calculo qualificado CCXIII

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<p>c) \( y = x + 1 \)</p><p>d) \( y = 2x^2 - 1 \)</p><p>**Resposta: a) \( y = 2x - 1 \)**</p><p>**Explicação:** A derivada \( f'(x) = 2x \). No ponto \( x = 1 \), \( f'(1) = 2 \). A equação da</p><p>reta tangente é \( y - f(1) = f'(1)(x - 1) \), ou seja, \( y - 1 = 2(x - 1) \), que simplifica para \( y =</p><p>2x - 1 \).</p><p>10. **Qual é o valor de \( \int_0^\pi \sin(x) \, dx \)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) \( \pi \)</p><p>**Resposta: c) 2**</p><p>**Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi \), temos \(</p><p>[-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = [1 + 1] = 2 \).</p><p>11. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?**</p><p>a) \( \sec^2(x) \)</p><p>b) \( \sin^2(x) \)</p><p>c) \( \cos^2(x) \)</p><p>d) \( \sec(x) \)</p><p>**Resposta: a) \( \sec^2(x) \)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é uma identidade conhecida, que resulta em \(</p><p>\sec^2(x) \).</p><p>12. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 2**</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \).</p><p>Fatorando, temos \( \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).</p><p>13. **Qual é a integral de \( \int e^{3x} \, dx \)?**</p><p>a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \)</p><p>b) \( 3e^{3x} + C \)</p><p>c) \( e^{3x} + C \)</p><p>d) \( \frac{1}{3} e^{x} + C \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da integral de \( e^{kx} \), que resulta em \( \frac{1}{k}</p><p>e^{kx} + C \). Aqui, \( k = 3 \).</p><p>14. **Qual é o valor da derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)?**</p><p>a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)</p><p>b) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \)</p><p>c) \( \frac{1}{2x} \)</p><p>d) \( \frac{2}{\sqrt{x}} \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da potência, \( f(x) = x^{1/2} \) resulta em \( f'(x) =</p><p>\frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).</p><p>15. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 3**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x}</p><p>= k \). Aqui, \( k = 3 \).</p><p>16. **Qual é o valor de \( \int_1^2 (x^2 + 3) \, dx \)?**</p><p>a) \( \frac{11}{3} \)</p><p>b) \( \frac{17}{3} \)</p><p>c) \( 5 \)</p><p>d) \( \frac{10}{3} \)</p><p>**Resposta: b) \( \frac{17}{3} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (x^2 + 3) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + 3x + C \). Avaliando de</p><p>1 a 2, obtemos \( \left[\frac{1}{3}(2^3) + 3(2)\right] - \left[\frac{1}{3}(1^3) + 3(1)\right] =</p><p>\left[\frac{8}{3} + 6\right] - \left[\frac{1}{3} + 3\right] = \frac{8}{3} + \frac{18}{3} -</p><p>\left[\frac{1}{3} + \frac{9}{3}\right] = \frac{26}{3} - \frac{10}{3} = \frac{16}{3} \).</p><p>17. **Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(x) \)?**</p><p>a) \( -\sin(x) \)</p><p>b) \( \sin(x) \)</p><p>c) \( -\cos(x) \)</p><p>d) \( \tan(x) \)</p><p>**Resposta: a) \( -\sin(x) \)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( \cos(x) \) é uma identidade conhecida: \( f'(x) = -\sin(x)</p><p>\).</p><p>18. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \)?**</p><p>a) 0</p><p>b) \( \frac{1}{6} \)</p><p>c) \( \frac{1}{3} \)</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: b) \( \frac{1}{6} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a expansão de Taylor para \( \sin(x) \): \( \sin(x) \approx x -</p><p>\frac{x^3}{6} + O(x^5) \). Portanto, \( x - \sin(x) \approx \frac{x^3}{6} \). Assim, o limite se</p><p>torna \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6} \).</p><p>19. **Qual é a integral de \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx \)?**</p><p>a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \)</p><p>b) \( 3x^3 - 2x^2 + x + C \)</p><p>c) \( x^3 - 4x + C \)</p><p>d) \( x^3 - 2x^2 + 4x + C \)</p><p>**Resposta: a) \( x^3 - 2x^2 + x + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral de cada termo é calculada separadamente: \( \int 3x^2 \, dx =</p><p>x^3 \), \( \int -4x \, dx = -2x^2 \), e \( \int 1 \, dx = x \).</p><p>20. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?**</p><p>a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)</p><p>d) \( \frac{2x}{x} \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x =</p><p>\frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>21. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 5x}{3x^3 + 4} \)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) \( \frac{2}{3} \)</p><p>d) \( \infty \)</p><p>**Resposta: c) \( \frac{2}{3} \)**</p><p>**Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x^3 \): \(</p><p>\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{x^2}}{3 + \frac{4}{x^3}} = \frac{2}{3} \).</p><p>22. **Qual é a integral definida de \( \int_0^1 (x^3 + 2) \, dx \)?**</p><p>a) \( \frac{5}{4} \)</p><p>b) \( \frac{7}{4} \)</p><p>c) \( \frac{3}{4} \)</p><p>d) \( \frac{1}{4} \)</p><p>**Resposta: b) \( \frac{7}{4} \)**</p><p>**Explicação:** A integral indefinida é \( \int (x^3 + 2) \, dx = \frac{1}{4}x^4 + 2x + C \).</p><p>Avaliando de 0 a 1, temos \( \left[\frac{1}{4}(1^4) + 2(1)\right] - \left[\frac{1}{4}(0^4) +</p><p>2(0)\right] = \frac{1}{4} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4} \).</p><p>23. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x \)?**</p><p>a) \( 4x^3 - 6x^2 + 1 \)</p><p>b) \( 4x^3 - 6x + 1 \)</p>