Fisica Basica- Moysés .Vetores - Problemas resolvidos

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Problemas Resolvidos
VETORES
Atenção Leia o assunto no livro-texto e nas notas de aula e reproduza os problemas resolvidos aqui. Outros são deixados para v. treinar
PROBLEMA 1 Dois vetores, cujos módulos são de 6 e 9 unidades de comprimento, formam um ângulo de (a) 0°,
(b) 60°, (c) 90°, (d) 150°, e (e) 180°. Determine o módulo da soma desses vetores e a direção do vetor resultante com
relação ao menor vetor.
SOLUÇÃO Seja |a|  6 e |b |  9 e vamos escolher a direção Ox na direção e no sentido do vetor a. Na Figura 1,
c  a  b, representa a soma dos vetores a e b,  é o ângulo entre esses vetores e  é a direção da resultante com
relação vetor a (menor vetor). De acordo com o que vimos em classe, a soma de dois vetores, em termos das
componentes, pode ser escrita como
cx  ax  bx, cy  ay  by → c  cx i  cy j
de onde podemos calcular a direção de c em relação ao eixo Ox, usando a expressão
tg  cycx →   arctg
cy
cx
Como a direção de Ox coincide com a direção do vetor a, o angulo  é também o ângulo entre o vetor resultante c e o
vetor a, que o problema pede. Com base na figura, vamos calcular o vetor resultante c e sua direção em relação a a
para cada um dos casos mostrados.
θ = 60º θ = 90º
θ = 150º
α α
α α = 180º
a
bc
a b
c
c b
a
a
b
c b
ac
(a) (b) (c)
(d) (e)
x
y
y y
y
y
x x
xx
α = 0º
i
j
Figura 1 Representação geométrica de c  a  b
(a) Componentes:
ax  a  6, bx  b  9
ay  0, by  0
 cx  6  9  15
cy  0
 c  15 i
Logo,
c  10, 5 i  3 3 j  c  15  0º
(b) Componentes:
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Universidade Federal do Amazonas
ax  acos0º  6, bx  bcos60º  9  0, 5  4, 5
ay  a sen0º  0, by  b sen60º  9  32  7, 8
 cx  6  4, 5  10, 5
cy  0  7, 8  7, 8
 c  10, 5 i  7, 8 j
Logo,
c  10, 5 i  7, 8 j
c  10, 52  7, 82  13, 1
  arctg 7, 810, 5 ≃ 37º
(c) Componentes:
ax  a  6, bx  bcos90º  0
ay  0, by  b sen90º  9
 cx  6  0  6
cy  0  9  9
 c  6 i  9 j
Logo,
c  6 i  9 j c  6
2  92  36  81  10, 8
  arctg 96 ≃ 56º
(d) Componentes:
ax  a  6, bx  bcos150º  9  − 32  −7, 8
ay  0, by  b sen150º  9  0, 5  4, 5
 cx  6 − 7, 8  −1, 8
cy  0  4, 5  4, 5
 c  −1, 8 i  4, 5 j
Logo,
c  −1, 8 i  4, 5 j
c  −1, 82  4, 52  4, 8
  arctg 4, 5−1, 8 ≃ 100°
(e) Componentes:
ax  a  6, bx  bcos180º  9  −1  −9
ay  0, by  b sen180º  9  0  0
 cx  6 − 9  −3
cy  0  0  0
 c  −3 i
Logo,
c  −3 i c  3  180º
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PROBLEMA 2 Calcule o ângulo entre dois vetores, de módulos iguais a 10 e 15 unidades de comprimento, nos
casos em que a soma desses vetores é (a) 20 unidades de comprimento e (b) 12 unidades de comprimento. Desenhe
uma figura apropriada.
SOLUÇÃO Seja |a|  10 e |b |  15, e  o ângulo entre os dois vetores que queremos calcular. Vamos escolher o
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eixo Ox na direção e sentido do vetor a, de modo que ax  a  10 e ay  0. Assim
a  10i |a|  ax  10
b  bxi  byj |b |  bx2  by2  15
 c  a  b  ax i  ay  by  j
(a) |c|  ax  bx 2  by2  20
(b) |c|  ax  bx 2  by2  12
(a) Neste caso, |c|  20 e, portanto,
|a|  ax2  ay2  ax  10
|b |  bx2  by2  15
|c|  ax  bx 2  ay  by 2  20
 ax  10, bx
2  by2  225
ax  bx 2  by2  ax2  2axbx  bx2  by2   400
Assim, substituindo os valores na última equação, encontra-se
100  2  10bx  225  400  bx  400 − 32520  3, 75
Da equação bx2  by2  225, podemos encontrar by. Ou seja,
by   225 − bx2   225 − 14, 1  14, 5
Assim, temos dois vetores b que satisfazem as condições do problema:
b1  3, 75 i  14, 5 j
b2  3, 75 i − 14, 5 j
Para calcular o ângulo  entre os dois vetores, basta calcular o ângulo entre o vetor b e o eixo Ox. Assim,
1  arctg 14, 53, 75  75, 5º
2  arctg −14, 53, 75  −75, 5º
θ1
a
b
c
(a)
y
x
|c| = 20
θ2
a
bc
y
x
Figura 2 Soluções para |c|  20.
(b) Faça este ítem, seguindo o mesmo procedimento de (a).
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PROBLEMA 3 Dois vetores formam um ângulo de 110°. Um dos vetores é de 20 unidades de comprimento e faz
um ângulo de 40° com o vetor resultante da soma dos dois. Determine o módulo do segundo vetor e do vetor soma.
SOLUÇÃO Vamos supor que c  a  b e que |a|  20, fazendo um ângulo   40º com o vetor resultante c.
Escolhendo o eixo Ox na direção e sentido do vetor a então o ângulo entre o vetor b e este eixo vale   110º (o
mesmo que entre a e b.
θ = 110º
a
bc
y
x
α = 40º
Figura 3
 Cálculo do módulo do vetor b Da mesma forma,  é o ângulo entre o vetor c e o eixo Ox (Figura 3). Em termos
das componentes:
ax  acos0º  20 bx  bcos110º  −0, 34b  cx  ax  bx  20 − 0, 34b
ay  sen0º  0 by  b sen110º  0, 94b  cy  ay  by  0, 94b
c  20 − 0, 34bi  0, 94b j
Para   40º, e como sabemos que
tg  cycx  tg40° 
0, 94b
20 − 0, 34b  0, 94b  20 − 0, 34b tg40º
ou (tg40º  0, 84)
0, 94b  20 − 0, 34b  0, 84  0, 94b  0, 29b  16, 8  b  13, 7
que é o módulo do vetor b.
 Cálculo do módulo do vetor soma Para calcular o módulo do vetor c, basta usar sua representação
c  20 − 0, 34bi  0, 94b j para b  13, 7. Assim,
c  20 − 0, 34  13, 7 i  0, 94  13, 7 j  15, 3 i  12, 9 j |c|  15, 32  12, 92  20
★ ★ ★
PROBLEMA 4 O vetor resultante de dois outros é de 10 unidades de comprimento e forma um ângulo de 35° com
um dos vetores componentes, que é de 12 unidades de comprimento. Determine o módulo do outro vetor e o ângulo
entre os dois.
SOLUÇÃO Seja c  a  b e |c|  10. Vamos escolher |a|  12 e o eixo Ox na direção e sentido deste vetor. Assim, o
vetor resultante c faz um ângulo   35° com o vetor a e, por construção, com o eixo Ox. Da mesma forma,  é o
ângulo entre a e b e também o ângulo entre b e o eixo Ox (direção de b (Figura 4). As componentes desses vetores
são :
ax  acos0º  12 bx  bcos  bcos  cx  ax  bx  12  bcos
ay  a sen0°  0 by  b sen  b sen  cy  ay  by  b sen
c  12  bcosi  b sen j
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θ = ?
a
bc
y
x
α = 35º
Figura 4
 Cálculo do ângulo  entre os vetores a e b Mas, como conhecemos o módulo e a direção de c, podemos
calcular suas componentes, ou seja,
cx  ccos35º  10  0, 82  8, 2 cy  c sen35°  10  0, 57  5, 7  c  8, 2 i  5, 7 j
Comparando com a outra expressão de c, obtemos
12  bcos  8, 2
b sen  5, 7 
cos  8, 2 − 12b 
−3, 8
b
sen  5, 7b
 tg  sencos 
5, 7
b
−3, 8
b
 − 5, 73, 8  −1, 5
ou
  arctg−1, 5    123, 7º
 Cálculo do módulo do vetor b Com o ângulo  agora podemos calcular b usando a expressão para c
c  12  bcosi  b sen j  12 − 0, 55bi  0, 83b j
Como sabemos que |c|  10, então
|c|  12 − 0, 55b2  0, 83b2  10
e daí podemos calcular o módulo de b. Ou seja,
12 − 0, 55b2  0, 83b2  10  12 − 0, 55b2  0, 83b2  100  0, 99b2 − 13, 2b  44  0
Esta equação do segundo grau tem duas iguais, b  6, 7 que é o módulo do vetor, que procuramos.
★ ★ ★
PROBLEMA 5 Determine o ângulo entre dois vetores, de 8 e 10 unidades de comprimento, quando o vetor
resultante faz um ângulo de 50° com o vetor maior. Calcule, também, o módulo do vetor resultante.
SOLUÇÃO Faça este problema; é similar ao anterior.
★ ★ ★
PROBLEMA 6 A resultante de dois vetores é de 30 unidades de comprimento e forma, com eles, ângulos de 25° e
50°. Determine os módulos dos dois vetores
SOLUÇÃO Resolva este problema;é similar aos anteriores.
★ ★ ★
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PROBLEMA 7 Determine as componentes ortogonais de um vetor de 15 unidades de comprimento que forma um
ângulo, com o eixo Ox, positivo, de (a) 50°, (b) 130, c) 230° e (d) 310°.
SOLUÇÃO Deixado para v. treinar.
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PROBLEMA 8 Três vetores de um mesmo plano, têm, respectivamente 6, 5 e 4 unidades de comprimento. O
primeiro e o segundo formam um ângulo de 50°, enquanto que o segundo e o terceiro formam um ângulo de 75°.
Determine o módulo e a direção da resultante relativamente ao maior vetor.
SOLUÇÃO Vamos considerar que d  a  b  c, onde |a|  6, |b |  5 e |c|  4, e com a escolha do eixo Ox na
direção e sentido do vetor a, as direções desses vetores são: a  0°,b  50º e c  75°  50º  125º (Figura 5).
θb = 50º
a
b
c
y
x
 75º
d =
 a 
+ b
 +
c
α = ?
50º
Figura 5
As componenentes desses vetores podem então ser calculadas:
ax  acos0º  6 bx  bcosb  5cos50°  3, 2 cx  ccosc  4cos125º  −2. 3
ay  a sen0°  0 by  b senb  5sen50º  3, 8 cy  c senc  4sen125º  3, 3
dx  ax  bx  cx  6  3, 2 − 2, 3  6, 9
dy  ay  by  cy  0  3, 8  3, 3  7, 1
d  6, 9i  7, 1j
 Módulo do vetor resultante A partir de d  6, 9i  7, 1j, o módulo de d pode ser facilmente calculado,
|d |  dx2  dy2  6, 92  7, 12  9, 9
 Direção do vetor resultante A direção do vetor d é dada por
tg  dydx 
7, 1
6, 9  1, 0    arctg1, 0  45º
★ ★ ★
PROBLEMA 9 São dados quatro vetores coplanares, de 8, 12, 10 e 6 unidades de comprimento, respectivamente;
os três últimos fazem, com o primeiro, os ângulos de 70°, 150° e 200°, respectivamente. Determine o módulo e a
direção do vetor resultante
SOLUÇÃO Este problema é semelhante ao anterior. Resolva.
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PROBLEMA 10 Prove que, se a soma e a diferença de dois vetores são perpendiculares, os dois vetores têm
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módulos iguais.
SOLUÇÃO Vamos denotar por s  a  b e d  b − a os vetores soma e a diferença de dois vetores a e b quaisquer,
respectivamente, e escolher o eixo Ox na direção e sentido de a. Assim, o ângulo  entre os vetores a e b dá também a
direção do vetor b. Seja  o ângulo entre os vetores soma, s, e diferença, d, cujas direções são dadas por s e d,
respectivamente (Figura 6).
a
b
y
x
φ
α s αd
α s
θ
s
d
Figura 6
Vamos calcular as componentes desses vetores no sistema Oxy:
ax  a bx  bcos
ay  0 by  b sen

sx  a  bx
sy  by
 s  a  bx 2  by2
dx  bx − a
dy  by
 d  bx − a2  by2
Da Figura 6, sabemos que
d  s      d − s
Tomando o seno de ambos os membros na expressão para , encontra-se
sen  send − s   send coss − sens cosd
Mas,
sens  sys 
by
a  bx 2  by2
coss  sxs  a  bxa  bx 2  by2
,
send  dyd 
by
bx − a2  by2
cosd  dxd 
bx − a
bx − a2  by2
Então
sen  by
bx − a2  by2
a  bx
a  bx 2  by2
− by
a  bx 2  by2
bx − a
bx − a2  by2
Agora vamos considerar a condição de perpendicularidade entre os vetores s e d, expressa por   90º (ou   2
rad). Então, lembrando que sen90º  1, encontra-se
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1  by
bx − a2  by2
a  bx
a  bx 2  by2
− by
a  bx 2  by2
bx − a
bx − a2  by2
Fazendo o produto e simplificando o resultado, encontra-se
2aby
bx − a2  by2 a  bx 2  by2
 1
ou, (acompanhe cuidadosamente as passagens seguintes):
bx − a2  by2 a  bx 2  by2  4a2by2
− 2bx2a2  bx4  2bx2by2  a4  2by2a2  by4  4a2by2
a4 − 2bx2a2  2by2a2  bx4  by4  2bx2by2   4a2by2
a4 − 2bx2a2  2by2a2  bx2  by2 2  4a2by2
a4  b4 − 2bx2a2 − 4a2by2  2by2a2  0
a4  b4 − 2bx2a2 − 2a2by2  0
a4  b4 − 2a2bx2  by2   0
a4  b4 − 2a2b2  0
a2 − b2 2  0
onde usamos b2  bx2  by2. Logo
a2 − b2  0  a  b
cqd.
Observação Esta solução torna-se muito mais simples com o uso de outras propriedades dos vetores que veremos
mais tarde (produto escalar).
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PROBLEMA 11 Dados os vetores
a  3i − 5j, b  −i  4j
calcular: (a) o módulo e a direção do vetor soma; (b) o módulo e a direção da diferença a-b.
SOLUÇÃO Como conhecemos as projeções dos vetores, ou seja,
ax  3, ay  5
bx  −1, by  4
podemos representá-los no sistema Oxy (Figura 7).
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a
y
xθss
4
3
-5
-1
b
a
x
θd
4
3
-5
-1
b
d
y
s = a + b d = a - b
Figura 7
 (a) Módulo e direção do vetor soma Denotando o vetor soma por s  a  b, então
sx  ax  bx  3 − 1  2
sy  ay  by  −5  4  −1
 s  2
2  1  5 ≃ 2, 24
tgs  sysx  −12  s  −26, 6º
 (b) Módulo e direção do vetor diferença As componentes do vetor diferença d  a − b são
dx  ax − bx  3 − −1  4
dy  ay − by  −5 − 4  −9

d  42  −92  117 ≃ 10, 82
tgd  dydx 
−9
4  s  −66, 0º
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