trigno da matematica CTB

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<p>42. O que representa a segunda derivada positiva \( f''(x) > 0 \) para uma função \( f(x) \)?</p><p>a) Máximo local</p><p>b) Mínimo local</p><p>c) Crescimento</p><p>d) Decrescimento</p><p>Resposta: b) Mínimo local</p><p>Explicação: Quando a segunda derivada é positiva, isso indica uma concavidade</p><p>voltada para cima.</p><p>43. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2} \)?</p><p>a) 1</p><p>b) 0</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>Resposta: b) 0</p><p>Explicação: O termo \( e^x - 1 \) se aproxima de \( x \) mais devagar do que \( x^2 \).</p><p>44. O que é a diferença \( \frac{\ln(a+b) - \ln(a)}{b} \) quando \( b \) tende a 0?</p><p>a) 0</p><p>b) \(\frac{1}{a}\)</p><p>c) \(\frac{1}{b}\)</p><p>d) 1</p><p>Resposta: b) \(\frac{1}{a}\)</p><p>Explicação: Esta expressão é a definição do logaritmo derivado.</p><p>45. Calcule a integral definida \( \int_0^{1} (x + 1)^2 \, dx \).</p><p>a) \( \frac{5}{3} \)</p><p>b) \( \frac{7}{3} \)</p><p>c) 1</p><p>d) 0</p><p>Resposta: a) \( \frac{7}{3} \)</p><p>Explicação: A integral se expande e calcula entre os limites.</p><p>46. O que é \( \int_0^{1} \frac{1}{x} \, dx \)?</p><p>a) \( \infty \)</p><p>b) 1</p><p>c) 0</p><p>d) Não definido</p><p>Resposta: a) \( \infty \)</p><p>Explicação: Este integral diverge devido ao limite inferior.</p><p>47. Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt[3]{x} \).</p><p>a) \( \frac{1}{3}x^{-2/3} \)</p><p>b) \( \frac{1}{3}x^{1/3} \)</p><p>c) \( 3x^{2/3} \)</p><p>d) \( -\frac{1}{3}x^{-1/3} \)</p><p>Resposta: a) \( \frac{1}{3}x^{-2/3} \)</p><p>Explicação: Aplicando a regra do expoente, temos esta forma.</p><p>48. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x}{5x^2 + 2} \).</p><p>a) 1</p><p>b) 0</p><p>c) 3</p><p>d) 5</p><p>Resposta: a) 1</p><p>Explicação: Dividindo todos os termos por \( x^2 \) resulta em um valor.</p><p>49. O que é a primitiva de \( \frac{1}{1+x^2} \)?</p><p>a) \( \tan^{-1}(x) + C \)</p><p>b) \( \ln(1+x^2) + C \)</p><p>c) \( \sin(x) + C \)</p><p>d) \( e^x + C \)</p><p>Resposta: a) \( \tan^{-1}(x) + C \)</p><p>Explicação: Esta é uma identidade fundamental de cálculo.</p><p>50. Calcule a integral definida \( \int_1^3 (x^2 - 4) \, dx \).</p><p>a) -2</p><p>b) 4</p><p>c) 2</p><p>d) 0</p><p>Resposta: b) 4</p><p>Explicação: Avaliando a integral, encontramos este resultado.</p><p>51. O que é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)?</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 3</p><p>d) Não convergente</p><p>Resposta: a) 1</p><p>Explicação: Esta é uma série geométrica convergente.</p><p>52. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \).</p><p>a) 0</p><p>b) \(-\frac{1}{2}\)</p><p>c) \(\frac{1}{2}\)</p><p>d) 1</p><p>Resposta: b) \(-\frac{1}{2}\)</p><p>Explicação: Usando a regra de L'Hôpital ou série de Taylor.</p><p>53. O que é \( \int \sec^2(x) \, dx \)?</p><p>a) \( \tan(x) + C \)</p><p>b) \( \sec(x) + C \)</p><p>c) \( \sin(x) + C \)</p><p>d) \( \ln|x| + C \)</p><p>Resposta: a) \( \tan(x) + C \)</p><p>Explicação: Esta é a integral básica de \( \sec^2 \).</p><p>54. Determine a integral \( \int x^3 \cos(2x) \, dx \).</p><p>a) Não pode ser calculada</p><p>b) \( \frac{1}{2}x^2 \sin(2x) + C \)</p><p>c) \( \frac{1}{4}x^3 \sin(2x) + C \)</p><p>d) \( -\frac{1}{4}x^2 \sin(2x) + C \)</p><p>Resposta: a) Não pode ser calculada</p><p>Explicação: A integral requer integração por partes múltiplas e é complexa.</p><p>55. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{-x} - 1}{x^2} \).</p><p>a) -1</p><p>b) 1</p><p>c) -\(\frac{1}{2}\)</p><p>d) 0</p><p>Resposta: c) -\(\frac{1}{2}\)</p><p>Explicação: Aplicamos a regra de L'Hôpital uma segunda vez.</p><p>56. Qual é a derivada de \( f(x) = x^x \)?</p><p>a) \( x^x (\ln(x) + 1) \)</p><p>b) \( x^x \ln(x) \)</p><p>c) \( x^{x-1} \)</p><p>d) \( 1 \)</p><p>Resposta: a) \( x^x (\ln(x) + 1) \)</p><p>Explicação: Aplicamos logaritmos e a regra da cadeia.</p><p>57. Calcule a integral \( \int_0^{1} (1 - x^2) \, dx \).</p><p>a) \(\frac{1}{3}\)</p>