f(x) e os nu´meros L, x0 e � > 0. Em
cada caso, encontre um intervalo aberto em torno de x0 no qual a desigualdade |f(x)− L| < � valha. Deˆ
enta˜o um valor para δ > 0 tal que para todo x satisfazendo 0 < |x− x0| < δ a desigualdade |f(x)−L| < �
seja verdadeira.
a) f(x) = x+ 1, L = 5, x0 = 4, � = 0, 01
b) f(x) = 2x− 2, L = −6, x0 = −2, � = 0, 02
c) f(x) =
√
x+ 1, L = 1, x0 = 0, � = 0, 1
d) f(x) =
√
x, L = 1/2, x0 = 1/4, � = 0, 1
e) f(x) =
√
19− x, L = 3, x0 = 10, � = 1
f) f(x) =
√
x− 7, L = 4, x0 = 23, � = 1
g) f(x) = 1/x, L = 1/4, x0 = 4, � = 0, 05
h) f(x) = x2, L = 3, x0 =
√
3, � = 0, 1
i) f(x) = x2, L = 4, x0 = −2, � = 0, 5
j) f(x) = 1/x, L = −1, x0 = −1, � = 0, 1
l) f(x) = x2 − 5, L = 11, x0 = 4, � = 1
m) f(x) = 120/x, L = 5, x0 = 24, � = 1
n) f(x) = mx, m > 0, L = 2m, x0 = 2, � = 0, 03
o) f(x) = mx, m > 0, L = 3m, x0 = 3, � = c > 0
05- Seja
f(x) =
 3− x, x < 2x
2
+ 1, x > 2
a) Determine lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x).
b) Existe lim
x→2
f(x)? Se existe, qual? Se na˜o, por queˆ?
c) Determine lim
x→4−
f(x) e lim
x→4+
f(x).
d) Existe lim
x→4
f(x)? Se existe, qual? Se na˜o, por queˆ?
06- Seja
f(x) =
 0, x ≤ 0sen(x), x > 0
a) Existe lim
x→0+
f(x)? Se existe, qual? Se na˜o, por queˆ?
b) Existe lim
x→0−
f(x)? Se existe, qual? Se na˜o, por queˆ?
c) Existe lim
x→0
f(x)? Se existe, qual? Se na˜o, por queˆ?
07- Calcule caso exista se na˜o existir justifique.
a) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1
b) lim
x→1−
|x− 1|
x− 1
c) lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1 sendo f(x) =
 x+ 1, x ≥ 12x, x < 1
d) lim
x→0
√
x
e) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1
f) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 sendo f(x) =
 x+ 1, x ≥ 12x, x < 1
08- Determine o limite de cada func¸a˜o quando (a) x→ +∞ e (b) x→ −∞.
a) f(x) =
2x4 + 3
5x+ 7
b) g(x) =
2x3 + 7
x3 − x2 + x+ 7
c) h(x) =
x+ 1
x2 + 3
d) f(x) =
7x5
x3 − 3x2 + 6x
e) g(x) =
1
x3 − 4x+ 1 f) h(x) =
10x5 + x4 + 31
x6
g) f(x) =
9x4 + x
2x4 + 5x2 − x+ 6 h) f(x) =
−2x3 − 2x+ 3
3x3 + 3x2 − 5x
09- Determine as ass´ıntotas das func¸o˜es abaixo:
a) y =
1
x− 1 b) y =
1
x+ 1
c) y =
1
2x+ 4
d) y =
−3
x− 3
e) y =
x+ 3
x+ 2
f) y =
2x
x+ 1
g) y =
x2
x− 1 h) y =
x2 + 1
x− 1
i) y =
x2 − 4
x− 1 j) y =
x2 − 1
2x+ 4
k) y =
x2 − 1
x
l) y =
x3 + 1
x2
10- Encontre os limites:
a) lim
x→+∞
√
x b) lim
x→+∞
3
√
2 + 3x− 5x2
1 + 8x2
c) lim
s→+∞
√
3s7 − 4s5
2s7 + 1
d) lim
x→−∞
√
5x2 − 2
x+ 3
e) lim
x→+∞
√
5x2 − 2
x+ 3
f) lim
y→−∞
2− y√
7 + 6y2
g) lim
y→+∞
2− y√
7 + 6y2
11- Usando lim
θ→0
sen(θ)
θ
= 1, resolva:
a) lim
x→0
tg(x)
x
b) lim
x→0
x
senx
a) lim
θ→0
sen(
√
2θ)√
2θ
b) lim
t→0
sen(kt)
t
, k constante
c) lim
y→0
sen(3y)
4y
d) lim
h→0−
h
sen(3h)
e) lim
x→0
tg(2x)
x
f) lim
t→0
2t
tg(t)
g) lim
x→0
sen(5x)
cos(4x)
h) lim
h→0
sen(sen(h))
sen(h)
i) lim
x→0
x+ xcos(x)
sen(x)cos(x)
j) lim
x→0
1− cos(x)
x
l) lim
x→pi
senx
x− pi m) limx→1
sen(pix)
x− 1
n) lim
x→0
xsen(
1
x
) o) lim
x→p
tg(x− p)
x2 − p2 com p 6= 0
12- A func¸a˜o f dada por
f(x) =

|x− 3|
x− 3 , x 6= 3
1, x = 3
e´ cont´ınua em x = 3? Justifique.
13- E´ cont´ınua a func¸a˜o f(x) =
 6 + x, x 6= 15, x = 1 ? Justifique.
14- E´ cont´ınua a func¸a˜o f(x) =
 x2, x 6= 07, x = 0 ? Justifique.
15- Dada a func¸a˜o
f(x) =
 10− 2x, x 6= 1k, x = 1
a) Determine lim
x→1
f(x);
b) Determine o valor de k para que f(x) seja cont´ınua em x = 1.